搜索： a121306-编号：a121306
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A003506号
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| 莱布尼茨调和三角a（n，k）中分母的三角形，n>=1，1<=k<=n。 |
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+10
65
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1, 2, 2, 3, 6, 3, 4, 12, 12, 4, 5, 20, 30, 20, 5, 6, 30, 60, 60, 30, 6, 7, 42, 105, 140, 105, 42, 7, 8, 56, 168, 280, 280, 168, 56, 8, 9, 72, 252, 504, 630, 504, 252, 72, 9, 10, 90, 360, 840, 1260, 1260, 840, 360, 90, 10, 11, 110, 495, 1320, 2310, 2772, 2310, 1320, 495, 110, 11
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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反对偶读取数组1/Beta（n，m）-迈克尔·索莫斯2004年2月5日
a（n，k）=n个元素集的k大小子集族中所有元素的总大小。例如，一个2元素集，例如{1,2}，有3个k大小子集族：一个具有10大小元素，一个具有2个1大小元素，另一个具有1个2大小元素；分别是{{}}、{{1}、}2、{{1,2}}-罗斯·拉海伊2006年12月31日
沿着1-2-平面在立方体a（m，n，o）=a（m-1，n，o）+a（m、n-1，o）+a-托马斯·维德，2006年8月6日
三角形，按行读取，由[2，-1/2,1/2,0,0,0,0,0，…]DELTA[2，-1/2,1/2,0,0,0,0,0,0，…]给出，其中DELTA是中定义的运算符A084938号. -菲利普·德尔汉姆2007年10月7日
这个序列*[1/1，1/2，1/3，…]=（1，3，7，15，31，…）-加里·亚当森2007年11月14日
第n行=对应帕斯卡三角形行的一阶导数系数。例如：x^4+4x^3+6x^2+4x+1变为（4，12，12，4）-加里·亚当森2007年12月27日
考虑
1 1/2 1/3 1/4 1/5
-1/2 -1/6 -1/12 -1/20 -1/30
1/3 1/12 1/30 1/60 1/105
-1/4 -1/20 -1/60 -1/140 -1/280
1/5 1/30 1/105 1/280 1/630
这是第二种自动序列（二项式逆变换是有符号序列）：主对角线是第一个上对角线的2倍。
发件人路易斯·科诺弗（成都孔子国际学校九年级G1c数学班），2015年3月2日：（开始）
n^-1的第i阶差异出现在第（i+1）行中。
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, ...
1/2, 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, ...
1/3, 1/12, 1/30, 1/60, 1/105, 1/168, 1/252, 1/360, ...
1/4, 1/20, 1/60, 1/140, 1/280, 1/504, 1/840, 1/1320, ...
1/5、1/30、1/105、1/280、1/630、1/1260、1/2310、1/3960。。。
1/6, 1/42, 1/168, 1/504, 1/1260, 1/2772, 1/5544, 1/12012, ...
（结束）
T（n，k）是n维超立方体中距离固定顶点k的边数-西蒙·伯顿2022年11月4日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，见130。
B.A.Bondarenko，《广义帕斯卡三角和金字塔（俄语）》，FAN，塔什干，1990年，ISBN 5-648-00738-8。由加利福尼亚州圣克拉拉市圣克拉拉大学斐波纳契协会出版的英文译本，1993年；见第38页。
G.Boole，《关于有限差分计算的论文》，多佛，1960年，第26页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第83页，问题25。
M.Elkadi和B.Mourrain，解多项式方程的符号-数字方法及其应用，第3章。A.Dickenstein和I.Z.Emiris编著的《求解多项式方程》，Springer出版社，2005年，第126-168页。见第152页。
D.威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社，纽约，1986年，35。
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链接
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D.Dumont，欧拉塞德尔矩阵，塞姆·洛思。梳子。B05c（1981）59-78。
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公式
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a（n，1）=1/n；当k＞1时，a（n，k）＝a（n-1，k-1）-a（n，k-1）。
通用名称：x*y/（1-x-y*x）^2。
例如：x*y*exp（x+x*y）。（结束）
f（s，n）=积分{x=0..oo}exp（-s*x）*x^n dx=伽马（n）/s^n；t（n，m）=f（s，n）/；s的幂抵消了-罗杰·巴古拉和加里·亚当森2008年9月14日
T（2*n，n）=T（2*n，n+1）=A005430型（n） ●●●●。（结束）
T（n，k）=2*T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）-T（n-2，k）-2*T（n-2，k-1-菲利普·德尔汉姆2012年3月17日
T（n，k）=和{i=1..k}i*二项式（k，i）*二项式（n+1-k，k+1-i）-米尔恰·梅卡2012年4月11日
如果我们包括一个由零组成的主对角线，那么数组的形式是
0
1 0
2 2 0
3 6 3 0
4 12 12 4 0
...
