搜索： a088625-编号：a0886250
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A088617号
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| 按行读取三角形：T（n，k）=C（n+k，n）*C（n，k）/（k+1），对于n>=0，k=0..n。 |
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38
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 10, 5, 1, 10, 30, 35, 14, 1, 15, 70, 140, 126, 42, 1, 21, 140, 420, 630, 462, 132, 1, 28, 252, 1050, 2310, 2772, 1716, 429, 1, 36, 420, 2310, 6930, 12012, 12012, 6435, 1430, 1, 45, 660, 4620, 18018, 42042, 60060, 51480, 24310, 4862
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0,5
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（2n，0）的Schroeder路径数（即，由步骤U=（1,1），D=（1，-1），H=（2,0）组成，永远不会低于x轴），具有k个U。例如，T（2,1）=3，因为我们有UHD，UDH和HUD-Emeric Deutsch公司2003年12月6日
猜想：对于大n，Schroeder n路中U的期望数是渐近Sqrt[1/2]*n-大卫·卡伦2008年7月25日
T（n，k）也是宽度为k（width（alpha）=|Dom（alpha）|）的（n链的）保序和降序部分变换的数量-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
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参考文献
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查尔斯·乔丹（Charles Jordan），《有限差分演算》，切尔西1965年，第449页。
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链接
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安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Manosij Ghosh Dastidar和Michael Wallner，涉及格路和整数合成的双射和同余，arXiv:2402.17849[math.CO]，2024。见第16页。
C.约旦，有限差分法，布达佩斯，1939年。[仅第448-450页的注释扫描]
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配方奶粉
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按行读取的三角形T（n，k）；由[1,0,1,0,1，0,1,0，1，0，1A084938号.
G.f.：1+（1-x-T（0））/y，其中T（k）=1-x*（1+y）/（1-x*y/T（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月3日
O.g.f.A（x，t）=（1-x-sqrt（（1-x）^2-4*x*t））/（2*x*t）=1+（1+t）*x+（1+3*t+2*t^2）*x^2+。。。。
1+x*（dA（x，t）/dx）/A（x，t）=1+（1+t）*x+（1+4*t+3*t^2）*x^2+。。。o.g.f.是用来的吗A123160型.
对于n>=1，第n行多项式等于（1+t）/（n+1）*Jacobi_P（n-1,1,2*t+1）。从行多项式中去掉1+t的因子，得到的行多项式为A033282号.（结束）
G（x，t）的逆函数本质上给出于A033282号通过x1，f1（x，t）的逆函数：Ginv（x，t）=x[1/（t+x）-1/（1+t+x。Ginv（xt，t）的t系数是Pascal三角形对角线的o.g.f.sA007318号带有签名行和一个额外的起始列。分子给出有符号的行的o.g.f.sA074909号.
（结束）
T（n，k）=[x^k]超几何（[-n，1+n]，[2]，-x）-彼得·卢什尼2022年4月26日
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例子
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三角形开始：
[0] 1;
[1] 1, 1;
[2] 1, 3, 2;
[3] 1, 6, 10, 5;
[4] 1, 10, 30, 35, 14;
[5] 1、15、70、140、126、42；
[6] 1, 21, 140, 420, 630, 462, 132;
[7] 1, 28, 252, 1050, 2310, 2772, 1716, 429;
[8] 1, 36, 420, 2310, 6930, 12012, 12012, 6435, 1430;
[9] 1, 45, 660, 4620, 18018, 42042, 60060, 51480, 24310, 4862;
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MAPLE公司
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R:=n->简化（超几何（[-n，n+1]，[2]，-x））：
Trow:=n->seq（系数（R（n，x），x，k），k=0..n）：
seq（打印（Trow（n）），n=0..9）#彼得·卢什尼2022年4月26日
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数学
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表[二项式[n+k，n]二项式[n，k]/（k+1），{n，0，10}，{k，0，n}]//压扁(*迈克尔·德弗利格2017年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k+1，二项式（n+k，n）*二项式
（岩浆）[[二项式（n+k，n）*二项式（n，k）/（k+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年6月18日
（SageMath）扁平化（[[二项式（n+k，2*k）*catalan_number（k）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2022年5月22日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A060693号
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| 行读取的三角形（0<=k<=n）：T（n，k）是具有k个峰值的从（0,0）到（2n，0）的Schröder路径数。 |
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25
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 10, 6, 1, 14, 35, 30, 10, 1, 42, 126, 140, 70, 15, 1, 132, 462, 630, 420, 140, 21, 1, 429, 1716, 2772, 2310, 1050, 252, 28, 1, 1430, 6435, 12012, 12012, 6930, 2310, 420, 36, 1, 4862, 24310, 51480, 60060, 42042, 18018, 4620, 660, 45, 1, 16796
