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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索: a080683-编号:a080693
显示找到的16个结果中的1-10个。 第页12
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A003586号 3-光滑数:2^i*3^j形式的数,其中i,j>=0。 +10
322
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 243, 256, 288, 324, 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768, 864, 972, 1024, 1152, 1296, 1458, 1536, 1728, 1944, 2048, 2187, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,2
评论
这些数字曾被称为“谐波数”,见Lenstra链接-N.J.A.斯隆2015年7月3日
连续数k,使得φ(6k)=2k-阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日
其中记录值大于1出现在A088468号:A160519号(n)=A088468号(a(n))-莱因哈德·祖姆凯勒2009年5月16日
也可以是既不能被6k-1整除也不能被6k+1整除的数字,只要k>0-罗伯特·威尔逊v2010年10月26日
也对m进行编号,以便Matula-Goebel编号为m的有根树具有m条反链。有根树的Matula Goebel数可以用以下递归方式定义:一个顶点的树对应于数1;对于根阶为1的树T,对应于第T个素数,其中T是通过删除从根发出的边而从T获得的树的Matula-Goebel数;对于根次数为m>=2的树T,对应于T的m个分支的Matula-Goebel数的乘积。有根树的顶点可视为部分有序集,其中u<=v对两个顶点u和v成立,当且仅当u位于v和根之间的唯一路径上。反链是一组相互不可比的非空顶点。示例:m=4位于序列中,因为对应的根树是\/=ARB(R是根),具有4个反链(A、R、B、AB)-Emeric Deutsch公司2012年1月30日
A204455型(3*a(n))=3,并且仅适用于这些数字-沃尔夫迪特·朗2012年2月4日
小于或等于n的项数是Sum_{i=0.floor(log_2(n))}floor(log_3(n/2^i)+1),或Sum_{i=0.floor(log_3(n))}floor(log_2(n/3^i)+1),这需要较少的项来计算-罗伯特·威尔逊v2012年8月17日
用法语命名为3-fribables-米歇尔·马库斯2013年7月17日
14世纪,列维·本·格尔森证明了唯一一对相差1的术语是(1,2)、(2,3)、(3,4)和(8,9);看见A235365型,A235366号,A236210型. -乔纳森·桑多2014年1月20日
的值范围A000005美元(n) (以及A181819号(n) )用于立方数字n-马修·范德马斯特,2014年5月14日
A036561号是此序列的置换-L.埃德森·杰弗里2014年9月22日
也是的排序并集A000244号A007694号. -雷舟(Lei Zhou)2017年4月19日
3个光滑数的倒数之和等于3。简证:1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+…=(和{k>=0}1/2^k)*(和{m>=0{1/3^m)=(1/(1-1/2))*(1/1(1-1/3))=(2/(2-1))*-伯纳德·肖特2019年2月19日
对于每个素数p>3的整数k,p^(2k)-1==0(mod 24k)-费德里科·普罗夫维迪2022年5月23日
对于n>1,四个连续项中的一个的指数奇偶校验{奇偶(i),奇偶校验(j)}是{奇数,奇数}。因此,对于n>1,每四个连续项中至少有一个是Zumkeller数(A083207号). 如果奇偶校验为{偶数、奇数}的项的偶数也表示非零,则该项也是Zumkeller数(与四个连续项中的最后一个1296145815361728一样)-伊万·伊纳基耶夫2022年7月10日
除了初始项2、3、4、8、9和16之外,这些是数字k,k^6除以6^k-亚辛2022年7月21日
参考文献
J.-M.De Koninck和A.Mercier,1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres,Probléme 654,第85、287-8页,巴黎椭圆2004。
S.Ramanujan,《论文集》,编辑G.H.Hardy等人,剑桥,1927年;切尔西,纽约,1962年,第xxiv页。
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链接
雷舟,n=1..10000时的n,a(n)表(前501个术语来自Franklin T.Adams-Waters)
R.Blecksmith、M.McCallum和J.L.Selfridge,整数的3-光滑表示阿默尔。数学。月刊,105(1998),529-543。
蒂埃里·布什,斯托克梅耶巡回赛Séminaire Lotharingien de Combinatoire 77(2017),第B77d条。
贝诺伊特·克洛伊特,a(n)/((1/sqrt(6))*exp(sqrt
纳塔利亚·达席尔瓦(Natalia da Silva)、塞尔维亚人莱亚努(Raianu)和赫克托尔·萨尔加多(Hector Salgado),调和数的差异与abc猜想,arXiv:1708.00620[math.NT],2017年。
Emeric Deutsch公司,基于Matula数的根树统计,arXiv:11111.4288[math.CO],2011年。
David Eppstein,2048年的变革,arXiv:1804.07396[cs.DM],2018年。
F.戈贝尔,有根树与自然数的1-1对应《组合理论》,B 29(1980),141-143。
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I.Gutman和Yeong-Nan Yeh,从Matula数推导树的性质,出版物。数学研究所。,53 (67), 1993, 17-22.
