搜索： a074909-编号：a074909
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 0, 1, 0, 3, 1, 0, 6, 4, 1, 0, 10, 10, 5, 1, 0, 15, 20, 15, 6, 1, 0, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 0, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 0, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 0, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 0, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,6
|
|
|
评论
|
对于伯努利数，不包括B（1）。
B（n）通过以下公式计算
B（0）=1；
B（0）+0=1；
B（0）+0+3*B（2）=3/2；
B（0）+0+6*B（2）+4*B（3）=2；
等。
伯努利数列有无穷大。它们的形式
B（n，q）=1，q，1/6，0，-1/30，0，1/42，0，-1-30，0，5/66，0。
这促使提出（独立于q）序列Bernoulli（n+2）：
B（n+2）=1/6，0，-1/30，0，1/42，0，-1-30，0，5/66。。。及其逆二项式变换。请参见A190339号.
|
|
|
参考文献
|
雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），阿尔斯·康普坦迪（Ars Conjectandi）（1713年）。
|
|
|
链接
|
|
|
|
例子
|
1,
1, 0,
1, 0, 3,
1, 0, 6, 4,
1, 0, 10, 10, 5,
1, 0, 15, 20, 15, 6,
1, 0, 21, 35, 35, 21, 7,
等。
|
|
|
数学
|
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A007318号,A074909号,A026741号,A004001号,A000295号,A130103号,A008292号,A173018型,A027641号/A027642号,A164555号/A027642号,A176327号/A176289号.
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1、1、2、1、5、7、1、9、28、33、1、14、74、181、191、1、20、159、637、1333、1297、1、27、300、1767、5906、11029、10063、1、35、517、4190、20256、59324、101351、87669、1、44、833、8873、58339、244125、645146、1024949、847015、1、54、1274、17241、147680
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
有关应用于三角数组或多项式序列的一元运算“增广”的介绍，请参见A193091号.
|
|
|
链接
|
|
|
|
例子
|
1
1...2
1…5….7
1...9....28...33
1...14...74...181...191
|
|
|
数学
|
p[n_，k_]：=二项式[n+1，k]；
m[n_]：=表[如果[i<=j，p[n+1-i，j-i]，0]，{i，n}，{j，n+1}]
表格[m[4]]
w[0,0]=1；w[1,0]=p[1,0]；w[1,1]=p[1,1]；
v[0]=w[0,0]；v[1]={w[1,0]，w[1,1]}；
v[n]：=v[n-1].m[n]
扁平[表格[v[n]，{n，0，8}]]
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 0, 2, 0, 1, 3, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 4, 6, 5, 0, 1, 5, 10, 10, 6, 0, 1, 6, 15, 20, 15, 7, 0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 8, 0, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 9, 0, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 10, 0, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 11
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
三角形的行和=2^n。
三角形T（n，k）由（0，1/2，1/2，0，0，0，0，0，0，0，…）Δ（2，-1/2，1/2，0，0，0，0，0，0，…）给出，其中Δ是A084938号. -菲利普·德尔汉姆2012年3月25日
|
|
|
参考文献
|
康拉德·克诺普，《函数理论的要素》，多佛，1952年，第117-118页。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：（1-x）/（1-x-2*y*x+y*x^2+y^2*x^2）-菲利普·德尔汉姆2012年3月25日
T（n，k）=T（n-1，k）+2*T（n-l，k-1）-T（n-2，k-1-菲利普·德尔汉姆2012年3月25日
|
|
|
例子
|
{1} ，
{0, 2},
{0, 1, 3},
{0, 1, 3, 4},
{0, 1, 4, 6, 5},
{0, 1, 5, 10, 10, 6},
{0, 1, 6, 15, 20, 15, 7},
{0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 8},
{0, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 9},
{0, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 10},
{0, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 11}
...
|
|
|
数学
|
t2[n_，m_]=如果[m-1<=n，二项式[n，m-1]，0]；
O2=表[表[如果[n==m，t2[n，m]+1，t2[n，m]，{m，0，n}]，{n，0，10}]；
压扁[O2]
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 2, 4, 7, 3, 8, 19, 15, 4, 16, 47, 52, 26, 5, 32, 111, 155, 110, 40, 6, 64, 255, 426, 385, 200, 57, 7, 128, 575, 1113, 1211, 805, 329, 77, 8, 256, 1279, 2808, 3556, 2856, 1498, 504, 100, 9, 512, 2815, 6903, 9948, 9324, 5922, 2562, 732, 126, 10
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
斩首帕斯卡三角形的二项式变换(A074909号)作为矩阵。（斩首的帕斯卡矩阵删除了1的最右边边界。）
T（n，k）=和{j=0..n}二项式（n，j）*二项式。
T（n，k）=2^（n-k）*二项式（n+1，k）+（2^（n-k）-1）*二项式（n，k-1）。
总和{k=0..层（n/2）}T（n-k，k）=A106515号（n） 。（结束）
|
|
|
例子
|
三角形的前几行是：
1;
2, 2;
4, 7, 3;
8, 19, 15, 4
16, 47, 52, 26, 5;
32, 111, 155, 110, 40, 6;
64, 255, 426, 385, 200, 57, 7;
128, 575, 1113, 1211, 805, 329, 77, 8;
256, 1279, 2808, 3556, 2856, 1498, 504, 100, 9;
...
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
T[n_，k_]=2^（n-k）*二项式[n+1，k]+（2^（n-k）-1）*二项式[n，k-1]；
表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2021年8月5日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（岩浆）
A074909号：=func<n，k|k lt 0或k gt n选择0其他二项式（n+1，k）>；
（鼠尾草）
定义T（n，k）：返回2^（n-k）*二项式（n+1，k）+（2^，n-k）-1）*二项式（n，k-1）
压扁（[[T（n，k）代表k in（0..n）]代表n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2021年8月5日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, -1, 2, -2, 3, 3, -3, 4, 6, 4, -4, 5, 10, 10, 5, -5, 6, 15, 20, 15, 6, -6, 7, 21, 35, 35, 21, 7, -7, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, -8, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, -9, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, -10
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
从B（0）=1开始，B（1）=1/2的伯努利数B（n）是这样的
1*B（0）=1
-1*B（0）+2*B（1）=0->B（1）=1/2
-2*B（0）+3*B（1）+3*C（2）=0-->B（2）=1/6
-3*B（0）+4*B（1）+6*B（2）+4*C（3）=0-->B（3）=0
-4*B（0）+5*B（1）+10*B（2）+10*1B（3）+5*C（4）=0-->B（4）=-1/30等。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，k）=A074909号（n，k）对于n>0和k>0，T（0,0）=1，T（n，0）=-n对于n>0。
|
|
|
例子
|
a（n）三角形为a：
1
-1 2
-2 3 3
-3 4 6 4
-4 5 10 10 5
-5 6 15 20 15 6
-6 7 21 35 35 21等。
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000027号
|
| 正整数。也称为自然数、整数或计数，但这些术语不明确。
（原名M0472 N0173）
|
|
+10
2046
|
|
|
|
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
a（n）是最小的正整数，它与单调递增且满足a（a（n））=n的序列一致（参见。A007378号).
在没有两点重合的情况下，在直线上定义一个总体布置的点的数量。然后，当假定偏移量为0时，这些是由直线上一般排列的n个点定义的区域数。例如，a（0）=1，因为使用任何点都不会离开一个区域。序列满足递归a（n）=a（n-1）+1。这有以下几何解释：假设总布置中已经有n-1个点，从而定义了n-1点可以在直线上获得的最大区域数，现在总布置中又增加了一个点。然后它将不与其他点重合，并充当分隔墙，从而在已有的a（n-1）=（n-1。请参阅以下评论A000124号用于类似解释Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日
序列a（n）=n（对于n=1,2,3）和a（n）=n+1（对于n=4,5，…）给出了半群I_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中I_n和S_n表示[n]上的对称逆半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
序列a（n）=n（对于n=1,2），a（n”）=n+1（对于n=3）和a（n“）=n+2（对于n=4,5，…）给出了半群PT_n\T_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和T_n表示[n]上的部分变换半群和变换半群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
“上帝创造了整数；其他一切都是人类的工作。”这句著名的引语是利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）1886年在柏林自然福舍尔-弗萨姆姆隆（Berliner Naturforscher-Versammlung）的演讲中所说的“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht，alles andere ist Menschenwerk”的翻译。该声明的第一次发表可能是在海因里希·韦伯（Heinrich Weber）的《利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）》（Jahresberichte D.M.V.2（1893）5-31）中-克拉克·金伯利2007年7月7日
写作A000027号作为N，也许N X N和N之间最简单的一对一对应关系是：f（m，N）=（（m+N）^2-m-3n+2）/2。其逆函数由I（k）=（g，h）给出，其中g=k-J（J-1）/2，h=J+1-g，J=楼层（（1+sqrt（8k-7））/2）。因此，I（1）=（1,1），I（2）=（1,2），I（3）=（2,1），依此类推；映射I通过连续的反对偶填充第一象限晶格-克拉克·金伯利2008年9月11日
a（n）也是前n个奇数整数的平均值-伊恩·肯特2008年12月23日
这些也是2个粗糙数：没有素因子小于2的正整数-迈克尔·波特2009年10月8日
素数p为a（p）=p的全乘法序列。素数p为a（p）=a（p-1）+1的全乘法序列-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年10月18日
自然数的三角形T（k，j），按行读取，其中T（k、j）=二项式（k，2）+j=（k^2-k）/2+j，其中1<=j<=k。换句话说，a（n）=n=二项法（k，2中）+j，k是最大整数，因此二项式。例如，T（4,1）=7，T（4.2）=8，T（4.3）=9，T（4.4）=10。注意T（n，n）=A000217号（n） ，第n个三角形数-丹尼斯·沃尔什2009年11月19日
Hofstatter-连续序列（参见A004001号)：a（n）=a（a（n-1））+a（n-a（n-1）），其中a（1）=1，a（2）=2-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年12月11日
由a（2n）=r*a（n），a（2n+1）=a（n）+a（n+1）生成，r=2；在无限集合中，中所示数组的第2行A178568号. -加里·亚当森2010年5月29日
1/n=连分数[n]。设barover[n]=[n，n，n…]=1/k。然后k-1/k=n。示例：[2,2,2，…]=（sqrt（2）-1）=1/k，其中k=。则2=k-1/k-加里·亚当森2010年7月15日
1 2 4 7 ...
3 5 8 12 ...
6 9 13 18 ...
10 14 19 25 ...
