搜索: a073668-编号:a073666
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A001221号
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| 除以n的不同素数(也称为ω(n))。 (原名M0056 N0019)
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0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 3, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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摘自Peter C.Heinig(algorithms(AT)gmx.de),2008年3月8日:(Start)
这也是环(Z/nZ,+,*)的最大理想数。由于每个有限积分域必须是一个域,因此Z/nZ的每个素理想都是一个极大理想,并且由于通常每个极大理想都是素,所以Z/nZ中的素理想和最大理想的数量一样多,因此序列也给出了Z/nZ素理想的数量。
序列给出这个数的原因是Z/nZ的理想正好是(Z/nZ,+)的子群。因此,为了使理想达到最大,它形成了(Z/nZ,+)的一个极大子群,这等价于在(Z/nZ)中有素数指标,这相当于由n的一个素数因子生成。
最后,所有以这种方式产生的群都有不同的阶,因此是不同的,所以最大理想的数目等于不同素数除以n的数目
高达2*3*5*7*11*13*17*19*23*29-1=6469693230-1,也是常数0.01111211…=和{k>=0}1/(10^A000040型(k) -1)(参见A073668号). -埃里克·德斯比亚2014年1月20日
a(n)的平均次序:和{k=1..n}a(k)~和{k=1..n}log log k-丹尼尔·福格斯2015年8月13日至16日
限制为n>1:
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第844页。
J.Peters,A.Lodge和E.J.Ternouth,E.Gifford,因子表(n<100000)(英国数学协会第五卷),伯灵顿出版社/剑桥大学出版社,伦敦,1935年。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年[备选扫描件]。
Robert E.Dressler和Jan van de Lune,关于数论函数ω和ω的几点注记,程序。阿默尔。数学。Soc.41(1973),403-406
G.H.Hardy和S.Ramanujan,一个数的素因子的正规数,夸脱。数学杂志。48 (1917), 76-92. 还收集了Srinivasa Ramanujan的论文,AMS Chelsea Publ。,普罗维登斯,RI(2000):262-275。
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配方奶粉
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a(p^e)=1的加法。
a(1)=0,a(p)=1,a(pq)=2,a。。。,z是k个不同的素数和k个自然数-雅罗斯拉夫·克里泽克,2009年5月4日
L.g.f.:-log(乘积{k>=1}(1-x^prime(k))^(1/prime(k)))=和{n>=1}a(n)*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2018年7月30日
和{k=1..n}2^(-a(gcd(n,k))-A001222号(n/gcd(n,k)))/phi(n/gcr(n,k))=和{k=1..n}2^(-A001222号(gcd(n,k))-a(n/gcd(n,k)))/phi(n/gcd(n、k))=1,其中phi=A000010号. -理查德·奥尔勒顿2021年5月13日
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MAPLE公司
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A001221号:=程序(n)局部t1,i;如果n=1,则返回0,否则返回t1:=0;对于i到n do,如果n mod ithprime(i)=0,则t1:=t1+1 end,如果end do end if;t1末端程序;
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数学
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数组[Length[FactorInteger[#]]&,100]
PrimeNu[范围[120]](*哈维·P·戴尔2011年4月26日*)
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黄体脂酮素
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(MuPAD)函数(nops(numlib::素数因子(n)),n):
(MuPAD)编号::omega(n)$n=1..110//零入侵拉霍斯2008年5月13日
(PARI)a(n)=ω(n)
(鼠尾草)
定义A001221号(n) :如果is_prime(p),则返回和(除数(n)中p的1)
(哈斯克尔)
导入数学。数字理论。底漆。分解(factorise)
a001221=长度。瑞士。解压缩。因子分解酶
(Python)
来自症状理论输入因子
打印([len(primefactors(n))for n in range(11001)])#因德拉尼尔·戈什2017年3月19日
(岩浆)[#PrimeDivisors(n):n in[1..120]]//布鲁诺·贝塞利2021年10月15日
(朱莉娅)
使用Nemo
函数NumberOfPrimeFactors(n;distinct=true)
不同返回长度(系数(ZZ(n))
因子(ZZ(n))中(p,e)的总和(e);初始化=0)
结束
println([NumberOfPrimeFactors(n)for n in 1:60])#彼得·卢什尼2024年1月2日
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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已批准
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0、9、99、999、9999、99999、999999、9999999、999999999、999999999、9999999999、9999999999、9999999999999、99999999999999、999999999999999、999999999999999、9999999999999999999、9999999999999999999、9999999999999999999
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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一位德国朋友评论说,序列9,99,999,9999,999999。。。可能被称为暴躁的德国序列:不!,不!不!,不!不!nein。。。
Regan链接显示,形式为10^n-1的整数具有二进制表示形式,后面正好有n个1位。这些整数还有五元表达式,后面正好有n个4。例如,10^4-1=(304444)5。五进制的第一个数字对应于数字2^n-1,在我们的示例(30)5=2^4-1中。在二进制情况下会出现类似的模式。考虑9=(1001)2-华盛顿·邦菲姆2010年12月23日
a(n)是具有小于n+1个数字的正整数的数目-步广团2015年3月9日
