搜索： a078306-编号：a078305
|
| |
|
|
A026007号
|
| 产品扩展{m>=1}（1+q^m）^m；将n划分为不同部分的分区数，其中n个不同部分的大小为n。 |
|
+10
79
|
|
|
|
1, 1, 2, 5, 8, 16, 28, 49, 83, 142, 235, 385, 627, 1004, 1599, 2521, 3940, 6111, 9421, 14409, 21916, 33134, 49808, 74484, 110837, 164132, 241960, 355169, 519158, 755894, 1096411, 1584519, 2281926, 3275276, 4685731, 6682699, 9501979, 13471239, 19044780, 26850921, 37756561, 52955699
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
通常，对于t>0，如果g.f.=Product_{m>=1}（1+t*q^m）^m，则a（n）~c^（1/6）*exp（3^（2/3）*c^（1/3）*n^（2/3）/2）/（3^（2/3）*（t+1）^（1/12）*sqrt（2*Pi）*n^（2/3）），其中c=Pi^2*log（t）+log（t）^3-6*polylog（3，-1/t）-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年1月4日
|
|
|
链接
|
Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward，配分函数族的统一处理，arXiv:2303.02240[math.CO]，2023年。
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
例子
|
对于n=4，我们有8个分区
01: [4]
02: [4']
03: [4'']
04: [4''']
05: [3, 1]
06: [3', 1]
07: [3'', 1]
08：[2，2']
|
|
|
MAPLE公司
|
带有（数字理论）：
b： =proc（n）选项记忆；
加法（（-1）^（n/d+1）*d^2，d=除数（n））
结束时间：
a： =proc（n）选项记忆；
`如果`（n=0，1，加上（b（k）*a（n-k），k=1..n）/n）
结束时间：
|
|
|
数学
|
a[n]：=a[n]=1/n*和[Sum[（-1）^（k/d+1）*d^2，{d，除数[k]}]*a[n-k]，{k，1，n}]；a[0]=1；表[a[n]，{n，0，41}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年4月17日之后弗拉德塔·乔沃维奇*)
nmax=50；系数列表[级数[Exp[Sum[（-1）^（k+1）*x^k/（k*（1-x^k）^2），{k，1，nmax}]]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月28日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）
N=66；q='q+O（'q^N）；
gf=产品（n=1，n，（1+q^n）^n）；
Vec（玻璃纤维）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A255528型
|
| G.f.：产品{k>=1}1/（1+x^k）^k。 |
|
+10
28
|
|
|
|
1, -1, -1, -2, 1, 0, 4, 2, 8, -2, 4, -11, -1, -25, -5, -35, 13, -26, 49, -6, 110, 6, 159, -23, 182, -141, 129, -358, 62, -640, 39, -897, 237, -1013, 771, -914, 1793, -664, 3143, -565, 4635, -1157, 5727, -3119, 6121, -7041, 5642, -13088, 5097, -20758, 5879
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
一般来说，如果m>=1且g.f=Product_{k>=1}1/（1+x^k）^（m*k），则a（n，m）~（-1）^n*exp（-m/12+3*2^（-5/3）*m^（1/3）*Zeta（3）^ 36-2/3）/sqrt（3*Pi），其中a是Glaisher-Kinkelin常数A074962号. -瓦茨拉夫·科特索维奇2017年4月13日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（0）=1，a（n）=-（1/n）*和{k=1..n}A078306（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年4月6日
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
nmax=100；系数列表[系列[积[1/（1+x^k）^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（exp（总和（k=1，n，（-1）^k*x^k/（1-x^k）^2/k，x*O（x^n）），n））}
对于（n=0100，打印1（a（n），“，”）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
签名
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A078307型
|
| a（n）=和{d除以n}（-1）^（n/d+1）*d^3。 |
|
+10
11
|
|
|
|
1, 7, 28, 55, 126, 196, 344, 439, 757, 882, 1332, 1540, 2198, 2408, 3528, 3511, 4914, 5299, 6860, 6930, 9632, 9324, 12168, 12292, 15751, 15386, 20440, 18920, 24390, 24696, 29792, 28087, 37296, 34398, 43344, 41635, 50654, 48020, 61544, 55314, 68922, 67424