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser 2013。见第252页。图书网站
H.W.Lenstra Jr。,谐波数
H.W.Lenstra,Jr.,小。,调和数与ABC猜想,谈话摘要,2001年5月30日[带注释的扫描件]
D.马图拉,基于素因式分解的自然根树计数,SIAM Rev.10(1968)273。
D.J.Mintz,2,3序列作为二元混合物,光纤。《季刊》,第19卷,第4期,1981年10月,第351-360页。
I.彼得森,中世纪和谐
拉斐尔·舒马赫,3-光滑、5-光滑、7-光滑和所有其他光滑数的分布公式,arXiv预印本arXiv:1608.06928[math.NT],2016。
埃里克·魏斯坦的数学世界,平滑数(Smooth Number)
配方奶粉
a(n)的渐近公式大致为a(n)~1/sqrt(6)*exp(sqrt(2*log(2)*log(3)*n))-贝诺伊特·克洛伊特2001年11月20日
A061987号(n) =a(n+1)-a(n),a(A084791号(n) )=A084789号(n) ,一个(A084791号(n) +1)=A084790号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒,2003年6月3日
2和3的幂与n的联合,使得psi(n)=2*n,其中psi(n=A001615号(n) ●●●●-Lekraj Beedassy公司2004年9月7日;已由更正富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年3月19日
a(n)=2^A022328号(n) *3个^A022329号(n) ●●●●-N.J.A.斯隆2009年3月19日
该序列的特征函数由Sum{n>=1}x^a(n)=Sum{n>=1}moebius(6*n)*x^n/(1-x^n)给出-保罗·D·汉纳2011年9月18日
a(n)=A007694号(n+1)/2-雷舟(Lei Zhou)2017年4月19日
MAPLE公司
A003586号:=proc(n)选项记忆;如果n=1,则为1;否则,对于from procname(n-1)+1,执行numtheory[factorset](a)减去{2,3};如果%={},则返回a;结束条件:;end do:结束if;结束进程:#R.J.马塔尔2011年2月28日
with(numtheory):对于i从1到23328,如果(i/phi(i)=3),则打印(i/6)fiod#加里·德特利夫斯2011年6月28日
数学
a[1]=1;j=1;k=1;n=100;对于[k=2,k<=n,k++,如果[2*a[k-j]<3^j,a[k]=2*a[k-j],{a[k]=3^j,j++}]];表[a[i],{i,1,n}](*Hai He(Hai(AT)mathteach.net)和Gilbert Traub,2004年12月28日*)
aa={};Do[If[EulerPhi[6 n]==2 n,AppendTo[aa,n]],{n,1,1000}];aa公司(*阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日*)
fQ[n_]:=联合[MemberQ[{1,5},#]&/@Union@Mod[Rest@Divisors@n,6]]=={False};fQ[1]=真;选择[Range@4000,fQ](*罗伯特·威尔逊v2010年10月26日*)
功率OfTwo=12;选择[嵌套[联盟@加入[#,2*#,3*#]&,{1},powerOfTwo-1],#<2^powerOf Two&](*罗伯特·威尔逊vT.D.诺伊2011年3月3日*)
fQ[n_]:=n==3 EulerPhi@n;选择[6范围@4000,fQ]/6(*罗伯特·威尔逊v2011年7月8日*)
mx=4000;排序@Flatten@表[2^i*3^j,{i,0,对数[2,mx]},{j,0,Log[3,mx/2^i]}](*罗伯特·威尔逊v2012年8月17日*)
f[n_]:=区块[{p2,p3=3^Range[0,Floor@Log[3,n]+1]},p2=2^Floor[Log[2,n/p3]+1];Min[选择[p2*p3,整数Q]];嵌套列表[f,1,54](*罗伯特·威尔逊v2012年8月22日*)
选择[范围@4000, 最后@地图[First,FactorInteger@#]<=3&](*文森佐·利班迪2016年8月25日*)
选择[Range[4000],Max[FactorInteger[#][[All,1]]<4&](*哈维·P·戴尔2017年1月11日*)
黄体脂酮素
(PARI)测试(n)=(p=2,3,而(n%p==0,n/=p));n==1;
对于(n=14000,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),N);对于(n=0,log(lim\1+.5)\log(3),n=3^n;而(N<=lim,listput(v,N));N<<=1));向量排序(Vec(v))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月28日