对于n>=1,sqrt(a(2*n))=[10^n-1;1,2*(10^n-1),1,2x(10^n-1),…]的简单连分式展开式具有周期2。sqrt(a(2*n))/a(n)=[1;10^n-1,2,10^n-1,2…]的简单连分式展开式也有周期2。注意两个展开式中都出现了大的偏商。
连分式测度理论中库兹明的一个定理说,大的偏商是连分式展开式中的例外。
经验性地,我们还发现,在m>=3的数a(m*n)的m次根的连续分式展开的早期,存在出乎意料的大部分商。下面给出了一些典型示例。(结束)
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链接
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阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚(Amelia Carolina Sparavigna),一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》(2019)第8卷第10期。
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配方奶粉
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G.f.:1/(1-10*x)-1/(1-x)。
例如:E^(10*x)-E^x(结束)
a(n)=a(n-1)+9*10^(n-1;另外:a(n)=11*a(n-1)-10*a(n-2),a(0)=0,a(1)=9-文森佐·利班迪2010年7月22日
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例子
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显示大部分商的连续分数展开:
a(12)^(1/3)=[9999;1,299999998,1,449999998;1,7998,1,535714284,1,2,2,142,2,1,599999999,3,1,1,…]。
与a(30)^(1/3)=[9999999999;1,29999999999999999,1,9999999998,1,44999999999998,1、7999999998,1,535714285714285714284,1,2,2,142857142,2,1,5999999999999,3,1,1,…]进行比较。
a(24)^(1/4)=[999999;1,399999999999999998,1,66666 5,1,1,79999999999999,3,476190,7,19047619047619047,21,43289,1,229,1 1864801864801863,1,4,6,…]。
与a(48)^(1/4)=[999999999999;1,399999999999999999999999999.9999999999969999999998,1,666666666 5,1,1,1,1,79999999999199999999999999 999999999-999999999999%9999999999,3,476190476190,7,19047619046190476190。
a(25)^(1/5)=[999999,1,4999999999999999999999998,1,49999999999999999998,1,33332,3,151515151515151515151,5,1,1947,1,38,378787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878。
(结束)
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数学
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表[10^n-1,{n,0,22}](*迈克尔·德弗利格2015年9月27日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[(10^n-1):n in[0..20]]//文森佐·利班迪2011年4月26日
(哈斯克尔)
(Python)定义a(n):返回10**n-1#迈克尔·布拉尼基2023年2月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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A065442号
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| Erdős-Borwein常数Sum_{k>=1}1/(2^k-1)的十进制展开式。 |
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1, 6, 0, 6, 6, 9, 5, 1, 5, 2, 4, 1, 5, 2, 9, 1, 7, 6, 3, 7, 8, 3, 3, 0, 1, 5, 2, 3, 1, 9, 0, 9, 2, 4, 5, 8, 0, 4, 8, 0, 5, 7, 9, 6, 7, 1, 5, 0, 5, 7, 5, 6, 4, 3, 5, 7, 7, 8, 0, 7, 9, 5, 5, 3, 6, 9, 1, 4, 1, 8, 4, 2, 0, 7, 4, 3, 4, 8, 6, 6, 9, 0, 5, 6, 5, 7, 1, 1, 8, 0, 1, 6, 7, 0, 1, 5, 5, 5, 7, 5, 8, 9, 7, 0, 4
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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此外,Sum_{k>=1的(有限)值的十进制展开式,k的基数2}1/k中没有等于0的数字-罗伯特·威尔逊v2010年8月3日
这个常数是无理的(Erdős,1948;Borwein,1992)-阿米拉姆·埃尔达尔2020年8月1日
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参考文献
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史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥,2003年,第354-361页。
保罗·哈尔莫斯(Paul Halmos),“年轻人和老年人的数学问题”,多尔恰尼数学博览会,1991年,第258页。
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链接
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David H.Bailey和Richard E.Crandall,随机生成器和正规数《实验数学》,第11卷,第4期(2002年),第527-546页。
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配方奶粉
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注:求和{k>=1}d(k)/2^k=求和{k>=1}1/(2^k-1)。
通过Lambert级数快速计算:1.60669515…=Sum_{n>=1}x^(n^2)*(1+x^n)/(1-x^n,其中x=1/2-乔格·阿恩特2011年5月24日
等于1/4+和{k>=2}(1+8^k)/((2^k-1)*2^(k^2+k))。请参阅数学堆栈交换链接-彼得·巴拉2022年1月28日
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例子
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1.60669515241529176378330152319092458048057967150575643577807955369...
