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A000041号 a(n)是n的分区数(分区数)。
(原名M0663 N0244)
+10
3606
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338, 44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
b+2c+3d+4e+…=的非负解的个数n和2c+3d+4e+…的非负解数-亨利·博托姆利2001年4月17日
a(n)也是对称群S_n中共轭类的数目(以及S_n的不可约表示的数目)。
此外,具有n+1个节点且高度最多为2的根树的数量。
与李代数gl(n)中幂零共轭类的数目序列一致。A006950型,A015128号这个序列一起覆盖了经典李代数A、B、C、D系列中的幂零共轭类亚历山大·埃拉什维利,2003年9月8日
阶p^n的不同阿贝尔群的数目,其中p是素数(该数与p无关)-Lekraj Beedassy公司2004年10月16日
n个顶点上不包含P3作为诱导子图的图的数量-华盛顿·邦菲姆2005年5月10日
展开1/f(x)的n阶导数时要添加的项数-托马斯·巴鲁切尔2005年11月7日
序列与对称群S_n的Molien级数展开一致,直到x^n.中的项-莫里斯·克雷格(towenaar(AT)optusnet.com.au),2006年10月30日
另外,x_1+x_2+x_3+…+的非负整数解的个数x_n=n,使得n>=x_1>=x_2>=x_3>=…>=x_n>=0,因为通过y_k=x_k-x_(k+1)>=0(其中0<k<n),我们得到y_1+2y_2+3y_3+…+2007年3月14日,(n-1)y_(n-1)+nx_n=n.-Werner Grundlingh(wgrundling(AT)gmail.com)
设P(z):=Sum_{j>=0}b_jz^j,b_0!=那么1/P(z)=Sum_{j>=0}c_j z^j,其中cj必须从无限三角系b_0c_0=1,b_0c_1+b_1c_0=0计算(系数的柯西积设为零)。第n个分区数是c_n表达式分子中的项数:倒幂级数的系数c_n是一个分母中含有b_0^(n+1)的分数,分子中含有n个系数b_i的(n)乘积。分区可以从b_i.-Peter C.Heinig(algorithms(AT)gmx.de)的索引中读取,2007年4月9日
a(n)是用n个台阶跑上楼梯的不同方式的数量,台阶大小为1、2、3。。。和r(r<=n),其中顺序并不重要,并且对所采取的每个步骤的数量或大小没有限制-穆罕默德·阿扎里安2008年5月21日
正整数序列p=p_1。。。p_k是正整数n的降序分区,如果p_1+…+p_k=n和p_1>=…>=p_k。如果正式需要,p_j=0被附加到p中,表示j>k。让p_n表示n>=1时这些分区的集合。然后a(n)=1+p_n}层中的总和{p((p_1-1)/(p_2+1))。(参见。A000065号,其中公式减少为总和。)Kelleher和O'Sullivan(2009)的证明。例如a(6)=1+0+0+0+0+1+0+0+1+1+0+1+2+5=11-彼得·卢什尼2010年10月24日
设n=总和(k_(p_m)p_m,=k_1+2k_2+5k_5+7k_7+。。。,其中pm是第m个广义五边形数(A001318号). 那么a(n)是(-1)^(k_5+k_7+k_22+…)(k_1+k_2+k_5+…)的所有五边形分区的和/(k_1!k_2!k_5!…),其中(-1)的指数是与均匀诱导GPN对应的所有k的总和-杰罗姆·马伦芬特2011年2月14日
发件人杰罗姆·马伦芬特2011年2月14日:(开始)
a(n)值的矩阵
a(0)
a(1)a(0)
a(2)a(1)a(0)
a(3)a(2)a(1)a(0)
....
a(n)a(n-1)a(n-2)。。。a(0)
是矩阵的逆
1
-1 1
-1 -1 1
0 -1 -1 1
....
-d_n-d(n-1)-d(n-2)-d_1 1
其中dq=(-1)^(m+1),如果q=m(3m-1)/2=第m个广义五边形数(A001318号),否则=0。(结束)
设k>0为整数,i_1,i_2。。。,i_k是不同的整数,因此1<=i_1<i_2<…<i_k。那么,等价地,a(n)等于n=n+i_1+i_2+…+的分区数i_k,其中每个i_j(1<=j<=k)至少作为一个部分出现一次。要看到这一点,请注意这个类中N的分区必须与N的分区一一对应,因为N-i_1-i_2-…-i_k=编号-L.埃德森·杰弗里2011年4月16日
a(n)是具有n+2个节点的所有自由树上的不同度序列数。取整数n的一个分区,每个部分加1,并根据需要加上任意多的1,使总数为2n+2。现在我们有了一个具有n+2个节点的树的度序列。示例:分区3+2+1=6对应于具有8个顶点的树的度序列{4,3,2,1,1,1,1}-杰弗里·克雷策2011年4月16日
a(n)是n!大小为n X n的排列矩阵-阿图尔·贾辛斯基2011年10月24日
推测:以偏移量1开始表示n的有序组合数,使用符号(++--++…)项A001318号启动(1、2、-5、-7、12、15…)-加里·亚当森,2013年4月4日(根据五边形数定理,乔格·阿恩特2013年4月8日)
a(n)也是对数(f(x))的n阶导数展开式中的项数。在Mathematica表示法中:表[Length[Together[f[x]^n*D[Log[f[x]],{x,n}]],}n,1,20}]-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月21日
猜想:没有a(n)的形式是x^m,m>1和x>1-孙志伟2013年12月2日
包含部分p的n分区是n-p的分区。因此,包含部分k*n的m*n-r分区的数量为A000041号(h*n-r),其中h=m-k>=0,n>=2,0<=r<n;看见A111295号作为一个例子-克拉克·金伯利2014年3月3日
a(n)是n组成避免模式[1,2]的正部分的数量-鲍勃·塞尔科2014年7月8日
猜想:对于任意j,存在k使得所有素数p<=A000040型(j) 是一个或多个a(n)<=a(k)的因子。这一覆盖范围的增长缓慢且不规则。k=1067覆盖了前102个素数,因此比A000027号. -理查德·福伯格2014年12月8日
a(n)是序保、序减和(序保和序减)内射变换半群中幂零共轭类的个数-Ugbene Ifeanyichukwu公司2015年6月3日
定义分段分区a(n,k,<s(1)。。s(j)>)是n的一个分区,其中n有k个部分,s(j。注意,n>=k,j<=k,0<=s(j)<=k、s(1)t(1)+…+s(j)t(j)=n和s(1)+…+s(j)=k。然后有最多a(k)个n的分段分区,正好有k个部分-格雷戈里·西蒙2015年11月8日
(结束)
发件人格雷戈里·西蒙2015年11月9日:(开始)
a(n,k,<s(1)。。。,s(j)>)具有j-1度。
如果n=0 mod k,则a(n,k,<k>)=1,否则=0
a(rn,rk,<r*s(1)。。。,r*s(j)>)=a(n,k,<s(1)。。。,s(j)>)
a(n奇数,k,<所有s(j)偶数>)=0
已建立的结果可以根据分段分区进行重新计算:
