搜索： a107131-编号：a107131
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1, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 4, 4, 1, 9, 9, 9, 7, 1, 21, 21, 21, 21, 11, 1, 51, 51, 51, 51, 46, 16, 1, 127, 127, 127, 127, 127, 92, 22, 1, 323, 323, 323, 323, 323, 309, 169, 29, 1, 835, 835, 835, 835, 835, 835, 709, 289, 37, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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最左边的列=A001006号: (1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, ...).
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配方奶粉
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例子
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三角形的前几行：
1;
1, 1;
2, 2, 1;
4, 4, 4, 1;
9, 9, 9, 7, 1;
21, 21, 21, 21, 11, 1;
51, 51, 51, 51, 46, 16, 1;
127, 127, 127, 127, 127, 92, 22, 1;
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 6, 7, 1, 1, 2, 6, 17, 11, 1, 1, 2, 6, 22, 41, 16, 1, 1, 2, 6, 22, 76, 86, 22, 1, 1, 2, 6, 22, 90, 226, 162, 29, 1, 1, 2, 6, 22, 90, 352, 582, 281, 37, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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行总和=A086615号: (1, 2, 4, 8, 17, 38, ...).
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配方奶粉
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例子
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三角形的前几行：
1;
1, 1;
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1, 2, 4, 1;
1, 2, 6, 7, 1;
1, 2, 6, 17, 11, 1;
1, 2, 6, 22, 41, 16, 1;
1, 2, 6, 22, 76, 86, 22, 1;
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交叉参考
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作者
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经核准的
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A088617号
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| 按行读取三角形：T（n，k）=C（n+k，n）*C（n，k）/（k+1），对于n>=0，k=0..n。 |
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38
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 10, 5, 1, 10, 30, 35, 14, 1, 15, 70, 140, 126, 42, 1, 21, 140, 420, 630, 462, 132, 1, 28, 252, 1050, 2310, 2772, 1716, 429, 1, 36, 420, 2310, 6930, 12012, 12012, 6435, 1430, 1, 45, 660, 4620, 18018, 42042, 60060, 51480, 24310, 4862
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（2n，0）的Schroeder路径数（即，由步骤U=（1,1），D=（1，-1），H=（2,0）组成，永远不会低于x轴），具有k个U。例如，T（2,1）=3，因为我们有UHD，UDH和HUD-Emeric Deutsch公司2003年12月6日
猜想：对于大的n，Schroeder n路径中U的期望数量是渐近的Sqrt[1/2]*n-大卫·卡伦，2008年7月25日
T（n，k）也是宽度为k（width（alpha）=|Dom（alpha）|）的（n链的）保序和降序部分变换的数量-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
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参考文献
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查尔斯·乔丹（Charles Jordan），《有限差分演算》，切尔西1965年，第449页。
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链接
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安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Manosij Ghosh Dastidar和Michael Wallner，涉及格路和整数合成的双射和同余，arXiv:2402.17849[math.CO]，2024。见第16页。
黄贤奎（Xien-Kuei Hwang）和黑池佐治（Satoshi Kuriki），经典绩效统计的综合经验测度与推广，arXiv:2404.06040[math.ST]，2024。见第11页。
C.约旦，有限差分法布达佩斯，1939年。[仅第448-450页的注释扫描]
杰森·史密斯，图的诱导包容序偏序集，arXiv:1806.01821[math.CO]，2018年。
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配方奶粉
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按行读取三角形T（n，k）；由[1,0,1,0,1，0,1,0，1，0，1A084938号.
G.f.：1+（1-x-T（0））/y，其中T（k）=1-x*（1+y）/（1-x*y/T（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月3日
O.g.f.A（x，t）=（1-x-sqrt（（1-x）^2-4*x*t））/（2*x*t）=1+（1+t）*x+（1+3*t+2*t^2）*x^2+。。。。
1+x*（dA（x，t）/dx）/A（x，t）=1+（1+t）*x+（1+4*t+3*t^2）*x^2+。。。o.g.f.是用来的吗A123160型.
