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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索: a103211-编号:a103211
显示找到的14个结果中的1-10个。 第页12
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A090181号 纳拉亚纳三角(A001263号)当0<=k<=n时,按行读取。 +10
41
1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 6, 6, 1, 0, 1, 10, 20, 10, 1, 0, 1, 15, 50, 50, 15, 1, 0, 1, 21, 105, 175, 105, 21, 1, 0, 1, 28, 196, 490, 490, 196, 28, 1, 0, 1, 36, 336, 1176, 1764, 1176, 336, 36, 1, 0, 1, 45, 540, 2520, 5292, 5292, 2520, 540, 45, 1, 0, 1, 55, 825, 4950, 13860 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,9
评论
具有k个峰值的Dyck n路径数-彼得·卢什尼2014年5月10日
链接
因德拉尼尔·戈什,行0..100,扁平
Au Yu Hin,加权小Schröder数的一些性质及其组合含义,arXiv:1912.00555[math.CO],2019年。
保罗·巴里,整数序列的连分式和变换,JIS 12(2009)09.7.6。
保罗·巴里,不变数三角形、特征三角形和Somos-4序列,arXiv预印本arXiv:1107.5490[math.CO],2011。
保罗·巴里,关于Narayana三角形的推广,J.国际顺序。14 (2011) # 11.4.5.
保罗·巴里,关于Riordan矩序列的一种变换,arXiv:1802.03443[math.CO],2018年。
保罗·巴里,序列转换管道上的三个角度,arXiv:1803.06408[math.CO],2018年。
保罗·巴里,Riordan伪卷积、连分式和Somos 4序列,arXiv:1807.05794[math.CO],2018年。
Paul Barry和Aoife Hennessy,关于Narayana三角形及相关多项式、Riordan阵列和MIMO容量计算的注记,J.国际顺序。14(2011),第11.3.8条。
Aoife轩尼诗,Riordan阵列的研究及其在连分式、正交多项式和格路中的应用,博士论文,沃特福德理工学院,2011年10月。
配方奶粉
三角形T(n,k),按行读取,由[0,1,0,1A084938号对于n>0,T(0,0)=1,T(n,0)=0,对于k>0,T(n,k)=C(n-1,k-1)*C(n,k-1。
和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A060693号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2007年5月4日
和{k=0..n}T(n,k)*10^k=A143749号(n+1)-菲利普·德尔汉姆2008年10月14日
发件人保罗·巴里2008年11月10日:(开始)
多项式P(n,x)的系数数组=x^n*2F1(-n,-n+1;2;1/x)。
T(n,k)=和{j=0..n}(-1)^(j-k)*C(2n-j,j)*C*A000108号(n-j)。(结束)
和{k=0..n}T(n,k)*5^k*3^(n-k)=A152601型(n) -菲利普·德尔汉姆2008年12月10日
和{k=0..n}T(n,k)*(-2)^k=A152681号(n) ;和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k=A105523号(n) -菲利普·德尔汉姆2009年2月3日
和{k=0..n}T(n,k)*2^(n+k)=A156017号(n) -菲利普·德尔汉姆2011年11月27日
T(n,k)=C(n,n-k)*C(n-1,n-k”)/(n-k+1)-彼得·卢什尼2014年5月10日
例如:1+积分((sqrt(t)*exp((1+t)*x)*BesselI(1,2*sqrt-彼得·卢什尼2014年10月30日
通用格式:(1+x-x*y-qrt((1-x*(1+y))^2-4*y*x^2))/(2*x)-阿洛伊斯·海因茨,2021年11月28日,编辑罗恩·范登伯格2021年12月19日
T(n,k)=[x^k](((2*n-1)*(1+x)*p(n-1,x)-(n-2)*(x-1)^2*p-彼得·卢什尼2022年4月26日
基于行的递归(请参见Python程序):
T(n,k)=(((B(k)+B(k-1))*(2*n-1)-(A(k)-2*A(k-1#彼得·卢什尼2022年5月2日
例子
三角形开始:
[0] 1;
[1] 0, 1;
[2] 0, 1, 1;
[3] 0, 1, 3, 1;
[4] 0、1、6、6、1;
[5] 0, 1, 10, 20, 10, 1;
[6] 0, 1, 15, 50, 50, 15, 1;
[7] 0, 1, 21, 105, 175, 105, 21, 1;
[8] 0, 1, 28, 196, 490, 490, 196, 28, 1;
[9] 0, 1, 36, 336, 1176, 1764, 1176, 336, 36, 1;
MAPLE公司
A090181号:=(n,k)->二项式(n,n-k)*二项式(A090181号(n,k),k=0..n),n=0..5)#彼得·卢什尼2014年5月10日
#或者:
egf:=1+int((sqrt(t)*exp((1+t)*x)*BesselI(1,2*sqrt;
s:=n->n*系数(级数(egf,x,n+2),x,n);seq(打印(seq(系数s(n),t,j),j=0..n),n=0..9)#彼得·卢什尼2014年10月30日
数学
扁平[表[和[(-1)^(j-k)*二项式[2n-j,j]*二项法[j,k]*加泰罗尼亚数字[n-j],{j,0,n}],{n,0,11},{k,0,n}]](*因德拉尼尔·戈什2017年3月5日*)
p[0,_]:=1;p[1,x_]:=x;p[n,x_]:=((2n-1)(1+x)p[n-1,x]-(n-2)(x-1)^2p[n-2,x])/(n+1);
表[系数列表[p[n,x],x]、{n,0,9}]//表格(*彼得·卢什尼2022年4月26日*)
黄体脂酮素
(鼠尾草)
定义A090181号_第(n)行:
U=[0]*(n+1)
对于DyckWords(n)中的d:
U[d.峰数()]+=1
返回U
对于范围(8)中的n:A090181号_行(n)#彼得·卢什尼2014年5月10日
functools导入缓存中的(Python)
@高速缓存
定义Trow(n):
如果n==0:返回[1]
如果n==1:返回[0,1]
如果n==2:返回[0,1,1]
A=Trow(n-2)+[0,0]
B=套管(n-1)+[1]
对于范围(n-1,1,-1)中的k:
B[k]=((B[k]+B[k-1])*(2*n-1)
-(A[k]-2*A[k-1]+A[k-2])*(n-2)//(n+1))
返回B
对于范围(10)中的n:打印(Trow(n))#彼得·卢什尼2022年5月2日
(平价)
c(n)=二项式(2*n,n)/(n+1);
tabl(nn)={对于(n=0,nn,对于(k=0,n,print1(总和(j=0,n,(-1)^(j-k)*二项式(2*n-j,j)*二项式(j,k)*c(n-j)),“,”;);print();};
表(11)\\因德拉尼尔·戈什2017年3月5日
(岩浆)[[(&+[(-1)^(j-k)*二项式(2*n-j,j;
交叉参考
三角形的镜像A131198号.A000108号(行总和,加泰罗尼亚语)。
囊性纤维变性。A001263号,A084938号,A243752型.