对于j(j+1)/2<=n<(j+1”)(j+2)/2,A000009号(n) =a(n,1,<1>)+…+a(n,j,<j 1’s>),j<n
a(n,k,<j 1’s>=a(n-j(j-1)/2,k)
(结束)
使用NIST Arb包计算a(10^20)。它有11140086260个数字,头和尾部分是18381765…88091448。请参阅Johansson 2015链接-斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年2月1日
满足本福德定律[Anderson-Rolen-Stoehr,2011]-N.J.A.斯隆2017年2月8日
配分函数p(n)对于所有n>25的函数都是对数曲线[DeSalvo-Pak,2014]-米歇尔·马库斯2019年4月30日
a(n)也是系数为Z/2的无限实Grassmannian的第n个上同调的维数-卢克·斯特霍沃,2021年6月6日
n个未标记节点上的等价关系数-洛伦佐·索拉斯(Lorenzo Sauras Altuzarra)2022年6月13日
等价地,从n个元素的集合X到其自身的幂等映射f的数目(即满足f o f=f)直到置换(即f ~ f’:<=>Sym(X)中有一个置换σ,使得f’oσ=σo f)-菲利普·图雷切克2023年4月17日
猜想:每个不同于6的整数n>2都可以写成形式为a(k)+2(k>0)的有限多个数的和,不需要求和除另一个数。对于n<=7140,已对此进行了验证-孙志伟2023年5月16日
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托马斯·维德,对A000041的评论
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配方奶粉
G.f.:产品{k>0}1/(1-x^k)=和{k>=0}x^k产品{i=1..k}1/。
广义函数:1+Sum_{n>=1}x^n/(乘积_{k>=n}1-x^k)-乔格·阿恩特2011年1月29日
a(n)-a(n-1)-a0,其中和在n-k上,k是广义五边形数(A001318号)<=n,第k项的符号为(-1)^([(k+1)/2])。请参见A001318号为了更好地记住这一点!
a(n)=(1/n)*求和{k=0..n-1}σ(n-k)*a(k),其中σ(k)是k的除数之和(A000203号).
a(n)~1/(4*n*sqrt(3))*e^(Pi*sqert(2n/3))作为n->infinity(Hardy和Ramanujan)。请参见A050811号.
a(n)=a(0)*b(n)+a(1)*b。。。其中b=A000009号.
发件人乔恩·肖恩菲尔德2014年8月17日:(开始)
哈代和拉马努扬的上述近似值似乎可以细化为
a(n)~1/(4*n*sqrt(3))*e^(Pi*sqert(2n/3+c0+c1/n^(1/2)+c2/n+c3/n^,其中系数c0到c4约为
c0=-0.230420145062453320665537
c1=-0.0178416569128570889793
c2=0.0051329911273
c3=-0.0011129404
c4=0.0009573,
作为n->无穷大。(结束)
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2016年5月29日(2016年11月7日添加c4):(开始)
c0=-0.23042014065062453320665536704197233…=-1/36-2/Pi^2
c1=-0.017841656912857088979502135349949…=1/(6*sqrt(6)*Pi)-sqrt(3/2)/Pi^3
c2=0.005132991127342167594576391633559…=1/(2*Pi^4)
c3=-0.00112940489559760908236602843497…=3*sqrt(3/2)/(4*Pi^5)-5/(16*sqert(6)*Pi^3)
c4=0.00095734328480697929589686949196…=1/(576*Pi^2)-1/(24*Pi^4)+93/(80*Pi^6)
a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3))/(4*sqert(3)*n)*(1-(平方(3/2)/Pi+Pi/(24*sqort(6)))/sqrt(n)+(1/16+Pi^2/6912)/n))。
a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3)-(平方(3/2)/Pi+Pi/(24*sqert(6)))/sqrt(n)+(1/24-3/(4*Pi^2))/n)/(4*平方(3)*n)。
(结束)
a(n)<exp(2/3)^(1/2)Pi sqrt(n))(阿尤布,第197页)。
G.f.:产品{m>=1}(1+x^m)^A001511号(m) -弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月26日
a(n)=Sum_{i=0..n-1}P(i,n-i),其中P(x,y)是x最多分成y部分的分区数,P(0,y)=1-乔恩·佩里,2003年6月16日
G.f.:产品{i>=1}产品{j>=0}(1+x^((2i-1)*2^j))^(j+1)-乔恩·佩里2004年6月6日
G.f.e^(和{k>0}(x^k/(1-x^k)/k))-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年2月8日
a(n)=A114099型(9*n)-莱因哈德·祖姆凯勒2006年2月15日
所有1序列的欧拉变换(A000012号). 的称重变换A001511号. -富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年3月15日
a(n)=A027187号(n)+A027193号(n)=A000701号(n)+A046682号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2006年4月22日
A026820号(a(n),n)=A134737号(n) 对于n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2007年11月7日
卷曲了A152537号给予A000079号,2的权力-加里·亚当森2008年12月6日
a(n)=A026820号(n,n);a(n)=A108949号(n)+A045931号(n)+A108950号(n)=A130780号(n)+A171966号(n)-A045931号(n)=A045931号(n)+A171967号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日
a(n)=Tr(n)/(24*n-1)=A183011号(n)/183010年(n) ,n>=1。请参阅链接中的Bruinier-Ono论文-奥马尔·波尔2011年1月23日
发件人杰罗姆·马伦芬特2011年2月14日:(开始)
a(n)=n X n Toeplitz矩阵的行列式:
1 -1
1 1 -1
0 1 1 -1
0 0 1 1 -1
-1 0 0 1 1 -1
. . .
