搜索： a084950-编号：a084950
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A058798号
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| a（n）=n*a（n-1）-a（n-2），a（0）=0，a（1）=1。 |
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+10
28
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0, 1, 2, 5, 18, 85, 492, 3359, 26380, 234061, 2314230, 25222469, 300355398, 3879397705, 54011212472, 806288789375, 12846609417528, 217586071308601, 3903702674137290, 73952764737299909, 1475151592071860890
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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请注意，a（n）=（a（n-1）+a（n+1））/（n+1）-T.D.诺伊2012年10月12日；已由更正加里·德特利夫斯2018年10月26日
a（n）等于减去M（n+2）的行列式，其中M（n）是n×n对称三对角矩阵，其对角线和对角线项0、1、2…的上下各有一个条目。。，n-1。示例：M（4）=矩阵（[[0，1，0，0]，[1，1,0]，[0，1,2，1]，[0,0，1，3]]）-罗兰·巴彻2001年6月19日
a（n）=A221913型（n，-1），n>=1，是连分式-（0+K_{K=1）^系数（-1/K））=1/（1-1/（2-1/（3-1/（4-…）的第n次近似的分子序列。相应的分母序列为A058797号（n） -沃尔夫迪特·朗2013年3月8日
初始条件为a（0）=0，a（1）=1的递推方程a（n+1）=（a*n+B）*a（n）+C*a（n-1）有解a（n，n）=Sum_{k=0..floor（（n-1）/2）}C^k*二项式（n-k-1，k）*（Product_{j=1..n-2k-1}（k+j）*a+B）。这是A=1，B=1，C=-1的情况-彼得·巴拉2013年8月1日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}（-1）^k*二项式（n-k-1，k）*（n-k）/（k+1）-彼得·巴拉2013年8月1日
a（n）=Pi*（贝塞尔Y（1,2）*贝塞尔J（n+1,2）-贝塞尔J（1,2）*贝塞尔Y（n+1,2））。参见下面给出的Abramowitz-Stegun参考A103921号第361页，等式9.1.27（第一行为Y、J和z=2），第360页，等号9.1.16（Wronskian）-沃尔夫迪特·朗2013年3月5日
极限{n->oo}a（n）/n！=BesselJ（1,2）=0.576724807756873……请参阅下面关于渐近性的注释A084950号.
a（n）=n*n>=2时的超几何（[1/2-n/2，1-n/2]，[2，1-n，-n]，-4）-彼得·卢什尼2014年9月10日
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例子
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数学
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t={0,1}；做[AppendTo[t，n*t[[-1]]-t[[-2]]]，{n，2，25}]；t吨(*T.D.诺伊2012年10月12日*）
nxt[{n，a，b}]：={n+1，b，b*（n+1）-a}；转座[NestList[nxt，｛1，0，1｝，20]][[2]](*哈维·P·戴尔2015年11月30日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
如果n<3：返回n
返回超几何（[1/2-n/2，1-n/2]，[2，1-n，-n]，-4）*阶乘（n）
（岩浆）[0]cat[n le 2 select n else n*Self（n-1）-Self（n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2016年9月22日
（间隙）a:=[1,2]；；对于[3..25]中的n，执行a[n]：=n*a[n-1]-a[n-2]；od；级联（[0]，a）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月26日
（PARI）m=30；v=连接（[1,2]，向量（m-2））；对于（n=3，m，v[n]=n*v[n-1]-v[n-2]）；concat（0，v）\\G.C.格鲁贝尔2018年11月24日
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交叉参考
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此类其他复发：A001040号,A036242号,A036244号,A053983号,A053984美元,A053987号,A058307号,A058308号,A058309号,A058797号,A058799号,A075374号,A106174号,A121323号,A121351型,A121353号,A121354号,A222468型,A222470型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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经核准的