(PARI)是_A003586号(n) =n<5||vecmax(因子(n,5)[,1])<5\\M.F.哈斯勒2015年1月16日
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),N);对于(n=0,logint(lim\=1,3),n=3^n;而(N<=lim,listput(v,N));N<<=1));集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月10日
(哈斯克尔)
导入数据。集合(Set、singleton、insert、deleteFindMin)
平滑::设置整数->[Integer]
平滑s=x:平滑(插入(3*x)$插入(2*x)s’)
其中(x,s')=删除查找最小值
a003586_list=平滑(单例1)
a003586 n=a003586_列表!!(n-1)
--莱因哈德·祖姆凯勒2010年12月16日
(鼠尾草)
定义为A003586(n):
不返回任何(prime_divisors(n)中d的d!=2和d!=3)
@缓存函数
定义A003586号(n) :
如果n==1:返回1
k个=A003586号(n-1)+1
而不是isA003586(k):k+=1
返回k
[A003586号(n) 对于(1..55)中的n#彼得·卢什尼2012年7月20日
(Python)
来自itertools导入计数,takewhile
定义缺陷(lim):
pows2=列表(takewile(lambda x:x<lim,(2**i表示count(0)中的i))
pows3=列表(takewhile(λx:x<lim,(计数(0)中的i为3**i))
返回已排序的(如果c*d<=lim,则返回pows2中c的c*d,返回pows3中d的c)
打印(aupto(10**4))#迈克尔·布拉尼基2022年7月8日
(岩浆)[1..4000]|PrimeDivisors(n)子集[2,3]]中的n:n//布鲁诺·贝塞利,2012年9月24日
交叉参考
另请参阅A000244号,A007694号. -雷舟(Lei Zhou)2017年4月19日
囊性纤维变性。A022330号(指数2^i),A022331号(指数为3^j)。
关键词
非n,容易的,美好的
作者
保罗·齐默尔曼1996年12月11日
扩展
删除了此序列是2^n的并集的声明(A000079号)和3^n(A000244号)序列——这不包括非纯幂的术语沃尔特·罗斯切罗(wroscello(AT)comcast.net),2008年11月16日
状态
已批准
A002473号 7-光滑数:素数都小于等于7的正数。
(原名M0477 N0177)
+10
150
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 49, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 75, 80, 81, 84, 90, 96, 98, 100, 105, 108, 112, 120, 125, 126, 128, 135, 140, 144, 147, 150, 160, 162, 168, 175, 180, 189, 192 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,2
评论
也称为卑微数字;有时也称为高度合成数,但这通常指A002182号.
连续数k,使得φ(210k)=48k-阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日
10的除数!(A161466号)是有限子序列-莱因哈德·祖姆凯勒,2009年6月10日
数字n使得A198487号(n) >0和A107698号(n) >0-雅罗斯拉夫·克里泽克2011年11月4日
A262401型(a(n))=(n)-莱因哈德·祖姆凯勒2015年9月25日
数字是个位数的乘积-N.J.A.斯隆2017年7月2日
Phi(a(n))为7-光滑。事实上,对于任何素数p,应用于p-光滑数的Euler-Phi函数都是p-光滑的-理查德·洛克·彼得森2020年5月9日
还有那些整数k,这样,对于每一个素数p>5,p^(12k)-1==0(mod 5040k)-费德里科·普罗夫维迪,2022年6月6日
除2、3、5和7外,具有此属性的非素数都是术语,即:(1、4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、24、25、27、28、30、32、35、36、40、42、45…);这些组合项都是这个子序列中的第一个。[主要为搜索目的提供的“琐碎”数据。]-M.F.哈斯勒,2023年6月6日
参考文献
B.C.Berndt,Ramanujan的笔记本第四部分,Springer-Verlag,见第52页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),n=1..10000时的n,a(n)表(前5841项来自N.J.A.Sloane)
拉斐尔·舒马赫,3-光滑、5-光滑、7-光滑和所有其他光滑数的分布公式,arXiv预印本arXiv:1608.06928[math.NT],2016。
乌尔姆大学,前5842项.
埃里克·魏斯坦的数学世界,平滑数(Smooth Number).
