搜索: a079314-编号:a079315
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A147562型
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| “乌兰巴顿”二维细胞自动机中第n阶段的“ON”细胞数。 |
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+10 91
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0, 1, 5, 9, 21, 25, 37, 49, 85, 89, 101, 113, 149, 161, 197, 233, 341, 345, 357, 369, 405, 417, 453, 489, 597, 609, 645, 681, 789, 825, 933, 1041, 1365, 1369, 1381, 1393, 1429, 1441, 1477, 1513, 1621, 1633, 1669, 1705, 1813, 1849, 1957, 2065, 2389, 2401, 2437, 2473
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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Holladay和Ulam于1960年左右进行了研究。参见Ulam参考的图1和示例1-N.J.A.斯隆,2009年8月2日。
Singmaster将其称为Ulam-Warburton细胞自动机-N.J.A.斯隆2009年8月5日
在无限正方形网格上,从关闭所有单元格开始。
将单个电池转到ON状态。
在接下来的每一步中,每个相邻的单元都被打开,并且所有已经打开的单元都保持打开状态。
这里的“neighbor”是指X和Y方向上的四个相邻单元。
注意,“neighbor”可以同样地指对角线方向上的四个相邻单元,因为由Z^2构成的带有“一步rook”邻接的图与带有“一步法bishop”邻接关系的Z^2同构。
此外,Wolfram的“规则558”或“规则686”基于5细胞von Neumann邻域定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动(ON,黑色)细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月10日
a(n)也是牙签结构中4*n个阶段后“隐藏十字”的总数A139250型,包括中央十字,当其核完全由4个四边形组成时,开始计算十字。
请注意,两种牙签结构中“隐藏十字架的细胞核”和“六瓣花”的位置与此序列中“一步主教”版本中“ON”细胞的位置基本相同(参见初始术语的图示,图2)。(结束)
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参考文献
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S.Ulam,《关于与数字增长模式相关的一些数学问题》,R.E.Bellman编辑,第215-224页,《生物科学中的数学问题》。交响乐。应用数学。,第14卷,美国。数学。Soc.,1962年。
S.Wolfram,《一种新的科学》,Wolfram Media,2002年;第928页。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
史蒂文·芬奇,牙签和活细胞2015年7月21日。[经作者许可,缓存副本]
黄显奎(Xien-Kuei Hwang)、斯万特·简森(Svante Janson)和蔡宗希(Tsung-Hsi Tsai),分治递归二分分裂的恒等式和周期振荡,arXiv:2210.10968[cs.DS],2022年,第31页。
N.J.A.斯隆,激励数序列(谈话视频),2021年3月5日
N.J.A.Sloane和Brady Haran,棒极了的牙签图案,数字视频(2018)。
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配方奶粉
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对于n>1,a(n)=1+4*Sum_{k=1..n-1}3^(wt(k)-1),其中wt()=A000120号(). [更正人保罗·沙萨,2022年8月12日]
(结束)
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例子
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如果我们用连续的数字标记细胞的世代,我们会得到一个rosetta细胞模式:
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 4 . . . . . . . .
. . . . . . . 4 3 4 . . . . . . .
。4 . 2 . 4。
. . . . . 4 3 2 1 2 3 4 . . . . .
。4 . 2 . 4。
. . . . . . . 4 3 4 . . . . . . .
. . . . . . . . 4 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
在第一代中,只有中央“1”为ON,a(1)=1。在下一代中,我们打开四个“2”,导致a(2)=a(1)+4=5。在第三代中,四个“3”被打开,a(3)=a(2)+4=9。在第四代中,四个机翼中的每一个都允许打开三个4,a(4)=a(3)+4*3=21。
1;
5;
9, 21;
25, 37, 49, 85;
89, 101,113,149,161,197,233,341;
345,357,369,405,417,453,489,597,609,645,681,789,825,933,1041,1365;
...
