搜索： a085692-编号：a085691
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A005563号
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| a（n）=n*（n+2）=（n+1）^2-1。
（原M2720）
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0、3、8、15、24、35、48、63、80、99、120、143、168、195、224、255、288、323、360、399、440、483、528、575、624、675、728、783、840、899、960、1023、1088、1155、1224、1295、1368、1443、1520、1599、1680、1763、1848、1935、2024、2115、2208、2303、2400、2499、2600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Erdős推测n^2-1=k！有解当且仅当n为5、11或71时（当k为4、5或7时）。
二阶线性递归y（m）=2y（m-1）+a（n）*y（m-2），y（0）=y（1）=1，具有只涉及整数幂的闭式解-伦·斯迈利2001年12月8日
设k为正整数，M_n为n×n矩阵M_（i，j）=k^abs（i-j），则det（M_n）=（-1）^（n-1）*a（k-1）^-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月28日
也可以将k编号为4*k+4是一个正方形-西诺·希利亚德2003年12月18日
对于每个项k，函数sqrt（x^2+1）从1开始，在k次迭代后生成一个整数-杰拉尔德·麦卡维2004年8月19日
方程X^3+X^2=Y^2的解的非负X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（n+2）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
序列允许我们找到方程的X值：X+（X+1）^2+（X+2）^3=Y^2。为了证明X=n^2+2n:Y^2=X+（X+1）^2+（X+2）^3=X^3+7*X^2+15X+9=（X+1”）（X^2+6X+9）=（X+1）*（X+3）^2，它的意思是：（X+1。我们可以设：k=n+1，这给出：X=n^2+2n和Y=（n+1）（n^2+2n+3）-穆罕默德·布哈米达2007年11月12日
蟾蜍和青蛙拼图：
这也是n只青蛙和n只蟾蜍在2n+1方块（或位置，或睡莲叶）上交换位置所需的移动次数，其中一个移动是一次滑动或跳跃，如n=2，a（n）=8
T T-F F
T-T F F
温度-温度
T英尺T英尺-
T F-F T
-前变速器前变速器
F-T F T（飞行时间）
F F T-T
前F-T T
霍尔顿的文章提醒了我这一点，但在查阅辛马斯特的资料后，我发现这个谜团至少可以追溯到1867年。
1883年，爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas）可能是第一个公布每种动物n的移动次数的人。（结束）
设f（x）是x中的多项式，则f（x+n*f（x））全等于0（mod（f（x））；这里n属于n。当x属于Z时，商f（x+n*f（x））/f =A056108号（n） +a（n）*sqrt（2）-A.K.德瓦拉吉2009年9月18日
对于n>0，连分式[n，1，n]=（n+1）/a（n）；例如，[6，1，6]=7/48-加里·W·亚当森，2010年7月15日
起始（3，8，15，…）=[3，5，2，0，0，…]的二项式变换；例如，a（3）=15=（1*3+2*5+1*2）=（3+10+2）-加里·W·亚当森2010年7月30日
a（n）本质上是多边形数的情况0。多边形数定义为P_k（n）=Sum_{i=1..n}（（k-2）*i-（k-3））。因此P_0（n）=2*n-n^2，a（n）=-P_0（n+2）。另请参见A067998号对于k=1的情况A080956号. -彼得·卢什尼，2011年7月8日
a（n）是具有来自{1，…，n+1}的整数元素的2x2矩阵的最大行列式，因此具有来自{1，…，5}的整数元素的2x2矩阵的最大行列式=5^2-1=a（4）=24-阿尔多·冈萨雷斯-洛伦佐2011年10月12日
使用四个连续的三角形数字t1、t2、t3和t4，绘制点（0，0）、（t1，t2）和（t3，t4）以创建三角形。这个三角形面积的两倍是这个序列中从n=1开始的数字，得出8-J.M.贝戈2012年5月3日
给定一个自旋为S=n/2（总是半整数）的粒子，其自旋矢量大小平方的量子力学期望值计算为<S^2>=S（S+1）=n（n+2）/4，即n=2S的四分之一a（n）。这在磁学和磁共振理论中起着重要作用-斯坦尼斯拉夫·西科拉2012年5月26日
数量m，使楼层（sqrt（m））=楼层（m/floor（sqrt（m）-佐藤拓美2012年10月10日
Len Smiley于2001年12月8日提到的a（n）=2*a（n-1）+a（m-2）*a（n-2），n>=2，a（0）=0，a（1）=1的闭式解中的整数是m和-m+2，其中m>=3是一个正整数-费利克斯·P·穆加二世2014年3月18日
设m>=3是一个正整数。如果a（n）=2*a（n-1）+a（m-2）*a（n-2），n>=2，a（0）=0，a（1）=1，那么lim_{n->oo}a（n+1）/a（n）=m-费利克斯·P·穆加二世2014年3月18日
对于n>=4，轮图W_n的Szeged指数（带有n+1个顶点）。在Sarma等人的参考文献中，定理2.7是不正确的-Emeric Deutsch公司2014年8月7日
如果P_{k}（n）是第n个k角数，则a（n）=t*P_{s}（n+2）-s*P_}t}（n+2）表示s=t+1-布鲁诺·贝塞利2014年9月4日
对于n>=1，a（n）是简单李代数a_n的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
对于n>0，a（n）mod（n+1）=a（n-托拉赫·拉什2016年4月4日
推测：当使用埃拉托斯特尼筛和筛分（n+1..a（n）），除数（1..n）和n>0时，将不会有超过一个（n-1）的复合数-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2016年4月8日