维基百科,平滑数
配方奶粉
A006530号(a(n))<=7-莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月1日
求和{n>=1}1/a(n)=Product{primes p<=7}p/(p-1)=(2*3*5*7)/(1*2*4*6)=35/8-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月22日
数学
选择[Range[250],Max[Transpose[FactorInteger[#]][[1]]<=7&]
aa={};Do[If[EulerPhi[210 n]==48 n,AppendTo[aa,n]],{n,1,1200}];aa公司(*阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日*)
mxExp=8;选择[Union[Times@@@Flatten[Table[Tuples[{2,3,5,7},n],{n,mxExp}],1]],#<=2^mxExp&](*哈维·P·戴尔2012年8月13日*)
mx=200;排序@Flatten@表[2^i*3^j*5^k*7^l,{i,0,对数[2,mx]},{j,0,Log[3,mx/2^i]}(*罗伯特·威尔逊v2012年8月17日*)
黄体脂酮素
(PARI)试验(n)=m=n;对于素数(p=2,7,而(m%p==0,m=m/p));返回(m==1)
对于(n=1200,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)是_A002473号(n) =n<11 | | vecmax(因子(n,8)[,1])<8\\M.F.哈斯勒2015年1月16日
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),t);对于(a=0,logint(lim\1,7),对于(b=0,ogint(lim \7^a,5),对于;而(t<=lim,listput(v,t));t<<=1)));集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月22日
(哈斯克尔)
导入数据。集合(singleton、deleteFindMin、fromList、union)
a002473 n=a002473_列表!!(n-1)
a002473_list=f$singleton 1,其中
f s=x:f(s“联合”from List(map(*x)[2,3,5,7]))
其中(x,s')=删除查找最小值
--莱因哈德·祖姆凯勒,2014年3月8日,2012年4月2日,2012年4月1日
(Magma)[1..200]|PrimeDivisors(n)subset PrimesUpTo(7)]中的n:n//布鲁诺·贝塞利,2012年9月24日
(Python)
导入heapq
从itertools导入islice
从sympy导入primerange
def A002473gen(p=7):#生成所有p-平滑项
v、 oldv,h,psmooth_primes,=1,0,[1],list(素数范围(1,p+1))
为True时:
v=heapq.heappop(h)
如果v!=旧版本:
产量v
oldv=v
对于psmooth_primes中的p:
堆堆(h,v*p)
打印(列表(islice(A002473gen(),65))#迈克尔·布拉尼基2022年11月19日
交叉参考
A063938号。对于具有其他p值的p光滑数,请参见A003586号,A051037号,A051038美元,A080197号,A080681号,A080682号,A080683号.
囊性纤维变性。A002182号,A067374号,A210679号,A238985型(零项),A006530号.
囊性纤维变性。A262401型.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
扩展
更多术语来自詹姆斯·塞勒斯1999年12月23日
Michel Lecomte的附加评论,2007年6月9日
编辑人M.F.哈斯勒2015年1月16日
状态
已批准
A051037号 5-光滑数,即素数都小于等于5的数。 +10
109
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 100, 108, 120, 125, 128, 135, 144, 150, 160, 162, 180, 192, 200, 216, 225, 240, 243, 250, 256, 270, 288, 300, 320, 324, 360, 375, 384, 400, 405 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,2
评论
有时称为汉明序列,因为汉明要求一个有效的算法来生成形式为2^i*3^j*5^k的所有数字的列表,以升序表示i,j,k>=0。这个问题是由Edsger Dijkstra推广的。
数字k,使8*k=EulerPhi(30*k)-阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日
其中记录值大于1出现在A165704型:A165705型(n)=A165704型(a(n))-莱因哈德·祖姆凯勒2009年9月26日
A051916号是一个子序列-莱因哈德·祖姆凯勒2010年3月20日
也称为“调和整数”,见Howard和Longair,1982年,表一,第121页-雨果·普福尔特纳2020年7月16日
也被称为丑陋的数字,尽管原因尚不清楚-古斯·怀斯曼2021年5月21日
一些木本竹种具有超长且稳定的开花间隔,属于该序列。Veller、Nowak和Davis的模型从进化的角度证明了这一观察的合理性-安德烈·扎博洛茨基2021年6月27日
对于每个素数p>5的整数k,p^(4*k)-1==0(mod 240*k)-费德里科·普罗夫维迪2022年5月23日
如评论中所述A085152号Störmer定理表明,作为该序列的连续项出现的唯一连续整数对是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(8,9)、(9,10)、(15,16),(24,25)和(80,81)。这些都代表了重要的音乐间隔-哈尔·斯威特凯2022年12月5日
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),n=1..10000时的n,a(n)表(T.D.Noe的前1000个术语)
M.J.Dominus,Perl中的无限列表.
黛博拉·霍华德和马尔科姆·隆盖尔,和声比例与帕拉迪奥的“Quattro Libri”《建筑历史学家学会杂志》(1982)41(2):116-143。
拉斐尔·舒马赫,3-光滑数、5-光滑数、7-光滑数和所有其他光滑数的分布公式,arXiv:1608.06928[math.NT],2016年。
科学马赫,丑陋的数字.
Carl Veller、Martin A.Nowak和Charles C.Davis,竹子离散繁殖延长开花间隔的研究《生态学快报》,18(2015),653-659。
埃里克·魏斯坦的数学世界,平滑数(Smooth Number).
维基百科,常规号码.
维基百科,谈话:常规号码。包括对名称的讨论。
维基百科,斯特默定理.
