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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a084938-编号：a084939
显示找到的634个结果中的1-10个。 第页12 三 4 5 6 7 8 9 10...64
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A106566号 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[0，1，1，1,1，…]DELTA[1，0，0，0,0，0A084938号. +20
59
1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 5, 5, 3, 1, 0, 14, 14, 9, 4, 1, 0, 42, 42, 28, 14, 5, 1, 0, 132, 132, 90, 48, 20, 6, 1, 0, 429, 429, 297, 165, 75, 27, 7, 1, 0, 1430, 1430, 1001, 572, 275, 110, 35, 8, 1, 0, 4862, 4862, 3432, 2002, 1001, 429, 154, 44, 9, 1 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0,8
评论
加泰罗尼亚卷积三角形；k列的g.f.：（x*c（x））^k和c（x）g.fA000108号（加泰罗尼亚数字）。
Riordan数组（1，xc（x）），其中c（xA000108号; Riordan阵列的逆矩阵（1，x*（1-x））（参见A109466号).
对角线和给出A132364号. -菲利普·德尔汉姆2007年11月11日
链接
阿洛伊斯·海因茨，行n=0..140，扁平
保罗·巴里，整数序列上的加泰罗尼亚变换及相关变换，《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.4.5条。
保罗·巴里，关于具有加泰罗尼亚Halves的Riordan阵列的一个注记，arXiv:1912.01124[math.CO]，2019年。
保罗·巴里，切比雪夫矩和Riordan对合，arXiv:1912.11845[math.CO]，2019年。
保罗·巴里，关于整数序列的中心变换，arXiv:2004.04577[math.CO]，2020年。
F.R.Bernhart，加泰罗尼亚、莫茨金和里奥丹数字，离散。数学。，204 (1999), 73-112.
D.Callan，一种计算包含3个字母模式的排列的递归双射方法，arXiv:math/0211380[math.CO]，2002年。
E.德国，Dyck路径枚举，离散数学。，204, 1999, 167-202.
FindStat-组合统计查找器，Dyck路径的接触点数量,Dyck路径的初始上升数,树左分支上的节点数,子树的数量.
R.K.盖伊，猫道、沙阶和帕斯卡金字塔《整数序列》，第3卷（2000年），第00.1.6条。
A.Robertson、D.Saracino和D.Zeilberger，精细限制排列，arXiv:math/0203033[math.CO]，2002年。
L.W.Shapiro、S.Getu、W.-J.Woan和L.C.Woodson，Riordan集团，离散应用数学。，34 (1991), 229-239.
配方奶粉
T（n，k）=二项式（2n-k-1，n-k）*k/n，对于n>0的0<=k<=n；T（0，0）=1；如果k>0，T（0，k）=0。
T（0，0）=1；如果n>0，T（n，0）=0；如果k>0，T（0，k）=0；对于k>0和n>0：T（n，k）=Sum{j>=0}T（n-1，k-1+j）。
和{j>=0}T（n+j，2j）=二项式（2n-1，n），n>0。
求和{j>=0}T（n+j，2j+1）=二项式（2n-2，n-1），n>0。
和{k>=0}（-1）^（n+k）*T（n，k）=A064310号（n） ●●●●。T（n，k）=（-1）^（n+k）*A099039号（n，k）。
和k=0..n}T（n，k）*x^k=A000007号（n） ，A000108号（n） ，A000984号（n） ，A007854号（n） ，A076035型（n） ，A076036号（n） ，A127628号（n） ，A126694号（n） ，15970年（n） x=0,1,2,3,4,5,6,7,8。
和{k>=0}T（n，k）*x^（n-k）=C（x，n）；C（x，n）是广义加泰罗尼亚数。
和{j=0..n-k}T（n+k，2*k+j）=A039599号（n，k）。
和{j>=0}T（n，j）*二项式（j，k）=A039599号（n，k）。
和{k=0..n}T（n，k）*A000108号（k）=A127632号（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）*（x+1）^k*x^（n-k）=A000012号（n） ，A000984号（n） ，A089022号（n） ，A035610型（n） ，A130976号（n） ，A130977号（n） ，130978英镑（n） ，A130979号（n） ，A130980号（n） ，A131521号（n） 对于x分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9-菲利普·德尔汉姆2007年8月25日
和{k=0..n}T（n，k）*A000108号（k-1）=121988年（n） ，使用A000108号（-1）=0-菲利普·德尔汉姆2007年8月27日
和{k=0..n}T（n，k）*（-x）^k=A000007号（n） ，A126983号（n） ，A126984号（n） ，A126982号（n） ，126986英镑（n） ，A126987号（n） ，A127017号（n） ，A127016号（n） ，A126985号（n） ，A127053号（n） 对于x=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9-菲利普·德尔汉姆2007年10月27日
T（n，k）*2^（n-k）=110510英镑（n，k）；T（n，k）*3^（n-k）=A110518号（n，k）-菲利普·德尔汉姆2007年11月11日