a（n）mod 8是周期性的，周期4重复（0,3,0,7），即a（n）mod 8=5/2-（5/2）cos（n*Pi）-sin（n*Pi/2）+sin（3*n*Pi/2）-安德烈斯·西卡廷2016年6月2日
从Klauber三角形（参见Kival Ngaokrajang链接）右侧开始的第二条合成对角线（唯一的素数是数字3），它是由正整数和前1、后3、后5等组成的，每个都位于最后一个的下方-查尔斯·库斯尼奇2017年7月3日
a（n）是n阶Raviart-Tomas或nédélec第一类有限元空间三角形单元中的自由度-马修·斯克洛格斯2020年4月22日
对于n>1，a（n-2）是Quine-McCluskey算法第二阶段的最大元素数，其minterms不被n位函数覆盖。在n=3时，我们有a（3-2）=a（1）=1*（1+2）=3和f（a，B，C）=σ（0,1,2,5,6,7）。
.
0 1 2 5 6 7
+---------------
*（0,1）| X X
（0,2）| X X
（1,5）| X X
*（2,6）| X X
*（5,7）| X X
（6,7）| X X
.
*：表示覆盖的元素。（结束）
1/a（n）是第一个k个奇数之和与下一个n*k个奇数之和的比率-梅尔文·佩拉尔塔2021年7月15日
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参考文献
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E.R.Berlekamp、J.H.Conway和R.K.Guy，《胜利之道》，纽约学术出版社，第2卷。，1982年，见蟾蜍和青蛙拼图下的索引。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《令人困惑的谜题和令人兴奋的小品》（Perplexing Puzzles and Tanovating Teasers），第21页（《一角硬币和一分钱的开关》（The Dime and Penny Switcheroo））。
R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，第D25节。
Derek Holton，学校数学，37#1（2008年1月）20-22。
爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas），《数学评论》（Récréations Mathématiques），高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），第2卷（1883）141-143。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Jeremiah Bartz、Bruce Dearden和Joel Iiams，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
斯坦尼斯拉夫·斯库拉，OEIS上的磁共振，Stan的核磁共振博客（2014年12月31日），2019年11月12日检索。
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配方奶粉
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通用：x*（3-x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=（n！+（n+1）！）/（n-1）！，n>0-加里·德特利夫斯2009年8月10日
a（n）=楼层（n^5/（n^3+1）），偏移量为1（a（1）=0）-加里·德特利夫斯2010年2月11日
a（n）=a（n-1）+2*n+1（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月18日
a（n）=2/（积分_{x=0..Pi/2}（sin（x））^（n-1）*（cos（x））^3），对于n>0-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
G.f.:U（0），其中U（k）=-1+（k+1）^2/（1-x/（x+（k+1）^2/U（k+1；（连分数，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月19日
a（n）=15*C（n+4.3）*C（n+4.5）/（C（n/4.2）*C-加里·德特利夫斯2013年8月5日
a（n）=（n+2）/（n-1）！+n！），n>0-伊万·伊纳基耶夫，2013年11月11日
当n>=0时，a（n）=3*C（n+1,2）-C（n，2）-费利克斯·穆加二世2014年3月11日
a（-2-n）=Z中所有n的a（n）-迈克尔·索莫斯2014年8月7日
对于n>=1，a（n^2+n-2）=a（n-1）*a（n）-米科·拉巴兰2017年10月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=1/4-阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=2。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=-sqrt（2）*sin（sqrt（二）*Pi）/Pi。（结束）
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例子
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G.f.=3*x+8*x^2+15*x^3+24*x^4+35*x^5+48*x^6+63*x^7+80*x^8+。。。
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数学
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表[n^2-1，{n，42}](*零入侵拉霍斯，2007年3月21日*）
列表相关[{1，2}，范围[-1，50]，{1，-1}，0，Plus，Times](*哈维·P·戴尔2015年8月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）连接（0，Vec（x*（3-x）/（1-x）^3+O（x^90））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月22日