配方奶粉
设s(n)=卡片(k|a(k)<n)和f(n)=log(n*sqrt(30))^3/(6*log(2)*log。则s(n)=f(n)+O(log(n))。推测:s(n)=f(n)+O(log log n)。例如,s(10000000)=768很好地近似于f(10000000,=769.3……(参见链接给出的图形)-贝诺伊特·克洛伊特2001年12月30日
该序列的特征函数如下所示:
求和{n>=1}x^a(n)=求和{n>=1}-Möbius(30*n)*x^n/(1-x^n)-保罗·D·汉纳2011年9月18日
a(n)=A143207号(n) /30年-莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月13日
A204455型(15*a(n))=15,仅适用于这些数字-沃尔夫迪特·朗2012年2月4日
A006530号(a(n))<=5-莱因哈德·祖姆凯勒2015年5月16日
和{n>=1}1/a(n)=Product{primes p<=5}p/(p-1)=(2*3*5)/(1*2*4)=15/4-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月22日
例子
发件人古斯·怀斯曼,2021年5月21日:(开始)
术语序列及其基本指数开始于:
1: {} 25: {3,3}
2: {1} 27: {2,2,2}
3: {2} 30: {1,2,3}
4: {1,1} 32: {1,1,1,1,1}
5: {3} 36: {1,1,2,2}
6:{1,2}40:{1,1,1,3}
8: {1,1,1} 45: {2,2,3}
9: {2,2} 48: {1,1,1,1,2}
10: {1,3} 50: {1,3,3}
12: {1,1,2} 54: {1,2,2,2}
15:{2,3}60:{1,1,2,3}
16: {1,1,1,1} 64: {1,1,1,1,1,1}
18: {1,2,2} 72: {1,1,1,2,2}
20: {1,1,3} 75: {2,3,3}
24: {1,1,1,2} 80: {1,1,1,1,3}
(结束)
MAPLE公司
A051037号:=进程(n)
选项记忆;
局部a;
如果n=1,则
1;
其他的
对于来自procname(n-1)+1 do的a
数论[因子集](a)减去{2,3,5};
如果%={},则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束过程:
序列号(A051037号(n) ,n=1..100)#R.J.马塔尔2017年11月5日
数学
mx=405;排序@Flatten@表[2^a*3^b*5^c,{a,0,对数[2,mx]},{b,0,Log[3,mx/2^a]}
选择[Range@405,Last@Map[First,FactorInteger@#]<7&](*罗伯特·威尔逊v*)
使用[{nn=10},选择[Union[Times@@@Flatten[Table[Tuples[{2,3,5},n],{n,0,nn}],1]],#<=2^nn&]](*哈维·P·戴尔2022年2月28日*)
黄体脂酮素
(PARI)检验(n)={m=n;对于素数(p=2,5,而(m%p==0,m=m/p));返回(m==1)}
对于(n=1500,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)a(n)=局部(m);如果(n<1,0,n=a(n-1);直到(如果(m=n,对于素数(p=2,5,而(m%p==0,m/=p));m==1),n++);n)
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),s,t);对于(i=0,logint(lim\=1,5),t=5^i;对于(j=0,logint(lim\t,3),s=t*3^j;而(s<=lim,listput(v,s);s<<=1));集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年9月21日;2016年9月19日更新
(PARI)平滑(P:vec,lim)={my(v=列表([1]),nxt=向量(#P,i,1),indx,t);
而(1,t=vecmin(向量(#P,i,v[nxt[i]]*P[i]),&indx);
如果(t>lim,断裂);如果(t>v[#v],则列表输入(v,t));nxt[indx]++);
车辆(v)
};
平滑([2,3,5],1e4)\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年12月3日
(PARI)是_A051037号(n) =n<7||vecmax(因子(n,6)[,1])<7\\M.F.哈斯勒2015年1月16日
(Magma)[1..500]|PrimeDivisors(n)子集[2,3,5]]中的[n:n//布鲁诺·贝塞利,2012年9月24日
(哈斯克尔)
导入数据。集合(singleton、deleteFindMin、insert)
a051037 n=a051037_列表!!(n-1)
a051037_list=f$singleton 1,其中
f s=y:f(插入(5*y)$插入(3*y)$插入(2*y)s')
其中(y,s')=删除查找最小值
--莱因哈德·祖姆凯勒2015年5月16日
(Python)
定义isok(n):
当n&1==0时:n>>=1
当n%3==0:n//=3时
当n%5==0:n//=5时
返回n==1#达里奥·克拉维乔2022年12月30日
交叉参考
对于其他p值的p-光滑数,请参见A003586号,A002473号,A051038号,A080197号,A080681美元,A080682号,A080683号.
具有这些Heinz编号的分区的计数方式为A001399号.
相反的共轭是A033942号,计算依据A004250型.
相反的是A059485型,计算依据A004250型.
非3光滑情况是A080193号,计算依据A069905美元.
共轭物是A037144号,计算依据A001399号.
补语是A279622型,计算依据A035300型.
要求素数指数之和为偶数A344297飞机.