和{k=0..n}T（n，k）*A000045号（k）=A109262号（n） ，A000045号：斐波那契数列-菲利普·德尔汉姆2008年10月28日
和{k=0..n}T（n，k）*A000129号（k）=A143464号（n） ，A000129号：弹丸编号-菲利普·德尔汉姆2008年10月28日
和{k=0..n}T（n，k）*A100335号（k）=A002450型（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2008年10月30日
和{k=0..n}T（n，k）*A100334号（k）=A001906号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2008年10月30日
和{k=0..n}T（n，k）*A099322号（k）=A015565型（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2008年10月30日
和{k=0..n}T（n，k）*A106233号（k）=A003462号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2008年10月30日
和{k=0..n}T（n，k）*A151821号（k+1）=A100320号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2008年10月30日
和{k=0..n}T（n，k）*A082505号（k+1）=A144706号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2008年10月30日
和{k=0..n}T（n，k）*A000045号（2k+2）=A026671号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2009年2月11日
和{k=0..n}T（n，k）*A122367号（k）=A026726号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2009年2月11日
和{k=0..n}T（n，k）*A008619号（k）=A000958号（n+1）-菲利普·德尔汉姆2009年11月15日
和{k=0..n}T（n，k）*A027941号（k+1）=A026674号（n+1）-菲利普·德尔汉姆2014年2月1日
G.f.：和{n>=0，k>=0}T（n，k）*x^k*z^n=1/（1-x*z*c（z））其中c（zA000108号. -迈克尔·索莫斯2022年10月1日
例子
三角形开始：
1；
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 2, 1;
0, 5, 5, 3, 1;
0、14、14、9、4、1；
0, 42, 42, 28, 14, 5, 1;
0, 132, 132, 90, 48, 20, 6, 1;
发件人保罗·巴里，2009年9月28日：（开始）
生产阵列是
0, 1,
0, 1, 1,
0, 1, 1, 1,
0，1，1，1，1，
0, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0，1，1，1,1,1,1,1（结束）
MAPLE公司
A106566号：=进程（n，k）
如果n=0，则
1；
elif k<0或k>n那么
0;
其他的
二项式（2*n-k-1，n-k）*k/n；
结束条件：；
结束进程：#R.J.马塔尔2015年3月1日
数学
T[n_，k_]：=二项式[2n-k-1，n-k]*k/n；T[0,0]=1；表[T[n，k]，｛n，0，10｝，｛k，0，n｝]//压扁(*Jean-François Alcover公司2017年2月18日*）
（*RiordanArray函数定义于A256893型. *)
RiordanArray[1&，#（1-4#）/（2#）&，11]//平铺(*Jean-François Alcover公司2019年7月16日*）
黄体脂酮素
（岩浆）
A106566号：=func<n，k|n eq 0选择1 else（k/n）*二项式（2*n-k-1，n-k）>；
[A106566号（n，k）：[0..n]中的k，[0..12]]中的n//G.C.格鲁贝尔2021年9月6日
（圣人）
定义A106566号（n，k）：如果（n==0）else（k/n）*二项式（2*n-k-1，n-k），则返回1
压扁([[A106566号（n，k）对于k in（0..n）]对于n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2021年9月6日
（PARI）{T（n，k）=如果（k<=0||k>n，n==0&k==0，二项式（2*n-k，n）*k/（2*n-k））}/*迈克尔·索莫斯2022年10月1日*/
交叉参考
k列表示k=0，1，2。。。，13:A000007号,A000108号,A000108号,A000245型,A002057号,A000344号,A003517号,A000588号,A003517号,A001392号,A003518号,A000589号,A003519号,A000590号
三个三角形A059365号,A106566号和A099039号除符号和前导词外，其余均相同。
对角线：A000012号,A001477号,A000096号,A005586号,A005587号,A005557号,A064059号,A064061号
另请参见A009766号,A033184号,A059365号用于其他版本。
-11≤x≤10的广义加泰罗尼亚数C（x，n）：A064333号,A064332号,A064331号,A064330美元,A064329号,A064328号,A064327号,A064326号,A064325美元,A064311美元,A064310号,A000012号,A000108号,A064062号,A064063号,A064087号,A064088号,A064089号,A064090号,A064091号,A064092号,A064093号.
以下是相同加泰罗尼亚三角形的所有版本（本质上）：A009766号,A030237号,A033184号,A059365号,A099039号,A106566号,A130020型,A047072号.
对角线给出A000108号 A000245型 A002057号 A000344号 A003517号 A000588号 A003518号 A003519号 A001392号, ...