T（n，k）=n+（n+k-2）*（n+k-1）/2。请参见A185787号用于基于T的序列列表，例如行、列、对角线和子数组。（结束）
log（2）的Maclaurin级数的分母为1-1/2+1/3-1/4+-穆罕默德·阿扎里安，2011年10月13日
作为伯努利数B_n的函数（参见。A027641号：（1，-1/2，1/6，0，-1/30，0，1/42，…））：让V=B_n的变量，将（-1/2）更改为（1/2）。然后是三角形A074909号（被斩首的帕斯卡三角形）*[1，1/2，1/6，0，-1/30，…]=向量[1，2，3，4，5，…]-加里·亚当森2012年3月5日
对于该序列，广义连分式a（1）+a（1）/（a（2）+a（2）/（a（3）+a（3）/（a（4）+…）），评估为1/（e-2）=A194807号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年1月20日
a（n）是长度n同时避免经典意义上的213、231和321的排列数，这些排列是递增一元二叉树的宽度第一搜索读取单词。有关更多详细信息，请参阅避免231的排列条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日
a（n）也是在经典意义上同时避免213、231和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见2004年2月有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
a（n）=最小k，使得2*Pi-和{h=1..k}1/（h^2-h+3/16）<1/n-克拉克·金伯利2014年9月28日
a（n）=最小k，使得Pi^2/6-和{h=1..k}1/h^2<1/n-克拉克·金伯利2014年10月2日
螺旋结S（2，k，（1））的行列式。a（k）=det（S（2，k，（1）））。这些结也是环面结T（2，k）-瑞恩·斯蒂斯2014年12月15日
a（n）是n+2组成n个部分的数量，避开第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
不符合Benford定律【Berger-Hill，2017年】-N.J.A.斯隆2017年2月7日
对于n>=3，a（n）=n是在n个单位边的正方形中绘制的不规则八角形的最小面积，其边与轴平行，有4个顶点与正方形的4个顶点重合，其余4个顶点具有整数坐标。请参阅后勤事务链接-米歇尔·马库斯，2018年4月28日
a（n+1）是由长度为n的链的不相交并集定义的偏序集上的行运动顺序-尼克·迈尔斯，2018年6月8日
使用Wolfram编号方案中的规则50、58、114、122、178、186、206、220、238、242、250或252，第n代一维元胞自动机中的1的数量以单个1开始-弗兰克·霍尔斯坦，2019年3月25日
（1，2，3，4，5，…）是（1，-2，3，-4，5，..）的第四个INVERT变换-加里·亚当森2019年7月15日
|
|
|
参考文献
|
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第1页。
T.M.Apostol，《数论中的模函数和Dirichlet级数》，Springer-Verlag，1990年，第25页。
W.Fulton和J.Harris，《表征理论：第一门课程》（1991年），第149页。[来自列奥尼德·贝德拉图克2010年1月4日]
I.S.Gradstein和I.M.Ryshik，级数、积和积分表，第1卷，Verlag Harri Deutsch，1981年。
R.E.Schwartz，《你可以指望怪物：前100个数字及其特征》，A.K.Peters和MAA，2010年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
A.Berger和T.P.Hill，什么是本福德定律？、通知、Amer。数学。《社会》，64:2（2017），132-134。
A.Breiland、L.Oesper和L.Taalman，p-环面结的着色类，在线密苏里数学杂志。科学。，21 (2009), 120-126.
N.Brothers、S.Evans、L.Taalman、L.Van Wyk、D.Witchzak和C.Yarnall，螺旋结密苏里州数学杂志。科学。，22 (2010).
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 参见第371页。
比萨的莱昂纳多·皮萨诺，初始术语说明摘自《计算之书》，1202年（大卫·辛马斯特摄）。
G.Pfeiffer，计算传递关系《整数序列杂志》，第7卷（2004年），第04.3.2条。
|
|
|
配方奶粉
|
另一个g.f.：求和{n>0}φ（n）*x^n/（1-x^n）（阿波斯托）。
通用：x/（1-x）^2。例如：x*exp（x）。a（n）=n.a（-n）=-a（n）。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2）），其中f（u，v）=u^2-v-4*u*v-迈克尔·索莫斯2006年10月3日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）；a（1）=1，a（2）=2。a（n）=1+a（n-1）-菲利普·德尔汉姆2008年11月3日
通用公式：x*产品{j>=0}（1+x^（2^j））^2=x*（1+2*x+x^2）*（1=2*x^2+x^4）*（2+2*x^4+x^8）*…=x+2x^2+3x^3+-加里·亚当森2012年6月26日
a（n）=det（二项式（i+1，j），1<=i，j<=n）-米尔恰·梅卡2013年4月6日
例如：x*E（0），其中E（k）=1+1/（x-x^3/（x^2+（k+1）/E（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月3日
a（n）=产品{k=1..n-1}2*sin（Pi*k/n），n>1。
a（n）=乘积_{k=1..n-1}（2*sin（Pi*k/（2*n）））^2，n>1。
这些恒等式用于计算正n边形中某些线的长度比的乘积。关于第一个恒等式，请参阅Gradstein-Ryshik参考文献，第62页，第1.392页。将第一个因子移到左边，并取极限x->0（L'Hópital）。第二行位于第一行之后。感谢塞普·马斯托宁他让我考虑了n-gon长度的产品。（结束）
a（n）=和{j=0..k}（-1）^（j-1）*j*二项式（n，j）*二项法（n-1+k-j，k-j），k>=0-米尔恰·梅卡2014年1月25日
a（n）=和{k=1..n^2+2*n}1/（平方（k）+sqrt（k+1））-皮埃尔·卡米，2014年4月25日
a（n）=地板（1/sin（1/n））=地板-克拉克·金伯利2014年10月8日
a（n）=楼层（1/（对数（n+1）-对数（n）））-托马斯·奥多夫斯基2014年10月10日
a（k）=det（S（2，k，1））-瑞恩·斯蒂斯2014年12月15日
a（n）=1/（1/（n+1）+1/（n+1-皮埃尔·卡米2015年1月22日
a（n）=总和{m=0..n-1}斯特林1（n-1，m）*Bell（m+1），对于n>=1。这对应于贝尔（m+1）=Sum_{k=0..m}斯特林2（m，k）*（k+1），对于m>=0，从斯特林2*斯特林1=单位矩阵的事实来看A048993美元,A048994号和A000110号. -沃尔夫迪特·朗，2015年2月3日
a（n）=和{k=1..2n-1}（-1）^（k+1）*k*（2n-k）。此外，令人惊讶的是，a（n）=Sum_{k=1..2n-1}（-1）^（k+1）*k^2*（2n-k）^2-查理·马里恩2016年1月5日
通用公式：x/（1-x）^2=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^2=（1+2x+3x^2+2x^3+x^4）-加里·亚当森2017年1月11日
a（n）=地板（1/（Pi/2-弧（n）））-克拉克·金伯利2020年3月11日
a（n）=和{k=1..n}φ（gcd（n，k））/φ（n/gcd（n，k））-理查德·奥尔勒顿2021年5月9日
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（岩浆）[1..100][n:n；
（PARI）{a（n）=n}；
（R） 1:100
（外壳）序列1 100
（哈斯克尔）
a000027=id
（Maxima）临时名单（n，n，1，30）/*马丁·埃特尔2012年11月7日*/
（Python）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000007号
|
| ｛0｝的特征函数：a（n）＝0^n。
（原名M0002）
|
|
+10
1003
|
|
|
|
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,1
|
|
|
评论
|
将偏移量更改为1可以得到算术函数a（1）=1，n>1时a（n）=0，以及Dirichlet乘法的单位函数（参见Aposol）-N.J.A.斯隆
将偏移量更改为1将使其成为1的十进制扩展-N.J.A.斯隆2014年11月13日
Pascal三角形第n行的交替和给出了0的特征函数，a（n）=0^n-丹尼尔·福格斯2010年5月25日
从1 X n栅格的西北角到西南角的最大自空行走次数-肖恩·欧文，2010年11月19日
历史上，对于0^0=1是否存在一些分歧。绘制x^0似乎支持这一结论，但绘制0^x表明0^0=0。Euler和Knuth支持0^0=1。对于某些计算器，0^0会触发错误，而在Mathematica中，0^ 0是不确定的-阿隆索·德尔·阿特2011年11月15日
将偏移量更改为1的另一个结果是，该序列可以描述为n的除数d的Moebius mu（d）之和-阿隆索·德尔·阿特2011年11月28日
按照约定0^0=1，0^n=0表示n>0，序列a（n）=0^|n-k|，当n=k时等于1，当n>=0时为0，具有g.f.x^k。A000007号是k=0的情况-乔治·约翰逊2013年3月8日
|
|
|
参考文献
|
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第30页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。
|
|
|
链接
|
Donald E.Knuth，关于符号的两个注释，arXiv:math/9205211[math.HO]，1992年。请参阅0^0上的第6页。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=Sum_{k=0..n}exp（2*Pi*i*k/（n+1））是单位根的和-弗兰兹·弗拉贝克2012年11月9日
a（n）=（1-（-1）^（2^n））/2-卢斯·埃蒂纳2015年5月5日
|
|
|
MAPLE公司
|
规范：=[A，{A=Z}]：seq（组合结构[count]（规范，大小=n+1），n=0..20）；
|
|
|
数学
|
表[如果[n==0，1，0]，{n，0，99}]
表[Boole[n==0]，｛n，0，99｝](*迈克尔·索莫斯2012年8月25日*）
联接[{1}，LinearRecurrence[{1{，{0}，102]](*雷·钱德勒2015年7月30日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=！n}；
（岩浆）[1]猫[0:n in[1..100]]；//谢尔盖·哈勒，2006年12月21日
（哈斯克尔）
a000007=（0^）
a000007_list=1:重复0
（Python）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000670号
|
| Fubini数：n个标记元素的优先排列数；或n个标记元素的弱阶数；或[n]的有序分区数。
（原名M2952 N1191）
|
|
+10
549
|
|
|
|
1, 1, 3, 13, 75, 541, 4683, 47293, 545835, 7087261, 102247563, 1622632573, 28091567595, 526858348381, 10641342970443, 230283190977853, 5315654681981355, 130370767029135901, 3385534663256845323, 92801587319328411133, 2677687796244384203115
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
n名选手在一场比赛中排名的方式，考虑到并列的可能性。
n点上的非对称广义弱阶数。
也称为订购的贝尔号码。
弱序是一种可传递且完全的关系。
被Comtet称为Fubini数：当切换多个和的求和顺序时，计算Fubini定理中的公式-奥利维尔·杰拉德2002年9月30日[以意大利数学家Guido Fubini（1879-1943）命名]-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月17日]
如果这些点没有标记，那么答案是a（0）=1，a（n）=2^（n-1）（参见。A011782号).