关键词
容易的,非n
作者
状态
已批准
A051038号 11-光滑数:素数都小于等于11的数。 +10
38
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 50, 54, 55, 56, 60, 63, 64, 66, 70, 72, 75, 77, 80, 81, 84, 88, 90, 96, 98, 99, 100, 105, 108, 110, 112, 120, 121, 125, 126, 128, 132, 135, 140 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,2
评论
A155182号是有限子序列-莱因哈德·祖姆凯勒2009年1月21日
发件人费德里科·普罗夫维迪,2022年7月9日:(开始)
通常,如果p=A000040型(k) 是k阶素数,当k>1时,p-光滑数也是正整数m,这样A000010号(A002110号(k) )*米==A000010号(A002110号(k) *米)。
k=5,p=A000040型(5) =11,基本p#=A002110号(5) =2310,其Euler totient为A000010号(2310)=480,因此11-光滑数也是那些正整数m,因此480*m==A000010号(2310*m)。(结束)
链接
David A.Corneth,n=1..10000时的n,a(n)表(Reinhard Zumkeller的前5000条条款)
埃里克·魏斯坦的数学世界,平滑数(Smooth Number).
配方奶粉
求和{n>=1}1/a(n)=Product{primes p<=11}p/(p-1)=(2*3*5*7*11)/(1*2*4*6*10)=77/16-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月22日
数学
mx=150;排序@Flatten@表[2^i*3^j*5^k*7^l*11^m,{i,0,对数[2,mx]},{j,0,Log[3,mx/2^i]}(*罗伯特·威尔逊v,2012年8月17日*)
aQ[n_]:=最大[First/@FactorInteger[n]]<=11;选择[Range[140],aQ[#]&](*贾扬达·巴苏2013年6月5日*)
区块〔{k=5,原始:=次@@Prime@范围@#&},选择[范围@200#*EulerPhi@primorial公司@k==EulerPhi[#*primodial@k]&]] (*费德里科·普罗夫维迪2022年7月9日*)
黄体脂酮素
(PARI)试验(n)=m=n;对于素数(p=2,11,而(m%p==0,m=m/p));返回(m==1)
对于(n=1200,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)列表(lim,p=11)=如果(p==2,返回(幂(2,logint(lim\1,2)));my(v=[],q=预备素数(p-1),t=1);对于(e=0,logint(lim\=1,p),v=concat(v,list(lim\t,q)*t);t*=p);集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2020年4月16日
(Magma)[1..150]|PrimeDivisors(n)subset PrimesUpTo(11)]中的n:n//布鲁诺·贝塞利,2012年9月24日
(Python)
导入heapq
从itertools导入islice
从sympy导入primerange
def-agen(p=11):#生成所有p-平滑项
v、 oldv,h,psmooth_primes,=1,0,[1],list(素数范围(1,p+1))
为True时:
v=heapq.heappop(h)
如果v!=旧版本:
产量v
oldv=v
对于psmooth_primes中的p:
堆堆(h,v*p)
打印(列表(islice(agen(),67))#迈克尔·布拉尼基2022年11月20日
交叉参考
的后续A033620型.
对于其他p值的p-光滑数,请参见A003586号,A051037号,A002473号,A080197号,A080681号,A080682,A080683号.
关键词
容易的,非n
作者
状态
已批准
A080197号 13-光滑数:素数都小于等于13的数。 +10
23
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30、32、33、35、36、39、40、42、44、45、48、49、50、52、54、55、56、60、63、64、65、66、70、72、75、77、78、80、81、84、88、90、91、96、98、99、100、104、105、108、110、112、117、120 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,2
评论
形式为2^r*3^s*5^t*7^u*11^v*13^w的数字,其中r、s、t、u、v、w>=0。
链接
迈克尔·德弗利格,n=1..10000时的n,a(n)表
配方奶粉
求和{n>=1}1/a(n)=Product{primes p<=13}p/(p-1)=(2*3*5*7*11*13)/(1*2*4*6*10*12)=1001/192-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月22日
例子
33=3*11和39=3*13是术语,但34=2*17不是。
数学
mx=120;排序@Flatten@表[2^i*3^j*5^k*7^l*11^m*13^n,{i,0,对数[2,mx]},{j,0,Log[3,mx/2^i]}、{k,0,Log[5,mx/(2^i*3 ^j},{n,0,对数[13,mx/(2^i*3^j*5^k*7^l*11^m)]}](*罗伯特·威尔逊v2012年8月17日*)
黄体脂酮素
(PARI)试验(n)=m=n;对于素数(p=2,13,而(m%p==0,m=m/p));返回(m==1)
对于(n=1200,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)是_A080197号(n,p=13)=n<=p|vecmax(因子(n,p+1)[,1])<=p\\M.F.哈斯勒2015年1月16日
(PARI)列表(lim,p=13)=如果(p==2,返回(幂(2,logint(lim\1,2)));my(v=[],q=预备素数(p-1),t=1);对于(e=0,logint(lim\=1,p),v=concat(v,list(lim\t,q)*t);t*=p);集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2020年4月16日
(Magma)[1..150]|PrimeDivisors(n)subset PrimesUpTo(13)]中的n:n//布鲁诺·贝塞利,2012年9月24日
(Python)
导入堆
从itertools导入islice
从sympy导入primerange
def-agen(p=13):#生成所有p-平滑项
v、 oldv,h,psmooth_primes,=1,0,[1],list(素数范围(1,p+1))
为True时:
v=heapq.heappop(h)
如果v!=旧版本:
产量v
oldv=v
对于psmooth_primes中的p:
堆堆(h,v*p)
打印(列表(islice(agen(),69))#迈克尔·布拉尼基2022年11月20日
交叉参考
囊性纤维变性。A000079号,A080196号。有关其他p值的p-光滑数,请参见A003586号,A051037号,A002473号,A051038号,A080681美元,A080682号,A080683号.
