搜索: a087442-编号:a087442
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2465, 62745, 512461, 656601, 658801, 838201, 1033669, 2100901, 4903921, 5968873, 6049681, 8341201, 8719309, 9439201, 9582145, 9585541, 11119105, 11921001, 12261061, 15829633, 17236801, 26921089, 35571601, 36121345, 38624041, 41341321, 43286881, 43584481, 45877861
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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数学
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npwcQ[n_]:=长度[(p=FactorInteger[n][[;;,1]])]>1&&AllTrue[p,可除[n-1,#-1]&];(*A087442号*)
seq[nmax_]:=模块[{carmichaels=Select[Range[1,nmax,2],CompositeQ[#]&Divisible[#-1,CarmichaelLambda[#]]&],s={},c1,c2},Do[c1=carmichael[[k]]+2;c2=carmichaels[[k+1]]-2;当[c1<c2时,如果[npwcQ[c1],中断[]];c1+=2];如果[c1==c2,AppendTo[s,carmichaels[[k]]],{k,1,Length[carmichales]-1}];s] ;序列[10^6]
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非n
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2821, 63973, 530881, 658801, 670033, 852841, 1050985, 2113921, 4909177, 6049681, 6054985, 8355841, 8719921, 9494101, 9585541, 9613297, 11205601, 11972017, 12262321, 15888313, 17316001, 26932081, 35703361, 36765901, 38637361, 41471521, 43331401, 43620409, 45890209
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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数学
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npwcQ[n_]:=长度[(p=FactorInteger[n][[;;,1]])]>1&&AllTrue[p,可除[n-1,#-1]&];(*A087442号*)
seq[nmax_]:=模块[{carmichaels=Select[Range[1,nmax,2],CompositeQ[#]&Divisible[#-1,CarmichaelLambda[#]]&],s={},c1,c2},Do[c1=carmichael[[k]]+2;c2=carmichaels[[k+1]]-2;当[c1<c2时,如果[npwcQ[c1],中断[]];c1+=2];如果[c1==c2,AppendTo[s,carmichaels[[k+1]]],{k,1,Length[carmichales]-1}];s] ;序列[10^6]
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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656601, 5968873, 9582145, 45877861, 67653433, 84311569, 171454321, 171679561, 193708801, 193910977, 230630401, 357277921, 367804801, 393122521, 393513121, 393716701, 395044651, 557160241, 703995733, 710382401, 775368901, 832060801, 833608321, 834244501, 939947009
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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171454321是具有该性质的4个连续卡迈克尔数的最小起始点,393122521是具有该性质的5个和6个连续卡迈克尔数的最小起始点。
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数学
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npwcQ[n_]:=长度[(p=FactorInteger[n][[;;,1]])]>1&&AllTrue[p,可除[n-1,#-1]&];(*A087442号*)
seq[indmax_]:=模块[{carmichaels=案例[Import[“网址:https://oeis.org/A002997号/b002997.txt“,”表格“],{_,_}][[;;,2]],s1=s2={},c1,c2,i},Do[c1=carmichaels[[k]]+2;c2=carmichels[[k+1]]-2;While[c1<c2,If[npwcQ[c1],Break[]];c1+=2];If[c1=c2,AppendTo[s1,carmichael[[k]];AppendTo[s2,car迈克尔斯[[k+1]]],{k,1,Min[indmax,Length[carmichaels]-1]}];i=位置[Rest[s1]-Most[s2],0]//展平;s1[[i]]];序列[200]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A002997号
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| Carmichael数:复合数k,使得a ^(k-1)==1(mod k)对于k的每个a互素。 (原名M5462)