还有标记的（1+2）-自由偏序集的数量Detlef Pauly，2003年5月25日
此外，以空集开始并以n个不同对象的集合结束的子集链的数量-安德鲁·尼德迈尔2004年2月20日
斯特林变换A007680号（n） =[3,10,42216，…]表示[3,13,75541，…]。
a（n）=[1,3,13,75，…]的斯特林变换是A083355美元（n） =[1,4,23175，…]。
斯特林变换A000142号（n） =[1,2,6,24120，…]是a（n）=[1,3,13,75，…]。
斯特林变换A005359号（n-1）=[1,0,2,0,24,0，…]是一个（n-l）=[1,1,3,13,75，…]。
斯特林变换A005212号（n-1）=[0,1,0,6,0120,0，…]是一个（n-1）=[0,1,3,13,75，…]。
（结束）
未约化分母收敛到log（2）=lim_{n->infinity}n*a（n-1）/a（n）。
对于n>=h，a（n）与a（n+（p-1）p^（h-1））（mod p^h）同余（参见Barsky）。
1/（1-x^2）的斯特林-伯努利变换-保罗·巴里2005年4月20日
这是一系列公平抛硬币过程中，在第一个头部之前，尾部数量的概率分布的矩序列。具有相同概率分布的累积量序列为A000629号该序列是删除该序列第一项的结果的两倍迈克尔·哈迪（Hardy（AT）math.umn.edu），2005年5月1日
其中p（n）=n的整数分区数，p（i）=n第i个分区的部分数，d（i）=n第i分区的不同部分数，pp（i，j）！））*（p（i）/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！））-托马斯·维德2005年5月18日
[n]的子集之间的链数。新公式中的总和项是2006年7月1日长度为k.-Micha Hofri（Hofri（AT）wpi.edu）的链的数量
在类幂和问题中，也作为矩阵求逆的第一列发生。考虑求解方程Sum_{k=1..n}k^m=（k+1）^m的任意固定自然数m>2的问题。Erdős猜想n，m>2没有解。设D是D[m，n]的差矩阵：=Sum_{k=1..n}k^m-（k+1）^m。然后，该矩阵D的行的生成函数构成n中的一组多项式（用于沿列改变n）和定义第m行的第m个多项式。设GF_D是这组多项式的系数矩阵。然后，当前序列是GF_D^-1的第一列（无符号）-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月1日
假设A=log（2），D是D/dx，f（x）=x/（exp（x）-1），我们得到了A（n）=（n！/2*A^（n+1））和{k=0..n}（A^k/k！）D^n f（-A），当n趋于无穷大时，它给出了Wilf的渐近值。等价地，D^n f（-a）=2*（a*a（n）-2*a（n-1））Martin Kochanski（mjk（AT）cardbox.com），2007年5月10日
对A（n）的一种更为透明的解释是，当n是n个不同素数的乘积时，n的“因子序列”的数量。长度为k的N的因子序列的形式为1=x（1），x（2）。。。，x（k）=N，其中{x（i）}是一个递增序列，使得x（i）除以x（i+1），i=1,2，。。。，k-1。例如，N=70具有13个因子序列{1,70}、{1,2,70}，{1,5,70}（1，7，70}）、{1,10,70%}（2，1，14，70）、{2,35,70}（3，7，70），{1,2,10,70}，{1,2,14,70}.、{1,5,10,70}:、{1,7,10,70}:-马丁·格里菲斯2009年3月25日
如果f（x）=Sum_{n>=0}c（n）*x^n对每个x收敛，则Sum__{n>=0}f（n*x）/2^1/（2-exp（x））=例如f-米克洛斯·克里斯托夫2009年11月2日
在这个序列中，大于3的素数（13，541，47293，…）的形式似乎是4n+1-保罗·穆尔贾迪2011年1月28日
修正生成函数A（x）=1/（2-exp（x））-1=x+3*x^2/2！+13*x^3/3！+。。。满足自治微分方程A'=1+3*A+2*A^2，初始条件A（0）=0。应用[Bergeron等人，定理1]可以对这个序列进行两种组合解释：（A）A（n）给出了n个顶点上平面增加的0-1-2树的数量，其中超度数1的顶点有3种颜色，超度数2的顶点有2种颜色。（B） a（n）给出了n个顶点上非平面增加的0-1-2树的数量，其中超度数1的顶点有3种颜色，超度数2的顶点有4种颜色。示例如下-彼得·巴拉2011年8月31日
a（n）=正整数字母表中长度为n的单词数，单词中出现的字母构成正整数的初始段。示例：a（2）=3计数11、12、21。映射“包含i，1<=i<=n的块的记录位置”是从[n]上的集合列表到这些单词的双射。（[2]上的集合列表为12、1/2、2/1。）-大卫·卡伦2013年6月24日
这个序列是数据库最早使用的主题之一。高德纳在1973年《手册》出版之前，他有一份数据库的计算机打印件，写信给N.J.A.斯隆1970年5月18日，他说：“我刚刚利用你的序列索引取得了第一次真正的‘成功’，发现了一个经过Cayley处理的序列，结果发现它与另一个与计算机排序有关的序列（先验非常不同）是相同的。”A000670号在1973年第3卷《计算机编程艺术》第5.3.1节的练习3中进行了讨论-N.J.A.斯隆2014年8月21日
Ramanujan给出了一种求方程1=x+a2*x^2+的解x的连分数的方法。。。并使用log（2）作为1=x+x^2/2+x^3/6+的解。。。作为例子，给出了简化收敛序列为0/1，1/1，2/3，9/13，52/75，375/541。。。分母的序列是这个序列，而A052882号是分子-迈克尔·索莫斯2015年6月19日
对于n>=1，a（n）是Dyck路径的数量(A000108号)具有（i）n+1个峰值（UD），（ii）无UUDD，以及（iii）在小于路径高度的每个非负高度处至少有一个谷顶点。例如，a（2）=3计算UDUDUD（高度为1，高度为0时有2个山谷顶点）、UDUUDUD、UUDUDD。在“手套”或“手风琴”双射下，这些路径对应于凯利在1859年参考文献中统计的有序树，在凯利的树中进行无害的“长枝成叶”修剪后。（Cayley让读者从小n的例子中推断出他所说的树，也许还有他的证明。）-大卫·卡伦2015年6月23日
固定一个集合X，并定义X上的两个距离函数d，d，当d（X_1，y_1）<=d（X_2，y_2）iff d（X_1,y_1。
现在假设我们将一个函数f从无序的X元素对固定到{1，…，n}。然后选择正实数d_1<=…<=d_n使得d（x，y）=d_{f（x，y）}；所有可能的di选择集使得这是X上距离函数的n参数族（当n是三角形数时，这种族最简单的例子是：当发生这种情况时，写n=（k2）。那么当|X|=k时，X上所有距离函数的集合就是这样一个族。）这种距离函数的数量，直到公制等价，是a（n）。
很容易看出，一类等价的距离函数在{d_1，…，d_n}上产生了一个定义明确的弱阶。为了确保任何弱阶都是可实现的，请从整数集合{n-1，…，2n-2}中选择距离，以便自动满足三角形不等式。（结束）
a（n）是n个节点上避免模式213、312和321的根标记森林的数量-凯西·阿彻，2018年8月30日
还有对n个变量（x_1，…，x_n）的语义不同赋值的数量，包括同时赋值。从Joerg Arndt（2014年3月18日）给出的示例中，可以通过替换
“{i}”由“x_i:=表达式_i（x_1，…，x_n）”，
“{i，j}”由“x_i，x_j:=表达式_i（x_1，..，x_n），表达式_j（x_1，…，x_n）”表示，即同时赋值给两个不同的变量（i<>j），
类似于对更多变量的同时赋值，以及
“<”by“；”，即顺序构造函数。这些例子与第一条评论中的“n个竞争者在竞争中排名的方式数量，考虑到并列的可能性”直接相关。
在此基础上，通过对n个初始值上的n个不同平均函数进行迭代，得到了不同平均定义的数量。示例：
AGM（x1，x2）=AGM（x2，x1）由{算术平均值，几何平均值}表示，即在任何迭代步骤中同时赋值；
阿基米德方案（对于Pi）由{几何平均}<{调和平均}表示，即在任何迭代步骤中进行顺序赋值；
两个值的几何平均值也可以用{算术平均值，调和平均值}来观察；
AGHM（定义见A319215型)由{算术平均值、几何平均值、调和平均值}表示，即同时赋值，但在AGHM方案中还有12种其他语义不同的赋值方式。
通过应用功率手段（也称为持有者手段），这可以扩展到n的任何值。（结束）
n阶置换面体中所有维度的总面数。例如，3阶置换面（六边形）有6个顶点+6条边+1个2面=13个面，4阶置换面的（截断八面体）有24个顶点+36条边+14个2面+1个3面=75个面。A001003级是关联面体的类似序列-诺姆·齐尔伯格2019年12月8日
奇数多项式系数个数N/（a_1！*a_2！*…*a_k！）。这里每个a_i都是正的，和{i}a_i=N（总共是2^{N-1}多项式系数），其中N是任何二元展开式为n1的正整数-施瑞德，2022年4月5日（2022年10月19日编辑）
猜想：设k为正整数。通过减少a（n）模k得到的序列最终是周期的，周期除以φ（k）=A000010美元（k） 。例如，模16，我们得到序列[1，1，3，13，11，13，11，13，11，13，…]，表观周期为2，从a（4）开始。囊性纤维变性。A354242型.
更一般地，我们推测对于具有g（exp（x）-1）形式的例如f.的整数序列也具有相同的性质，其中g（x）是整数幂级数。（结束）
a（n）是形成[n]的置换然后选择其下降集的子集的方法的数目-杰弗里·克雷策2023年4月29日
|
|
|
参考文献
|
Mohammad K.Azarian，《几何系列》，第329题，《数学与计算机教育》，第30卷，第1期，1996年冬季，第101页。解决方案发表于1997年春季第31卷第2期，196-197页。
Norman Biggs、E.Keith Lloyd和Robin J.Wilson，图论1736-1936，牛津，1976年，第44页（p（x））。
Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第183页（见R_n）。
肯尼斯·布朗，《建筑》，施普林格出版社，1988年。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第228页。
Jean-Marie De Konink，《法定法西斯》，条目13，第4页，Ellipses，巴黎，2008年。
P.J.Freyd，《论海廷半晶格的尺寸》，预印本，2002年。
Ian P.Goulden和David M.Jackson，《组合计数》，John Wiley and Sons，纽约，1983年。
罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《具体数学》（Concrete Mathematics）。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994，练习7.44（第378、571页）。
Silvia Heubach和Toufik Mansour，《成分和单词组合学》，CRC出版社，2010年。
Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，Reading，MA，第3卷，1973年，第5.3.1节，问题3。
M.Muresan，广义Fubini数，研究中心。材料，第37卷，第1期（1985年），第70-76页。
Paul Peart，通过Stieltjes矩阵的Hankel行列式。《第三十一届东南组合数学、图论和计算国际会议论文集》（佛罗里达州博卡拉顿，2000年）。恭喜。数字。144 (2000), 153-159.
