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A000108号 加泰罗尼亚数字:C(n)=二项式(2n,n)/(n+1)=(2n)/(n!(n+1)!)。
(原名M1459 N0577)
+10
3959
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 18367353072152, 69533550916004, 263747951750360, 1002242216651368, 3814986502092304 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
这些以前被称为塞格纳数。
已知大量的组合解释——见参考文献,特别是R.P.Stanley,“加泰罗尼亚数字”,剑桥大学出版社,2015年。这可能是OEIS中最长的条目,也是正确的。
Schröder第一个问题的解决方案:在一个由n+1个字母组成的单词中插入n对括号的方法有很多。例如,对于n=2,有两种方法:(ab)c)或(a(bc));对于n=3,有5种方式:(ab)(cd)、(ab)c(d)、(a(bc)d)、。
考虑方格纸上的所有二项式(2n,n)路径,它们(i)从(0,0)开始,(ii)在(2n、0)结束,(iii)在每一步,要么进行(+1,+1)步,要么执行(+1,-1)步。那么从未低于x轴的这样的路径(Dyck路径)的数量是C(n)。[钟-米勒]
n集的非交叉分区数。例如,在4个集合的15个集合分区中,只有[{13},{24}]是交叉的,因此有一个由4个元素组成的(4)=14个非交叉分区-乔格·阿恩特2011年7月11日
非交叉分区是0属的分区-罗伯特·科克雷2024年2月13日
a(n-1)是将对称群S_n中的n个循环表示为n-1个换位(u_1,v_1)*(u_2,v_2)**(u{n-1},v{n-1{)其中uk≤uj,vk≤vj;请参见示例。如果条件被删除,则获得A000272号. -乔格·阿恩特和格雷格·史蒂文森,2011年7月11日
a(n)是具有n个节点的有序根树的数量,不包括根。请参阅Conway-Guy参考,其中这些有根的有序树被称为平灌木。另见Bergeron等人的参考文献,实施例4,第167页-Wolfdieter Lang公司2007年8月7日
如Beineke和Pippert(1971)的论文所示,a(n-2)=D(n)是一个圆盘的标记解剖数,与数字R(n)有关=A001761号通过公式D(n)=R(n)/(n-2)!,对具有n个顶点且根位于给定外边缘的标记平面2-树的(n-2-M.F.哈斯勒2012年2月22日
与自身卷积时向左移动一个位置。
对于n>=1,a(n)也是n条边上0属的有根双色单细胞映射数艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my-deja.com),2001年8月15日
连接圆上2n个点以形成n个不相交和弦的方法的数目。(如果没有施加此类限制,则形成n和弦的方式数量由(2n-1)!!=(2n)/(n!*2^n)=A001147号(n) .)
舒伯特微积分中的出现-参见Sottile参考。
序列的欧拉逆变换是A022553号.
利用插值零点,Motzkin数的二项式逆变换A001006号. -保罗·巴里2003年7月18日
这个序列或这个序列的Hankel变换省略了第一项A000012号= 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...; 例如:Det([1,1,2,5,1,2,514,2,5,42,5,14,42,5)=1,Det([1,2,5,514,42;2,5,14,132;14,42,132,429])=1-菲利普·德尔汉姆2004年3月4日
a(n)等于三角形第n行项的平方和A053121号它是由加泰罗尼亚层序的连续自我演化形成的-保罗·D·汉纳2005年4月23日
此外,Mandelbrot多项式M的系数迭代了无限次。示例:M(0)=0=0*c^0=[0],M(1)=c=c^1+0*c^0=[10],M。。。M(5)=[0 1 1 2 5 14 26 44 69 94 114 116 94 60 28 8 1],…-唐纳德·克罗斯(cosinekitty(AT)hotmail.com),2005年2月4日
素数p除以C_n的多重性可以通过首先以p为基数表示n+1来确定。对于p=2,多重性是1位数减去1。对于p是奇数素数,计算所有大于(p+1)/2的数字;也计算等于(p+1)/2的数字,除非是最终数字;如果不是最后一个数字,则计数等于(p-1)/2的数字,然后计算下一个数字。例如,n=62,n+1=223_5,所以C_62不能被5整除。n=63,n+1=224_5,所以5^3|C_63-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年2月8日
Koshy和Salmassi给出了一个初等证明,即唯一的素数是a(2)=2和a(3)=5。唯一的半素数加泰罗尼亚数a(4)=14吗-乔纳森·沃斯邮报2006年3月6日
答案是肯定的。使用公式C_n=二项式(2n,n)/(n+1),很明显C_n不能有大于2n的素因子。对于n>=7,C_n>(2n)^2,所以它不能是半素数。考虑到加泰罗尼亚数呈指数增长,上述考虑意味着C_n的素数除数(以重数计算)必须无限增长。不同素数的数量也必须无限增长,但这更为困难。n+1和2n(不包括)之间的任何素数都必须除以C_n。根据素数定理,这样的素数的数量是无限增长的-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯,2006年4月14日
将n个无法区分的球放入n个编号框B1,…,中的方法数,。。。,Bn,这样最多总共有k个球放置在盒子B1,。。。,对于k=1,。。。,n.例如,a(3)=5,因为有5种方法可以在3个盒子中分配3个球,这样(i)盒子1最多得到1个球,(ii)盒子1和盒子2一起最多得到2个球:(O)(O)-丹尼斯·沃尔什2006年12月4日
a(n)也是降阶和保序全变换(n元链的)半群的阶,现在称为加泰罗尼亚幺半群-阿卜杜拉希·奥马尔,2008年8月25日