（最大值）makelist（n*（n+2），n，0，56）/*马丁·埃特尔2012年10月15日*/
（哈斯克尔）
a005563 n=n*（n+2）
a005563_list=zip带（*）[0..][2..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月16日
（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+2）：n//G.C.格鲁贝尔2024年3月29日
（SageMath）[n*（n+2）表示范围（61）内的n]#G.C.格鲁贝尔2024年3月29日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A146968号
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| Brocard的问题：正整数n就是n+1=平方米。 |
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10^9以下无其他条款。
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例子
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数学
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选择[Range[10]，IntegerQ[Sqrt[#！+1]]&](*哈维·P·戴尔2015年1月31日*）
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黄体脂酮素
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（外壳）#/bin/sh n=0，而（true）do n=`echo$n+1 |bc`calc“（$n！+1）”^“（1/2）”|grep-v\。完成
（岩浆）[<n，p>：n in[1..8047]|t其中t，p:=IsSquare（阶乘（n）+1）]//克劳斯·布罗克豪斯2008年11月5日
（PARI）{对于（n=160100，if（发行（n！+1）==1，打印（n）））}\\Marco Bellaccini（marcomurk（AT）tele2.it），2008年11月8日
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布雷夫,非n,坚硬的
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作者
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马可·贝拉奇尼（马科穆尔克（AT）tele2.it），2008年11月3日
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经核准的
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a（7），如果存在，则大于10^100。
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例子
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5041 = 71^2 = 1! + 7!.
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黄体脂酮素
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（C）
#包括<stdio.h>
#包括<stdlib.h>
#包括<gmp.h>
整型main（）
{
整数bsz=256，a=0；
mpz _ t*f，t；
f=malloc（大小（mpz_t）*bsz）；
mpz输入（t）；mpz输入（f[0]）；mpz_set_ui（f[0]，1）；
而（1）
{
a+=1；
如果（a==bsz）
{
bsz*=2；
f=（mpz_t*）重新分配（f，大小（mpz-t）*bsz）；
}
mpz输入（f[a]）；
mpz_mul_ui（f[a]，f[a-1]，a）；
for（int i=1；i<=a；i++）
{
mpz _ add（t，f[a]，f[i]）；
if（mpz_perfect_power_p（t））
{
gmp_printf（“%Zd，”，t）；
fflush（标准输出）；
}
}
}
返回0；
}
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经核准的
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229是另一个术语，因为613^2除以229+1.参见A115091号对于平方除以m的素数+对一些m来说是1。m的因子分解的检验+对于m<=100，1没有发现额外的正方形-T.D.诺伊2006年3月1日
562也是一个术语，因为562+1可以被563^2整除-弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月30日
Francois BRUNAULT 2008年11月23日的评论：网络搜索显示，对于1<=k<=228，有82个k值，其中k！+1还没有被完全分解（最小的是k=103），因此显示229和562确实是接下来的两个术语将是一项艰巨的任务。我查过了k+对于k<=1000和素数p<10^8，1不能被p^2整除。
很可能229和562是接下来的两个术语，但这尚未得到证实2008年11月29日
如果k>562和k！+1可以被p^2整除，其中p是素数，然后k>10000或p>2038074743（第亿个素数）-杰森·津巴2021年10月21日
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例子
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4在序列中，因为4！+1 = 5^2.
5在序列中，因为5！+1 = 11^2.
6不在序列中，因为6！+1 = 721
7在序列中，因为7！+1 = 71^2.
12在序列中，因为12！+1 = 13^2 * 2834329.
23是一个术语，因为23+1 = 47^2*79*148139754736864591.