S.Ramanujan，塔塔基础研究所笔记本，孟买，1957年，第1卷，见第19页。
Ulrike Sattler，具有良好闭包性质的形式幂级数的可判定类，Diplorabeit im Fach Informatik，Erlangen-Nuernberg大学，1994年7月27日。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley），《枚举组合数学》，沃兹沃斯（Wadsworth），第1卷，1986年；参见示例3.15.10，第146页。
杰克·范德·埃尔森（Jack van der Elsen），《黑人与白人的转变》（Black and White Transformations），莎士比亚出版社，马斯特里赫特，2005年，第18页。
|
|
|
链接
|
康纳·阿尔巴赫（Connor Ahlbach）、杰里米·乌塞廷（Jeremy Usatine）和尼古拉斯·皮彭格（Nicholas Pippenger），禁止优惠安排，电子。J.Combina.，第20卷，第2期（2013年），第55页。
Jean-Christophe Aval、Valentin Féray、Jean-Chrestophe Novelli和Jean-Yves Thibon，拟对称函数作为Young图上的多项式函数，arXiv预印本arXiv:1312.2727[math.CO]，2013。
Jean-Christophe Aval、Adrien Boussicault和Philippe Nadeau，树状Tableaux《组合数学电子杂志》，第20卷，第4期（2013年），第34页。
拉尔夫·W·贝利，有限集的弱序数《社会选择与福利》，第15卷（1998年），第559-562页。
J.P.Barthelemy，有限集上总序数的渐近等价《离散数学》，第29卷，第3期（1980年），第311-313页。
Beáta Bényi和JoséL.Ramírez，S-限制集划分的一些应用，arXiv:1804.03949[math.CO]，2018年。
弗朗索瓦·贝杰隆、菲利普·弗拉乔莱和布鲁诺·萨维，增加树木的种类，J.C.Raoult（编辑），CAAP’92，代数和编程中的树讨论会，CAAP 1992，计算机科学讲稿，第581卷，施普林格，柏林，海德堡，1992，第24-48页；备用链路.
Nantel Bergeron、Laura Colmenarejo、Shu Xiao Li、John Machacek、Robin Sulzgruber、Mike Zabrocki、Adriano Garsia、Marino Romero、Don Qui和Nolan Wallach，超调和与Delta猜想的表示理论模型，2019年1月24日公开问题会议摘要，表示理论与（q，t）-组合数学的联系（19w5131），加拿大不列颠哥伦比亚省班夫。
Sara C.Billey、M.Konvalinka、T.K.Petersen、W.Slofstra和B.E.Tenner，Coxeter群中的抛物双陪集《离散数学和理论计算机科学》，提交日期：2016年。
奥利维尔·博迪尼（Olivier Bodini）、安托万·杰尼特里尼（Antoine Genitrini）和梅迪·奈玛（Mehdi Naima），等级Schröder树，arXiv:1808.08376[cs.DS]，2018年。
奥利维尔·博迪尼（Olivier Bodini）、安托万·杰尼特里尼（Antoine Genitrini）、塞西尔·梅勒（Cécile Mailler）和梅迪·奈玛（Mehdi Naima），进化过程中产生的严格单调树：组合和概率研究，hal-02865198[math.CO]/[math.PR]/[cs.DS]/[c.DM]，2020年。
S.Alex Bradt、Jennifer Elder、Pamela E.Harris、Gordon Rojas Kirby、Eva Reutercrona、Yuxuan（Susan）Wang和Juliet Whidden，单位间隔停车功能和r-Fubini数，arXiv:2401.06937[math.CO]，2024。参见第2页。
Florian Bridoux、Caroline Gaze-Maillot、Kévin Perrot和Sylvain Sené，布尔网络中极限环问题的复杂性，arXiv:2001.07391[cs.DM]，2020年。
A.凯利，关于树的分析形式理论IIPhil.Mag.，第18卷（1859年），第374-378页=数学。论文第4卷，第112-115页。
J.L.Chandon、J.LeMaire和J.Pouget，集合定义上的拟阶数，数学。科学。Humaines，第62卷（1978年），第61-80页。
格雷戈里·查特尔（Grégory Chatel）、文森特·皮劳（Vincent Pilaud）和薇薇安·彭斯（Viviane Pons），整数偏序集上的弱序，arXiv:1701.07995[math.CO]，2017年。
William Y.C.Chen、Alvin Y.L.Dai和Robin D.P.Zhou，避免长度排列的有序分区3，arXiv预印本arXiv:1304.3187[math.CO]，2013。
阿里·乔里亚（Ali Chouria）、弗拉德·弗洛林（Vlad-Florin）·奥盖医生（Drgoi）和珍妮·加布里埃尔·卢克（Jean-Gabriel Luque），递归定义的组合类和标记树，arXiv:2004.04203[math.CO]，2020年。
Mircea I.Circu，广义算术几何级数和的行列式《马特马蒂卡·维内佐拉纳协会》，第十八卷，第1期（2011年），第13页。
安德斯·克莱森和T.凯尔·彼得森，康威的餐巾问题阿默尔。数学。《月刊》，第114卷，第3期（2007年），第217-231页。
Pietro Codara、Ottavio M.D'Antona和Vincenzo Marra，Goedel逻辑中Ruspini分区的最佳逼近，《不确定性推理的符号和定量方法》，《计算机科学讲义》，第4724卷（2007年），第161-172页。
Pierluigi Contucci、Emanuele Panizzi、Federico Ricci-Tersenghi和Alina Sêrbu，民主的新维度：等级聚合问题中的平均主义，arXiv:140.6.7642[物理学.soc-ph]，2014年。
H.B.咖喱，逻辑替代分析《美国数学杂志》，第51卷，第3期（1929年），第363-84页；见第369页。
N.G.de Bruijn，关于结构的枚举组合结构，Nieuw Archief。voor Wisk.公司。，第11卷（1963年），第142-161页；见第150页。
福雷德里克·福韦（Frédéric Fauvet）、洛伊克·福西（Loíc Foissy）和多米尼克·曼雄（Dominique Manchon），有限拓扑的Hopf代数与模具组合，arXiv预印arXiv:1503.03822015
瓦伦丁·弗雷，循环包含-排除，arXiv预印本arXiv:1410.1772[math.CO]，2014。
菲利普·弗拉乔莱特（Philippe Flajolet）、斯特凡·格霍尔德（Stefan Gerhold）和布鲁诺·萨维（Bruno Salvy），关于对数、幂和第n素函数的非完整性，arXiv:math/0501379[math.CO]，2005年。
菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学, 2009; 见第109页。
Aviezri S.Fraenkel和Moshe Mor，大型字典的组合压缩和分区《计算机杂志》，第26卷（1983年），第336-343页。见表4和表5。
哈维·弗里德曼，具体数学不完全性：基本仿真理论希拉里·普特南（Hilary Putnam），《逻辑与数学》，《对逻辑的杰出贡献》，第9卷，施普林格，查姆，2018年，第179-234页。
弗洛伦特·福柯（Florent Foucaud）、拉尔夫·克拉斯（Ralf Klasing）和彼得·斯莱特（Peter J.Slater），图中的质心基，arXiv预印本arXiv:140.6.7490[math.CO]，2014。
沃尔夫冈·盖特鲍尔（Wolfgang Gatterbauer）和丹·苏西乌（Dan Suciu），概率数据库的近似提升推理，arXiv预印本arXiv:1412.1069[cs.DB]，2014。
沃尔夫冈·盖特鲍尔（Wolfgang Gatterbauer）和丹·苏西乌（Dan Suciu），标准关系数据库管理系统中近似提升推理的分离和传播《VLDB杂志》，第26卷，第1期（2017年2月），第5-30页；DOI 10.1007/s00778-016-0434-5。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳，Weyl偏序集的弱序，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018年。
Seyoum Getu、Louis W.Shapiro、Wen-jin Woan和Leon C.Woodson，如何猜测生成函数，SIAM J.离散数学。，第5卷，第4期（1992年），第497-499页。
罗伯特·吉尔，广义分划半格中的元素数《离散数学》，第186卷，第1-3期（1998年），第125-134页。参见示例1。
萨缪尔·吉拉乌多，幺半群的组合运算，arXiv预印本arXiv:1306.6938[math.CO]，2013。
曼弗雷德·戈贝尔，关于特殊置换不变轨道和项的个数，《工程应用代数》。，通信和通信。（AAECC 8），第8卷，第6期（1997年），第505-509页。
W.Steven Gray和Makhin Thitsa，系统互连与组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日。
O.A.总量，优惠安排阿默尔。数学。《月刊》，第69卷，第1期（1962年），第4-8页。
Marsden Jacques和Dennis Wong，弱订单的贪婪泛循环构造《算法和离散应用数学会议》（CALDAM 2020）：算法和离散实用数学，第363-370页。
Jacques Marsden、Dennis Wong和Kyounga Woo。恒定摊销时间内弱订单的格雷码生成，离散数学，弗吉尼亚州。343，第10号（2020），111992。
维特·杰利内克（Vít Jelínek）、艾达·坎特（Ida Kantor）、扬·肯切尔（Jan Kynčl）和马丁·坦瑟（Martin Tancer），关于排列的Möbius函数的增长，arXiv:1809.05774[math.CO]，2018年。
Dongseok Kim、Young Soo Kwon和Jaeun Lee，与有限图相关联的有限拓扑的枚举，arXiv预印本arXiv:1206.0550[math.CO]，2012。见第4.3条发件人N.J.A.斯隆2012年11月9日
Donald E.Knuth、John Riordan和N.J.A.Sloane，信件，1970年.
