搜索： a098334-编号：a098335
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1, 1, -1, -5, -5, 11, 41, 29, -125, -365, -131, 1409, 3301, -155, -15625, -29485, 16115, 170035, 254525, -309775, -1813055, -2064655, 4617755, 18909175, 14903725, -61552739, -192390589, -81290561, 767919595, 1901796395, 28588201
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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（1+x-x^2）^n的中心系数。1/sqrt的二项式变换（1+4x^2，或（1,0，-2,0,6,0，-20，…）。二项式变换为A098335号.（-1）^nA098331（n）是（1,0，-2,0,6,0，-20，…）的二项式逆变换。
汉克尔变换是2^n*（-1）^C（n+1,2）。0，1，1，-1，-5，-5，…的Hankel变换，。。。是F（n）*（-1）^C（n+2,2）*（2^n+0^n）/2-保罗·巴里2009年1月13日
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链接
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配方奶粉
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例如：exp（x）*BesselI（0，2*i*x），i=sqrt（-1）；
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项（n，2k）*二项（2k，k）*（-1）^k；
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项（n，k）*二项（n-k，k）x（-1）^k；
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*二项式的（k，k/2）*cos（pi*k/2）。
递归D-有限：a（0）=a（1）=1，a（n）=（（2n-1）a（n-1）-5（n-1，a（n-2））/n-T.D.诺伊2005年10月19日
a（n）=表层（[-n/2，1/2-n/2]，[1]，-4）-彼得·卢什尼2014年9月18日
a（n）~5^（n/2+1/4）*cos（（Pi*n-反弧（1/2）-n*反弧（4/3））/2）/sqrt（Pi*n）-瓦茨拉夫·科泰索维奇2017年10月31日
a（n）=（sqrt（5））^n*P（n，1/sqrt）），其中P（n、x）是n次的勒让德多项式。注意加泰罗尼亚语的一般结果（sqert（4*m+1））^n*P（n,1/sqrt（4*m+1））=和{k=0..floor（n/2）}C（n，2*k）*C（2*k，k）（-m）^k-彼得·巴拉2018年3月18日
G.f.：1/（1-x+2*x^2/（1-x+x^2/（1-x+x^3/（1-x+x^2（1-…）））），一个连分数-伊利亚·古特科夫斯基2021年11月19日
通用公式：A（x）=和{n>=0}（-1）^n*二项式（2*n，n）*x^（2*n）/（1-x）^（2*n+1）。
a（n）^2=和{k=0..n}（-1）^k*5^（n-k）*二项式（2*k，k）*二项式（n，k）x二项式。
和{n>=0}（-1）^n*二项式（2*n，n）^2*x^n/（1-5*x）^（2*n+1）=1+x+x^2+25*x^3+25*x^4+121*x^5+。。。是a（n）^2的g.f。
高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p和正整数n和k（End）
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MAPLE公司
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A098331号：=n->超几何（[-n/2，1/2-n/2]，[1]，-4）；
f： =gfun:-直肠（{（5*n+5）*a（n）+（-3-2*n）*a
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数学
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a=b=1；连接[{a，b}，表[c=（（2n-1）b-5（n-1）a）/n；a=b；b=c；c，{n，2，30}]]（否）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-2x+5x^2]，{x，0，40}]，x](*哈维·P·戴尔2015年8月17日*）
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程序
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（PARI）我的（x='x+O（'x^99））；Vec（1/（1-2*x+5*x^2）^（1/2））\\阿尔图·阿尔坎2018年3月18日
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1, 1, -5, -17, 19, 211, 181, -2015, -5837, 12259, 91585, 29965, -1033955, -2347955, 7953115, 43864543, -11941037, -559875245, -942036911, 5060812717, 21502740649, -20676139991, -307241918945, -344022187613
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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（1+x-3x^2）^n的中心系数。
1/sqrt（1+12x^2）或（1,0，-6,0,54,0，-540，…）的二项式变换。
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链接
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配方奶粉
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例如：exp（x）*BesselI（0，2*sqrt（-3）x）；
a（n）=Sum_{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2k）*binominal（2k，k）（-3）^k；
a（n）=Sum_{k=0..floor（n/2）}二项式（n，k）*binominal（n-k，k）（-3）^k。
递归D-有限：n*a（n）+（-2*n+1）*a（n-1）+13*（n-1-R.J.马塔尔2012年11月24日
Lim-sup n->无穷大|a（n）|^（1/n）=sqrt（13）-瓦茨拉夫·科泰索维奇，2014年2月9日
a（n）=（sqrt（13））^n*P（n，1/sqrt-彼得·巴拉2018年3月18日
a（n）=超几何（[1/2-n/2，-n/2]，[1]，-12）-彼得·卢什尼2018年3月19日
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MAPLE公司
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a:=n->超深层（[1/2-n/2，-n/2]，[1]，-12）：
seq（简化（a（n）），n=0..23）#彼得·卢什尼2018年3月19日
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数学
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系数列表[系列[1/Sqrt[1-2*x+13*x^2]，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年2月9日*）
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程序
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（PARI）x='x+O（'x^99）；Vec（1/（1-2*x+13*x^2）^（1/2））\\阿尔图·阿尔坎2018年3月18日
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A307860
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| 平方数组A（n，k），n>=0，k>=0（通过反对偶读取），其中k列是1/sqrt（1-2*x+（1+4*k）*x^2）的展开式。 |
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+10
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -3, -5, 1, 1, 1, -5, -11, -5, 1, 1, 1, -7, -17, 1, 11, 1, 1, 1, -9, -23, 19, 81, 41, 1, 1, 1, -11, -29, 49, 211, 141, 29, 1, 1, 1, -13, -35, 91, 401, 181, -363, -125, 1, 1, 1, -15, -41, 145, 651, 41, -2015, -1791, -365, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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A（n，k）是（1+x-k*x^2）^n展开式中x^n的系数。
A（n，k）=和{j=0..floor（n/2）}（-k）^j*二项式。
n*A（n，k）=（2*n-1）*A（n-1，k）-（1+4*k）*（n-1）*A（n-2，k）。
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例子
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方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, ...