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+10 337
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561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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V.Šimerka在Carmichael之前25年发现了这个序列的前7项(参见链接和K.Conrad的评论)-彼得·卢什尼2019年4月1日
k是复合的和无平方的,对于p素,pk=>p-1k-1。
奇数复合数k是一个伪素数,以a为基iff a^(k-1)==1(mod k)。Carmichael数是一个奇数复合数k,它是一个伪素数,以A为基数,对每个数从素数到k。
复合奇数k是Carmichael数当且仅当k是无平方的,并且p-1对每个素数p除以k除以k-1(Korselt,1899)
Ghatage和Scott利用费马的小定理证明了(a+b)^k==a^k+b^k(modk)(新生的梦想)恰好是当k是素数时(A000040美元)或者卡迈克尔号码-乔纳森·沃斯邮报2005年8月31日
Alford等人用10333229505个素因子构造了一个Carmichael数,并用m个素因子构建了3到19565220之间的Carmichale数-乔纳森·沃斯邮报2012年4月1日
托马斯·赖特证明了对于gcd(b,M)=1的N中的任何数字b和M,都有无穷多个Carmichael数k,使得k==b(mod M)-乔纳森·沃斯邮报2012年12月27日
复合数k相对素数到1^(k-1)+2^(k-1)+…+(k-1)^(k-1)-托马斯·奥多夫斯基2013年10月9日
如果k是Carmichael数并且gcd(b-1,k)=1,那么根据Steuerwald定理,(b^k-1)/(b-1)是基b的伪素数;请参阅中的参考A005935号. -托马斯·奥多夫斯基2016年4月17日
所有Carmichael数的序列可以定义为:a(1)=561,a(n+1)=最小组合k>a(n),这样对于每个素数p<=n+2,p^k==p(modk)-托马斯·奥多夫斯基2017年4月24日
整数m>1是一个Carmichael数,当且仅当m是无平方的,并且它的每一个素数p都满足s_p(m)>=p和s_p。对于每个素因子p,锐界p<=a*sqrt(m)保持不变,a=sqrt(17/33)=0.7177……参见Kellner和Sondow 2019-伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月3日
奇复合数m是一个Carmichael数,当m除以分母(Bernoulli(m-1))时。商是A324977型参见Pomerance、Selfridge和Wagstaff,第1006页,以及Kellner和Sondow,关于伯努利数的章节-乔纳森·桑多2019年3月28日
比格(1950)以美国数学家罗伯特·丹尼尔·卡迈克尔(1879-1967)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
对于前10000项的末尾数字1、3、5、7、9,我们分别看到80.3、4.1、7.4、3.8和4.3%的分配。为什么偏爱结束数字“1”-比尔·麦克阿欣2021年7月16日
似乎对于任意m>1,模m的Carmichael数的余数都偏向1。模4,6,8,…,等于1的项数。。。,前10000个术语中有24个:9827、9854、8652、8034、9682、5685、6798、7820、7880、3378和8518-宋嘉宁2021年11月8日
Alford、Granville和Pomerance在1994年的论文中推测,类似于Bertrand假设的陈述可以应用于Carmichael数。丹尼尔·拉森(Daniel Larsen)已经证明了这一点,请参阅下面的链接-大卫·詹姆斯·西卡莫尔2023年1月17日
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参考文献
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N.G.W.H.Beeger,《关于每一个素数对N的a^N==1(mod N)的复合数N》,《数学脚本》,第16卷(1950年),第133-135页。
A.H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,多佛出版公司,纽约,1966年,表18,第44页。
D.M.Burton,《初等数论》,第五版,McGraw-Hill,2002年。
CRC标准数学表和公式,第30版,1996年,第87页。
R.K.Guy,《数论中未解决的问题》,A13。
O.Ore,《数论及其历史》,McGraw-Hill,1948年,多佛出版社,1988年再版,第14章。
P.Poulet,《Fermat pour le module 2 jusqu'á100.000.000》,斯芬克斯(布鲁塞尔),第8卷(1938年),第42-45页。
西尔宾斯基,《数论问题选集》。纽约麦克米伦出版社,1964年,第51页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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W.R.Alford、Jon Grantham、Steven Hayman和Andrew Shallue,通过改进的子乘积算法构造Carmichael数《计算数学》,第83卷,第286期(2014年),第899-915页,arXiv预印本,arXiv:1203.6664v1[math.NT],2012年3月29日。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance,有无限多的卡迈克尔数数学安。(2) 139(1994),第3期,703-722。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance(1994年)。"关于寻找可靠证人的困难“计算机科学课堂讲稿8771994,第1-16页。
John D.Brillhart、N.J.A.Sloane和J.D.Swift,通信,1972年.
K.A.Draziotis、V.Martidis和S.Tiganourias,乘积子集问题:在数论和密码学中的应用,arXiv:2002.07095[math.NT],2020年。另请参阅第5章《分析、密码学和信息科学》,《世界科学》(2023年),第108页。
Gerhard Jaeschke,卡迈克尔数到10^12,数学。公司。,第55卷,第191号(1990年),第383-389页。
D.H.Lehmer,Poulet表勘误表,数学。公司。,25 (1971), 944-945. 25 944 1971.
