搜索： a113661-编号：a113661
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A033762美元
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| 产品t2（q^d）；d|3，其中t2=theta2（q）/（2*q^（1/4））。 |
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1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 2, 0
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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奇数正整数中8*n+4=x^2+3*y^2的解的个数-迈克尔·索莫斯2004年9月18日
4*n+2=x^2+y^2+z^2的整数解的一半，其中0=x+y+z，x和y是奇数-迈克尔·索莫斯2011年7月3日
给定g.f.A（x），则q^（1/2）*2*A（q）表示为phi_1（z），其中q=exp（Pi i z）在Conway和Sloane中。
平面六角形晶格（A2）相对于边的θ级数的一半。
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参考文献
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Burce C.Berndt，《Ramanujan的笔记第三部分》，Springer Verlag出版社，1991年，见第223页，条目3（i）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，1999年，第103页。参见公式（13）。
Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.27）。
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链接
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Michael D.Hirschorn，关于数字表示的三个经典结果，Sem.Lotharingien de Combinat公司。S42（1999），B42f。
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配方奶粉
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q^（-1/2）*（eta（q^2）*eta（q ^6））^2/（eta-迈克尔·索莫斯2004年4月18日
q^（-1）*（a（q）-a（q^4））/6的q^2次幂展开式，其中a（）是三次AGMθ函数-迈克尔·索莫斯，2006年10月24日
psi（x）*psi（x^3）的x次幂展开，其中psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2011年7月3日
周期6序列的欧拉变换[1，-1，2，-1，1，-2，…]-迈克尔·索莫斯2004年4月18日
给定g.f.A（x），则B（x）=（x*A（x^2））^2满足0=f（B（x。
a（n）=b（2*n+1），其中b（）与b（2^e）=0^e，b（3^e）=1，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2相乘，如果p==5（mod 6），否则b（p*e）=e+1。（说明：g.f.A（x）不是感兴趣的主要函数，而是B（x）=x*A（x^2），它是一个eta商，是乘法序列的生成函数。）
通用公式：（和{j>0}x^（（j^2-j）/2））*（和{k>0}x^。
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k+1）=和{k>0}x^k*（1-x^k）*（1-x ^（4*k））*（1-x^。（结束）
G.f.：s（4）^2*s（12）^2/（s（2）*s（6）），其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），式中eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k+1）=和{k>0}x^k/（1+x^k+x^-迈克尔·索莫斯2005年11月4日
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=Pi/（2*sqrt（3））=0.906899(A093766号). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月23日
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例子
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G.f.=1+x+2*x ^3+x ^4+2*x ^6+2**x ^9+2*x^10+x ^12+x ^13+2*×^15+。。。
G.f.=q+q^3+2*q^7+q^9+2*q^13+2*q*19+2*q ^21+q^25+q^27+2*qq^31+。。。
a（6）=2，因为8*6+4=52=5^2+3*3^2=7^2+3*1^2。
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数学
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a[n_]：=如果[n<0，0，DivisorSum[2 n+1，Mod[（3-#）/2，3，-1]&]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月3日*）
a[n]：=如果[n<1，Boole[n==0]，Times@@（其中[#<2，0^#2，Mod[#，6]==5，1-Mod[#2，2]，True，#2+1]&@@@FactorInteger@（2n+1））]；(*迈克尔·索莫斯2016年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）*eta（x^6+a））^2/（eta/*迈克尔·索莫斯2004年9月18日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=2*n+1；sumdiv（n，d，kronecker（-12，d）*（n/d%2））}/*迈克尔·索莫斯2005年11月4日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=8*n+4；和（j=1，平方（n\3），（j%2）*issquare（n-3*j^2））}/*迈克尔·索莫斯2005年11月4日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，sumdiv（2*n+1，d，kronecker（-3，d）））}/*迈克尔·索莫斯2016年3月6日*/
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma1（12），1），202）；A[2]+A[4]/*迈克尔·索莫斯2014年7月25日*/
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002324号,A004016号,A005881号,A035178号,A091393号,A093766号,A093829号,A096936号,A112298号,A113447号,A113661号,A113974号,15979年,A122860型,A123331号,A123484号,A136748号,A137608型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A113660型
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| phi（x）^3/phi（x^3）的展开式，其中phi（）是Ramanujan theta函数。 |
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1, 6, 12, 6, -6, 0, 12, 12, 12, 6, 0, 0, -6, 12, 24, 0, -6, 0, 12, 12, 0, 12, 0, 0, 12, 6, 24, 6, -12, 0, 0, 12, 12, 0, 0, 0, -6, 12, 24, 12, 0, 0, 24, 12, 0, 0, 0, 0, -6, 18, 12, 0, -12, 0, 12, 0, 24, 12, 0, 0, 0, 12, 24, 12, -6, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 12, 12
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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参考文献
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Bruce C.Berndt，《拉马努詹的笔记第三部分》，Springer Verlag出版社，1991年，见第227页，条目4（iv）。
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链接