对于n>=1，第n行多项式等于（1+t）/（n+1）*Jacobi_P（n-1,1,2*t+1）。从行多项式中去掉1+t的因子，得到的行多项式为A033282号.（结束）
G（x，t）的逆函数本质上给出于A033282号乘以x1，f1（x，t）的倒数：Ginv（x，t）=x[1/（t+x）-1/（1+t+x）]=[（（1+t）-t）/（t（1+t））]x-[（（1+t）^2-t^2）/（t（1+t））^2]x^2+[（（1+t）^3-t^3）/（t（1+t））^3]x^3-。Ginv（xt，t）的t系数是Pascal三角形对角线的o.g.f.sA007318号带有签名行和一个额外的起始列。分子给出有符号的行的o.g.f.sA074909号.
（结束）
T（n，k）=[x^k]超几何（[-n，1+n]，[2]，-x）-彼得·卢什尼2022年4月26日
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例子
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三角形开始：
[0] 1;
[1] 1, 1;
[2] 1, 3, 2;
[3] 1, 6, 10, 5;
[4] 1, 10, 30, 35, 14;
[5] 1, 15, 70, 140, 126, 42;
[6] 1, 21, 140, 420, 630, 462, 132;
[7] 1, 28, 252, 1050, 2310, 2772, 1716, 429;
[8] 1、36、420、2310、6930、12012、12012、6435、1430；
[9] 1, 45, 660, 4620, 18018, 42042, 60060, 51480, 24310, 4862;
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MAPLE公司
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R:=n->简化（超几何（[-n，n+1]，[2]，-x））：
Trow:=n->seq（系数（R（n，x），x，k），k=0..n）：
seq（打印（Trow（n）），n=0..9）#彼得·卢什尼2022年4月26日
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数学
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表[二项式[n+k，n]二项式[n，k]/（k+1），{n，0，10}，{k，0，n}]//压扁(*迈克尔·德弗利格2017年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k+1，二项式（n+k，n）*二项式
（岩浆）[[二项式（n+k，n）*二项式（n，k）/（k+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年6月18日
（SageMath）扁平化（[[二项式（n+k，2*k）*catalan_number（k）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2022年5月22日
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 10, 10, 1, 15, 30, 5, 1, 21, 70, 35, 1, 28, 140, 140, 14, 1, 36, 252, 420, 126, 1, 45, 420, 1050, 630, 42, 1, 55, 660, 2310, 2310, 462, 1, 66, 990, 4620, 6930, 2772, 132, 1, 78, 1430, 8580, 18018, 12012, 1716, 1, 91, 2002, 15015, 42042
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,6
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评论
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T（n，k）=长度为n且步长为k的Motzkin路径数。T（n，k）=具有n条边和k+1片叶子的0-1-2棵树的数量，n>0。（0-1-2树是一种有序树，其中每个顶点最多有两个子节点。）例如，T（4,1）=6，因为我们有UDHH、UHDH、UHHD、HHUD、HUHD、HUDH，其中U=（1,1）、D（1，-1）、H（1,0）-Emeric Deutsch公司2003年11月30日
x/（1+H*x+U*D*x^2）与H（1,0）为H颜色、U（1,1）为U颜色、D（1，-1）为D颜色的Motzkin路径对应的级数反演系数-保罗·巴里2005年5月16日
也等于n+1的231个无效置换的数量，其中下降（w）=峰值（w）=k，其中下降量（w）是位置i的数量，使得w[i]>w[i+1]，峰值（w。例如，T（4,1）=6，因为13245、12435、14235、12354、12534、15234是5个元素的唯一231个无效排列，下降（w）=峰值（w）=1-凯尔·彼得森2013年8月2日
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参考文献
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Miklos Bona，《枚举组合数学手册》，CRC出版社（2015），第617页，推论10.8.2
T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhauser，2015年，第4.3节。
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链接
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N.Alexeev、J.Andersen、R.Penner和P.Zograf，多个区间和弦图的枚举及其不定向类比，arXiv:1307.0967[math.CO]，2013-2014年。