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0,4
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（2n，0）的Schroeder路径数（即，由步骤U=（1,1）、D=（1，-1）、H=（2,0）组成，并且永远不会低于x轴），具有k个峰值。例如：T（2,1）=3，因为我们有UU*DD、U*DH和HU*D，峰值用*表示。例如，当n>0时，T（n，k）=二项（n，k）*二项（2n-k，n-1）/n-Emeric Deutsch公司2003年12月6日
T（n，k）也是具有最大次数3和次数2的k个顶点的有根平面树的数目（一个节点最多可以有2个子节点，并且正好有k个节点有1个子节点）。等价地，T（n，k）是可以使用一元运算k次、二元运算n-k次而不使用其他运算（操作数序列是固定的）形成的语法上不同的表达式的数量Lars-Hellstrom（Lars.Hellstrom（AT）residenset.net），2009年12月8日
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链接
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Jean-Christophe Aval和François Bergeron，矩形Schröder停车函数组合，arXiv:1603.09487[math.CO]，2016年。
David Callan和Toufik Mansour，列为弱排序排列的五个子集，arXiv:1602.05182[math.CO]，2016年。
克里希娜·梅农和阿努拉·辛格，避免同一性的格拉斯曼排列，arXiv:2212.13794[math.CO]，2022年。
Jean-Christophe Novelli和Jean-Yves Thibon，双代数与拉格朗日反演，arXiv预印本arXiv:1209.5959[math.CO]，2012。
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配方奶粉
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行读取三角形T（n，k）（0<=k<=n）；由[1，1，1，1，1，…]DELTA[1，0，1，0，1，0，…]给出，其中DELTA是A084938号. -菲利普·德尔汉姆2003年8月12日
G.f.：（1-t*y-sqrt（1-y*t）^2-4*y））/2。
T（n，k）=二项（2n-k，n）*二项（n，k）/（n-k+1）-菲利普·德尔汉姆2003年12月7日
G.f.：1/（1-xy-x/（1-xyx-x/（1-xy-x/[1-xy-x/（1-……）（连分数））；
G.f.：1/（1-（x+xy）/（1-x/（1-（x+xy。（结束）
T（n，k）=[k<=n]*（和{j=0..n}二项式（n，j）^2*二项式[j，k）]/（n-k+1）-保罗·巴里2009年5月28日
G（x，t）=x/（1+t+（2+t）*x+x^2）是x中的成分逆。
因此，当H（x，t）=1/（dG（x，t）/dx）=（1+t+（2+t）*x+x^2）^2/（1+t-x^2A060693号t中的多项式由（1/n！）*（（H（x，t）*d/dx）^n）x在x=0时计算得出，即F（x，t）=exp（x*H（u，t）*d/d）u，在u=0时估算得出。
此外，dF（x，t）/dx=H（F（x、t），t）。（结束）
和{k=0..n}（-1）^k*（1+x*（n-k））*T（n，k）=x+（1-x）*A000007号（n） ●●●●。
（结束）
猜想：和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）*（n+1-k）^2=1+n+n^2-沃纳·舒尔特2017年1月11日
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例子
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三角形开始：
00: [ 1]
01: [ 1, 1]
02:[2，3，1]
03: [ 5, 10, 6, 1]
04: [ 14, 35, 30, 10, 1]
05: [ 42, 126, 140, 70, 15, 1]
06: [ 132, 462, 630, 420, 140, 21, 1]
07: [ 429, 1716, 2772, 2310, 1050, 252, 28, 1]
08: [ 1430, 6435, 12012, 12012, 6930, 2310, 420, 36, 1]
09: [ 4862, 24310, 51480, 60060, 42042, 18018, 4620, 660, 45, 1]
10: [16796, 92378, 218790, 291720, 240240, 126126, 42042, 8580, 990, 55, 1]
...
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MAPLE公司
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数学
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t[n_，k_]：=二项式[n，k]*二项式[2n-k，n]/（n-k+1）；扁平[表[t[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]](*罗伯特·威尔逊v2011年5月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=二项（n，k）*二项（2*n-k，n）/（n-k+1）；
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印）\\因德拉尼尔·戈什2017年7月28日
（Python）
从症状导入二项式
定义T（n，k）：返回二项（n，k）*二项（2*n-k，n）/（n-k+1）
对于范围（11）中的n：打印（[T（n，k）对于范围（n+1）中的k）]）#因德拉尼尔·戈什2017年7月28日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A359364飞机
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| 按行读取三角形。Motzkin三角形，Motzkin多项式的系数。M（n，k）=二项式（n，k）*如果k是偶数，则为CatalanNumber（k/2），否则为0。 |
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+10
三
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1，1，0，1，0，1，0，3，0，1，0，6，0，2，1，0，10，0，1，0，15，0，30，0，5，1，0，21，0，70，0，35，0，1，0，28，0，140，0，140，0，14，1，0，36，0，252，0，420，0，126，0，1，0，45，0，420，0，1050，0，630，0，42，1，0，55，0，660，0，2310，0，2310、0、462、0
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0,9
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评论
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广义Motzkin数M（n，k）是M（n）的一种改进(A001006号)在这个意义上，它们是多项式M（n，x）=Sum{n.k}M（n、k）*x^k的系数，在x=1时取值M（n）。x^n的系数是充气加泰罗尼亚数A126120号.