Ali Sinan Koksal、Yewen Pu、Saurabh Srivastava、Rastislav Bodik、Jasmin Fisher和Nir Piterman，由突变实验合成生物模型《第40届ACM SIGPLAN-SIGACT编程语言原则研讨会论文集》，2013年，第469-482页。
小松高雄（Takao Komatsu）和拉米雷斯（JoséL.Ramírez），不完全Fubini数的若干行列式，arXiv:1802.06188[math.NT]，2018年。
Germain Kreweras，联合问题的双重性《数学与科学》（Mathématiques et Sciences Humaines）第3期（1963年）：第31-41页。
Alex Kumjian、David Pask、Aidan Sims和Michael F.Whittaker，与高秩图相关的拓扑空间，arXiv预打印arXiv:1310.6100[math.OA]，2013。
埃利奥特·门德尔森，平局比赛，数学。Mag.，第55卷，第3期（1982年），第170-175页。
Moshe Mor和Aviezri S.Fraenkel，凯利排列，离散数学。，第48卷，第1期（1984年），第101-112页。
T.S.Motzkin，气缸和其他分类号的分类号，《组合数学》。交响乐团。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。[注释，扫描件]
托德·马伦，关于扩散变量Dalhousie大学（哈利法克斯，加拿大南部，2020年）。
罗杰·尼尔森（Roger B.Nelsen）和哈维·施密特（Harvey Schmidt，Jr.）。，发电机组中的链条，数学。Mag.，第64卷，第1期（1991年），第23-31页。
S.Nkonkobe和V.Murali，关于禁止优先安排的几个恒等式，arXiv预印本arXiv:1503.06173[math.CO]，2015。
J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon，一些三代数的多项式实现，程序。形式幂级数与代数组合数学2006（San-Diego，2006）；arXiv:math/0605061[math.CO]，2006年。
卡罗琳娜·奥克拉萨（Karolina Okrasa）和帕韦·鲁兹·沃斯基（Pawe Rz ewski），超图的相交边判别着色，arXiv:1804.10470[cs.DM]，2018年。
文森特·皮劳和维维安·彭斯，Permutrees树木，arXiv预印arXiv:1606.09643[math.CO]，2016-2017。
赫尔穆特·普罗丁格，有序斐波那契分区、加拿大。数学。牛市。26（1983），第3312-316号。MR0703402（84米：05012）。[见第312页F_n。
亚什·普里和托马斯·沃德，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1条。
Joe Sawada和Dennis Wong，一种有效的弱阶泛环构造，圭尔夫大学计算机科学学院（2019年），在夏威夷大学马诺分校第30届海岸组合数学会议上发表。
Joe Sawada和Dennis Wong。弱阶的有效泛循环构造，《离散数学》343.10（2020）：112022。[请注意，这与链接中提到的标题类似的内容不同。一个是论文，另一个是演讲。]
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量，arXiv:math/0307064[math.CO]，2003；订单，第21卷（2004年），第83-89页。
Daniel J.Velleman和Gregory S.Call，排列和密码锁，数学。Mag.，第68卷，第4期（1995年），第243-253页。
F.V.Weinstein，关于斐波那契分区的注记，arXiv:math/0307150[math.NT]，2003-2015（见第9页）。
赫伯特·S·威尔夫，生成函数学，第2版。，纽约学术出版社，1994年，第175页，等式5.2.6、5.2.7。
张彦，分级姿势的四种变体，arXiv预印本arXiv:1508.00318[math.CO]，2015。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=和{k=0..n}k！*StirlingS2（n，k）（而Bell数A000110号（n） =总和{k=0..n}箍筋S2（n，k））。
例如：1/（2-exp（x））。
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）*a（n-k），a（0）=1。
例如f.y（x）满足y'=2*y^2-y。
a（n）渐近于（1/2）*n*log_2（e）^（n+1），其中log_2（e）=1.442695…[Barthelemy80，Wilf90]。
对于n>=1，a（n）=（n！/2）*（log（2）+2 Pi ik）^（-n-1）的和{k=-无穷大..无穷大}-迪安·希克森
a（n）=（（x*d/dx）^n）（1/（2-x）），在x=1处评估-卡罗尔·彭森2001年9月24日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*k*箍筋2（n+1，k+1）*（1+（-1）^k）/2-保罗·巴里2005年4月20日
a（n）=和{k=0..n}k*（箍筋2（n+2，k+2）-箍筋2Micha Hofri（Hofri（AT）wpi.edu），2006年7月1日
递归：2*a（n）=（a+1）^n其中上标在二项式展开后转换为下标-让人联想到伯努利数“B_n=（B+1）^n.-马丁·科钱斯基（mjk（AT）cardbox.com），2007年5月10日
a（n）=（-1）^n*n！*拉盖尔（n，P（（.），2）），本影，其中P（j，t）是A131758号. -汤姆·科普兰2007年9月27日
关于超几何函数的公式，用Maple表示法：a（n）=超几何（[2,2…2]，[1，1…1]，1/2）/4，n=1,2…，其中在超几何函数中，有n个上参数都等于2，n-1个下参数都等于1，自变量等于1/2。例如：a（4）=evalf（hypergeom（[2,2,2,2]，[1,1,1]，1/2）/4）=75-卡罗尔·彭森2007年10月4日
伯努利数的类比。
我们进一步阐述了M.Kochanski的上述评论。
伯努利多项式B_n（x），n=0,1，。。。，由公式给出
(1)... B_n（x）：=和{k=0..n}二项式（n，k）*B（k）*x^（n-k），
其中B（n）表示伯努利数的序列B（0）＝1，
B（1）=-1/2，B（2）=1/6，B（3）=0。。。。
通过类比，我们将多项式{P_n（x）}n>=0的Appell序列与当前序列相关联，该序列由
(2)... P_n（x）：=和{k=0..n}二项式（n，k）*a（k）*x^（n-k）。
这些多项式具有与伯努利多项式类似的性质。
前几个值是P_0（x）=1，P_1（x，
P_2（x）=x^2+2*x+3，P_3（x）=x^3+3*x^2+9*x+13和
P_4（x）=x^4+4*x^3+18*x^2+52*x+75。请参见A154921号对于这些多项式的系数三角形。
此多项式序列的示例f.为
(3)... exp（x*t）/（2-exp（t））=1+（x+1）*t+（x^2+2*x+3）*t^2/2！+。。。。
多项式满足差分方程
(4)... 2*P_n（x-1）-P_n（x）=（x-1”^n，
因此可以用来计算整数的加权幂和
（1/2）*1^m+（1/2）^2*2^m+（1/2）^（n-1）*n-1）^米
通过公式
(5)... 和{k=1..n-1}（1/2）^k*k^m=2*P_m（0）-（1/2），
类似于求和1^m+2^m+…+（n-1）^m表示伯努利多项式。
最后一个结果可以推广到
(6)... 求和{k=1..n-1}（1/2）^k*（k+x）^m=2*P_m（x）-（1/2）。
当前序列也发生在计算另一个整数幂和时。定义
(7)... S_m（n）：=和{k=1..n-1}（1/2）^k*（（n-k）*k）^m，m=1,2，。。。。
然后
(8)... S_m（n）=（-1）^m*[2*Q_m（-n）-（1/2）^（n-1）*Q_m（n）]，
其中Q_m（x）是x中的多项式，由下式给出
（9） 。。。Q_m（x）=和{k=0..m}a（m+k）*二项式（m，k）*x^（m-k）。
前几个值是Q_1（x）=x+3，Q_2（x）=3*x^2+26*x+75
Q_3（x）=13*x^3+225*x^2+1623*x+4683。
例如，m=2表示
(10)... S_2（n）：=和{k=1..n-1}（1/2）^k*（（n-k）*k）^2
=2*（3*n^2-26*n+75）-（1/2）^（n-1）*（3*n^2+26*n+75）。
（结束）
G.f.：1/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/（1-4*x/（1-3*x/（1-6*x/（1-4*x/）1-8*x/（1-5*x/（1-10*x/（1-6*x/）1-…（续分数））；连分式系数按楼层（（n+2）/2）*（3-（-1）^n）/2给出(A029578号（n+2））-保罗·巴里2010年3月30日
通用公式：1/（1-x-2*x^2/（1-4*x-8*x^2/（1-7*x-18*x^ 2/（1-10*x-32*x^/（1../（1-（3*n+1）*x-2*（n+1）^2*x*2/（1-…（连分数））-保罗·巴里2010年6月17日
通用公式：A（x）=和{n>=0}n*x^n/产品{k=1..n}（1-k*x）-保罗·D·汉娜2011年7月20日
调整后的f.A（x）：=1/（2-exp（x））-1具有反函数A（x）^-1=Integral_{t=0..x}1/（（1+t）*（1+2*t））。应用[Dominici，定理4.1]来反演积分，得到a（n）的公式：设f（x）=（1+x）*（1+2*x）。设D是算子f（x）*D/dx。然后a（n）=D^（n-1）（f（x））在x=0时计算。与进行比较A050351号. -彼得·巴拉2011年8月31日
通用公式：1+x/（1-x+2*x*（x-1）/（1+3*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年10月30日
a（n）=D^n*（1/（1-x））在x=0时计算，其中D是运算符（1+x）*D/dx。囊性纤维变性。A052801号. -彼得·巴拉2011年11月25日
例如：1+x/（g（0）-2*x），其中g（k）=x+k+1-x*（k+1）/g（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年7月11日
例如，（2-2*x）*（1-2*x^3/（8*x^2-4*x+（x^2-4*x+2）*g（0））/（x^2-4*x+2），其中g（k）=k^2+k*（x+4）+2*x+3-x*（k+1）*（k+3）^2/g（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月1日
G.f.：1+x/G（0），其中G（k）=1-3*x*（k+1）-2*x^2*（k+1*）*（k+2）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月11日
G.f.：1/G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（1-2*x*（k+1）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月23日
a（n）总是奇数。对于奇素数p和n>=1，a（（p-1）*n）=0（mod p）-彼得·巴拉2013年9月18日
G.f.：1+x/Q（0），其中Q（k）=1-3*x*（2*k+1）-2*x^2*（2xk+1）*（2k+2）/（1-3*xx（2*k+2）-2*x ^2*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月23日
G.f.：T（0）/（1-x），其中T（k）=1-2*x^2*（k+1）^2/（2*x*2*（k+1）^2-（1-x-3*x*k）*（1-4*x-3*x*k）/T（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月14日
a（n）=log（2）*Integral_{x>=0}楼层（x）^n*2^（-x）dx-彼得·巴拉2015年2月6日
当n>0时，a（n）=Re（多蜂（n，i*log（2）/（2*Pi））/（2*Pi*i）^（n+1））-n/（2*log（2）^（n+1））-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月15日
a（n）=和{k=1..n}（k*b2（k-1）*（k）*Stirling2（n，k）），n>0，a（0）=1，其中b2（n）是第二类的第n个伯努利数-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年11月21日
对于n>0，a（n）=-（-1）^n/2*PHI（2，-n，0），其中PHI（z，s，a）是Lerch-zeta函数-费德里科·普罗夫维迪2020年9月5日
a（n）=s_n}乘积{i=1..n}二项式（i，s（i）-1）中的和{s，其中s的范围在[n]的置换集s_n上-何塞·A·罗德里格斯2021年2月2日
和{n>=0}1/a（n）=2.425674839121428857970063350004993937066410932870188408577170864211946122664... -瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月17日
以下恒等式适用于具有偶数或奇数第二参数的第二类Stirling数的和：
a（n）=2*Sum_{k=0..floor（n/2）}（2k）！*箍筋2（n，2*k））-（-1）^n=2*A052841号-（-1）^n
a（n）=2*Sum_{k=0..floor（n/2）}（（2k+1）！*箍筋2（n，2*k+1））+（-1）^n=2*A089677号+（-1）^n
a（n）=Sum_｛k=1.floor（（n+1）/2）｝（（2k-1）！*箍筋2（n+1,2*k）
a（n）=和{k=0..层（（n+1）/2）}（2k）！*箍筋2（n+1,2*k+1））。（结束）
|
|
|
例子
|
让这些点标记为1,2,3，。。。
a（2）=3:1<2，2<1，1=2。
a（3）=13来自13个排列：1<2<3，1<3<2，2<1<3，2<3<1，3<1<2，3<2<1，1=2<3 1=3<2，2=3<1，1<2=3，2<1=3，3<1=2，1=2=3。
三名选手可以以13种方式完成比赛：1、2、3；1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,1,2; 3,2,1; 1,1,3；2,2,1; 1,3,1; 2,1,2; 3,1,1; 1,2,2; 1,1,1.
a（3）=13。3个顶点上的13个平面增加的0-1-2树，其中出度1的顶点有3种颜色，出度2的顶点有2种颜色，如下所示：
........................................................
