搜索: a107346-识别码:a107346
|
|
|
|
9, 81, 18, 81, 9, 702, 9, 171, 27, 72, 18, 693, 18, 72, 27, 171, 9, 702, 9, 81, 18, 81, 9, 5913, 9, 81, 18, 81, 9, 1602, 9, 261, 36, 63, 27, 594, 18, 162, 36, 162, 18, 603, 9, 171, 27, 72, 18, 5814, 9, 171, 27, 72, 18, 603, 9, 261, 36, 63, 27, 1584, 27, 63, 36
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
类似地,{1,2,…,k}按字典顺序连续排列的差异被解释为十进制数,对于任意k=2..9,产生这个序列的第一个(k!)-1项。但对于k=10,结果是不明确的,所以我们可以认为序列是有限的,只对n=1.362879定义明确。[然而,请参阅以下评论。-编者注]
按顺序A030299型它清楚地定义了它如何扩展到索引n=1以外+2!+...+9! =A007489号(9) ,所以序列A220664型它的第一个差异是定义明确的,直到无穷大。(上述“结果”定义不明确,因为“解释”的含义不明确。)但前面的评论因提到“自相似性”而具有误导性,作为“重复部分”的序列定义也具有误导性:如果序列被定义为有限长9-1(因此等于A209280型),则它确实经常无限重复作为(连续项的)子序列A220664型(即使后者是使用级联来定义多于9个元素的排列,但不是作为12345678910之后的术语的差异,而是例如作为10123456789之后的术语的差异,等等)。
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
例子
|
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)A219664型(n) =(k=2,n+1,k!>n||next;k=vecsort(向量(#k=向量(k,j,10^j)~\10)!,i、 数字操作(#k,i)*k));return(k[n+1]-k[n])\\(当然,计算前k!-1项的整个向量更有效。此外,对于n>9!,这可能会产生不正确的项。)-M.F.哈斯勒2013年1月12日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,基础
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
9, 81, 18, 81, 9, 702, 9, 171, 27, 72, 18, 693, 18, 72, 27, 171, 9, 702, 9, 81, 18, 81, 9, 5913, 9, 81, 18, 81, 9, 1602, 9, 261, 36, 63, 27, 594, 18, 162, 36, 162, 18, 603, 9, 171, 27, 72, 18, 5814, 9, 171, 27, 72, 18, 603, 9, 261, 36, 63, 27, 1584, 27, 63, 36, 261, 9
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
这个序列是A107346号(及其他,见下文),从5开始-1比9-1项,这是自然(由于最大)长度,假设OEIS序列数据存储为十进制数。另一方面,它与A219664型在许多方面,不仅是因为另一个序列是无限的,因此在n=9以外的所有方面都与这个序列不同-1
序列是有限的,有9个-1项,对称:a(n)=a(9!-n)。
所有术语都是9的倍数,参见公式。
第一个n的子序列-1项(n=2,…,9)产生数字序列的第一个差分,其数字是(1,…,n)的置换:
前8名-1项产生的第一个差异A178478号:数字排列为12345678的数字。
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
a(n)=a(m!-n),对于任何m<10,使得n<m!。
|
|
例子
|
对于形式{1,…,m}的任意集合的置换,例如{1,2,3}或{1,..,9},我们得到了相同的初始项:在第一种情况下,我们得到P=(123132213231312321)和P(4)-P(3)=231-213=18=a(3),在后一种情况下再次得到P(4-M.F.哈斯勒2013年1月12日
|
|
数学
|
取[Differences[Sort[FromDigits/@Permutations[Range[9]]],70](*哈维·P·戴尔2018年3月31日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)A209280型_列表(N=5)={my(v=向量(N,i,10^(N-i))~);v=vecsort(向量(N!,k,numtoperm(N,k)*v));vecextract(v,“^1”)-vecexract(v,”^-1“)}\\返回N-1个第一项作为向量
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
容易的,非n,基础,完成
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A215940型
|
| (0,…,m-1)的第n个和第一个(恒等式)置换之间的差值,解释为小数除以9(对于其中10!>=m!>=n的任何m)。 |
|
+10 7
|
|
|