马塞洛·阿蒂奥利（Marcello Artioli）、朱塞佩·达托利（Giuseppe Dattoli）、西尔维娅·利奇亚迪（Silvia Licciardi）和西蒙内塔·帕格努蒂（Simonetta Pagnutti），Motzkin数：一种操作观点，arXiv:1703.07262[math.CO]，2017年。
科林·德芬特，后期订单前置图像，arXiv预印本arXiv:1604.01723[math.CO]，2016。
托马斯·格拉布和弗雷德里克·拉贾塞卡兰，设置分区模式和维度索引，arXiv:2009.00650[math.CO]，2020年。提到这个序列。
E.Marberg，集合分区上的操作和标识，arXiv预印本arXiv：1107.4173【math.CO】，2011-2012年。
A.Postnikov、V.Reiner和L.Williams，广义置换面，arXiv:math/0609184[math.CO]，2006-2007年。
塔德·怀特，配额树，arXiv:2401.01462[math.CO]，2024。见第20页。
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配方奶粉
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例如，行多项式R（n，y）：exp（x）*BesselI（1,2*x*sqrt（y））/-弗拉德塔·乔沃维奇2003年8月20日
G.f.行多项式R（n，y）：2/（1-x+sqrt（（1-x）^2-4*y*x^2））。
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k开始R（0，x）=1，R（1，x）=1，R（2，x）＝1+x，R（3，x）=3*x。它们与Narayana多项式n（n，x）：=Sum_{k=1..n}（1/n）*C（n，k）*C）^2）=n（n+1，x）。例如，对于n=3，x*（1+x）^3*（1+3*x/（1+x）^2）=x+6*x^2+6*x*^3+x^4，是第四个Narayana多项式。
递归关系：（n+2）*R（n，x）=（2*n+1）*R。（结束）
G.f.：M（x，y）满足：M（x，y）=1+x M（x、y）+y*x^2*M（x和y）^2-杰弗里·克雷策2014年2月5日
O.g.f.：[1-x-sqrt[（1-x）^2-4tx^2]/（2tx^2），从关系到A107131号.
经过重新归纳和签名，这个三角形给出了以下斐波那契多项式的移位o.g.f.的合成逆的行多项式A011973号，x/[1-x-tx^2]=x+x^2+（1+t）x^3+（1+2t）x*4+。（结束）
行多项式为P（n，x）=（1+b.y）^n=和{k=0到n}二项式（n，k）b（k）y^k=y^n M（n，1/y），其中b（k=A126120号（k） ，y=sqrt（x）和M（n，y）是A097610号. -汤姆·科普兰2016年1月29日
多项式p（n，x）的系数=超几何（[（1-n）/2，-n/2]，[2]，4x）-彼得·卢什尼2018年1月23日
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例子
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不规则三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5。。。
0: 1
1: 1
2: 1 1
3: 1 3
4: 1 6 2
5: 1 10 10
6: 1 15 30 5
7: 1 21 70 35
8: 1 28 140 140 14
9: 1 36 252 420 126
10: 1 45 420 1050 630 42
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MAPLE公司
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b： =proc（x，y）选项记住；
`if`（y>x或y<0，0，`if`（x=0，1，展开(
b（x-1，y）+b（x-1，y+1）+b（x 1，y-1）*t））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，T，i），i=0..度（p）））（b（n，0））：
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数学
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m=（1-x-（1-2x+x^2-4x^2y）^（1/2））/（2x^2 y）；映射[Select[#，#>0&]&，系数列表[Series[m，｛x，0，15｝]，｛x，y｝]]//网格(*杰弗里·克雷策2014年2月5日*）
p[n]：=超几何2F1[（1-n）/2，-n/2，2，4 x]；表[系数列表[p[n]，x]，{n，0，13}]//展平(*彼得·卢什尼2018年1月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||2*k>n，0，n！/（（n-2*k）！*k！*（k+1）！）}
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||2*k>n，0，polceoff（polceof（2/（1-x+sqrt（（1-x）^2-4*y*x^2+x*O（x^n））），n），k））}/*迈克尔·索莫斯2006年2月14日*/
（PARI）{T（n，k）=n++；如果（k<0||2*k>n，0，polceoff（polceof（serreverse（x/（1+x+y*x^2）+x*O（x^n）），n），k））}/*迈克尔·索莫斯2006年2月14日*/
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交叉参考
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囊性纤维变性。A125181号,A134264号,A088617号,61642美元,A258820型,A003989号,A008315号,A091156号,A011973号,A097610号,A126120号.
