搜索： a077416-编号：a077416
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2, 1, 12, 13, 142, 155, 1692, 1847, 20162, 22009, 240252, 262261, 2862862, 3125123, 34114092, 37239215, 406506242, 443745457, 4843960812, 5287706269, 57721023502, 63008729771, 687808321212, 750817050983, 8195978831042
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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链接
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配方奶粉
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a（n）=a（n-1）+a（n-2）（对于n偶数），a（n）=10*a（n-1）+a（n-2）（对于n奇数）；a（1）=2，a（2）=1。
a（n）=12*a（n-2）-a（n-4）。通用格式：x*（x^3-12*x^2+x+2）/（x^4-12*x*2+1）。[科林·巴克2013年2月18日]
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数学
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线性递归[{0，12，0，-1}，{2，1，12，13}，30](*哈维·P·戴尔2017年10月2日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,较少的,已更改
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A039599号
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| 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 |
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+10
133
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,4
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（n，n）的晶格路径的数量，具有步骤E=（1,0）和n=（0,1），其接触但不穿过线x-y=k并且仅位于该线上方；例如：T（3,2）=5，因为我们有EENNNE，EENNEN，EENENN，ENEENN，NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
长度为n且具有向下k的格兰德戴克路径的数目返回x轴。（半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径，从（0,0）开始，到（2n，0）结束，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成）。例如：T（3,2）=5，因为我们有u（d）uud（d），uud-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0，0,0,1,0，0，0…]生成，其中M是无限三对角矩阵，所有1位于上对角线和次对角线中，[1,2,2,2,2,2，2，2…]位于主对角线-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：
从（0,0）到（2n，2k）的2n步行走次数，由步长u=（1,1）和d=（1，-1）组成，路径保持在非负象限中。例如：T（3,0）=5，因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud；T（3,1）=9，因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu；T（3,2）=5，因为我们有uuuuu d，uuuudu，uuuduu，uuduuu；T（3,3）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a（n）*x^n=（1+x）/（1-mx+x^2）=o.g.f.，则和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077美元,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890美元,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230型,A161591号，对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆，2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形；请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义，请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数项）。例如：4^4=256=（14，28，20，7，1）点（1，3，5，7，9）=（14+84+100+49+9）=256-加里·亚当森，2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度；常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧，其中c=2+2*cos（2*Pi/N）。示例：取与9边形（非边形）相关的前4行，N=2*4+1；其中c=2+2*cos（2*Pi/9）=3.5320888……方程为（1,0,0,0）=1；（1,1,0,0）=c；（2,3,1,0）=c^2；（5,9,5,1）=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。；边=1的9边（非边）的四个不同对角线长度。（参见中的注释A089942号它使用类似的运算，但c=1+2*cos（2*Pi/9）。）-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后，也称为Lobb数，是加泰罗尼亚数的自然推广，由L（m，n）=（2m+1）*二项式（2n，m+n）/（m+n+1）给出，其中n>=m>=0。对于m=0，我们得到第n个加泰罗尼亚语数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日
T（n，k）=A053121号（2*n，2*k）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），根据单位圆（长度单位1）中内切的正规n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R（n、2*k+1）=S（2*k，ρ（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310型):
ρ（N）^（2*N）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*k+1），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034号)，出现。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
T.Myers和L.Shapiro，序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木，众议员。，204 (2010), 93-104.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Jonathan E.Beagley和Paul Drube，Tableau反演的组合数学，电子。J.Combina.，22（2015），#P2.44。
安德鲁·洛布，推导第n个加泰罗尼亚数《数学公报》，第83卷，第496号（1999年3月），第109-110页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚三角数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016（见2.8）。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯，一种新的拉普拉斯变换反演方法，夸脱。申请。数学。，第14卷，第4期（1957年），405-414:124。[注意：有一个打字错误]
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配方奶粉
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T（n，k）=C（2*n-1，n-k）-C（2*n-1，n-k-2），n>=1，T（0,0）=1。
T（n，k）=（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）。
G.f.：G（t，z）=1/（1-（1+t）*z*C），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（完）
T（n，k）=C（2*n，n-k）*（2*k+1）/（n+k+1）。总和（k>=0；T（n，k）*T（m，k）=A000108号（n+m））；A000108号：加泰罗尼亚语的数字。
T（n，0）=A000108号（n） ；如果k>n，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=和{j=1..n}T（n-j，k-1）*A000108号（j） 。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+1），其中C（xA000108号（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108号.
