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A346795飞机 不规则三角形T(n,k),n>0,k=1。。A091220美元(n) ,按行读取;第n行按升序给出不同的整数k,这样A048720型(k,m)=n,对于某些m。 +20
2
1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 5, 1, 2, 3, 6, 1, 7, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 7, 9, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 1, 11, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 1, 13, 1, 2, 7, 14, 1, 3, 5, 15, 1, 2, 4, 8, 16, 1, 3, 5, 15, 17, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 1, 19, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 1, 7, 21 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,3
评论
第n行对应于第n个GF(2)[X]-多项式的除数。
第n行和第k行的最大值对应于A091255号(n,k)。
包含n和k的第一行的索引对应于A091256号(n,k)。
链接
雷米·西格里斯特,n=1..9228时的n,a(n)表(前1024行展平)
雷米·西格里斯特,A346795的PARI计划
配方奶粉
T(n,1)=1。
T(n,A091220美元(n) )=无。
和{k=1。。A091220美元(n) }T(n,k)=A280493型(n) ●●●●。
T(n,1)XOR。。。异或T(n,A091220美元(n) )=A178908号(n) (其中XOR表示按位XOR运算符)。
例子
三角形开始于:
1: [1]
2: [1, 2]
3: [1, 3]
4: [1, 2, 4]
5: [1, 3, 5]
6: [1, 2, 3, 6]
7: [1, 7]
8: [1, 2, 4, 8]
9: [1, 3, 7, 9]
10: [1, 2, 3, 5, 6, 10]
11: [1, 11]
12: [1, 2, 3, 4, 6, 12]
13: [1, 13]
14: [1, 2, 7, 14]
15:[1,3,5,15]
黄体脂酮素
(PARI)请参阅链接部分。
交叉参考
关键词
非n,标签
作者
雷米·西格里斯特2021年9月29日
状态
经核准的
A000005美元 d(n)(也称为τ(n)或σ0(n)),n的除数。
(原名M0246 N0086)
+10
4733
1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
如果n到素数幂的标准因式分解是乘积p^e(p),那么d(n)=乘积(e(p)+1)。更一般地说,对于k>0,sigma_k(n)=Product_p((p^((e(p)+1)*k))-1)/(p^k-1)是n的除数的k次幂之和。
将n写成n=x*y,1<=x<=n,1<=y<=n的方法的数量。关于x*y=n的无序解的数量,请参见A038548号.
注意,d(n)不是内切圆半径等于n(即A078644号). 有关具有半径n的基本勾股三角形的数量,请参见A068068号(n) ●●●●。
整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊2003年4月16日
也等于n的分区数p,这样所有部分都具有相同的基数,即max(p)=min(p)-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日
等于A127093号作为无穷下三角矩阵*调和级数,[1/1,1/2,1/3,…]-加里·亚当森2007年5月10日
对于奇数n,这是将n划分为连续整数的次数。证明:对于n=1,明显正确。对于n=2k+1,k>=1,将每个(必然是奇数)除数映射到这样的分区,如下所示:对于1和n,分别映射k+(k+1)和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt(n),映射(n/d-(d-1)/2)+…+(n/d-1)+(n/d)+(n/d+1)+…+(n/d+(d-1)/2){也就是说,n/d加上(d-1)/2对,每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt(n),map((d-1)/2-(n/d-1))+…+((d-1)/2-1)+(d-1((d+1)/2+(n/d-1)){即n/d对,每个对求和到d}。由于所有这些分区都必须是上述形式之一,因此1对1的对应关系和证明是完整的-里克·L·谢泼德2008年4月20日
n阶循环群的子群数-贝诺伊特·朱宾2008年4月29日
等于三角形的行和A143319号. -加里·亚当森2008年8月7日
等于三角形的行和A159934号,相当于通过卷积生成a(n)A000005美元以1开头;(1,1,2,2,3,2,…)的INVERTi变换A000005美元, (A159933号): (1, 1,-1, 0, -1, 2, ...). 例如:a(6)=4=(1,1,2,2,3,2)点(2,-1,0,-1,1)=(2,-1,0,-2,3,2中)=4-加里·亚当森2009年4月26日
n在n X n乘法表中出现的次数-多米尼克·坎西拉2010年8月2日
k的数量>=0,使得(k^2+k*n+k)/(k+1)是一个整数-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2015年10月25日
只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau(k)>=k/2-迈克尔·德弗利格2016年12月14日
a(n)也是2*n划分为相等部分的数量,减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日
发件人山田友弘2020年10月27日:(开始)
设k(n)=log d(n)*log log n/(log 2*log n),则lim-sup k(nA280235型)每一个n(尼古拉斯和罗宾,1983年)。
存在无穷多个n,使得d(n)=d(n+1)(Heath-Brown,1984)。此类整数n<=x的数量至少为c*x/(log-log x)^3(Hildebrand,1987),但最多为O(x/sqrt(log-log x))(Erdős,Carl Pomerance和sárközy,1987)。
(结束)
模数旋转的矩形中,具有两个不同边长的n个全等矩形的二维网格数(参见。A038548号用于正方形而不是矩形)。还有在矩形中排列n个相同对象的方法(非模旋转,参见。A038548号模数旋转);囊性纤维变性。A007425美元A140773号用于3D案例-曼弗雷德·博尔根斯2021年6月8日
参考文献
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链接
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小埃德·佩格。,序列图片《数学游戏》专栏,2003年12月8日。
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维基百科,除数表.