关键词
非n,表
作者
菲利普·德尔汉姆2005年5月30日
扩展
公式修正人菲利普·德尔汉姆2008年10月31日
更正人菲利普·德尔汉姆2009年9月17日
更正人阿洛伊斯·海因茨2012年8月2日
状态
经核准的
A147703号 三角形[1,1,1,0,0,0，…]DELTA[1,0,0-0，…]，其中定义了Deléham DELTAA084938号. +20
28
1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 13, 27, 20, 7, 1, 34, 80, 73, 35, 9, 1, 89, 234, 252, 151, 54, 11, 1, 233, 677, 837, 597, 269, 77, 13, 1, 610, 1941, 2702, 2225, 1199, 435, 104, 15, 1, 1597, 5523, 8533, 7943, 4956, 2158, 657, 135, 17, 1 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0,4
评论
等于A062110型*A007318号什么时候A062110型被视为行读取的三角形。
链接
因德拉尼尔·戈什，行0..100，扁平
配方奶粉
Riordan数组（（1-2x）/（1-3x+x^2），x（1-x）/。
和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A152239号（n） ，A152223号（n） ，A152185号（n） ，A152174号（n） ，A152167号（n） ，152166英镑（n） ，A152163号（n） ，A000007号（n） ，A001519号（n） ，A006012号（n） ，A081704号（n） ，A082761号（n） ，A147837号（n） ，A147838号（n） ，A147839号（n） ，A147840个（n） ，A147841号（n） ，对于x=-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8-菲利普·德尔汉姆2008年12月1日
通用公式：（1-2*x）/（1-（3+y）*x+（1+y）*x2）-菲利普·德尔汉姆2011年11月26日
T（n，k）=3*T（n-1，k）+T（n-l，k-1）-T（n-2，k）-T-菲利普·德尔汉姆2012年2月12日
奇指数斐波那契数的Riordan平方A001519号. -彼得·卢什尼2020年1月26日
例子
三角形开始
1；
1, 1;
2, 3, 1;
5, 9, 5, 1;
13, 27, 20, 7, 1;
34, 80, 73, 35, 9, 1;
89, 234, 252, 151, 54, 11, 1;
MAPLE公司
#RiordanSquare函数定义于A321620型:
RiordanSquare（1/（1-x/（1-x/（1-x））），10）#彼得·卢什尼2020年1月26日
数学
nmax=9；压扁[系数列表[系列[系数列表][系列[（1-2*x）/（1-（3+y）*x+（1+y）*x ^2），{x，0，nmax}]，x]，{y，0，nmax}](*因德拉尼尔·戈什2017年3月11日*）
交叉参考
行总和为A006012号对角线和为A147704号.
囊性纤维变性。A062110型,A007318号,A206800型,A001519号,A321620型.
关键词
容易的,非n,表
作者
保罗·巴里2008年11月10日
状态
经核准的
A122542号 三角形T（n，k），0≤k≤n，按行读取，由[0，2，-1，0，0，0,0，0A084938号. +20
27
1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 4, 1, 0, 2, 8, 6, 1, 0, 2, 12, 18, 8, 1, 0, 2, 16, 38, 32, 10, 1, 0, 2, 20, 66, 88, 50, 12, 1, 0, 2, 24, 102, 192, 170, 72, 14, 1, 0, 2, 28, 146, 360, 450, 292, 98, 16, 1, 0, 2, 32, 198, 608, 1002, 912, 462, 128, 18, 1 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0,5
评论
Riordan阵列（1，x*（1+x）/（1-x））。上升和下降对角线是tribonacci数A000213号,A001590号.
链接
莱因哈德·祖姆凯勒（Reinhard Zumkeller），n=0..120行三角形，扁平
Bela Bajnok，加性组合数学：一系列研究问题，arXiv:1705.07444[math.NT]，2017年5月。参见第节。2.3.
梁胡伊乐、裴燕妮、王毅，三次格配位数的解析组合学，arXiv:2302.11856[math.CO]，2023。见第1页。
配方奶粉
和{k=0..n}x^k*T（n，k）=A000007号（n） ，A001333号（n） ，A104934号（n） ，A122558号（n） ，A122690号（n） ，A091928号（n） 对于x=0，1，2，3，4，5-菲利普·德尔汉姆2012年1月25日
和{k=0..n}3^（n-k）*T（n，k）=A086901号（n） ●●●●。
和{k=0..n}2^（n-k）*T（n，k）=A007483号（n-1），n>=1-菲利普·德尔汉姆2006年10月8日
T（2*n，n）=A123164号（n） ●●●●。
T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-2，k-1）+T-菲利普·德尔汉姆2012年1月25日
通用名称：（1-x）/（1-（1+y）*x-y*x^2）-菲利普·德尔汉姆2012年3月2日
例子
三角形开始：
1；
0, 1;
0, 2, 1;
0, 2, 4, 1;
0, 2, 8, 6, 1;
0, 2, 12, 18, 8, 1;
0, 2, 16, 38, 32, 10, 1;
0, 2, 20, 66, 88, 50, 12, 1;
0, 2, 24, 102, 192, 170, 72, 14, 1;
0, 2, 28, 146, 360, 450, 292, 98, 16, 1;
0, 2, 32, 198, 608, 1002, 912, 462, 128, 18, 1;
数学
系数列表[#，y]和/@系数列表[（1-x）/（1-（1+y）x-y x^2）+O[x]^11，x]//平坦(*Jean-François Alcover公司2018年9月9日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a122542 n k=a122542_tabl！！不！！k个
a122542_row n=a122542_tabl！！n个
a122542_tabl=映射fst$迭代
（\（我们，vs）->（vs，zipWith（+）（[0]++us++[0]）$
zipWith（+）（[0]++vs）（vs++[0]））（[1]，[0，1]）
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月20日、2013年4月17日
（圣人）
定义A122542号_第（n）行：
@缓存函数
定义prec（n，k）：
如果k==n：返回1
如果k==0：返回0
返回prec（n-1，k-1）+2*sum（（2..n-k+1）中i的prec（ni,k-1））
return[（0..n）中k的prec（n，k）]
对于n in（0..10）：打印(A122542号_行（n））#彼得·卢什尼2016年3月16日
交叉参考
其他版本：A035607型,A113413号,A119800个,2016年2月13日.
