搜索: a079730-编号:a079730-
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A000002美元
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| Kolakoski序列:a(n)是第n次游程的长度;a(1)=1;序列仅由1和2组成。 (原名M0190 N0070)
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+10 270
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1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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历史注释:该序列可能更好地称为奥尔登堡-科拉科斯基序列,因为1939年鲁弗斯·奥尔登堡(Rufus Oldenburger)曾讨论过该序列;请参阅链接-克拉克·金伯利2012年12月6日。然而,为了避免混淆,该序列在OEIS中称为Kolakoski序列。一些条目引用Oldenburger-Kolakoski序列而其他条目引用Kolakoki序列是不可取的-N.J.A.斯隆2017年11月22日
证明1的密度等于1/2是一个尚未解决的问题。
一个较弱的问题是在1的位置集和2的位置集之间构造组合双射-古斯·怀斯曼2016年3月1日
序列是立方的,所有方形子单词的长度都是2、4、6、18和54中的一个(参见1944年2月47日)[卡皮,1994年]。
这是一个分形序列:用其长度替换每条跑步,并恢复原始序列-凯里·米切尔,2005年12月8日
Kupin和Rowland写道:我们使用Goulden和Jackson的方法来限定freq_1(K),即Kolakoski单词K中1的极限频率。我们证明了|freq_1(K)-1/2|<=17/762,假设极限存在,并建立了半严格界|freq _1(K)-1/2|<=1/46-乔纳森·沃斯邮报2008年9月16日
freq_1(K)被推测为1/2+O(log(K))(参见PlanetMath链接)-乔恩·佩里2014年10月29日
推测:以单词长度为10的序列为例,例如批次1-10、11-20等,那么每个批次中只能有4个、5个或6个1-乔恩·佩里2012年9月26日
序列中不包含ababa形式的单词,因为这意味着之前不可能有111(1b,1a,1b)。这证明了乔恩·佩里:10个单词中超过6个1或6个2就需要像aabaababa这样的词,这意味着之前不可能的12121(因为ababa,单词aabaabaa也是不可能的)。下面关于六元组的注释甚至表明,任何9元组中1的数量总是4或5。
序列中只有6个三联体出现(112、121、122、211、212和221);根据前面的论证,只有18个六倍体:6个双三元组(112112等);112122、112212、121122、121221、211212和211221;以及通过颠倒三元组的顺序获得的值(122112等)。关于序列中1的密度,这12个六元组的密度都是1的1/2,而这6个双三元组通过Kolakoski规则转换后都会得到一个具有这个精确密度的单词,例如:112112->12112122(4 1's/8);这是因为第二个三元组反转了第一个三元组生成的1和2的数量。因此,序列可以在一侧分裂为两个三元组,其中一个部分的变换(位于序列中)的密度为1的1/2;和一个与其他六角形直接具有相同密度1的部分。(结束)
如果我们将1映射到+1,将2映射到-1,则映射序列的[推测]平均值为0,因为Kolakoski序列[推测]具有1s和2s的相等密度(1/2)。有关此映射序列的部分和,请参见A088568号. -丹尼尔·福格斯2015年7月8日
查看情节A088568号,虽然1s和2s的渐近密度似乎是1/2,但可能存在有利于2s的偏差。也就是说,D(1)=1/2-O(log(n)/n),D(2)=1/2+O(log(n)/n)-丹尼尔·福格斯2015年7月11日
(a(n))是2块代换β的唯一不动点
11 -> 12
12 -> 122
21 -> 112
22 -> 1122.
2块替换beta映射单词w(1)。。。单词w(2n)
β(w(1)w(2))。。。β(w(2n-1)w(2n))。
如果单词长度为奇数,则忽略最后一个字母。
我在1979年波尔多数论研讨会上注意到,(a(n+1))是2-块代换的不动点11->21,12->211,21->221,22->2211。(结束)
以美国艺术家和娱乐数学家威廉·乔治·科拉科斯基(1944-1997)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月17日
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参考文献
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链接
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N.J.A.Sloane,《协调序列、规划数和其他近期序列(II)》,罗格斯大学实验数学研讨会,2019年1月31日,第一部分,第2部分,幻灯片(提到这个序列)
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配方奶粉
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这两个公式完全定义了序列:a(1)=1,a(2)=2,aa(k)=(3+(-1)^k)/2和a(a(1)+a(2)+…+a(k)+1)=(3-(-1)^k)/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年10月6日
a(n+1)=3-a(n)+(a(n)-a(n-1))*(a(b(n))-1),其中b(n)是序列A156253号.-Jean-Marc Fedou和加布里埃尔·菲奇2010年3月18日
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例子
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从a(1)=1开始。根据序列的定义,这意味着第一次游程的长度为1,所以它必须是单个1,并且a(2)=2。因此,第二次运行(从这个2开始)的长度必须是2,所以第三个项也必须是a(3)=2,而第四个项不能是2,因此必须是b(4)=1。由于a(3)=2,第三次运行的长度必须为2,因此我们推导出a(5)=1,a(6)=2等等-拉博斯·埃利默,由更正格雷姆·麦克雷
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MAPLE公司
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M:=100;s:=[1,2,2];对于n从3到M,do对于i从1到s[n]dos:=[op(s),1+((n-1)mod 2)];od:od:s;A000002美元:=n->s[n];
#基于Cloitre公式的替代实施:
当地ksu,k;
选项记忆;
如果n=1,则
1;
elif n≤3,则
2;
其他的
从1到k
ksu:=添加(进程名称(i),i=1..k);
如果n=ksu,则
返回(3+(-1)^k)/2;
elif n=ksu+1,则
返回(3-(-1)^k)/2;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
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数学
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a[steps_]:=模块[{a={1,2,2}},Do[a=Append[a,1+Mod[(n-1),2]],{n,3,步骤},{i,a[[n]]}];【a】
a[n_]:=如果[n<3,Max[0,n],模[{an={1,2,2},m=3},而[Length[an]<n,an=Join[an,表[Mod[m,2,1],{an[m]]}]];m++];一个[[n]]](*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
n=8;前缀[Nest[Flatten[Partition[#,2]/。{{2,2}->{2,2,1,1},{2,1}->}2,2(*Birkas Gyorgy公司2012年7月10日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)我的(a=[1,2,2]);对于(n=3,80,对于(i=1,a[n],a=concat(a,2-n%2));一
(PARI){a(n)=局部(an=[1,2,2],m=3);如果(n<1,0,while(#an<n,an=concat(an,向量(an[m],i,2-m%2));m++);an[n])};
(Haskell)a=1:2:drop 2(concat.zipWith复制a.cycle$[1,2])--约翰·特隆普2011年4月9日
(Python)
#有关说明,请参阅链接。
def Kolakoski():
x=y=-1
为True时:
产量[2,1][x+1]
f=y&~(y+1)
x ^=f
y=(y+1)|(f&(x>>1))
K=科拉科斯基()
打印([范围(100)中_的下一个(K)])#大卫·艾普斯坦2016年10月15日
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交叉参考
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使用(1,2)以外的其他种子的Kolakoski型序列:
A078880型(2,1),A064353号(1,3),A071820号(2,3),A074804号(3,2),A071907号(1,4),A071928号(2,4),A071942号(3,4),A074803美元(4,2),A079729号(1,2,3),A079730(1,2,3,4).
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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