1, -5, -11, -17, -23, -29, -35, ...
1, -5, 1, 19, 49, 91, 145, ...
1, 11, 81, 211, 401, 651, 961, ...
1, 41, 141, 181, 41, -399, -1259, ...
1, 29, -363, -2015, -5767, -12459, -22931, ...
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数学
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T[n_，k_]：=总和[如果[k==j==0，1，（-k）^j]*二项式[n，j]*二项式[n-j，j]，{j，0，Floor[n/2]}]；表[T[k，n-k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2021年5月13日*）
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1, 2, -4, -40, -80, 352, 2624, 3712, -32000, -186880, -134144, 2885632, 13520896, -1269760, -256000000, -966164480, 1056112640, 22286827520, 66722201600, -162411315200, -1901125959680, -4329895362560
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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Hacène Belbachir、Abdelghani Mehdaoui、LászlóSzalay、，帕斯卡金字塔中的对角线和，II：应用，J.国际顺序。，第22卷（2019年），第19.3.5条。
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配方奶粉
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例如：exp（2x）BesselI（0，4*I*x），I=sqrt（-1）；
a（n）=和{k=0..层（n/2），二项式（n，k）二项式的（n-k，k）2^n（-1）^k}；
a（n）=和{k=0..n，二项式（2k，k）二项式（k，n-k）（-5）^（n-k）}。
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项（n，k）二项（2（n-k），n）（-5）^k-保罗·巴里2004年9月8日。
递归D-有限：n*a（n）+2*（-2*n+1）*a（n-1）+20*（n-1-R.J.马塔尔2012年11月24日
Lim-sup n->无穷大|a（n）|^（1/n）=2*sqrt（5）-瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年2月8日
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数学
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表[Sum[二项式[n，k]*二项式[2*（n-k），n]*（-5）^k，{k，0，Floor[n/2]}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年2月8日*）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-4x+20x^2]，{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2015年7月29日*）
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关键词
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作者
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1, 3, 1, -45, -255, -477, 2689, 25203, 82945, -90045, -2379519, -11581677, -12063999, 197669475, 1423716225, 3645266355, -12180238335, -156702949245, -626511576575, 51239061075, 15179398450945, 87687927568035, 151934475887745
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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（1+3*x-4*x^2）^n的中心系数。
（-1）^n*a（n）是（1+2*i*x）^n系数的平方和，其中i=sqrt（-1）（参见PARI代码）-乔格·阿恩特2011年7月6日
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链接
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哈塞内·贝尔巴赫尔和阿卜杜勒加尼·梅多伊，二项系数平方和的递推关系，Quaestions Mathematicae（2021）第44卷，第5期，615-624。
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配方奶粉
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例如：exp（3*x）*BesselI（0,4*I*x），I=sqrt（-1）。
a（n）=（-1）^n*和{k=0..n}二项式（n，k）^2*（-4）^k。
a（n）=（-1）^n*超几何（[-n，-n]，[1]，-4）-彼得·卢什尼，2014年9月23日
递归D-有限：n*a（n）+3*（-2*n+1）*a（n-1）+25*（n-1-R.J.马塔尔2014年11月27日
a（n）=（5^n）*P（n，3/5），其中P（n、x）是第n个勒让德多项式。
a（n）=[x^n]（（1-x）*（1+4*x））^n。
a（n）=5^（2*n+1）*Sum_{k>=n}（-1）^（n+k）*二项式（k，n）^2*（1/4）^。
a（n）=（5/4）*（25/4）^n*超深层（[n+1，n+1，[1]，-1/4）。（结束）
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数学
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表[（-5）^n*LegendreP[n，-3/5]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2013年7月23日*）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-6x+25x^2]，{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2014年8月22日*）
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程序
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（PARI）a（n）={local（v=Vec（（1+2*I*x）^n））；（-1）^n*sum（k=1，#v，v[k]^2）；}/*Joerg Arndt，2011年7月6日*/
（PARI）a（n）={local（v=Vec（（1+2*I*x）^n））；总和（k=1，#v，real（v[k]）^2-imag（v[k]）^2）；}/*Joerg Arndt，2011年7月6日*/
（鼠尾草）
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作者
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