对角线：A000012号,A005843号,A001105号,A035597号-A035606型.
列：A000007号,40000澳元,A008575号,A005899号,A008412号-A008416号,A008418号,A008420型,A035706号-A035745号.
囊性纤维变性。A155161号,A059283号.
关键词
非n,表
作者
菲利普·德尔汉姆2006年9月19日，2007年5月28日
状态
经核准的
A122950号 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[0，0，1，-1，0，0，0,0，…]DELTA[1，1，-1,0，0A084938号. +20
19
1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 3, 0, 0, 0, 3, 5, 0, 0, 0, 1, 7, 8, 0, 0, 0, 0, 4, 15, 13, 0, 0, 0, 0, 1, 12, 30, 21, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 31, 58, 34, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 18, 73, 109, 55, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 54, 162, 201, 89, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 25, 145, 344, 365, 144, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 85, 361, 707 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0,6
评论
与斐波那契数相关的斜三角形。
链接
n，a（n）的表，n=0..88。
H.Fuks和J.M.G.Soto，元胞自动机渐近模拟恒等式中指数收敛到平衡点，arXiv预印本arXiv:1306.1189[nlin.CG]，2013。
配方奶粉
和{k=0..n}T（n，k）=A011782号（n） ●●●●。
和{n>=k}T（n，k）=A001333号（k） ●●●●。
如果k<0或如果k>n，T（0,0）=1，T（2,1）=0，T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-2，k-1。
T（n，n）=斐波那契（n+1）=A000045号（n+1）。
和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000007号（n） ，A011782号（n） ，A133592号（n） ，A133594号（n） ，A133642号（n） ，A133646号（n） ，A133678号（n） ，A133679号（n） ，A133680号（n） ，133681英镑（n） 对于x=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9-菲利普·德尔汉姆2008年1月3日
G.f.：（1-y*x^2）/（1-y*x-y*（y+1）*x^2）-菲利普·德尔汉姆2011年11月26日
例子
三角形开始：
1；
0, 1;
0, 0, 2;
0, 0, 1, 3;
0, 0, 0, 3, 5;
0, 0, 0, 1, 7, 8;
0, 0, 0, 0, 4, 15, 13;
0, 0, 0, 0, 1, 12, 30, 21;
0, 0, 0, 0, 0, 5, 31, 58, 34;
0, 0, 0, 0, 0, 1, 18, 73, 109, 55;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 54, 162, 201, 89;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 25, 145, 344, 365, 144;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 85, 361, 707, 655, 233;
数学
T[0,0]=T[1,1]=1；T[_，0]=T[_、1]=0；T[n_，n_]：=斐波那契[n+1]；温度[n_，k_]/；0<=k<=n：=T[n，k]=T[n-1，k-1]+T[n-2，k-1]+T[n-2，k-2]；T[_，_]=0；
表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2018年11月29日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A055830号（另一个版本）。
关键词
非n,表
作者
菲利普·德尔汉姆2006年10月25日
状态
经核准的
A130020型 三角形T（n，k），0<=k<=n，由[1,0,0,0，0,0,1,0，…]DELTA[0,1,1,1,1，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号. +20
19
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 5, 5, 0, 1, 4, 9, 14, 14, 0, 1, 5, 14, 28, 42, 42, 0, 1, 6, 20, 48, 90, 132, 132, 0, 1, 7, 27, 75, 165, 297, 429, 429, 0, 1, 8, 35, 110, 275, 572, 1001, 1430, 1430, 0, 1, 9, 44, 154, 429, 1001, 2002, 3432, 4862, 4862, 0 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0,8
评论
的反射版本A106566号.
链接
G.C.格鲁贝尔，三角形的行数n=0..50，展平
弗朗西丝卡·艾卡迪，加泰罗尼亚三角形和系弧图，arXiv:2011.4628[math.CO]，2020年。
配方奶粉
T（n，k）=A106566号（n，n-k）。
和{k=0..n}T（n，k）=A000108号（n） ●●●●。
T（n，k）=（n-k）*二项式（n+k-1，k）/n，其中T（0，0）=1-Jean-François Alcover公司2019年6月14日
总和{k=0..层（n/2）}T（n-k，k）=A210736号（n） ●●●●-G.C.格鲁贝尔2022年6月14日
G.f.：和{n>=0，k>=0}T（n，k）*x^k*z^n=1/（1-z*c（x*z））其中c（z）=的G.fA000108号.
例子
三角形开始：
1；
1, 0;
1, 1, 0;
1, 2, 2, 0;
1, 3, 5, 5, 0;
1、4、9、14、14、0；
1, 5, 14, 28, 42, 42, 0;
1, 6, 20, 48, 90, 132, 132, 0;
1、7、27、75、165、297、429、429、0；
1, 8, 35, 110, 275, 572, 1001, 1430, 1430, 0;
1, 9, 44, 154, 429, 1001, 2002, 3432, 4862, 4862, 0;
...