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A058797号
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| a（n）=n*a（n-1）-a（n-2），其中a（-1）=0，a（0）=1。 |
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+10
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0, 1, 1, 1, 2, 7, 33, 191, 1304, 10241, 90865, 898409, 9791634, 116601199, 1506023953, 20967734143, 313009988192, 4987192076929, 84469255319601, 1515459403675889, 28709259414522290, 572669728886769911, 11997355047207645841
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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-1,5
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评论
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a（n）也是对称的三对角n×n矩阵的行列式，其中对角项1、2、……的上下项等于1。。，n.示例：a（4）=det（矩阵（[1，1，0，0]，[1，2，1，0]、[0，1、3、1]，[0，0，1，4]）-罗兰·巴彻2001年6月19日
来自Tyrrell B.McAllister（tmcal（AT）math.ucdavis.edu），2003年5月5日：（开始）
对于n>=1，a（n+1）计算Gelfand-Tsetlin模式x=（x{ij}）{1<=i<=j<=n}（即三角形数组，其中x{i}>=0表示1<=i<=j<=n，x{i，j+1}>=x{ii}>=x{i+1，j+1}表示1<=i<=j
-x的所有项都是整数，
-x_{nn}＝x_{n-1，
-x_{ij}-x{i+1，j+1}<=1，对于1<=i<=j<=n-1，
-x_{英寸}-1<=x{i}<=x}i+1，n}，对于1<=i<=n-1。（结束）
（a（n），n>=1）是贝塞尔数的汉克尔变换(A006789号)从n=1开始。示例：a（3）=det（{{1,2,5}，{2,5,14}，}5,14,43}）=2-大卫·卡伦2007年11月29日
a（n）是[n]的排列数，其中每个下降是1-32模式的32或3-21模式的21或两者。（这些是广义模式，其中两个条目之间的破折号表示相应的排列条目不必相邻，没有破折号则表示相邻。）例如：3462175无法满足条件，因为62是下降，6之前的条目不在区间[2,6]之外；a（4）=7计数1234、1243、1324、1342、1423、1432、2431。证明大纲：根据a（n）计数的排列的最后一项对其进行分区。最后一项为1的排列数是a（n-1）-a（n-2），对于2<=k<=n，最后一项k的排列数为a（n-1）。这些观察结果在下面给出了Bottomley的重现性-大卫·卡伦2008年7月22日
从偏移量1开始=以（1，2，3，…）为主对角线，（-1，-1，-1…）为次对角线的无限下三角矩阵的特征序列-加里·亚当森2009年4月20日
a（n）是连分式-（0+K_{K>=1}（-1/K））=1/（1-1/（2-1/（3-1/4-…）的第n次近似的分母序列。相应的分子序列为A058798号（n） 。极限为BesselJ（1,2）/BeselJ（0,2）=2.575920321…参见A084950号关于贝塞尔函数渐近性的评论。另请参见极限a（n）/n！在公式部分的第一行中给出A058798号（n） /n！这里给出了一个公式-沃尔夫迪特·朗2013年3月8日
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参考文献
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尤金·扬克（Eugene Jahnke）和弗里茨·埃姆德（Fritz Emde），《公式和曲线函数表》，多佛出版社，纽约，1945年，第144页。[罗杰·巴古拉和Bob Hanlon（hanlonr（AT）cox.net），2006年9月3日]
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链接
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D.H.Lehmer，贝塞尔函数的算术周期性《数学年鉴》，33（1932）：143-150。顺序见第150页。
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配方奶粉
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a（n）对c*n是渐近的！其中c=BesselJ（0,2）=总和（-1）^k/（k！）^2=0.223890779(A091681号)-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯和Alec Mihailovs（Alec（AT）Mihailovs.com），2005年8月17日
