搜索： a116607-编号：a116607
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1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 29, 41, 54, 74, 96, 128, 165, 216, 275, 354, 447, 569, 712, 896, 1113, 1388, 1712, 2117, 2595, 3186, 3882, 4735, 5739, 6959, 8392, 10121, 12150, 14582, 17429, 20823, 24789, 29494, 34979, 41456, 48993, 57856, 68148, 80204
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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B-Dyson Mod 27恒等式的系数。
也包括零件最多重复8次的分区-乔格·阿恩特2012年12月31日
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参考文献
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F.J.Dyson，《漫步拉马努扬花园》，G.E.Andrews等人，编辑，《拉马努詹再访》，第7-28页。纽约学术出版社，1988年，见第15页，等式（11）。
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链接
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配方奶粉
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q^（-1/3）*eta（q^9）/eta（q）的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2006年1月9日
周期9序列的欧拉变换[1,1,1,1,1，1，1，1,1，0，…]-迈克尔·索莫斯2006年1月9日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^3）满足0=f（B（q，B（q^2）），其中f（u，v）=u^3+v^3-u*v-3*（u*v）^2-迈克尔·索莫斯2006年1月9日
G.f.：乘积_{k>0}（1-x^（9k））/（1-x^k）=1+1/（1-x）*（总和_{k>0}x^（k^2+k）乘积_{i=1..k}（1+x^i+x^（2i））/（（1-x^（2i））*（1-x^（2i+1）））
a（n）~2*Pi*BesselI（1,4*sqrt（3*n+1）*Pi/9）/*Pi^2）-5/16）/n）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年8月31日，2017年1月14日延期
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例子
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G.f.=1+q+2*q^2+3*q^3+5*q^4+7*q^5+11*q^6+15*q^7+22*q^8+29*q^9+。。。
B（q）=q+q^4+2*q^7+3*q^10+5*q^13+7*q^16+11*q^19+15*q^22+。。。
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MAPLE公司
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seq（系数（级数（mul（（1-x^（9*k））/（1-x*k），k=1..n），x，n+1），x、n），n=0。。50); #穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月29日
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数学
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nmax=50；系数列表[系列[乘积[（1-x^（9*k））/（1-x*k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月31日*）
a[n_]：=a[n]=（1/n）和[DivisorSum[k，Boole[！Divisible[#，9]]#&]a[n-k]，{k，1，n}]；a[0]=1；
表[计数[整数分区@n，x_/！成员Q[Mod[x，9]，0，2]]，{n，0，46}](*罗伯特·普莱斯2020年7月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^9+a）/eta（x+a），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年1月9日*/
（PARI）{A116607号（n） =西格玛（n）-如果（n%9==0，9*sigma（n/9））}
{a（n）=波尔科夫（exp（总和（k=1，n+1，A116607号（k） *x^k/k+x*O（x^n）），n）}/*保罗·D·汉娜，2011年6月13日*/
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交叉参考
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r=2到12的r-规则分区数：A000009号,A000726号,A001935号,A035959号,A219601型,A035985号,A261775型,A104502型,A261776型,A328545型,A328546型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1、3、4、7、6、8、15、13、18、12、10、14、24、24、31、18、15、20、42、32、36、24、18、31、42、40、56、30、36、32、63、48、54、48、19、38、60、56、90、42、48、44、84、78、72、48、34、57、93、72、98、54、42、72、120、80、90、60、62、96、104、127、84、72、68
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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配方奶粉
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通用公式：和{k>=1}k*x^k/（1-x^k）-6*k*x*（6*k）/（1-x^（6*k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年3月25日
求和{k=1..n}a（k）~（5*Pi^2/72）*n^2-阿米拉姆·埃尔达尔，2022年10月4日
狄利克雷g.f.（1-6^（1-s））*ζ（s-1）*ζ（s），但不是乘法-R.J.马塔尔，2023年5月17日
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数学
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表[Sum[Boole[Mod[d，6]>0]d，{d，Divisors[n]}]，{n，100}](*因德拉尼尔·戈什，2017年3月25日*）
表[Total[Select[Divisors[n]，Mod[#，6]=0&]]，｛n，100｝](*哈维·P·戴尔2020年2月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）用于（n=1100，print1（sumdiv（n，d，（d%6）>0）*d），“，”）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
（Python）
从sympy导入除数
打印（[范围（1，101）中n的总和（[i代表除数（n）中的i，如果i%6）]）#因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 7, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 7, 18, 39, 20, 42, 32, 36, 24, 28, 31, 42, 40, 56, 30, 72, 32, 7, 48, 54, 48, 91, 38, 60, 56, 42, 42, 96, 44, 84, 78, 72, 48, 28, 57, 93, 72, 98, 54, 120, 72, 56, 80, 90, 60, 168, 62, 96, 104, 7, 84, 144, 68
