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A000041号 a(n)是n的分区数(分区数)。
(原M0663 N0244)
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1、1、2、3、5、7、11、15、22、30、42、56、77、101、135、176、231、297、385、490、627、792、1002、1255、1575、1958、2436、3010、3718、4565、5604、6842、8349、10143、12310、14883、17977、21637、26015、31185、37338、44583、53174、63261、75175、89134、105558、124754、147273、173525 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

同时给出了b+2c+3d+4e+的非负解的个数。。。=n和2c+3d+4e+的非负解的个数。。。<=n-亨利·巴特利2001年4月17日

a(n)也是对称群Sˉn中共轭类的数目(以及Sˉn的不可约表示数)。

也就是有n+1个节点且高度不超过2的有根树的数目。

与李代数gl(n)中幂零共轭类的数序列一致。A006950型,A015128号这个序列共同覆盖了李代数经典A,B,C,D级数的幂零共轭类。-Alexander Elashvili,2003年9月8日

a(n)=a(0)b(n)+a(1)b(n-2)+a(2)b(n-4)+。。。其中b=A000009号.

p^n阶的不同交换群的个数,其中p是素数(这个数与p无关)。-莱克莱·比达西2004年10月16日

n个顶点上不包含P3作为诱导子图的图的数目。-华盛顿博菲姆2005年5月10日

展开1/f(x)的n阶导数时要添加的项数。-托马斯·巴鲁切尔2005年11月7日

a(n)=A114099号(9*n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年2月15日

序列与对称群S峈n的Molien级数的展开一致,直到x^n.-Maurice D.Craig(townaar(AT)optusnet.com.au),2006年10月30日

同时给出了x_1+x_2+x_3+的非负整数解的个数。。。+x_n=n使得n>=x_1>=x_2>=x_3>=。。。>=x\u n>=0,因为通过让y_k=x_k-x_x(k+1)>=0(其中0<k<n),我们得到y_1+2y_2+3y_3+。。。+(n-1)y_u(n-1)+nx_n=n.-Werner Grundlingh(wgrundlingh(AT)gmail.com),2007年3月14日

设P(z):=和{j>=0}b_j z^j,b_0!=0。然后1/P(z)=和{j>=0}c_j z^j,其中c_j必须从无限三角形系统b_0 c_0=1,b_0 c_1+b_1 c_0=0等(系数设为0的柯西积)计算。第n个分位数是c_n表达式的分子项的个数:倒数幂级数的系数c u n是分母为b_0^(n+1)的分数,其分子具有n个系数b_i的(n)乘积。分区可以从b峎i.-Peter C.Heinig(algorithms(AT)gmx.de)的索引中读取,2007年4月9日

A026820型(a(n),n)=甲134737(n) n>0时。-莱因哈德·祖姆凯勒2007年11月7日

行和等于三角形邮编:A137683. -加里·W·亚当森2008年2月5日

a(n)=用n个台阶爬上楼梯的不同方式的数量,步骤大小为1、2、3。。。和r(r<=n),其中顺序不重要,并且对每一步的数量或大小没有限制。-穆罕默德阿扎里安2008年5月21日

等于三角形的特征向量A145006年分划数的特征三角形的行和,A145007年. -加里·W·亚当森2008年9月28日

从偏移量1开始=反转(1,1,0,0,-1,0,-1,…),其中A080995型,特征函数A001318型{1..u1,等于1,…..infA145006年^n作为向量。(1,1,0,0,-1,…)的逆变变换开始(1,2,…),然后对于每个连续的运算,我们取(1,1,0,0,-1,…)的点积和我们系列(1,2,3,5,7,…)的进行中的结果,然后将结果添加到(1,1,0,0,-1,…)中的下一项。1*0,加上1*0(1,1,1,0)=1*0(1,1,1,0)=1*0(1,1,1,0)=1*0。-加里·W·亚当森2008年10月5日

卷积A147843号=A000203型以零开头:(0,1,3,4,7,…)。-加里·W·亚当森2008年11月15日

等于一个无限卷积积积(1,1,1,…)(1,0,1,0,1,…)(1,0,0,1,0,1,…)(1,0,0,0,0,1,…)…;=a*b*c*…;其中a=(1/(1-x)),b=(1/(1-x^2)),c=(1/(1-x^3)),等等。按行排列的数组:行1=a,行2=a*b,行3=a*b*c,…;给出:

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。。。=(a)

1,1,2,2,3,3,4,4,5,5。。。=(a*b)

1,1,2,3,4,5,7,8,10,11。。。=*a*c

1,1,2,3,4,5,6,9,11,17。。。=*b*c

1,5,5,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5,5,1,5,1,5,5,1,5,5,1,5,5,1,5,5,1,5,1,5,5。。。=(a*b*c*d*e)

1,1,2,3,5,7,11,14,20,25。。。=(a*b*c*d*e*f)

1,1,2,3,5,7,11,15,21,27。。。=(a*b*c*d*e*f*g)

1,1,2,3,5,7,11,15,22,28。。。=(a*b*c*d*e*f*g*h)

1,1,2,3,5,7,11,15,22,29。。。=(a*b*c*d*e*f*g*h*i)

  ... 排成一排A000041号. 分割三角形A058398号=对角线上升。分隔三角形A008284号逆转A058398号. -加里·W·亚当森2009年6月12日