例如：Pi*（贝塞尔Y（0，-2）*贝塞尔J（1，2*sqrt（1-x））+贝塞尔JAlec Mihailovs（Alec（AT）Mihailovs.com），2005年8月20日
a（n）=Pi*（贝塞尔J[n+1，2]*贝塞尔Y[0，2]-贝塞尔J[0，2]*贝塞尔Y[n+1，2]）-罗杰·巴古拉2006年9月3日。[调整了偏移-沃尔夫迪特·朗2013年3月8日]
如果b（n）=a（n-1）/a（n），则b（n-迈克尔·索莫斯2011年3月7日
对于Z中的所有n，a（n+2）*（a（n）+a（n+1）+a-迈克尔·索莫斯2011年3月7日
对于Z中的所有n，a（-2-n）=-（-1）^n*a（n）-迈克尔·索莫斯2011年3月7日
a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}（-1）^k*二项式（n-k-1，k）*（n-k-1）/k！。囊性纤维变性。A058798号. -彼得·巴拉2024年2月12日
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例子
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G.f.=1+x+x^2+2*x^3+7*x^4+33*x^5+191*x^6+-迈克尔·索莫斯2023年3月10日
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MAPLE公司
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A058797号：=求解（{a（n）=n*a（n-1）-a（n-2），a（0）=1，a（1）=1}，a（n），makeproc）；#亚历克·米哈伊洛夫斯（Alec（AT）Mihailovs.com）
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数学
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递归表[{a[n]==n*a[n-1]-a[n-2]，a[-1]==0，a[0]==1}，a，{n，-1，30}](*G.C.格鲁贝尔2018年11月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a1=0；a2=1；f=“b058797.txt”；写入（f，“-1 0”）；写入（f，“0 1”）；用于（n=1200，a=n*a2-a1；a1=a2；a2=a；写（f，n，“，a）；）；}/*哈里·史密斯2009年6月23日*/
（PARI）{a（n）=我的（s，a0，a1，a2）；n++；s=符号（n）；s^n*如果（n！=0，a1=1；对于（k=2，abs（n），a2=（k-1）*a1-a0；a0=a1；a1=a2），a1）}/*迈克尔·索莫斯2011年3月7日*/
（Magma）[0，1]cat[n le 2 select 1 else n*Self（n-1）-Self（n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2017年8月28日
（鼠尾草）
@缓存函数
如果n==-1：返回0
elif n==0：返回1
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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更多术语来自Tyrrell B.McAllister（tmcal（AT）math.ucdavis.edu），2003年5月5日
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状态
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经核准的
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1, 2, 6, 1, 24, 6, 120, 36, 1, 720, 240, 12, 5040, 1800, 120, 1, 40320, 15120, 1200, 20, 362880, 141120, 12600, 300, 1, 3628800, 1451520, 141120, 4200, 30, 39916800, 16329600, 1693440, 58800, 630, 1, 479001600, 199584000, 21772800, 846720, 11760, 42
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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此阵列的行长度序列为1+楼层（（n-1）/2）=A008619号（n-1），n>=1。
连分数0+K_{K=1..无穷}（x/K）=x/（1+x/（2+x/。这些多项式满足递归q（n，x）=n*q（n-1，x）+x*q（n~2，x），对于用输入P（-1，x）=1，P（0，x）=0.和q（-1，x）=0和q（0,1）=1替换的q。当前数组提供Phat（n，x）的系数：=P（n，x）/x=sum（a（n，m）*x^m，m=0..floor（（n-1）/2）），n>=1。递归为q（n，x），输入为Phat（-1，x）=1/x和Phat（0，x）=0。关于Q（n，x）系数，请参见配套阵列A084950号具有输入q（-1，x）=a和q（0，x）=b的解，则由于线性，q（a，b；n，x）=a*x*Phat（n，x）+b*q（n，x）。考虑q（n，x）重复的动机源于来自加里·德特利夫斯，他考虑了整数x和各种输入，并给出了显式公式。