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000007号(n) ,A000108号(n) ,A006318号(n) ,A047891号(n+1),A082298号(n) ,A082301号(n) ,A082302号(n) ,A082305号(n) ,A082366号(n) ,A082367号(n) 对于x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9-菲利普·德尔汉姆2006年8月10日
和{k=0..n}x^(n-k)*T(n,k)=A090192号(n+1),A000012号(n) ,A000108号(n) ,A001003号(n) ,A007564号(n) ,A059231号(n) ,A078009号(n) ,A078018号(n) ,A081178号(n) ,A082147号(n) ,A082181号(n) ,A082148号(n) ,A082173号(n) 对于x=-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11-菲利普·德尔汉姆2006年10月21日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k*(x-1)^(n-k)=A000012号(n) ,A006318号(n) ,A103210型(n) ,A103211号(n) ,A133305型(n) ,A133306号(n) ,A133307号(n) ,A133308号(n) ,A133309号(n) 对于x分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9-菲利普·德尔汉姆2007年10月20日
关键词
容易的,非n,
作者
菲利普·德尔汉姆2004年1月19日
状态
经核准的
A088617号 按行读取三角形:T(n,k)=C(n+k,n)*C(n,k)/(k+1),对于n>=0,k=0..n。 +10
38
1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 10, 5, 1, 10, 30, 35, 14, 1, 15, 70, 140, 126, 42, 1, 21, 140, 420, 630, 462, 132, 1, 28, 252, 1050, 2310, 2772, 1716, 429, 1, 36, 420, 2310, 6930, 12012, 12012, 6435, 1430, 1, 45, 660, 4620, 18018, 42042, 60060, 51480, 24310, 4862 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,5
评论
行总和:A006318号(施罗德数)。与三角形基本相同A060693号转置。
T(n,k)是从(0,0)到(2n,0)的Schroeder路径数(即,由步骤U=(1,1),D=(1,-1),H=(2,0)组成,永远不会低于x轴),具有k个U。例如,T(2,1)=3,因为我们有UHD,UDH和HUD-Emeric Deutsch公司2003年12月6日
小施罗德数A001003号具有a(n)=Sum_{k=0..n}A088617号(n,k)*(-1)^(n-k)*2^k-保罗·巴里2005年5月24日
猜想:对于大的n,Schroeder n路径中U的期望数量是渐近的Sqrt[1/2]*n-大卫·卡伦2008年7月25日
T(n,k)也是宽度为k(width(alpha)=|Dom(alpha)|)的(n链的)保序和降序部分变换的数量-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
这个下三角矩阵的反对角线是A055151号. -汤姆·科普兰2015年6月17日
参考文献
查尔斯·乔丹(Charles Jordan),《有限差分演算》,切尔西1965年,第449页。
链接
迈克尔·德弗利格,n=0..11475时的n、a(n)表(行0<=n<=150)
安瓦尔·加布拉(Anwar Al Ghabra)、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko,多根平面树的计数,arXiv:2301.09765[math.CO],2023。
保罗·巴里,基于整数序列的广义Pascal三角构造《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.2.4条。
保罗·巴里,整数序列的连分式和变换,JIS 12(2009)09.7.6。
保罗·巴里,与类帕斯卡三角形族相关的广义加泰罗尼亚数,J.国际顺序。,第22卷(2019年),第19.5.8条。
保罗·巴里,关于Riordan阵列的反演,arXiv:2101.06713[math.CO],2021。
Manosij Ghosh Dastidar和Michael Wallner,涉及格路和整数合成的双射和同余,arXiv:2402.17849[math.CO],2024。见第16页。
萨缪尔·吉拉乌多,树序列和语法树中的模式避免,arXiv:1903.00677[math.CO],2019年。
黄贤奎(Xien-Kuei Hwang)和黑池佐治(Satoshi Kuriki),经典绩效统计的综合经验测度与推广,arXiv:2404.06040[math.ST],2024。见第11页。
C.约旦,有限差分法布达佩斯,1939年。[仅第448-450页的注释扫描]
M.Klazar,关于Davenport-Schinzel序列的个数,离散。数学。,185 (1998), 77-87.