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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配方奶粉
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通用公式：和{k>=1}k*x^k/（1-x^k）-8*k*x*（8*k）/（1-x^（8*k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年3月25日
如果e>=3，则与a（2^e）=7相乘，否则与a（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1）相乘-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月17日
求和{k=1..n}a（k）~（7*Pi^2/96）*n^2-阿米拉姆·埃尔达尔，2022年10月4日
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数学
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表[Sum[Boole[Mod[d，8]>0]d，{d，Divisors[n]}]，{n，100}](*因德拉尼尔·戈什，2017年3月25日*）
表[Total[DeleteCase[Divisors[n]，_？（可分割[#，8]&）]]，{n，120}](*哈维·P·戴尔2018年3月18日*）
f[p_，e_]：=如果[p==2&&e>=3,7，（p^（e+1）-1）/（p-1）]；a[1]=1；a[n_]：=次数@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）用于（n=1100，print1（sumdiv（n，d，（d%8）>0）*d），“，”）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
（Python）
从sympy导入除数
打印（[sum（[i代表除数（n）中的i，如果i%8]）代表范围（1，101）中的n）]#因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A121589号
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| （eta（q^9）/eta（q））^3的q次幂级数展开。 |
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+10
6
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1, 3, 9, 22, 51, 108, 221, 429, 810, 1476, 2631, 4572, 7802, 13056, 21519, 34918, 55935, 88452, 138332, 213990, 327852, 497592, 748833, 1117692, 1655719, 2434938, 3556791, 5161808, 7445631, 10677096, 15226658, 21599469, 30485268, 42817788
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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链接
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Kevin Acres、David Broadhurst、，Eta商和Rademacher和，arXiv:1810.07478[math.NT]，2018年。见第10页的表1。
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配方奶粉
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周期9序列的欧拉变换[3,3,33,3,1,3,3，3,0，…]。
G.f.：x*（产品{k>0}（1-x^（9*k）/（1-x*k））^3。
c（q^3）/（3*b（q））=（c（q）/（3*b（q^3））^3以q的幂展开，其中b（），c（）是三次AGM函数。
G.f.A（x）满足0=f（A（x（x），A（x^2）），其中f（u，v）=（u-v^2）*（u^2-v）-2*u*v*（3*（u+v）+13*u*v）。
G.f.A（x）满足0=f（A（x（x），A（x^3）），其中f（u，v）=u^3-v*（1+9*v+27*v^2）*（1+9*u+27*u^2）。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^3），A，（x^6）），其中f（u1，u2，u3，u6）=u1*u2-（1+3*（u1+u2））*（u3+u6+9*u3*u6）。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（9t））=（1/27）G（t），其中q=exp（2Pi it），G（）是A131986号.
a（n）~exp（4*Pi*sqrt（n）/3）/（27*sqert（6）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年9月7日
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例子
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G.f.=q+3*q^2+9*q^3+22*q^4+51*q^5+108*q^6+221*q^7+429*q^8+。。。
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MAPLE公司
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N： =100:#以获得（1）。。a（否）
S： =系列（q*乘积（1-q^（9*k），k=1.N/9）/乘积（（1-q^k）^3，k=1.N），q，N+1）：
seq（系数（S，q，n），n=1..n）#罗伯特·伊斯雷尔2017年11月2日
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数学
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nmax=40；系数列表[系列[乘积[（（1-x^（9*k））/（1-xm^k））^3，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年9月7日*）
a[n_]：=级数系数[q（QPochhammer[q^9]/QPochharmer[q]）^3，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2017年11月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<1，0，n--；a=x*O（x^n）；极系数（（eta（x^9+a）/eta（x+a））^3，n））}；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 8, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, 12, 32, 36, 24, 60, 31, 42, 40, 56, 30, 32, 32, 63, 48, 54, 48, 91, 38, 60, 56, 20, 42, 96, 44, 84, 78, 72, 48, 124, 57, 33, 72, 98, 54, 120, 72, 120, 80, 90, 60, 48, 62, 96, 104, 127, 84, 144
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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G.f.：总和=1｝k*x^k/（1-x^k）-10*k*x^（10*k）/（1-x^（10*k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年3月25日
求和{k=1..n}a（k）~（3*Pi^2/40）*n^2-阿米拉姆·埃尔达尔，2022年10月4日
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数学
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表[Sum[Boole[Mod[d，10]>0]d，{d，Divisors[n]}]，{n，100}](*因德拉尼尔·戈什，2017年3月25日*）