关键词
容易的,非n
作者
克劳斯·布罗克斯,2003年2月10日
状态
已批准
A080682号 19-光滑数:素数都小于等于19的数。 +10
16
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 98, 99, 100 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,2
链接
William A.Tedeschi,n=1..10000时的n,a(n)表
配方奶粉
和{n>=1}1/a(n)=乘积{素数p/(p-1)=(2*3*5*7*11*13*17*19)/(1*2*4*6*10*12*16*18)=323323/55296-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月22日
数学
mx=120;排序@Flatten@表[2^i*3^j*5^k*7^l*11^m*13^n*17^o*19^p,{i,0,对数[2,mx]},{j,0,Log[3,mx/2^i]}^k*7^l)]},{n,0,对数[13,mx/}] (*罗伯特·威尔逊v2016年1月19日*)
选择[Range[100],Max[FactorInteger[#][[All,1]]<20&](*哈维·P·戴尔2018年9月20日*)
黄体脂酮素
(PARI)检验(n)={m=n;对于素数(p=2,19,而(m%p==0,m=m/p));返回(m==1)}
对于(n=1200,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)列表(lim,p=19)=如果(p==2,返回(幂(2,logint(lim\1,2)));my(v=[],q=预备素数(p-1),t=1);对于(e=0,logint(lim\=1,p),v=concat(v,list(lim\t,q)*t);t*=p);集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2020年4月16日
(Magma)[1..100]|PrimeDivisors(n)subset PrimesUpTo(19)]中的n:n//布鲁诺·贝塞利,2012年9月24日
(Python)
导入heapq
从itertools导入islice
来自症状输入素数范围
def-agen(p=19):#生成所有p-平滑项
v、 oldv,h,psmooth_primes,=1,0,[1],list(素数范围(1,p+1))
为True时:
v=heapq.heappop(h)
如果v!=旧版本:
产量v
oldv=v
对于psmooth_primes中的p:
堆堆(h,v*p)
打印(列表(islice(agen(),72))#迈克尔·布拉尼基2022年11月20日
交叉参考
对于其他p值的p-光滑数,请参见A003586号,A051037号,A002473号,A051038号,A080197号,A080681号,A080683号.
关键词
容易的,非n
作者
西诺·希利亚德2003年3月2日
状态
已批准
A080681号 17-光滑数:素数都小于等于17的数。 +10
14
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,2
链接
William A.Tedeschi,n=1..10000时的n,a(n)表
配方奶粉
和{n>=1}1/a(n)=Product_{素数p<=17}p/(p-1)=(2*3*5*7*11*13*17)/(1*2*4*6*10*12*16)=17017/3072-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月22日
数学
mx=120;排序@Flatten@表[2^i*3^j*5^k*7^l*11^m*13^n*17^o,{i,0,对数[2,mx]},{j,0,Log[3,mx/2^i]}^l)]},{n,0,对数[13,mx/(2^i*3^j*5^k*7^l*11^m(*罗伯特·威尔逊v2012年8月17日*)
黄体脂酮素
(PARI)检验(n)={m=n;对于素数(p=2,17,while(m%p==0,m=m/p));返回(m==1)}
对于(n=1200,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)列表(lim,p=17)=如果(p==2,返回(幂(2,logint(lim\1,2)));my(v=[],q=预备素数(p-1),t=1);对于(e=0,logint(lim\=1,p),v=concat(v,list(lim\t,q)*t);t*=p);集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2020年4月16日
(Magma)[1..150]|PrimeDivisors(n)subset PrimesUpTo(17)]中的n:n//布鲁诺·贝塞利,2012年9月24日
(Python)
导入heapq
从itertools导入islice
从sympy导入primerange
def-agen(p=17):#生成所有p-平滑项
v、 oldv,h,psmooth_primes,=1,0,[1],list(素数范围(1,p+1))
为True时:
v=heapq.heappop(h)
如果v!=旧版本:
产量v
oldv=v
对于psmooth_primes中的p:
堆堆(h,v*p)
打印(列表(islice(agen(),70))#迈克尔·布拉尼基2022年11月20日
交叉参考
对于其他p值的p-光滑数,请参见A003586号,A051037号,A002473号,A051038号,A080197号,A080682,A080683号.