在文献中，“莫茨金三角形”也用于三角形A026300型，由Motzkin数的生成函数的幂生成。
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链接
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M.Artioli、G.Dattoli、S.Licciardi和S.Pagnutti，Motzkin数：一种操作观点，arXiv:1703.07262[math.CO]，2017年，（第3页表1）。
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配方奶粉
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设p（n，x）=超几何（[（1-n）/2，-n/2]，[2]，（2*x）^2）。
M（n，k）=[x^k]p（n，x）。
M（n，k）=[t^k]（n！*[x^n]exp（x）*BesselI（1,2*t*x）/（t*x））。
M（n，k）=[t^k][x^n]（（1-x-sqrt（（x-1）^2-（2*t*x）^2））/（2*（t*x。
M（n，n-1）=A138364号（n） ，仅具有一个平坦步长的Motzkin n路的数目。
M（2*n，2*n）=A000108号（n） ，共有n个向上和水平步的无峰值Motzkin路径数。
M（2*n+2,2*n）=A002457号（n） =（-4）^n*二项式（-3/2，n）。
和{k=0..n}k*M（n，k）=2*A014531号（n-1）=2*GegenbauerC（n-2，-n，-1/2）。
求和{k=0..n}求和{j=0..k}M（n，j）=A189912号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}求和{j=0..k}M（n，n-j）=修改A025179号（n） ●●●●。
有关递归，请参阅Python程序。
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例子
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三角形M（n，k）开始：
[0] 1;
[1] 1，0；
[2] 1, 0, 1;
[3] 1, 0, 3, 0;
[4] 1, 0, 6, 0, 2;
[5] 1, 0, 10, 0, 10, 0;
[6] 1, 0, 15, 0, 30, 0, 5;
[7] 1, 0, 21, 0, 70, 0, 35, 0;
[8] 1, 0, 28, 0, 140, 0, 140, 0, 14;
[9] 1, 0, 36, 0, 252, 0, 420, 0, 126, 0;
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MAPLE公司
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加泰罗尼亚数字：=n->二项式（2*n，n）/（n+1）：
M:=（n，k）->ifelse（irem（k，2）=1，0，CatalanNumber（k/2）*二项式（n，k））：
对于从0到9的n，做序列（M（n，k），k=0..n）od；
#或者，作为多项式系数：
p:=n->超深层（[（1-n）/2，-n/2]，[2]，（2*x）^2）：
seq（打印（seq（系数（简化（p（n）），x，k），k=0..n）），n=0..9）；
#使用指数生成函数：
egf:=exp（x）*BesselI（1,2*x*t）/（x*t”）：ser:=系列（egf，x，11）：
seq（打印（seq（系数（简化（n！*系数（ser，x，n）），t，k），k=0..n）），n=0..9）；
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黄体脂酮素
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（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义M（n:int，k:int）->int：
如果k%2：返回0
如果n<3：返回1
如果n==k：返回（2*（n-1）*M（n-2，n-2））//（n//2+1）
返回（M（n-1，k）*n）//（n-k）
对于范围（10）中的n：打印（[M（n，k）对于范围（n+1）中的k）]）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A138364号,A107587号,A002457号,A002522号,A025179美元,A025235号,A056107号,A014531号,A023426号,A091147号,A189912号,A343386型,A343773型,A359647飞机,A359649飞机.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A213380型
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| a（n）=132*二项式（n，12）。
（原名N2345）
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1
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0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，132，1716，12012，60060，240240，816816，2450448，6651216，16628040，38798760，85357272，178474296，356948592，686439600，1274816400，2294669520，4015671660，6850263420，11417105700，18627909300，29804654880，46835886240，72382733280，110147637600，165221456400，244527755472，357386719536，516225261552，737464659360
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0,13
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参考文献
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查尔斯·乔丹（Charles Jordan），《有限差分演算》，切尔西1965年，第450页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（13，-78286，-7151287，-17161716，-1287715，-286,78，-13,1）。
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配方奶粉
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通用编号：-132*x^12/（x-1）^13-科林·巴克2013年7月22日
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数学
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132*二项式[范围[0，40]，12](*哈维·P·戴尔，2020年2月16日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[132*二项式（n，12）:n in[0..40]]//文森佐·利班迪2020年2月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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