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MAPLE公司
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#使用Lambert级数,参见Arndt公式:
evalf(加(1/2)^(n^2)*(1+2/(2^n-1)),n=1..20),105);
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数学
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实数字[和[1/(2^k-1),{k,350}],10,111][1](*罗伯特·威尔逊v2006年11月5日*)
(*首先安装irwinSums.m,请参阅参考,然后*)first@RealDigits@iSum[0,0,111,2](*罗伯特·威尔逊v2010年8月3日*)
RealDigits[(Log[2]-2 QPolyGamma[0,1,2])/Log[4],10,100][[1](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩2011年5月23日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=s=0;对于(x=1,n,s=s+1.0/(2^x-1));秒
(PARI)默认值(realprecision,2080);x=总和(k=1,1/(2^k-1));对于(n=12000,d=楼层(x);x=(x-d)*10;写入(“b065442.txt”,n,“”,d)\\哈里·史密斯2009年10月19日
(PARI)k=1。;总和(n=1,k>>=1;k^n*(1+k)/(1-k))\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年6月3日
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6, 8, 2, 1, 5, 3, 5, 0, 2, 6, 0, 5, 2, 3, 8, 0, 6, 6, 7, 6, 1, 2, 6, 3, 1, 8, 6, 2, 2, 6, 6, 2, 4, 0, 0, 9, 6, 4, 9, 1, 9, 0, 2, 4, 8, 3, 2, 6, 9, 0, 3, 4, 1, 9, 2, 2, 8, 2, 5, 7, 8, 4, 7, 1, 3, 6, 7, 7, 1, 8, 3, 4, 7, 7, 4, 1, 7, 8, 7, 3, 2, 9, 0, 0, 9, 6, 2, 1, 2, 6, 9, 0, 3, 0, 4, 5, 3, 3, 1, 3, 7, 5, 0, 3, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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例子
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等于0.6821535026052380667。。。
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MAPLE公司
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evalf(总和(1/(3^k-1),k=1..无穷大),120)#瓦茨拉夫·科特索维奇,2014年10月18日
#具有更快收敛级数的第二个程序
evalf(加(1/3)^(n^2)*(1+2/(3^n-1)),n=1..14),105)#彼得·巴拉2022年1月30日
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数学
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RealDigits[NSum[1/(3^n-1),{n,1,Infinity},WorkingPrecision->110,NSumTerms->100],10,105]//第一个(*或*)1-(Log[2]+QPolyGamma[0,1,1/3)/Log[3]//RealDigests[#,10,105]和//第一个(*Jean-François Alcover公司2013年6月5日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)汇总(n=1,1/(3^n-1))\\米歇尔·马库斯2017年3月11日
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关键词
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作者
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4, 2, 1, 0, 9, 7, 6, 8, 6, 0, 3, 3, 4, 2, 3, 7, 7, 7, 2, 9, 5, 9, 9, 0, 8, 8, 7, 9, 6, 7, 7, 1, 3, 0, 4, 8, 9, 6, 1, 4, 4, 1, 3, 3, 6, 3, 2, 4, 1, 1, 5, 4, 0, 4, 6, 0, 5, 9, 2, 0, 7, 9, 6, 7, 1, 2, 7, 7, 1, 3, 7, 0, 4, 8, 8, 7, 3, 9, 8, 0, 2, 7, 5, 1, 9, 0, 3, 6, 8, 4, 7, 5, 8, 6, 5, 0, 7, 9, 5, 3, 9, 2, 8, 4, 5
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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等于和{k>=1}x^(k^2)*(1+x^k)/(1-x^k-乔格·阿恩特2020年6月3日
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例子
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0.4210976860334237772959908879677130489614413363241154046059207967127713704887...