(结束)
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MAPLE公司
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#上单元格的[x,y]坐标
Lse:=[[0,0]];
#上单元格的封闭矩形(即Lse中的最小值和最大值)
xmin:=0;
x最大值:=0;
ymin:=0;
ymax:=0;
#数一数x,y上的邻居;如果[x,y]在L中,则返回0
cntnei:=进程(x,y,L)
本地a、p、xpt、ypt;
a:=0;
如果L中没有[x,y],则
Lse do中的p
xpt:=op(1,p);
密码:=op(2,p);
如果(abs(xpt-x)=1且ypt=y)或(x=xpt且abs(ypt-y)=1),则
a:=a+1;
fi;
日期:
传真:
返回(a);
结束时间:
#世代/步骤循环
对于1到10 do的stp
L新:=[];
对于x从xmin-1到xmax+1 do
对于y,从ymin-1到ymax+1 do
如果cntnei(x,y,Lse)=1,则
Lnew:=[op(Lnew),[x,y]];
fi;
日期:
日期:
对于Lnew do中的p
xpt:=op(1,p);
密码:=op(2,p);
xmin:=最小值(xmin,xpt);
xmax:=最大值(xmax,xpt);
ymin:=分钟(ymin,ypt);
ymax:=最大值(ymax,ypt);
日期:
Lse:=[op(Lse),op(Lnew)];
打印(nops(Lse));
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数学
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连接[{0},映射[Function[Apply[Plus,Flatten[#1]]],CellularAutomaton[{686,{2,{0,2,0}(*纳迪娅·亨宁格和N.J.A.斯隆2009年8月11日;修改人保罗·沙萨,2022年8月12日,包括a(0)条款*)
数组图/@CellularAutomaton[{686,{2,{0,2,0},{2,1,2},}0,2,0}}},f1,1}}(*N.J.A.斯隆2014年11月8日*)
A147562list[nmax_]:=累加[Join[{0,1},4*3^(数字计数[Range[nmax-1],2,1]-1)]];A147562列表[100](*保罗·沙萨2023年5月21日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n,1+4*和(k=1,n-1,3^(hammingweight(k)-1)),0)\\米歇尔·马库斯2022年7月5日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000120号,A139250型,A147582号(第n步时数字开启),A147610型,A130665型,A151920号,A151917号,A160120型,A160164号,160410年,A160414型,A162795号,A169707号,A187220型,A246331型,A323650型.
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 4, 4, 12, 4, 12, 12, 36, 4, 12, 12, 36, 12, 36, 36, 108, 4, 12, 12, 36, 12, 36, 36, 108, 12, 36, 36, 108, 36, 108, 108, 324, 4, 12, 12, 36, 12, 36, 36, 108, 12, 36, 36, 108, 36, 108, 108, 324, 12, 36, 36, 108, 36, 108, 108, 324, 36, 108, 108, 324, 108, 324, 324, 972, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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参考文献
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D.Singmaster,《论Ulam和Warburton的元胞自动机》,开放大学M500杂志,#195(2003年12月),第2-7页。
S.Ulam,《关于与数字增长模式相关的一些数学问题》,R.E.Bellman编辑,第215-224页,《生物科学中的数学问题》。交响乐。应用数学。,第14卷,美国。数学。Soc.,1962年。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:当n>=2时,(13)应为u(n)=4*3^(wt(n-1)-1)。]
N.J.A.斯隆,激励数序列(谈话视频),2021年3月5日
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配方奶粉
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这个公式(本质上)是由Singmaster给出的-N.J.A.斯隆2009年8月6日
通用公式:x+4*x*(产品{k>=0}(1+3*x^(2^k))-1)/3-N.J.A.斯隆,2009年6月10日
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例子
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当写为三角形时:
.1;
.4;
.4,12;
.4,12,12,36;
.4,12,12,36,12,36,36,108;
.4,12,12,36,12,36,36,108,12,36,36,108,36,108,108,324;
.4,12,12,36,12,36,36,108,12,36,36,108,36,108,108,324,12,36,36,108,36,108,...
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MAPLE公司
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数学
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s=Plus@@Flatten@#&/@CellularAutomaton[{686,{2,{0,2,0},{2,1,2},}0,2,0}},f1,1}};f[n_]=如果[n==0,1,s[[n+1]]-s[[n]]];数组[f,120,0](*迈克尔·德弗利格2015年4月9日之后纳迪娅·亨宁格和N.J.A.斯隆在A147562型*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 1, 3, 3, 9, 1, 3, 3, 9, 3, 9, 9, 27, 1, 3, 3, 9, 3, 9, 9, 27, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 1, 3, 3, 9, 3, 9, 9, 27, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 9, 27, 27, 81, 27, 81, 81, 243, 1, 3, 3, 9, 3, 9, 9, 27, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 9
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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递归:写n=2^i+1+j,0<=j<2^i,然后a(2^i+1)=1;对于j>0,a(2^i+j+1)=3*a(j+1)-N.J.A.斯隆2009年6月9日
G.f.:x*(产品{k>=0}(1+3*x^(2^k))-1)/3-N.J.A.斯隆,2009年6月10日
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例子
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当写为三角形时:
.1,
.1,3,
.1,3,3,9,
.1,3,3,9,3,9,9,27,
.1,3,3,9,3,9,9,27,3,9,9,27,9,27,27,81,
.1,3,3,9,3,9,9,27,3,9,9,27,9,27,27,81,3,9,9,27,9,27,27,81,9,27,27,81,27,81,81,243,
....