dn(n-1)d_(n-2)。。。1
其中d_q=(-1)^(m+1)如果q=m(3m-1)/2=p_m,则第m个广义五边形数(A001318号),否则d_q=0。请注意,1沿着对角线运行,-1位于超对角线上。(n-1)行(未写入)将以…结尾。。。1 -1. (结束)
经验:设F*(x)=Sum_{n=0.无穷}p(n)*exp(-Pi*x*(n+1)),则F*(2/5)=1/sqrt(5),精度为13位。
F*(4/5)=1/2+3/2/sqrt(5)-sqrt(1/2*(1+3/sqrt)),精度为28位。当a/b为F60时,这些是a/b的唯一值,票价分数高达60。F*(4/5)的数字是25*x^4-50*x^3-10*x^2-10*x+1的实根之一。注意这里的指数(n+1)与从0开始的n的标准表示法相比-西蒙·普劳夫2011年2月23日
常数(2^(7/8)*GAMMA(3/4))/(exp(Pi/6)*Pi^(1/4))=1.0000034873……当在基exp(4*Pi)中展开时,将给出a(n)的前52项,n>0,所需精度为300位小数-西蒙·普劳夫2011年3月2日
a(n)=A035363号(2n)-奥马尔·波尔2009年11月20日
G.f.:A(x)=1+x/(G(0)-x);G(k)=1+x-x^(k+1)-x*(1-x^;(连分数欧拉类,1步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月25日
的卷积A010815号具有A000712号. -加里·亚当森2012年7月20日
G.f.:1+x*(1-G(0))/(1-x),其中G(k)=1-1/(1-x^(k+1))/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月22日
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1+x^(4*k+1)/((x^)(2*k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月16日
a(n)=24*spt(n)+12*n_2(n)-Tr(n)=24*A092269美元(n) +12个*A220908型(n)-A183011号(n) ,n>=1-奥马尔·波尔2013年2月17日
G.f.:1/(x;x)_{inf},其中(a;q)_k是q-Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
a(n)=A066186号(n) /n,n>=1-奥马尔·波尔2013年8月16日
发件人彼得·巴拉2013年12月23日:(开始)
a(n-1)=n}mu(k)所有分区中的k部分之和,其中mu(k)是算术Möbius函数(参见A008683号).
设P(2,n)表示n分成k>=2部分的划分集。那么P(2,n)}μ(k)中所有分区中的a(n-2)=-求和{部分k。
n*(a(n)-a(n-1))=P(2,n)}k中所有分区的和{部分k(参见A138880型).
设P(3,n)表示n分成k>=3部分的划分集。然后
a(n-3)=(1/2)*P(3,n)}φ(k)中所有分区的k部分之和,其中φ(kA000010号). 利用这个结果和关于phi函数平均阶的Mertens定理,我们可以找到配分函数的一个近似三项递推:a(n)~a(n-1)+a(n-2)+(Pi^2/(3*n)-1)*a(n-3)。例如,将a(47)=124754、a(48)=147273和a(49)=173525代入递推中,与真值a(50)=204226相比,近似值为a(50)~204252.48。(结束)
a(n)=和{k=1..n+1}(-1)^(n+1-k)*A000203号(k)*A002040号(n+1-k)-米尔恰·梅卡2014年2月27日
a(n)=A240690型(n)+240690美元(n+1),n>=1-奥马尔·波尔2015年3月16日
发件人加里·亚当森2015年6月22日:(开始)
偏移量为1的序列的生产矩阵为M,即以下形式的无限n x n矩阵:
a、 1、0、0、0,0。。。
b、 0,1,0,0。。。
c、 0、0、1、0、0。。。
d、 0,0,0,1,0。。。
.
.
……(a,b,c,d,…)是A080995号偏移量为1:(1,1,0,0,-1,0,-1,…)
a(n)是M^n的左上项。
这个运算等价于g.f.(1+x+2x^2+3x^3+5x^4+…)=1/(1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+…)。(结束)
G.f.:x^(1/24)/eta(对数(x)/(2 Pi i))-托马斯·巴鲁切尔2016年1月9日之后迈克尔·索莫斯(以理查德·德德金(Richard Dedekind)的名字命名)。
a(n)=和{k=-inf.+inf}(-1)^ka(n-k(3k-1)/2),a(0)=1,a(负)=0。该和可以被限制在从k=(1-sqrt(1-24n))/6到(1+sqrt(1-24n))/6的(有限)范围内,因为该范围之外的所有项都是零-乔斯·库特2016年6月1日
G.f.:(猜想)(r(x)*r(x^2)*r其中r(x)是A000009号: (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, ...). -加里·亚当森2016年9月18日;多伦·齐尔伯格今天观察到,“这是根据欧拉公式1/(1-z)=(1+z)*(1+z^2)*(1+z^4)*(1-z^8)*……”加里·亚当森2016年9月20日
a(n)~2*Pi*BesselI(3/2,sqrt(24*n-1)*Pi/6)/(24*n-1)^(3/4)-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月11日
G.f.:产品{k>=1}(1+x^k)/(1-x^(2*k))-伊利亚·古特科夫斯基2018年1月23日
a(n)=p(1,n),其中p(k,n)=p(k+1,n)+p-洛林·李2020年1月28日
和{n>=1}1/a(n)=A078506型. -阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月1日
和{n>=0}a(n)/2^n=A065446号. -阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月19日
发件人西蒙·普劳夫,2021年3月12日:(开始)
求和{n>=0}a(n)/exp(Pi*n)=2^(3/8)*Gamma(3/4)/(Pi^(1/4)*exp(Pi/24))。
求和{n>=0}a(n)/exp(2*Pi*n)=2^(1/2)*Gamma(3/4)/(Pi^(1/4)*exp(Pi/12))。
[由更正瓦茨拉夫·科特索维奇2023年5月12日](结束)
[这些是phi(exp(-Pi))的倒数(A259148型)和φ(exp(-2*Pi))(A259149号),其中phi(q)是Euler模函数。参见B.C.Berndt(RLN,第五卷,第326页),以及I.Mező,2013中的公式(13)和(14)-彼得·卢什尼2021年3月13日]
a(n)=A000009号(n)+A035363号(n)+A006477号(n) ●●●●-R.J.马塔尔2022年2月1日
a(n)=A008284号(2*n,n)也是将2n划分为n个部分的数量-瑞恩·布鲁克斯2022年6月11日
a(n)=A000700型(n)+A330644型(n) ●●●●-R.J.马塔尔2022年6月15日
a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3))/(4*n*sqort(3))*(1+Sum_{r>=1}w(r)/n^(r/2)),其中w(r(Pi/6)^(r-2*k)[Cormac O'Sullivan,2023,第2-3页]-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年3月15日
例子
a(5)=7,因为有7个5的分区,即:{1、1、1和1}、{2、1、1},{2、2、1}、{3、1、10}、}、2,2}、-鲍勃·塞尔科2014年7月8日
G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+5*x^4+7*x^5+11*x^6+15*x^7+22*x^8+。。。