a(n)是群SU(2)(a(1))的2n旋量(最小)表示的直积中的平凡表示数罗格斯-波尔斯(Boels(AT)nbi.dk),2008年8月26日
当对任何起始序列无限多次应用时,反转变换似乎收敛到加泰罗尼亚数字-Mats Granvik公司,加里·亚当森罗杰·巴古拉,2008年9月9日,2008年09月12日
极限{n->oo}a(n)/a(n-1)=4弗朗西斯科·安东尼(Francesco_Antoni(AT)yahoo.com),2008年11月24日
从偏移量1开始=三角形的行和A154559号. -加里·亚当森2009年1月11日
C(n)是格拉斯曼G(1,n+1)的度:(n+1)维射影空间中的直线集,或(n+2)维仿射空间中通过原点的平面集。Grassmannian被认为是N维射影空间的子集,N=二项式(N+2,2)-1。如果我们在射影(n+1)-空间中选择2n个一般(n-1)-平面,那么有C(n)条线与它们全部相交Benji Fisher(Benji(AT)FisherFam.org),2009年3月5日
从偏移1开始=A068875号:(1,2,4,10,18,84,…)与精细数卷积,A000957号: (1, 0, 1, 2, 6, 18, ...). a(6)=132=(1,2,4,10,28,84)点(18,6,2,1,0,1)=(18+12+8+10+0+84)=132-加里·亚当森,2009年5月1日
卷曲了A032443号:(1,3,11,42,163,…)=4的幂,A000302号:(1,4,16,…)-加里·亚当森2009年5月15日
和{k>=1}C(k-1)/2^(2k-1)=1。求和中的第k项是整数(从原点开始)上的随机游走以精确(2k-1)步到达正整数(第一次)的概率-杰弗里·克雷策2009年9月12日
C(p+q)-C(p)*C(q)=和{i=0..p-1,j=0..q-1}C(i)*C-格鲁·罗兰2009年11月13日
Leonhard Euler在他的《Betrachtungen,auf wie vielerley Arten ein gegebenes polygonum durch Diagonallinien in triangula zerschnitten werden könne》中使用了公式C(n)=Product_{i=3..n}(4*i-10)/(i-1),并通过递归C(n+2)计算n=1..8。(柏林,1751年9月4日,在给哥德巴赫的信中。)-彼得·卢什尼2010年3月13日
A179277号=A(x)。然后C(x)由A(x)/A(x^2)满足-加里·亚当森2010年7月7日
a(n)也是B_n型或C_n型突变类中的颤动的数量-克里斯蒂安·斯塔姆2010年11月2日
发件人马修·范德马斯特2010年11月22日:(开始)
考虑一组A000217号(n) n种颜色的球,其中,对于每个整数k=1到n,只有一种颜色出现在集合中,总共k次。(每个球只有一种颜色,无法与其他颜色相同的球区分。)a(n+1)等于在满足以下条件的情况下选择0个或多个每种颜色的球的方法数:1。没有两种颜色的选择次数相同。2.对于至少选择一次的任何两种颜色(c,d),如果颜色c在原始集中出现的次数多于颜色d,则选择颜色c的次数多于选择颜色d的次数。
如果解除第二个要求,可接受的方式数量等于A000110号(n+1)。参见相关评论A016098级,A085082号.(结束)
Deutsch和Sagan证明了某个非负整数a的加泰罗尼亚数C_n是奇的当且仅当n=2^a-1时-乔纳森·沃斯邮报2010年12月9日
a(n)是函数f的数量:{1,2,…,n}->{1,2,…,n}使得f(1)=1,并且对于所有n>=1f(n+1)<=f(n)+1。关于这组函数和长度为2n的Dyck单词之间的漂亮双射,请参阅Fxtbook的第333页(请参阅下面的链接)-杰弗里·克雷策2010年12月16日
Postnikov(2005)定义了与建筑相关的“广义加泰罗尼亚数字”(例如,B类加泰罗尼亚语数字,参见A000984号). -N.J.A.斯隆2011年12月10日
S(n)中长度等于深度的排列数-布里吉特·坦纳2012年2月22日
a(n)也是形状(n,n)的标准Young表的数量-Thotsaporn Thanatipanonda公司2012年2月25日
a(n)是长度为2n+1的二进制序列的数量,其中1的数量在条目2n+1处首先超过0的数量。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2012年4月11日
长度为2*n+1、包含n1的二元项链的数量(或者,对称地,为0)。所有这些都是Lyndon单词,它们的代表(作为循环极大值)是二进制Dyck单词-乔格·阿恩特2012年11月12日
由n个“x”字母和n个“y”字母组成的序列数,这样(从左侧开始计数)“x”计数>=“y”计数。例如,对于n=3,我们有xxxyy、xxxxyy、xxxyyy、xyxxxy和xyxyxy-乔恩·佩里2012年11月16日
a(n)是长度为n-1的Motzkin路径数,其中(1,0)-步骤有2种颜色。例如:a(4)=14,因为表示U=(1,1)、H=(1,0)和D=(1,-1),我们有8条HHH形状路径、2条UHD形状路径、两条UDH形状路径和2条HUD形状路径-何塞·路易斯·拉米雷斯2013年1月16日
如果p是奇数素数,则(-1)^((p-1)/2)*a((p-l)/2)mod p=2-加里·德特利夫斯2013年2月20日
猜想:对于任意正整数n,多项式和{k=0..n}a(k)*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月23日
a(n)是2n点上Jones幺半群的大小(参见。A225798型). -詹姆斯米切尔2013年7月28日
对于0<p<1,定义f(p)=Sum_{n>=0}a(n)*(p*(1-p))^n,然后定义f(p)=min{1/p,1/(1-p-鲍勃·塞尔科,2013年11月16日[更正人宋嘉宁,2021年5月21日]
没有a(n)具有m>1和x>1的形式x^m-孙志伟2013年12月2日
发件人亚历山大·阿达姆楚克2013年12月27日:(开始)
素数p除以p>3的a((p+1)/2)。请参见A120303型(n) =加泰罗尼亚数的最大素因子。
倒数加泰罗尼亚常数C=1+4*sqrt(3)*Pi/27=1.80613=A121839号.