Wolfram研究,前50个数字的除数
配方奶粉
如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a(n)=(z+1)*(y+1)*。。。
a(n)=2当n是素数时。
通用公式:求和{n>=1}a(n)x^n=求和{k>0}x^k/(1-x^k)。这通常称为兰伯特系列(见克诺普,蒂奇马什)。
a(n)=A083888号(n)+A083889号(n)+A083890号(n)+A083891号(n)+A083892号(n)+A083893号(n)+A083894号(n)+A083895美元(n)+A083896美元(n) ●●●●。
a(n)=A083910号(n)+A083911号(n)+A083912号(n)+A083913号(n)+A083914号(n)+A083915号(n)+A083916号(n)+A083917号(n)+A083918号(n)+A083919号(n) ●●●●。
与a(p^e)相乘=e+1-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
a(n)<=2 sqrt(n)[另见米特里诺维奇,p.39A046522号].
a(n)是奇的,当n是平方时-莱因哈德·祖姆凯勒2001年12月29日
a(n)=和{k=1..n}f(k,n)其中f(k、n)=1,如果k除以n,则为0(Mobius变换A000012号). 等价地,f(k,n)=(1/k)*和{l=1..k}z(k,l)^n与z(k、l)是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日
G.f.:求和{k>0}((-1)^(k+1)*x^(k*(k+1)/2)/((1-x^k)*Product_{i=1..k}(1-x ^i))-迈克尔·索莫斯2003年4月27日
a(n)=n-总和{k=1..n}(天花板(n/k)-地板(n/k))-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月11日
a(n)=A032741号(n) +1个=A062011型(n) 第页,共2页=A054519号(n)-A054519号(n-1)=A006218号(n)-A006218号(n-1)=1+和{k=1..n-1}A051950号(k+1)-拉尔夫·斯蒂芬2004年3月26日
通用公式:和{k>0}x^(k^2)*(1+x^k)/(1-x^k)。Dirichlet g.f.:zeta(s)^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
顺序=M*V,其中M=A129372号作为无限下三角矩阵和V=标尺序列A001511号作为向量:[1,2,1,3,1,2,4,…]-加里·亚当森2007年4月15日
序列=M*V,其中M=A115361号是一个无限下三角矩阵和V=A001227号n的奇数除数是一个向量:[1,1,2,1,2,2,…]-加里·亚当森2007年4月15日
三角形的行和A051731号. -加里·亚当森2007年11月2日
和{n>0}a(n)/(n^n)=和{n>0,m>0}1/(n*m)-杰拉尔德·麦卡维2007年12月15日
对数g.f.:求和{n>=1}a(n)/n*x^n=-log(乘积{n>=1}(1-x^n)^(1/n))-乔格·阿恩特2008年5月3日
a(n)=Sum_{k=1..n}(楼层(n/k)-楼层((n-1)/k))-恩里克·佩雷斯·埃雷罗,2009年8月27日
a(s)=2^omega(s),如果s>1是无平方数(A005117号)ω(s)为:A001221号. -恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年9月8日
a(n)=A048691号(n)-A055205号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒2009年12月8日
对于n>1,a(n)=2+和{k=2..n-1}层((cos(Pi*n/k))^2)。和floor((cos(Pi*n/k))^2)=floor(1/4*e^(-(2*i*Pi*n)/k)+1/4*e*((2*i*Pi*n/k)+1/2)-埃里克·德斯比亚,2010年3月9日,2011年4月16日更正
a(n)=1+总和{k=1..n}(楼层(2^n/(2^k-1))mod 2),针对每个n.Fabio Civolani(civox(AT)tiscali.it),2010年3月12日
发件人弗拉基米尔·舍维列夫2010年5月22日:(开始)
(Sum_{d|n}a(d))^2=Sum_}d|n{a(d,d)^3(J.Liouville)。
求和{d|n}A008836号(d) *a(d)^2=A008836号(n) *求和{d|n}a(d)。(结束)
a(n)=σ_0(n)=1+求和{m>=2}求和{r>=1}(1/m^(r+1))*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^(r+1)-1}e^(2*k*Pi*i*(n+(m-j)*m^r)/m^(r+1))-A.内维斯2010年10月4日
a(n)=2*A038548号(n)-A010052号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月8日
求和{n>=1}a(n)*q^n=(log(1-q)+psi_q(1))/log(q),其中psi_q(z)是q-digama函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日
a(n)=产品{k=1。。A001221号(n) }(A124010型(n,k)+1)-莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日
a(n)=和{k=1..n}A238133型(k)*A000041号(n-k)-米尔恰·梅尔卡2013年2月18日
通用公式:求和{k>=1}求和{j>=1}x^(j*k)-Mats Granvik公司2013年6月15日
上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/(1-x^k)得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日
G.f.:求和{n>=1}求和{d|n}(-log(1-x^(n/d))^d/d-保罗·D·汉纳2014年8月21日