G.f.=1/q+q^23+2*q^47+3*q^71+5*q^95+7*q^119+11*q^143+15*q^167+。。。
发件人格雷戈里·西蒙2015年11月8日:(开始)
n的分区中最多有a(4)=5个分段分区,正好有4个部分。它们是a(n,4,<4>)、a(n、4,<3,1>)、b(n,4,<2,2>)、c(n,4-,<2,1,1>)、d(n,4.,<1,1,1,1>)。
分区8、8、8和8在a(32,4,<4>)中计数。
分区9,9,9.5在a(32,4,<3,1>)中计数。
分区11,11,5,5在a(32,4,<2,2>)中计数。
分区13,13,5,1在a(32,4,<2,1,1>)中计数。
分区14,9,6,3在a(32,4,<1,1,1,1>)中计数。
a(n奇数,4,<2,2>)=0。
a(12,6,<2,2,2>)=a(6,3,<1,1,1>)=α(6-3,3)=α。单独的分区是3,3,2,2,1,1,1。
(结束)
MAPLE公司
A000041号:=n->组合:-numbpart(n):[seq(A000041号(n) ,n=0..50)];#警告:Maple 10和11在某些情况下给出了错误的答案:A110375号.
规范:=[B,{B=集合(集合(Z,卡>=1))},未标记];
[seq(combstruct[count](spec,size=n),n=0..50)];
with(combstruct):ZL0:=[S,{S=集合(循环(Z,卡>0))},未标记]:seq(计数(ZL0,大小=n),n=0..45)#泽因瓦利·拉霍斯2007年9月24日
G: ={P=Set(Set(Atom,card>0))}:combstruct[gfsolve](G,labeled,x);seq(combstruct[计数]([P,G,未标记],大小=i),i=0..45)#泽因瓦利·拉霍斯2007年12月16日
#使用函数EULER from Transforms(请参阅页面底部的链接)。
1,op(欧拉([seq(1,n=1..49)])#彼得·卢什尼2020年8月19日
数学
表[PartitionsP[n],{n,0,45}]
a[n_]:=级数系数[q^(1/24)/DedekindEta[Log[q]/(2 Pi I)],{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
a[n_]:=系列系数[1/乘积[1-x^k,{k,n}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
系数表[1/q赭锤[q]+O[q]^100,q](*Jean-François Alcover公司2015年11月25日*)
黄体脂酮素
(岩浆)a:=func<n|NumberOfPartitions(n)>;[0..10]]中的[a(n):n;
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff(1/eta(x+x*O(x^n)),n))};
(PARI)/*PARI中的Hardy Ramanujan Rademacher精确公式如下(由于现在已内置到numpart命令中,因此不再需要此公式):*/
Psi(n,q)=局部(a,b,c);a=平方(2/3)*Pi/q;b=n-1/24;c=平方英尺(b);(平方(q)/(2*sqrt(2)*b*Pi))*(a*cosh(a*c)-(sinh(a*c)/c))
L(n,q)=如果(q==1,1,sum(h=1,q-1,if(gcd(h,q)>1,0,cos((g(h,q)-2*h*n)*Pi/q))
g(h,q)=如果(q<3,0,总和(k=1,q-1,k*(压裂(h*k/q)-1/2))
部分(n)=圆形(总和(q=1,最大值(5,0.5*sqrt(n)),L(n,q)*Psi(n,q))
/*拉尔夫·斯蒂芬,2002年11月30日,由瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月9日*/
(PARI){a(n)=数字部分(n)};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(和(k=1,平方(n),x^k^2/prod(i=1,k,1-x^i,1+x*O(x^n))^2,1),n))};
(PARI)f(n)=my(v,i,k,s,t);v=矢量(n,k,0);v[n]=2;t=0;而(v[1]<n,i=2;而(v[i]==0,i++);v[i]--;s=总和(k=i,n,k*v[k]);而(i>1,i--;s+=i*(v[i]=(n-s)\i));t++);t吨\\托马斯·巴鲁切尔2005年11月7日
(PARI)a(n)=如果(n<0,0,polceoff(exp(总和(k=1,n,x^k/(1-x^k)/k,x*O(x^n)),n))\\乔格·阿恩特2010年4月16日
(MuPAD)组合::分区::count(i)$i=0..54//泽因瓦利·拉霍斯2007年4月16日
(弧垂)[范围(46)内n的分区数(n)]#泽因瓦利·拉霍斯2009年5月24日
(鼠尾草)
@缓存函数
定义A000041号(n) :
如果n==0:返回1
S=0;J=n-1;k=2
而0≤J:
T型=A000041号(J)
S=S+T,如果is_add(k//2),则为S-T
如果is_add(k)else为k//2,则J=k
k+=1
返回S
[A000041号(n) 对于范围(50)内的n#彼得·卢什尼2012年10月13日
(Sage)#使用[EulerTransform来自A166861号]
a=二进制递归序列(1,0)
b=欧拉变换(a)
打印([b(n)表示范围(50)内的n)]#彼得·卢什尼2020年11月11日
(哈斯克尔)
导入数据。MemoCombinators(memo2,整数)
a000041 n=a000041_列表!!n个
a000041_list=映射(p'1)[0..]其中
p'=memo2积分p
p _ 0=1
p k m=如果m<k,则0,否则p’k(m-k)+p’(k+1)m
--莱因哈德·祖姆凯勒2015年11月3日,2013年11月4日
(Maxima)num_partitions(60,列表)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/
(GAP)列表([1..10],n->大小(OrbitsDomain(SymmetricGroup(IsPermGroup,n),SymmetricGroup(IsPermGroup,n),^))#阿提拉·埃格里·纳吉2014年8月15日
(Perl)使用theory“:all”;my@p=map{partitions($_)}0..100;说“[@p]”#达娜·雅各布森2015年9月6日
(支架)
#朗球拍
; 总和(k,-inf,+inf)(-1)^k p(n-k(3k-1)/2)
; 对于范围之外的k(1-(sqrt(1-24n))/6到(1+sqrt(1-24n))/6)参数n-k(3k-1)/2<0。
; 因此,下面的循环是有限的。散列避免重复相同的计算。
(定义(pn);n个分区的数量。
(hash-ref h n
(λ ()
(定义r
(+
(让循环((k1)(n(sub1n))(s0))
(如果(<n 0)s
(环路(增加1k)(-n(*3k)1)(如果(奇数?k)(+s(pn))(-s(pn
(让循环((k-1)(n(-n2))(s 0))
(如果(<n 0)s
(环路(sub1k)(+n(*3k)-2)(如果(奇数?k)(+s(pn))(-s(pn
(哈希集!h n r)
r) ))
(定义h(生成哈希'((0.1)))
; (for((k(in-range 0 50)))(printf“~s,”(pk))很快就会运行。
;乔斯·库特2016年6月1日
(Python)
从sympy.theory导入分区
打印([范围(101)中i的分区(i)])#印地瑞尼Ghosh2017年3月17日
(Julia)#DedekindEta定义于A000594号
A000041列表(len)=DedekindEta(len,-1)
A000041列表(50)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
交叉参考
部分金额给出A000070型.
