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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a073115-编号：a073115
显示找到的6个结果中的1-6个。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A073116号 S/2的连续分数展开，其中S=Sum_｛k>=0｝1/2^底（k*phi）(A073115号)φ是黄金比率（1+sqrt（5））/2(A001622号). +20
1
0, 1, 5, 1, 8, 4, 64, 128, 16384, 1048576, 34359738368, 18014398509481984, 1237940039285380274899124224, 11150372599265311570767859136324180752990208, 27606985387162255149739023449108101809804435888681546220650096895197184 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
评论
数字S是从代换系统（1->（1,0），0->（1））获得的数字。S的连续分式展开的第n项是2^斐波那契（n-2）（参见。A000301号). 这个数S是已知的超越数。S/2^m的连分数遵循与S/2相同的规则。
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..20时的n，a（n）表
公式
如果n>2，则a（2n+1）=2^（F（2n-1）+1）和a（2n）=2^（F（2n-2）-1），其中F（n）是第n个斐波那契数。
数学
a[1]=0；a[2]=1；a[3]=5；a[n]：=2^（斐波那契[n-2]-（-1）^n）；数组[a，15](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月8日*）
交叉参考
参见。A000045号,A000301号,A001622号,A073115号.
关键字
基础,cofr公司,非n
作者
贝诺伊特·克洛伊特2002年8月19日
扩展
更多术语来自阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月8日
状态
经核准的
A000301号 a（n）=a（n-1）*a（n-2），a（0）=1，a（1）=2；同时a（n）=2^斐波那契（n）。 +10
40
1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, 8192, 2097152, 17179869184, 36028797018963968, 618970019642690137449562112, 22300745198530623141535718272648361505980416, 13803492693581127574869511724554050904902217944340773110325048447598592 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
评论
s的连续分数展开=A073115号=1.709803442861291…=总和{k>=0}（1/2 ^楼层（k*phi）），其中phi是黄金比率（1+sqrt（5））/2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月19日
上述常数s的连续分数展开式为[1；1，2，2，4，…]，兔子常数r=s-1=A014565型是[0；1，2，2，4，…]-M.F.哈斯勒2018年11月10日
参考文献
Stephen Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年，第913页。
链接
T.D.Noe，n=0..18时的n，a（n）表
J.L.Davison，级数及其相关连分式，程序。阿默尔。数学。《社会学》，63（1977），29-32。
萨缪尔·吉拉乌多，Tamari格中平衡二叉树的区间，arXiv预印本arXiv:1107.3472[math.CO]，2011-2012，以及《计算机科学》420（2012）1-27.
可除序列索引
公式
a（n）~k^φ^n，其中k=2^（1/sqrt（5））=1.3634044……φ是黄金比率-查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月12日
a（n）=A000304号（n+3）/A010098型（n+1）-莱因哈德·祖姆凯勒2014年7月6日
和{n>=0}1/a（n）=A124091号. -阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月27日
极限{n->oo}a（n）/a（n-1）^phi=1-彼得·伍德沃德2023年11月24日
MAPLE公司
A000301号：=proc（n）选项记忆；
如果n<2，则1+n
其他的A000301号（n-1）*A000301号（n-2）
fi（菲涅耳）
结束：
序列(A000301号（n） ，n=0..15）；
数学
2^斐波那契[Range[0，14]](*阿隆索·德尔·阿特2016年7月28日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[2^斐波那契（n）：n in[0..20]]//文森佐·利班迪2011年4月18日
（PARI）a（n）=1<<斐波那契（n）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月12日
（哈斯克尔）
a000301=a000079。阿000045
a000301_list=1:扫描（*）2 a000301_列表
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月20日
交叉参考
参见。A000045号,A000304号,A010098型,A010099型,A010100型,A073115号,A124091号.
参见。A000079号.
第k列=第2列，共列A244003型.