表[Total[Select[Divisions[n]，Last[InterDigits[#]]=0&]]，{n，70}](*哈维·P·戴尔2022年6月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）针对（n=1100，print1（sumdiv（n，d，（d%10）>0）*d），“，”）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
（Python）
从sympy导入除数
打印（[sum（[i代表除数（n）中的i，如果i%10]）代表范围（1，101）中的n）]#因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, -1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, -1, -1, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 2, -2, -2, -1, 1, 2, -1, 2, 1, 3, -3, -3, -2, 1, 3, -2, 3, 0, 5, -5, -5, -3, 1, 5, -3, 5, 1, 7, -7, -7, -5, 2, 7, -4, 7, 1, 11, -11, -11, -6, 3, 11, -6, 11, 2, 15, -15, -15, -10, 4, 15, -9, 14, 2, 22, -22, -22, -13, 6, 21, -12, 21, 4, 30, -30, -30, -19, 8, 29, -17, 28, 4, 42
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,19
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链接
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D.Ford、J.McKay和S.P.Norton，关于可复制功能的更多信息、Commun。《代数》22，第13期，5175-5193（1994）。
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配方奶粉
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q^（1/3）*eta（q）/eta（q^9）的q次幂展开。
周期9序列的欧拉变换[-1、-1、-1，-1、-1和-1，-1，-1；-1，0，…]。
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例子
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1-x-x ^2+x ^5+x ^7+x ^9-x ^10-x ^11-x ^12+x ^14-x ^15+x ^16+。。。
T27c=1/q-q^2-q^5+q^14+q^20+q^26-q^29-q^32-q^35+q^41-。。。
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x+a）/eta（x^9+a），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年6月26日*/
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A096726号
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| eta（q^3）^10/（eta（q）*eta（q^9））^3的q次幂展开。 |
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+10
5
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1, 3, 9, 12, 21, 18, 36, 24, 45, 12, 54, 36, 84, 42, 72, 72, 93, 54, 36, 60, 126, 96, 108, 72, 180, 93, 126, 12, 168, 90, 216, 96, 189, 144, 162, 144, 84, 114, 180, 168, 270, 126, 288, 132, 252, 72, 216, 144, 372, 171, 279, 216, 294, 162, 36, 216, 360, 240, 270, 180, 504
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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参考文献
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布鲁斯·伯恩特（Bruce C.Berndt），《拉马努扬的笔记本第三部分》（Ramanujan’s Notebooks Part III），施普林格-弗拉格出版社，1991年，见第475页，条目7（i）。
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链接
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J.M.Borwein和P.B.Borwein，雅各比身份和年度股东大会的立方对应物，事务处理。阿默尔。数学。Soc.，323（1991），第2期，691-701。MR1010408（91e:33012）。
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配方奶粉
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G.f.Prod_{k>0}（1-x^（3*k））^10/（1-x ^k）*（1-x（9*k）。
周期9序列的欧拉变换[3,3,-7,3,3,1-7,3,1-4，…]。
a（n）=3*b（n），其中b（n）是乘法的，b（3^e）=1+3*（e>0），b（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1）否则。
G.f.A（x）满足0=f（A（x），A（x^2），A（x^4）），其中f（u，v，w）=u^2*w+4*u*w^2+v^3-6*u*v*w。
b（q^3）^3/b（q）=c（q）^3/。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（9t））=9（t/i）^2f（t），其中q=exp（2Pi it）-迈克尔·索莫斯2014年8月25日
求和{k=1..n}a（k）~c*n^2，其中c=2*Pi^2/9=2.193245-阿米拉姆·埃尔达尔2023年12月28日
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例子
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G.f.=1+3*x+9*x^2+12*x^3+21*x^4+18*x^5+36*x^6+24*x^7+45*x^8+。。。
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数学
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系数列表[级数[1+和[k（3x^k/（1-x^k）-27x^（9k）/（1-x ^（9 k））），{k，1，60}]，{x，0，60}]，x](*罗伯特·威尔逊v2004年7月14日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，3求和[If[Mod[d，9]>0，d，0]，{d，除数@n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月25日*）
a[n_]：=级数系数[QPochhammer[q^3]^10/（QPochharmer[q]QPochhamer[q*9]）^3，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=if（n<1，n==0，3*西格玛（n）-if（n%9==0,27*西格马（n/9））}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^3+a）^10/（eta（x+a）*eta（x^9+a））^3，n））}；
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（k=1，n，k*3*（x^k/（1-x^k）-9*x^（9*k）/（1-x^（9*k））），1+x*O（x^n）），n）}；
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma0（9），2），61）；A[1]+3*A[2]+9*A[3]/*迈克尔·索莫斯2014年8月25日*/
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非n,容易的
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A131986号