对数(Phi)=(125*C-55)/(24*sqrt(5)),其中C=Sum_{k>=1}(-1)^(k+1)*1/a(k)。请参见A002390号=黄金比率自然对数的十进制展开式。
加泰罗尼亚数字的三维模拟:(3n)/(n!(n+1)!(n+2)!)=A161581号(n)=A006480号(n) /((n+1)^2*(n+2)),其中A006480号(n) =(3n)/(n!)^3德布鲁因的s(3,n)。(结束)
有关无粘汉堡方程或霍普夫方程的关系,请参见A001764号. -汤姆·科普兰2014年2月15日
发件人林风2014年5月1日:(开始)
一类广义加泰罗尼亚数可以定义为具有非零参数q的g.f.A(x)=(1-sqrt(1-q*4*x*(1-(q-1)*x)))/(2*q*x)。递归:(n+3)*A(n+2)-2*q*(2*n+3。
q>=1:a(n)~(2*q+2*sqrt(q))^n*sqrt/(4*q^2*Pi*n^3)的渐近逼近。
对于q<=-1,g.f.定义了带渐近逼近的符号序列:a(n)~Re(sqrt(2*q*(1+sqrt)))*(2*q+2*sqrt(q))^n)/sqrt(q^2*Pi*n^3),其中Re表示实部。由于斯托克斯现象,在n的某些值附近,渐近近似的准确性会下降。
特殊情况包括A000108号(q=1),A068764号A068772号(q=2至10),A240880型(q=-3)。
(结束)
s(n)=0,和{j=0..n}s(j)=n,和{j=0..k}s(j)-1>=0的序列[s(0),s(1),…,s(n。这些是具有n个非根节点的(有序)树的分支序列,请参见示例-乔格·阿恩特2014年6月30日
[n]的堆叠可排序排列数,这些是231个无效排列;请参阅Bousquet-Mélou参考-乔格·阿恩特2014年7月1日
a(n)是具有避免132个节点的2n-1个节点的递增严格二叉树的数目。有关使用关联置换增加严格二叉树的更多信息,请参阅245894英镑. -曼达·里尔2014年8月7日
在具有弹性散射的一维介质中(曲折行走),2n+1散射事件后的首次重现概率为C(n)/2^(2n+1)-约阿希姆·伍特克2014年9月11日
对于加泰罗尼亚数字,o.g.f.C(x)=(1-sqrt(1-4x))/2,带有补偿。逆Cinv(x)=x*(1-x)和函数P(x)=x/(1+t*x)及其逆Pinv(x,t)=-P(-x,t)=x/(1-t*x,A005043号),斐波那契(A000045号)、和罚款(A000957号)数字和多项式(A030528型)、枚举Motzkin、Dyck和Łukasiewicz格路径的数组以及不同类型的树和非交叉分区(A091867号与精确的Narayana数之和有关A134264号). -汤姆·科普兰2014年11月4日
猜想:所有有理数和{i=j.k}1/a(i)的0<min{2,k}<=j<=k都有成对不同的分数部分-孙志伟,2015年9月24日
加泰罗尼亚数字系列A000108号(n+3),偏移量n=0,给出Hankel变换,揭示了从5开始的平方金字塔数,A000330号(n+2),偏移量n=0(经验观察)-托尼·福斯特三世2016年9月5日
加泰罗尼亚数字的汉克尔变换省略了前2、4和5项,给出了A001477号,A006858号、和A091962号在所有情况下,分别没有前两个术语。更一般地说,加泰罗尼亚数字的汉克尔变换(省略前k项)是H_k(n)=Product_{j=1..k-1}Product_{i=1..j}(2*n+j+i)/(j+i;它们一起构成阵列A078920型/A123352号/A368025型. -安德烈·扎博洛茨基2016年10月13日
虽然Hürlimann(2009)的结果并没有明确说明这一点,但这可能满足本福德定律。见S.J.Miller编辑,2015年,第5页-N.J.A.斯隆2017年2月9日
与岩浆和树状操作代数相关的生成级数的系数。参见Loday等人论文的第422和435页-汤姆·科普兰2018年7月8日
设M_n是n×n矩阵,M_n(i,j)=二项式(i+j-1,2j-2);则det(M_n)=a(n)-托尼·福斯特三世,2018年8月30日
加泰罗尼亚树木或种植的梧桐树的数量(Bona,2015年,第299页,定理4.6.3)-N.J.A.斯隆2018年12月25日
毛虫物种树和具有n+1叶的匹配毛虫基因树的合并历史数(Rosenberg 2007,推论3.5)-诺亚·A·罗森博格2019年1月28日
寻找eps*x^2+x-1=0对eps small的解,即写x=Sum_{n>=0}x_{n}*eps^n并展开,可以找到x=1-eps+2*eps^2-5*eps^3+14*eps^3-42*eps^4+。。。x_{n}=(-1)^n*C(n)。此外,让x=1/y并将y扩大到约0以找到大根,即y=Sum_{n>=1}y_{n}*eps^n,则可以找到y=0-eps+eps^2-2*epss^3+5*eps|3-。。。y_{n}=(-1)^n*C(n-1)-德里克·奥尔2019年3月15日
产生n阶二部置换图的长度为n的置换[参见Knuth(1973)、Busch(2006)、Golumbic和Trenk(2004)]-伊丽莎·安德森,R.M.阿格斯,凯特林·欧文斯,泰萨·史蒂文斯2019年6月27日
对于n>0,从n对不同的不可区分对象中随机选择n+1个对象(根据鸽子洞原理确保一对的最小数),只包含概率为2^(n-1)/a(n)=b(n-1/A098597号(n) ,其中b是0偏移序列,其项为A120777号重复(1,1,4,4,8,64,64128128,…)。例如,从5双黑色、蓝色、棕色、绿色和白色袜子中随机选择6双,结果只有一双颜色相同,概率为2^(5-1)/a(5)=16/42=8/21=b(4)/A098597号(5). -里克·L·谢泼德2019年9月2日
