搜索： a111919-编号：a111919
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A000265号
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| 从n中删除2的所有因子；或n的最大奇除数；或n的奇数部分。
（原名M2222 N0881）
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656
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1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5, 11, 3, 13, 7, 15, 1, 17, 9, 19, 5, 21, 11, 23, 3, 25, 13, 27, 7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35, 9, 37, 19, 39, 5, 41, 21, 43, 11, 45, 23, 47, 3, 49, 25, 51, 13, 53, 27, 55, 7, 57, 29, 59, 15, 61, 31, 63, 1, 65, 33, 67, 17, 69, 35, 71, 9, 73, 37, 75, 19, 77
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,3
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评论
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连接线的斜率（o，a（o）），其中o=（2^k）（n-1）+1为2^k，（按设计）从（1，1）开始Josh Locker（joshlocker（AT）macfora.com），2004年4月17日
“顺序可以安排在表格中：
1
1 3 1
1 5 3 7 1
1 9 5 11 3 13 7 15 1
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31 1
每一个新行都是前一行，中间有奇数的延续。
这是一个分形序列。奇数元素表示奇数自然数。如果删除这些元素，则恢复原始序列-凯里·米切尔2005年12月7日
不难证明前2^n项的和是（4^n+2）/3-尼克·霍布森2005年1月14日
关于马可·马托西奇（Marco Matosic）评论中描述的表格表示：在他的绘图中，从第三行开始，行中的第一个项等于1（或者，行中最后一个项也等于1），并不是按照实际顺序，而是作为一个虚构的项添加到绘图中（为了对称）; 实际的A000265号（n） 可以认为是a（j，k）（其中j>=1是行号，k>=1为列下标），因此a（j、1）=1：
1
1 3
1 5 3 7
1 9 5 11 3 13 7 15
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31
等等。
每行的k和j之间的关系是1<=k<=2^（j-1）。在这个经过修正的表格表示法中，Marco的概念“每一新行都是前一行，中间穿插着奇数的延续”仍然成立。（结束）
此序列是截断三角形：
1, 1;
3, 1, 5;
3, 7, 1, 9;
5, 11, 3, 13, 7;
15, 1, 17, 9, 19, 5;
21, 11, 23, 3, 25, 13, 27;
7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35;
...
c（n）=（（n*（n+1）/2））/A069834号= 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 8, 8, 1, 1, ... 对于n>0。n*（n+1）/2是A069834号.（结束）
除了是乘法的，a（n）是一个强可除序列，即gcd（a（n，a（m））=a（gcd（n，m））对于n，m>=1。特别地，a（n）是一个可除序列：如果n除m，那么a（n”）除a（m）-彼得·巴拉2019年2月27日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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V.Daiev和J.L.Brown，问题H-81，纤维。夸脱。，6 (1968), 52.
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配方奶粉
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如果p=2，则与a（p^e）=1相乘，如果p>2，则与p^e相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
a（n）=Sum_{d除以n，并且d是奇数}phi（d）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年12月4日
通用公式：-x/（1-x）+和{k>=0}（2*x^（2^k）/-拉尔夫·斯蒂芬2003年9月5日
（a（k），a（2k），b（3k），…）=a（k）*（a（1）、a（2）、a一般来说，a（n*m）=a（n）*a（m）.-Josh Locker（jlocker（AT）mail.rochester.edu），2005年10月4日
Dirichlet g.f.：zeta（s-1）*（2^s-2）/（2^s-1）-拉尔夫·斯蒂芬2007年6月18日
a（n）=n/gcd（2^n，n）。（这也表明实际偏移为0，a（0）=0。）-彼得·卢什尼2009年11月14日
对于Z中的所有n，a（-n）=-a（n）-迈克尔·索莫斯2011年9月19日
a（（2*n-1）*2^p）=2*n-1，p>=0，n>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年2月5日
G.f.：G（0）/（1-2*x^2+x^4）-1/（1-x），其中G（k）=1+1/（1-x^（2^k）*（1-2**^（k+1））+x^/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月6日
素数p>2的a（2）=1和a（p）=p的完全乘法，即序列b（n）=a（n）*A008683号（n） 对于n>0，是a（n）的Dirichlet逆-沃纳·舒尔特2018年7月8日
外径：f（x）-f（x^2）-f。。。，其中F（x）=x/（1-x）^2是正整数的生成函数。
倒数的O.g.f.：和{n>=1}x^n/a（n）=L（x）+（1/2）*L（x^2）+（1/2）*L。。。，其中L（x）=对数（1/（1-x））。
求和{n>=1}x^n/a（n）=1/2*log（G（x）），其中G（x）=1+2*x+4*x^2+6*x^3+10*x^4+。。。是的o.g.fA000123号.（结束）
O.g.f.：Sum_｛n>=1｝phi（2*n-1）*x^（2*n-1）/（1-x^（2*n-1）），其中phi（n）是欧拉总函数A000010美元. -彼得·巴拉2019年3月22日
a（n）=和{d除以n}（-1）^（d+1）*phi（2*n/d）-彼得·巴拉2024年1月14日
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例子
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G.f.=x+x ^2+3*x ^3+x ^4+5*x ^5+3*x^6+7*x ^7+x ^8+9*x ^9+5*x^10+11*x ^11+。。。
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MAPLE公司
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A000265号：=程序（n）局部t1，d；t1:=1；对于从1乘2到n的d，如果n mod d=0，则t1:=d；fi；od；t1；结束：seq(A000265号（n） ，n=1..77）；
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数学
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a[n_Integer/；n>0]：=n/2^整数指数[n，2]；阵列[a，77]（*Josh Locker*）
a[n_]：=如果[n==0，0，n/2^整数指数[n，2]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月17日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000265=直到奇数（`div`2）
（方案）（定义(A000265号n） （让循环（（n n））（如果（奇数？n）n（循环（/n 2））））；；安蒂·卡图恩2017年4月15日
（Python）
来自未来进口部
当不是n%2时：
n//=2
（Java）
而（n%2==0）n>>=1；
返回n；
}
（朱莉娅）
使用整数序列
[OddPart（n）for n in 1:77]|>打印ln#彼得·卢什尼2021年9月25日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000004号,A000225号,A003602号,A003961号,A006516号,A006519号,A064989号,A069834号,A111929号,A111930型,A111918号,A111919号,A111920型,A111921号,A111922号,A111923号,A038502型,A065330号,A125650型,A209308型,A213671型,A220466型,A236999型,A242603型.