从偏移量1开始=三角形的行和邮编:A168532. -加里·W·亚当森2009年11月28日

a(n)=A026820型(n,n);a(n)=A108949号(牛)+A045931号(牛)+A108950号(n)=A130780号(牛)+A171966年(n)-A045931号(n)=A045931号(牛)+A171967年(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

^5 x(2+5)x(2+5)x(1+5)x(x+3),

和A(x)=(1+x+3x^2+4x^3+10x^4+13x^5+…),

A(x^2)=(1+x^2+3x^4+4x^6+10x^8+…),其中A092119号=(1,1,3,4,10,…)=标尺序列的欧拉变换,A001511号. -加里·W·亚当森2010年2月11日

等于三角形的行和A173304型. -加里·W·亚当森2010年2月15日

p(x)=A(x)*A(x^2),A(x)=A174065型;p(x)=B(x)*B(x^3),B(x)=A174068号. 等于三角形的行和A174066号A174067号. -加里·W·亚当森2010年3月6日

三角形A113685号等于p(x)=p(x^2)*A000009号(x) 一。三角形邮编:A176202等于p(x)=p(x^3)*A000726号(x) 一。-加里·W·亚当森2010年4月11日

一系列正整数p=p_1。。。如果pˉ1+。。。+p_k=n和p_1>=。。。>=p_k。如果形式上需要p_j=0,则将p_j=0加到p上,表示某个n>=1的这些分区集。然后a(n)=1+和{p在p_n}层((p_1-1)/(p_2+1))。(参见。A000065号凯莱赫和奥沙利文(2009)的证明。例如a(6)=1+0+0+0+1+0+0+1+1+2+5=11。-彼得·卢什尼2010年10月24日

设n=和(k_u(p_m)p_m)=k_1+2 k_2+5 k_5+7 k_7+…,其中p_m是第m个广义五边形数(A001318型). 那么a(n)是所有这些五角形分区的总和,它是(-1)^(k_5+k_7+k_22+…)(k_1+k_2+k_5+…)!/(k逖1!2号!k九5!…),其中(-1)的指数是与偶数索引的GPN相对应的所有k的和-杰罗姆·马林凡特2011年2月14日

a(n)值的矩阵

(一)

0(一)

a(2)a(1)a(0)

a(3)a(2)a(1)a(0)

  ....

a(n)a(n-1)a(n-2)。。。a(0)

是矩阵的倒数

1

-11个

-1-11

0-1-1 1

  ....

-天哪-天-天-天-天-天-天。。。-第11集

广义的m-2 m=1/m(A001318型),否则为0。-杰罗姆·马林凡特2011年2月14日

等于三角形的行和A187566号. -加里·W·亚当森2011年3月21日

设k>0是一个整数,设i_1,i_2,…,i u k是不同的整数,使得1<=i_1<i_2<。。。那么,等价地,a(n)等于n=n+i\u 1+i\u 2+的分区数。。。+其中每个i(1<=j<=k)至少作为一个部件出现一次。要看到这一点,请注意这个类的N的分区必须与N的分区1:1对应,因为N-i_1-i_2-。。。-我k=n-五十、 杰弗里2011年4月16日

把n+2的节点数加在1+2的序列上,这样我们就可以把n+2的节点数加起来,具有8个顶点的树的2,1,1,1,1}。-杰弗里·克里特2011年4月16日

a(n)是n个不同特征多项式的个数!排列矩阵的大小为n×n-雅辛斯基2011年10月24日

以+--A001318型开始(1,2,-5,-7,12,15…)。-加里·W·亚当森,2013年4月4日(根据五边形数定理,乔尔阿恩特2013年4月8日)

a(n)也是对数(f(x)的n阶导数展开式中的项数。在数学中,表示法:表[长度[合[f[x]^n*D[Log[f[x]],{x,n}]]],{n,1,20}]。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月21日

猜想:没有a(n)具有m>1和x>1的x^m形式。-孙志伟2013年12月2日

包含p部分的n的分区是n-p的分区,因此m*n-r中包含k*n作为一部分的分区数为A000041号(h*n-r),其中h=m-k>=0,n>=2,0<=r<n;参见A111295号举个例子-克拉克·金伯利2014年3月3日

a(n)是n的正部分的组成数,避免了模式[1,2]。-鲍勃塞尔科2014年7月8日

猜想:对于任何j都存在k,使得所有素数p都存在<=A000040号(j) 是一个或多个a(n)<=a(k)的因子。这一覆盖率增长缓慢且不规则。k=1067覆盖了前102个素数,因此比A000027号. -理查德·R·福伯格2014年12月8日

a(n)是保序、降序和(保序与降序)内射变换半群中幂零共轭类的个数。-伊凡尼亚伊夫伊楚乌2015年6月3日

定义一个分段分区a(n,k,<s(1)…s(j)>为n的一个分区,其中s(j)部分t(j)彼此相同且与所有其他部分不同。注意n>=k,j<=k,0<=s(j)<=k,s(1)t(1)+。。。+s(j)t(j)=n和s(1)+。。。+s(j)=k,则n的至多有一个(k)分段分区,其中正好有k个部分。-格雷戈里·L·西梅2015年11月8日

(结束)

格雷戈里·L·西梅2015年11月9日:(开始)

a(n,k,<s(1),…,s(j)>的多项式具有j-1次。

a(n,k,<k>)=1,如果n=0模k,则=0

a(rn,rk,<r*s(1),…,r*s(j)>=a(n,k,<s(1),…,s(j)>)

a(n奇数,k,<all s(j)偶>)=0

可以根据分段分区重新计算已建立的结果:

对于j(j+1)/2<=n<(j+1)(j+2)/2,A000009号(n) =a(n,1,<1>)+。。。+a(n,j,<j 1's>),j<n

a(n,k,<j 1 s>=a(n-j(j-1)/2,k)

(结束)

a(10^20)是使用NIST Arb软件包计算的。它有11140086260个数字,它的头和尾部分是18381765…88091448。参见Johansson 2015链接。-斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年2月1日

满足本福德定律[Anderson Rolen Stoehr,2011]。-N、 斯隆2017年2月8日

所有n>25的配分函数p(n)为对数凹面[DeSalvo-Pak,2014]。-米歇尔·马库斯2019年4月30日

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“核心”序列的索引项

相关分区计数序列的索引项

乘积{k>=1}(1-x^k)^m展开的索引项

与根树相关的序列的索引项

与Benford定律有关的序列的索引项

公式

G、 f.:乘积{k>0}1/(1-x^k)=和{k>=0}x^k乘积{i=1..k}1/(1-x^i)=1+和{k>0}x^(k^2)/(乘积{i=1..k}(1-x^i))^2。

G、 f.:1+和{n>=1}x^n/(乘积{k>=n}1-x^k)。-乔尔阿恩特2011年1月29日

a(n)-a(n-1)-a(n-2)+a(n-5)+a(n-7)-a(n-12)-a(n-15)+。。。=0,其中和在n-k上,k是广义五边形数(A001318型)<=n且第k项的符号为(-1)^([(k+1)/2])。看到了吗A001318型为了一个好的方法来记住这一点!

a(n)=(1/n)*和{k=0..n-1}西格玛(n-k)*a(k),其中sigma(k)是k的除数之和(A000203型).

a(n)~1/(4*n*sqrt(3))*e^(Pi*sqrt(2n/3))表示为n->infinity(Hardy和Ramanujan)。看到了吗A050811号.

乔恩·肖恩菲尔德2014年8月17日:(开始)

从哈代和拉马努詹看来,上述近似值可以提炼为

a(n)~1/(4*n*sqrt(3))*e^(Pi*sqrt(2n/3+c0+c1/n^(1/2)+c2/n+c3/n^(3/2)+c4/n^2+…),其中系数c0到c4约为

c0=-0.230420145062453320665537

c1=-0.0178416569128570889793

c2=0.00513291273

c3=-0.0011129404

c4=0.0009573,

作为n->无穷大。(结束)

瓦茨拉夫·科特索维奇,2016年5月29日(c4于2016年11月7日添加):(开始)

c0=-0.230420145062453320665536704197233。。。=-1/36-2/π^2

c1=-0.01784165691285708897950135349949。。。=1/(6*sqrt(6)*Pi)-sqrt(3/2)/Pi^3

c2=0.005132991127342167594576391633559。。。=1/(2*Pi^4)

c3=-0.001112940489559760908236602843497。。。=3*sqrt(3/2)/(4*Pi^5)-5/(16*sqrt(6)*Pi^3)

c4=0.000957343284806972958968694349196。。。=1/(576*Pi^2)-1/(24*Pi^4)+93/(80*Pi^6)

a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3))/(4*sqrt(3*n)*(1-(sqrt(3/2)/Pi+Pi/(24*sqrt(6))/sqrt(n)+(1/16+Pi^2/6912)/n)。

a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3)-(sqrt(3/2)/Pi+Pi/(24*sqrt(6)))/sqrt(n)+(1/24-3/(4*Pi^2))/n)/(4*sqrt(3)*n)。

(结束)

a(n)<exp((2/3)^(1/2)Pi sqrt(n))(阿尤布,第197页)。

G、 f.:产品(1+x^m)^A001511号(m) ;m=1..inf-弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月26日

a(n)=和{i=0..n-1}P(i,n-i),其中P(x,y)是x最多分成y部分的数目,P(0,y)=1。-乔恩·佩里2003年6月16日

G、 f.:积{i>=1}积{j>=0}(1+x^((2i-1)*2^j))^(j+1)。-乔恩·佩里2004年6月6日

G、 f.e^(和{k>0}(x^k/(1-x^k)/k))。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年2月8日

全1序列的欧拉变换(A000012号). 称重变换A001511号. -富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年3月15日

a(n)=A027187型(牛)+A027193号(n)=A000701号(牛)+682号A0462(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年4月22日

卷曲A152537号给予A000079号,2的幂次。-加里·W·亚当森2008年12月6日

a(n)=Tr(n)/(24*n-1)=A183011号(n)/A183010型(n) ,n>=1。请参阅链接中的Bruinier Ono论文。-奥马尔·E·波尔2011年1月23日

杰罗姆·马林凡特2011年2月14日:(开始)

a(n)=n X n Toeplitz矩阵的行列式:

1-1个

11-1号

0 1 1-1

0 0 1 1-1

-10 0 1 1-1

   . . .