如果n<0或n<k，T（0，0）=1，T（n，k）=0；T（n，0）=T（n-1,0）+T（n-1，1）；对于k>=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）+T（n-1，k+1）。
三角形T（n，k）=（-1）^（n+k）*二项式（n+k，2*k）=*A085478号（n，k）。
Sum_{k=0..n}（2*k+1）*T（n，k）=4^n。
和{k>=h}T（n，k）=二项式（2n，n-h）。
和{k=0..n}T（n，k）*7^k=15970年（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k=A000007号（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^k=（-1）^n*A064310号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}T（n，k）*sin（（2*k+1）*x）=sin（x）*（2*cos（x））^（2*n）。
T（n，n-k）=和{j>=0}（-1）^（n-j）*A094385号（n，j）*二项式（j，k）。
如果求和{k>=0}a（k）*x^k=（1+x）/（x^2-m*x+1），则求和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^n。
和{k=0..n}T（n，k）*k^2=A000531号（n） ，对于n>=1。
（完）
T（n，k）=和{j=0..k}二项式（k+j，2j）*（-1）^（k-j）*A000108号（n+j）-保罗·巴里2011年2月17日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^2=（4*n+1）*二项式（2*n，n）-沃纳·舒尔特，2015年7月22日
Sum_｛k=0..n｝T（n，k）*（2*k+1）^3=（6*n+1）*4^n-沃纳·舒尔特，2015年7月22日
求和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）*（2*k+1）^（2*m）=0表示0<=m<n（另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日
T（n，k）=GegenbauerC（n-k，-n+1，-1）-GegenbauerC-（n-k-1，-n+1、-1）-彼得·卢什尼2016年5月13日
T（n，n-3）=n*（2*n-1）*（2*n-5）/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-4）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-7）/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-5）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-3）*（2*n-9）/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1比1 1
2: 2 3 1
3: 5 9 5 1
4: 14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9: 4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1（结束）
ρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：
n=2:rho（n）^4=2*R（n，1）+3*R（n，3）+1*R（n，5）=
2+3*S（2，rho（N））+1*S（4，rho。对于N=4（只有一条明显对角线的正方形），度数△（4）=2，因此R（4，3）和R（4,5）可以减少，即分别为R（4,1）=1和R（4]，5）=-R（4,1）=-1。因此，ρ（4）^4=（2*cos（Pi/4））^4=2+3-1=4。（完）
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=n，则1 elif k>n，则0 elif k=0，则T（n-1，0）+T
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）od#彼得·卢什尼2023年2月14日
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数学
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表[Abs[Differences[Table[二项式[2n，n+i]，{i，0，n+1}]]，{n，0，7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*）
连接[{1}，扁平[Table[二项式[2n-1，n-k]-二项式[2]，{n，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
压扁[表[二项式[2*n，m+n]*（2*m+1）/（m+n+1），{n，0，9}，{m，0，n}]](*贾扬达·巴苏，2013年4月30日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n-1）中的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
b=不是b
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（2*n，k+n）*（2*k+1）/（k+n+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年10月16日
（PARI）a（n，k）=（2*n+1）/（n+k+1）*二项式（2*k，n+k）
三角行（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（a（y，x），“，”））；打印（“”）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A108299号
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| 按行读取的三角形，0<=k<=n:T（n，k）=二项式（n-[（k+1）/2]，[k/2]）*（-1）^[（k+1）/2]。 |
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+10
57
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1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, -2, 1, 1, -1, -3, 2, 1, 1, -1, -4, 3, 3, -1, 1, -1, -5, 4, 6, -3, -1, 1, -1, -6, 5, 10, -6, -4, 1, 1, -1, -7, 6, 15, -10, -10, 4, 1, 1, -1, -8, 7, 21, -15, -20, 10, 5, -1, 1, -1, -9, 8, 28, -21, -35, 20, 15, -5, -1, 1, -1, -10, 9, 36, -28, -56, 35, 35, -15, -6, 1, 1, -1, -11, 10, 45, -36, -84, 56, 70
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,9
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评论
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设L（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）和Pi=3.14…：
L（n，x）=产品{k=1..n}（x-2*cos（（2*k-1）*Pi/（2*n+1）））；
T（2*n，k）+T（2*n+1，k+1）=0，对于0<=k<=2*n；
当n>1时，T（n，2）=-（n-1）；T（n，3）=A000027号（n） n>2时=n；
T（n，n-3）=A058187号n>2时，（n-3）*（-1）^楼层（n/2）；
T（n，n-2）=A008805号n>1时，（n-2）*（-1）^楼层（（n+1）/2）；
T（n，n-1）=A008619号n>0时，（n-1）*（-1）^楼层（n/2）；
T（n，n）=L（n，0）=（-1）^楼层（（n+1）/2）；
猜想：设N=2*N+1，其中N>2。然后，T（n，k）（0<=k<=n）给出了特征函数p_n（x）=0中的第k个系数，其阶数为n，对于形式为
G_N=A_{N，1}=
(0 1 0 ... 0)
(1 0 1 0 ... 0)
(0 1 0 1 0 ... 0)
...