2*Pi*a(n)=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/(1-x^k)的残数之和得到的-基里卡米(Seiichi Kirikami)2015年10月22日
a(n)=A091220美元(A091202号(n) )=106737年(A156552号(n) )-安蒂·卡图恩,大约2004年和2017年3月6日
a(n)=A034296美元(n)-A237665型(n+1)[王,福克,福克]-乔治·贝克2017年5月6日
G.f.:2*x/(1-x)-Sum_{k>0}x^k*(1-2*x^k)/(1-x^k)-马穆卡·吉卜拉泽2018年8月29日
a(n)=Sum_{k=1..n}1/phi(n/gcd(n,k))-丹尼尔·苏图2018年11月5日
a(k*n)=a(n)*(f(k,n)+2)/(f(k,n)+1),其中f(k、n)是k除以n的最高幂的指数,k是素数-加里·德特利夫斯,2019年2月8日
a(n)=2*log(p(n))/log(n),n>1,其中p(n=A007955号(n) -加里·德特利夫斯2019年2月15日
a(n)=(1/n)*求和{k=1..n}σ(gcd(n,k)),其中σ(n)=n的除数之和-Orges Leka公司2019年5月9日
a(n)=A001227号(n)*(A007814号(n) +1)=A001227号(n)*A001511号(n) -伊万·伊纳基耶夫2019年11月14日
发件人理查德·奥尔勒顿2021年5月11日:(开始)
a(n)=A038040型(n) /n=(1/n)*Sum_{d|n}φ(d)*sigma(n/d),其中φ=A000010号和西格玛=A000203号.
a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}φ(gcd(n,k))*sigma(n/gcd(n,k))/phi(n/gccd(n、k))。(结束)
发件人里杜安·乌德拉(Ridouane Oudra)2021年11月12日:(开始)
a(n)=和{j=1..n}和{k=1..j}(1/j)*cos(2*k*n*Pi/j);
a(n)=求和{j=1..n}求和{k=1..j}(1/j)*e^(2*k*n*Pi*i/j),其中i^2=-1。(结束)
例子
G.f.=x+2*x ^2+2*x ^3+3*x ^4+2**x ^5+4*x ^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。
MAPLE公司
带有(数字理论):A000005美元:=τ;[seq(τ(n),n=1..100)];
数学
表[DivisorSigma[0,n],{n,100}](*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日*)
系数列表[系列[(Log[1-q]+QPolyGamma[1,q])/(q Log[q]),{q,0,100}],q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*)
a[n_]:=系列系数[(QPolyGamma[1,q]+Log[1-q])/Log[q],{q,0,绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*)
a[n]:=级数系数[q/(1-q)^2 q超几何PFQ[{q,q},{q^2,q^2},q,q^2],{q,0,绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*)
a[n_]:=级数系数[q/(1-q)q超几何PFQ[{q,q},{q^2},q,q],{q,0,绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2015年4月15日*)
具有[{M=500},系数列表[Series[(2x)/(1-x)-Sum[x^k(1-2x^k)/(*马穆卡·吉卜拉泽2018年8月31日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n==0,0,numdiv(n))}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
(PARI){a(n)=n=abs(n);如果(n<1,0,方向(p=2,n,1/(1-X)^2)[n])}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=1,n+1,和div(m,d,(-log(1-x^(m/d)+x*O(x^n)))^d/d!),n)}\\保罗·D·汉纳2014年8月21日
(岩浆)[1..100]]中的[NumberOfDivisors(n):n;//谢尔盖·哈勒(Sergei(AT)Sergei-Haller.de),2006年12月21日
(MuPAD)numlib::tau(n)$n=1..90//泽因瓦利·拉霍斯2008年5月13日
(Sage)[范围(1,105)内的n的西格玛(n,0)]#泽因瓦利·拉霍斯,2009年6月4日
(哈斯克尔)
除数1=[1]
除数n=(1:滤波器(==0)。雷姆)
[2..n`div`2])++[n]
a=长度。约数
--詹姆斯·斯帕林格2012年10月7日
(哈斯克尔)
a000005=产品。地图(+1)。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日
(Python)
从sympy导入divisor_count
对于范围(1,20)中的n:print(divisor_count(n),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月5日
(GAP)列表([1..150],n->Tau(n))#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日
(朱莉娅)
函数tau(n)
i=2;num=1
而i*i<=n
如果rem(n,i)==0
e=0
而rem(n,i)==0
e+=1
n=div(n,i)
结束
数字*=e+1
结束
i+=1
结束
返回n>1?num+num:num
结束
println([τ(n)代表1:104中的n])#彼得·卢什尼2023年9月3日
交叉参考
请参见A002183号,A002182号用于记录。请参见A000203号对于偏差总和函数sigma(n)。
有关部分总和,请参见A006218号.