天哪,天哪,天哪,天哪

式中dΒq=(-1)^(m+1),如果q=m(3m-1)/2=pˉm,则第m个广义五边形数(A001318型),否则d_q=0。注意,1沿着对角线运行,而-1在超对角线上。(n-1)行(未写入)将以。。。1-1。(结束)

经验:设F*(x)=和{n=0..infinity}p(n)*exp(-Pi*x*(n+1)),然后F*(2/5)=1/sqrt(5),精确到13位数。

F*(4/5)=1/2+3/2/sqrt(5)-sqrt(1/2*(1+3/sqrt(5)),精度为28位。当a/b从F60到60时,这些是a/b的唯一值。F*(4/5)的数是25*x^4-50*x^3-10*x^2-10*x+1的实根之一。注意这里的指数(n+1)与标准符号n从0开始比较。-西蒙·普劳夫2011年2月23日

常数(2^(7/8)*伽马(3/4))/(exp(Pi/6)*Pi^(1/4))=1.0000034873。。。当在baseexp(4*Pi)中展开时,将给出a(n)的前52项,n>0,所需精度为300个十进制数字。-西蒙·普劳夫2011年3月2日

a(n)=A035363号(2号)。-奥马尔·E·波尔2009年11月20日

G、 f.:A(x)=1+x/(G(0)-x;G(k)=1+x-x^(k+1)-x*(1-x^(k+1))/G(k+1);(连分式欧拉类,1步)。-谢尔盖·格拉德科维2012年1月25日

卷积A010815型具有A000712号. -加里·W·亚当森2012年7月20日

G、 f.:1+x*(1-G(0))/(1-x),其中G(k)=1-1/(1-x^(k+1))/(1-x/(x-1/G(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月22日

G、 f.:Q(0),其中Q(k)=1+x^(4*k+1)/((x^(2*k+1)-1)^2-x^(4*k+3)*(x^(2*k+1)-1)^2/(x^(4*k+3)+(x^(2*k+2)-1)^2/Q(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月16日

a(n)=24*spt(n)+12*n_2(n)-Tr(n)=24*A092269号(n) +12岁*A220908年(n)-A183011号(n) ,n>=1。-奥马尔·E·波尔2013年2月17日

G、 f.:1/(x;x){inf}其中(a;q)_k是q-Pochhammer符号。-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2013年4月24日

a(n)=A066186号(n) /n,n>=1。-奥马尔·E·波尔2013年8月16日

彼得·巴拉2013年12月23日:(开始)

a(n-1)=n}mu(k)所有分区的和{部分k),其中mu(k)是算术Möbius函数(参见A008683号).

设P(2,n)表示n到k>=2的部分的划分集。然后a(n-2)=-Sum{P(2,n)}mu(k)中所有分区的k部分。

n*(a(n)-a(n-1))=P(2,n)}k中所有分区的k部分之和(参见邮编:A138880).

设P(3,n)表示n到k>=3的部分的划分集。那么

a(n-3)=(1/2)*和{P(3,n)}phi(k)中所有分区的k部分,其中phi(k)是Euler-toient函数(参见A000010号). 利用这个结果和关于phi函数平均阶的Merten定理,我们可以找到配分函数的一个近似3项递推:a(n)~a(n-1)+(n-2)+(Pi^2/(3*n)-1)*a(n-3)。(a)将147(a,a)的近似值(a)取为(a)的近似值。。。与真值a(50)=204226相比。(结束)

a(n)=和{k=1..n+1}(-1)^(n+1-k)*A000203型(k)*A002040(n+1-k)。-米尔恰梅尔卡2014年2月27日

a(n)=A240690型(牛)+A240690型(n+1),n>=1。-奥马尔·E·波尔2015年3月16日

加里·W·亚当森2015年6月22日:(开始)

偏移量为1的序列的乘积矩阵为M,为以下形式的无穷n x n矩阵:

a,1,0,0,0,0。。。

b,0,1,0,0,0。。。

c,0,0,1,0,0。。。

d,0,0,0,1,0。。。

.

.

... 因此(a,b,c,d,…)是的签名版本A080995型偏移量:(1,0,-1,…)

a(n)是M^n的左上项。

此操作相当于g.f.(1+x+2x^2+3x^3+5x^4+…)=1/(1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+…)。(结束)

G、 f.:x^(1/24)/eta(对数(x)/(2πi))。-托马斯·巴鲁切尔2016年1月9日,之后迈克尔·索莫斯(在理查德·德德金德之后)。

a(n)=和{k=-inf..+inf}(-1)^ka(n-k(3k-1)/2),其中a(0)=1,a(负)=0。和可以限制在(有限)范围内,从k=(1-sqrt(1-24n))/6到(1+sqrt(1-24n))/6,因为这个范围之外的所有项都是零。-乔斯库特2016年6月1日

G、 f.:(猜想)(r(x)*r(x^2)*r(x^4)*r(x^8)*…),其中r(x)是A000009号:(1,1,1,2,2,3,4,…)。-加里·W·亚当森2016年9月18日;多伦·齐尔伯格今天我们注意到“这直接来自欧拉公式1/(1-z)=(1+z)*(1+z^2)*(1+z^4)*(1+z^8)*…”加里·W·亚当森2016年9月20日

a(n)~2*Pi*BesselI(3/2,sqrt(24*n-1)*Pi/6)/(24*n-1)^(3/4)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月11日

G、 f.:乘积{k>=1}(1+x^k)/(1-x^(2*k))。-伊利亚·古特科夫斯基2018年1月23日

a(n)=p(1,n),其中p(k,n)=p(k+1,n)+p(k,n-k),如果k<n,则为1;如果k>n,则为0。p(k,n)是将n分成大于等于k的部分的数目-李洛琳2020年1月28日

和{n>=1}1/a(n)=A078506号. -阿米拉姆埃尔达2020年11月1日

例子

a(5)=7,因为5有7个分区,即:{1,1,1,1},{2,1,1,1},{2,2,1},{3,1,1},{3,2},{4,1},{5}。-鲍勃塞尔科2014年7月8日