关键字
非n,容易的
作者
N.J.A.斯隆1996年3月15日
扩展
偏移量由1更改为0文森佐·利班迪2011年4月18日
状态
经核准的
A014565型 兔子常数的十进制展开式。 +10
21
7, 0, 9, 8, 0, 3, 4, 4, 2, 8, 6, 1, 2, 9, 1, 3, 1, 4, 6, 4, 1, 7, 8, 7, 3, 9, 9, 4, 4, 4, 5, 7, 5, 5, 9, 7, 0, 1, 2, 5, 0, 2, 2, 0, 5, 7, 6, 7, 8, 6, 0, 5, 1, 6, 9, 5, 7, 0, 0, 2, 6, 4, 4, 6, 5, 1, 2, 8, 7, 1, 2, 8, 1, 4, 8, 4, 6, 5, 9, 6, 2, 4, 7, 8, 3, 1, 6, 1, 3, 2, 4, 5, 9, 9, 9, 3, 8, 8, 3, 9, 2, 6, 5 (列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
评论
戴维森表明，连分式（本质上）是A000301号并证明了这个常数是超越的-查尔斯·格里特豪斯四世2013年7月22日
利用戴维森的结果，我们可以找到兔子常数r的交替级数表示为r=1-和{n>=1}（-1）^（n+1）*（1+2^斐波那契（3*n+1））/。级数收敛很快：例如，级数的前10项给出的r值精确到170多万个小数位。请参见A005614号. -彼得·巴拉2013年11月11日
兔子常数是具有无限斐波那契单词的数字A005614号作为二进制展开；它的连续分数展开是A000301号= 2^A000045号（根据惯例，在前导零之后）-M.F.哈斯勒2018年11月10日
参考文献
S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第439页。
M.Schroeder，《分形、混沌、幂律：无限天堂的几分钟》，纽约：W.H.Freeman，1991年。
链接
Sean A.Irvine和Joerg Arndt，n=0..2000时的n，a（n）表
W.W.Adams和J.L.Davison，一类引人注目的连分数，程序。阿默尔。数学。《社会分类》第65卷（1977年），194-198年。
P.G.Anderson、T.C.Brown和P.J.-S.Shiue，一个显著连分式恒等式的简单证明程序。阿默尔。数学。Soc.123（1995），2005-2009年。
Joerg Arndt，计算事项（Fxtbook）第754页。
J.L.Davison，级数及其相关连分式，程序。阿默尔。数学。Soc.63（1977），第29-32页。
马丁·格里菲斯，96.12级数之和：有理还是无理？《数学公报》，第96卷，第535号（2012年），第121-124页。
C.Kimberling和K.B.Stolarsky，慢Beatty序列、迂回收敛和分部发散阿默尔。数学。月刊，123（2016年第2期），267-273。
埃里克·魏斯坦的数学世界，兔子常数。
超越数的索引项
公式
等于和{n>=1}1/2^b（n），其中b（n）=楼层（n*phi）=A000201号（n） ●●●●。
等于-1+A073115号.
发件人彼得·巴拉2013年11月4日：（开始）
Adams和Davison 1977的结果可以用来找到兔子常数r的各种替代级数表示。这里有几个例子（φ表示黄金比率（1/2）*（1+sqrt（5）））。
r=Sum_{n>=2}（地板（（n+1）*phi）-地板（n*phiA014675号（n） /2^个。
r=Sum_{n>=1}层（n/phi）/2^n=Sum_{n>=1}A005206号（n-1）/2^n。
r=（和{n>=1}1/2^层（n/phi））-2和r=（总和{n>=1}层（n*phi）/2^n）-2=（和_{n>=1}A000201号（n） /2^n）-2。
更一般地说，对于整数N>=-1，r=（Sum_{N>=1}1/2^floor（N/（phi+N）））-（2*N+2），对于所有整数N，r=。
同时r=1-和{n>=1}1/2 ^层（n*phi^2）=1-总和{n>=1}1/2^A001950号（n） r=1-和{n>=1}层（n*（2-phi））/2^n=1-和}A060144号（n） /2^n.（结束）
例子
0.709803442861291314641787399444575597012502205767...