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：和{n>=1}n^3*x^n/（1+x^n）。
与a（2^e）=（6*8^e+1）/7相乘，a（p^e）=p^（3*e+3）-1）/（p^3-1），p>2。
L.g.f.：log（产品{k>=1}（1+x^k）^（k^2））=和{n>=1}a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2018年3月12日
求和{k=1..n}a（k）~c*n^4，其中c=7*Pi^4/2880=0.236758-阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月27日
|
|
|
MAPLE公司
|
带有（数字理论）：
a： =n->加（（-1）^（n/d+1）*d^3，d=除数（n））：
|
|
|
数学
|
a[n]：=和[（-1）^（n/d+1）*d^3，{d，除数[n]}]；表[a[n]，{n，1，70}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年1月17日*）
f[p_，e_]：=（p^（3*e+3）-1）/（p^3-1）；f[2，e_]：=（6*8^e+1）/7；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，42](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月27日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=汇总（n，d，（-1）^（n/d+1）*d^3）\\因德拉尼尔·戈什2017年4月5日
（Python）
从sympy导入除数
打印（[sum（（-1）**（n//d+1）*d**3表示除数（n）中的d），表示范围（1,51）中的n）]#因德拉尼尔·戈什，2017年4月5日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
多重,非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A284900型
|
| a（n）=和{d|n}（-1）^（n/d+1）*d^4。 |
|
+10
10
|
|
|
|
1, 15, 82, 239, 626, 1230, 2402, 3823, 6643, 9390, 14642, 19598, 28562, 36030, 51332, 61167, 83522, 99645, 130322, 149614, 196964, 219630, 279842, 313486, 391251, 428430, 538084, 574078, 707282, 769980, 923522, 978671, 1200644, 1252830, 1503652, 1587677
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
与a（2^e）=（7*2^（4*e+1）+1）/15相乘，如果p>2，则与a（p^e）=p（4*e+4）-1）/（p^4-1）相乘。
求和{k=1..n}a（k）~c*n^5，其中c=3*zeta（5）/16=0.194423。（结束）
|
|
|
数学
|
表[和[（-1）^（n/d+1）*d^4，{d，除数[n]}]，{n，50}](*因德拉尼尔·戈什2017年4月5日*）
f[p_，e_]：=（p^（4*e+4）-1）/（p^4-1）；f[2，e_]：=（7*2^（4*e+1）+1）/15；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，50](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月11日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=汇总（n，d，（-1）^（n/d+1）*d^4）\\因德拉尼尔·戈什2017年4月5日
（Python）
从sympy导入除数
打印（[sum（[（-1）**（n//d+1）*d**4 for d in divisors（n）]）for n in range（1,51）]）#因德拉尼尔·戈什2017年4月5日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,多重
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A284926型
|
| a（n）=和{d|n}（-1）^（n/d+1）*d^5。 |
|
+10
9
|
|
|
|
1, 31, 244, 991, 3126, 7564, 16808, 31711, 59293, 96906, 161052, 241804, 371294, 521048, 762744, 1014751, 1419858, 1838083, 2476100, 3097866, 4101152, 4992612, 6436344, 7737484, 9768751, 11510114, 14408200, 16656728, 20511150, 23645064, 28629152, 32472031, 39296688
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
与a（2^e）=（15*2^（5*e+1）+1）/31相乘，如果p>2，则与a（p^e）=p（5*e+5）-1）/（p^5-1）相乘。
求和{k=1..n}a（k）~c*n^6，其中c=31*zeta（6）/192=0.164258。（结束）
|
|
|
数学
|
表[和[（-1）^（n/d+1）*d^5，{d，除数[n]}]，{n，50}](*因德拉尼尔·戈什2017年4月6日*）
f[p_，e_]：=（p^（5*e+5）-1）/（p^5-1）；f[2，e_]：=（15*2^（5*e+1）+1）/31；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，50](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月11日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=汇总（n，d，（-1）^（n/d+1）*d^5）\\因德拉尼尔·戈什2017年4月6日