…….1（x3色）。。。。。1（x2种颜色）。。。。1（x2色）。。
........|................/.\............./.\............
…….2（x3色）。。。2...3...........3...2...........
........|...............................................
........3...............................................
......====..............====............====............
总计9……+。。。。。。。。。。2....+..........2....=..13....
........................................................
a（4）=75。4个顶点上75个非平面增加的0-1-2树，其中伸出度1的顶点有3种颜色，伸出度2的顶点有4种颜色，如下所示：
...............................................................
…..1（x3）。。。。。1（x4）。。。。。。。1（x4）。。。。。1（x4）。。。。。。。。1（x3）。。。。。。。
.....|........./.\........./.\......./.\...........|...........
…..2（x3）。。。2…3.（x3）。。3…2（x3）.4…2（x 3）。。。。。。2（x4）。。。。。。。
.....|.............\...........\.........\......../.\..........
…..3.（x3）。。。。。。。。。4...........4.........3......3...4.........
.....|.........................................................
.....4.........................................................
……===……===……===……===……===……===……===。。。。。。。。。
总计27….+。。。。12......+...12....+...12.......+...12...=...75
字母表{1,2,3}上的a（3）=13个字符串包含所有出现最大值的字母，相应的有序集分区为：
01: [ 1 1 1 ] { 1, 2, 3 }
02:[1 1 2]｛1，2｝<｛3｝
03: [ 1 2 1 ] { 1, 3 } < { 2 }
04: [ 2 1 1 ] { 2, 3 } < { 1 }
05: [ 1 2 2 ] { 1 } < { 2, 3 }
06: [ 2 1 2 ] { 2 } < { 1, 3 }
07: [ 2 2 1 ] { 3 } < { 1, 2 }
08: [ 1 2 3 ] { 1 } < { 2 } < { 3 }
09: [ 1 3 2 ] { 1 } < { 3 } < { 2 }
00: [ 2 1 3 ] { 2 } < { 1 } < { 3 }
11: [ 2 3 1 ] { 3 } < { 1 } < { 2 }
12: [ 3 1 2 ] { 2 } < { 3 } < { 1 }
13: [ 3 2 1 ] { 3 } < { 2 } < { 1 }
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
带（combstruct）；SeqSetL:=[S，{S=序列（U），U=集合（Z，卡>=1）}，标记]；seq（计数（SeqSetL，大小=j），j=1..12）；
与（组合）：a:=n->add（加法（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n，i=0..n），k=0..n）：seq（a（n），n=0..18）#零入侵拉霍斯2007年6月3日
a:=n->加（组合：-eulerian1（n，k）*2^k，k=0..n）：#彼得·卢什尼2015年1月2日
a:=n->（polylog（-n，1/2）+`如果`（n=0，1，0））/2:seq（round（evalf（a（n），32）），n=0..20）#彼得·卢什尼2015年11月3日
#下一个Maple项目：
b： =proc（n，k）选项记忆；
`如果`（n=0，k！，k*b（n-1，k）+b（n-l，k+1））
结束时间：
a： =n->b（n，0）：
|
|
|
数学
|
表[（PolyLog[-z，1/2]+KroneckerDelta[z]）/2，{z，0，20}](*沃特·梅森*)
a[0]=1；a[n]：=a[n]=和[二项式[n，k]*a[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，30}](*罗杰·巴古拉和加里·亚当森2008年9月13日*）
t=30；范围[0，t]！系数列表[级数[1/（2-经验[x]），{x，0，t}]，x](*文森佐·利班迪2014年3月16日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[1/（2-实验@x)，｛x，0，n｝]]；(*迈克尔·索莫斯2015年6月19日*）
表[总和[k^n/2^（k+1），{k，0，无限}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年6月26日*）
Fubini[n_，r_]：=总和[k！*总和[（-1）^（i+k+r）*（（i+r）^[n-r）/（i！*（k-i-r）！）），{i，0，k-r}]，{k，r，n}]；福比尼[0,1]=1；表[Fubini[n，1]，{n，0，20}](*Jean-François Alcover公司2016年3月31日*）
欧拉1[0，0]=1；欧拉数1[n_，k_]：=和[（-1）^j（k-j+1）^n二项式[n+1，j]，{j，0，k+1}]；表[Sum[Eulerian1[n，k]2^k，{k，0，n}]，{n，0，20}](*Jean-François Alcover公司2019年7月13日，之后彼得·卢什尼*)
前缀[表[-（-1）^k HurwitzLerchPhi[2，-k，0]/2，{k，1，50}]，1](*费德里科·普罗夫维迪2020年9月5日*）
表[Sum[k！*StirlingS2[n，k]，{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年11月22日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（subst（1/（1-y），y，exp（x+x*O（x^n））-1），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年3月4日*/
（PARI）Vec（塞拉普拉斯（1/（2-exp（'x+O（'x^66））））/*乔格·阿恩特2011年7月10日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，m！*x^m/prod（k=1，m，1-k*x+x*O（x^n）），n）}/*保罗·D·汉娜2011年7月20日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，和（k=1，n，二项式（n，k）*a（n-k））}/*迈克尔·索莫斯2017年7月16日*/
（Maxima）makelist（总和（stirling2（n，k）*k！，k、 0，n），n，0，12）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年7月7日*/
（最大值）a[0]：1$a[n]：=和（二项式（n，k）*a[n-k]，k，1，n）$A000670号（n） ：=一个[n]$makelist(A000670号（n） ，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/
（鼠尾草）
@缓存函数
（哈斯克尔）
a000670 n=a000670_列表！！n个
a000670_list=1:f[1]（映射尾部$tail a007318_tabl），其中
f xs（bs:bss）=y:f（y:xs）bss其中y=总和$zipWith（*）xs bs
（Python）
从数学导入阶乘
从sympy.functions.combinatial.numbers导入stirling
定义A000670号（n） ：返回和（阶乘（k）*范围（n+1）中k的斯特林（n，k））#柴华武2022年11月8日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A002144号,A002869号,A004121号,A004122号,A007047号,A007318号,A048144号,A053525号,A080253号,A080254号,A011782号,A154921号,A162312号,A163204号,A242280型,A261959型,A290376型,A074206号.
|
|
|
关键词
|
非n,核心,美好的,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, -1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 5, 0, -691, 0, 7, 0, -3617, 0, 43867, 0, -174611, 0, 854513, 0, -236364091, 0, 8553103, 0, -23749461029, 0, 8615841276005, 0, -7709321041217, 0, 2577687858367, 0, -26315271553053477373, 0, 2929993913841559, 0, -261082718496449122051
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,11
|
|
|
评论
|
Harvey（2008）描述了一种计算伯努利数的新算法。他的方法是计算许多小素数p的B（k）模p，然后利用中国余数定理重构B（k）。时间复杂度为O（k^2 log（k）^（2+eps））。该算法特别适合并行化-乔纳森·沃斯邮报2008年7月9日
将伯努利数视为构成一个向量=B_n，将变量开始（1，1/2，1/6，0，-1/30，…）（即前1/2有符号+）视为形成一个向量Bv_n。帕斯卡三角矩阵B_n和Bv _n之间的关系如下：B_n=Bv_n.的二项式变换。B_n与带符号行（+-+-，…）的Pascal矩阵相乘时不变，即（1；-1，-1；1,2,1；…）。Bv_n与带符号列（+-+-，…）的Pascal矩阵相乘时不变，即（1；1，-1；1，-2,1；1，-3,3，-1；…）-加里·亚当森2012年6月29日
以瑞士数学家雅各布·伯努利（1655-1705）的名字命名，由德莫伊夫尔（1773；“詹姆斯·伯努利先生的数字”）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2023年10月2日
|
|
|
参考文献
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第810页。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第49页。
哈罗德·戴维斯，《数学函数表》。卷。第1和第2版，1963年，第3卷（与V.J.Fisher合著），1962年；德克萨斯州圣安东尼奥三一大学普林西比亚出版社，第2卷，第230页。
哈罗德·爱德华兹（Harold M.Edwards），《黎曼的泽塔函数》（Riemann’s Zeta Function），学术出版社，纽约，1974年；见第11页。
Steven R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第1.6.1节。
Herman H.Goldstine，《数值分析史》，Springer-Verlag出版社，1977年；第2.6条。
L.M.Milne-Thompson，《有限差分演算》，1951年，第137页。
汉斯·拉德马赫（Hans Rademacher），《解析数论主题》，施普林格出版社，1973年，第1章。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
C.M.Bender和K.A.Milton，连分式作为离散非线性变换，arXiv:hep-th/93040521993年。
Beáta Bényi和Péter Hajnal，多贝努利数和欧拉数，arXiv:1804.01868[math.CO]，2018年。
W.Y.C.Chen、J.J.F.Guo和L.X.W.Wang，贝努利数的对数行为，arXiv:1208.5213[math.CO]，2012-2013年。
亚伯拉罕·德·莫伊夫尔，机会原则第三版，伦敦，1733年，第95页。
M.-P.Grosset和A.P.Veselov，伯努利数和孤子，arXiv:math/0503175[math.GM]，2005年。
A.伊万尼，同步网络中的领导者选举《Sapientiae大学学报》，Mathematica，5，2（2013）54-82。
尼尔斯·尼尔森，伯努利名义要素《高瑟·维拉斯》，1923年，第398页。
Ed Sandifer，《欧拉是如何做到的》，伯努利数.