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MAPLE公司
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数学
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a[n_]:=3^(数字计数[n-1,2,1]-1);
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=3^(汉明重量(n-1)-1)\\米歇尔·马库斯2020年3月24日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 4, 4, 12, 4, 20, 12, 44, 4, 52, 12, 76, 12, 100, 36, 172, 4, 180, 12, 204, 12, 228, 36, 300, 12, 324, 36, 396, 36, 468, 108, 684, 4, 692, 12, 716, 12, 740, 36, 812, 12, 836, 36, 908, 36, 980, 108, 1196, 12, 1220, 36, 1292, 36, 1364, 108, 1580, 36, 1652, 108, 1868
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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以电池(0,0)ON启动;在每个后续阶段,与活动单元正好共享一条边的单元都会改变其状态。
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参考文献
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D.Singmaster,《论Ulam和Warburton的元胞自动机》,开放大学M500杂志,#195(2003年12月),第2-7页。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
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配方奶粉
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A079317号
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| 方形网格上n代元胞自动机之后的ON单元数,其中与ON单元正好共享一条边的单元会更改其状态。 |
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+10 9
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1, 5, 5, 17, 9, 29, 21, 65, 25, 77, 37, 113, 49, 149, 85, 257, 89, 269, 101, 305, 113, 341, 149, 449, 161, 485, 197, 593, 233, 701, 341, 1025, 345, 1037, 357, 1073, 369, 1109, 405, 1217, 417, 1253, 453, 1361, 489, 1469, 597, 1793, 609, 1829, 645, 1937, 681
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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我们使用方形网格,其中每个单元格有四个邻居。
从单元(0,0)ON和所有其他单元OFF开始;在每个后续阶段,与ON单元正好共享一条边的单元会改变其状态。
基于5细胞von Neumann邻域,“规则678”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动(ON,黑色)细胞数-罗伯特·普莱斯,2016年5月21日
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参考文献
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D.Singmaster,《论Ulam和Warburton的元胞自动机》,开放大学M500杂志,#195(2003年12月),第2-7页。
S.Wolfram,《一种新的科学》,Wolfram Media,2002年;第170页。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
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配方奶粉
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例子
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第1代至第4代(X=ON):
…………..X
……….X……XXX
….X………….X
X.XXX。。X X X X XX。X月XX日
….X………….X
……….X……XXX
…………..X
前20代的大小:。。。。。。。。。
…………n…关->开…开->关..净增益。。总计开启
--------------------------------------------------
.........0.........0.........0.........0.........0
.........1.........1.........0.........1.........1
.........2.........4.........0.........4.........5
.........3.........4.........4.........0.........5
.........4........12.........0........12........17
.........5.........4........12........-8.........9
.........6........20.........0........20........29
.........7........12........20........-8........21
.........8........44.........0........44........65
.........9.........4........44.......-40........25
........10........52.........0........52........77
…..11…..12…..52…..-40…..37
........12........76.........0........76.......113
........13........12........76.......-64........49
........14.......100.........0.......100.......149
........15........36.......100.......-64........85
........16.......172.........0.......172.......257
........17.........4.......172......-168........89
........18.......180.........0.......180.......269
........19........12.......180......-168.......101
……..20……..204……..0……..204……..305
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 3, 7, 5, 11, 9, 21, 11, 25, 15, 35, 19, 45, 29, 73, 31, 77, 35, 87, 39, 97, 49, 125, 53, 135, 63, 163, 73, 191, 101, 273, 103, 277, 107, 287, 111, 297, 121, 325, 125, 335, 135, 363, 145, 391, 173, 473, 177, 483, 187, 511, 197, 539, 225, 621, 235, 649, 263, 731
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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从单元格(0,0)激活开始;在每个后续阶段,与活动单元正好共享一条边的单元都会改变其状态。
图案具有四重对称性;序列只计算一个象限中的细胞数。
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参考文献
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D.Singmaster,《论Ulam和Warburton的元胞自动机》,开放大学M500杂志,#195(2003年12月),第2-7页。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
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黄体脂酮素
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(PARI)M=矩阵(101101);M[1,1]=1;对于(s=1100,c=[];a=M[1,1];对于(x=2100,对于(y=2100,a+=M[x,y];如果(M[x-1,y]+M[x+1,y]+M[x、y-1]+M[x,y+1]==1,c=concat(c,[x,y]]));a+=M[x,1]+M[1,x];如果(M[x,2]==0&&M[x-1,1]+M[x+1,1]==1,c=concat(c,[x,1]]);如果(M[2,x]==0&&M[1,x-1]+M[1、x+1]==1,c=concat(c,[1,x]));打印1(a,“,”);对于(i=1,长度(c),M[c[i][1],c[i][2]=1-M[c[i][1],c[i][2])-马克斯·阿列克塞耶夫2007年2月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A079319号