G、 f.=1+x+2*x^2+3*x^3+5*x^4+7*x^5+11*x^6+15*x^7+22*x^8+。。。

G、 f.=1/q+q^23+2*q^47+3*q^71+5*q^95+7*q^119+11*q^143+15*q^167+。。。

格雷戈里·L·西梅2015年11月8日:(开始)

n的分区中有多达a(4)=5个分段分区,正好有4个部分。它们是a(n,4,<4>),a(n,4,<3,1>),a(n,4,<2,2>),a(n,4,<2,1,1>),a(n,4,<1,1,1>)。

分区8,8,8,8在(32,4,<4>中计数。

分区9,9,9,5在a(32,4,<3,1>中计数)。

分区11,11,5,5在a(32,4,<2,2>中计数)。

分区13,13,5,1在a(32,4,<2,1,1>中计数)。

分区14,9,6,3以a(32,4,<1,1,1,1>)计算。

a(n奇数,4,<2,2>)=0。

a(12,6,<2,2,2>)=a(6,3,<1,1,1>)=a(6-3,3)=a(3,3)=1。单独的分区是3,3,2,2,1,1。

(结束)

枫木

A000041号:=n->组合:-numbpart(n):[顺序(A000041号(n) ,n=0..50);#警告:Maple 10和11在某些情况下给出了错误的答案:A110375号.

规范:=[B,{B=Set(Set(Z,card>=1))},未标记];

[顺序(组合结构[计数](规格,尺寸=n),n=0..50)];

带(combstruct):ZL0:=[S,{S=Set(Cycle(Z,card>0))},未标记]:seq(count(ZL0,size=n),n=0..45)#泽伦瓦拉乔斯2007年9月24日

G: ={P=Set(Set(Atom,card>0))}:combstruct[gfsolve](G,labeled,x);seq(combstruct[count]([P,G,unlabeled],size=i),i=0..45)#泽伦瓦拉乔斯2007年12月16日

#使用函数EULER from Transforms(参见页面底部的链接)。

1,op(欧拉([顺序(1,n=1..49)]))#彼得·卢什尼2020年8月19日

数学

表[PartitionsP[n],{n,0,45}]

a[n_x]:=系列系数[q^(1/24)/DedekindEta[Log[q]/(2pi I)],{q,0,n}](*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)

a[n_u]:=系列系数[1/产品[1-x^k,{k,n}],{x,0,n}](*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)

[QQ,系数[q](*让·弗朗索瓦2015年11月25日*)

黄体脂酮素

(岩浆)a:=func<n |分区数(n)>;[a(n):n in[0..10]];

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(1/eta(x+x*O(x^n)),n))};

(PARI)/*PARI中Hardy Ramanujan Rademacher的精确公式如下所示(不再需要,因为它现在已内置到numbpart命令中):*/

Psi(n,q)=局部(a,b,c);a=sqrt(2/3)*Pi/q;b=n-1/24;c=sqrt(b);(sqrt(q)/(2*sqrt(2)*b*Pi))*(a*cosh(a*c)-(sinh(a*c)/c))

L(n,q)=如果(q==1,1,和(h=1,q-1,如果(gcd(h,q)>1,0,cos((g(h,q)-2*h*n)*Pi/q)))

g(h,q)=如果(q<3,0,和(k=1,q-1,k*(分形(h*k/q)-1/2)))

部分(n)=圆形(总和(q=1,max(5,0.5*sqrt(n)),L(n,q)*Psi(n,q)))

/*斯蒂芬拉兰2002年11月30日,修复人瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月9日*/

(PARI){a(n)=numberpart(n)};

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(sum(k=1,sqrtint(n),x^k^2/prod(i=1,k,1-x^i,1+x*O(x^n))^2,1),n))};

(PARI)f(n)=我的(v,i,k,s,t);v=向量(n,k,0);v[n]=2;t=0;while(v[1]<n,i=2;while(v[i]==0,i++);v[i]--;s=和(k=i,n,k*v[k]);而(i>1,i--;s+=i*(v[i]=(n-s)\i));t++);t\\托马斯·巴鲁切尔2005年11月7日

(PARI)a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(exp(和(k=1,n,x^k/(1-x^k)/k,x*O(x^n)),n))\\乔尔阿恩特2010年4月16日

(MuPAD)combinat::partitions::count(i)$i=0..54//泽伦瓦拉乔斯2007年4月16日

(Sage)[范围(46)中n的_分区数(n)]#泽伦瓦拉乔斯2009年5月24日

(圣人)

@缓存函数

定义A000041号(n) 公司名称:

如果n==0:返回1

S=0;J=n-1;k=2

当0<=J时:

T=A000041号(J)

S=S+T如果是_奇数(k//2),否则S-T

J-=k如果是_奇(k)else k//2

k+=1

返回S

[A000041号(n) 对于范围(50)]#彼得·卢什尼2012年10月13日

(Sage)使用[EulerTransform from邮编:A166861]

a=二进制递归序列(1,0)

b=欧拉变换(a)

打印([b(n)表示范围(50)内的n)#彼得·卢什尼2020年11月11日

(哈斯克尔)

导入Data.MemoCombinators(memo2,integral)

a000041 n=a000041_列表!!n

a000041_list=map(p'1)[0..]其中

p'=memo2积分p

p?0=1

p k m=如果m<k,则0其他p'k(m-k)+p'(k+1)m

--莱因哈德·祖姆凯勒,2015年11月3日,2013年11月4日

(Maxima)num_分区(60,列表)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/

(GAP)列表([1..10],n->Size(OrbitsDomain(SymmetricGroup(IsPermGroup,n),SymmetricGroup(IsPermGroup,n),\ ^))#阿提拉·埃格里·纳吉2014年8月15日