(0 ... 0 1 0 1)
(0 ... 0 1 1),
溶液phi_j=2*cos（（2*j-1）*Pi/N），j=1,2，。。。，n.例如，对于n=3，
G_7=A_{7,1}=
(0 1 0)
（1 0 1）
(0 1 1).
我们有{T（3，k）}=（1，-1，-2,1），而G_7的特征函数是p（x）=x^3-x^2-2*x+1=0，解phi_j=2*cos（（2*j-1）*Pi/7），j=1,2,3。（完）
多项式的根是混沌的，使用迭代运算（x^2-2），循环长度L和初始种子返回到相同的项或（-1）*种子。周期周期长度L如所示A003558元这样，对于由第r行表示的多项式，循环长度L为A003558元（r-1）。与作为特征多项式的行相对应的矩阵同样是混沌的[参见Kappraff et al.，2005]，具有相同的循环长度，但用2*I代替（x^2-2）中的“2”，其中I=单位矩阵。例如，x^3-x^2-2x+1=0的根为1.801937…，-1.246979。。。，和0.445041…以1.801937…为初始种子，利用（x^2-2），我们得到了8.801937..->1.246979…->-0.445041…的三周期轨道（返回到-1.801937¡）。我们注意到A003558元(2) = 3. 相应的矩阵M为：[0,1,0；1,0,1；0,1,1，]。使用种子M和（x^2-2*I），我们得到了循环在（-1）*M完成的3周期-加里·亚当森2012年2月7日
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参考文献
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弗里德里希·鲍尔（Friedrich L.Bauer），《拉格朗日与莫伊夫尔：理性的Cosinus eines》（De Moivre und Lagrange:Cosinus eines rationalen Vielfachen von Pi），《信息演讲》28（Springer，2005）。
Jay Kappraff、S.Jablan、G.Adamson和R.Sazdonovich：“金域、广义Fibonacci序列和混沌矩阵”；FORMA，第19卷，第4期，（2005年）。
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链接
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亨利·古尔德，帕斯卡三角形的变体,更正《斐波纳契季刊》，第3卷，第4期，1965年12月，第257-271页。
Frank Ruskey和Carla Savage，集分区和限制增长尾部的格雷码《澳大利亚组合数学杂志》，第10卷（1994年），第85-96页。见第95页的表1。
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配方奶粉
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T（n，k）=二项式（n-floor（（k+1）/2），floor（k/2））*（-1）^ loor（（k+1）/2）。
T（n+1，k）=如果符号（T（n，k-1））=符号（T，k）），则T（n、k-1）+T（n和k）其他-T（n，k-1）表示0<k<n，T（n）=1，T（n，n）=（-1）^楼层（（n+1）/2）。
通用公式：A（x，y）=（1-x*y）/（1-x+x^2*y^2）-保罗·D·汉纳2005年6月12日
第n>=0行的生成多项式（z）为（u^（2*n+1）+v^（2*n+1））/（u+v），其中u和v由u^2+v^2=1和u*v=z定义-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
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例子
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三角形开始：
1;
1, -1;
1, -1, -1;
1, -1, -2, 1;
1, -1, -3, 2, 1;
1, -1, -4, 3, 3, -1;
1, -1, -5, 4, 6, -3, -1;
1, -1, -6, 5, 10, -6, -4, 1;
1, -1, -7, 6, 15, -10, -10, 4, 1;
1, -1, -8, 7, 21, -15, -20, 10, 5, -1;
1, -1, -9, 8, 28, -21, -35, 20, 15, -5, -1;
1, -1, -10, 9, 36, -28, -56, 35, 35, -15, -6, 1;
...