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MAPLE公司
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evalf(总和(1/(4^k-1),k=1..无穷大),120)#瓦茨拉夫·科特索维奇2014年10月18日
evalf(加((1/4)^(n^2)*(1+2/(4^n-1)),n=1..13),105)#彼得·巴拉,2022年1月30日
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数学
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x=1/4;RealDigits[Sum[DivisorSigma[0,k]x^k,{k,1000}],10,105][1](*在观察和公式阿玛纳斯·穆尔西,请参阅A073668号*)
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黄体脂酮素
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(PARI)汇总(k=1,1/(4^k-1))\\米歇尔·马库斯2014年10月18日
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关键词
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作者
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已批准
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3、0、1、7、3、8、5、3、5、9、7、9、7、2、4、5、7、9、4、8、1、6、2、1、5、9、3、9、9、1、1、9、2、6、2、3、0、9、4、3、1、5、1、7、2、0、3、9、5、7、9、1、9、2、3、1、8、3、7、8、5、8、9、2,0,3,4,3,3,5,2,7,5,8,5,9,4,9,2,9,7,8,1,6,9,6,8,3,5,5,7
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.301733853597972457948162159393991192623009431517157720395791923318379825892...
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MAPLE公司
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evalf(加((1/5)^(n^2)*(1+2/(5^n-1)),n=1..12),105)#彼得·巴拉2022年1月30日
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数学
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x=1/5;RealDigits[Sum[DivisorSigma[0,k]x^k,{k,1000}],101105][[1]](*在观察和公式阿玛纳斯·穆尔西,请参阅A073668号*)
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黄体脂酮素
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(PARI)汇总(k=1,1/(5^k-1))\\M.F.哈斯勒2014年10月15日
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2, 3, 4, 1, 4, 9, 1, 3, 0, 1, 3, 4, 8, 0, 9, 2, 0, 6, 4, 8, 5, 1, 1, 1, 6, 7, 2, 8, 1, 3, 8, 7, 2, 9, 1, 8, 5, 4, 6, 3, 6, 1, 0, 3, 4, 7, 8, 6, 5, 1, 3, 8, 9, 8, 5, 2, 2, 4, 2, 1, 3, 8, 6, 7, 1, 0, 2, 3, 8, 1, 9, 8, 6, 6, 2, 8, 7, 9, 2, 3, 2, 2, 5, 6, 7, 8, 8, 7, 9, 5, 0, 1, 8, 7, 8, 3, 9, 1, 2, 6, 6, 5, 5, 3, 4
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.1个
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链接
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配方奶粉
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例子
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0.2341491301348092064851116728138729185463610347865138985224213867102381986628...
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MAPLE公司
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evalf(总和(1/(6^k-1),k=1..无穷大),120)#瓦茨拉夫·科特索维奇2014年10月18日
#具有更快收敛级数的第二个程序
evalf(加((1/6)^(n^2)*(1+2/(6^n-1)),n=1..11),105)#彼得·巴拉2022年1月30日
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数学
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x=1/6;RealDigits[Sum[DivisorSigma[0,k]x^k,{k,1000}],101105][[1]](*在观察和公式阿玛纳斯·穆尔西,请参阅A073668号*)
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黄体脂酮素
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(PARI)汇总(k=1,1/(6^k-1))\\米歇尔·马库斯2014年10月18日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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A248724型
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| Sum_{k>=1}1/(7^k-1)的十进制展开式。 |
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+10 10
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1, 9, 0, 9, 1, 0, 0, 6, 2, 4, 1, 0, 2, 6, 1, 5, 7, 8, 2, 0, 2, 1, 9, 9, 6, 4, 4, 4, 1, 7, 6, 9, 1, 1, 6, 8, 7, 6, 9, 2, 6, 8, 4, 7, 6, 0, 0, 8, 2, 6, 6, 4, 0, 8, 3, 3, 4, 7, 7, 1, 1, 0, 8, 6, 4, 0, 9, 9, 9, 6, 7, 5, 5, 8, 4, 6, 3, 0, 1, 4, 4, 0, 3, 8, 0, 0, 9, 1, 1, 6, 1, 6, 5, 9, 7, 0, 9, 1, 1, 9, 3, 4, 5, 6, 1
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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例子
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0.1909100624102615782021996444176911687692684760082664083347711086409996755846...