因子分解为给定数量的因子:写入n=x*y(A038548号,无序,A000005美元,有序),n=x*y*z(A034836号,无序,A007425美元,有序),n=w*x*y*z(A007426号,已订购)。
囊性纤维变性。A000010号.
囊性纤维变性。A098198号(s=2时的Dgf),A183030号(s=3时的Dgf),A183031号(s=3时的Dgf)。
关键词
容易的,核心,非n,美好的,复数,听到
作者
扩展
删除了不正确的公式里杜安·乌德拉(Ridouane Oudra)2021年10月28日
状态
经核准的
A091202号 因子分解表示GF(2)上多项式从非负整数到二进制码的同构。 +10
21
0, 1, 2, 3, 4, 7, 6, 11, 8, 5, 14, 13, 12, 19, 22, 9, 16, 25, 10, 31, 28, 29, 26, 37, 24, 21, 38, 15, 44, 41, 18, 47, 32, 23, 50, 49, 20, 55, 62, 53, 56, 59, 58, 61, 52, 27, 74, 67, 48, 69, 42, 43, 76, 73, 30, 35, 88, 33, 82, 87, 36, 91, 94, 39, 64, 121, 46, 97, 100, 111, 98 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
例如,我们具有以下身份:A000005美元(n)=A091220美元(a(n)),A001221号(n)=A091221号(a(n)),A001222号(n)=A091222号(a(n)),A008683号(n)=A091219号(a(n)),A014580型(n) =一个(A000040型(n) ),A049084号(n)=A091227号(a(n))。
链接
安蒂·卡图恩,n=0..8192时的n,a(n)表
配方奶粉
a(0)=0,a(1)=1,a(pi)=A014580型(i) 对于指数为i的素数p_i和复合数a(p_i*p_j*…)=a(p-i)X a(p.j)X。。。,其中X代表GF(2)[X]多项式的无进位乘法(A048720型).
其他身份。对于所有n>=1,以下条件成立:
A091225号(a(n))=A010051型(n) ●●●●。[将素数映射到不可约GF(2)多项式的二进制表示,A014580型,以及{1}的并集的非多项式和相应的可约多项式的二进制表示,A091242号.排列A091204号,A106442号,A106444号,A106446号,A235041型A245703型具有相同的属性。]
发件人安蒂·卡图恩,2018年6月10日:(开始)
对于n<=1,a(n)=n,对于n>1,a(n)=2*a(n/2)如果n是偶数,如果n是奇数,则a(n=A305421型(a)(A064989号(n) )。
a(n)=A305417型(A156552号(n) )=A305427型(A243071型(n) )。
(结束)
黄体脂酮素
(PARI)
A064989号(n) ={my(f);f=因子(n);如果(n>1&&f[1,1]==2),f[1,2]=0);对于(i=1,#f~,f[i,1]=precprime(f[i、1]-1));因子回退(f)};
A091225号(n) =polisirreducible(Pol(二进制(n))*Mod(1,2));
A305420型(n) ={my(k=1+n);while(!A091225号(k) ,k++);(k) ;};
A305421型(n) ={my(f=subst(升力(系数(Pol(二进制(n)))*Mod(1,2)),x,2));对于(i=1,#f~,f[i,1]=Pol(二元(A305420型(f[i,1]));fromdigits(Vec(factorback(f))%2);};
A091202号(n) =如果(n<=1,n,如果(!(n%2),2*A091202号(n/2),A305421(A091202号(A064989号(n) )))\\安蒂·卡图恩,2018年6月10日
交叉参考
反向:A091203型.
