搜索： a088713-编号：a088713
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A088714号
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| G.f.满足A（x）=1+x*A（x，^2*A（x*A，x））。 |
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1, 1, 3, 13, 69, 419, 2809, 20353, 157199, 1281993, 10963825, 97828031, 907177801, 8716049417, 86553001779, 886573220093, 9351927111901, 101447092428243, 1130357986741545, 12923637003161409, 151479552582252239
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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配方奶粉
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G.f.满足：
（1） A（x）=（1/x）*系列_翻转（x-x^2*A（x，））。
（2） A（x）=1+（1/x）*Sum_{n>=1}d^（n-1）/dx^（n-1）x^！。
（3） A（x）=exp（和{n>=1}d^（n-1）/dx^（n-1）x^。
（4） A（x）=1/（1-x*A（x，x）*A（x*A，x））。
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x”）满足0=f（x，B（x”，B（x）），其中f（a0，a1，a2）=a0-a1+a1*a2-迈克尔·索莫斯2005年5月21日
设A（x）^m=Sum_{n>=0}A（n，m）*x^n，其中A（0，m）=1，则
a（n，m）=Sum_{k=0..n}m*C（n+k+m，k）/（n+k+m）*a（n-k，k）。
（结束）
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例子
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通用公式：A（x）=1+x+3*x^2+13*x^3+69*x^4+419*x^5+2809*x^6+。。。
g.f.A（x）满足：
x*A（x）=x+x^2*A（x）+d/dx^4*A（x^2/2！+d^2/dx^2 x^6*A（x）^3/3！+d^3/dx^3 x^8*A（x）^4/4！+。。。
g.f.的对数如下所示：
log（A（x））=x*A（x”）+d/dx x ^3*A（x）^2/2！+d^2/dx^2 x^5*A（x）^3/3！+d^3/dx^3 x^7*A（x）^4/4！+d^4/dx^4 x^9*A（x）^5/5！+。。。
G.f.A（x）是无限联立方程组中变量A的唯一解：
A=1+x*A*B；
B=A+x*B*C；
C=B+x*C*D；
D=C+x*D*E；
E=D+x*E*F。。。
其中变量B、C、D、E，。。。，由x*A（x）：
B=A（x）*A（x*A（x）），C=B*A（x*B），D=C*A（x*C），E=D*A（x*D）。。。；
更加明确，
B=1+2*x+8*x^2+42*x^3+258*x^4+1764*x^5+13070*x^6+。。。，
C=1+3*x+15*x^2+93*x^3+655*x^4+5039*x^5+41453*x^6+。。。，
D=1+4*x+24*x^2+172*x^3+1372*x^4+11796*x^5+。。。，
E=1+5*x+35*x^2+285*x^3+2545*x^4+24255*x^5+。。。，
…（结束）
相关扩展：
A（x*A（x））=1+x+4*x^2+22*x^3+142*x^4+1016*x^5+7838*x^6+64174*x^7+552112*x^8+。。。
A（x）^2=1+2*x+7*x^2+32*x^3+173*x^4+1054*x^5+7039*x^6+50632*x^7+387613*x^8+。。。
d/dx x ^4*A（x）^2/2！=2*x^3+5*x^4+21*x^5+112*x^6+692*x^7+4743*x^8+。。。
d^2/dx^2 x ^6*A（x）^3/3！=5*x ^4+21*x ^5+112*x ^6+696*x ^7+4815*x ^8+。。。
d^3/dx^3 x^8*A（x）^4/4！=14*x^5+84*x^6+540*x^7+3795*x^8+。。。
d^4/dx^4x^10*A（x）^5/5！=42*x^6+330*x^7+2475*x^8+19305*x^9+。。。
...
d^（n-1）/dx^（n-1）x^，（2*n）*A（x）^n/n=A000108号（n） *x^（n+1）+。。。
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数学
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m=21；A[_]=1；做[A[x_]=1+x A[x]^2 A[x A[x]]+O[x]*m，{m}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n＜0，0，n++；a＝x+O（x^2）；对于（i＝2，n，a＝x/（1-subst（a，x，a）））；极系数（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月21日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=1+x+O（x^2）；对于（i=1，n，a=1/（1-x*a*子集（a，x，x*a））；polcoff（a，n））}
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=1+x+O（x^2）；对于（i=0，n，a=（1/x）*serreverse（x-x^2*a））；波尔科夫（a，n））}
（PARI）{a（n，m=1）=如果（n==0，1，if（m==0,0^n，sum（k=0，n，m*二项式（n+k+m，k）/（n+k+m）*a（n-k，k））}\\保罗·D·汉娜2009年7月9日
（PARI）/*第n阶导数：*/
{Dx（n，F）=局部（D=F）；对于（i=1，n，D=导数（D））；D}
{a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n））
对于（n=0，25，打印1（a（n），“，”）
（PARI）/*第n阶导数：*/
{Dx（n，F）=局部（D=F）；对于（i=1，n，D=导数（D））；D}
{a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n））
对于（n=0，25，打印1（a（n），“，”）
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非n
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经核准的
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A145167号
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| G.f.A（x）满足A（x/A（x）^6）=1/（1-x）。 |
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1, 1, 7, 106, 2349, 65078, 2093770, 75175383, 2941004409, 123442051582, 5500018250128, 258162075155942, 12693904947530988, 651028563908092621, 34708995997762871047, 1918449419812267920842, 109690826250327197055475
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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G.f.满足：1-1/A（x）=x*A（1-1/A（x））^6。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n），B）；对于（n=0，n，B=serreverse（x/a^6）；a=1/（1-B））；波尔科夫（a，n）}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A145158号
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| G.f.A（x）满足A（x/A（x）^2）=1/（1-x）。 |
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1, 1, 3, 16, 121, 1143, 12570, 154551, 2072547, 29829412, 455731327, 7332989616, 123548350018, 2169987439342, 39595583375433, 748541216196285, 14628467191450947, 294984129900772611, 6128372452917891216
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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G.f.满足：1-1/A（x）=x*A（1-1/B（x））^2。
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例子