J.Singh，关于一个算术卷积，J.国际顺序。17（2014）第14.6.7条。
罗曼·维图拉（Roman Witula）、达米安·斯洛塔（Damian Slota）和埃德塔·赫特马尼科（Edyta Hetmanik），不同已知整数序列之间的桥《Annales Mathematicae et Informaticae》，41（2013），第255-263页。
|
|
|
配方奶粉
|
例如：x/（exp（x）-1）；取分子。
重复：B^n=（1+B）^n，n>=2（将B^j解释为B_j）。
B_｛2n｝/（2n）！=2*（-1）^（n-1）*（2*Pi）^。特别是B_{2*n}~（-1）^（n-1）*2*（2*n）/（2*Pi）^（2*n）。
求和{i=1..n-1}i^k=（（n+B）^（k+1）-B^（k+1））/（k+1）（将B^j解释为B_j）。
B_{n-1}=-Sum_{r=1..n}（-1）^r二项式（n，r）r^（-1）Sum_{k=1..r}k^（n-1）。更简明地说，B_n=1-（1-C）^（n+1），其中C^r被右手边展开式中自然数的第一个第n次幂的算术平均值取代。[伯格曼]
求和{i>=1}1/i^（2k）=zeta（2k。
B_｛2n｝=（-1）^（m-1）/2^（2m+1）*积分{-inf.inf，[d^（m-1）/dx^（m-1）sech（x）^2]^2 dx}（见Grosset/Veselov）。
设B（s，z）=-2^（1-s）（i/Pi）^s！PolyLog（s，exp（-2*i*Pi/z））。那么对于n>=1，B（2n，1）=B_{2n}。同样，可以考虑数字B（2n+1，1），它可能被称为Co-Bernoulli数，值得注意的是，莱昂哈德·欧拉在1755年已经计算出了B（3，1）和B（5，1）（Opera Omnia，Ser.1，Vol.10，p.351）。（参考Luschny参考文献进行讨论。）-彼得·卢什尼2009年5月2日
例如，E（x）=2-x/（tan（x）+秒（x）-1）=Sum_{n>=0}a（n）*x^n/n！，a（n）=|B（n）|，其中B（n”）是伯努利数B_n。
E（x）=2+x-B（0），其中B（k）=4*k+1+x/（2+x/（4*k+3-x/（2-x/B（k+1）））；（连分数，4步）。（结束）
例如：x/（exp（x）-1）=U（0）；U（k）=2*k+1-x（2*k+1）/（x+（2*k+2）/（1+x/U（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月5日
例如：2*（x-1）/（x*Q（0）-2）其中Q（k）=1+2*x*（k+1）/；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月26日
a（n）=分子（B（n）），B（n）=（-1）^n*和{k=0..n}斯特林1（n，k）*斯特林2（n+k，n）/二项式（n+k，k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年3月16日
例如：x/（exp（x）-1）=E（0），其中E（k）=2*k+1-x/（2+x/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月16日
Bernoulli（n）的G.f=a（n）/A027642号（n） ：psi_1（1/x）/x-x，其中psi_n（z）是多囊膜函数，psi_n（z）=（d/dz）^（n+1）log（伽马（z））-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
例如：2*E（0）-2*x，其中E（k）=x+（k+1）/（1+1/（1-x/E（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月10日
B_n=和{m=0..n}（-1）^m*A131689型（n，m）/（m+1），n>=0。查看其中一个Maple程序-沃尔夫迪特·朗2017年5月5日
a（n）=分子（-2*cos（Pi*n/2）*Gamma（n+1）*zeta（n）/（2*Pi）^n），对于n=0且n>1。
a（n）=分子（-n*zeta（1-n）），对于n=0和n>1。（结束）
|
|
|
例子
|
B_n序列开始于1、-1/2、1/6、0、-1/30、0、1/42、0、-1-30、0、5/66、0、-691/2730、0，7/6、0，-3617/510。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
B:=n->加（（-1）^m*m*箍筋2（n，m）/（m+1），m=0..n）；
B:=n->bernoulli（n）；
seq（数字（bernoulli（n）），n=0..40）#零入侵拉霍斯2009年4月8日
|
|
|
数学
|
表[分子[BernoulliB[n]]，{n，0，40}](*罗伯特·威尔逊v2004年10月11日*）
分子[范围[0，40]！系数列表[级数[x/（E^x-1），{x，0，40}]，x]]
分子[系数列表[系列[PolyGamma[1，1/x]/x-x，{x，0，40}，假设->x>0]，x]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫，2013年4月24日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=分子（bernfrac（n））
（极大值）B（n）：=（-1）^（n））*和（（stirling1（n，k）*stirling2（n+k，n））/二项式（n+k，k），k，0，n）；
（岩浆）[分子（伯努利（n））：[0..40]]中的n//文森佐·利班迪2014年3月17日
（鼠尾草）
[范围（41）内n的bernoulli（n）.numerator（）]#彼得·卢什尼2016年2月19日
（鼠尾草）#或者：
f、 R，C=1，[1]，[1]+[0]*（透镜-1）
对于n in（1..len-1）：
f*=n
对于范围（n，0，-1）中的k：
C[k]=C[k-1]/（k+1）
C[0]=-总和（（1..n）中k的C[k]）
R.append（（C[0]*f）.numerator（））
返回R
（Python）
来自sympy import bernoulli
从分数导入分数
[bernoulli（i）.as_numer_denom（）[0]用于范围（51）中的i]#因德拉尼尔·戈什2017年3月18日
（Python）
来自sympy import bernoulli
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
签名,压裂,美好的,核心
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A019538年
|
| 数字三角T（n，k）=k*按行读取的箍筋2（n，k）（n>=1，1<=k<=n）。 |
|
+10
156
|
|
|
|
1, 1, 2, 1, 6, 6, 1, 14, 36, 24, 1, 30, 150, 240, 120, 1, 62, 540, 1560, 1800, 720, 1, 126, 1806, 8400, 16800, 15120, 5040, 1, 254, 5796, 40824, 126000, 191520, 141120, 40320, 1, 510, 18150, 186480, 834120, 1905120, 2328480, 1451520, 362880, 1, 1022, 55980, 818520, 5103000, 16435440, 29635200, 30240000, 16329600, 3628800
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
|
评论
|
n个标记对象可以分布到k个非空地块中的方式数。最大度为k的n个变量中的特殊项数。
从n元集到k元集的（函数上的）推测数。
也就是所谓的有序贝尔多项式的系数（升序）。
（k-1）*Stirling2（n，k-1）是具有k个开集的n集上的链拓扑数[Stephen]。
n个项目到k个部分的集合合成（有序集合分区）数。n维置换多面体的k维“面”的数量（见Simion，第162页）-米奇·哈里斯2007年1月16日
更正之前的注释：n阶（n-1）维多面体）的（n-k）维“面”的数量-蒂尔曼·彼得斯克2014年10月29日
此数组与中所示的例如f.的倒数有关A133314号例如，泰勒级数展开式1/（a（0）+a（1）x+a（2）x^2/2！+中四阶项的系数a（3）x ^3/3！+…）是a（0）^（-5）*{24 a（1）^4-36 a（1。无符号系数描述了Loday链接第10页中描述的P3永久面体，具有24个顶点（0-D面）、36个边（1-D面），6个正方形（2-D面）和8个六边形（2-D面的）以及1个3-D永久面体。将相似维度上的系数求和得出A019538年和A090582号。与相比A133437号用于关联面体-汤姆·科普兰2008年9月29日，2008年10月7日
关于汤姆·科普兰上面，A_3型的置换面体可以被视为截断的八面体。它的对偶是四边六面体，是一个简单的多面体，f向量（1,14，36，24）是这个三角形的第四行。参见维基百科条目和[Fomin and Reading p.21]。A型置换面体的相应h向量给出了欧拉数三角形的行A008292号。请参阅1945年1月和A145902号分别用于B型和D型全自面体的f向量数组-彼得·巴拉，2008年10月26日
由于T（n，k）计数满射函数和满射函数是“一致的”，T（n、k）满足一个二项式恒等式，即T（n）=Sum_{j=0..n}C（n，j）*T（j，x）*T（n-j，y）。有关一致函数和广义二项式恒等式的定义，请参阅下面链接部分中的“玩具故事和组合恒等式”-丹尼斯·沃尔什2012年2月24日
T（n，k）是满足以下两个条件的n+k顶点上的标记森林数：（i）每个森林由精确的k根树组成，根标记为1，2。。。，k；（ii）每个根具有至少一个子顶点-丹尼斯·沃尔什2012年2月24日
例如，移位符号多项式的g（x，t）=（E^t-1）/[1+（1+x）（E^t-1）]=1-（1+x）（E*t-1）+（1+x）^2（E*t-1）^2-。。。（另请参见A008292号和A074909号)，其具有无穷小生成器g（x，u）d/du=[（1-x*u）（1-（1+x）u）]d/du，即exp[t*g（x、u）d/du]u eval。u=0时，给出G（x，t）和dG（x、t）/dt=G（x，G（x），t））。成分反转为log（（1-xt）/（1-（1+x）t））。G（x，t）是与广义Hirzebruch属相关的生成级数。关于G（x，u）的导数与Riccatt微分方程解的关系，请参见G.Rzadowski链接。KdV方程，以及欧拉数和伯努利数。此外A145271号将g（x，u）导数的乘积和精细欧拉数的乘积连接到g（x，t）的逆函数，从而得到单形的规范化反面多项式(A135278号，除以n+1）。请参见A028246号对于发生器g（x，u）d/dx-汤姆·科普兰2014年11月21日
有关复曲面变体和欧拉多项式的连接，请参见Dolgachev和Lunts以及Stembridge链接-汤姆·科普兰2015年12月31日
T（n，k）出现在一个Worpitzky恒等式中，它将单项式与二项式联系起来：x^n=Sum_{k=1..n}T（n、k）*二项式（x，k），n>=1。参见第209页Worpitzky链接的等式（11.）。等式（14.）和（15.）中给出了与欧拉数的关系。参见以下公式A008292号参见第248页的Graham等人等式（6.10）（将单项式与下降阶乘联系起来）（第二版，第262页）。Graham等人参考文献中给出的Worpitzky恒等式，即等式（6.37）（第二版，第269页），是Worpitz的等式（5.），第207页-沃尔夫迪特·朗2017年3月10日
T（n，m）也是完全二分图K_{m，n}中最小团覆盖和最小匹配的数目-埃里克·韦斯特因2017年4月26日
来自Hasan、Franco和Hasan的论文：m=1,2,3,4的m-置换自面体是线段、六边形、截断八面体和全截五单元。前三个是众所周知的研究椭圆模型，膜贴片和膜砖模型。m+1环面可以由单个（m+2）-置换面体平铺。还讨论了复曲面Calabi-Yau-Kahler流形的关系-汤姆·科普兰2020年5月14日
前导注释中的块分布可以看作是由k个不相交的非空子集对n元集的覆盖。有关非析取情况，请参见2009年1月31日.（结束）
|
|
|
参考文献
|
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第89页，例1；另见第210页。
米克洛斯·博纳，排列组合学，查普曼和霍尔，2004年，第12页。
G.Boole，《有限差分的微积分》，多佛出版社，1960年，第20页。
H.T.Davis，《数学函数表》。卷。第1和第2版，1963年，第3卷（与V.J.Fisher合著），1962年；德克萨斯州圣安东尼奥三一大学普林西比亚出版社，第2卷，第212页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，雷丁，1989年，第155页。同样参见等式（6.10）和（6.37）。
Kiran S.Kedlaya和Andrew V.Sutherland在计算机科学第5011/2008卷算法数论讲稿中计算L-超椭圆曲线系列
T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhauser，2015年，第5.6节。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第33页。