数学
T[n_，k_]：=（n-k）二项式[n+k-1，k]/n；T[0,0]=1；
表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2019年6月14日*）
黄体脂酮素
（圣人）
@缓存函数
定义A130020型（n，k）：
如果n==k：返回（-1）^j*（0..n）中j的二项式（n，j）
返回添加(A130020型（n-1，j）对于j in（0..k））
对于（0..10）中的n：
[A130020型（n，k）对于k in（0..n）]#彼得·卢什尼2012年11月14日
（岩浆）
A130020型：=func<n，k|n eq 0选择1 else（n-k）*二项式（n+k-1，k）/n>；
[A130020型（n，k）：[0..n]中的k，[0..12]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年6月14日
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>=n，n==0&k==0，二项式（n+k，n）*（n-k）/（n+k））}/*迈克尔·索莫斯2022年10月1日*/
交叉参考
以下是相同加泰罗尼亚三角形的所有版本（本质上）：A009766号,A030237号,A033184号,A047072号,A059365号,A099039号,A106566号，此序列。
对角线给出A000108号,A000245型,A002057号,A000344号,A003517号,A000588号,A003518号,A003519号,A001392号, ...
囊性纤维变性。A000108号（加泰罗尼亚数字），A106566号（行反转），A210736号.
关键词
非n,表
作者
菲利普·德尔汉姆2007年6月16日
状态
经核准的
A094665号 中三角形数组的另一个版本A083061号：三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取；由[0，1，3，6，10，15，21，28，…]DELTA[1，2，3，4，5，6，7，8，…]给出，其中DELTA是在A084938号. +20
17
1, 0, 1, 0, 1, 3, 0, 4, 15, 15, 0, 34, 147, 210, 105, 0, 496, 2370, 4095, 3150, 945, 0, 11056, 56958, 111705, 107415, 51975, 10395, 0, 349504, 1911000, 4114110, 4579575, 2837835, 945945, 135135, 0, 14873104, 85389132, 197722980, 244909665, 178378200, 77567490, 18918900, 2027025 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0,6
评论
对角线：A000007号,A002105号；A001147号,2018年10月80日.
定义多项式P（n，x）=x（2x+1）P（n-1，x+1）-2x^2P（n-1,x），P（0，x）=1。序列给出了按行读取的三角形，定义为P（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k-菲利普·德尔汉姆2004年6月20日
发件人约翰内斯·梅耶尔2009年5月24日：（开始）
在A160464号我们通过ES1[2*m-1，n=1]=2*eta（2*m-1。通常，eta（m）=（1-2^（1-m））*zeta（m）与eta（米）是Dirichlet eta函数，zeta（米）则是Riemann zeta函数。众所周知，当m>=1时，ES1[1-2*m，n=1]=（4^m-1）*（-bernoulli（2*m））/m。再加上递推关系，当n>=1时，ES1[-1，n]=0.5。
我们发现，当m>=1时，行系数ES1[1-2*m，n]的第n项可以用相当简单的多项式RES1（1-2*m，n）=（-1）^（m+1）*ECGP（1-2*m，n系数和RES1（-1，n）=0.5的事实。ECGP（1-2*m，n）多项式的系数导致了这个三角形，随后又导致了三角形A083061号.（结束）
发件人大卫·卡伦，2011年1月3日：（开始）
T（n，k）是增加0-2棵树的数量(A002105号)在2n个边上，其中从根开始的最小路径具有长度k。
证明。这类树的数量a（n，k）满足递归a（0,0）=1，a（1,1）=1并且，通过根在根的较小子级处的子树的大小进行计数，
a（n，k）=和{j=1..n-1}C（2n-1，j）*a（j，k-1）*a
对于2<=k<=n，其中a（n）=Sum_{k>=0｝a（n，k）是减少的正切数A002105号（从0索引）。递推转化为微分方程
F_x（x，y）=y*F（x，y）*G（x）
对于GF F（x，y）=和{n，k>=0}a（n，k）x^（2n）/（2n*y^k，其中G（x）：=和{n>=0}a（n）x^（2n+1）/（2n+1）！已知为sqrt（2）*tan（x/sqrt（1））。微分方程的解F（x，y）=秒（x/sqrt（2））^（2y）。（结束）
链接
阿洛伊斯·海因茨，行n=0..140，扁平
H.J.H.Tuenter，走进绝对总和，arXiv:math/0606080[math.NT]，2006年。发布版本于走进绝对总和《斐波纳契季刊》，40（2）：175-1802002年5月。
配方奶粉
和{k=0..n}T（n，k）=A002105号（n+1）。
和{k=0..n}T（n，k）*2^（n-k）=A000364号（n） ；欧拉数。
和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^（n-k）=1。
RES1（1-2*m，n）=n^2*RES1（3-2*m，n）-n*（2*n+1）*RES1-约翰内斯·梅耶尔2009年5月24日
G.f.：求和{n，k>=0}T（n，k）x^n/n*y^k=秒（x/sqrt（2））^（2y）。
例子
三角形开始：
.1;
.0, 1;
.0, 1, 3;
.0, 4, 15, 15;
.0, 34, 147, 210, 105;
.0, 496, 2370, 4095, 3150, 945;