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关键词
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非n,标签,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A107264号
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| 扩展（1-3*x-sqrt（（1-3*x）^2-4*3*x^2））/（2*3*x2）。 |
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+10
13
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1, 3, 12, 54, 261, 1323, 6939, 37341, 205011, 1143801, 6466230, 36960300, 213243435, 1240219269, 7263473148, 42799541886, 253556163243, 1509356586897, 9023497273548, 54154973176074, 326154592965879, 1970575690572297
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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统计彩色Motzkin路径，其中H（1,0）和U（1,1）各有3种颜色，D（1，-1）有一种颜色-保罗·巴里2005年5月18日
长度为n的Motzkin路径数，其中“up”和“level”步骤都有三种颜色-保罗·巴里2005年5月18日
1,0,3,0,18,0，…的第三个二项式变换，。。。或3^n*C（n）(A005159号)带插值零-保罗·巴里2005年5月24日
作为连分数，g.f.是1/（1-3*x-3*x^2/-保罗·巴里2008年12月2日
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链接
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N.Gabriel、K.Peske、L.Pudwell和S.Tay，三叉树中的模式避免，J.国际顺序。15 (2012) # 12.1.5.
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配方奶粉
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总面积：（1-3x-sqrt（1-6x-3x^2））/（6x^2；
a（n）=和{k=0..n}（1/（k+1））*C（k+1，n-k+1）*C。
a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，2k）*C（k）*3^（n-k）-保罗·巴里2005年5月18日
例如：exp（3x）*Bessel_I（1，sqrt（3）*2*x）/（sqrt-保罗·巴里2005年5月24日
a（n）=（1/Pi）*积分{x=3-2*sqrt（3）..3+2*sqert（3）}x^n*sqort（-x^2+6*x+3）/6-保罗·巴里2006年9月16日
递归D-有限：（n+2）*a（n）=3*（2*n+1）*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日
a（n）~（5+3*sqrt（3））*（3+2*sqrt^n/（2*squart（2*Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日
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数学
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系数列表[级数[（1-3*x-Sqrt[1-6*x-3*x^2]）/（6*x^2），{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日*）
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A005774号
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| 大小为n（k=1列A038622号); 数量（s（0），s（1）。。。，s（n）），使得s（i）是非负整数，并且对于i=1,2，。。。，n、 其中s（0）＝2；中数组T的第n+1行的和A026323号.
（原名M2804）
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+10
11
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0, 1, 3, 9, 26, 75, 216, 623, 1800, 5211, 15115, 43923, 127854, 372749, 1088283, 3181545, 9312312, 27287091, 80038449, 234988827, 690513030, 2030695569, 5976418602, 17601021837, 51869858544, 152951628725, 451271872701, 1332147482253
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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从Petkovsek的算法来看，这种递推没有任何闭合形式的解。因此，a（n）不存在超几何闭形式赫伯特·S·威尔夫
从中心位置之前的两个位置开始的两个连续三项式系数之和。示例：a（4）=10+16和（1+x+x^2）^4=…+10*x^2+16*x^3+19*x^4+-大卫·卡伦2004年2月7日
a（n）=所有Motzkin（n+1）-路径中的总上升次数（连续上升的最大运行次数）。例如，9个Motzkin 4路径是FFFF、FFUD、FUDF、FUFD、UDFF、UDUD、UFD和UUDD，它们总共包含9个上升点，因此a（3）=9（U=上升点，D=下降点，F=平坦点）-大卫·卡伦2006年8月16日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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克里斯蒂安·克拉蒂塔勒（Christian Kreattehaler）、丹尼尔·雅库比（Daniel Yaqubi）、，路径生成函数的一些行列式，II，arXiv:1802.05990[math.CO]，2018年；高级申请。数学。101 (2018), 232-265.