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| a(0)=1;对于n>=1,a(n)=4*a(n-1)-(2^n-1)。 |
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+10 6
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1, 3, 9, 29, 101, 373, 1429, 5589, 22101, 87893, 350549, 1400149, 5596501, 22377813, 89494869, 357946709, 1431721301, 5726754133, 22906754389, 91626493269, 366504924501, 1466017600853, 5864066209109, 23456256447829
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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a(n)=2^n+(4^n-1)/3,n>=0。
G.f.:(1-4x+2x^2)/((1-x)(1-2x)(1-4x))。
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数学
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A079319list[nmax_]:=线性递归[{7,-14,8},{1,3,9},nmax+1];A079319列表[50](*保罗·沙萨2023年7月30日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<0,0,2^n+(4^n-1)/3)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A151922号
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| Holladay-Ulam细胞自动机第n阶段后“开”的第一象限细胞数(包括两个边界)。 |
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+10 5
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1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 29, 31, 35, 39, 49, 53, 63, 73, 101, 103, 107, 111, 121, 125, 135, 145, 173, 177, 187, 197, 225, 235, 263, 291, 373, 375, 379, 383, 393, 397, 407, 417, 445, 449, 459, 469, 497, 507, 535, 563, 645
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
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配方奶粉
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数学
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A151922list[nmax_]:=累加[Join[{1},3^(数字计数[Range[nmax],2,1]-1)+1]];A151922列表[100](*保罗·沙萨2023年6月29日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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扩展(a(30)-a(47))并由编辑奥马尔·波尔2010年11月21日
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 5, 1, 2, 2, 5, 2, 5, 5, 14, 1, 2, 2, 5, 2, 5, 5, 14, 2, 5, 5, 14, 5, 14, 14, 41, 1, 2, 2, 5, 2, 5, 5, 14, 2, 5, 5, 14, 5, 14, 14, 41, 2, 5, 5, 14, 5, 14, 14, 41, 5, 14, 14, 41, 14, 41, 41, 122, 1, 2, 2, 5, 2, 5, 5, 14, 2, 5, 5, 14, 5, 14, 14, 41, 2, 5, 5, 14, 5, 14, 14, 41, 5, 14, 14
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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参考文献
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Alex Fink、Aviezri S.Fraenkel和Carlos Santos,《LIM并不苗条》,《国际博弈论杂志》,2013年5月
David Singmaster,《关于乌拉姆和沃伯顿的细胞自动机》,《开放大学M500杂志》,第195期(2003年12月),第2-7页。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
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配方奶粉
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例子
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如果写为三角形:
1;
1;
1,2;
1,2,2,5;
1,2,2,5,2,5,5,14;
1,2,2,5,2,5,5,14,2,5,5,14,5,14,14,41;
1,2,2,5,2,5,5,14,2,5,5,14,5,14,14,41,2,5,5,14,5,14,14,41,5,14,14,41,14,41,41,122;
(结束)
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数学
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a[n_]:=(3^(数字计数[n,2,1]-1)+1)/2;a[0]=1;数组[a,100,0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月29日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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2, 4, 4, 10, 4, 10, 10, 28, 4, 10, 10, 28, 10, 28, 28, 82, 4, 10, 10, 28, 10, 28, 28, 82, 10, 28, 28, 82, 28, 82, 82, 244, 4, 10, 10, 28, 10, 28, 28, 82, 10, 28, 28, 82, 28, 82, 82, 244, 10, 28, 28, 82, 28, 82, 82, 244, 28, 82, 82, 244, 82, 244, 244, 730, 4, 10, 10, 28, 10, 28, 28
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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链接
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例子
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如果写为三角形:
2;
4;
4,10;
4,10,10,28;
4,10,10,28,10,28,28,82;
4,10,10,28,10,28,28,82,10,28,28,82,28,82,82,244;
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数学
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A151712列表[nmax_]:=3^数字计数[范围[0,nmax],2,1]+1;A151712列表[100](*保罗·沙萨2023年7月15日*)
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交叉参考
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关键词
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标签,非n
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作者
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扩展
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经核准的
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