参见Haran&Tabachnikov链接,获取关于Conway-Coxeter饰带的视频。具有n个非平凡行的Conway-Coxeter饰带是由规则n个三角剖分中每个顶点的三角形数生成的,其中有一个(n)-查尔斯·格里特豪斯四世2019年9月28日
有关节点理论和费曼图中散射振幅的联系,请参见Broadhurst和Kreimer以及Todorov。等式。Bessis等人第130页的6.12在缩放后变成-12g*r_0(-y/(12g))=(1-sqrt(1-4y))/2,即下文科普兰(2011年9月30日)公式中加泰罗尼亚数字的o.g.f.(在12gx中的公式7.22中表示为泰勒级数)。(另见米泽拉第34页,巴尔杜夫第79-80页,凯特尔和巴托什。)-汤姆·科普兰2019年11月17日
弱阶主序理想是模格的S_n中置换的个数-布里吉特·坦纳2020年1月16日
弱序主序理想是分配格的S_n中置换的个数-布里吉特·坦纳2020年1月16日
勒让德给出了计算模2μm平方根的以下公式:
sqrt(1+8*a)模2^m=(1+4*a*Sum_{i=0..m-4}C(i)*(-2*a)^i)模2^m
如L.D.Dickson所引用,《数字理论史》,第1卷,207-208年-彼得·肖恩2020年2月11日
a(n)是长度n排列的数量,通过连续的132-避免堆栈和经典的21-避免堆栈排序为恒等式-郑凯2020年8月28日
具有n个大小为2的块的2*n集合的非交叉分区数。还有一个2*n集的非交叉分区数,其中n+1块的大小最多为3,并且没有循环邻接。这两个分区可以通过旋转Kreweras双射进行映射-宇春记,2021年1月18日
以法国和比利时数学家尤金·查尔斯·加泰罗尼亚(1814-1894)(见Pak,2014)的名字命名,由Riordan(1968年,以及《数学评论》(Mathematical Reviews)中的更早版本,1948年和1964年)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月15日
对于n>=1,a(n-1)是x的解释数。例如,对于n=4,有一个(3)=5的解释:x(x(xx)),x((xx”x),(xx“xx”),(x(xx)),(xx)x。有关详细信息,请参阅I.M.H.Etherington的链接“非关联幂和函数方程”和Eric Weisstein的数学世界中的“非关联积”页面。另请参见A001190型对于乘法是可交换的情况-宋嘉宁,2022年4月29日
完整图K_N上与拉普拉斯系统相关的过渡图中的状态数,对应于有序初始条件x_1<x_2<…<x否-安德烈亚·阿莱特·埃斯帕尼亚2022年11月6日
a(n)是大小为n+1的132-避免稳定无间隔置换的数目-胡安·吉尔2023年6月22日
由n个带Schläfli符号{3,oo}的双曲线规则瓷砖三角形单元组成的有根多胞体的数量。一个有根的polyomino有一个被识别的外边缘,手性对被计算为两个。可以通过Christensson链接获得彭卡盘上{3,oo}平铺的赤平投影-罗伯特·拉塞尔2024年1月27日
a(n)是n阶极幸运Stirling置换的个数;即n阶Stirling置换中正好有n辆幸运车的数量。(见Colmenarejo等人参考)-布里吉特·坦纳2024年4月16日
参考文献
大量的参考文献和链接证明了加泰罗尼亚数字的普遍性。
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配方奶粉
a(n)=二项式(2*n,n)/(n+1)=(2*n)/(n!*(n+1)!)=A000984号(n) /(n+1)。
递归:a(n)=2*(2*n-1)*a(n-1)/(n+1),a(0)=1。
递归:a(n)=和{k=0..n-1}a(k)a(n-1-k)。
G.f.:A(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x),并满足A(x。
a(n)=乘积_{k=2..n}(1+n/k)。
a(n+1)=Sum_{i}二项式(n,2*i)*2^(n-2*1)*a(i).-图沙尔
已知a(n)是奇的当且仅当n=2^k-1,k=0,1,2,3-Emeric Deutsch公司,2002年8月4日,更正人M.F.哈斯勒2015年11月8日
在中使用斯特林近似A000142号我们得到了渐近展开式a(n)~4^n/(sqrt(Pi*n)*(n+1))丹福(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com),2001年4月13日
积分表示:a(n)=(1/(2*Pi))*Integral_{x=0..4}x^n*sqrt((4-x)/x)-卡罗尔·彭森,2001年4月12日
例如:exp(2*x)*(I_0(2**x)-I_1(2**)),其中I_n是贝塞尔函数-卡罗尔·彭森2001年10月7日
a(n)=多学科(n,6)/多学科(n,3)丹尼尔·多克里(perius(AT)gmail.com),2003年6月24日
G.f.A(x)满足((A(x)+A(-x))/2)^2=A(4*x^2)-迈克尔·索莫斯2003年6月27日
G.f.A(x)满足Sum_{k>=1}k(A(x
a(n+m)=和{k}A039599号(n,k)*A039599号(m,k)-菲利普·德尔汉姆2003年12月22日
a(n+1)=(1/(n+1”))*和{k=0..n}a(n-k)*二项式(2k+1,k+1)-菲利普·德尔汉姆2004年1月24日
a(n)=和{k>=0}A008313号(n,k)^2-菲利普·德尔汉姆2004年2月14日