a（n，k）=（n-1）/（n-k）！（k-1）！）如果k>n/2且a（n，k）=（n-1）/（n-k-1）！k！）否则。[形成Pascal递归的“核心”；给出T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k）的RHS的通用项]-乔恩·佩里2013年10月8日
假设偏移量0:T（n，k）=衰减因子（n+1，n）/（k！*（n-k）！）。使用上升阶乘的对应项是A356546型. -彼得·卢什尼2022年8月13日
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例子
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三角形开始于：
1;
1/2，1/2；
1/3, 1/6, 1/3;
1/4, 1/12, 1/12, 1/4;
1/5, 1/20, 1/30, 1/20, 1/5;
...
分母三角形开始于：
1
2 2
3 6 3
4 12 12 4
5 20 30 20 5
6 30 60 60 30 6
7 42 105 140 105 42 7
8 56 168 280 280 168 56 8
9 72 252 504 630 504 252 72 9
10 90 360 840 1260 1260 840 360 90 10
11 110 495 1320 2310 2772 2310 1320 495 110 11
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MAPLE公司
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with（combstruct）：对于从0到11的n，执行序列（m*count（组合（n），大小=m），m=1。。n） od#零入侵拉霍斯，2008年4月9日
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数学
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L[n_，1]：=1/n；L[n_，m_]：=L[n，m]=L[n-1，m-1]-L[n，m-1]；取[压扁[表[1/L[n，m]，{n，1，12}，{m，1，n}]]，66]
t[n_，m_]=伽马[n]/（伽马[n-m]*伽马[m]）；表[表[t[n，m]，{m，1，n-1}]，{n，2，12}]；压扁[%](*罗杰·巴古拉和加里·亚当森2008年9月14日*）
表[k*二项式[n，k]，{n，1，7}，{k，1，n}](*彼得·卢什尼2011年5月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A（i，j）=如果（i<1||j<1，0，1/subst（intformal（x^（i-1）*（1-x）^（j-1）），x，1））
（PARI）A（i，j）=如果（i<1||j<1，0，1/和（k=0，i-1，（-1）^k*二项式（i-1，k）/（j+k））
（PARI）{T（n，k）=（n+1-k）*二项式（n，k-1）}/*迈克尔·索莫斯2011年2月6日*/
（哈斯克尔）
a003506 n k=a003506_tabl！！（n-1）！！（n-1）
a003506_row n=a003506-tabl！！（n-1）
a003506_tabl=扫描1（\xs y->
zipWith（+）（zipWithWith（＋）（[0]++xs）（xs++[0]））ys）a007318_tabl
a003506_list=连接a003506-tabl
（SageMath）
T_row=λn：（n*（x+1）^（n-1））.list（）
对于（1..10）中的n：打印（T_row（n））#彼得·卢什尼2017年2月4日
#假设偏移量为0：
返回falling_factorial（n+1，n）//（阶乘（k）*阶乘（n-k））
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A094305号
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| 行读取的三角形：T（n，k）=（（n+1）（n+2）/2）*二项式（n，k）（0<=k<=n）。 |
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+10
10
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1, 3, 3, 6, 12, 6, 10, 30, 30, 10, 15, 60, 90, 60, 15, 21, 105, 210, 210, 105, 21, 28, 168, 420, 560, 420, 168, 28, 36, 252, 756, 1260, 1260, 756, 252, 36, 45, 360, 1260, 2520, 3150, 2520, 1260, 360, 45, 55, 495, 1980, 4620, 6930, 6930, 4620, 1980, 495, 55, 66
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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从前n+1个数字中选择的k+1个数字的所有可能和的总和。第一类斯特林数三角形的加法模拟(A008275号). -大卫·沃瑟曼2007年10月4日
沿着1-2-平面在立方体a（m，n，o）=a（m-1，n，o）+a（m、n-1，o）+a-托马斯·维德，2006年8月6日
三角形T（n，k），0<=k<=n，由[3，-1,2/3，-1/6,1/2,0,0,0，0,0,1,0，…]DELTA[3，-1，-1,2/3，-1/6，1/2，0,0A084938号. -菲利普·德尔汉姆2007年10月7日
T（n，k）是具有n个位的位串的有序三元组的数量，而三元组中的所有位正好是k1。例如，对于n=1，我们有（0，e，e），（e，0，e），（e，e，0），（1，e，e），（e，1，e），（e，e，1），其中e是空字符串-杰弗里·克雷策2013年4月6日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，身份152。
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链接
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公式
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T（n，k）=和{i=1..k+1}（-1）^（i+1）*i^2*二项式（n+2，k+i+1）*二项法（n+2,k-i+1）-米尔恰·梅卡2012年4月5日
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例子
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三角形开始：
1
3 3
6 12 6
10 30 30 10
15 60 90 60 15
21 105 210 210 105 21
...