(Perl)使用ntheory“:all”;my@p=map{partitions($\u0)}0..100;说“[@p]”#达娜·雅各布森2015年9月6日

(球拍)

#浪拍

;和(k,-inf,+inf)(-1)^k p(n-k(3k-1)/2)

;对于超出范围(1-(sqrt(1-24n))/6到(1+sqrt(1-24n))/6的k,参数n-k(3k-1)/2<0。

;因此下面的循环是有限的。哈希避免了重复的相同计算。

(定义(pn);n个分区的个数。

(散列参考h n

  (λ ()

(定义r

    (+

(让循环((k1)(n(sub1n))(s0))

(如果(<n 0)s

(回路(add1 k)(-n(*3 k)1)(如果(奇数?k) (+s(pn))(-s(pn)))))

(让循环((k-1)(n(-n2))(s0))

(如果(<n 0)s

(回路(子1 k)(+n(*3 k)-2)(如果(奇数?k) (+s(pn))(-s(pn)))))))

(哈希集!h n r)

r)))

(define h(make hash'((0。1) ))

;(for((k(在0.50范围内))(printf“~s,(pk)))马上运行。

;乔斯库特2016年6月1日

(蟒蛇)

从sympy.ntheory导入npartitions

打印([npartitions(i)for i in range(101)])#印度教2017年3月17日

(Julia)DedekindEta的定义见A000594号

A000041列表(长度)=DedekindEta(长度,-1)

A000041列表(50)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日

交叉引用

囊性纤维变性。A000009号,A000079号,A000203型,A001318型,A008284号,A078506号,A113685号,A132311号,A145006年,A145007年,A147843号,A152537号,邮编:A168532,邮编:A173238,A173239号,邮编:A173241,A173304型,A174065型,A174066号,A174068号,邮编:A176202.

连续差异见A002865号,A053445号,A072380型,A081094型,A081095型.

三角形的反对角和A092905号. a(n)=A054225(n,0)。

布氏变换:A000733号,A000751号.

囊性纤维变性。A167376号(补充),A061260型(多集)。

关键字

核心,容易的,,美好的,改变

作者

N、 斯隆

扩展

来自olaveshta的补充评论(olaveshta(AT)my deja.com),2001年2月28日

来自Dan Fux(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com)的其他评论,2001年4月7日

状态

经核准的

A240009号 n的分区数T(n,k),其中k是奇数部分数与偶数部分数之差;三角形T(n,k),n>=0,-floor(n/2)+(n mod 2)<=k<=n,按行读取。 +10个
24
1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、2、2、2、4、4、3、2、2、2、2、2、2、2、2、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1 5,7,5,4,4,2,2,1,1,0,1,1,2,4,7,7,6,8,6,4,2,1,1,0,1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,19

评论

T(n,k)=T(n+k,-k)。

和{k=-floor(n/2)+(n mod 2)…-1}T(n,k)=A108949号(n) 一。

和{k=-楼层(n/2)+(n mod 2)…0}T(n,k)=A171966年(n) 一。

和{k=1..n}T(n,k)=A108950号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)=A130780号(n) 一。

和{k=-1..1}T(n,k)=邮编:A239835(n) 一。

和{k<>0}T(n,k)=A171967年(n) 一。

T(n,-1)+T(n,1)=邮编:A239833(n) 一。

和{k=-楼层(n/2)+(n mod 2)…n}k*T(n,k)=A209423号(n) 一。

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,行n=0..120,展平

公式

G、 f.:1/prod(n>=1,1-e(n)*q^n)=1+和(n>=1,e(n)*q^n/prod(k=1..n,1-e(k)*q^k),其中e(n)=u,如果n为奇数,则为1/u;参见Pari程序。[乔尔阿恩特2014年3月31日]

例子

T(5,-1)=1:[2,2,1]。

T(5,0)=2:[4,1],[3,2]。

T(5,1)=1:[5]。

T(5,2)=1:[2,1,1,1]。

T(5,3)=1:[3,1,1]。

T(5,5)=1:[1,1,1,1,1]。

三角形T(n,k)开始于:

:n\k:-5-4-3-2-1 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

+-----+----------------------------------------------------

:0:1;

:1:1;

:2:1,0,0,1;

:3:1,1,0,1;

:4:1,1,0,1,1,0,1;

:5:1,2,1,1,1,0,1;

:6:1,1,1,1,2,2,1,1,0,1;

:7:1,2,3,2,2,2,1,1,0,1;

:8:1,1,2,2,2,4,3,2,2,1,1,0,1;

:9:1、2、4、5、3、4、4、2、2、1、1、0、1;

:10:1,1,2,3,3,5,7,5,4,2,2,1,1,0,1;

枫木

b: =proc(n,i)选项记住;`if`(n=0,1,`if`(i<1,0,

展开(b(n,i-1)+`if`(i>n,0,b(n-i,i)*x^(2*irem(i,2)-1))))

结束:

T: =n->(p->seq(系数(p,x,i),i=l绿色(p)…度(p))(b(n$2)):

序号(T(n),n=0..14);