0, 1, 10, 12, 21, 22, 100, 101, 120, 123, 131, 133, 210, 212, 220, 223, 242, 243, 321, 322, 331, 333, 342, 343, 1000, 1001, 1010, 1012, 1021, 1022, 1200, 1201, 1230, 1234, 1241, 1244, 1310, 1312, 1330, 1334, 1352, 1354, 1421, 1422, 1441, 1444, 1452, 1454, 2100
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
评论
|
原始定义:“排列间丢番图方程的多项式余数定理的商。”
由该序列的第一项{0,1,10,12,21,22,…}建立的集合包含一类丢番图线性方程在排列中的一般解,如果考虑到可以读取这些方程的不同碱基的无限数量的话。
设P是被解释为十进制数的(0,…,m-1)的置换序列,P(n)=Sum_{i=1..m}10^(m-i)*s(i)其中s=(s(1),。。。,s(m))是第n个排列(按词典编纂顺序),n≤m!。那么差分P(n)-P(1)与m的选择无关,可以被9整除。(由于10==1(mod 9),数字P(n)都与s(1)++秒(米)。)这产生了定义明确的术语a(n)=(P(n)-P(1))/9。
对于n>10!,P(n)将不再是“数字”的串联(其中一些数字将超过9)。第一项的十进制表示形式中的模式也将丢失,因为将有d+1这样大的数字。
注意,相同的a(n)是独立于所选的基数b而获得的,前提是(i)上面的10和9被替换为b和b-1,(ii)结果是(并且可以)写在基数b中。(结束)
我们有P(n)-P(1)=a(n)*g(n),其中g(n)=9=10-1。考虑到这一点和P(n)是x=10中的多项式,可以看到与多项式余数定理的类似之处。[根据以下公式给出R.J.卡诺,改写为M.F.哈斯勒2013年1月12日]
第一米的最大值!该序列的项以R为基数,由显式公式给出(请参见A211869型):max(m,R)=Sum_{k=1..m}k*(m-k)*R^(m-k-1);
(结束)
虽然在序列名称中它是:“(0,…,m-1)的置换”,但可以替换它的最一般的语句是:“整数的任意m-tuple的置换,所有这些整数都是算术级数”,获得这个序列的倍数lambda*a(n),其中lambda是级数的共同差分。它是这样工作的,因为这里只有差异才是重要的。
给定x>1和k>=0,如果k次多项式G(x)除以x-1,余数将是G中所有系数的和。让我们考虑这样的情况:这些系数是同一组字母(0..x-1)的两个排列的字母(“数字”)之间的差:所有这些差的和必须为零。这解释了以x为基数表示的两个这样的排列之间的差异是如何为0模x-1的,特别是为什么成对排列的差异可以被9整除。
引入该序列的另一种方式利用了这样一个事实,即对于n>1,n!是均匀的。考虑n>1以仅获得第一个n!条款。这可以通过从第一个置换减去最后一个置换,从第二个置换减去倒数第二个,依此类推,遵循模式(P(k)-P(n!-k+1))/9和1<=k<=n!。这样的过程会生成一个反对称序列f(k),其中a(k)=(f(k)+f(n!))/2。这部分解释了为什么A217626型是对称的。此外,还可以使用线性代数进行基相关处理:列向量和严格的下三角矩阵,而不是除以(r-1),其中r是基(对于这个序列,这里r=10)。这种方法使人得出结论,当这些向量中的分量被视为r=10的幂级数的系数时,该序列中的项是由n个连续字母的排列中的前n-1个字母部分和(“数字”)构成的向量对之间的差异。
(结束)
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
例子
|
{0,1,2}作为数字的排列是{12,21,102,120,201,210}。从这些数字中的每一个减去第一个(12)得到差值{0,9,90,108,189,198}。这些都是9的倍数,见评论和链接。将差值除以9得到{0,1,10,12,21,22},根据定义,这是这个序列的前六项。
使用0123的所有排列将得到4=24个术语,其中前6个术语与上述术语相同。对于n>10!我们必须考虑m>10的(0,…,m-1)置换。这些不再是以10为基数的有效数字,注释中定义的数字P(n)不再等于串联。然而,前10名!作为(P(n)-P(1))/9获得的项仍然与m=10相同;
为了说明结果与选择进行计算的基数无关,让我们考虑基数3中012的排列。第3次响应。第五项((102-012)/9=10个。(201-012)/9=21)分别为(1-0)*3^2+(0-1)*3+(2-2)*1)/(3-1)=3=10[3]。((2-0)*3^2+(0-1)*3+(1-2)*1)/(3-1) = 7 = 21[3]. 如果以b=11为基数进行计算,则相同的术语也将是“10”和“21”。在此基础上,数字“A”的值为b-1,我们得到(1023456789A-0123456789A)/A=0A000000000[11],(2013456789A-0123466789A,/A=02100000000[11].和(0A123456789-01234568789A)/A=0A987654321[11]((40123[5]-01234[5])/4[5]=04321[5]的模拟值)。(结束)
|
|
MAPLE公司
|
N: =100:#以获得(1)。。a(否)
对于从3开始的M,而M!<=日期:
p0:=[1..M]:p:=p0:A[1]:=0:
对于从2到n的n do
p: =组合:-nextperm(p);
d: =p-p0;
A[n]:=加(10^(i-1)*d[-i],i=1..M)/9;
日期:
|
|
数学
|
最大值=5;表[dd=FromDigits/@Permutations[Range[m]];(Drop[dd,If[m==1,0,(m-1)!]]-First[dd])/9,{m,1,maxm}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年4月25日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(C) 请参阅链接。