.0, 11056, 56958, 111705, 107415, 51975, 10395;
.0, 349504, 1911000, 4114110, 4579575, 2837835, 945945, 135135;
发件人约翰内斯·梅耶尔2009年5月24日：（开始）
前几个ECGP（1-2*m，n）多项式是：ECGP的（-1，n）=1；ECGP（-3，n）=n；ECGP（-5，n）=n+3*n^2；ECGP（-7，n）=4*n+15*n^2+15*n^3。
前几个RES1（1-2*m，n）是：RES1（-1，n）=（1/2）*（1）；RES1（-3，n）=（-1/4）*（n）；RES1（-5，n）=（1/8）*（n+3*n^2）；RES1（-7，n）=（-1/16）*（4*n+15*n^2+15*n ^3）。
（结束）
MAPLE公司
nmax:=7；imax:=nmax:T1（0，x）：=1:T1（0，x+1）：=1:对于i从1到imax do T1（i，x）：=展开（（2*x+1）*（x+1）*T1（i-1，x+1）-2*x^2*T1（i-1，x））：dx:=度（T1（i，x））：对于k从0到dx do c（k）：=系数（T1（i，x），x，k）od:T1（i，x+1）：=和（c（j1）*（x+1）^（j1），j1=0..dx）od：对于i从0到imax do对于j从0到i doA083061号（i，j）：=系数（T1（i，x），x，j）od:od：对于n从0到nmax，do对于k从0到n do T（n+1，k+1）：=A083061号（n，k）od:od:T（0，0）：=1:对于从1到nmax的n do T（n，0）:=0 od:seq（seq（T（n、k），k=0..n），n=0..nmax）；
#约翰内斯·梅耶尔，2009年6月27日，2012年9月23日修订
数学
nmax=8；
T[n_，k_]：=系列系数[秒[x/Sqrt[2]]^（2y），{x，0，2n}，{y，0，k}]*（2n）！；
表[T[n，k]，｛n，0，nmax｝，｛k，0，n｝]//压扁(*Jean-François Alcover公司2018年8月10日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000364号 A084938号 A083061号.
发件人约翰内斯·梅耶尔2009年5月24日和2009年6月27日：（开始）
囊性纤维变性。A160464号,A083061号和A160468号.
A001147号,2018年10月80日,A160470型,A160471号和A160472号是右前五列。
出现在A162005型,A162006型和A162007号.
（结束）
关键词
非n,表
作者
菲利普·德尔汉姆，2004年6月7日，2007年6月12日
扩展
术语修正人约翰内斯·梅耶尔2012年9月23日
状态
经核准的
A167374号 三角形，按行读取，由[-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0，…]DELTA[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0，…]给出，其中DELTA是中定义的运算符A084938号. +20
17
1, -1, 1, 0, -1, 1, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0.1个
评论
按行读取Riordan数组（1-x，1）；Riordan逆是（1/（1-x），1）。列具有g.f.（1-x）x^k。对角线和为A033999号。中的未签名版本A097806号.
表T（n，k）由反对症患者读取。T（n，1）=1，T（n、2）=-1，T（n，k）=0，k>2-鲍里斯·普蒂夫斯基，2013年1月17日
有限差分算子（对差分）：将排列为列向量的序列左乘T，得到序列元素的前向差分a（k+1）-a（k）或第一个有限差分（模符号）。T ^n表示第n个有限差分（mod符号）。T是求和矩阵的逆矩阵A000012号（视为下三角矩阵）-汤姆·科普兰2014年3月26日
链接
n，a（n）的表，n=0..90。
鲍里斯·普提夫斯基，整数序列和配对函数的变换arXiv:1212.2732[math.CO]，2012年。
配方奶粉
和{k，0<=k<=n}T（n，k）*x^k=A000007号（n） ，A011782号（n） ，A025192号（n） ，A002001号（n） ，A005054号（n） ，A052934号（n） ，A055272号（n） ，A055274号（n） ，A055275号（n） ，A055268号（n） ，A055276号（n） x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。
发件人鲍里斯·普蒂夫斯基2013年1月17日：（开始）
a（n）=地板((A002260号（n） +2）/(A003056号（n） +2））*（-1）^(A002260号（n）+A003056号（n） +1），n>0。
a（n）=楼层（（i+2）/（t+2））*（-1）^（i+t+1），n>0，其中
i=n-t*（t+1）/2，
t=地板（-1+平方（8*n-7））/2）。（结束）
T型*A000012号=单位矩阵.T*A007318号=A097805号.T型*(A007318号)^（-1）=有符号A029653号. -汤姆·科普兰2014年3月26日
G.f.：（1-x）/（1-x*y）-R.J.马塔尔2015年8月11日
T型=A130595型*A156644号=M*T ^（-1）*M=M*A000012号*M、 其中M（n，k）=（-1）^nA130595型（n，k）。注意M=M^（-1）。囊性纤维变性。A118800个和A097805号. -汤姆·科普兰2016年11月15日
例子
三角形开始：
1；
-1, 1;
0, -1, 1;
0, 0, -1, 1;
0, 0, 0, -1, 1;
0, 0, 0, 0, -1, 1; ...
行号r（r>4）包含（r-2）乘以“0”，然后是“-1”和“1”。
发件人鲍里斯·普蒂夫斯基2013年1月17日：（开始）
序列的开头是一个表：
1 -1 0 0 0 0 0 ...
1 -1 0 0 0 0 0 ...