条目a（n，m）使用点（长度1）和破折号（长度2）对某些所谓的莫尔斯码多项式进行组合解释。a（n，m）是装饰n-1位置2，…，的可能性数，。。。，n带有m个破折号，m来自{0,1，…，floor（（n-1）/2）}，以及n-1-2*m个点。位置k处的点具有标签k，两个相邻位置之间的每个破折号都具有标签x。A（n，m）是标签x^m被分割后这些带有m破折号的莫尔斯码的总和。例如，a（6,2）=6+4+2=12来自3个代码：短划线-点、短划线-点画线和点-短划线，或（23）（45）6、（23）4（56）和2（34）（56），以及标签（通常是乘法的）分别是6*x^2、4*x^ 2和2*x^1。
上述q（n，x）的递推可转换为Abramowitz-Stegun中给出的贝塞尔函数之一（参见A103921号作为参考）在第361页等式9.1.27的第一行，通过i^n*q（n，x）/sqrt（x）^n=C（n+1，-i*2*sqrt（x））和假想单位i，其中C可以代表BesselJ或BesselY。为了固定Q或Phat多项式（如上所述）的两个输入，使用这两个独立解的线性组合。Wronskian方程9.1.16，第360页，用于简化系数。也可以使用基于等式9.6.3和9.6.5的替代版本，第375页，将J和Y多项式转换为I和K。
（结束）
对于大阶n，行多项式Phat（n，x）（见上文）的行为由贝塞尔函数之一可知。请参阅下面关于渐近的注释A084950号。这将导致Phat（n，x）/n的极限！在公式部分给出。名称和上面提到的连分数的限制也可以在以下评论中找到A084950号. -沃尔夫迪特·朗2013年3月8日
这是升序反对偶读取的无符号Lah三角形。相反，从左边开始按降序读取给定的三角形，得到一行无符号Lah三角形。这可以通过显式公式立即进行验证。例如，[T（5,0），T（6,1），TA105278号. -彼得·卢什尼2019年12月7日
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链接
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配方奶粉
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递归（简称）：a（n，m）=n*a（n-1，m）+a（n-2，m-1），n>=2，a（1,1）=1，a，（n，-1）=0，如果n<2*m+1，a（n、m）=0。根据上述注释中给出的Phat（n，x）多项式的递推。
递归（长版）：a（n，m）=2*（n-1-m）*a（n-1，m）+a（n-2，m-1）-（n-1-m）*（n-2-m）*a（n-2、m），n>=1，a（1,0）=1，a（n，-1）=0，a（n、m）=0如果n<2*m+1。从参数α=1的无符号广义拉盖尔多项式的递推。这种递推可以简化为前面的简短版本，因为以下显式形式是广义拉盖尔系数的显式形式（反过来，广义拉盖尔系数是从罗德里格斯公式和莱布尼茨规则导出的）。这证明了a（n，m）=|Lhat（1，n-1-m，m）|与系数|Lhap（1，n，m|A066667号无符号n的（n，m）|*L（1，n，x）拉盖尔多项式（参数α=1）。
a（n，m）=二项式（n-1-m，m）*（n-m）/（m+1）！，n>=1，0<=m<=楼层（（n-1）/2）。
有关列序列的f.s示例，请参见A105278号（这里有不同的偏移量，可以通过积分获得）。
例如，对于行多项式gPhat（z，x）：=Sum_{z>=0}Phat（n，x）*z^n=Pi*（BesselJ（1，2*i*sqrt（x）*sqrt（1-z））。相位（0，x）=0。
对于行多项式，我们可以找到Phat（n，x）=Pi*（z/2）^n*（BesselY（1，z）*BesselJ（n+1，z）-BesselJ（1，z）*BesselY（n+1,z）），其中z:=-i*2*sqrt（x），i是虚单位。另一种形式是Phat（n，x）=2*（w/2）^n*（BesselI（1，w）*BesselK（n+1，w）+BesselK（1，w）*BesselI（n+1、w）*（-1）^（n+1）），n>=1，其中w:=-2*sqrt（x）。有关推导，请参阅上面的注释。（结束）
极限{n->oo}相位（n，x）/n！=贝塞尔（1,2*sqrt（x））/平方（x）。请参阅上面的评论-沃尔夫迪特·朗2013年3月8日
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例子
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不规则三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6
1比1
2: 2
3: 6 1
4: 24 6
5: 120 36 1
6: 720 240 12
7: 5040 1800 120 1
8: 40320 15120 1200 20
9: 362880 141120 12600 300 1
10: 3628800 1451520 141120 4200 30
11: 39916800 16329600 1693440 58800 63 1
12: 479001600 19958400 21772800 846720 11760 42
13:6227020800 2634508800 299376000 12700800 211680 1176 1
...
复发率（简称）：a（6,1）=6*36+24=240。
复发（长版）：a（6,1）=2*4*36+24-4*3*6=240。
a（6,1）=二项式（4,1）*5/2! = 4*3*4*5 = 240.