数学

b[n_U,i_U]:=b[n,i]=如果[n==0,1,如果[i<1,0,b[n,i-1]+如果[i>n,0,b[n-i,i]*x^(2*Mod[i,2]-1]]];T[n_u]:=(度=指数[b[n,n],x];ldegree=-指数[b[n,n]/。x->1/x,x];表[系数[b[n,n],x,i],{i,ldegree,degree}]);Table[T[n],{n,0,14}]//展平(*让·弗朗索瓦,2015年1月6日,译自Maple*)

黄体脂酮素

(PARI)N=20;q='q+O('q^N);

e(n)=如果(n%2!=0,u,1/u);

gf=1/产品(n=1,n,1-e(n)*q^n);

V=Vec(gf);

{for(j=1,#V,\\打印三角形,包括前导零

对于(i=0,N-j,print1(“”);\\padding

对于(i=-j+1,j-1,print1(波尔科夫(V[j],i,u),“,”);

print();

); }

/*乔尔阿恩特2014年3月31日*/

交叉引用

k=(-1)-10列给出:甲239832,A045931号,A240010型,A240011型,A240012型,A240013型,A240014型,A240015型,A240016型,A240017型,A240018型,A240019型.

行总和给出A000041号.

T(2n,n)给出A002865号.

T(4n,2n)给出邮编:A182746.

T(4n+2,2n+1)给出邮编:A182747.

行长度给出A016777号(楼层(n/2))。

囊性纤维变性。A240021型(对于不同部分的划分也是一样),A242618号(对于没有多重性计数的零件也是如此)。

囊性纤维变性。A209423号.

关键字

,塔夫

作者

海因茨2014年3月30日

状态

经核准的

A045931号 偶数和奇数相等的n的划分数。 +10个
21
1,0,0,1,0,2,1,3,2,5,5,7,9,11,16,18,25,28,41,44,62,70,94,107,140,163,207,245,302,361,440,527,632,763,904,1090,1285,1544,1812,2173,2539,3031,3538,4202,4896,5793,6736,7934,9221,10811,12549,14661,16994,19780 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,6

评论

具有x标记重量(即零件和)、奇数零件的t标记数和偶数零件的s标记数的三元g.f.为1/积((1-tx^(2j-1))(1-sx^(2j)),j=1..无穷大)。-德国金刚砂2006年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..3500时的n,a(n)表(前1001学期作者:大卫·W·威尔逊)

公式

G、 f.:和{k>=0}x^(3*k)/乘积{i=1..k}(1-x^(2*i))^2。-弗拉德塔·乔沃维奇2007年8月18日

a(n)=A000041号(n)-A171967年(n)=A130780号(n)-A108950号(n)=A171966年(n)-A108949号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

例子

a(9)=5,因为我们有[8,1]、[7,2]、[6,3]、[5,4]和[2,2,2,1,1,1]。

枫木

g: =1/产品((1-t*x^(2*j-1))*(1-s*x^(2*j)),j=1..30):gser:=简化(系列(g,x=0,56)):P[0]:=1:对于n从1到53 do P[n]:=subs(s=1/t,coeff(gser,x^n))od:seq(coeff(t*P[n],t),n=0..53)#德国金刚砂2006年3月30日

数学

p[n_35;:=p[n]=选择[IntegerPartitions[n],Count[#,\u?OddQ]==计数?EvenQ]&];t=Table[p[n],{n,0,10}](*n的分区,其中#奇数部分=#偶数部分*)

(*t格式,垂直分区)

表[长度[p[n]],{n,0,30}](*A045931号*)

(*彼得·J·C·摩西2014年3月10日*)

交叉引用

第k列=0,共A240009号.

关键字

作者

大卫·W·威尔逊

状态

经核准的

A130780号 n的分区数,奇数部分的数目大于或等于偶数部分的数目。 +10个
15
1、1、1、3、3、6、8、12、16、23、32、42、58、75、102、131、173、220、288、363、466、587、743、929、1164、1448、1797、2224、2738、3368、4122、5042、6133、7466、9035、10941、13184、15888、19064、22876、27343 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

a(n)=A108950号(牛)+A045931号(n)=A000041号(n)-A108949号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

a(n)=和{k=0..n}A240009号(n,k)。-海因茨2014年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..500时的n,a(n)表

公式

G、 f.:和{k>=0}x^k/乘积{i=1..k}(1-x^(2*i))^2。

例子

a(5)=6,因为我们有5,41,32311211和11111(221不符合条件)。

枫木

g: =和(x^k/(乘积((1-x^(2*i))^2,i=1..k)),k=0..50):gser:=系列(g,x=0,50):seq(coeff(gser,x,n),n=1..40)#德国金刚砂2007年8月24日

#第二个枫树计划:

b: =proc(n,i,t)选项记住;`if`(n=0,

如果`(t>=0,1,0),`if`(i<1,0,b(n,i-1,t)+

如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))))

结束:

a: =n->b(n$2,0):

顺序(a(n),n=0..80)#海因茨2014年3月30日

数学

$RecursionLimit=1000;b[n,i_u,tü]:=b[n,i,t]=如果[n==0,如果[t>=0,1,0],如果[i<1,0,b[n,i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1]]]];a[n_u]:=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*让·弗朗索瓦2015年5月12日,之后海因茨*)

交叉引用

囊性纤维变性。A0931年,A108949号,A108950号.