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| （eta（q）/eta（q^9））^3的q次幂展开。 |
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+10
4
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1, -3, 0, 5, 0, 0, -7, 0, 0, 3, 0, 0, 15, 0, 0, -32, 0, 0, 9, 0, 0, 58, 0, 0, -96, 0, 0, 22, 0, 0, 149, 0, 0, -253, 0, 0, 68, 0, 0, 372, 0, 0, -599, 0, 0, 140, 0, 0, 826, 0, 0, -1317, 0, 0, 317, 0, 0, 1768, 0, 0, -2735, 0, 0, 632, 0, 0, 3526, 0, 0, -5434, 0, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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-1,2
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评论
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杨2004年表一中列出的15个广义eta商中的第4个-迈克尔·索莫斯2014年7月21日
与同余子组Gamma_0（9）相关联的函数字段的生成器（Hauptmodule）。【杨2004】-迈克尔·索莫斯2014年7月21日
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链接
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配方奶粉
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周期9序列的欧拉变换[-3、-3、-3，-3、-3和-3、-3…]。
G.f.A（q）满足0=f（A（q，A（q^2）），其中f（u，v）=（u+v）^3-u*v*（27+9*（u+v）+u*v）。
G.f.A（q）满足0=f（A（q），A（q^2），A（q^4）），其中f（u，v，w）=u^2+w^2+u*w-v^2*（u+w）-6*v^2-6*v*（u+w）-27*v。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（9t））=27g（t），其中q=exp（2Pi i t），G（）是A121589号.
a（3*n+1）=0。a（3*n）＝0，除非n＝0。a（3*n-1）=A058091美元（n） ●●●●。
G.f.：（1/x）*（产品_｛k>0｝（1-x^k）/（1-x^（9*k））^3。
G.f.A（q）满足0=f（A（q，A（q^3）），其中f（u，v）=（27+9*u+u^2）*（27+9*v+v^2）*u-v^3-迈克尔·索莫斯，2021年5月13日
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例子
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G.f.=1/q-3+5*q^2-7*q^5+3*q^8+15*q^11-32*q^14+9*q^17+。。。
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数学
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a[n_]：=级数系数[1/q（QPochhammer[q]/QPochharmer[q^9]）^3，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<-1，0，n++；a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x+a）/eta（x^9+a））^3，n））}；
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经核准的
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1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 1, 24, 24, 31, 18, 39, 20, 42, 32, 36, 24, 60, 31, 3, 40, 56, 30, 72, 32, 63, 48, 54, 48, 91, 38, 60, 4, 90, 42, 96, 44, 84, 78, 72, 48, 124, 57, 93, 72, 7, 54, 120, 72, 120, 80, 90, 60, 168, 62, 96, 104, 127, 6, 144, 68
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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通用公式：和{k>=1}k*x^k/（1-x^k）-13*k*x*（13*k）/（1-x（13*k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年3月30日
与a（13^e）=1和a（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1）相乘-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月17日
求和{k=1..n}a（k）~（Pi^2/13）*n^2-阿米拉姆·埃尔达尔，2022年10月4日
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数学
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表[Sum[Boole[Mod[d，13]>0]d，{d，Divisors[n]}]，{n，100}](*因德拉尼尔·戈什2017年3月29日*）
f[p_，e_]：=如果[p==13，1，（p^（e+1）-1）/（p-1）]；a[1]=1；a[n_]：=次数@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=汇总（n，d，（d%13）>0）*d）\\安德鲁·霍罗伊德2018年7月20日
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交叉参考
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非n,多重
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经核准的
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1、3、4、7、6、12、8、15、13、18、12、28、14、24、24、31、18、39、20、42、32、36、24、60、31、42、40、56、30、72、32、63、48、54、48、91、38、60、56、90、42、96、44、84、78、72、48、124、8、93、72、98、54、120、72、120、80、90、60、168、62、96、104、127、84、144
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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与a（7^e）=8和a（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1）相乘-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月17日
Sum_｛k=1..n｝a（k）~（4*Pi^2/49）*n^2-阿米拉姆·埃尔达尔，2022年10月4日
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数学
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f[p_，e_]：=如果[p==7，8，（p^（e+1）-1）/（p-1）]；a[1]=1；a[n_]：=次数@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=sumdiv（n，d，（（d%49）>0）*d）\\安德鲁·霍罗伊德2018年7月20日
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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