另请参阅A302023型,A302025型,A305417型,A305427型对于其他类似排列。
关键词
非n,
作者
安蒂·卡图恩2004年1月3日
状态
经核准的
A091203型 因子分解表示GF(2)多项式的二进制码与整数的同构。 +10
21
0, 1, 2, 3, 4, 9, 6, 5, 8, 15, 18, 7, 12, 11, 10, 27, 16, 81, 30, 13, 36, 25, 14, 33, 24, 17, 22, 45, 20, 21, 54, 19, 32, 57, 162, 55, 60, 23, 26, 63, 72, 29, 50, 51, 28, 135, 66, 31, 48, 35, 34, 243, 44, 39, 90, 37, 40, 99, 42, 41, 108, 43, 38, 75, 64, 225, 114, 47, 324 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
例如,我们具有以下身份:A000040型(n) =一个(A014580型(n) ),A091219号(n)=A008683号(a(n)),A091220美元(n)=A000005美元(a(n)),A091221号(n)=A001221号(a(n)),A091222号(n)=A001222号(a(n)),A091225号(n)=A010051型(a(n)),A091227号(n)=A049084号(a(n)),A091247号(n)=A066247号(a(n))。
链接
安蒂·卡图恩,n=0..8192时的n,a(n)表
配方奶粉
a(0)=0,a(1)=1。对于n编码不可约多项式ir_i,即如果n=A014580型(i) ,我们有一个(n)=A000040型(i) 对于复合多项式a(ir_i X ir_j X…)=p_i*p_j*。。。,其中p_i=A000040型(i) X代表GF(2)[X]多项式的无进位乘法(A048720型)和*表示整数的普通乘法(A004247美元).
其他身份。对于所有n>=1,以下条件成立:
A010051型(a(n))=A091225号(n) ●●●●。[在(1)=1之后,映射不可约GF(2)多项式的二进制表示,A014580型、素数和相应可约多项式的二进制表示,A091242号,以合成数字。排列A091205号,A106443号,A106445号,A106447号,A235042型A245704型具有相同的属性。]
发件人安蒂·卡图恩,2018年6月10日:(开始)
对于n<=1,a(n)=n,对于n>1,a(n)=2*a(n/2)如果n是偶数,如果n是奇数,则a(n=A003961号(a)(A305422(n) )。
a(n)=A005940号(1+邮编:305418(n) )=A163511号(A305428型(n) )。
A046523号(a(n))=A278233型(n) ●●●●。
(结束)
黄体脂酮素
(PARI)
A003961号(n) =我的(f=系数(n));对于(i=1,#f~,f[i,1]=下一素数(f[i、1]+1));factorback(f);\\发件人A003961号
A091225号(n) =polisirreducible(Pol(二进制(n))*Mod(1,2));
A305419型(n) =如果(n<3,1,my(k=n-1);而(k>1&&!A091225号(k) ,k——);(k) );
A305422型(n) ={my(f=subst(升力(系数(Pol(二进制(n)))*Mod(1,2)),x,2));对于(i=1,#f~,f[i,1]=Pol(二元(A305419型(f[i,1]));fromdigits(Vec(factorback(f))%2);};
A091203型(n) =如果(n<=1,n,如果(!(n%2),2*A091203型(n/2),A003961号(A091203型(A305422型(n) ))\\安蒂·卡图恩,2018年6月10日
交叉参考
反向:A091202号.
另请参阅A302024型,A302026型,A305418型,A305428型对于其他类似排列。
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2004年1月3日
状态
经核准的
A278233型 GF(2)[X]-因式分解的过滤序列:给出最小自然数的序列,其素数签名与编码在n的二进制展开式中的(0,1)-多项式的素数签名相同。 +10
21
1, 2, 2, 4, 4, 6, 2, 8, 6, 12, 2, 12, 2, 6, 8, 16, 16, 30, 2, 36, 4, 6, 6, 24, 2, 6, 12, 12, 6, 24, 2, 32, 6, 48, 6, 60, 2, 6, 12, 72, 2, 12, 6, 12, 24, 30, 2, 48, 6, 6, 32, 12, 6, 60, 2, 24, 12, 30, 2, 72, 2, 6, 12, 64, 36, 30, 2, 144, 4, 30, 6, 120, 2, 6, 24, 12, 6, 60, 6, 144, 4, 6, 30, 36, 64, 30, 2, 24, 6, 120, 2, 60, 6, 6, 12, 96, 2, 30, 12, 12, 30, 96, 2 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
a(n)=具有相同素数签名的最小数A091203型(n) ●●●●。