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配方奶粉
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对于Z中的所有n，具有递归（n+2）*（n-1）*a（n）=2*n*（n+1）*a-迈克尔·索莫斯2003年5月1日
例如：exp（x）*（贝塞尔I（1,2*x）+贝塞尔I-弗拉德塔·乔沃维奇2004年1月1日
总面积：（1-x-sqrt（1-2x-3x^2））；a（n）=和{k=0..n}C（k+1，n-k+1）*C（n，k）*k/（k+1）；a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*C（k，floor（（k-1）/2））-保罗·巴里2005年5月12日
起始（1，3，9，26，…）=的二项式变换A026010型: (1, 2, 4, 7, 14, 25, 50, 91, ...). -加里·亚当森2007年10月22日
a（n）*（2+n）=（4+4*n）*a（n-1）-n*a（n-2）+（12-6*n）*a（n-3）-西蒙·普劳夫2012年2月9日
0=a（n）*（+36*a（n+1）+18*a（n+2）-96*a-迈克尔·索莫斯2014年8月6日
a（n）=GegenbauerC（n-2，-n，-1/2）+GegenbaurerC（n-1，-n和-1/2）-彼得·卢什尼2016年5月12日
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例子
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总尺寸：x+3*x^2+9*x^3+26*x^4+75*x^5+216*x^6+623*x^7+。。。
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MAPLE公司
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seq（加（二项式（i，k+1）*二项式Detlef Pauly（dettodet（AT）yahoo.de），2001年11月9日
seq（简化（GegenbauerC（n-2，-n，-1/2）+Gegenbaurer C（n-1，-n、-1/2）），n=0..27）#彼得·卢什尼2016年5月12日
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数学
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系数列表[系列[（1-x-Sqrt[1-2x-3x^2]）/（x（1-3x+Sqrt[1-2x-3x*2]））），{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2011年9月20日*）
递归表[{a[0]==0，a[1]==1，a[n]==（2n（n+1）a[n-1]+3n（n-1）a[n-2]）/（（n+2）（n-1”）}，a，{n，30}](*哈维·P·戴尔2012年11月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）s=[0,1]；{A005774号（n） =k=（2*（n+2）*（n+1）*s[2]+3*（n+1）*n*s[1]）/（（n+3）*n）；s[1]=s[2]；s[2]=k；k}（k}）
（PARI）{a（n）=如果（n<2，n>0，（2*（n+1）*n*a（n-1）+3*（n-1/*迈克尔·索莫斯2003年5月1日*/
（哈斯克尔）
a005774 0=0
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 4, 6, 3, 1, 0, 9, 20, 12, 4, 1, 0, 21, 72, 54, 20, 5, 1, 0, 51, 272, 261, 112, 30, 6, 1, 0, 127, 1064, 1323, 672, 200, 42, 7, 1, 0, 323, 4272, 6939, 4224, 1425, 324, 56, 8, 1, 0, 835, 17504, 37341, 27456, 10625, 2664, 490, 72, 9, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,8
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评论
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行是矩阵下k^n，k>=0的变换A107131号.作为数字三角形，T（n，k）=如果（k<=n，sum{j=0..n-k，（1/（j+1））C（j+1，n-k-j+1）C（n-k，j）k^j}，0），行和为2017年12月对角线和为A107269号行是x/（1+kx+kx^2），k>=0的序列反转。推测：行计数加权Motzkin路径。
行k统计彩色Motzkin路径，其中H（1,0）和U（1,1）各有k种颜色，D（1，-1）有一种颜色-保罗·巴里2005年5月16日
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链接
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配方奶粉
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数字数组T（n，k）=和{j=0..k}n^j*二项式（k，j）*二项法（j+1，k-j+1）/（j+1）。
第k行的G.f:1/（1-k*x-k*x^2/（1-k*x-k*x^2/（1-k*x-k*x*2/（1-…））），一个连分数-伊利亚·古特科夫斯基2017年9月21日
T（n，k）=和{j=0..floor（k/2）}n^（k-j）*二项式（k，2*j）*二项式（2*j，j）/（j+1）=和}j=0..floor（k/2）}n ^（kj）**A000108号（j） ●●●●。
（k+2）*T（n，k）=n*（2*k+1）*T。（结束）
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例子
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数组开始
1，0，0，0，0，0，0。。。
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, ...