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MAPLE公司
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数学
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t[n_，k_？EvenQ]：=I^k*二项式[n-k/2，k/2]；t[n_，k_？奇Q]：=-I^（k-1）*二项式[n+（1-k）/2-1，（k-1；表[t[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//压扁(*Jean-François Alcover公司2013年5月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=polceoff（polceof（（1-x*y）/（1-x+x^2*y^2+x^2*O（x^n）），n，x）+y*O（y^k），k，y）}（汉纳）
（哈斯克尔）
a108299 n k=a108299_tabl！！不！！k个
a108299_row n=a108299-tabl！！n个
a108299_tabl=[1]：迭代（\row->
zipWith（+）（zipWise（*）（[0]++行）a033999_list）
（zipWith（*）（行++[0]）a059841_list））[1，-1]
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001570号
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| 对k进行编号，使k^2是以六边形为中心的。
（原名M4915 N2108）
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+10
48
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1, 13, 181, 2521, 35113, 489061, 6811741, 94875313, 1321442641, 18405321661, 256353060613, 3570537526921, 49731172316281, 692665874901013, 9647591076297901, 134373609193269601, 1871582937629476513, 26067787517619401581, 363077442309042145621
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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具有丢番图性质的切比雪夫T序列-沃尔夫迪特·朗，2002年11月29日
当n>1时，a（n）是等边三角形的cevian的长度，其边长是序列的b（n）项A028230型这个cevian将三角形的边（2*x+1）分成两个整数段x和x+1-贾科莫·费孔多2010年10月9日
对于n>=2，a（n）等于（2n-2）X（2n-2）三对角矩阵沿主对角线具有sqrt（12），沿上对角线和次对角线带有1的永久性-约翰·M·坎贝尔，2011年7月8日
数字n使得存在正x，x^2+x+1=3n^2-杰弗里·沙利特2017年12月11日
由连分式[1，（1,2）^i，3，（1,2,^{i-1}，1]的分母给出-杰弗里·沙利特2017年12月11日
角为2*Pi/3的近等腰积分边三角形是边（A，A+1，c）满足丢番图方程（A+1）^3-A^3=c^2的三角形。对于n>=2，最大边c由a（n）给出，而最小边和中间边（a，a+1）=(A001921号（n-1），A001922号（n-1））（参见Julia链接）-伯纳德·肖特2022年11月20日
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参考文献
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E.-A.Majol，注释#2228，《数学国际期刊》，9（1902），第183-185页-N.J.A.斯隆2022年3月3日
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Alex Fink、Richard K.Guy和Mark Krusemeyer，部件最多出现三次的分区，《离散数学贡献》，第3卷，第2期（2008年），第76-114页。见第13节。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=（（2+sqrt（3））^（2*n-1）+（2-sqrt-迈克尔·索莫斯2011年2月15日
G.f.:x*（1-x）/（1-14*x+x^2）-迈克尔·索莫斯，2011年2月15日
设q（n，x）=Sum_{i=0，n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i），则a（n）=q（n、12）-贝诺伊特·克洛伊特2002年12月10日
4*a（n）^2-3*b（n）*2=1和b（n=A028230型（n+1），n>=0。
a（n）*a（n+3）=168+a（n+1）*a-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月29日
a（n）=14*a（n-1）-a（n-2），a（0）=a（1）=1。a（1-n）=a（n）（比较A122571号).