J.F.Steffensen，《国际刑警组织》，第二版，切尔西，纽约，1950年，见第54页。
A.H.Voigt，《扎伦雷亨与雷亨雷春根理论》，戈森，莱比锡，1911年，第31页。
E.Whittaker和G.Robinson，《观测演算》，Blackie，伦敦，第四版，1949年；第7页。
|
|
|
链接
|
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
J.F.Barbero G.、J.Salas和E.J.S.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。二、。应用，arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO]，2013。
穆萨·贝努姆哈尼，有限集上的拓扑数《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.2.6条。
奥利维尔·博迪尼（Olivier Bodini）、安托万·杰尼特里尼（Antoine Genitrini）、塞西尔·梅勒（Cécile Mailler）和梅迪·奈马（Mehdi Naima），进化过程中产生的严格单调树：组合和概率研究，hal-02865198[math.CO]/[math.PR]/[cs.DS]/[c.DM]，2020年。
K.N.Boyadzhiev，级数变换公式及相关多项式《国际数学杂志》。数学。Sc.23（2005），3849-3866。
泽维尔·布勒特尔（Xavier Bultel）、扬尼克·德雷尔（Jannik Dreier）、马蒂厄·吉拉德（Matthieu Giraud）、玛丽·伊扎特（Marie Izaute）、蒂莫思·凯尔卡（Timothée Kheyrkhah）、帕斯卡尔·拉福卡德（Pascal Lafourcade）、多尼娅·拉克佐，PIN码认证方法的安全性分析与心理研究，RCIS 2018-IEEE第12届信息科学研究挑战国际会议，2018。
J.L.Chandon、J.LeMaire和J.Pouget，集合定义上的拟阶数，数学。科学。Humaines，第62号（1978年），第61-80页。
E.Delucchi、A.Pixton和L.Sabarka，细分单纯复形的面向量离散数学。312（2012），第2期，248-257。MR2852583（2012j:05470）。见第250页-N.J.A.斯隆2014年4月4日
S.Fomin和N.Reading，根系和广义结合面体，IAS/Park-City 2004演讲稿；arXiv:math/0505518[math.CO]，2005-2008年。
M.Goebel，关于特殊置换不变轨道和项的个数，《工程应用代数》。，通信和通信。（AAECC 8），第8卷，第6期，1997年，第505-509页（Lect.Notes Comp.Sci.）
饭田先生，关于数字三角形《Josai数学专著》，第5卷（2012），61-70；
Sergey Kitaev、Andrew Niedermaier、Jeffrey Remmel和Manda Riehl，Ck环锡的广义图案匹配条件，ISRN组合。2013年，文章ID 634823，20 p.（2013），等式（87）
Germain Kreweras，与托托相容的地方，数学。科学。Humaines第53号（1976年），5-30。
Germain Kreweras，与托托相容的地方，数学。科学。Humaines第53号（1976），5-30。（带注释的扫描副本）
E.门德尔森，平局比赛，数学。Mag.55（1982），170-175。
Lucas Chaves Meyles、Pamela E.Harris、Richter Jordaan、Gordon Rojas Kirby、Sam Sehayek和Ethan Spingarn，单位间隔停车函数与二面体，arXiv:2305.15554[math.CO]，2023。
T.S.Motzkin，气缸和其他分类号的分类号，《组合数学》。交响乐团。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。[注释，扫描件]
文森特·皮劳（Vincent Pilaud）和V.Pons，Permutrees树木，arXiv预印arXiv:1606.09643[math.CO]，2016-2017。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。[带注释的扫描副本]
G.Rzadkowski，伯努利数和孤子的再认识，《非线性数学物理杂志》，17:121-126，DOI:10.1142/S140292511000635
R.Simion等人，凸多面体与枚举，应用程序中的高级。数学。18（1997）第149-180页。
D.斯蒂芬，有限集上的拓扑《美国数学月刊》，75:739-7411968年。
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，k）=k*（T（n-1，k-1）+T（n-1，k）），T（0，0）=1[或T（1，1）=1]-亨利·博托姆利2001年3月2日
等于[0，1，0，2，0，3，0，4，0，5，…]DELTA[1，1A084938号.
T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*j^n*二项式（k，j）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年11月28日。参见Graham等人，等式（6.19），第251页。有关证据，请参见伯特·塞格斯2013年6月29日。
求和{k=0..n}T（n，k）（-1）^（n-k）=1，求和{k=0..n}T
第n行的O.g.f.：多对数（-n，x/（1+x））/（x+x^2）-弗拉德塔·乔沃维奇2005年1月30日
例如：1/（1+t*（1-exp（x）））-汤姆·科普兰2008年10月13日
O.g.f.作为连分数：1/（1-x*t/（1-（x+1）*t/。
行多项式R（n，x）从R（1，x）=x开始，R（2，x）=x+2*x^2，R（3，x）＝x+6*x^2+6*x*^3，满足递归x*d/dx（（x+1）*R（n、x））＝R（n+1，x））。因此，R（n，x）的零是实数和负数（应用[Liu和Wang]的推论1.2）。
对于n，k>=0，T（n+1，k+1）=Sum_{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*[（j+1）^。Pascal三角形的矩阵乘积A007318号用当前数组给出（本质上）A047969号.这个三角形也与三角形有关A047969号通过[Hetyei]的S-变换，多项式的线性变换，其基于单项式x^k的值由S（x^k）=二项式（x，k）给出。移位第n行多项式Q（n，x）：=R（n，x）/x的S变换是S（Q（n（x））=（x+1）^n-x^n。例如，从第3行我们得到S（1+6*x+6*x^2）=1+6*x+6*x*（x-1）/2=1+3*x+3*x^2=（x+1）^3-x^3。对于固定k，值S（Q（n，k））给出了三角形列（k-1）中的非零项A047969号（欧拉数的希尔伯特变换）。（结束）
例如：（exp（x）-1）^k=总和T（n，k）x^n/n-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月10日
例如，如果A（x，t）=-1+1/（1+t*（1-exp（x）），则比较。x中的倒数是
B（x，t）=对数（（1+t）/t）-1/（t（1+x））。
当h（x，t）=1/（dB/dx）=（1+x）（（1+t）（1+x）-1）时，行多项式P（n，t）由（h（x、t）*d/dx）^n x，eval给出。当x=0时，A=exp（x*h（y，t）*d/dy）y，eval。当y=0，dA/dx=h（A（x，t），t）时，P（0，t）=0。
（2016年8月25日，科普兰删除了-1/n！的系数。）（结束）
行多项式由在x=0时计算的D^n（1/（1-x*t））给出，其中D是运算符（1+x）*D/dx-彼得·巴拉2011年11月25日
T（n，x+y）=Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*T（j，x）*T（n-j，y）-丹尼斯·沃尔什2012年2月24日
设P是一个权为1的Rota-Baxter算子，满足恒等式P（x）*P（y）=P。那么P（1）^2=P（1”）+2*P^2（1）。更一般地说，Guo证明了P（1）^n=Sum_{k=1..n}T（n，k）*P^k（1）-彼得·巴拉2012年6月8日
当n>1时，求和{i=1..n}（-1）^i*T（n，i）/i=0-列奥尼德·贝德拉图克2012年8月9日
T（n，k）=Sum_{j=0..k}（-1）^j*二项式（k，j）*（k-j）^n.[M.Catalani 2003年11月28日的重新推导公式]证明：利用包含-排除原理，将[n]对[k]的猜想计算为[n]到[k-j]的函数数的交替和-伯特·塞格斯2013年6月29日
第n行多项式=1/（1+x）*（和{k>=0}k^n*（x/（1+x））^k），对开区间（-1/2，inf）中的x有效。请参阅Tanny链接。囊性纤维变性。A145901号. -彼得·巴拉2014年7月22日
|a|<1的求和{n>=0}n^k*a^n=Sum_{i=1..k}（a/（1-a））^i*T（k，i）/（1-a-大卫·A·科内斯2015年3月9日
行多项式R（n，x）满足（1+x）*R（n、x）=（-1）^n*x*R（n-（1+x））。
A（k，z）^。（结束）
设a（1）=1+x+B（1）=x+1/2和a（n）=B（n）=（B）^n，其中B（n该数组的有符号行多项式：p0（x）=0，p1（x）=1，p2（x）=-（1+2x），p_3（x）=1+6x+6x^2。。。和pn（x）=n*b（n-1），其中b（n）是2013年3月14日用这些a（n）进行评估。
和{n>0}R（n，-1/2）x^n/n！=2*tanh（x/2），其中R（n，x）=和{k=1..n}T（n，k）x^。（参见。A000182号.)
（结束）
伯努利数也由B（n）=Sum_{k=1..n}（-1）^kT（n，k）/（k+1）给出-汤姆·科普兰2016年11月6日
第k列的G.f:k！x^k/产品{i=1..k}（1-i*x）-罗伯特·拉塞尔2018年9月25日
|
|
|
例子
|
三角形T（n，k）开始于：
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1: 1
2：1 2
3: 1 6 6
4: 1 14 36 24
5: 1 30 150 240 120
6: 1 62 540 1560 1800 720
7: 1 126 1806 8400 16800 15120 5040
8:1 254 5796 40824 126000 191520 141120 40320
9: 1 510 18150 186480 834120 1905120 2328480 1451520 362880
10: 1 1022 55980 818520 5103000 16435440 29635200 30240000 16329600 3628800
---------------------------------------------------------------------------
T（4,1）=1:{1234}。T（4,2）=14:{1}{234}（4路），{12}{34}（6路），}123}{4}。T（4,3）=36:{12}{3}{4}（12路），{1}{23}{4{（12道），{1'{2}{34}（十二路）。T（4,4）=1:{1}{2}{3}{4}（单向）。
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
表[k！箍筋S2[n，k]，{n，9}，{k，n}]//展平
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，sum（i=0，k，（-1）^i*二项式（k，i）*（k-i）^n）}/*迈克尔·索莫斯2003年10月8日*/
（哈斯克尔）
a019538 n k=a019538_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a019538_row n=a019538 _ tabl！！（n-1）
a019538_tabl=迭代f[1]，其中
f xs=zipWith（*）[1..]$zipWise（+）（[0]++xs）（xs++[0]）
（Sage）def T（n，k）：返回阶乘（k）*stirling_number2（n，k）#丹尼·罗拉博2015年10月10日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000918号,A000919号,A001117号,A001118号,A008275号,A008279号,A048594号,A059117号,A059515号,A074909号,A084938号.
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
N.J.A.斯隆，Manfred Goebel（Goebel（AT）informatik.uni-tuebingen.de），1996年12月11日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.096秒内完成
|