Paul W.Lapey和Aaron Williams,固定内容Łukasiewicz单词的移位格雷码威廉姆斯学院,2022年。
A.Laradji和A.Umar,A.保序部分变换半群的组合结果《代数杂志》278,(2004),342-359。
A.Laradji和A.Umar,降阶部分变换半群的组合结果,J.整数序列。7 (2004), 04.3.8.
杰森·史密斯,图的诱导包容序偏序集,arXiv:1806.01821[math.CO],2018年。
配方奶粉
按行读取三角形T(n,k);由[1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1A084938号.
T(n,k)=A085478号(n,k)*A000108号(k) ;A000108号=加泰罗尼亚数字-菲利普·德尔汉姆2003年12月5日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k*(1-x)^(n-k)=A000108号(n) ,A001003号(n) ,A007564号(n) ,A059231号(n) ,A078009号(n) ,A078018号(n) ,A081178号(n) ,A082147号(n) ,A082181号(n) ,A082148号(n) ,A082173号(n) 对于x=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11-菲利普·德尔汉姆2005年8月18日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=(-1)^n*A107841号(n) ,A080243号(n) ,A000007号(n) ,A000012号(n) ,A006318号(n) ,A103210型(n) ,A103211号(n) ,A133305型(n) ,A133306号(n) ,A133307号(n) ,A133308号(n) ,A133309号(n) 对于x=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8-菲利普·德尔汉姆2007年10月18日
O.g.f.(不包括首字母1)是关于(1-t*x)*x/(1+x)的x的级数反转。囊性纤维变性。A062991号A089434号. -彼得·巴拉2012年7月31日
G.f.:1+(1-x-T(0))/y,其中T(k)=1-x*(1+y)/(1-x*y/T(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月3日
发件人彼得·巴拉2015年7月20日:(开始)
O.g.f.A(x,t)=(1-x-sqrt((1-x)^2-4*x*t))/(2*x*t)=1+(1+t)*x+(1+3*t+2*t^2)*x^2+。。。。
1+x*(dA(x,t)/dx)/A(x,t)=1+(1+t)*x+(1+4*t+3*t^2)*x^2+。。。o.g.f.是用来的吗A123160型.
对于n>=1,第n行多项式等于(1+t)/(n+1)*Jacobi_P(n-1,1,2*t+1)。从行多项式中去掉1+t的因子,得到的行多项式为A033282号.(结束)
发件人汤姆·科普兰2016年1月22日:(开始)
重心g(x,t)={1-(2t+1)x-sqrt[1-(2t+1)2x+x^2]}/2x=(t+t^2)x+(t+3t^2+2t^3)x^2+(t+6t^2+10t^3+5t^3。。。生成该条目的移位行(不包括第一行)是在我2008年的公式中给出的A033282号对于A033282号f1(x,t)的简单变换与A060693号A001263号Narayana数字。另请参阅A086810型.
G(x,t)的逆函数本质上给出于A033282号乘以x1,f1(x,t)的倒数:Ginv(x,t)=x[1/(t+x)-1/(1+t+x)]=[((1+t)-t)/(t(1+t))]x-[((1+t)^2-t^2)/(t(1+t))^2]x^2+[((1+t)^3-t^3)/(t(1+t))^3]x^3-。Ginv(xt,t)的t系数是Pascal三角形对角线的o.g.f.sA007318号带有签名行和一个额外的起始列。分子给出有符号的行的o.g.f.sA074909号.
第行,共行A088617号是移位的列A107131号,其反转行是的Motzkin多项式A055151号,与相关A011973号.的对角线A055151号给出以下行A088671号和反对偶(从上到下)A088617号给出以下行A107131号和倒置的行A055151号.的对角线A107131号给出以下列A055151号.的反对偶A088617号(从下到上)给出A055151号.
(结束)
T(n,k)=[x^k]超几何([-n,1+n],[2],-x)-彼得·卢什尼2022年4月26日
例子
三角形开始:
[0] 1;
[1] 1, 1;
[2] 1, 3, 2;
[3] 1, 6, 10, 5;
[4] 1, 10, 30, 35, 14;
[5] 1, 15, 70, 140, 126, 42;
[6] 1, 21, 140, 420, 630, 462, 132;
[7] 1, 28, 252, 1050, 2310, 2772, 1716, 429;
[8] 1、36、420、2310、6930、12012、12012、6435、1430;
[9] 1, 45, 660, 4620, 18018, 42042, 60060, 51480, 24310, 4862;
MAPLE公司
R:=n->简化(超几何([-n,n+1],[2],-x)):
Trow:=n->seq(系数(R(n,x),x,k),k=0..n):
seq(打印(Trow(n)),n=0..9)#彼得·卢什尼2022年4月26日
数学
表[二项式[n+k,n]二项式[n,k]/(k+1),{n,0,10},{k,0,n}]//压扁(*迈克尔·德弗利格2017年8月10日*)
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=如果(k+1,二项式(n+k,n)*二项式
(岩浆)[[二项式(n+k,n)*二项式(n,k)/(k+1):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年6月18日
(SageMath)扁平化([[二项式(n+k,2*k)*catalan_number(k)for k in(0..n)]for n in(0..12)])#G.C.格鲁贝尔2022年5月22日
交叉参考
囊性纤维变性。A033282号,A055151号,A123160型.