a（n）=A102871号（n） ^2个+(A102871号（n） -1）^2；连续平方的总和。例如a（4）=36^2+35^2.-梅森·威瑟斯（mwithers（AT）semprautilities.com），2008年1月26日
a（n）=2^（2*n-3）*Product_{k=1..2*n-1}（2-sin（2*Pi*k/（2*n-1）））。迈克尔·索莫斯，2022年12月18日
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例子
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G.f.=x+13*x^2+181*x^3+2521*x^4+35113*x^5+489061*x^6+6811741*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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嵌套列表[3+7*#1+4*Sqrt[1+3*#1+3*#1^2]&，0，24](*扎克·塞多夫2007年5月6日*）
f[n_]：=简化[（2+平方@3)^（2 n-1）+（2-平方@3)^（2 n-1）]/4；数组[f，19](*罗伯特·威尔逊v，2010年10月28日*）
a[c_，n_]：=模块[{}，
p:=长度[ContinuedFraction[Sqrt[c]][[2]]；
d：=分母[收敛[Sqrt[c]，n p]]；
t:=表[d[[1+i]]，{i，0，长度[d]-1，p}]；
返回[t]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=实（（2+quadgen（12））^（2*n-1））/2}/*迈克尔·索莫斯2011年2月15日*/
（岩浆）[（（2+Sqrt（3）））^（2*n-1）+（2-Sqrt//G.C.格鲁贝尔2017年11月4日
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交叉参考
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cosh（（2*m+1）*arccosh（k））/k型的类似序列列于A302329这是k=2的情况。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 15, 209, 2911, 40545, 564719, 7865521, 109552575, 1525870529, 21252634831, 296011017105, 4122901604639, 57424611447841, 799821658665135, 11140078609864049, 155161278879431551, 2161117825702177665, 30100488280951055759, 419245718107612602961, 5839339565225625385695
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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具有丢番图性质的切比雪夫S序列。
随着n的增加，这个序列是近似几何的，公比r=lim（n->Infinity，a（n）/a（n-1））=（2+sqrt（3））^2=7+4*sqert（3）-蚂蚁王2011年11月15日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第329页。
J.D.E.Konhauser等人，《自行车走哪条路？》？，MAA 1996，第104页。
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链接
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Alex Fink、Richard K.Guy和Mark Krusemeyer，部件最多出现三次的分区《对离散数学的贡献》，第3卷，第2期（2008年），第76-114页。参见第13节。
F.V.Waugh和M.W.Maxfield，侧面和对角线数字，数学。Mag.，40（1967），74-83。
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配方奶粉
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当n>1时，a（n）=14*a（n-1）-a（n-2）。
G.f.:x*（1+x）/（1-14*x+x^2）。
a（n）=（ap^（2*n+1）-am^（2*n+1））/（ap-am），其中ap:=2+sqrt（3）和am:=2-sqrt（3）。
a（n+1）=和{k=0..n}（-1）^k*二项式（2*n-k，k）*16^（n-k），n>=0。
a（n）~1/6*sqrt（3）*（2+sqert（3））^（2*n-1）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
定义f[x，s]=sx+Sqrt[（s^2-1）x^2+1]；f[0，s]=0。a（n）=f[a（n-1），7]+f[a，n-2），7]马科斯·卡雷拉，2006年12月27日
a（n）=1/6*sqrt（3）*（（tan（5*Pi/12））^（2n-1）-（tan（Pi/12））^（2n-1））。
a（n）=地板（1/6*sqrt（3）*（tan（5*Pi/12））^（2n-1））。
（完）
例如：1-exp（7*x）*（3*cosh（4*sqrt（3）*x）-2*sqrt（3）*sinh（4*sqlt（3）**）/3-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年12月12日
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MAPLE公司
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seq（系数（级数（（1+x）/（1-14*x+x^2），x，n+1），x、n），n=0..30）#G.C.格鲁贝尔2019年12月6日
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数学
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线性递归[{14，-1}，{1，15}，17](*蚂蚁王2011年11月15日*）
系数列表[级数[（1+x）/（1-14x+x^2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2014年6月17日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[（lucas_number2（n，14，1）-lucas_nomber2（n-1，14，l））/12表示（1，18）范围内的n]#零入侵拉霍斯，2009年11月10日