有关连续差异,请参见A002865号,A053445号,A072380型,A081094号,A081095号.
三角形的反对角和A092905号.a(n)=A054225号(n,0)。
Boutrophedon变换:A000733号,A000751号.
囊性纤维变性。A167376号(补语),A061260型(多集),A000700型(自我约束),A330644型(不是自我j)。
关键词
核心,容易的,非n,美好的,改变
作者
扩展
Ola Veshta(olaveshta(AT)my-deja.com)的补充评论,2001年2月28日
Dan Fux(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com)的附加评论,2001年4月7日
状态
经核准的
A045931号 具有相等数量奇偶部分的n个分区的数量。 +10
60
1、0、0、1、0、2、1、3、2、5、5、7、9、11、16、18、25、28、41、44、62、70、94、107、140、163、207、245、302、361、440、527、632、763、904、1090、1285、1544、1812、2173、2539、3031、3538、4202、4896、5793、6736、7934、9221、10811、12549、14661、16994、19780 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,6
评论
带有x标记重量(即部分之和)、t标记奇数部分数量和s标记偶数部分数量的三元g.f.为1/乘积((1-tx^(2j-1))(1-sx^-Emeric Deutsch公司2006年3月30日
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..3500时的n、a(n)表(前1001个术语来自David W.Wilson)
配方奶粉
G.f.:求和{k>=0}x ^(3*k)/产品{i=1..k}(1-x^(2*i))^2-弗拉德塔·乔沃维奇2007年8月18日
a(n)=A000041号(n)-A171967号(n)=A130780号(n)-A108950号(n)=A171966号(n)-A108949号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日
a(n)=A000041号(n)-108950英镑(n)-A108949号(n)=A130780号(n)+A171966号(n)-A000041号(n) ●●●●-古斯·怀斯曼2022年1月23日
例子
a(9)=5,因为我们有[8,1]、[7,2]、[6,3]、[5,4]和[2,2,2,1,1,1]。
发件人古斯·怀斯曼,2022年1月23日:(开始)
a(0)=1到a(12)=9个分区(a=10,用点表示的空列):
() . . 21 . 32 2211 43 3221 54 3322 65 4332
41 52 4211 63 4321 74 4431
61 72 4411 83 5322
81 5221 92 5421
222111 6211 A1 6321号
322211 6411
422111 7221
8211
22221111
(结束)
MAPLE公司
g: =1/乘积((1-t*x^(2*j-1))*(1-s*x^(2*j)),j=1..30):gser:=简化(系列(g,x=0,56)):P[0]:=1:对于从1到53的n do P[n]:=子(s=1/t,系数(gser,x^n))od:seq(系数(t*P[n',t),n=0..53)#Emeric Deutsch公司2006年3月30日
数学
p[n_]:=p[n]=选择[IntegerPartitions[n],计数[#,_?OddQ]==计数[#、_?EvenQ]&];t=表[p[n],{n,0,10}](*n的分区与#奇数部分=#偶数部分*)
TableForm[t](*分区,垂直格式*)
表[长度[p[n]],{n,0,30}](*A045931号*)
(*彼得·J·C·摩西2014年3月10日*)
交叉参考
{1..n}的子集的版本是A001405号.
主导者A027187号(等长分区)。
更多奇数/偶数部分:A108950号/A108949号.
奇数/偶数零件的数量更多或相同:A130780号/A171966号.
严格的情况是A239241型.
这是三角形的k=0列A240009型.
只计算不同的部分A241638型,排名依据A325700型.
半共轭版本是A277579号.
这些分区按A325698.
A000041号计数整数分区,严格A000009号.
A047993号计数平衡分区,按106529英镑.
A257991型/A257992型用亨氏数计数奇偶部分。
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A171966号 n的奇数部分不超过偶数部分的分区数。 +10
42
1, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 15, 21, 28, 37, 49, 63, 83, 105, 138, 171, 223, 275, 353, 433, 551, 673, 846, 1031, 1282, 1558, 1922, 2327, 2848, 3440, 4179, 5032, 6078, 7293, 8763, 10482, 12534, 14943, 17797, 21146, 25090, 29719, 35138, 41493, 48908, 57578 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
评论
a(n)=A108949号(n)+A045931号(n)=A000041号(n)-A108950号(n) ●●●●。
a(n)=总和{k=-楼层(n/2)+(n模块2)..0}A240009型(n,k)-阿洛伊斯·海因茨2014年3月30日
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..1000时的n,a(n)表
MAPLE公司
b: =proc(n,i,t)选项记忆`如果`(n=0,
`如果`(t<=0,1,0),`如果`(i<1,0,b(n,i-1,t)+
`如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))
结束时间:
a: =n->b(n$2,0):
seq(a(n),n=0..80)#阿洛伊斯·海因茨2014年3月30日
数学
$RecursionLimit=1000;b[n_,i_,t_]:=b[n,i,t]=如果[n==0,如果[t<=0,1,0],如果[i<1,0,b[n、i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1)]];a[n]:=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*Jean-François Alcover公司2015年6月30日之后阿洛伊斯·海因茨*)
交叉参考
囊性纤维变性。A130780号,A171967号,A240009型.