第n行是第n个三角形数与帕斯卡三角形第n行的乘积。第五行是（15,60,90,60,15）或15*{1,4,6,4,1}。
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MAPLE公司
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A094305号：=过程（n，k）（n+1）*（n+2）/2*二项式（n，k）；结束；
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数学
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nn=10；f[list_]：=选择[list，#>0&]；a=1/（1-x-yx）；Map[f，CoefficientList[Series[a^3，{x，0，nn}]，{x，y}]//网格
压扁[表[（n+1）（n+2））/2二项式[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2014年8月31日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a094305 n k=a094305_tabl！！不！！k个
a094305_行n=a094305-tabl！！n个
a094305_tabl=zipWith（map.（*））（尾部a000217_list）a007318_tabl
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A121547号
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| 在立方体a（m，n，o）=a（m-1，n，o）+a（m、n-1，o）+a。 |
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+10
2
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0, 0, 1, 0, 4, 4, 0, 10, 20, 10, 0, 20, 60, 60, 20, 0, 35, 140, 210, 140, 35, 0, 56, 280, 560, 560, 280, 56, 0, 84, 504, 1260, 1680, 1260, 504, 84, 0, 120, 840, 2520, 4200, 4200, 2520, 840, 120, 0, 165, 1320, 4620, 9240, 11550, 9240, 4620, 1320, 165, 0, 220, 1980, 7920, 18480, 27720, 27720, 18480, 7920, 1980, 220
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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链接
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公式
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a（m-1，n，o）+a（m，n-1，o）+1（m，n，o-1），初始值a（1,0,0）=1，a（m<>1=0，n>=0，0>=o）=0。
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例子
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第二行是1、4、10、20、35、56、84、120、165、220=A000292号即四面体（或金字塔）数：二项式（n+2,3）=n（n+1）（n+2）/6（核心）。
第三行是4、20、60、140、280、504、840、1320、1980、2860=A033488号=n*（n+1）*（n+2）*（n+3）/6。
主对角线是0，4，60，560，4200，27720，168168，960960，5250960，27713400={0}UA002803号*4.
三角形开始：
0
0, 1
0, 4, 4
0, 10, 20, 10
0、20、60、60、20
0, 35, 140, 210, 140, 35
0, 56, 280, 560, 560, 280, 56
0, 84, 504, 1260, 1680, 1260, 504, 84
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->二项（n+3,3）*二项（n，k）：seq（打印（seq（T（n-1，k-1），k=0..n）），n=0..10）#乔治·菲舍尔2023年7月31日
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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a（55）-a（56）已更正，更多术语来自乔治·菲舍尔2023年7月31日
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状态
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经核准的
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A183153号
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| T（n，k）是高度k（高度α=|Im（α）|）的n链的保序部分等轴测数。 |
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+10
1
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1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 9, 5, 1, 1, 16, 14, 6, 1, 1, 25, 30, 20, 7, 1, 1, 36, 55, 50, 27, 8, 1, 1, 49, 91, 105, 77, 35, 9, 1, 1, 64, 140, 196, 182, 112, 44, 10, 1, 1, 81, 204, 336, 378, 294, 156, 54, 11, 1, 1, 100, 285, 540, 714, 672, 450, 210, 65, 12, 1, 1, 121, 385, 825, 1254, 1386, 1122, 660
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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矩阵反转开始
1;
-1,1;
3,-4,1;
-7,11,-5,1;
15，-26，16，-6.1；
-31,57,-42,22,-7,1;
63,-120,99,-64,29,-8,1;
-127,247,-219,163,-93,37,-9,1;
255,-502,466,-382,256,-130,46,-10,1;
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链接
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公式
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T（n，0）=1。如果k>0，T（n，k）=（2*n-k+1）*C（n，k）/（k+1）。
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例子
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T（3,2）=5，因为在3链上正好有5个高度为2的保序部分等距，即：（1,2）-->（1,2；(1,2)-->(2,3); (2,3)-->(1,2); (2,3)-->(2,3); （1,3）-->（1,3），映射是按坐标的。
三角形开头为：
1;
1, 1;
1, 4, 1;
1, 9, 5, 1;
1, 16, 14, 6, 1;
1, 25, 30, 20, 7, 1;
1, 36, 55, 50, 27, 8, 1;
1, 49, 91, 105, 77, 35, 9, 1;
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=如果（k==0，1，（2*n-k+1）*二项式（n，k）/（k+1））；
对于（n=0，17，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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