（PARI）Vec（（1+x）/（1-14*x+x^2）+O（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年6月16日
（PARI）isok（n）=异多角形（n^2，8）\\米歇尔·马库斯2017年7月9日
（岩浆）I:=[1,15]；[n le 2选择I[n]else 14*自我（n-1）-自我（n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2019年12月6日
（间隙）a:=[1,15]；；对于[3..30]中的n，做a[n]：=14*a[n-1]-a[n-2]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年12月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 11, 131, 1561, 18601, 221651, 2641211, 31472881, 375033361, 4468927451, 53252096051, 634556225161, 7561422605881, 90102515045411, 1073668757939051, 12793922580223201, 152453402204739361, 1816646903876649131, 21647309444315050211
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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7*a（n）^2-5*b（n）*2=2，伴随序列b（n=A077416号（n） ，n>=0。
对于正n，a（n）等于沿主对角线具有sqrt（10）的（2n）X（2n-约翰·M·坎贝尔，2011年7月8日
满足x^2-12xy+y^2+10=0的x（或y）正值-科林·巴克2014年2月9日
对于Z中的所有n，a（n）=a（-1-n）-迈克尔·索莫斯2019年6月29日
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链接
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Alex Fink、Richard K.Guy和Mark Krusemeyer，部件最多出现三次的分区《对离散数学的贡献》，第3卷，第2期（2008年），第76-114页。见第13节。
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配方奶粉
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a（n）=12*a（n-1）-a（n-2），a（-1）=1，a（0）=1。
a（n）=S（n，12）-S（n-1，12）=T（2*n+1，sqrt（14）/2）/。T（n，x），第二类切比雪夫多项式。首先，善良。请参见A049310型和A053120号S（-1，x）=0，S（n，12）=A004191号（n） ●●●●。
通用名称：（1-x）/（1-12*x+x^2）。
a（n）=（ap^（2*n+1）+am^（2%n+1））/sqrt（14），其中ap:=（sqrt（7）+sqrt。
a（n）*a（n+3）=120+a（n+1）*a-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月29日
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例子
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G.f.=1+11*x+131*x ^2+1561*x ^3+18601*x ^4 221651*x ^5+2641211*x ^6+。。。
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数学
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系数列表[级数[（1-x）/（1-12x+x^2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2014年2月10日*）
线性递归[{12，-1}，{1，11}，30](*哈维·P·戴尔2015年4月9日*）
a[n]：=与[{x=Sqrt[7/2]}，切比雪夫T[2n+1，x]/x]//展开；(*迈克尔·索莫斯2019年6月29日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[1,11]；[n le 2选择I[n]else 12*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2014年2月10日
（PARI）x='x+O（'x^30）；Vec（（1-x）/（1-12*x+x^2））\\G.C.格鲁贝尔2018年1月18日
（PARI）{a（n）=my（x=quadgen（56）/2）；简化（polchebyshev（2*n+1，1，x）/x）}/*迈克尔·索莫斯2019年6月29日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A160682号
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| 13*k+1=A^2和17*k+1=B^2的常用解决方案中的A值列表。 |
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+10
13
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1, 14, 209, 3121, 46606, 695969, 10392929, 155197966, 2317576561, 34608450449, 516809180174, 7717529252161, 115246129602241, 1720974414781454, 25699370092119569, 383769576967012081, 5730844284413061646, 85578894689228912609, 1277952576054020627489
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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这总结了C*k+1=A^2，（C+4）*k+1=B^2的常见解的情况C=13。
这两个方程等价于Pell方程x^2-C*（C+4）*y^2=1，
x=（C*（C+4）*k+C+2）/2；y=A*B/2，最小值x（1）=（C+2）/2，y（1）=1/2。
一般复发包括：