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A130780号 n的分区数,使得奇数部分的数量大于或等于偶数部分的数目。 +10
39
1, 1, 1, 3, 3, 6, 8, 12, 16, 23, 32, 42, 58, 75, 102, 131, 173, 220, 288, 363, 466, 587, 743, 929, 1164, 1448, 1797, 2224, 2738, 3368, 4122, 5042, 6133, 7466, 9035, 10941, 13184, 15888, 19064, 22876, 27343 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
a(n)=A108950号(n)+A045931号(n)=A000041号(n)-A108949号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日
a(n)=和{k=0..n}A240009型(n,k)-阿洛伊斯·海因茨2014年3月30日
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..1000时的n,a(n)表
配方奶粉
G.f.:求和{k>=0}x^k/产品{i=1..k}(1-x^(2*i))^2。
例子
a(5)=6,因为我们有5,41,32311211和11111(221不符合条件)。
MAPLE公司
g: =总和(x^k/(乘积((1-x^(2*i))^2,i=1..k)),k=0..50):gser:=系列(g,x=0,50):seq(系数(gser,x,n),n=1.40)#Emeric Deutsch公司2007年8月24日
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,i,t)选项记忆`如果`(n=0,
`如果`(t>=0,1,0),`如果`(i<1,0,b(n,i-1,t)+
`如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))
结束时间:
a: =n->b(n$2,0):
seq(a(n),n=0..80)#阿洛伊斯·海因茨2014年3月30日
数学
$RecursionLimit=1000;b[n_,i_,t_]:=b[n,i,t]=如果[n==0,如果[t>=0,1,0],如果[i<1,0,b[n、i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1)]];a[n]:=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*Jean-François Alcover公司2015年5月12日,之后阿洛伊斯·海因茨*)
opgQ[n_]:=模块[{len=Length[n],op},op=Length[Select[n,OddQ]];op>=len-op];表[Count[Integer Partitions[n],_?(opgQ)],{n,0,50}](*哈维·P·戴尔,2021年12月12日*)
交叉参考
囊性纤维变性。A045931号,A108949号,A108950号.
囊性纤维变性。A171966号,A171967号. -莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日
关键词
容易的,非n
作者
扩展
更多术语来自Emeric Deutsch公司2007年8月24日
状态
经核准的
A240009型 n的分区数T(n,k),其中k是奇数部分数与偶数部分数之差;三角形T(n,k),n>=0,-楼层(n/2)+(n mod 2)<=k<=n,按行读取。 +10
27
1、1、1、0、0、1、1、1、0、1、1、1、0、1、1、2、1、1、1、0、1、1、1、1、1、2、1、1、2、3、2、2、2、1、1、1、1、2、2、2、4、3、2、1、1、1、1、2、2、1、0、1、2、4、5、3、4、2、2、1、1、1、2、3、3,5,7,5,4,4,2,1,1,0,1,2,4,7,7,6,8,6,4,4,2,1,0,1 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,19
评论
T(n,k)=T(n+k,-k)。
求和{k=-楼层(n/2)+(n模2)..-1}T(n,k)=A108949号(n) ●●●●。
求和{k=-楼层(n/2)+(n模2)..0}T(n,k)=A171966号(n) ●●●●。
和{k=1..n}T(n,k)=A108950号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)=A130780号(n) ●●●●。
和{k=-1..1}T(n,k)=A239835型(n) ●●●●。
和{k<>0}T(n,k)=A171967号(n) ●●●●。
温度(n,-1)+T(n,1)=A239833型(n) ●●●●。
求和{k=-楼层(n/2)+(n模2)..n}k*T(n,k)=A209423型(n) ●●●●。
求和{k=-楼层(n/2)+(n模2)..n}(-1)^k*T(n,k)=A081362号(n) =(-1)^n*A000700型(n) ●●●●。
链接
阿洛伊斯·海因茨,行n=0..120,扁平
配方奶粉
G.f.:1/prod(n>=1,1-e(n)*q^n)=1+总和(n>=1,e(n;参见Pari程序。[乔格·阿恩特2014年3月31日]
例子
T(5,-1)=1:[2,2,1]。
T(5,0)=2:[4,1],[3,2]。
T(5,1)=1:[5]。
T(5,2)=1:[2,1,1]。
T(5,3)=1:[3,1,1]。
T(5,5)=1:[1,1,1,1]。
三角形T(n,k)开始于:
:n\k:-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
+-----+----------------------------------------------------
: 0 : 1;
: 1 : 1;
:2:1,0,0,1;
: 3 : 1, 1, 0, 1;
: 4 : 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1;
: 5 : 1, 2, 1, 1, 1, 0, 1;
: 6 : 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
: 7 : 1, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
: 8 : 1, 1, 2, 2, 2, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
: 9 : 1, 2, 4, 5, 3, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
: 10 : 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 5, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
MAPLE公司
b: =proc(n,i)选项记忆`如果`(n=0,1,`如果`(i<1,0,
展开(b(n,i-1)+`if`(i>n,0,b(n-i,i)*x^(2*irem(i,2)-1)))
结束时间:
T: =n->(p->seq(系数(p,x,i),i=l度(p)。。度(p))(b(n$2)):
seq(T(n),n=0..14);
数学
b[n_,i_]:=b[n,i]=如果[n==0,1,如果[i<1,0,b[n、i-1]+如果[i>n,0,b[n-i,i]*x^(2*Mod[i,2]-1)]];T[n]:=(度=指数[b[n,n],x];ldegree=-指数[b[n,n]/.x->1/x,x]);表[系数[b[n],x,i],{i,ldegree,degree}]);表[T[n],{n,0,14}]//扁平(*Jean-François Alcover公司,2015年1月6日,翻译自枫叶*)
黄体脂酮素
(PARI)N=20;q='q+O('q^N);
e(n)=如果(n%2!=0,u,1/u);
gf=1/prod(n=1,n,1-e(n)*q^n);
V=Vec(gf);
{对于(j=1,#V,\\打印三角形,包括前导零
对于(i=0,N-j,打印1(“”));\\衬垫
对于(i=-j+1,j-1,print1(polceoff(V[j],i,u),“,”);
打印();
); }
/*乔格·阿恩特2014年3月31日*/
交叉参考
行总和给出A000041号.