a(m+n+1)=和{k>=0}A039598号(m,k)*A039598号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2004年2月15日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*2^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(k,floor(k/2))-保罗·巴里2005年1月27日
Sum_{n>=0}1/a(n)=2+4*Pi/3^(5/2)=F(1,2;1/2;1/4)=A268813型=2.806133050770763……(参见《Pi大学》链接)-杰拉尔德·麦卡维贝诺伊特·克洛伊特2005年2月13日
a(n)=和{k=0..floor(n/2)}((n-2*k+1)*二项式(n,n-k)/(n-k+1))A053121号(n,k)^2,对于n>=0-保罗·D·汉纳2005年4月23日
a((m+n)/2)=和{k>=0}A053121号(m,k)*A053121号(n,k)如果m+n是偶数-菲利普·德尔汉姆2005年5月26日
例如,求和{n>=0}a(n)*x^(2*n)/(2*n)!=贝塞尔(1,2*x)/x-迈克尔·索莫斯2005年6月22日
给定g.f.A(x),则B(x)=x*A(x^3)满足0=f(x,B(x)),其中f(u,v)=u-v+(u*v)^2或B-迈克尔·索莫斯,2005年6月27日
a(n)=a(n-1)*(4-6/(n+1))。a(n)=2a(n-1)*(8a(n-2)+a(n-1.))/(10a(n-2.)-a(n-1-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年2月8日
和{k>=1}a(k)/4^k=1-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年6月28日
a(n)=A047996号(2*n+1,n)-菲利普·德尔汉姆2006年7月25日
的二项式变换A005043号. -菲利普·德尔汉姆2006年10月20日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*A116395号(n,k)-菲利普·德尔汉姆,2006年11月7日
a(n)=(1/(s-n))*Sum_{k=0..n}(-1)^k(k+s-n)*二项式(s-n,k)*s为非负自由整数的二项式[H.W.Gould]。
a(k)=和{i=1..k}|A008276号(i,k)|*(k-1)^(k-i)/k-安德烈·拉博西埃2007年5月29日
a(n)=和{k=0..n}A129818号(n,k)*A007852号(k+1)-菲利普·德尔汉姆2007年6月20日
a(n)=和{k=0..n}109466英镑(n,k)*A127632号(k) ●●●●-菲利普·德尔汉姆2007年6月20日
三角形的行和A124926号. -加里·亚当森2007年10月22日
极限{n->oo}(1+Sum_{k=0..n}a(k)/A004171号(k) )=4/Pi-莱因哈德·祖姆凯勒,2008年8月26日
a(n)=和{k=0..n}A120730型(n,k)^2和a(k+1)=Sum_{n>=k}A120730型(n,k)-菲利普·德尔汉姆2008年10月18日
给定一个整数t>=1和初始值u=[a_0,a_1,…,a{t-1}],我们可以通过设置a_n=a_{n-1}+a_0*a_{n-1}+a_1*a{n-2}+…+来定义无限序列Phi(u)a_{n-2}*a_1表示n>=t。例如,当前序列是Phi([1])(也称为Phi([1,1]))-加里·亚当森2008年10月27日
a(n)=和{l_1=0..n+1}和{l_2=0..n}。。。和{l_i=0..n-i}。。。Sum_{l_n=0..1}delta(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n),其中delta(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n)=0(如果任何l_i<l_(i+1),并且l_(i+1)<>0(对于i=1..n-1),否则delta(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n)=1-托马斯·维德2009年2月25日
a(n)=A000680号(n)/A006472号(n+1)-马克·多尔斯2010年7月14日;已由更正M.F.哈斯勒2015年11月8日
设A(x)为g.f.,则B(x)=x*A(x-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年1月18日
的补语A092459美元;A010058型(a(n))=1-莱因哈德·祖姆凯勒2011年3月29日
G.f:1/(1-x/(1-x/(1-x-(…)))(连分数)-乔格·阿恩特2011年3月18日
对于加泰罗尼亚级数,F(x)=(1-2*x-sqrt(1-4*x))/(2*x)是x中的o.g.F.,g(x)=x/(1+x)^2是F的组成逆(使n=0项无效)-汤姆·科普兰2011年9月4日
当H(x)=1/(dG(x)/dx)=(1+x)^3/(1-x)时,第n个加泰罗尼亚数由(1/n!)*((H(x。此外,dF(x)/dx=H(F(xA115291号. -汤姆·科普兰2011年9月4日
发件人汤姆·科普兰2011年9月30日:(开始)
对于加泰罗尼亚级数,F(x)=(1-sqrt(1-4*x))/2是x中的o.g.F.,g(x)=x*(1-x)是组成逆函数,这将加泰罗尼亚语数字与A125181号.