1 -1 0 0 0 0 0 ...
1 -1 0 0 0 0 0 ...
1 -1 0 0 0 0 0 ...
1 -1 0 0 0 0 0 ...
1 -1 0 0 0 0 0 ...
...
（结束）
MAPLE公司
A167374号：=进程（n，k）
如果k>n或k<n-1，则
0;
elif k=n那么
1；
其他的
-1 ;
结束条件：；
结束进程：#R.J.马塔尔2016年9月7日
数学
表[PadLeft[{-1，1}，n]，{n，13}]//展平（*或*）
MapIndexed[Take[#1，First@#2]&，CoefficientList[Series[（1-x）/（1-x y），{x，0，12}]，{x(*迈克尔·德弗利格2016年11月16日*）
T[n_，k_]：=如果[k<0||k>n，0，布尔[n==k]-布尔[n==k+1]]；(*迈克尔·索莫斯2022年10月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，（n==k）-（n==k+1））}/*迈克尔·索莫斯2022年10月1日*/
交叉参考
囊性纤维变性。A000012号,A007318号,A029653号,A097805号,A118800个,A130595型,A156644号.
关键词
签名,表,容易的
作者
菲利普·德尔汉姆2009年11月2日
状态
经核准的
2015年12月15日 三角形T（n，k），由[1,0，-1,,0,0,0,0,0，…]DELTA[0,1，-1,,0,0,0,0,0,0，…]给定的行读取，其中DELTA是A084938号. +20
15
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 6, 4, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 6, 4, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 0, 0, 0 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0,12
评论
按行读取三角形，帕斯卡三角形(A007318号)行重复。
Riordan数组（1/（1-x），x^2/（1-x^2））-菲利普·德尔汉姆2012年2月27日
链接
莱因哈德·祖姆凯勒（Reinhard Zumkeller），三角形n=0..150行，展平
配方奶粉
T（n，k）=T（n-1，k）+（（1+（-1）^n）/2）*T（n-1，k-1）。
通用名称：（1+x）/（1-（1+y）*x^2）。
和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000012号（n） ，A016116号（n） ，A108411号（n） ，A213173型（n） ，A074872号（n+1），x分别为0,1,2,3,4-菲利普·德尔汉姆2011年11月26日，2013年4月22日
例子
三角形开始：
1；
1, 0;
1, 1, 0;
1, 1, 0, 0;
1, 2, 1, 0, 0;
1, 2, 1, 0, 0, 0;
1, 3, 3, 1, 0, 0, 0;
1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, 0;
1, 4, 6, 4, 1, 0, 0, 0, 0; ...
数学
m=13；
（*DELTA定义见A084938号*)
DELTA[联接[{1，0，-1}，表[0，{m}]]，联接[{0，1，-1}，表[0,{m}]，m]//展平(*Jean-François Alcover公司2020年2月19日*）
T[n_，k_]：=如果[n<0，0，二项式[Floor[n/2]，k]]；(*迈克尔·索莫斯2022年10月1日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a152815 n k=a152815_tabl！！不！！k个
a152815_row n=a152815 _ tabl！！n个
a152815_tabl=[1]：[1]，0]：t[1，0]其中
tys=zs:zs'：tzs'其中
zs'=zs++[0]；zs=zipWith（+）（[0]++ys）（ys++[0]）
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月28日
{T（n，k）=如果（n<0，0，二项式（n \ 2，k））}/*迈克尔·索莫斯2022年10月1日*/
交叉参考
囊性纤维变性。A007318号,A064861号,A152198号（另一个版本），A000931号（对角线总和），A016116号（行总和）。
关键词
容易的,非n,表
作者
菲利普·德尔汉姆2008年12月13日
扩展
示例由更正菲利普·德尔汉姆2008年12月13日
状态
经核准的
A111146号 三角形T（n，k），按行读取，由[0，0，1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，6，…]DELTA[1，1，0A084938号. +20
14
1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 4, 0, 0, 2, 5, 8, 0, 0, 6, 15, 17, 16, 0, 0, 24, 62, 68, 49, 32, 0, 0, 120, 322, 359, 243, 129, 64, 0, 0, 720, 2004, 2308, 1553, 756, 321, 128, 0, 0, 5040, 14508, 17332, 11903, 5622, 2151, 769, 256, 0, 0, 40320, 119664 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0,6
评论
设R（m，n，k），0<=k<=n，Riordan数组（1，x*g（x）），其中g（x）是m重阶乘的g.f。然后求和{k，0<=k<=n}=R（m，n，k）=Sum{k，0<=k<=n}T（n，k）*m^（n-k）。
对于m=-1，R（-1，n，k）为A026729号（n，k）。
对于m=0，R（0，n，k）为A097805号（n，k）。
对于m=1，R（1，n，k）为A084938号（n，k）。
对于m=2，R（2，n，k）为A111106型（n，k）。
链接
阿洛伊斯·海因茨，行n=0..140，扁平
配方奶粉
和{k，0<=k<=n}（-1）^（n-k）*T（n，k）=A000045号（n+1），斐波那契数。
和{k，0<=k<=n}T（n，k）=A051295号（n） ●●●●。
和{k，0<=k<=n}2^（n-k）*T（n，k）=A112934号（n） ●●●●。
T（0，0）=1，T（n，n）=2^（n-1）。
通用公式：A（x，y）=1/（1-x*y*Sum_{j>=0}（y-1+j）/（y-1）*x ^j）-保罗·D·汉纳2005年10月26日
例子
三角形开始：
.1;
.0, 1;
.0, 0, 2;
.0, 0, 1, 4;
.0, 0, 2, 5, 8;
.0, 0, 6, 15, 17, 16;
.0, 0, 24, 62, 68, 49, 32;
.0, 0, 120, 322, 359, 243, 129, 64;
.0, 0, 720, 2004, 2308, 1553, 756, 321, 128;
.0, 0, 5040, 14508, 17332, 11903, 5622, 2151, 769, 256;
.0, 0, 40320, 119664, 148232, 105048, 49840, 18066, 5756, 1793, 512;
....................................................................