关键词
非n,,容易的,改变
作者
N.J.A.斯隆2003年11月23日
状态
经核准的
A060693号 行读取的三角形(0<=k<=n):T(n,k)是具有k个峰值的从(0,0)到(2n,0)的Schröder路径数。 +10
25
1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 10, 6, 1, 14, 35, 30, 10, 1, 42, 126, 140, 70, 15, 1, 132, 462, 630, 420, 140, 21, 1, 429, 1716, 2772, 2310, 1050, 252, 28, 1, 1430, 6435, 12012, 12012, 6930, 2310, 420, 36, 1, 4862, 24310, 51480, 60060, 42042, 18018, 4620, 660, 45, 1, 16796 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,4
评论
行总和为A006318号(施罗德数),左栏为A000108号(加泰罗尼亚数字);左下一列是2017年1月,每行交替求和,但第一行为0。
T(n,k)是从(0,0)到(2n,0)的Schroeder路径数(即,由步骤U=(1,1)、D=(1,-1)、H=(2,0)组成,并且永远不会低于x轴),具有k个峰值。例如:T(2,1)=3,因为我们有UU*DD、U*DH和HU*D,峰值用*表示。例如,当n>0时,T(n,k)=二项(n,k)*二项(2n-k,n-1)/n-Emeric Deutsch公司2003年12月6日
A090181号*A007318号作为无穷下三角矩阵-菲利普·德尔汉姆2008年10月14日
T(n,k)也是最大度为3且k个顶点为2的有根平面树的数量(一个节点最多可以有2个子节点,并且正好有k个节点有1个子节点)。等价地,T(n,k)是可以使用一元运算k次、二元运算n-k次而不使用其他运算(操作数序列是固定的)形成的语法上不同的表达式的数量Lars-Hellstrom(Lars.Hellstrom(AT)residenset.net),2009年12月8日
链接
文森佐·利班迪,行n=0..100,扁平
J.Agapito、A.Mestre、P.Petrullo和M.Torres,通过加泰罗尼亚三角形计算非交叉分区2015年6月30日,CEAFEL研讨会
Jean-Christophe Aval和François Bergeron,矩形Schröder停车函数组合,arXiv:1603.09487[math.CO],2016年。
保罗·巴里,基于整数序列的广义Pascal三角构造,J.整数序列。,第9卷(2006年),第06.2.4条。
保罗·巴里,序列转换管道上的三个角度,arXiv:1803.06408[math.CO],2018年。
保罗·巴里,Riordan伪卷积、连分式和Somos 4序列,arXiv:1807.05794[math.CO],2018年。
保罗·巴里,类帕斯卡三角形族的中心系数和着色格路,J.国际顺序。,第22卷(2019年),第19.1.3条。
保罗·巴里,与类帕斯卡三角形族相关的广义加泰罗尼亚数,J.国际顺序。,第22卷(2019年),第19.5.8条。
保罗·巴里,关于Riordan阵列的反演,arXiv:2101.06713[math.CO],2021。
保罗·巴里,关于Motzkin-Schröder路径、Riordan阵列和Somos-4序列,J.国际顺序。(2023)第26卷,第23.4.7条。
David Callan和Toufik Mansour,列为弱排序排列的五个子集,arXiv:1602.05182[math.CO],2016年。
G.E.Cossali,加泰罗尼亚数和其他整数序列的通用生成函数,J.国际事务。6 (2003).
萨缪尔·吉拉乌多,树序列和语法树中的模式避免,arXiv:1903.00677[math.CO],2019年。
Nate Kube和Frank Ruskey,满足a(n-a(n))=0的序列《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.5.5条。
克里希娜·梅农和阿努拉·辛格,避免同一性的格拉斯曼排列,arXiv:2212.13794[math.CO],2022年。
Jean-Christophe Novelli和Jean-Yves Thibon,对偶代数与拉格朗日反演,arXiv预印本arXiv:1209.5959[math.CO],2012。
配方奶粉
行读取三角形T(n,k)(0<=k<=n);由[1,1,1,1,1,…]DELTA[1,0,1,0,…]给出,其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2003年8月12日
如果C_n(x)是Narayana数第n行的g.f(A001263号),C_n(x)=和{k=1..n}二项式(A001263号(n,k)*(x+1)^k)-米奇·哈里斯,2007年1月16日,2007年01月31日
G.f.:(1-t*y-sqrt((1-y*t)^2-4*y))/2。
T(n,k)=二项(2n-k,n)*二项(n,k)/(n-k+1)-菲利普·德尔汉姆2003年12月7日
A060693号(n,k)=二项式(2*n-k,k)*A000108号(n-k);A000108号:加泰罗尼亚数字-菲利普·德尔汉姆2003年12月30日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000007号(n) ,A000108号(n) ,A006318号(n) ,A047891号(n+1),A082298号(n) ,A082301号(n) ,A082302号(n) ,A082305号(n) ,A082366号(n) ,A082367号(n) ,对于x=-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8-菲利普·德尔汉姆2007年4月1日
T(n,k)=和{j>=0}A090181号(n,j)*二项式(j,k)-菲利普·德尔汉姆2007年5月4日
和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=(-1)^n*A107841号(n) ,A080243号(n) ,A000007号(n) ,A000012号(n) ,A006318号(n) ,A103210型(n) ,A103211号(n) ,A133305型(n) ,A133306号(n) ,A133307号(n) ,A133308号(n) ,A133309号(n) 对于x=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8-菲利普·德尔汉姆2007年10月18日
发件人保罗·巴里,2009年1月29日:(开始)
G.f.:1/(1-xy-x/(1-xyx-x/(1-xy-x/[1-xy-x/(1-……)(连分数));
G.f.:1/(1-(x+xy)/(1-x/(1-(x+xy。(结束)
T(n,k)=[k<=n]*(和{j=0..n}二项式(n,j)^2*二项式[j,k)]/(n-k+1)-保罗·巴里,2009年5月28日
T(n,k)=A104684号(n,k)/(n-k+1)-彼得·卢什尼2011年5月17日
发件人汤姆·科普兰2011年9月21日:(开始)
对于A060693号t中的多项式,
G(x,t)=x/(1+t+(2+t)*x+x^2)是x中的成分逆。