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数学
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行[n_]：=x/ContinuedFractionK[x，i，{i，0，n}]//简化//并集//分子//系数列表[#，x]//静止；
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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222467英镑
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| 连分式1/（1+2/（2+2/（3+2/（4+。。。 |
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+10
9
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1, 1, 4, 14, 64, 348, 2216, 16208, 134096, 1239280, 12660992, 141749472, 1726315648, 22725602368, 321611064448, 4869617171456, 78557096872192, 1345209881170176, 24370892054807552, 465737368803683840, 9363489160183291904
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）=Q（n，2），分母多项式Q为A084950号。所有给出的公式都是从这里开始的。连分式（0+K_{K>=1}（2/K））/2=1/（1+2/（2+2/（3+2/（4+……是（1/2）*sqrt（2）*BesselI（1,2*sqert（2））/BesselI（0,2*squart（2A222466号获取更多数字。
关于莫尔斯码的组合解释，请参阅A084950号这里，每个破折号都有标签x=2，如果点位于j位置，则有标签j。标签相乘，[1,2，…，n]上的所有代码相加。
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链接
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配方奶粉
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递归：a（n）=n*a（n-1）+2*a（n-2），a（-1）=0，a（0）=1，n>=1。
求和：a（n）=和{m=0..floor（n/2）}a（n-m，m）*2^m，n>=0，其中a（n，m）=（n！/m！）*二项式（n，m）=|A021009美元（n，m）|（拉盖尔）。
显式形式：a（n）=2*（w/2）^（n+1）*（BesselI（0，w）*BesselK（n+1，w）-BesselK（0，w）*BesselI（n+1、w）*（-1）^。
例如：（i*Pi*sqrt（2）/sqrt（1-z））*。
渐近：lim_{n->infinity}a（n）/n！=贝塞尔（0,2*sqrt（2））=4.2523508795026。。。
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例子
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a（4）=4*a（3）+2*a（2）=4*14+2*4=64。
连分式收敛：1/（1+2/（2+2/（3+2/4）））=9/16=36/64=A222468型（4） /a（4）。
莫尔斯电码a（4）=64，来自[1,2,3,4]上所有5个标记电码的总和，其中一个没有破折号，三个有一个破折号和一个有两个破折线：4！+(3*4 + 1*4 + 1*2)*2 + 2^2 = 64.
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数学
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递归表[{a[0]==a[1]==1，a[n]==n*a[n-1]+2*a[n-2]}，a，{n，20}](*哈维·P·戴尔2017年7月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）m=30；v=连接（[1,4]，向量（m-2））；对于（n=3，m，v[n]=n*v[n-1]+2*v[n-2]）；concat（[1]，v）\\G.C.格鲁贝尔2018年5月16日
（岩浆）I:=[1,4]；[1] cat[n le 2 select I[n]else n*Self（n-1）+2*Self-（n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2018年5月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 8, 0, 9, 0, 1, 0, 33, 0, 14, 0, 1, 48, 0, 87, 0, 20, 0, 1, 0, 279, 0, 185, 0, 27, 0, 1, 384, 0, 975, 0, 345, 0, 35, 0, 1, 0, 2895, 0, 2640, 0, 588, 0, 44, 0, 1, 3840, 0, 12645, 0, 6090, 0, 938, 0, 54, 0, 1, 0, 35685, 0, 41685, 0, 12558, 0, 1422, 0, 65
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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递推公式的等价性需要形式证明。对于w=1，该连分数收敛到0.525135276160981。Ramanujan的一个猜想将其设为-1+1/（sqrt（e*Pi/2）-Sum_{k>=1}1/（2k-1）！）。
让我们用U（w）表示连分数。
然后很容易证明密尔比R（w）=（1-Phi（w））/f（w），其中Phi是标准正态分布函数，f是标准法向密度函数，满足R（w。
事实上，R（w）=1/（w+1/（w+2/（w+3/（w+…）然后我们发现U（w）=1/R（w●●●●！。
代入t=0，得到R（w）=exp（w^2/2）*sqrt（Pi/2）-Sum_{n>=0}w^（2n+1）/（2n+1）！！。如果w=1，我们得到了Ramanujan公式。（结束）
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链接
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亚历山大·克里宁，米尔斯比的组合性质，arXiv:1405.5852【math.CO】，2014年。见表3。
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配方奶粉
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p（0）=1；p（1）=w；p（n）=w*p（n-1）+n*p（n-2）（猜想）。
T（n，k）=T（n-1，k-1）+n*T（n-2，k），T（0,0）=1，T（1,0）=0，T（1，1）=1-菲利普·德尔汉姆2013年10月28日
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例子
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1/（w+2/（w+3/（w+4/（w+5/（w+6/w））））的分母等于48+87w^2+20w^4+w^6。
三角形开始
1;
0，1；
2, 0, 1;
0, 5, 0, 1;
8, 0, 9, 0, 1;
0，33，0，14，0，1；
48, 0, 87, 0, 20, 0, 1;
0, 279, 0, 185, 0, 27, 0, 1;
384, 0, 975, 0, 345, 0, 35, 0, 1;
0, 2895, 0, 2640, 0, 588, 0, 44, 0, 1;
3840, 0, 12645, 0, 6090, 0, 938, 0, 54, 0, 1;
0, 35685, 0, 41685, 0, ... （结束）
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数学
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表[系数列表[分母[一起[折叠[#2/（w+#1）&，无穷大，反向@表[k，{k，1，n}]]，w]，{n，16}]（*或等效*）清除[p]；p[0]=1；p[1]=w；p[n]：=p[n]=w*p[n-1]+n*p[n-2]；表[系数列表[p[k]//展开，w]，{k，0，15}]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A222469号
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| 连分式1/（1-2/（2-2/（3-2/（4-…）））的第n个收敛的分母序列。 |
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+10
5
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1, 1, 0, -2, -8, -36, -200, -1328, -10224, -89360, -873152, -9425952, -111365120, -1428894656, -19781794944, -293869134848, -4662342567680, -78672085380864, -1406772851720192, -26571340011921920, -528613254534998016
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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a（n）=Q（n，-2），分母多项式Q为A084950号。所有给出的公式都是从这里开始的。连分式（-1/2）*（0+K_{K=1..oo}（-2/K）=1/（1-2/（2-2/（3-2/（4-…）））的极限是（+1/2）*sqrt（2）*BesselJ（1,2*sqert（2））/BesselJ（0,2*squart（2A222471型.