此序列作为A046523号-在多项式环GF(2)[X]中的模拟,并且可以用作与数据库中的任何序列相匹配(从而检测)的滤波器,其中,当对应于n的多项式(通过基2编码)在GF(2中分解时,a(n)仅依赖于不可约因子的指数。这些序列列在交叉引用部分“将N划分为…的序列”中。
在这种情况下,匹配意味着序列a与序列b iff匹配所有i,j:a(i)=a(j)=>b(i)=b(j)。换言之,如果序列b根据其获得的不同值将自然数划分为相同或更粗糙的等价类(与序列a相同或更粗略)。
链接
配方奶粉
a(n)=A046523号(A091203型(n) )=A046523号(A091205号(n) )=A046523号(A235042型(n) )。[因为“排序”本质上是由A046523号,从GF(2)[X]到Z的任何映射都可以使用,只要它是完全(交叉)乘法的,并且保持指数不变。]
其他身份。对于所有n>=1:
一个(A014580型(n) )=2。
a(n)=a(A057889号(n) )=a(A193231号(n) )。
一个(A000695号(n) )=A278238型(n) ●●●●。
一个(A277699号(n) )=78239加元(n) ●●●●。
例子
3在二进制中是“11”,编码多项式x+1,7在二进制中是“111”,编码多项式x^2+x+1,这两者在GF(2)上都是不可约的。我们可以用无进位乘法来乘他们的代码A048720型作为A048720型(3,7)=9,A048720型(9,3) = 27,A048720型(9,7) = 63. 现在a(27)=a(63),因为代码27和63中出现的指数都是1和2的2,在计算素数签名时,它们的顺序并不重要。此外,a(27)=a(63)=12,因为这是更熟悉的自然数域中具有素数签名(1,2)的最小数。
a(25)=2,因为25在二进制中是“11001”,编码多项式x^4+x^3+1,这在环GF(2)[x]中是不可约的,即25在A014580型,其初始项为2。
黄体脂酮素
(PARI)A278233型(n) ={my(p=0,f=vecsort((factor(Pol(binary(n)))*Mod(1,2))[,2]),4));prod(i=1,#f,(p=下一素数(p+1))^f[i]);}\\安蒂·卡图恩,2018年6月10日
(方案)(定义(A278233型n)(A046523号(A091203型n) ))
交叉参考
将N划分为相同或更粗糙等价类的序列:A091220美元,A091221号,A091222号,A106493号,A106494号.
另请参阅A304529型,A304751型,A305788型(rgs变换),A305789型.
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2016年11月16日
状态
经核准的
235042美元 从GF(2)[X]多项式到非负整数的保留因子分解的双射,该版本固定了两个半环中不可约的元素。 +10
18
0, 1, 2, 3, 4, 9, 6, 7, 8, 21, 18, 11, 12, 13, 14, 27, 16, 81, 42, 19, 36, 49, 22, 39, 24, 5, 26, 63, 28, 33, 54, 31, 32, 93, 162, 91, 84, 37, 38, 99, 72, 41, 98, 15, 44, 189, 78, 47, 48, 77, 10, 243, 52, 57, 126, 17, 56, 117, 66, 59, 108, 61, 62, 147, 64, 441 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
喜欢A091203型这是一个从GF(2)[X]多项式到整数的因子分解保持同构。前者以n的二进制表示形式进行编码,如下所示:n=11,二进制形式的“1011”,代表多项式x^3+x+1,n=25,二进制形式为“11001”,表示多项式x^4+x^3+1。然而,这个版本没有映射不可约GF(2)[X]多项式(A014580型)直接指向素数(A000040型),而是修复了这两个集合的交集(A091206号),并将元素映射为它们的集合差异A014580型\A000040型(=A091214号)按数值顺序对集合差分A000040型\A014580型(=A091209号).
复合值由乘数定义。例如,我们有一个(A048724号(n) )=3*a(n)和a(A001317号(n) )=A000244号(n) 所有n=3^n。
该映射满足许多与A091203型例如,我们有A091219号(n)=A008683号(a(n)),A091220美元(n)=A000005美元(a(n)),A091221号(n)=A001221号(a(n)),A091222号(n)=A001222号(a(n)),A091225号(n)=A010051型(a(n))和A091247号(n)=A066247号(a(n))对于所有n>=1。
链接
安蒂·卡图恩,n=0..8192时的n,a(n)表
配方奶粉
对于二进制编码为素数的不可约GF(2)[X]-多项式,a(0)=0,a(1)=1,a(p)=pA091206号),对于不可约GF(2)[X]多项式的其余部分(由复合自然数编码的多项式,即q在A091214号),a(q)=A091209号(A235044型(q) ),对于可约多项式,a(i X j X k X…)=a(i)*a(j)*a。。。,其中每个i、j、k。。。在中A014580型,X代表GF(2)[X]多项式的无进位乘法(A048720型)和*表示整数的普通乘法(A004247美元).