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MAPLE公司
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evalf(总和(1/(7^k-1),k=1..无穷大),120)#瓦茨拉夫·科特索维奇2014年10月18日
#具有更快收敛级数的第二个程序
evalf(加(1/7)^(n^2)*(1+2/(7^n-1)),n=1..11),105)#彼得·巴拉2022年1月30日
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数学
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x=1/7;RealDigits[Sum[DivisorSigma[0,k]x^k,{k,1000}],10,105][1](*在观察和公式阿玛纳斯·穆尔西,请参阅A073668号*)
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黄体脂酮素
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(PARI)汇总(k=1,1/(7^k-1))\\米歇尔·马库斯2014年10月18日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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1, 6, 0, 9, 6, 6, 1, 8, 4, 3, 1, 5, 0, 6, 2, 3, 9, 6, 8, 0, 5, 3, 0, 2, 5, 6, 4, 1, 4, 3, 6, 4, 2, 8, 8, 5, 5, 5, 0, 7, 4, 3, 8, 5, 6, 0, 2, 5, 3, 2, 8, 3, 4, 6, 3, 6, 0, 8, 3, 5, 9, 1, 8, 6, 4, 7, 8, 2, 3, 9, 4, 0, 8, 5, 8, 0, 0, 6, 3, 6, 9, 1, 7, 7, 9, 2, 3, 4, 5, 3, 1, 0, 0, 9, 3, 2, 5, 4, 0, 2, 5, 2, 9, 6, 4
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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配方奶粉
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例子
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0.16096618431506239680530256414364288555074385602532834636083591864782394085800...
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MAPLE公司
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evalf(总和(1/(8^k-1),k=1..无穷大),120)#瓦茨拉夫·科特索维奇2014年10月18日
#具有更快收敛级数的第二个程序
evalf(加(1/8)^(n^2)*(1+2/(8^n-1)),n=1..10),105)#彼得·巴拉2022年1月30日
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数学
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x=1/8;RealDigits[Sum[DivisorSigma[0,k]x^k,{k,1000}],10,105][1](*在观察和公式阿玛纳斯·穆尔西,请参阅A073668号*)
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黄体脂酮素
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(PARI)汇总(k=1,1/(8^k-1))\\米歇尔·马库斯2014年10月18日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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1, 3, 9, 0, 4, 5, 1, 1, 7, 6, 6, 2, 1, 8, 8, 1, 2, 9, 3, 5, 8, 7, 2, 8, 4, 7, 4, 3, 6, 9, 0, 8, 9, 0, 5, 2, 1, 3, 9, 3, 6, 2, 6, 4, 7, 0, 6, 7, 8, 1, 9, 6, 0, 9, 5, 5, 1, 0, 3, 5, 4, 9, 3, 4, 7, 9, 6, 7, 0, 2, 0, 1, 4, 5, 3, 6, 6, 6, 6, 0, 7, 9, 8, 8, 6, 3, 3, 7, 9, 8, 1, 3, 5, 7, 6, 5, 5, 0, 5, 7, 9, 9, 5, 5, 3
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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例子
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0.13904511766218812935872847436908905213936264706781960955103549347967020145366...
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MAPLE公司
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evalf(和(1/(9^k-1),k=1.无穷大),120)#瓦茨拉夫·科特索维奇2014年10月18日
#具有更快收敛级数的第二个程序
evalf(加(1/9)^(n^2)*(1+2/(9^n-1)),n=1..10),105)#彼得·巴拉2022年1月30日
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数学
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x=1/9;RealDigits[Sum[DivisorSigma[0,k]x^k,{k,1000}],10,105][1](*在观察和公式阿玛纳斯·穆尔西,请参阅A073668号*)
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黄体脂酮素
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(PARI)汇总(k=1,1/(9^k-1))\\米歇尔·马库斯2014年10月18日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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