T(2n,n)给出A002865号.
T(4n,2n)给出A182746号.
T(4n+2,2n+1)给出A182747号.
行长度给出A016777号(地板(n/2))。
囊性纤维变性。A240021型(将分区划分为不同的部分也是如此),A242618型(对于无多重性计数的部件也是如此)。
囊性纤维变性。A000700型,A081362号,A209423型.
关键词
非n,标签
作者
阿洛伊斯·海因茨2014年3月30日
状态
经核准的
A349157型 整数分区的Heinz数,其中偶数部分的数量等于奇数共轭部分的数量。 +10
27
1, 4, 6, 15, 16, 21, 24, 25, 35, 60, 64, 77, 84, 90, 91, 96, 100, 121, 126, 140, 143, 150, 210, 221, 240, 247, 256, 289, 297, 308, 323, 336, 351, 360, 364, 375, 384, 400, 437, 462, 484, 490, 495, 504, 525, 529, 546, 551, 560, 572, 585, 600, 625, 667, 686, 726 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
分区的Heinz数(y_1,…,y_k)是质数(y_1)**素数(yk),所以这些数的偶数素数指数与奇数共轭素数指数相同。
这些分区的偶数部分的数量等于各部分的正交替和。
链接
配方奶粉
A257992型(a(n))=A257991型(A122111号(a(n)))。
例子
术语及其基本指数开始于:
1: ()
4: (1,1)
6: (2,1)
15: (3,2)
16: (1,1,1,1)
21: (4,2)
24: (2,1,1,1)
25: (3,3)
35: (4,3)
60: (3,2,1,1)
64: (1,1,1,1,1,1)
77: (5,4)
84: (4,2,1,1)
90: (3,2,2,1)
91: (6,4)
96: (2,1,1,1,1,1)
数学
素数MS[n_]:=如果[n==1,{},扁平[Cases[FactorInteger[n],{p_,k_}:>表[PrimePi[p],{k}]]];
conf[y_]:=如果[Length[y]==0,y,表[Length[Select[y,#>=k&]],{k,1,Max[y]}];
选择[Range[100],Count[primeMS[#],_?EvenQ]==计数[conf[primeMS[#]],_?奇数Q]&]
交叉参考
的子集A028260型(甚至是bigomega),按A027187号.
这些分区按A277579号.
这是半共轭的A325698,计算依据A045931号.
A000041号计数分区,严格A000009号.
A047993号计数平衡分区,按A106529号.
A056239号将素数指数、行和相加A112798号,计算依据A001222号.
A100824号计数最多有一个奇数部分的分区,按A349150型.
A108950号/A108949号统计包含更多奇偶部分的分区。
A122111号表示使用Heinz数的共轭。
A130780号/A171966号计算奇偶部分多于或等于的分区数。
A257991型/A257992型计算奇偶素数指数。
316524英镑给出了素数指数的交替总和(相反:A344616飞机).
关键词
非n
作者
古斯·怀斯曼2022年1月21日
状态
经核准的
A098123号 偶数和奇数部分数量相等的n的组成数。 +10
16
1、0、0、2、0、4、6、6、24、28、60、130、190、432、770、1386、2856、5056、9828、18918、34908、68132、128502、244090、470646、890628、1709136、3271866、6238986、11986288、22925630、43932906、84349336、161625288、310404768、596009494 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..1000时的n,a(n)表
配方奶粉
a(n)=总和{k=楼层(n/3)..楼层(n/2)}C(2*n-4*k,n-2*k)*C(n-1-k,2*n-4*k-1)。
递归:n*(2*n-7)*a(n)=2*(n-2)*(2xn-5)*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月1日
a(n)~sqrt(c)*d^n/sqrt(Pi*n),其中d=1.94696532840456026081823863…是方程式1-4*d^2+d^4=0的根,c=0.22563290820392765554898545739…是方程式43*c^4-18*c^2+8*c^1=0的根子-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月1日
例子
发件人古斯·怀斯曼,2022年6月26日:(开始)
a(0)=1到a(7)=6组分(用点表示的空列):
() . . (12) . (14) (1122) (16)
(21) (23) (1212) (25)
(32) (1221) (34)
(41) (2112) (43)
(2121)(52)
(2211) (61)
(结束)
数学
表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n],Count[#,_?EvenQ]==Count[#,_?OddQ]&]],{n,0,15}](*古斯·怀斯曼2022年6月26日*)
交叉参考
对于分区:A045931号,排名依据A325698,严格A239241型(联合A352129型).
第k列=第0列,共列242498英镑.
无多重性:A242821号,用于分区A241638型(排名依据A325700型).
这些成分按A355321型.
A047993号计数平衡分区,按A106529号.