关键词
容易的,非n
作者
西诺·希利亚德2003年3月2日
状态
已批准
A174228号 师24!。 +10
4
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 92, 95 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,2
评论
24! = 2^22*3^10*5^4*7^3*11^2*13*17*19*23;
序列是有限的A027423号(24)=242880条款:
a(242880)=A000142号(24) =A000197号(4) =A010050型(12) =62044840173323943360000是最后一项。
与无限序列不同A080683号首先是169、289、338、361等-R.J.马塔尔2010年3月17日
链接
数学
选择[Divisors[24!],#<=100&](*哈维·P·戴尔2023年11月26日*)
黄体脂酮素
(PARI)除数(24!)\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月2日
交叉参考
囊性纤维变性。A018253号,A155182号.
关键词
完成,非n,容易的
作者
状态
已批准
A080786美元 三角形T(n,k)=k光滑数的数量<=n,按行读取。 +10
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 4, 1, 3, 4, 4, 5, 1, 3, 5, 5, 6, 6, 1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 1, 4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 1, 4, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 1, 4, 7, 7, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 1, 4, 7, 7, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 1, 4, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 1, 4, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 1, 4 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,3
评论
T(n,n-1)=A014684号(n) 对于n>1;
T(n,2)=A029837号(n) 对于n>1;T(n,3)=A071521号(n) 当n>2时;T(n,5)=A071520号(n) 对于n>4。
A036234号(n) =第n行中不同术语的数量-莱因哈德·祖姆凯勒,2013年9月17日
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),行n=三角形的1..120,展平
埃里克·魏斯坦的数学世界,平滑数(Smooth Number).
例子
三角形开始:
.................. 1
................ 1...2
.............. 1...2...3
............ 1...3...4...4
.......... 1...3...4...4...5
........ 1...3...5...5...6...6
……1…3…5…5…6…6…7
.... 1...4...6...6...7...8...8...8
.. 1...4...7...7...8...8...9...9...9.
MAPLE公司
A080786美元:=进程(x,y)
局部a,n;
a:=0;
对于从1到x的n do
如果A006530号(n) <=那么是y
a:=a+1;
结束条件:;
结束do:
a;
结束进程:#R.J.马塔尔2013年8月31日
数学
P[n_]:=系数整数[n][[-1,1]];P[1]=1;T[n_,k_]:=(对于[j=0;m=1,m<=n,m++,如果[P[m]<=k,j++]];j);表[T[n,k],{n,1,15},{k,1,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2015年11月22日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a080786 n k=a080786_tabl!!(n-1)!!(k-1)
a080786_row n=a080786 _ tabl!!(n-1)
a080786_tabl=映射反向$iterate f[1],其中
f xs@(x:_)=(x+1):
(zipWith(+)xs(映射(来自枚举(lpf<=))[x,x-1..])
其中lpf=fromInteger$a006530$fromIntegral(x+1)
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年9月17日
交叉参考
关键词
非n,
作者
状态
已批准
A108277号 不可被超过23的素数整除的小于等于10^n的正整数的数目。 +10
2
1, 10, 76, 369, 1385, 4298, 11654, 28434, 63768, 133440, 263529, 495412, 892644, 1550012, 2605342, 4254753, 6771752, 10531080, 16038303, 23965659, 35195450, 50872227, 72464493, 101837746, 141340075, 193902062, 263152095, 353549942 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
链接
数学
n=6;t=选择[Flatten[Table[23^i*Select[Flatten[Table[19^h*Select[Platten[Table[17^g*Select[Clatten[Ctable[13^f*Select[Flatten[Table[11^e*Select[Flatten[Table[7^d*Select]Flatten[Table[5^c*Select[扁平[Table[2]a*3^b,{a,0,n*Log[2,10]}],#<=10^n&],{c,0,n*Log[5,10]}]],#<=10^n&],{d,0,n*Log[7,10]}]],#<=10^n&],{e,0,n*Log[11,10]}]],#<=10^n&]],{f,0,n*Log[13,10]{]],#<=10*n&]、{g,0,n*Log[17,10]2]],#<=10^n&],{h,0,n-*Log[19,10]neneneep],#≤10^n&];表[长度[Select[t,#<=10^n&]],{n,0,10}]
交叉参考
第9行,共行A253635型.
关键词
非n
作者
罗伯特·威尔逊v2005年5月31日
扩展
a(7)-a(18)来自多诺万·约翰逊2009年9月16日
a(19)-a(27)来自马克斯·阿列克塞耶夫2010年4月28日
状态
已批准
第页12

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