例子
这里(t X u)=A048720型(t,u):
a(2)=2,a(3)=3和a(7)=7,因为2、3和7都在A091206号.
a(4)=a(2 X 2)=a。
a(5)=a(3 X 3)=a。
a(9)=a(3 X 7)=a[3]*a(7)=3*7=21。
a(10)=a(2 X 3 X 3)=a。
a(15)=a(3 X 3 X 3)=b(3)^3=3 ^3=27。
a(17)=a(3 X 3 X 3 X 3)=a(3)^4=3^4=81。
a(21)=a(7 X 7)=a[7]*a(7)=7*7=49。
a(25)=5,因为25是A091214号5是第一学期A091209号.
a(50)=a(2 X 25)=a 2*a(25)=2*5=10。
黄体脂酮素
(方案,带有安蒂·卡图恩的IntSeq-library)
(定义(A235042型n) (条件((<n 2)n)((=1(A010051型n)(A091225号n) )n)(=1(A091225号n) )(A091209号(A235044型n) ))(否则(减少*1(映射A235042型(gf2x因子n))
交叉参考
反向:235041元.固定点:A235045型.
类似的交叉乘法排列:A091203型,A091205号,A106443号,A106445号,A106447号.
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2014年1月2日
状态
经核准的
A235041型 因子分解表示从非负整数到GF(2)[X]-多项式的双射,该版本修复了两个半环中不可约的元素。 +10
14
0, 1, 2, 3, 4, 25, 6, 7, 8, 5, 50, 11, 12, 13, 14, 43, 16, 55, 10, 19, 100, 9, 22, 87, 24, 321, 26, 15, 28, 91, 86, 31, 32, 29, 110, 79, 20, 37, 38, 23, 200, 41, 18, 115, 44, 125, 174, 47, 48, 21, 642, 89, 52, 117, 30, 227, 56, 53, 182, 59, 172, 61, 62, 27, 64 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
喜欢A091202号这是一个从整数到GF(2)[X]-多项式的同构分解。后者用n的二进制表示进行编码,如下所示:n=11,二进制中的“1011”代表多项式x^3+x+1,n=25,二进制中“11001”表示多项式x^4+x^3+1。然而,这个版本没有映射素数(A000040型)直接到不可约GF(2)[X]多项式(A014580型),而是修复了这两个集合的交集(A091206号),并将元素映射为它们的集合差异A000040型\A014580型(=A091209号)按数值顺序对集合差分A014580型\A000040型(=A091214号).
复合值由乘数定义。例如,我们有一个(3n)=A048724号(a(n))和a(3^n)=A001317号(n) 对于所有n。
该映射满足许多与A091202号例如,我们有A000005美元(n)=A091220美元(a(n)),A001221号(n)=A091221号(a(n)),A001222号(n)=A091222号(a(n))和A008683号(n)=A091219号(a(n))对于所有n>=1。
链接
配方奶粉
a(0)=0,a(1)=1,a(p)=p,对于那些素数p,其二进制表示也编码不可约GF(2)[X]多项式(即p在A091206号),对于剩余的素数q(其二进制表示编码复合GF(2)[X]多项式的素数,即q在A091209号),a(q)=A091214号(A235043型(q) ),对于复合自然数,a(p*q*r*…)=a(p)X a(q)X a。。。,其中p、q、r。。。是素数,X代表无进位乘法(A048720型)GF(2)[X]多项式的编码,如注释部分所述。
例子
这里(t X u)=A048720型(t,u):
a(2)=2,a(3)=3和a(7)=7,因为2、3和7都在A091206号.
a(4)=a(2*2)=a。
a(9)=a(3*3)=a。
a(5)=25,因为5是A091209号25是第一学期A091214号.
a(10)=a(2*5)=a。
类似地,a(17)=55,因为17是A091209号55是第二学期A091214号.
a(21)=a(3*7)=a。
黄体脂酮素
(方案,带有安蒂·卡图恩的IntSeq-library)
(定义(A235041型n) (条件((<n 2)n)((=1(A010051型n)(A091225号n) )n)(=1(A010051型n) )(A091214号(A235043型n) ))(其他(减少A048720bi 1(地图A235041型(如果行为人n));;ifactor给出了n的所有素数divisor。
交叉参考
反向:A235042型.固定点:A235045型.
类似的交叉乘法排列:A091202号,A091204号,A106442号,A106444号,A106446号.