当H(x)=1/(dG(x)/dx)=1/1(1-2x)时,第n个加泰罗尼亚数字(偏移量1)由(1/n。此外,dF(x)/dx=H(F(x。(结束)
总面积:(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)=G(0),其中G(k)=1+(4*k+1)*x/(k+1-2*x*(k+1)*(4*k+3)/(2%x*(4xk+3)+(2*k+3;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月30日
例如:exp(2*x)*(BesselI(0,2*x;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2011年11月30日
例如:超几何([1/2],[2],4*x),它与上面给出的示例f.一致,也由卡罗尔·彭森更进一步-Wolfdieter Lang公司2012年1月13日
A076050型(a(n))=n+1,对于n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月17日
a(n)=2008年2月255日(2*n-1)=2008年2月255日(2*n)对于n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月4日
a(n+1)=A214292型(2*n+1,n)=A214292型(2*n+2,n)-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月12日
通用系数:1+2*x/(U(0)-2*x),其中U(k)=k*(4*x+1)+2*x+2-x*(2*k+3)*(2xk+4)/U(k+1);(连分数,欧拉第一类,1步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月20日
G.f.:表皮([1/2,1],[2],4*x)-乔格·阿恩特2013年4月6日
雅可比多项式的特殊值,Maple表示法:a(n)=4^n*JacobiP(n,1,-1/2-n,-1)/(n+1)-卡罗尔·彭森2013年7月28日
对于n>0:a(n)=三角形中第n行的总和A001263号. -莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月10日
a(n)=二项式(2n,n-1)/n和a(n=A059288号(n) ●●●●-乔纳森·松多,2013年12月14日
a(n-1)=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}(-1)^(1+t1+t2+…+tn)*多项式(t1+t2+…+tn,t1,t2,…,tn)*a(1)^t1*a(2)^t2**a(n)^tn-米尔恰·梅卡2014年2月27日
a(n)=Sum_{k=1..n}二项式(n+k-1,n)/n,如果n>0。亚历山大·阿达姆楚克2014年3月25日
a(n)=-2^(2*n+1)*二项式(n-1/2,-3/2)-彼得·卢什尼2014年5月6日
a(n)=(4*A000984号(n)-A000984号(n+1))/2-斯坦尼斯拉夫·西科拉,2014年8月9日
a(n)=A246458型(n)*A246466号(n) ●●●●-汤姆·埃德加2014年9月2日
a(n)=(2*n)*[x^(2*n)]超深层([],[2],x^2)-彼得·卢什尼2015年1月31日
a(n)=4^(n-1)*超几何([3/2,1-n],[3],1)-彼得·卢什尼2015年2月3日
a(2n)=2*A000150型(2n);a(2n+1)=2*A000150型(2n+1)+a(n)-约翰·博丁2015年6月24日
a(n)=Sum_{t=1..n+1}n^(t-1)*abs(斯特林1(n+1,t))/Sum_{t=1..n+1}abs-米歇尔·马库斯2015年10月6日
a(n)~4^(n-2)*(128+160/n^2+84/n^4+715/n^6-10180/n^8)/(n^(3/2)*Pi^(1/2)),其中n=4*n+3-彼得·卢什尼2015年10月14日
a(n)=和{k=1.floor((n+1)/2)}(-1)^(k-1)*二项式(n+1-k,k)*a(n-k),如果n>0;a(0)=1-大卫·帕西诺2016年6月29日
和{n>=0}(-1)^n/a(n)=14/25-24*arccsch(2)/(25*sqrt(5))=14/25-24*A002390号/(25*sqrt(5))=0.353403708337278061333-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月30日
C(n)=(1/n)*Sum_{i+j+k=n-1}C(i)*C(j)*C(k)*(k+1),n>=1-宇春记,2016年2月21日
C(n)=1+Sum_{i+j+k<n-1}C(i)*C(j)*C(k)-宇春记,2016年9月1日
a(n)=A001700号(n)-A162551号(n) =二项式(2*n+1,n+1)2*二项式(2*n,n-1)-塔拉斯·戈伊,2018年8月9日
总面积:A(x)=(1-平方(1-4*x))/(2*x)=2F1(1/2,1;2;4*x。G.f.A(x)满足A=1+x*A^2-R.J.马塔尔2018年11月17日
C(n)=1+和{i=0..n-1}A000245型(i) ●●●●-宇春记,2019年1月10日
发件人A.H.M.斯密茨2020年4月11日:(开始)
(1+sqrt(1+4*x))/2=1-和{i>=0}a(i)*(-x)^(i+1),对于任何具有|x|<1/4的复数x;和sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+…))=1-Sum_{i>=0}a(i)*(-x)^(i+1),对于|x|<1/4和x<>0的任何复数x。(结束)
a(3n+1)*a(5n+4)*a。23n+15三重划分的加泰罗尼亚乘积方程的第一种情况-宇春记2020年9月27日
a(n)=4^n*(-1)^(n+1)*3F2[{n+1,n+1/2,n},{3/2,1},-1],n>=1-Sergii Voloshyn公司2020年10月22日