Carl Pomerance、J.L.Selfridge和Samuel S.Wagstaff,Jr。,伪素数为25*10^9,数学。公司。,第35卷,第151期(1980年),第1003-1026页。
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配方奶粉
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总和{n>=1}1/a(n)位于区间(0.004706,27.8724)(Bayless和Kinlaw,2017)。Kinlaw(2023年)将上限降至0.0058-阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月26日,2024年2月24日
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MAPLE公司
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过滤器:=进程(n)
局部q;
如果isprime(n),则返回false fi;
如果2&^(n-1)mod n<>1,则返回false fi;
如果不是numtheory:-issqrfree(n),则返回false fi;
对于numtheory:-factorset(n)do中的q
如果(n-1)mod(q-1)<>0,则返回假fi
日期:
真;
结束进程:
选择(过滤器,[seq(2*k+1,k=1..10^6)])#罗伯特·伊斯雷尔2014年12月29日
isA002997:=n->0=modp(n-1,数字理论:-lambda(n)),而不是isprime(n)和n<>1:
选择(isA002997,[1..10000])#彼得·卢什尼2019年7月21日
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数学
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案例[范围[1,100000,2],n_/;Mod[n,CarmichaelLambda[n]]==1&&!初级Q[n]](*阿图尔·贾辛斯基,2008年4月5日;次要编辑来自扎克·塞多夫2011年2月16日*)
选择[Range[1,600001,2],CompositeQ[#]&&Mod[#,CarmichaelLambda[#]]==1&](*哈维·P·戴尔2023年7月8日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)Korselt(n)=我的(f=系数(n));对于(i=1,#f[,1],如果(f[i,2]>1||(n-1)%(f[i,1]-1),返回(0));1
isA002997(n)=n%2&&!isprime(n)&&Korselt(n)&&n>1\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(PARI)是_A002997号(n,F=factor(n)~)={#F>2&&!foreach(F,F,(n%(F[1]-1)==1&&F[2]==1)||return)}\\不需要检查奇偶校验:如果需要效率,只扫描奇数-M.F.哈斯勒,2012年8月24日,编辑于2022年3月24日
(哈斯克尔)
a002997 n=a002997_列表!!(n-1)
a002997_list=[x|x<-a024556_list,
所有(==0)$map((mod(x-1))。(减1)$a027748_当前x]
(岩浆)[n:n in[3..53*10^4 by 2]|非IsPrime(n)和n mod CarmichaelLambda(n)eq 1]//布鲁诺·贝塞利2012年4月23日
(鼠尾草)
定义为Carmichael(n):
如果n==1或is_even(n)或is_prime(n):
返回False
因子=因子(n)
对于因子中的f:
如果f[1]>1:返回False
如果(n-1)%(f[0]-1)!=0:
返回False
return True
打印(如果是Carmichael(n),则[n代表(1..20000)中的n])#彼得·卢什尼2019年4月2日
(Python)
从itertools导入islice
从sympy导入nextprime,factorint
p、 q=3,5
为True时:
对于范围(p+2,q,2)内的n:
f=因子(n)
如果max(f.values())==1,而不是任何((n-1)%(p-1),对于f中的p):
产量n
p、 q=q,下一素数(q)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001567号,A002445号,A002322号,A006931号,A024556号,A027748号,A055553号,A064238号-A064262号,A083737号,A087441号,A087442型,A135717号,A141711号,A153581号,A225498型,A285512型,A285549型,A309132型,A324290型,A324315型,A324316型,A324973型,A324975型,A324977型,A326690型.
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A087441号
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| 对k进行编号,使得对于k的每个素除数p,p-1除以k-1。 |
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+10 6
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1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 45, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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例子
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45英寸A087441号因为它的素数是3和5,3-1=2,5-1=4除以45-1=44。
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数学
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连接[{1},选择[Range[2,300],和@@Divisible[#-1,FactorInteger[#][[All,1]-1]&]](*哈维·P·戴尔2019年8月7日*)
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黄体脂酮素
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(GAP)对于[1.225]中的i,如果i=1或IsSubset(除数int(i-1),集(因子int(i))-1),则打印(i,“,”);fi;od;
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0,0,0,0,1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1
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评论
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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(平价)A324290型(n) =如果(1==n,1,my(f=系数(n));对于(i=1,#f[,1],如果(n-1)%(f[i,1]-1),返回(0));(1));
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A292815型
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| 非平方自由数n=p_1^s_1…p_m^s_m(m>1),这样(p_i^s_i-1)|n-1表示所有0<i<=m。 |
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+10 0
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12025, 13833, 35425, 54145, 89425, 187461, 203841, 321201, 499681, 501025, 566401, 595441, 717025, 784225, 856801, 877825, 965497, 1080801, 1165537, 1299961, 1335961, 1439425, 1566891, 1658385, 1935025, 2058049, 2514337, 2668225, 2817001, 3078361
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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如果接受无平方数,那么将包括卡迈克尔数-米歇尔·马库斯2018年3月13日
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链接
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MAPLE公司
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isA292815:=进程(n)
局部pf、pfs;
pfs:=系数(n)[2];
如果nops(pfs)=1或issqrfree(n),则
返回false;
结束条件:;
对于pfs do中的pf
如果modp(n-1,op(1,pf)^op(2,pf
返回false;
结束条件:;
结束do:
真;
结束进程:
从1到n do
如果是A292815(n),则
打印(n);
结束条件:;
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数学
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fa[n]:=fa[n]=因子整数[n];
free[n]:=并集[表[fa[n]〚i,2〛,{i,长度[fa[n]]}]=={1}
tes1[n]:=Union@表[整数Q[(n-1)/(fa[n][[i,1]]^fa[n][[i、2]-1)],{i,长度[fa[n4]}]=={True};
选择[1+范围[3300200]!免费[#]&&长度@fa[#]>1&&tes1[#]&]
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黄体脂酮素
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(PARI)isok(n)={my(f=factor(n));如果((#f~>1)&&!不受限制(n),对于(k=1,#f~,如果(n-1)%(f[k,1]^f[k,2]-1),返回(0););返回(1);)\\米歇尔·马库斯,2018年3月5日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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