关于莫尔斯码的组合解释，请参阅A084950号这里，每个破折号都有标签x=-2，如果点位于位置j，则它们有标签j。标签相乘，对于a（n），[1,2，…，n]上的所有标签代码必须相加。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n*a（n-1）-2*a（n-2），a（-1）=0，a（0）=1，n>=1。
a（n）=和{m=0..floor（n/2）}a（n-m，m）*（-2）^m，n>=0，其中a（n，m）=（n！/m！）*二项式（n，m）=|A021009美元（n，m）|（拉盖尔）。
a（n）=Pi*（z/2）^（n+1）*（贝塞尔Y（0，z）*贝塞尔J（n+1，z）-贝塞尔J（0，z）*贝塞尔Y（n+1，z）），其中z：=2*sqrt（2）。
例如：Pi*c/（2*sqrt（1-z））*（BesselJ（1，c*sqrt（1-z。
渐近：lim_{n->oo}a（n）/n！=贝塞尔J（0,2*sqrt（2））=-0.1965480950。。。
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例子
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a（4）=4*a（3）-2*a（2）=4*（-2）+2*0=-8。
连分式收敛：1/（1-2/（2-2/（3-2/4）））=-3/2=-12/8=A222470型（4） /a（4）。
莫尔斯电码：a（4）=[1,2,3,4]上所有5个标记电码之和的-8，一个没有短划线，三个有一个短划线，一个有两个短划线：4！+(3*4 + 1*4 + 1*2)*(-2) + (-2)^2 = -8.
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数学
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递归表[{a[0]==1，a[1]==1；a[n]==n*a[n-1]-2 a[n-2]}，a[n]，{n，50}](*G.C.格鲁贝尔2017年8月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）m=30；v=concat（[1，1]，向量（m-2））；对于（n=3，m，v[n]=n*v[n-1]-2-v[n-2]）；v（v）\\G.C.格鲁贝尔2018年5月17日
（岩浆）I:=[1,1]；[n le 2选择I[n]else n*自我（n-1）-2*自我（n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2018年5月17日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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180047澳元
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| 第n阶分子的系数三角形收敛于连分式w/（1+w/（2+w/3+w/。。。 |
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+10
4
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0, 0, 1, 0, 2, 0, 6, 1, 0, 24, 6, 0, 120, 36, 1, 0, 720, 240, 12, 0, 5040, 1800, 120, 1, 0, 40320, 15120, 1200, 20, 0, 362880, 141120, 12600, 300, 1, 0, 3628800, 1451520, 141120, 4200, 30, 0, 39916800, 16329600, 1693440, 58800, 630, 1, 0, 479001600
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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二项式公式的等价性需要形式证明。此c.f.收敛于A052119号=0.697774657964..=贝塞尔I（1,2）/BesellI（0,2），w=1。
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链接
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配方奶粉
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T（n，m）=（n-m+1）/米*n>=0，0<=m<=（n+1）/2的二项式（n-m，m-1）。
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例子
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三角形开始：
0;
0, 1;
0, 2;
0, 6, 1;
0, 24, 6;
0, 120, 36, 1;
0、720、240、12；
.