A108950号/A108949号统计包含更多奇偶部分的分区。
A130780号/A171966号计算包含更多或相同数量奇偶部分的分区。
关键词
容易的,非n
作者
状态
经核准的
A108949号 n的分区数,偶数部分多于奇数部分。 +10
13
0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 3, 6, 7, 10, 14, 19, 26, 33, 45, 58, 77, 97, 127, 161, 205, 259, 326, 411, 510, 639, 786, 980, 1197, 1482, 1800, 2216, 2677, 3275, 3942, 4793, 5749, 6951, 8309, 9995, 11912, 14259, 16944, 20194, 23926, 28402, 33559, 39687, 46767, 55120, 64780, 76110, 89222 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..1000时的n,a(n)表
B.Kim、E.Kim和J.Lovejoy,分区中的奇偶校验偏差《欧洲联合杂志》,第89卷(2020年),第103159页,第19页。
配方奶粉
a(n)=A171966号(n)-A045931号(n)=A171967号(n)-A108950号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日
a(n)=总和{k=-楼层(n/2)+(n模块2)..-1}A240009型(n,k)-阿洛伊斯·海因茨2014年3月30日
通用公式:(乘积{k>=1}1/(1-x^(2*k-1)))*Sum_{n>=1}q^(2*n^2)*(1-q^))/Product_{k=1..n}(1-qqu(2*k))^2-杰里米·洛夫乔伊,2021年1月12日
例子
a(6)=3:{[6],[4,2],[2,2,2]};a(7)=3:{[4,2,1],[3,2,2],[2,2,2]}。
MAPLE公司
with(组合,分区):
evnbigrodd:=进程(n::nonnegint)
本地偶数、奇数、大数、部分、i、j;
大计数:=0;
分区:=分区(n);
对于i从1到nops(分区)do
偶数:=0;
奇数:=0;
对于从1到nops的j(分区[i])do
如果(op(j,partitions[i])mod 2<>0),则
oddcount:=oddcount+1
fi;
如果(op(j,partitions[i])mod 2=0),则
偶数:=偶数+1
fi(菲涅耳)
od;
如果(偶数>奇数),则
bigcount:=bigcount+1
fi(菲涅耳)
od;
返回(bigcount)
终末程序;
seq(evnbigrod(i),i=1..42);
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,i,t)选项记忆`如果`(n=0,
`如果`(t<0,1,0),`如果`(i<1,0,b(n,i-1,t)+
`如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))
结束时间:
a: =n->b(n$2,0):
seq(a(n),n=0..80)#阿洛伊斯·海因茨2014年3月30日
数学
p[n_]:=p[n]=选择[IntegerPartitions[n],计数[#,_?OddQ]==计数[#、_?EvenQ]&];t=表[p[n],{n,0,10}](*n的分区与#奇数部分=#偶数部分*)
TableForm[t](*分区,垂直格式*)
表[长度[p[n]],{n,0,30}](*A045931号*)
(*彼得·J·C·摩西2014年3月10日*)
b[n_,i_,t_]:=b[n,i,t]=如果[n==0,如果[t<0,1,0],如果[i<1,0,b[n、i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1)]];a[n]:=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*Jean-François Alcover公司2015年11月2日,之后阿洛伊斯·海因茨*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)={nb=0;对于零件(p=n,nb+=(2*#(选择(x->x%2,向量(p))););nb;}\\米歇尔·马库斯2015年11月2日
交叉参考
囊性纤维变性。A045931号对于#偶数部分=#奇数部分,A108950号对于#偶数部分<#奇数部分。
囊性纤维变性。A171966号,A130780号. -莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日
关键词
非n
作者
伦·斯迈利2005年7月21日
扩展
更多术语来自乔格·阿恩特2012年10月4日
状态
经核准的
A171967号 n的分区数,奇数和偶数部分数目不同。 +10
8
0、1、2、2、5、5、10、12、20、25、37、49、68、90、119、158、206、269、344、446、565、722、908、1148、1435、1795、2229、2765、3416、4204、5164、6315、7717、9380、11406、13793、16692、20093、24203、29012、34799、41552、49636、59059、70279、83341、98822 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
a(n)=A000041号(n)-A045931号(n)=A108949号(n)+A108950号(n) ●●●●。
a(n)=和{k<>0}A240009型(n,k)-阿洛伊斯·海因茨2014年3月30日
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..3500时的n,a(n)表
MAPLE公司
b: =proc(n,i,t)选项记忆`如果`(n=0,
`如果`(t<>0,1,0),`如果`(i<1,0,b(n,i-1,t)+
`如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))
结束时间:
a: =n->b(n$2,0):
seq(a(n),n=0..80)#阿洛伊斯·海因茨2014年3月30日
数学
$RecursionLimit=1000;b[n_,i_,t_]:=b[n,i,t]=如果[n==0,如果[t!=0,1,0],如果[i<1,0,b[n、i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1)]];a[n]:=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*Jean-François Alcover公司2015年6月30日之后阿洛伊斯·海因茨*)
交叉参考
囊性纤维变性。A130780号,A171966号.
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A338860型 n的奇数部分多于偶数部分的分区数超过n的奇偶部分多于奇数部分的划分数。 +10
1
0, 1, 0, 2, 1, 3, 4, 6, 8, 11, 17, 21, 30, 38, 53, 68, 90, 115, 150, 192, 243, 312, 390, 496, 613, 775, 951, 1193, 1456, 1810, 2200, 2715, 3285, 4026, 4856, 5909, 7106, 8595, 10301, 12394, 14809, 17728, 21118, 25171, 29891, 35489, 42018, 49702, 58678, 69180 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..2000时的n,a(n)表
B.Kim、E.Kim和J.Lovejoy,分区中的奇偶校验偏差《欧洲联合杂志》,第89卷(2020年),第103159页,第19页。
配方奶粉
通用公式:(乘积{k>=1}1/(1-x^(2*k-1)))*Sum_{n>=1}q^(2*n^2-n)*(1-q^n)/Product_{k=1..n}(1-qqu(2*k))^2。
a(n)=A108950号(n)-108949年(n) ●●●●。
例子
奇数部分多于奇数部分的4的3个分区是[3,1]、[2,1,1]和[1,1,1],而奇数部分较多的4的2个分区则是[4]和[2,2]。因此a(4)=3-2=1。
MAPLE公司
b: =proc(n,i,t)选项记忆`如果`(n=0,符号(t),`如果`(i<1,0,
b(n,i-1,t)+b(n-i,min(n-i、i),t+(2*irem(i,2)-1))
结束时间:
a: =n->b(n$2,0):
seq(a(n),n=0..55)#阿洛伊斯·海因茨2021年1月14日
数学
b[n_,i_,t_]:=b[n,i,t]=如果[n==0,符号[t],如果[i<1,0,
b[n,i-1,t]+b[n-i,最小值[n-i、i],t+(2*Mod[i,2]-1)]];
a[n]:=b[n,n,0];
表[a[n],{n,0,55}](*Jean-François Alcover公司2022年9月9日之后阿洛伊斯·海因茨*)
黄体脂酮素
(PARI)表示(n=0,43,my(me=0,mo=0);对于部分(v=n,my(x=Vec(v),se=sum(k=1,#x,x[k]%2==0),so=sum;me+=(se>so);mo+=(so>se));打印1(mo-me,“,”)\\雨果·普福尔特纳2021年1月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A108949号,A108950号.
关键词
非n
作者
杰里米·洛夫乔伊,2021年1月12日
状态
经核准的
第页12

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