当y=2:Sum_{k=0..n}2^k*T（n，k）=A113327号（n） 其中（1+2*x+8*x^2+36*x^3++A113327号（n） *x^n+..）=1/（1-2/1！*x*（1！+2！*x+3！*x2+4！*x^3+..））。
当y=3:Sum_{k=0..n}3^k*T（n，k）=A113328号（n） 其中（1+3*x+18*x^2+117*x^3++A113328号（n） *x^n+..）=1/（1-3/2！*x*（2！+3！*x+4！*x2+5！*x^3+..））。
当y=4:Sum_{k=0..n}4^k*T（n，k）=A113329号（n） 其中（1+4*x+32*x^2+272*x^3++A113329号（n） *x^n+..）=1/（1-4/3！*x*（3！+4！*x+5！*x2+6！*x^3+..））。
数学
T[n_，k_]：=模[{x=x+x*O[x]^n，y=y+y*O[y]^k}，A=1/（1-x*y*Sum[x^j*积[y+i，{i，0，j-1}]，{j，0，n}]）；系数[系数[A，X，n]，Y，k]]；
表[T[n，k]，｛n，0，10｝，｛k，0，n｝]//压扁(*Jean-François Alcover公司2019年5月26日，PARI*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=局部（x=x+x*O（x^n），y=y+y*O（y^k））；A=1/（1-x*y*sum（j=0，n，x^j*prod（i=0，j-1，y+i）））；返回（polceoff（polcoff（A，n，x），k，y））}（Hanna）
交叉参考
囊性纤维变性。A000045号,A026729号,A051295号,A084938号,A097805号,A111106型,A112934号.
参考m倍阶乘：A000142号,A001147号,A007559元,A007696号,A008548号,A008542号.
囊性纤维变性。A113326号,A113327号（y=2），113328英镑（y=3），113329英镑（y=4），113330英镑（y=5），A113331号（y=6）。
关键词
容易的,非n,表
作者
菲利普·德尔汉姆2005年10月19日
状态
经核准的
A165253号 三角形T（n，kA084938号. +20
14
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 6, 5, 1, 0, 1, 10, 15, 7, 1, 0, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 0, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 0, 1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1, 0, 1, 36, 210, 462, 495, 286, 91, 15, 1, 0, 1, 45, 330, 924, 1287, 1001, 455, 120, 17, 1, 0, 1, 55, 495, 1716, 3003, 3003, 1820, 680 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
0,8
评论
三角形的镜像A121314号.
链接
因德拉尼尔·戈什，三角形的0..125行，展平
配方奶粉
当n>=1时，T（0,0）=1，T（n，k）=二项式（n-1+k，2k）。
总和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000012号（n） ，A001519号（n） ，A001835号（n） ，A004253号（n） ，A001653号（n） ，A049685号（n-1），A070997型（n-1），A070998型（n-1），A072256号（n） ，A078922号（n） ，A077417号（n-1），A085260号（n） ，A001570号（n） 对于x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。
和{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）=A000007号（n） ，A001519号（n） ，A047849美元（n） ，165310英镑（n） ，A165311号（n） ，A165312号（n） ，A165314型（n） ，A165322号（n） ，A165323号（n） ，A165324号（n） 对于x=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9-菲利普·德尔汉姆2009年9月26日
T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-l，k-1）-T（n-2，k），T（0,0）=T（1,0）=1，T（1,1）=0-菲利普·德尔汉姆2012年2月18日
G.f.：（1-x-y*x）/（（1-x）^2-y*x）-菲利普·德尔汉姆2012年2月19日
例子
三角形开始：
1；
1, 0;
1, 1, 0;
1、3、1、0；
1, 6, 5, 1, 0;
1, 10, 15, 7, 1, 0;
1、15、35、28、9、1、0；
1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 0;
1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1, 0;
1, 36, 210, 462, 495, 286, 91, 15, 1, 0,
1, 45, 330, 924, 1287, 1001, 455, 120, 17, 1, 0;
数学
m=13；
（*DELTA定义见A084938号*)
DELTA[连接[{1，0，1}，表[0，{m}]]，连接[{0，1{，表[0，{m{]]，m]//扁平(*Jean-François Alcover公司2020年2月19日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A054142号,A085478号,A121314号.
关键词
非n,表
作者
菲利普·德尔汉姆2009年9月10日
状态
经核准的
第页12 三 4 5 6 7 8 9 10...64

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