a(n)=2^(1+2n)*(-1)^(n)/(1+n)*3F2[{n,1/2+n,1+n},{1/2,1},-1],n>=1-Sergii Voloshyn公司2020年11月8日
a(n)=(1/Pi)*4^(n+1)*Integral_{x=0..Pi/2}cos(x)^(2*n)*sin(x)*2dx-格雷格·德累斯顿2021年5月30日
发件人彼得·巴拉,2021年8月17日:(开始)
G.f.A(x)满足A(x)=1/sqrt(1-4*x)*A(-x/(1-4*x))和(A(x)+A(-x))/2=1/sqrt(1-4*x)*A(-2*x/(1-4*x));这些是通式1/sqrt(1-4*x)*A((k-1)*x/(1-4*x))=Sum{n>=0}((k^(n+1)-1)/(k-1))*Catalan(n)*x^n的k=0和k=-1的情况。
2-sqrt(1-4*x)/A(k*x/(1-4**x))=1+和{n>=1}(1+(k+1)^n)*加泰罗尼亚语(n-1)*x^n。(结束)
和{n>=0}a(n)*(-1/4)^n=2*(sqrt(2)-1)(A163960型). -阿米拉姆·埃尔达尔2022年3月22日
对于所有n>=0,0=a(n)*(16*a(n+1)-10*a(n+2))+a(n+1)*(2*a(n+1)+a(n+2))-迈克尔·索莫斯2022年12月12日
G.f.:(偏移量1)1/G(x),其中G(x)=1-2*x-x^2/G(x,雅可比连分数)-尼古拉·潘泰利迪斯2023年2月1日
a(n)=K^(2n+1,n,1)表示所有n>=0,其中K^-弗拉迪斯拉夫·舒宾2023年8月17日
发件人彼得·巴拉,2024年2月3日:(开始)
g.f.A(x)满足以下函数方程:
A(x)=1+x/(1-4*x)*A(-x/(1-1-4*x))^2,
A(x^2)=1/(1-2*x)*A(-x/(1-2**))^2,对于任意k,
1/(1-k*x)*A(x/(1-k*x))^2=1/(1-(k+4)*x)*A(-x/(1-(k+4)*x))^2。(结束)
例子
G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+14*x^4+42*x^5+132*x^6+429*x^7+。。。
发件人乔格·阿恩特和格雷格·史蒂文森,2011年7月11日:(开始)
以下3个换位的乘积导致S_4中出现4个循环:
(1,2)*(1,3)*(1,4);
(1,2)*(1,4)*(3,4);
(1,3)*(1,4)*(2,3);
(1,4)*(2,3)*(2,4);
(1,4)*(2,4)*(3,4). (结束)
对于n=3,a(3)=5,因为正好有5个长度为7的二进制序列,其中1的数量首先超过条目7中的零的数量,即000111001011001101101010011和0101011-丹尼斯·沃尔什2012年4月11日
发件人乔格·阿恩特2014年6月30日:(开始)
具有4个非根节点的(有序)树的a(4)=14个分支序列为(点表示零):
01:[1 11 11 1]
02: [ 1 1 2 . . ]
03: [ 1 2 . 1 . ]
04:[1 2 1..]
05: [ 1 3 . . . ]
06: [ 2 . 1 1 . ]
07: [ 2 . 2 . . ]
08: [ 2 1 . 1 . ]
09: [ 2 1 1 . . ]
10: [ 2 2 . . . ]
11: [ 3 . . 1 . ]
12: [ 3 . 1 . . ]
13: [ 3 1 . . . ]
14:[4….]
(结束)
MAPLE公司
A000108号:=n->二项式(2*n,n)/(n+1);G000108:=(1-平方(1-4*x))/(2*x);
规范:=[A,{A=Prod(Z,Sequence(A))},未标记]:[seq(combstruct[count](规范,大小=n+1),n=0..42)];
with(combstruct):bin:={B=并集(Z,Prod(B,B))}:seq(count([B,bin,unlabeled],size=n),n=1..25)#零入侵拉霍斯2007年12月5日
Z[0]:=0:对于k到42,做Z[k]:=简化(1/(1-Z*Z[k-1])od:g:=总和((Z[j]-Z[j-1]),j=1.42):gser:=级数(g,Z=0,42):seq(系数(gser,Z,n),n=0..41)#零入侵拉霍斯2008年5月21日
seq((2*n)*系数(级数(hypergeom([],[2],x^2),x,2*n+2),x、2*n),n=0..30)#彼得·卢什尼2015年1月31日
A000108列表:=proc(m)局部A,P,n;答:=[1,1];P:=[1];
对于从1到m-2的n,做P:=ListTools:-部分和([op(P),A[-1]]);
A:=[op(A),P[-1]]od;A端:A000108列表(31)#彼得·卢什尼2022年3月24日
数学
(*终端功能*)
加泰罗尼亚数字
(*术语功能定义*)
A000108号[n]:=(2 n)/不/(n+1)!
(*术语功能定义*)
A000108号[n]:=超几何2F1[1-n,-n,2,1](*理查德·奥尔勒顿2006年9月13日*)
(*术语表*)
表[CatalanNumber@n,{n,0,24}](*罗伯特·威尔逊v2011年2月15日*)
(*术语表*)
系数列表[Inverse Series[x/Sum[x^n,{n,0,31}],{x,0,31}]/x,x](*Mats Granvik公司,2013年11月24日*)
(*TermListByIndexFunction*)
函数[n,CatalanNumber/@Range[0,n]]
系数列表[系列[(1-平方[1-4*x])/(2*x),{x,0,50}],x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年8月31日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=二项式(2*n,n)/(n+1)\\M.F.哈斯勒2012年8月25日
(PARI)a(n)=(2*n)!/否!/(n+1)!