因此,当H(x,t)=1/(dG(x,t)/dx)=(1+t+(2+t)*x+x^2)^2/(1+t-x^2A060693号t中的多项式由(1/n!)*((H(x,t)*d/dx)^n)x在x=0时计算得出,即F(x,t)=exp(x*H(u,t)*d/d)u,在u=0时估算得出。
此外,dF(x,t)/dx=H(F(x、t),t)。(结束)
在中查看我的2008公式A033282号将此条目关联到A088617号,A001263号,A086810型和其他矩阵-汤姆·科普兰2016年1月22日
这一条目的行是非消失的反对偶A097610号见Agapito等人第14页,了解二元生成函数及其逆函数-汤姆·科普兰2016年2月3日
发件人沃纳·舒尔特2017年1月9日:(开始)
T(n,k)=A126216号(n,k-1)+A126216号(n,k)对于0<k<n;
和{k=0..n}(-1)^k*(1+x*(n-k))*T(n,k)=x+(1-x)*A000007号(n) 。
(结束)
猜想:和{k=0..n}(-1)^k*T(n,k)*(n+1-k)^2=1+n+n^2-沃纳·舒尔特2017年1月11日
例子
三角形开始:
00: [ 1]
01: [ 1, 1]
02: [ 2, 3, 1]
03: [ 5, 10, 6, 1]
04: [ 14, 35, 30, 10, 1]
05: [ 42, 126, 140, 70, 15, 1]
06: [ 132, 462, 630, 420, 140, 21, 1]
07: [ 429, 1716, 2772, 2310, 1050, 252, 28, 1]
08: [ 1430, 6435, 12012, 12012, 6930, 2310, 420, 36, 1]
09: [ 4862, 24310, 51480, 60060, 42042, 18018, 4620, 660, 45, 1]
10: [16796, 92378, 218790, 291720, 240240, 126126, 42042, 8580, 990, 55, 1]
...
MAPLE公司
A060693号:=(n,k)->二项(n,k)*二项(2*n-k,n)/(n-k+1)#彼得·卢什尼2011年5月17日
数学
t[n_,k_]:=二项式[n,k]*二项式[2n-k,n]/(n-k+1);扁平[表[t[n,k],{n,0,9},{k,0,n}]](*罗伯特·威尔逊v,2011年5月30日*)
黄体脂酮素
(PARI)T(n,k)=二项(n,k)*二项(2*n-k,n)/(n-k+1);
对于(n=0,10,对于(k=0,n,print1(T(n,k),“,”));打印)\\因德拉尼尔·戈什2017年7月28日
(Python)
从症状导入二项式
定义T(n,k):返回二项(n,k)*二项(2*n-k,n)/(n-k+1)
对于范围(11)中的n:打印([T(n,k)对于范围(n+1)中的k)])#因德拉尼尔·戈什2017年7月28日
交叉参考
囊性纤维变性。A006318号,A000108号,2017年1月.
三角形输入A088617号转置。
关键词
非n,
作者
F.查波顿2001年4月20日
扩展
更多术语来自弗拉德塔·乔沃维奇2001年4月21日
来自的新描述菲利普·德尔汉姆2003年8月12日
使用注释的新名称Emeric Deutsch公司彼得·卢什尼2017年7月26日
状态
经核准的
A103209号 反对偶读取的平方数组T(n,d):R^d中d维盒的结构不同的截断分区的个数乘以n个超平面。 +10
13
1, 1, 2, 1, 6, 3, 1, 22, 15, 4, 1, 90, 93, 28, 5, 1, 394, 645, 244, 45, 6, 1, 1806, 4791, 2380, 505, 66, 7, 1, 8558, 37275, 24868, 6345, 906, 91, 8, 1, 41586, 299865, 272188, 85405, 13926, 1477, 120, 9, 1, 206098, 2474025, 3080596, 1204245, 229326, 26845 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,3
评论
列是Riordan数组((1-d*x)/(1-x),x(1-d**)/(1-x))的倒数的行和,也就是说,Riordan阵列((1+x-sqrt(1+2(1-2*d)x+x^2)/(2*d**),(1+x-sqrt(1+2(1-2*d)x+x^1)/(2*d)))的行和-保罗·巴里2005年5月24日
链接
E.Ackerman、G.Barequet、R.Y.Pinter和D.Romik,d维断头台隔板的数量,信息过程。Lett 98(4)(2006)162-167。
安德烈·阿辛诺夫斯基和图菲克·曼苏尔,可分d-置换和截断分区,arXiv 0803.3414[math.CO],2008;组合数学年鉴14(1)pp.17-43 Springer,2010;摘要
保罗·巴里,Riordan阵列定义的类帕斯卡矩阵族的逆《整数序列杂志》,16(2013),#13.5.6。
Jean Cardinal、Stefan Felsner、,完全二部图的拓扑图,《计算几何杂志》9.1(2018),213-246。阿尔索arXiv:1608.08324[cs.CG],2016(OEIS在版本v1中引用,但在版本v2中没有引用)。
配方奶粉
T(n,d)=(1/n)*总和[i=0..n-1,C(n,i)*C(n、i+1)*(d-1)^i*d^(n-i)],T(n、0)=1。
第d列的G.f:[1-z-(z^2-4dz+2z+1)^(1/2)]/(2dz-2z)。
T(n,k)=总和{j=0..n,C(n+j,2j)*k^j*C(j)},CA000108号. -保罗·巴里2005年5月21日
T(n,k)=超几何([-n,n+1],[2],-k)-彼得·卢什尼2014年5月23日
例子
1,...1,....1,.....1,......1,......1,.......1,.......1,.......1,
1,...2,....三,。。。。。4,......5,。。。。。。6,.......7,.......8,.......9,
1,...6,...15,....28,.....45,.....66,......91,.....120,。。。。。153,
1,..22,...93,...244,....505,....906,....1477,....2248,....3249,
1,..90,..645,。。2380,...6345,..13926,...26845,...47160,...77265,
1,.394,.4791,.24868,..85405,.229326,..522739,.1059976,.1968633,
1,1806,37275,272188,1204245,3956106,10663471,24958200,52546473,
MAPLE公司
T:=(n,k)->上层([-n,n+1],[2],-k);
seq(打印(seq(简化(T(n,k)),k=0..9)),n=0..6)#彼得·卢什尼2014年5月23日
数学
T[0,_]=T[_,0]=1;
T[n_,k_]:=和[二项式[n+j,2j]k^j CatalanNumber[j],{j,0,n}];
表[T[n-k+1,k],{n,0,10},{k,0,n}]//扁平(*Jean-François Alcover公司,2018年6月20日,之后保罗·巴里*)
交叉参考
第二列为A006318号(施罗德数字),其他是A103210型A103211号.主对角线为A292798型,主对角线下的对角线为A103212号.