1, 2, 6, 20, 72, 272, 1064, ...
1, 3, 12, 54, 261, 1323, 6939, ...
1, 4, 20, 112, 672, 4224, 27456, ...
1, 5, 30, 200, 1425, 10625, 81875, ...
1, 6, 42, 324, 2664, 22896, 203256, ...
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A107265号
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| 扩展（1-5*x-sqrt（（1-5*x）^2-4*5*x^2））/（2*5*x2）。 |
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+10
三
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1, 5, 30, 200, 1425, 10625, 81875, 646875, 5211875, 42659375, 353725000, 2965031250, 25083859375, 213894609375, 1836516718750, 15863968750000, 137767560546875, 1202116083984375, 10534061644531250, 92664360625000000, 817975366904296875, 7243402948779296875
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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统计彩色Motzkin路径，其中H（1,0）和U（1,1）各有5种颜色，D（1，-1）有一种颜色-保罗·巴里，2005年5月16日
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链接
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配方奶粉
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总面积：（1-5*x-sqrt（1-10*x+5*x^2））/（10*x^1）。
a（n）=和{k=0..n，（1/（k+1））*C（k+1，n-k+1）*C。
例如：a（n）=n！*[x^n]exp（5*x）*BesselI（1,2*sqrt（5）*x）/（sqrt-彼得·卢什尼2012年8月25日
递归D-有限：（n+2）*a（n）=5*（2*n+1）*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日
a（n）~sqrt（38+17*sqrt（5））*（5+2*sqrt（5））^n/（2*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日
G.f.：1/（1-5*x-5*x^2/（1-5*x-5*x^2/（1-5*x-5*x^ 2/（1-…））），一个连分数-伊利亚·古特科夫斯基2017年9月21日
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数学
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系数列表[级数[（1-5*x-Sqrt[1-10*x+5*x^2]）/（10*x^2），{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（（1-5*x-sqrt（1-10*x+5*x^2））/（10*x^1））\\乔格·阿恩特2013年5月15日
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A359364飞机
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| 按行读取三角形。Motzkin三角形，Motzkin多项式的系数。M（n，k）=二项式（n，k）*如果k是偶数，则为CatalanNumber（k/2），否则为0。 |
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+10
三
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1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 6, 0, 2, 1, 0, 10, 0, 10, 0, 1, 0, 15, 0, 30, 0, 5, 1, 0, 21, 0, 70, 0, 35, 0, 1, 0, 28, 0, 140, 0, 140, 0, 14, 1, 0, 36, 0, 252, 0, 420, 0, 126, 0, 1, 0, 45, 0, 420, 0, 1050, 0, 630, 0, 42, 1, 0, 55, 0, 660, 0, 2310, 0, 2310, 0, 462, 0
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,9
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评论
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广义Motzkin数M（n，k）是M（n）的一种改进(A001006号)在这个意义上，它们是多项式M（n，x）=Sum{n.k}M（n、k）*x^k的系数，在x=1时取值M（n）。x^n的系数是充气加泰罗尼亚数A126120号.