A（j+2）=（C+2）*A（j+1）-A（j），其中A（1）=1；A（2）=C+1。
B（j+2）=（C+2）*B（j+1）-B（j），其中B（1）=1；B（2）=C+3。
k（j+3）=（C+1）*（C+3）*（k（j+2）-k（j+1））+k（j），其中k（1）=0；k（2）=C+2；k（3）=（C+1）*（C+2）*（C+3）。
x（j+2）=（C^2+4*C+2）*x（j+1）-x（j），其中x（1）=（C+2）/2；x（2）=（C^2+4*C+1）*（C+2）/2；
这些二阶递归的二进制类型的解是：
R=C^2+4*C；S=C*sqrt（R）；T=（C+2）；U=平方英尺（R）；V=（C+4）*sqrt（R）；
A（j）=（R+S）*（T+U）^（j-1）+（R-S）*；
B（j）=（R+V）*（T+U）^（j-1）+（R-V）*；
x（j）+sqrt（R）*y（j）=（（T+U）*（C^2*4*C+2+（C+2）*sqrt（R））^（j-1））/2^j；
k（j）=（（（T+U）*（R+2+T*U）^（j-1）+（T-U）*[保罗·魏森霍恩2009年5月24日]
.C-A------B------k-----
对于n>=2，a（n）等于（2n-2）X（2n-2）三对角矩阵沿主对角线具有sqrt（13），沿上对角线和次对角线带有1的永久性。[约翰·M·坎贝尔2011年7月8日]
满足x^2-15xy+y^2+13=0的x（或y）正值-科林·巴克2014年2月11日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=15*a（n-1）-a（n-2）。
通用名称：（1-x）*x/（1-15*x+x^2）。
a（n）=（2^（-1-n）*（（15-sqrt（221））^n*（13+sqert（221-科林·巴克2016年7月25日
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数学
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线性递归[{15，-1}，{1，14}，20](*哈维·P·戴尔2012年10月8日*）
系数列表[级数[（1-x）/（1-15x+x^2），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年2月12日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[1,14]；[n le 2选择I[n]else 15*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪，2014年2月12日
（PARI）a（n）=圆形（（2^（-1-n）*（（15平方英尺（221））^n*（13+平方英尺（221））+（-13+平方英尺（221））*（15+平方英尺（221））^n））/sqrt（221））\\科林·巴克2016年7月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, -1, 1, 1, -3, 1, -1, 6, -5, 1, 1, -10, 15, -7, 1, -1, 15, -35, 28, -9, 1, 1, -21, 70, -84, 45, -11, 1, -1, 28, -126, 210, -165, 66, -13, 1, 1, -36, 210, -462, 495, -286, 91, -15, 1, -1, 45, -330, 924, -1287, 1001, -455, 120, -17, 1, 1, -55, 495, -1716, 3003, -3003, 1820, -680, 153, -19, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,5
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评论
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由（0，-1，0，-1,0，0-0，0-，0，0,0，0，…）DELTA（1，0，1，-1，0,0,0A084938号. -菲利普·德尔汉姆2012年3月19日
该三角形提供了均匀诱导切比雪夫S多项式的x^2幂系数（参见A049310型)：S（2*n，x）=和{k=0..n}T（n，k）*x^（2*k），n>=0-沃尔夫迪特·朗2012年12月17日
如果L（x^n）：=C（n）=A000108号（n） （加泰罗尼亚数），则多项式P_n（x）：=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k与（f（x），g（x））：=L（f（x）*g（x））给出的内积正交-迈克尔·索莫斯2019年1月3日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=（-1）^（n-k）*A085478号（n，k）=（-1）^（n-k）*二项式（n+k，2*k）。
和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A033999号（n） ，A057078号（n） ，A057077号（n） ，A057079号（n） ，A005408号（n） ，A002878号（n） ，A001834号（n） ，A030221号（n） ，A002315年（n） ，A033890型（n） ，A057080号（n） ，A057081号（n） ，A054320型（n） ，A097783号（n） ，A077416号（n） ，A126866号（n） ，A028230型（n+1），x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16-菲利普·德尔汉姆2009年11月19日
外径：（1+x）/（1+（2-y）*x+x^2）-沃尔夫迪特·朗2010年12月15日
O.g.f.带前导零的列k（Riordan数组，请参见NAME）：（1/（1+x））*（x/（1+x）^2）^k，k>=0-沃尔夫迪特·朗2010年12月15日
Riordan数组的Z和A序列的递归。请参阅下面的W.Lang链接A006232号以获取详细信息和参考。
T（n，0）=-1*T（n-1,0），n>=1，来自Z序列的o.g.f.-1（平凡结果）。
T（n，k）=和{j=0..n-k}A（j）*T（n-1，k-1+j），n>=k>=1，其中A（j）：=A115141号（j） =[1，-2，-1，-2，-5，-14，…]，j>=0（o.g.f.1/c（x）^2A000108号（加泰罗尼亚语）o.g.f.c（x））。（完）
T（n，k）=-2*T（n-1，k）+T（n-1，k-1）-T（n-2，k），T（0,0）=T（1,1）=1，T（1,0）=-1，如果k<0或如果k>n-菲利普·德尔汉姆2012年3月19日
k列>=0的Boas-Buck型重现性（见2017年8月10日的评论A046521号带参考）：T（n，k）=（1+2*k）/（n-k）-沃尔夫迪特·朗2020年6月3日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1：-1 1