数学
取[RealDigits[Sum[N[1/2^Floor[k*GoldenRatio]，120]，{k，0，300}]-1][[1]，103](*Jean-François Alcover公司2011年7月28日之后贝诺伊特·克洛伊特*)
RealDigits[FromDigits[{Nest[Flatten[#/.{0->{1}，1->{1，0}}]&，{1}，12]，0}，2]，10，111][1](*罗伯特·威尔逊v2014年3月13日*）
数字=103；dm=10；清除[xi]；xi[b_，m_]：=xi[b，m]=RealDigits[ContinuedFractionK[1，b^Fibonacci[k]，{k，0，m}]，10，digits]//第一位；xi[2，dm]；xi[2，m=2dm]；而[xi[2，m]！=xi[2，m-dm]，m=m+dm]；xi[2，m](*Jean-François Alcover公司，2015年3月4日，根据Oleg Marichev的建议更新版本7及更高版本*）
黄体脂酮素
（PARI）/*来自fxtbook的快速无除法例程*/
fa（y，N=17）=
{my（t，yl，yr，L，R，Lp，Rp）；
/*功率系列校正到最高阶fib（N+2）-1*/
L=0；R=1；yl=1；yr=y；
对于（k=1，N，t=yr；yr*=yl；yl=t；Lp=R；Rp=R+yr*L；L=Lp；R=Rp；）；
返回（R）
}
a=0.5*fa（0.5）/*乔格·阿恩特2010年4月15日*/
（PARI）我的（r=1，p=（3-sqrt（5））/2，n=1）；而（r>r-=1.>>（n\p），n++）；A014565型=r\\M.F.哈斯勒2018年11月10日
（PARI）my（f（n）=1.<<fibonacci（n）-1，g（n）=（f（n+2）+2）/f（n）/f；1-g（2）+g（5）-g（8）\\巴拉评论中的公式说明。使用g（8）得到70位数字；后续项（+g（11），-g（14），+g（17），…）每个精度乘以4.236~A098317号（=>29812595331，…位数）-M.F.哈斯勒2018年11月10日
交叉参考
参见。A005614号,A073115号,A119809年,A119812年.
关键字
非n,欺骗
作者
埃里克·韦斯特因1999年12月11日
扩展
更多术语来自西蒙·普劳夫1999年12月11日
状态
经核准的
A119812年 由涉及Beatty序列的二进制和定义的常数的十进制展开：c=Sum_{n>=1}A049472号（n） /2^n=和{n>=1}1/2^A001951号（n） ●●●●。 +10
8
8, 5, 8, 2, 6, 7, 6, 5, 6, 4, 6, 1, 0, 0, 2, 0, 5, 5, 7, 9, 2, 2, 6, 0, 3, 0, 8, 4, 3, 3, 3, 7, 5, 1, 4, 8, 6, 6, 4, 9, 0, 5, 1, 9, 0, 0, 8, 3, 5, 0, 6, 7, 7, 8, 6, 6, 7, 6, 8, 4, 8, 6, 7, 8, 8, 7, 8, 4, 5, 5, 3, 7, 9, 1, 9, 1, 2, 1, 1, 1, 9, 5, 4, 8, 7, 0, 4, 9, 8, 2, 7, 6, 0, 6, 4, 3, 1, 5, 3, 1, 0, 2, 5, 2 (列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
评论
双重常数：A119809年=总和_｛n＞=1｝1/2^A049472号（n） =和{n>=1}A001951（n） 这个常数的二进制展开式由下式给出A080764号偏移量n=1。Plouffe’s Inverter将此常数的近似值描述为“带底函数的对数型级数[]”
链接
n=0..103时的n、a（n）表。
W.W.Adams和J.L.Davison，一类引人注目的连分数，程序。阿默尔。数学。《社会分类》第65卷（1977年），194-198年。
P.G.Anderson、T.C.Brown、P.J.-S.Shiue、，一个显著连分式恒等式的简单证明程序。阿默尔。数学。Soc.123（1995），2005-2009年。
例子
c=0.85826765646100205579226030843337514866490519008350677864864867。。
连续分数(A119813年):
c=[0；1,6,18103216777344288230376151842816，…]