w/（1+w/（2+w/）（3+w/（4+w/5）））的分子等于120*w+36*w^2+w^3。
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数学
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表[CoefficientList[Numerator[Together[Fold[w/（#2+#1）&，Infinity，Reverse@Table[k，{k，1，n}]]，w]，{n，16}]；（*或等效*）表[（n-m+1）！/m！*二项式[n-m，m-1]，{n，0，16}，{m，0，Floor[n/2+1/2]}]
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A180049型
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| 第n个分子的系数三角形收敛于连分式1/（w+2/（w+3/（w+4/。 |
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+10
4
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1、0、1、3、0、1、0、7、0、1、15、0、12、0、1、0、57、0、18、0、1、105、0、141、0、25、0、1、0、561、0、285、0、33、0、1、945、0、1830、0、510、0、42、0、1、0、6555、0、4680、0、840、0、52、0、1、10395、0、26685、0、10290、0、1302、0、63、0、1、89055、0、828 45、0、20370、0、1926、0、75、0、1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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递推公式的等价性需要形式证明。对于w=1，该连分数收敛到0.525135276160981。Ramanujan的一个猜想将其设为-1+1/（sqrt（e*Pi/2）-Sum_{k>=1}1/（2k-1）！）。行总和相等A059480号.
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链接
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配方奶粉
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b（0）=1；b（1）=w；b（n）=w*b（n-1）+（n+1）*b（n-2）（猜想）。
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例子
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1/（w+2/（w+3/（w+4/（w+5/（w+6/w））））的分子等于57w+18w^3+w^5。
三角形开始：
1;
0, 1;
3, 0, 1;
0, 7, 0, 1;
15, 0, 12, 0, 1;
0，57，0，18，0，1；
105, 0, 141, 0, 25, 0, 1;
0, 561, 0, 285, 0, 33, 0, 1;
945, 0, 1830, 0, 510, 0, 42, 0, 1;
0, 6555, 0, 4680, 0, 840, 0, 52, 0, 1;
10395, 0, 26685, 0, 10290, 0, 1302, 0, 63, 0, 1;
…（结束）
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数学
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表[CoefficientList[Numerator[Together[Fold[#2/（w+#1）&，Infinity，Reverse@Table[k，{k，1，n}]]，w]，{n，2，16}]或等效Clear[b]；b[0]=1；b[1]=w；b[n]：=b[n]=wb[n-1]+（n+1）b[n-2]；表[系数列表[b[k]//展开，w]，{k，0，14}]
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黄体脂酮素
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（PARI）t=x-w；对于（n=1，12，t=substpol（t，x，w+n/x）；打印（Vecrev（分子（substpol（t，x，w）））\\M.F.哈斯勒2014年10月21日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A213190型
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| a（0）=1，a（1）=1、a（n）=n*a（n-1）+3*a（n-2）。 |
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+10
4
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1、1、5、18、87、489、3195、23832、200241、1873665、19337373、218332098、2677997295、35468961129、504599447691、7675398598752、124320175923105、2136469186489041、38829405884572053、744168119366336130、149998500604980438759、31722936706268222329
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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设S（i，j，x，n）表示形式a（0）=i，a（1）=j，a（n）=n*a（n-1）+x*a（n-2）的序列。那么S（i，j，x，n）=i*Sum_{k=0..floor（n/2+1）}（n-k-2）*二项式（n-k，k+2）*x^（k+1）/k！）+j*Sum_{k=0..floor（（n+1）/2）}（n-k）*二项式（n-k-1，k）*x^k/（k+1）！），n> 1。
此表单的其他序列为：
在i=j=1的情况下，上述公式可以简化为S（1,1，x，n）=Sum_{k=0..floor（n/2）}（（n-k）/k！）*二项式（n-k，k）*x^k）-加里·德特利夫斯和沃尔夫迪特·朗2013年3月6日