2: 1 -3 1
3: -1 6 -5 1
4: 1 -10 15 -7 1
5: -1 15 -35 28 -9 1
6: 1 -21 70 -84 45 -11 1
7: -1 28 -126 210 -165 66 -13 1
8: 1 -36 210 -462 495 -286 91 -15 1
9: -1 45 -330 924 -1287 1001 -455 120 -17 1
10: 1 -55 495 -1716 3003 -3003 1820 -680 153 -19 1
15=温度（4.2）=1*6+（-2）*（-5）+（-1）*1。
（0，-1，0，-1,0,0，…）DELTA（1，0,1，-1，0,0…）开始：
1
0, 1
0, -1, 1
0, 1, -3, 1
0, -1, 6, -5, 1
0、1、-10、15、-7、1
n=3的行多项式表示为x^2:S（6，x）=-1+6*x^2-5*x^4+1*x^6，切比雪夫S多项式。请参阅上面的评论-沃尔夫迪特·朗2012年12月17日
Boas-Buck型复发：-35=T（5,2）=（5/3）*（-1*1+1*（-5）-1*15）=-3*7=-35-沃尔夫迪特·朗2020年6月3日
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MAPLE公司
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RiordanSquare（（1-sqrt（1-4*x））/（2*x），10）：
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数学
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
@缓存函数
如果n<0：返回0
如果n=0：如果k=0则返回1，否则返回0
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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159681英镑
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| 递归的一般形式是两个方程问题的a（j）、b（j）和n（j）解：5*n（j。 |
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+10
2
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0, 24, 3432, 487344, 69199440, 9825833160, 1395199109304, 198108447688032, 28130004372591264, 3994262512460271480, 567157146764985958920, 80532320578115545895184, 11435022364945642531157232, 1623692643501703123878431784, 230552920354876897948206156120
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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链接
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配方奶粉
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a（j）递推式为a（1）=1，a（2）=11，a（t+2）=12*a（t+1）-a（t），从而得出项1，11，131，1561。。。(A077417号).
b（j）递推式为b（1）=1，b（2）=13，b（t+2）=12*b（t+1）-b（t），从而得出项1，13，155，1847。。。(A077416号).
n（j）递归是n（0）=n（1）=0，n（2）=24，n（t+3）=143*（n（t+2）-n（t+1））+n（t），结果是项0，0，24，3432，487344。。。（此序列）。
总尺寸：24*x^2/（（1-x）*（1-142*x+x^2））-R.J.马塔尔2009年4月20日
a（n）=（-12+（6+sqrt（35））*（71+12*sqrt-科林·巴克，2016年7月26日
a（n）=（6/35）*（切比雪夫U（n，71）-141*切比雪夫U（n-1，71）-1）-G.C.格鲁贝尔2022年9月27日
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MAPLE公司
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对于从1乘2到100000的a，做b:=sqrt（（7*a*a-2）/5）：如果（trunc（b）=b），则
n： =（a*a-1）/5:La:=[op（La），a]：Lb:=[ot（Lb），b]：Ln:=[op（Ln，n]：结束条件：结束do：
#第二个程序
seq（（6/35）*（简化（切比雪夫U（n，71）-141*ChebyshevU（n-1，71））-1），n=1..30）#G.C.格鲁贝尔2022年9月27日
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数学
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线性递归[{143，-143，1}，{0，24，3432}，30]（*或*）系数列表[Series[24*x^2/（（1-x）*（1-142*x+x^2）），{x，0，30}]，x](*G.C.格鲁贝尔2018年6月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）concat（0，Vec（-24*x^2/（（x-1）*（x^2-142*x+1））+O（x^20））\\科林·巴克，2016年7月26日
（PARI）a（n）=圆形（（-12+（6+sqrt（35））*（71+12*sqrt（35））^（-n）-（-6+sqrt（35））*（71+12*sqrt（35））^n）/70）\\科林·巴克2016年7月26日
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），30）；[0]cat系数（R！（24*x^2/（（1-x）*（1-142*x+x^2）））//G.C.格鲁贝尔，2018年6月3日
（SageMath）[（6/35）*（-1+切比雪夫_U（n，71）-141*切比雪夫_U（n-1，71）），针对范围（1，30）内的n]#G.C.格鲁贝尔2022年9月27日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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