其中，偏商由以下公式给出：
PQ[n]=4^A000129号（n-2）+2^A001333号（n-3）（n>2），PQ[1]=0，PQ[2]=1。
以下是常数的等效表达式：
（1） 和{n>=1}A049472号（n） /2^n；A049472号（n） =[n/sqrt（2）]；
（2） 和{n>=1}1/2^A001951号（n） ；A001951号（n） =[n*sqrt（2）]；
（3） 和{n>=1}A080764号（n） /2^n；A080764号（n） =[（n+1）/sqrt（2）]-[n/sqrt[2）]；
其中[x]=楼层（x）。
这些系列说明了上述表达式：
（1） c=0/2^1+1/2^2+2/2^3+2/2^4+3/2^5+4/2^6+4/2^7+。。。
（2） c=1/2^1+1/2^2+1/2^4+1/2^5+1/2^7+1/2^8+1/2^9+。。。
（3） c=1/2^1+1/2^2+0/2^3+1/2^4+1/2^5+0/2^6+1/2^7+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（t=sqrt（2）/2，x=sum（m=1，10*n，floor（m*t）/2^m））；floor（10^n*x）%10}
交叉参考
参见。A119813年（连分数），2014年1月（收敛）；A119809年（对偶常数）；A000129号（佩尔），A001333号；节拍序列：A049472号,A001951号,A080764号；变体：A014565型（兔子常数），A073115号.
关键字
欺骗,非n
作者
保罗·D·汉纳2006年5月26日
扩展
删除前导零并校正偏移R.J.马塔尔2009年2月5日
状态
经核准的
A119809年 由涉及Beatty序列的二进制和定义的常数的十进制展开：c=Sum_{n>=1}1/2^A049472号（n） =和{n>=1}A001951号（n） /2^个。 +10
7
2, 3, 2, 2, 5, 8, 8, 5, 2, 2, 5, 8, 8, 0, 6, 7, 7, 3, 0, 1, 2, 1, 4, 4, 0, 6, 8, 2, 7, 8, 7, 9, 8, 4, 0, 8, 0, 1, 1, 9, 5, 0, 2, 5, 0, 8, 0, 0, 4, 3, 2, 9, 2, 5, 6, 6, 5, 7, 1, 8, 0, 6, 2, 3, 9, 4, 4, 0, 5, 2, 1, 7, 5, 6, 0, 9, 6, 9, 5, 3, 9, 2, 0, 6, 2, 3, 5, 5, 7, 5, 0, 0, 7, 2, 3, 9, 1, 7, 7, 2, 2, 4, 7, 9, 7 (列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
双重常数：A119812年=和{n>=1}A049472号（n） /2^n=和{n>=1}1/2^A001951号（n） ●●●●。因为这个常数c=2+Sum_{n>=1}1/2^A003151号（n） ，其中A003151号（n） =n+floor（n*sqrt（2）），则c的小数部分的二进制展开仅在Beatty序列给定的位置上有1A003151号（n） 其他地方为零。Plouffe’s Inverter将c的小数部分近似描述为“带底函数的多对数型级数[]”
链接
n=1..105时的n、a（n）表。
凯文·奥布莱恩特，Beatty序列和其他步进序列的生成函数技术《数论杂志》，第94卷，第2期，2002年6月，第299-319页。
公式
等于和（1/（2^q-1）），其和扩展到所有整数对gcd（p，q）=1，0<p/q<sqrt（2）（O’Bryant，2002）-阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月25日
例子
c=2.32258852258806773012144068278798408011950250800432925665718。。。
连续分数(A119810年):
c=[2；3,10132131104219902325964863382530011411470074888473600，…]
其中，偏商由以下公式给出：
PQ（n）=2^A001333号（n-1）+2^A000129号（n-2）（n>1），PQ（1）=2。
以下是常数的等效表达式：
（1） 和{n>=1}1/2^A049472号（n） ；A049472号（n） =[n/sqrt（2）]；