（Python）
从sympy导入除数
打印（[sum（（-1）**（n//d+1）*d**5表示除数（n）中的d），表示范围（1,51）中的n）]#因德拉尼尔·戈什2017年4月6日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,多重
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A284927型
|
| a（n）=和{d|n}（-1）^（n/d+1）*d^6。 |
|
+10
8
|
|
|
|
1, 63, 730, 4031, 15626, 45990, 117650, 257983, 532171, 984438, 1771562, 2942630, 4826810, 7411950, 11406980, 16510911, 24137570, 33526773, 47045882, 62988406, 85884500, 111608406, 148035890, 188327590, 244156251, 304089030, 387952660, 474247150, 594823322
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
与a（2^e）=（31*2^（6*e+1）+1）/63相乘，如果p>2，则与a（p^e）=p（6*e+6）-1）/（p^6-1）相乘。
Sum_｛k=1..n｝a（k）~c*n^7，其中c=9*zeta（7）/64=0.141799。（结束）
|
|
|
数学
|
表[和[（-1）^（n/d+1）*d^6，{d，除数[n]}]，{n，50}](*因德拉尼尔·戈什2017年4月6日*）
f[p_，e_]：=（p^（6*e+6）-1）/（p^6-1）；f[2，e_]：=（31*2^（6*e+1）+1）/63；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，50](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月11日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=汇总（n，d，（-1）^（n/d+1）*d^6）\\因德拉尼尔·戈什2017年4月6日
（Python）
从sympy导入除数
打印（[sum（[（-1）**（n//d+1）*d**6 for d in divisors（n）]）for n in range（1,51）]）#因德拉尼尔·戈什2017年4月6日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,多重
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A321552型
|
| a（n）=和{d|n}（-1）^（n/d+1）*d^7。 |
|
+10
8
|
|
|
|
1, 127, 2188, 16255, 78126, 277876, 823544, 2080639, 4785157, 9922002, 19487172, 35565940, 62748518, 104590088, 170939688, 266321791, 410338674, 607714939, 893871740, 1269938130, 1801914272, 2474870844, 3404825448, 4552438132, 6103593751, 7969061786, 10465138360, 13386707720, 17249876310
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：和{k>=1}k^7*x^k/（1+x^k）-满山圣一2018年11月23日
与a（2^e）=（63*2^（7*e+1）+1）/127相乘，如果p>2，则与a（p^e）=p（7*e+7）-1）/（p^7-1）相乘。
求和{k=1..n}a（k）~c*n^8，其中c=127*zeta（8）/1024=0.124529。（结束）
|
|
|
数学
|
f[p_，e_]：=（p^（7*e+7）-1）/（p^7-1）；f[2，e_]：=（63*2^（7*e+1）+1）/127；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，50](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月11日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）适用(A321552型（n） =总和（n，d，（-1）^（n\d-1）*d^7），[1..30]）\\M.F.哈斯勒2018年11月26日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,多重
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A321558型
|
| a（n）=和{d除以n}（-1）^（d+n/d）*d^2。 |
|
+10
6
|
|
|
|
1、-5、10、-13、26、-50、50、-45、91、-130、122、-130、170、-250、260、-173、290、-455、362、-338、500、-610、530、-450、651、-850、820、-650、842、-1300、962、-685、1220、-1450、1300、-1183、1370、-1810、1700、-1170、1682、-2500、1850、-1586、2366
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：和{k>=1}（-1）^（k+1）*k^2*x^k/（1+x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月27日
通用公式：和{k>=1}（-1）^（k+1）*（x^k-x^（2*k））/（1+x^k）^3-迈克尔·索莫斯2019年10月24日
与a（2^k）=-（2^（2*k+1）+7）/3相乘，k>=1；与a（p^k）=（p^（2%k+2）-1）/（p^2-1）相乘，奇数素数p。
n^2=（-1）^（n+1）*Sum_{d除以n}A067856号（n/d）*a（d）。（结束）