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关键词
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多重,非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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更多来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的条款，2000年3月14日
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状态
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经核准的
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A111918号
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| x（n）的分子=和{k=1..n}（（k的奇数部分）/（k^3））。 |
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1, 9, 89, 721, 18601, 2089, 103961, 832913, 68093153, 68347169, 8320810649, 8331482849, 1414167788681, 1416817979081, 1421435199689, 11373510649537, 3295255574810593, 366551352989977, 132591913780524097, 132652127531625601
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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x（n）=a（n）/A111919号（n） --->Pi*Pi/7=6*zeta（2）/7。
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参考文献
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G.Pólya和G.Szegõ，分析中的问题和定理II（施普林格1924年，1972年再版），第八部分，第1章，第。6、问题50。
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链接
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例子
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a（50）=429245027972423658635002176171233144054521，
A111919号(50) = 307330458857514095936081844184308729630720000:
x（50）=a（50）/A111919号（50）=1.39668…，x（50）*7/6=1.62946。。。。
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MAPLE公司
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S： =0:Res:=NULL:
对于k从1到25 do
S： =S+1/k^2/2^padic:-ordp（k，2）；
Res:=Res，数字（S）
日期：
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数学
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oddPart[n_]：=n/2^整数指数[n，2]；
x[n_]：=和[oddPart[k]/k^3，{k，1，n}]；
a[n_]：=分子[x[n]]；
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黄体脂酮素
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（Magma）val:=函数<n|n/2^估值（n，2）>；[分子（&+[val（k）/（k^3）：k in[1..n]]）：n in[1..20]]//马吕斯·A·伯蒂2020年1月13日
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A111930型
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| x（n）的分母=和{k=1..n}（（k的奇数部分）/（k^2））。 |
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6
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1, 4, 12, 48, 240, 240, 1680, 6720, 20160, 4032, 44352, 44352, 576576, 576576, 2882880, 11531520, 196035840, 196035840, 3724680960, 3724680960, 3724680960, 3724680960, 85667662080, 85667662080, 428338310400, 428338310400
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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参考文献
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G.Pólya和G.Szegő，分析I中的问题和定理（Springer 1924，1972年再版），第八部分，第一章，第二节。6、问题50。
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链接
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MAPLE公司
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映射（denom，ListTools:-PartialSums（[seq（1/k/2^padic:-ordp（k，2），k=1..100）]）：#罗伯特·伊斯雷尔2017年12月28日
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数学
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od[k_]：=k/2^整数指数[k，2]；
a[n_]：=和[od[k]/k^2，{k，1，n}]//分母；
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A111921号
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| x（n）的分母=和{k=1..n}（（k的奇数部分）/（k^4））。 |
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1, 16, 432, 6912, 864000, 864000, 296352000, 4741632000, 128024064000, 128024064000, 170400029184000, 170400029184000, 374368864117248000, 374368864117248000, 14974754564689920, 239596073035038720
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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参考文献
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G.Pólya和G.Szegõ，分析中的问题和定理II（施普林格1924年，1972年再版），第八部分，第1章，第。6、问题50。
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链接
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A111923号
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| x（n）=Sum_{k=1..n}（（k的奇数部分）/（k^5））的分母。 |
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1, 32, 2592, 82944, 51840000, 17280000, 41489280000, 1327656960000, 322620641280000, 322620641280000, 4723488808980480000, 4723488808980480000, 134907563873291489280000, 134907563873291489280000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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lim{n->infinity}x（n）=lim{n->infinity}A111922号（n） /a（n）=（Pi^4）/93=30*zeta（4）/31。
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参考文献
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G.Pólya和G.Szegõ，分析中的问题和定理II（施普林格1924年，1972年再版），第八部分，第1章，第。6、问题50。
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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经核准的
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