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通用公式：A（x）=1+x+3*x^2+16*x^3+121*x^4+1143*x^5+。。。
x/A（x）^2=x-2*x ^2-3*x ^3-18*x ^4-150*x ^5-1518*x ^6-。。。
1/A（x）=1-x-2*x^2-11*x^3-88*x^4-869*x^5-9876*x^6-。。。
系列_反转[x/A（x）^2]=x+2*x^2+11*x^3+88*x^4+869*x^5+。。。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n））；对于（n=0，n，B=serreverse（x/a^2）；a=1/（1-B））；波尔科夫（a，n）}
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非n
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作者
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经核准的
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A145162号
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| G.f.A（x）满足A（x/A（x）^4）=1/（1-x）。 |
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1, 1, 5, 51, 757, 14058, 303443, 7313188, 192096189, 5413972155, 161972306602, 5104569475976, 168500227127871, 5800706769824992, 207552636468976072, 7697809237540240440, 295284422299359774761, 11693774821978063710405
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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G.f.满足：1-1/A（x）=x*A（1-1/A（x））^4。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n），B）；对于（n=0，n，B=serreverse（x/a^4）；a=1/（1-B））；波尔科夫（a，n）}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A145160型
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| G.f.A（x）满足A（x/A（x）^3）=1/（1-x）。 |
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1, 1, 4, 31, 347, 4860, 79174, 1440837, 28584939, 608533714, 13751688892, 327333165775, 8160149459870, 212121519165566, 5730205766494409, 160425928432680795, 4644491031188023566, 138792548776938444503
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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配方奶粉
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G.f.满足：1-1/A（x）=x*A（1-1/B（x））^3。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n））；对于（n=0，n，B=serreverse（x/a^3）；a=1/（1-B））；波尔科夫（a，n）}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A145165型
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| G.f.A（x）满足A（x/A（x）^5）=1/（1-x）。 |
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1, 1, 6, 76, 1406, 32531, 874407, 26234503, 857727024, 30087607090, 1120358453641, 43948073274103, 1805827523343241, 77390779901965470, 3447553371343457810, 159209478315871014816, 7605143367385966288569
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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G.f.满足：1-1/A（x）=x*A（1-1/B（x））^5。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n），B）；对于（n=0，n，B=serreverse（x/a^5）；a=1/（1-B））；波尔科夫（a，n）}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A233436型
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| a（n）=Sum_{k=0..n-1}[x^k]a（x）^（n-1）对于n>=1，a（0）=1，其中g.f.a（x。 |
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1, 1, 2, 8, 50, 424, 4472, 55760, 797022, 12801296, 227829866, 4446822688, 94422531876, 2166975912496, 53457972027254, 1410960809766320, 39680975219789210, 1184783226216138592, 37434788449030871076, 1248022160663960432264, 43785432805297352937954, 1612690422384099635004264
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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给定g.f.A（x），设g（x）=A（x*g（x。
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例子
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通用公式：A（x）=1+x+2*x^2+8*x^3+50*x^4+424*x^5+4472*x^6+55760*x^7+。。。
初始术语说明。
如果我们在A（x）^n中形成x^k的系数数组，n>=0，如下所示：
A^0=[1]，0，0，0,0，0,1，0,0,0。。。；
A^1=[1，1]，2，8，50，424，4472，55760，797022。。。；
A^2=[1，2，5]，20，120，980，10056，122960，1732736。。。；
A^3=[1,3,9,37]，2161704170062037602829030。。。；
A^4=[1，4，14，60，345]，2640，25632，300744，4111472。。。；
A^5=[1，5，20，90，515，3841]，36310，417000，5609960。。。；
A^6=[1,6,27,128,735,5370,49493]，556212,7359480。。。；
A^7=[1，7，35，175，1015，7301，65723，722765]，9400986。。。；
A^8=[1，8，44，232，1366，9720，85644，921864，11782417]。。。
则a（n）等于x^k，k=0..n-1的系数之和，在a（x）^（n-1）中（如上面括号中所示），对于n>=1：
a（1）=1=1；
a（2）=1+1=2；
a（3）=1+2+5=8；
a（4）=1+3+9+37=50；
a（5）=1+4+14+60+345=424；
a（6）=1+5+20+90+515+3841=4472；
a（7）=1+6+27+128+735+5370+49493=55760；
a（8）=1+7+35+175+1015+7301+65723+722765=797022。。。
此外，根据上表中的对角线，我们可以获得系数：
[1/1, 2/2, 9/3, 60/4, 515/5, 5370/6, 65723/7, 921864/8, ...]
形成幂级数
G（x）=1+x+3*x^2+15*x^3+103*x^4+895*x^5+9389*x^6+115233*x^7+。。。
满足：A（x）=G（x/A（x））=1+x*（G（x）+x*G'（x）。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；如果（n==0，1，对于（i=1，n，
A=1+总和（k=1，n-1，总和（j=0，k-1，polceoff（A^（k-1）+x*O（x^j），j））*x^k）+x*1（x^n））；
和（j=0，n-1，polceoff（A^（n-1）+x*O（x^j），j））}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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