关键词
非n,
作者
拉尔夫·斯蒂芬2005年1月27日
状态
经核准的
A133305型 a(n)=(1/n)*Sum_{i=0..n-1}C(n,i)*C(n、i+1)*4^i*5^(n-i),a(0)=1。 +10
7
1, 5, 45, 505, 6345, 85405, 1204245, 17558705, 262577745, 4005148405, 62070886845, 974612606505, 15471084667545, 247876665109005, 4003225107031845, 65101209768055905, 1065128963164067745, 17520376884067071205, 289572455530026439245, 4806489064223483202905 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
评论
数组第五列A103209号.
该序列的Hankel变换为20^C(n+1,2)-菲利普·德尔汉姆2007年10月28日
链接
萨缪尔·吉拉乌多,偏序集的运算与Koszul对偶,arXiv:1504.04529[math.CO],2015-2016年。
配方奶粉
G.f.:(1-z-sqrt(z^2-18*z+1))/(8*z)。
a(n)=和{k=0..n}A088617号(n,k)*4^k。
a(n)=和{k=0..n}A060693号(n,k)*4^(n-k)。
a(n)=和{k=0..n}C(n+k,2k)*4^k*C(k),C(n)由A000108号.
a(0)=1,a(n)=a(n-1)+4*Sum_{k=0..n-1}a(k)*a(n-1-k)-菲利普·德尔汉姆2007年10月23日
猜想:(n+1)*a(n)+9*(-2*n+1)*a(n-1)+(n-2)*a-R.J.马塔尔2014年5月23日
G.f.:1/(1-5*x/(1-4*x/-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月10日
a(n)=表层([-n,n+1),[2],-4])-彼得·卢什尼2018年1月8日
a(n)~5^(1/4)*phi^(6*n+3)/(2^(5/2)*sqrt(Pi)*n^(3/2)),其中phi=A001622号是黄金比例-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年11月21日
数学
a[n]:=超几何2F1[-n,n+1,2,-4];
表[a[n],{n,0,16}](*彼得·卢什尼,2018年1月8日*)
系数列表[级数[(1-x-Sqrt[x^2-18*x+1])/(8*x),{x,0,50}],x](*G.C.格鲁贝尔2018年2月10日*)
黄体脂酮素
(PARI)x='x+O('x^30);Vec((1-x-sqrt(x^2-18*x+1))/(8*x))\\G.C.格鲁贝尔2018年2月10日
(岩浆)Q:=原理();R<x>:=PowerSeriesRing(Q,40);系数(R!(1-x-Sqrt(x^2-18*x+1))/(8*x))//G.C.格鲁贝尔2018年2月10日
交叉参考
关键词
非n
作者
菲利普·德尔汉姆2007年10月18日
状态
经核准的
A131763号 x*(1-4x)/(1-x)的级数倒转是x*A(x),其中A(x)是生成函数。 +10
6
1, 3, 21, 183, 1785, 18651, 204141, 2310447, 26819121, 317530227, 3819724293, 46553474919, 573608632233, 7133530172619, 89423593269213, 1128765846337887, 14334721079385441, 183021615646831587, 2347944226115977461, 30250309354902101271, 391241497991342192985 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
评论
该序列的汉克尔变换为12^C(n+1,2)。
避免UD的双色向上(U,U)和双色向下(D,D)的Dyck n路径数-大卫·斯卡布勒2013年6月24日
具有3种上台阶类型的小Schröder n路径数(即,使用台阶U1=U2=U3=(1,1),F=(2,0),D=(1,-1)从(0,0)到(2n,0)的晶格路径,x轴上没有F台阶)-余欣凹2019年12月5日
链接
J.Abate和W.Whitt,排队论中的整数序列,J.国际顺序。13(2010),10.5.5,p_n(3)。
于欣(Gary)Au,加权小Schröder数的一些性质及其组合含义,arXiv:1912.00555[math.CO],2019年。
保罗·巴里,嵌入与Riordan阵列和矩矩阵相关的结构,arXiv:1312.0583[math.CO],2013年。
Z.Chen和H.Pan,加权Catalan-Schroder和Motzkin路径的恒等式,arXiv:1608.02448[math.CO],(2016),等式(1.13),a=3,b=4。
配方奶粉
a(n)=和{0<=k<=n}A086810型(n,k)*3^k。
a(n)=(3/4)*A103211号(n) 对于n>0。
a(n)=-a(n-1)+4*Sum_{i=0..n-1}a(i)*a(n-i-1)),a(0)=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年3月30日
猜想:(n+1)*a(n)+7*(-2*n+1)*a(n-1)+(n-2)*a-R.J.马塔尔2015年8月16日
a(n)=(-1)^n*超几何([-n,n+1),[2],4)-彼得·卢什尼2018年1月8日
总面积:(1+x-sqrt(1-14*x+x^2))/(8*x)-迈克尔·索莫斯2022年7月27日
发件人迈克尔·索莫斯,2024年3月15日:(开始)