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2014年1月2日
状态
经核准的
A091257号 计算GF(2)上多项式的乘法表A x B,其中(A,B)为(1,1)、(1,2)、(2,1)、,。。。 +10
8
1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 6, 6, 4, 5, 8, 5, 8, 5, 6, 10, 12, 12, 10, 6, 7, 12, 15, 16, 15, 12, 7, 8, 14, 10, 20, 20, 10, 14, 8, 9, 16, 9, 24, 17, 24, 9, 16, 9, 10, 18, 24, 28, 30, 30, 28, 24, 18, 10, 11, 20, 27, 32, 27, 20, 27, 32, 27, 20, 11, 12, 22, 30, 36, 40, 18, 18, 40, 36, 30, 22, 12 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
基本上与A048720型但从偏移量1而不是零开始计算。类似于A003991号.每个n发生A091220美元(n) 次。
链接
阿洛伊斯·海因茨,反对角线n=1..200,平坦
交叉参考
a(n)=A048720bi(A091255号(n) ,A091256号(n) 因为恒等式A x B=gcd(A,B)x lcm(A,B)在多项式环GF(2)[x]中也成立。
关键词
非n,,表格
作者
安蒂·卡图恩2004年1月3日
状态
经核准的
A325565型 a(n)是n的除数d的数量A048720型(A065621号(d) ,n/d)等于n。 +10
8
1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 6, 2, 2, 2, 6, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 7, 2, 4, 1, 3, 1, 4, 1, 8, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 1, 6, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 2 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
同样,a(n)是这样一对自然数t,u的个数A048720型(t,u)=n和A065620美元(t) *u=无。
链接
配方奶粉
a(n)=和{d|n}[A048720型(A065621号(d) ,n/d)==n],其中[]是艾弗森括号。
a(n)/a(A000265号(n) )=A001511号(n) ●●●●。
a(n)<=A000005美元(n) 对于所有n。
a(n)<=A091220美元(n) 对于所有n。
黄体脂酮素
(PARI)
A048720型(b,c)=来自数字(Vec(Pol(binary(b)))*Pol(二进制(c)))%2,2);
A065621号(n) =比特异或(n-1,n+n-1);
A325565型(n) =汇总(n,d,A048720型(A065621号(d) ,n/d)==n);
(PARI)
A065620型(n,c=1)=和(i=0,logint(n+!n,2),如果(位测试(n,i),(-1)^c++<<i));\\发件人A065620型
A325565型(n) ={my(p=Pol(二进制(n))*Mod(1,2));总和(d=1,n,my(q=Pol==(A065620型(d) *来自数字(Vec(提升(p/q),2)));};
交叉参考
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2019年5月9日
状态
经核准的
178908年 GF(2)n的除数之和。 +10
6
1, 3, 2, 7, 7, 6, 6, 15, 12, 9, 10, 14, 12, 10, 8, 31, 25, 20, 18, 21, 19, 30, 24, 30, 24, 20, 18, 18, 20, 24, 30, 63, 60, 43, 40, 36, 36, 54, 54, 45, 40, 53, 48, 54, 48, 40, 46, 62, 60, 40, 42, 36, 36, 54, 54, 34, 36, 60, 58, 56, 60, 34, 38, 127, 121, 68, 66, 79, 79, 120, 120 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
取第n个GF(2)多项式,计算其除数和,并在GF(2)多项式列表中找到该多项式的索引。
如果2^k<=n<2^(k+1。
其二进制表示对应于除数的数字出现在A280499型,将它们进行XORed运算以获得a(n)。A280493型给出另一个GF(2)[X]-模拟A000203号. -安蒂·卡图恩2017年1月11日
链接
安蒂·卡图恩,n=1..2047的n,a(n)表
配方奶粉
对于所有n>=0,a(2^n)=A000203号(2 ^n)=A280493型(2 ^n)=A000225号(1+n)-安蒂·卡图恩2017年1月11日
例子
5=>x ^2+1=(x+1)^2。西格玛((x+1)^2)=(x+1)^2+x+1+1=x^2+x1=>7,因此a(5)=7。(这里的所有多项式都在GF(2)之上。)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)={局部(p,fm,r,k);
而(n>0,p+=Mod(n,2)*x^k;n=2;k++);
r=Mod(1,2);fm=系数(p);对于(k=1,矩阵大小(fm)[1],r*=(fm[k,1]^(fm[C,2]+1)-1)/(fm[0,1]-1));
subst(升力(r),x,2)}
(PARI)a(n)={my(s=vecsum(除数(Mod(1,2)*Pol(二进制(n))));subst(升力(s),x,2);}\\米歇尔·马库斯,2019年1月13日
(方案)
;; A003987bi实现双参数位-XOR函数(A003987号).
;; A091255bi实现双参数GF(2)[X]GCD函数(A091255号)用于检查k是否是n的除数。
(定义(A178908号n) (让回路((k n)(s 0))(如果(0?k)s(回路(-k 1)(A003987bi s(如果(=k(A091255bi n k))k 0))))
;;安蒂·卡图恩2017年1月11日
交叉参考
关键词
非n
作者
状态
经核准的
第页12

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