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配方奶粉
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a（q）+2*q（q^2）-2*a（q^4）=b（-q）^2/b（q^ 2）=（b（q）-2*b（q*4））^2/b（q ^2）=-迈克尔·索莫斯2015年5月20日
（eta（q^2）^15*eta（q ^3）^2*eta。
a（n）=6*b（n）其中b（n”）与a（0）=1相乘，b（2^e）=（1-3（-1）^e）/2如果e>0，b（3^e）=1，b（p^e）=e+1如果p==1（mod 6），b。
周期12序列的欧拉变换[6，-9，4，-3，6，-6，6，-3，4，-9、6，-2，…]。
莫比乌斯变换是周期12序列[6，6，0，-18，-6，0，6，18，0，-6，-6，-0，…]。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（12 t））=108^（1/2）（t/i）G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A113973号. -迈克尔·索莫斯2015年5月20日
通用公式：1+6*（和{k>0}x^k/（1+x^k+x^（2*k））+2*x^。
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=Pi*sqrt（3）=5.441398(A304656型). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年12月25日
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例子
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G.f.=1+6*q+12*q^2+6*q^3-6*q^4+12*q ^6+12*q ^7+12*q^8+6*q ^9+。。。
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数学
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a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]^3/椭圆Theta[3,0，q^3]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（x）；如果（n<1，n==0，x=估值（n，2）；如果是（n%2，2，（1-3*（-1）^x））*3*sumdiv（n/2^x，d，kronecker（-3，d）））}；
（PARI）｛a（n）=my（a，p，e）；如果（n＜1，n＝0，a＝因子（n）；6*prod（k＝1，matsize（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p＝2，（1-3*（-1）^e）/2，p＝3，1，p%6==1，e+1，！（e%2）））｝；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*方向（p=2，n，如果（p==2，2-（1-2*X）/（1-X^2），1/（1-X）*（1-kronecker（-3，p）*X））））[n]）}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；波尔科夫（eta（x^2+a）^15*eta（x^3+a）^2*eta；
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma1（12），1），74）；A[1]+6*A[2]+12*A[3]+6*A[4]-6*A[5]/*迈克尔·索莫斯2015年5月20日*/
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A122860型
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| （1-phi（-q）^3/phi（-q^3））/6的q次幂展开，其中phi（）是Ramanujanθ函数。 |
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三
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1, -2, 1, 1, 0, -2, 2, -2, 1, 0, 0, 1, 2, -4, 0, 1, 0, -2, 2, 0, 2, 0, 0, -2, 1, -4, 1, 2, 0, 0, 2, -2, 0, 0, 0, 1, 2, -4, 2, 0, 0, -4, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 3, -2, 0, 2, 0, -2, 0, -4, 2, 0, 0, 0, 2, -4, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, -2, 2, -4, 1, 2, 0, -4, 2, 0, 1
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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参考文献
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Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第84页，等式（32.64）。
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链接
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配方奶粉
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（1+a（q）-2*a（q^2））/6=（1-b（q）^2/b（q^ 2）））/6的q次幂展开式，其中a（）、b（）是三次AGMθ函数。
（1-eta（q）^6*eta（q^6）/（eta（q^2）^3*eta）（q^3）^2））/6的q次幂展开。
莫比乌斯变换是周期6序列[1，-3，0，3，-1，0，…]。
a（n）是乘法的，a（2^e）=（3（-1）^e-1）/2，a（3^e）=1，a（p^e）=e+1，如果p==1（mod 6），a（p ^e）等于（1+（-1）μe）/2，如果p==5（mod 5）。
a（3*n）＝a（4*n）＝a（n）。a（6*n+5）=0。
通用公式：（1-乘积{k>0}（1+x^（3k））/（1+x^k）^3*（1-x^k）|3/。
通用公式：和{k>0}x^（3*k-2）/（1+x^。
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*和{k=1..m}a（k）=0-阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月23日
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例子
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G.f.=q-2*q^2+q^3+q^4-2*q^6+2*q^7-2*q^8+q^9+q^12+2*qq^13+。。。
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，0，-除数和[n，（-1）^（n/#）JacobiSymbol[-3，#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2015年2月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，-sumdiv（n，d，（-1）^（n/d）*kronecker（-3，d））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，（2+（-1）^d）*kronecker（-3，d）））}；
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；极系数（（1-eta（x+a）^6*eta（x^6+a）/（eta（x^2+a）^3*eta（x^3+a）^2））/6，n）}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，if（p==2，（1-2*X）/（1-X^2），1/（（1-X）*（1-kronecker（-3，p）*X））））[n]）}；
（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n<1，0，a=因子（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==2，（3*（-1）^e-1）/2，p==3，1，p%6==1，e+1，1-e%2））}；
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,多重
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作者
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经核准的
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