（2） 和{n>=1}A001951号（n） /2^n；A001951号（n） =[n*sqrt（2）]；
（3） 和{n>=1}1/2^A003151号（n） +2；A003151号（n） =[n*sqrt（2）]+n；
（4） 和{n>=1}1/2^A097508号（n） -2；A097508号（n） =[n*sqrt（2）]-n；
（5） 和{n>=1}A006337号（n） /2^n+1；A006337号（n） =[（n+1）*sqrt（2）]-[n*sqert（2）]；
其中[x]=楼层（x）。
这些系列说明了上述表达式：
（1） c=1/2^0+1/2^1+1/2^2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+1/2^4+。。。
（2） c=1/2^1+2/2^2+4/2^3+5/2^4+7/2^5+8/2^6+9/2^7+。。。
（3） c=2+1/2^2+1/2^4+1/2^7+1/2^9+1/2^12+1/2^14+。。。
（4） c=-2+1/2^0+1/2^0+1/2^1+1/2^1+1/2^1'+1/2^2+1/2^2+1/2^2+。。。
（5） c=1+1/2^1+2/2^2+1/2^3+2/2^4+1/2^5+1/2^6+2/2^7+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=本地（t=sqrt（2），x=总和（m=1，10*n，floor（m*t）/2^m））；floor（10^n*x）%10}
交叉参考
参见。A119810年（连分数），A119811年（收敛）；A119812年（对偶常数）；A000129号（佩尔），A001333号；节拍序列：A049472号,A001951号,A003151号,A097508号,A006337号；变体：A014565型（兔子常数），A073115号.
参见。A081544号,A081550号,A081573号.
关键字
欺骗,非n
作者
保罗·D·汉纳2006年5月26日
状态
经核准的
A081544号 Sum_（1/（2^q-1））的十进制展开，求和扩展到所有整数对gcd（p，q）=1，0<p/q<phi，其中phi是黄金比率。 +10
3
2, 7, 0, 9, 8, 0, 3, 4, 4, 2, 8, 6, 1, 2, 9, 1, 3, 1, 4, 6, 4, 1, 7, 8, 7, 3, 9, 9, 4, 4, 4, 5, 7, 5, 5, 9, 7, 0, 1, 2, 5, 0, 2, 2, 0, 5, 7, 6, 7, 8, 6, 0, 5, 1, 6, 9, 5, 7, 0, 0, 2, 6, 4, 4, 6, 5, 1, 2, 8, 7, 1, 2, 8, 1, 4, 8, 4, 6, 5, 9, 6, 2, 4, 7, 8, 3, 1, 6, 1, 3, 2, 4, 5, 9, 9, 9, 3, 8, 8, 3, 9, 2, 6, 5, 3 (列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
链接
n=1..105时的n、a（n）表。
凯文·奥布莱恩特，Beatty序列和其他步进序列的生成函数技术《数论杂志》，第94卷，第2期，2002年6月，第299-319页。
公式
等于和{k>=1}（1/2）^floor（k/phi）。
等于A014565型+2个=A073115号+ 1. -阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月25日
数学
使用[{digmax=120}，RealDigits[Sum[1/2^Floor[k/GoldenRatio]，{k，1，10*digmax}]，10，digmax][1](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月25日*）
交叉参考
参见。A001622号（黄金比例），A014565型,A073115号.
参见。A081550号,A081564号,A081573号.
关键字
欺骗,非n
作者
贝诺伊特·克洛伊特2003年4月21日
扩展
数据修正人阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月25日
状态
经核准的
第页1

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