229和562是术语，因为
229+1=613^2*38669*1685231*3011917759*（417位复合）
562!+1=563^2*64467346976659839517037*112870688711507255213769871*63753966393108716329397432599379239*（1214位素数）-托马斯·理查德，2021年8月31日
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MAPLE公司
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删除（t->numtheory:-issqrfree（t！+1），[$1.50]）#罗伯特·伊斯雷尔2016年7月4日
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数学
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压扁[位置[MoebiusMu[Range[30]+1], 0]]; (*T.D.诺伊2006年3月1日，2008年11月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）lista（nn）=对于（n=1，nn，如果（！issquarefere（n！+1），print1（n，“，”））\\阿尔图·阿尔坎2016年3月8日
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非n,更多
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经核准的
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A216071型
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| Brocard问题：正整数m使得m^2=n！+1代表一些n。 |
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配方奶粉
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数学
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Sqrt[#！+1]&/@Select[Range[1000]，IntegerQ[Sqrt[#！+1]]&](*哈维·P·戴尔2012年9月29日*）
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黄体脂酮素
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非n,坚硬的,布雷夫
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经核准的
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6、8、10、13、14、19、20、24、25、26、28、34、38、48、54、55、59、71、75、92、109、114、115
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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n！+1必须是两个不同素数的乘积，也必须是只计算两个素数的重数乘积。因此，12不是序列中的项，因为12！+1 = 13*13*2834329. -哈维·P·戴尔，2019年7月22日
此序列中的其他术语：392、551、601、770、772、878、1033、1320、1831、2620、2808、3752、4233、4616、4984、7260-柴华武2020年2月28日
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例子
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6!+1=7*103; 8!+1=61*661; 10!+1=11*329891; 13!+1=83*75024347; 14!+1=23*3790360487; 19!+1=71*1713311273363831;..
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数学
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fQ[n_]：=最后一个/@FactorInteger[n]=={1，1}；选择[Range[40]，fQ[#！+1]&]
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关键字
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非n,更多
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另一项（114）（由Womack等人计算）来自肖恩·欧文2015年5月25日
另一项（115）（由Womack等人计算）来自肖恩·欧文2016年2月8日
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经核准的
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3, 5, 5, 3, 7, 5, 7, 5, 3, 7, 11, 11, 7, 5, 7, 11, 5, 11, 3, 7, 13, 11, 13, 11, 7, 13, 5, 7, 11, 13, 5, 11, 3, 7, 13, 17, 13, 17, 11, 13, 11, 7, 17, 13, 5, 17, 7, 11, 13, 5, 11, 17, 3, 7, 17, 13, 19, 17, 13, 19, 17, 11, 13, 19, 11, 7, 17, 19, 13, 5, 17, 7, 11, 13, 19, 5, 11, 17, 3, 19, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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黄体脂酮素
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（PARI）n阶fareyct（n）={forprime（x=2，n，y=Farey（x）；\print1（y“，”）；）}Farey]<>a[x-1]&a[x]<>0，打印1（分子（a[x]）“，”）；返回（c）}
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经核准的
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32802元
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| x的解对数（x，y）<=11，因此x！+n=y^2（Brocard-Ramanujan Diophantine方程）可在整数上求解。 |
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+10
0
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3, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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Mathematica程序将求解x+n=从1到200的每个n的y ^2，其中x不超过11。达布罗夫斯基表明，abc猜想意味着每个n都只有有限解。Berndt和Galway发现，对于n在1到2500范围内的解，11是x达到的最高值，即使x增加到10^5，在该范围内也找不到其他解对（x，y）。
对于n=1，解的个数和任意x是Brocard问题，并且推测（但仅在x<=10^12范围内验证）有3个解对（x，y）：（4,5），（5,11），（7,71）-格奥尔格·菲舍尔2020年11月27日
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链接
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安德烈·达布罗夫斯基，关于丢番图方程x！+A=y^2Nieuw Archief voor Wiskunde，Vierde serie Deel 14第3期（1996年11月），第321-324页。
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数学
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表[长度@选择[Sqrt[范围[11]+n] ，整数Q[#]&]，{n，1，200}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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的补语A146968号=正整数n，这样n+1是一个正方形（Brocard的问题，到目前为止{4,5,7}是唯一已知的术语）。
Szpiro猜想的一种弱形式意味着序列中只有有限多个非负整数（参见Overholt，1993）。
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链接
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数学
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选择[范围[0，100]！整数Q[Sqrt[#！+1]]&](*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）选择（是（n）=！发行方（n！+1），[0.99]）\\M.F.哈斯勒2018年11月20日
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交叉参考
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非n
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作者
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