囊性纤维变性。A171966年,A171967年. -莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

关键字

容易的,

作者

弗拉德塔·乔沃维奇2007年8月19日

扩展

更多条款来自德国金刚砂2007年8月24日

状态

经核准的

A171966年 n的奇偶部分不多于偶数部分的划分数。 +10个
14
1,0,1,1,2,3,4,6,8,12,15,21,28,37,49,63,83,105,138,171,223,275,353,433,551,673,846,1031,1282,1558,1922,2327,2848,3440,4179,5032,6078,7293,8763,10482,12534,14943,17797,21146,25090,29719,35138,41493,48908,57578 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,5个

评论

a(n)=A108949号(牛)+A045931号(n)=A000041号(n)-A108950号(n) 一。

a(n)=和{k=-floor(n/2)+(n mod 2)…0}A240009号(n,k)。-海因茨2014年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..500时的n,a(n)表

枫木

b: =proc(n,i,t)选项记住;`if`(n=0,

如果`(t<=0,1,0),`if`(i<1,0,b(n,i-1,t)+

如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))))

结束:

a: =n->b(n$2,0):

顺序(a(n),n=0..80)#海因茨2014年3月30日

数学

$RecursionLimit=1000;b[n,i_u,tü]:=b[n,i,t]=If[n==0,If[t<=0,1,0],如果[i<1,0,b[n,i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1]]];a[n_u]:=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*让·弗朗索瓦2015年6月30日之后海因茨*)

交叉引用

囊性纤维变性。A130780号,A171967年.

关键字

作者

莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

状态

经核准的

A108949号 偶数部分多于奇数部分的n的划分数。 +10个
9
0、0、1、0、2、1、3、3、6、7、10、14、19、26、33、45、58、77、97、127、161、205、259、326、411、510、639、786、980、1197、1482、1800、2216、2677、3275、3942、4793、5749、6951、8309、9995、11912、14259、16944、20194、23926、28402、33559、39687、46767、55120、64780、76110、89222 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,5个

评论

a(n)=A171966年(n)-A045931号(n)=A171967年(n)-A108950号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

a(n)=和{k=-floor(n/2)+(n mod 2)…-1}A240009号(n,k)。-海因茨2014年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..1000时的n,a(n)表

例子

a(6)=3:{[6],[4,2],[2,2,2]};a(7)=3:{[4,2,1],[3,2,2,1]}。

枫木

带(组合,分区):

evnbigrodd:=proc(n::nonnegint)

本地平均数,奇数,大数,零件,i,j;

大计数:=0;

分区:=分区(n);

对于从1到nop(分区)的i

平均数:=0;

奇数:=0;

对于从1到nops(分区[i])的j

如果(op(j,分区[i])mod 2<>0),则

奇数:=奇数+1

金融机构;

如果(op(j,分区[i])mod 2=0),则

平均数:=平均数+1

金融机构

外径;

如果(evencount>oddcount),则

大数:=大数+1

金融机构

外径;

返回(bigcount)

结束程序;

序号(evnbigrodd(i),i=1..42);

#第二个枫树计划:

b: =proc(n,i,t)选项记住;`if`(n=0,

如果`(t<0,1,0),`if`(i<1,0,b(n,i-1,t)+

如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))))

结束:

a: =n->b(n$2,0):

顺序(a(n),n=0..80)#海因茨2014年3月30日

数学

p[n_35;:=p[n]=选择[IntegerPartitions[n],Count[#,\u?OddQ]==计数?EvenQ]&];t=Table[p[n],{n,0,10}](*n的分区,其中#奇数部分=#偶数部分*)

表格格式[t](*分区,垂直格式*)

表[长度[p[n]],{n,0,30}](*A045931号*)

(*彼得·J·C·摩西2014年3月10日*)

b[n,i,tüu]:=b[n,i,t]=如果[n==0,如果[t<0,1,0],如果[i<1,0,b[n,i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1]]]]];a[n,i,t]=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*让·弗朗索瓦2015年11月2日,之后海因茨*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)={nb=0;forpart(p=n,nb+=(2*#(选择(x->x%2,Vec(p))<#p););nb;}\\米歇尔·马库斯2015年11月2日

交叉引用

囊性纤维变性。A045931号对于偶数部分=奇数部分,A108950号对于偶数部分<奇数部分。

囊性纤维变性。A171966年,A130780号. -莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

关键字

作者

蓝笑脸2005年7月21日

扩展

更多条款来自乔尔阿恩特2012年10月4日

状态

经核准的

A171967年 具有不同奇偶部分数的n的划分数。 +10个
8
0、1、2、2、5、5、10、12、20、25、37、49、68、90、119、158、206、269、344、446、565、722、908、1148、1435、1795、2229、2765、3416、4204、5164、6315、7717、9380、11406、13793、16692、20093、24203、29012、34799、41552、49636、59059、70279、83341、98822 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0.3万

评论

a(n)=A000041号(n)-A045931号(n)=A108949号(牛)+A108950号(n) 一。

a(n)=和{k<>0}A240009号(n,k)。-海因茨2014年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..3500时的n,a(n)表

枫木

b: =proc(n,i,t)选项记住;`if`(n=0,

如果`(t<>0,1,0),`if`(i<1,0,b(n,i-1,t)+

如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))))

结束:

a: =n->b(n$2,0):

顺序(a(n),n=0..80)#海因茨2014年3月30日

数学

$RecursionLimit=1000;b[n_2;i_2;t]:=b[n,i,t]=If[n==0,If[t!=0,1,0],如果[i<1,0,b[n,i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1]]]];a[n_9]:=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*让·弗朗索瓦2015年6月30日,之后海因茨*)

交叉引用

囊性纤维变性。A130780号,A171966年.

关键字

作者

莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

状态

经核准的

第1页

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