|
|
|
例子
|
G.f.=x-5*x^2+10*x^3-13*x^4+26*x^5-50*x^6+50*x^7+-迈克尔·索莫斯，2019年10月24日
|
|
|
数学
|
a[n_]：=除数和[n，（-1）^（#+n/#）*#^2&]；数组[a，50](*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月27日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）适用(A321558型（n） =总和（n，d，（-1）^（n\d-d）*d^2），[1..30]）\\M.F.哈斯勒2018年11月26日
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（&+[（-1）^（k+1）*k^2*x^k/（1+x^k）：[1..2*m]]中的k））//G.C.格鲁贝尔2018年11月28日
（鼠尾草）s=（总和（（-1）^（k+1）*k^2*x^k/（1+x^k）对于（1..50）中的k））系列（x，30）；a=s.系数（x，稀疏=假）；a[1:]#G.C.格鲁贝尔，2018年11月28日
|
|
|
交叉参考
|
上釉器的xi_i（i=0..12）：228441元,A109506号,A321558型,A321559型,A321560型,A321561型,A321562飞机,A321563飞机,A321564飞机,321565英镑,A321807年,A321808型,A321809型
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A322081型
|
| 方阵A（n，k），n>=1，k>=0，由反对偶读取：A（n、k）=Sum_{d|n}（-1）^（n/d+1）*d^k。 |
|
+10
5
|
|
|
|
1、1、0、1、1、2、1、3、4、-1、1、7、10、1、2、1、15、28、11、6、0、1、31、82、55、26、4、2、1、63、244、239、126、30、8、-2、1、127、730、991、626、196、50、1、3、1、255、2188、4031、3126、1230、344、43、13、0、1、511、6562、16255、15626、7564、2402、439、91、6、2、1023 19684、65279、78126、45990、16808、3823、757、78、12、-2
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,6
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
k列的G.f:总和{j>=1}j^k*x^j/（1+x^j）。
|
|
|
例子
|
方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 1, 3, 7, 15, 31, ...
2, 4, 10, 28, 82, 244, ...
-1, 1, 11, 55, 239, 991, ...
2, 6, 26, 126, 626, 3126, ...
0, 4, 30, 196, 1230, 7564, ...
|
|
|
数学
|
表[函数[k，总和[（-1）^（n/d+1）d^k，{d，除数[n]}][i-n]，{i，0，12}，{n，1，i}]//展平
表[函数[k，级数系数[Sum[j^kx^j/（1+x^j），｛j，1，n｝]，｛x，0，n｝]][i-n]，｛i，0，12｝，｛n，1，i｝]//压扁
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）={总和（n，d，（-1）^（n/d+1）*d^k）}
对于（n=1,10，对于（k=0,8，打印1（T（n，k），“，”））；打印）\\安德鲁·霍罗伊德2018年11月26日
|
|
|
交叉参考
|
列k=0..12给出A048272号,A000593号,A078306型,A078307型,284900加元,284926英镑,A284927型,A321552型,A321553型,A321554型,A321555飞机,A321556型,321157英镑.
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A356391型
|
| a（n）=n！*求和{k=1..n}（求和{d|k}（-1）^（k/d+1）*d^2）/k。 |
|
+10
5
|
|
|
|
1, 5, 35, 206, 1654, 13524, 130668, 1262064, 15027696, 178581600, 2407111200, 33276182400, 514020643200, 8130342124800, 144621487584000, 2537556118272000, 49206063078144000, 982811803276800000, 20991083543732736000, 454612169591580672000, 10763306565511514112000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
例如：-（1/（1-x））*Sum_{k>0}（-x）^k/（k*（1-x^k）^2）。
例如：（1/（1-x））*Sum_{k>0}k*log（1+x^k）。
|
|
|
数学
|
表[n！*Sum[Sum[（-1）^（k/d+1）*d^2，{d，除数[k]}]/k，{k，1，n}]，{n，1，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年8月7日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=n*总和（k=1，n，sumdiv（k，d，（-1）^（k/d+1）*d^2）/k）；
（PARI）我的（N=30，x='x+O（'x^N））；Vec（serlaplace（-sum（k=1，N，（-x）^k/（k*（1-x^k）^2））/（1-x））
（PARI）我的（N=30，x='x+O（'x^N））；Vec（serlaplace（总和（k=1，N，k*log（1+x^k））/（1-x））
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.018秒内完成
|