给定g.f.A(x)和y=2*x*A(-x^2),则y-1/y=(x-1/x)/2。
如果n<0时a(n):=-a(-1-n),则Z中所有n的0=a(n
例子
G.f.=1+3*x+21*x^2+183*x^3+1785*x^4+18651*x^5+-迈克尔·索莫斯2022年7月27日
数学
Rest[系数列表[反级数[级数[x*(1-4*x)/(1-x),{x,0,20}],x],x]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月30日*)
表[(-1)^n超几何2F1[-n,n+1,2,4],{n,0,20}](*彼得·卢什尼2018年1月8日*)
a[n_]:=系列系数[(1+x-Sqrt[1-14*x+x^2])/(8*x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2022年7月27日*)
a[n]:=(-1)^n*超几何2F1[-n,n+1,2,4];(*迈克尔·索莫斯2024年3月15日*)
黄体脂酮素
(PARI)Vec(序列反转(x*(1-4*x)/(1-x)+O(x^30))\\米歇尔·马库斯2015年3月30日
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n++;polceoff(serreverse(x*(1-4*x)/(1-x)+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2022年7月27日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,-a(-1-n),polceoff(2/(1+x+sqrt(1-14*x+x^2+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2024年3月15日*/
交叉参考
囊性纤维变性。A086810型,A103211号.
关键词
非n
作者
菲利普·德尔汉姆2007年10月29日,2007年11月6日
扩展
a(17)修正人马克·范·霍伊,2010年7月1日
状态
经核准的
A349254型 G.f.A(x)满足A(x)=1/((1-x)*(1-3*x*A(x)^2))。 +10
6
1, 4, 37, 478, 7159, 116497, 2000386, 35671756, 654218641, 12261271942, 233798163646, 4521194100541, 88458184054882, 1747850650032532, 34828329987024058, 699083528482636228, 14121906499195594537, 286877562430915732546, 5856866441794110926809 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
链接
配方奶粉
a(n)=1+3*求和{i=0..n-1}求和{j=0..n-i-1}a(i)*a(j)*a(n-i-j-1)。
a(n)=和{k=0..n}二项式(n+k,n-k)*3^k*二项式。
a(n)=表层([1/3,2/3,-n,n+1),[1/2,1,3/2],-(3/2)^4)-彼得·卢什尼2021年11月12日
a(n)~平方(873+89*sqrt(97))*(89+9*sqert(97),^n/(3^(5/2)*sqrt(Pi)*n^(3/2)*2^(3*n+5/2)))-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年11月13日
数学
nmax=18;A[_]=0;Do[A[x_]=1/((1-x)(1-3 x A[x]^2))+O[x]*(nmax+1)//正常,nmax+1];系数列表[A[x],x]
a[n]:=a[n]=1+3和[Sum[a[i]a[j]a[n-i-j-1],{j,0,n-i-1}],{i,0,n-1}];表[a[n],{n,0,18}]
表[Sum[二项式[n+k,n-k]3^k二项式[3k,k]/(2k+1),{k,0,n}],{n,0,18}]
a[n]:=超几何PFQ[{1/3,2/3,-n,n+1},{1/2,1,3/2},-81/16];
表[a[n],{n,0,18}](*彼得·卢什尼2021年11月12日*)
交叉参考
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A133306号 a(n)=(1/n)*Sum_{i=0..n-1}C(n,i)*C(n、i+1)*5^i*6^(n-i),a(0)=1。 +10
5
1, 6, 66, 906, 13926, 229326, 3956106, 70572066, 1291183806, 24095736726, 456879955026, 8776867331706, 170459895028566, 3341423256586206, 66023812564384026, 1313634856606430226, 26295597219228901806, 529199848207277494566, 10701116421278640683106, 217317899302044152030826 (列表图表参考历史文本内部格式)
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0,2
评论
数组第六列2009年3月1日.
该序列的汉克尔变换为30^C(n+1,2)-菲利普·德尔汉姆2007年10月28日
链接
配方奶粉
G.f.:(1-z-sqrt(z^2-22*z+1))/(10*z)。
a(n)=和{k,0<=k<=n}A088617号(n,k)*5^k。
a(n)=和{k,0<=k<=n}A060693号(n,k)*5^(n-k)。
a(n)=和{k,0<=k<=n}C(n+k,2*k)5^k*C(k),C(n)由A000108号.