(PARI)A215940型(n) =(k=2,n+1,k!<n&next;k=vecsort(向量(#k=向量(k,j,10^j)~\10)!,i、 数字操作(#k,i)*k));return((k[n]-k[1])/9))\\(当然,计算前k!项的整个向量更有效。)-M.F.哈斯勒2013年1月12日
(PARI)first_n_factorial_terms(n)={my(u=n!);my(x=numtoperm(n,0),y,z=vector(u),i:small);i=0;for(j=0,u-1,y=numtoperm(n,j)-x;z[i++]=来自数字(向量(#x-1,k,vecsum(y[1..k]))));z}\\R.J.卡诺2017年4月19日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,基础
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
2, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
项a(n)可以通过在n的阶乘基表示的每个数字上加一得到(A007623号(n) ),然后将其重新解释为一种伪因子基表示,忽略了现在某些数字可能超过该位置允许的最大值这一事实。请参阅示例部分-安蒂·卡图恩2013年11月29日
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
a(n)=n+A007489号(A084558号(n) )。[上面的公式简化为这样,这证明了2012年12月17日的原始描述和新的主描述产生了相同的序列。本质上,我们在n中添加了一个阶乘基重单位‘1…111’,它的fact.base数字与n的fact.base数字一样多。]-安蒂·卡图恩2013年11月29日
|
|
例子
|
1具有阶乘基表示A007623号(1) =“1”,因为1=1*1!。将数字1与1相加,得到2*1!=2,因此a(1)=2。(请注意,尽管“2”不是有效的阶乘基表示,但在这里并不重要。)
2具有阶乘基表示“10”,因为2=1*2!+0*1!. 将数字增加一,我们得到2*2!+1*1! = 因此a(2)=5。
3有一个阶乘基表示'11',因为3=1*2!+1*1!. 将数字增加一,我们得到2*2!+2*1! = 6,因此a(3)=6。
|
|
数学
|
块[{nn=66,m=1},而[Factorial@m<nn,m++];m=混合基数[反向@范围[2,m]];数组[FromDigits[1+整数位数[#,m],m]&,nn]](*迈克尔·德弗利格2020年1月20日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(方案)
;; 独立迭代实施(2013年11月29日):
(定义(A220655型n) (让循环((n n)(z 0)(i 2)(f 1))(cond((0?n)z)(else(循环(商n i)(+(*f(+1(余数n i))))
;; 替代实施:
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
11, 9, 102, 9, 81, 18, 81, 9, 913, 9, 81, 18, 81, 9, 702, 9, 171, 27, 72, 18, 693, 18, 72, 27, 171, 9, 702, 9, 81, 18, 81, 9, 8024, 9, 81, 18, 81, 9, 702, 9, 171, 27, 72, 18, 693, 18, 72, 27, 171, 9, 702, 9, 81, 18, 81, 9, 5913, 9, 81, 18, 81, 9, 1602, 9, 261
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
这个取模9的序列是零,除非(可能)在一系列排列结束于A030299型(这些指数由下式给出A007489号(n) ,n>0.)在这里它等于(mod 9)下一次运行的“n”。例如,a(1)=2(mod 9),以及A030299型(1+1)=12是n=2时运行的开始;a(3)=3(9版)和A030299型(3+1)=123是n=3,a(9)=4(mod 9)和A030299型(9+1)=1234是n=4等的运行开始。
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
例子
|
A030299型启动(1、12、21、123、132、213、231、312…),其第一个差异产生(11、9、102、9、81、18、81…)。
|
|
MAPLE公司
|
(1->seq(l[j]-l[j-1],j=2..nops(l))([seq(map(x->parse(cat(x[]))),
组合[排列](n))[],n=0..5)])[]#阿洛伊斯·海因茨2021年11月9日
|
|
黄体脂酮素
|
(Python)
从itertools导入排列
def pmap(s,m):返回范围(1,len(s)+1)中i的总和(s[i-1]*10**(m-i))
定义代理():
m=1
为True时:
对于置换中的s(范围(1,m+1)):产生pmap(s,m)
m+=1
定义aupton(术语):
此外,g=[],代理()
t=下一个(g)
而len(alst)<术语:
t、 prevt=下一个(g),t
alst+=[t-优先级]
返回alst
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,基础
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
搜索在0.011秒内完成
|