a（n）=Q（n，3），的行多项式A084950号计算x=3时，是连分数1/（1+3/（2+3/（3+3/（4+…）的第n个近似值的分母222472英镑（n） 。该连分数的极限为（z/6）*BesselI（1，z）/BesselI（0，z），其中z=2*sqrt（3）为0.4845161749874040。。。
例如：a（n）=（Pi*x/（2*sqrt（1-z）））*。
关于莫尔斯码的组合解释，请参阅A084950号这里，每个破折号都有标签x=3，如果点位于位置j，则它们有标签j。标签是相乘的，对于a（n），[1,2，…，n]上的所有标签代码都必须求和。（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（0）=1，a（1）=1，a（n）=和{k=0..floor（n/2+1）}（n-k-2）*二项式（n-k，k+2）*3^（k+1）/k！）+求和{k=0..floor（（n+1）/2）}（n-k）*二项式（n-k-1，k）*3^k/（k+1）！），n> 1。
a（n）=2*sqrt（3）^（n+1）*（贝塞尔I（0，2*squart（3。参见Q（n，3）A084950号. -沃尔夫迪特·朗2013年3月6日
渐近：极限（a（n）/n！，n->无穷大）=BesselI（0,2*sqrt（3））=7.15899653680…请参阅关于Bessel函数在A084950号. -沃尔夫迪特·朗2013年3月8日
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例子
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a（4）=4*a（3）+3*a（2）=4*18+3*5=87。
莫尔斯电码：a（4）=87，来自[1，2，4]上所有5个标记码的总和，一个没有破折号，三个有一个破折号，一个有两个破折号：4！+(3*4 + 1*4 + 1*2)*(3) + (3)^2 = 87. （结束）
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MAPLE公司
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A： =（n，x）->总和（n-k-2）*二项式（n-k，k+2）*x^（k+1）/k！，k=0..层（n/2+1）
B： =（n，x）->和（n-k）*二项式（n-k-1，k）*x^k/（k+1）！，k=0..层（（n+1）/2）
序列（A（n，3）+B（n，三），n=2..20）
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数学
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递归表[{a[0]==1，a[1]==1；a[n]==n*a[n-1]+3a[n-2]}，a[n]，{n，50}](*G.C.格鲁贝尔2017年8月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=和（k=0，n\2，（n-k）/k！）*二项式（n-k，k）*3^k）/*乔格·阿恩特2013年3月7日*/
（哈斯克尔）
a213190 n=a213190列表！！n个
a213190_list=1:1:zipWith（+）
（zipWith（*）[2..]$tail a21310_list）（映射（*3）a21310_列表）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A222466号
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| 用贝塞尔函数表示连分数1/（1+2/（2+2/（3+2/（4+…）的极限的十进制展开式。 |
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+10
4
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|
5, 6, 3, 1, 7, 8, 6, 1, 9, 8, 1, 1, 7, 1, 1, 3, 8, 5, 4, 2, 5, 7, 5, 2, 9, 0, 3, 7, 0, 3, 5, 6, 3, 5, 5, 3, 2, 7, 6, 0, 5, 2, 2, 5, 4, 8, 6, 4, 0, 4, 3, 4, 9, 2, 4, 1, 2, 9, 8, 4, 8, 2, 1, 9, 0, 9, 7, 7, 6, 9, 0, 4, 4, 0, 7, 6, 2, 4, 6, 0, 3, 0, 2, 5, 5, 7, 2, 4, 8, 9, 1, 9, 5, 1, 8, 6, 1, 1, 3, 7, 5, 8, 5, 3, 8
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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连分式（0+K_{K=1}^{无穷}（2/K））/2=1/（1+2/（2+2/（3+2/（4+…）收敛，其极限在公式部分用贝塞尔函数给出。
一般来说，连分式0+K_{K=1}^{无穷}（x/K）=x/（1+x/（2+x/2013年2月和的QA084950号这些多项式是用贝塞尔函数表示的。除以n！=Gamma（n+1）知道这两个多项式系统的n->infinity极限。这导致了给定的公式0+K_{K=1}^{infinidy}（x/K）=sqrt（x）*BesselI（1,2*sqrt（x））/BeselI（0,2*squart（x，））。
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链接
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配方奶粉
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（0+K_{K=1}^{无穷}（2/K））/2=1/（1+2/（2+2/（3+2/（4+=
平方（2）*BesselI（1,2*sqrt（2））
= 0.5631786198117113854257529037035635...
|
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|
数学
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实际数字[BesselI[1,2*Sqrt[2]]/（Sqrt[2]*BesselI[0,2*Sqrt[2]），10,50][1](*G.C.格鲁贝尔2017年8月16日*）
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|
黄体脂酮素
|
（平价）
默认值（realprecision，120）；
平方（2）*besseli（1,2*sqrt（2））\\里克·L·谢泼德2014年1月18日
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