(PARI)a(n)=我的(a,m);如果(n<0,0,m=1;A=1+x+O(x^2);而(m<=n,m*=2;A=sqrt(subst(A,x,4*x^2));A+=(A-1)/(2*x*A));波尔科夫(A,n));
(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,极系数(serreverse(x/(1+x)^2+x*O(x^n)),n)}/*迈克尔·索莫斯*/
(PARI)(复发(a,b)=如果(b<=2,(a==2)+(a==b)+(a!=b)*(1+a/2),(1+b/b)*复发(a、b-1));a(n)=复发(n,n)\\R.J.卡诺2012年11月22日
(PARI)x='x+O('x^40);Vec(1平方(1-4*x))/(2*x)\\阿尔图·阿尔坎2015年10月13日
(MuPAD)组合::dyckWords::count(n)$n=0..38//零入侵拉霍斯2007年4月14日
(岩浆)C:=func<n|二项式(2*n,n)/(n+1)>;[0..60]]中的[C(n):n;
(岩浆)[加泰罗尼亚语(n):n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年4月2日
(哈斯克尔)
导入数据。列表(genericIndex)
a000108 n=通用索引a000108 _列表n
a000108_list=1:加泰罗尼亚文[1],其中
catalan cs=c:catalan(c:cs),其中
c=sum$zip带(*)cs$reverse cs
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月12日
a000108=映射最后一个$迭代(scanl1(+))。(++ [0])) [1]
--大卫·斯皮斯2015年8月23日
(鼠尾草)[范围(27)中i的catalan_number(i)]#零入侵拉霍斯2008年6月26日
(Sage)#L.Seidel的广义算法
定义A000108号_列表(n):
D=[0]*(n+1);D[1]=1
b=正确;h=1;R=[]
对于范围(2*n-1)中的i:
如果b:
对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]
h+=1;R.append(D[1])(右附加)
其他:
对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]
b=非b
返回R
A000108号_列表(31)#彼得·卢什尼2012年6月2日
(最大值)A000108号(n) :=二项式(2*n,n)/(n+1)$makelist(A000108号(n) ,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年10月24日*/
(Python)
从gmpy2导入divexact
A000108号= [1, 1]
对于范围(1,10**3)中的n:
A000108号.append(divexact(A000108号[-1]*(4*n+2),(n+2#柴华武2014年8月31日
(Python)
#也适用于Sage。
对于范围(1000)内的n:
A000108号.append(追加)(A000108号[-1]*(4*n+2)//(n+2#Günter Rote公司2023年11月8日
(间隙)A000108号:=列表([0..30],n->二项式(2*n,n)/(n+1))#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月17日
交叉参考
一排A060854号.
请参见A001003号,A001190型,A001699号,A000081号其他计算括号的方法。
枚举由编码的对象A014486号.
囊性纤维变性。A051168号(所述正方形阵列的对角线)。
囊性纤维变性。A033552号,A176137号(分成加泰罗尼亚数字)。
囊性纤维变性。A000753号,A000736号(Boutrophedon变换)。
囊性纤维变性。A120303型(加泰罗尼亚数的最大素因子)。
囊性纤维变性。A121839号(加泰罗尼亚常数倒数),A268813型.
囊性纤维变性。A038003型,A119861号,A119908年,A120274号,A120275号(奇数加泰罗尼亚数字)。
囊性纤维变性。A002390号(黄金比率自然对数的十进制展开)。
g.f.的平方根系数为A001795年/A046161号.
对于(n)模块6,请参见A259667型.
关于基数2中的a(n),请参见A264663型.
汉克尔变换省略了第一个术语:A001477号,A006858号,A091962号,A078920型,A123352号,A368025型.
囊性纤维变性。A001147号,A163960型.
囊性纤维变性。A332602型(推测生产矩阵)。
波利米诺群岛:A001683号(n+2)(定向),A000207号(无方向),A369314型(手性),2008年2月255日(n-1)(非手性),A001764号{4,oo}。
关键字
核心,非n,容易的,本征的,美好的,已更改
作者
状态
经核准的
A010058美元 如果n是加泰罗尼亚数字,则为1,否则为0。 +10
0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,1
评论
一个(A000108号(n) )=1,a(A092459号(n) )=0-莱因哈德·祖姆凯勒2011年3月29日
链接
罗伯特·伊斯雷尔,n=0..10000时的n,a(n)表
配方奶粉
a(n)=abs(sgn(n-sup((2*k)!)/(k!*(k+1)!))-1) ,对于n-(2*k)/(k!*(k+1)!)>=0. -伊利亚·古特科夫斯基2015年9月27日
MAPLE公司
五: =数组(0..1000):
从1到n do
c: =二项式(2*n,n)/(n+1);
如果c>1000,则打破fi;
V[c]:=1;
日期:
转换(V,列表)#罗伯特·伊斯雷尔2015年10月13日
数学
t=CatalanNumber@范围@12;表[Boole@MemberQ[t,n],{n,0,96}](*迈克尔·德弗利格2015年9月29日*)
交叉参考
囊性纤维变性。A000108号,A092459号.
关键字
非n
作者
状态
经核准的
第页1

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