a(0)=1,a(n)=a(n-1)+5*Sum_{k=0..n-1}a(k)*a(n-1-k)-菲利普·德尔汉姆2007年10月23日
猜想:(n+1)*a(n)+11*(-2*n+1)*a(n-1)+(n-2)*a-R.J.马塔尔2014年5月23日
G.f.:1/(1-6*x/(1-5*x/-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月10日
a(n)~3^(1/4)*(11+2*sqrt(30))^(n+1/2)/(10^(3/4)*sqert(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年11月29日
数学
系数列表[级数[(1-x-Sqrt[x^2-22*x+1])/(10*x),{x,0,50}],x](*G.C.格鲁贝尔2018年2月10日*)
黄体脂酮素
(PARI)x='x+O('x^30);Vec((1-x-sqrt(x^2-22*x+1))/(10*x))\\G.C.格鲁贝尔2018年2月10日
(岩浆)Q:=原理();R<x>:=PowerSeriesRing(Q,40);系数(R!((1-x-Sqrt(x^2-22*x+1))/(10*x))//G.C.格鲁贝尔2018年2月10日
交叉参考
关键词
非n
作者
菲利普·德尔汉姆2007年10月18日
状态
经核准的
A133307号 a(n)=(1/n)*Sum_{i=0..n-1}C(n,i)*C(n、i+1)*6^i*7^(n-i),a(0)=1。 +10
5
1, 7, 91, 1477, 26845, 522739, 10663471, 224939113, 4866571801, 107393779423, 2407939176643, 54700070934061, 1256249370578293, 29119953189833611, 680401905145643863, 16008309928027493713, 378930780842531820721, 9017843351806985482423, 215634517504141993966891 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
评论
数组第七列A103209号.
该序列的Hankel变换为42^C(n+1,2)-菲利普·德尔汉姆2007年10月28日
链接
配方奶粉
G.f.:(1-z-sqrt(z^2-26*z+1))/(12*z)。
a(n)=和{k=0..n}A088617号(n,k)*6^k。
a(n)=和{k=0..n}A060693号(n,k)*6^(n-k)。
a(n)=和{k=0..n}C(n+k,2k)6^k*C(k),C(n)由A000108号.
a(0)=1,a(n)=a(n-1)+6*Sum_{k=0..n-1}a(k)*a(n-1-k)-菲利普·德尔汉姆2007年10月23日
猜想:(n+1)*a(n)+13*(-2*n+1)*a(n-1)+(n-2)*a-R.J.马塔尔2014年5月23日
a(n)=表层([-n,n+1),[2],-6)#彼得·卢什尼2014年5月23日
G.f.:1/(1-7*x/(1-6*x/-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月10日
a(n)~42^(1/4)*(13+2*sqrt(42))^(n+1/2)/(12*sqert(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年11月29日
MAPLE公司
a:=n->超几何([-n,n+1],[2],-6);
seq(圆形(evalf(a(n),32)),n=0..16)#彼得·卢什尼2014年5月23日
数学
系数列表[级数[(1-x-Sqrt[x^2-26*x+1])/(12*x),{x,0,50}],x](*G.C.格鲁贝尔2018年2月10日*)
黄体脂酮素
(PARI)x='x+O('x^30);Vec((1-x-sqrt(x^2-26*x+1))/(12*x))\\G.C.格鲁贝尔2018年2月10日
(岩浆)Q:=原理();R<x>:=PowerSeriesRing(Q,40);系数(R!((1-x-Sqrt(x^2-26*x+1))/(12*x))//G.C.格鲁贝尔2018年2月10日
交叉参考
关键词
非n
作者
菲利普·德尔汉姆2007年10月18日
状态
经核准的
A133308号 a(n)=(1/n)*Sum_{i=0..n-1}C(n,i)*C(n、i+1)*7^i*8^(n-i),a(0)=1。 +10
5
1, 8, 120, 2248, 47160, 1059976, 24958200, 607693640, 15175702200, 386555020552, 10004252294520, 262321706465736, 6953918939056440, 186059575955360136, 5018045415643478520, 136276936332343342152, 3723442515218861494200, 102281105054908404972040 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
评论
数组第八列A103209号.
该序列的Hankel变换为56^C(n+1,2)-菲利普·德尔汉姆2007年10月28日
链接
配方奶粉
G.f.:(1-z-sqrt(z^2-30*z+1))/(14*z)。
a(n)=和{k,0<=k<=n}A088617号(n,k)*7^k。
a(n)=和{k,0<=k<=n}A060693号(n,k)*7^(n-k)。
a(n)=和{k,0<=k<=n}C(n+k,2k)7^k*C(k),C(n)由下式给出A000108号.
a(0)=1,a(n)=a(n-1)+7*Sum_{k=0..n-1}a(k)*a(n-1-k)-菲利普·德尔汉姆2007年10月23日
猜想:(n+1)*a(n)+15*(-2*n+1)*a(n-1)+(n-2)*a-R.J.马塔尔2014年5月23日
a(n)=表层([-n,n+1),[2],-7)-彼得·卢什尼2014年5月23日
G.f.:1/(1-8*x/(1-7*x/-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月10日
MAPLE公司
a:=n->上层([-n,n+1),[2],-7);
seq(圆形(evalf(a(n),32)),n=0..15)#彼得·卢什尼2014年5月23日
数学
系数列表[级数[(1-x-Sqrt[x^2-30*x+1])/(14*x),{x,0,50}],x](*G.C.格鲁贝尔2018年2月10日*)
黄体脂酮素
(PARI)x='x+O('x^30);Vec((1-x-sqrt(x^2-30*x+1))/(14*x))\\G.C.格鲁贝尔2018年2月10日
(岩浆)Q:=原理();R<x>:=PowerSeriesRing(Q,40);系数(R!((1-x-Sqrt(x^2-30*x+1))/(14*x))//G.C.格鲁贝尔2018年2月10日
交叉参考
关键词
非n
作者
菲利普·德尔汉姆2007年10月18日
状态
经核准的
第页12

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