在文献中，“莫茨金三角形”也用于三角形A026300型，由Motzkin数的生成函数的幂生成。
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链接
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M.Artioli、G.Dattoli、S.Licciardi和S.Pagnutti，Motzkin数：一种操作观点，arXiv:1703.07262[math.CO]，2017年，（第3页表1）。
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配方奶粉
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设p（n，x）=超几何（[（1-n）/2，-n/2]，[2]，（2*x）^2）。
M（n，k）=[x^k]p（n，x）。
M（n，k）=[t^k]（n！*[x^n]exp（x）*贝塞尔I（1,2*t*x）/（t*x））。
M（n，k）=[t^k][x^n]（（1-x-sqrt（（x-1）^2-（2*t*x）^2））/（2*（t*x。
M（n，n-1）=A138364号（n） ，仅具有一个平坦步长的Motzkin n路的数目。
M（2*n，2*n）=A000108号（n） ，共有n个向上和水平步的无峰值Motzkin路径数。
M（2*n+2,2*n）=A002457号（n） =（-4）^n*二项式（-3/2，n）。
和{k=0..n}k*M（n，k）=2*A014531号（n-1）=2*GegenbauerC（n-2，-n，-1/2）。
求和{k=0..n}求和{j=0..k}M（n，j）=A189912号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}求和{j=0..k}M（n，n-j）=修改A025179号（n） ●●●●。
有关递归，请参阅Python程序。
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例子
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三角形M（n，k）开始：
[0] 1;
[1] 1, 0;
[2] 1, 0, 1;
[3] 1, 0, 3, 0;
[4] 1, 0, 6, 0, 2;
[5] 1、0、10、0、10、0；
[6] 1, 0, 15, 0, 30, 0, 5;
[7] 1, 0, 21, 0, 70, 0, 35, 0;
[8] 1、0、28、0、140、0、140、0、14；
[9] 1, 0, 36, 0, 252, 0, 420, 0, 126, 0;
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MAPLE公司
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加泰罗尼亚数字：=n->二项式（2*n，n）/（n+1）：
M:=（n，k）->ifelse（irem（k，2）=1，0，加泰罗尼亚数（k/2）*二项式（n，k））：
对于从0到9的n，做序列（M（n，k），k=0..n）od；
#或者，作为多项式系数：
p:=n->超深层（[（1-n）/2，-n/2]，[2]，（2*x）^2）：
seq（打印（seq（系数（简化（p（n）），x，k），k=0..n）），n=0..9）；
#使用指数生成函数：
egf:=exp（x）*BesselI（1,2*x*t）/（x*t”）：ser:=系列（egf，x，11）：
seq（打印（seq（系数（简化（n！*系数（ser，x，n）），t，k），k=0..n）），n=0..9）；
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黄体脂酮素
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（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义M（n:int，k:int）->int：
如果k%2：返回0
如果n<3：返回1
如果n==k：返回（2*（n-1）*M（n-2，n-2））//（n//2+1）
返回（M（n-1，k）*n）//（n-k）
对于范围（10）中的n：打印（[M（n，k）对于范围（n+1）中的k）]）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A138364号,A107587号,A002457号,A002522号,A025179美元,A025235号,A056107号,A014531号,A023426号,A091147美元,A189912号,A343386型,A343773型,59647美元,A359649飞机.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A107266号
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| 扩展（1-6*x-sqrt（（1-6*x）^2-4*6*x^2））/（2*6*x2）。 |
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+10
2
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1, 6, 42, 324, 2664, 22896, 203256, 1849392, 17156448, 161663040, 1543053888, 14887836288, 144963737856, 1422685140480, 14058304458624, 139754913276672, 1396721001457152, 14025182471414784, 141432971217841152, 1431708373864249344, 14543342842406252544, 148198801896234491904
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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统计彩色Motzkin路径，其中H（1,0）和U（1,1）各有6种颜色，D（1，-1）有一种颜色-保罗·巴里2005年5月16日
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链接
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配方奶粉
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总面积：（1-6*x-sqrt（1-12*x+12*x^2））/（12*x^1）。
a（n）=和{k=0..n}1/（k+1）*C（k+1，n-k+1）*C（n，k）*6^k。
例如：a（n）=n！*[x^n]exp（6*x）*BesselI（1,2*sqrt（6）*x）/（sqrt-彼得·卢什尼2012年8月25日
递归D-有限：（n+2）*a（n）=6*（2*n+1）*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日
a（n）~平方（44+18*sqrt（6））*（6+2*sqert（6），^n/（2*sqort（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日
G.f.：1/（1-6*x-6*x^2/（1-6*x-6*x^2/（1-6*x-6*x^ 2/（1-…））），一个连分数-伊利亚·古特科夫斯基2017年9月21日
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数学
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系数列表[级数[（1-6*x-Sqrt[1-12*x+12*x^2]）/（12*x^2），{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（（1-6*x-sqrt（1-12*x+12*x^2））/（12*x^1））\\乔格·阿恩特2013年5月15日
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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