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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索: a072797-编号:a072787
显示找到的32个结果中的1-10个。 第页12 4
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A073191号 加泰罗尼亚双射的独立轨道/周期数A072796号/A072797号每个分区A000108美元(n) 范围内编码的结构[A014137号(n-1)。。A014138号序列的(n-1)]A014486号/A063171号. +20
8
1, 1, 2, 4, 11, 31, 96, 305, 1007, 3389, 11636, 40498, 142714, 507870, 1823040, 6591885, 23989419, 87795473, 322922652, 1193058230, 4425547638, 16475756738, 61539293424, 230548633954, 866095934598, 3261868457698, 12313423931624 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.3
链接
配方奶粉
a(n)=(A000108美元(n)+A073190号(n) )/2。
交叉参考
在中首次发生A073201号作为第1行。
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2002年6月25日
状态
经核准的
A073200型 类型B的简单加泰罗尼亚双射数。 +10
91
0, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 7, 3, 3, 1, 0, 8, 4, 2, 3, 1, 0, 6, 6, 8, 2, 3, 1, 0, 4, 5, 7, 7, 2, 3, 1, 0, 5, 7, 6, 6, 8, 2, 3, 1, 0, 17, 8, 5, 8, 7, 7, 2, 2, 1, 0, 18, 9, 4, 4, 6, 8, 7, 3, 3, 1, 0, 20, 10, 22, 5, 5, 5, 8, 4, 2, 2, 1, 0, 21, 14, 21, 17, 4, 4, 6, 5, 8, 3, 3, 1, 0 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
每一行是由加泰罗尼亚双射(构造如下所述)作用于括号/平面二叉树上的非负整数的置换,其编码和排序方式如下A014486号/A063171号.
构造过程类似于原始递归函数到N的构造映射:我们有两个基本原语,A069770号(第0行)和A072796号(第1行),其中前者交换二叉树的左子树和右子树,后者交换平面一般树的两个最左子树的位置,除非树的度小于2,在这种情况下,它只是修复它。从此,偶数行是根据此表中的任何其他Catalan双射递归构造的,使用五种允许的递归类型之一:
0-应用给定的加泰罗尼亚双射,然后向下递归到所获得的新二叉树的两个子树。(行号的最后一位小数=2)
1-首先递归到旧二叉树的两个子树,然后才应用给定的Catalan双射。(最后一位=4)
2-应用给定的Catalan双射,然后递归到获得的新二叉树的右子树。(最后一位=6)
3-首先递归到旧二叉树的右子树,然后才应用给定的Catalan双射。(最后一位=8)
4-首先递归到旧二叉树的左子树,然后应用给定的Catalan双射,然后递归到新二叉树右子树。(最后一位=0)
奇数行>2是行0、1、2、4、6、8…的组合。。。(即其中一个基元A069770号A072796号(或递归组合之一)和来自右侧同一数组的任何Catalan双射。请参阅scheme-functions index-for-recursive-sgtb和index-fort-composed-sgtb,了解如何计算此表中递归和普通组合的位置。
链接
A.卡图恩,异形性(有完整的来源和解释)
黄体脂酮素
(Scheme函数显示如何计算此表中出现foo递归组合(矩形0-4)或lhs和rhs普通组合的行,其中foo、lhs、rhs也是此表的索引):
(定义(index-for-recursive-sgtb foo矩形类型)(+2(*10 foo)(*2矩形类型))
(define(index-for-composed-sgtb lhs-rhs)(let((new-lhs(cond((<lhs2)lhs))((偶数?lhs(1+(/lhs2))))(else(error“Only the primitive Catalan bijectionsA069770号(0) &A072796号(1) 或者递归组合的加泰罗尼亚双宾语(偶数>=2)可以出现在组合的左侧。不允许奇数:“lhs)))(1+(packA054238(*2 new-lhs)rhs)))
(定义(包A054238 x y)(+(A000695号x) (*2)(A000695号y) ))
(定义(A000695号n) (如果(零?n)n(+(模n 2)(*4(A000695号(地板->精确(/n 2))))
交叉参考
其他四个表给出了相应的循环计数:A073201型,固定元素的计数:A073202号,最大循环的长度:A073203型所有循环的LCM:A073204号普通成分使用N X N->N双射进行编码A054238号(它反过来使用位分隔函数A000695号).
此表的前21行:。
第0行:A069770号.第1行:A072796号第2行:A057163号第3行:A073269号,第4行:A057163号(重复),第5行:A073270型,第6行:A069767号,第7行:A001477号(身份许可),第8行:A069768号,第9行:A073280号.
第10行:A069770号(双面),第11行:A072796号(双面),第12行:A057511号,第13行:A073282号,第14行:A057512号,第15行:A073281号,第16行:A057509号,第17行:A073280号(双面),第18行:A057510号,第19行:A073283号,第20行:A073284号.
本表中发生的其他加泰罗尼亚双射诱发的EIS突变。只给出了第一个已知事件。对合用*标记,其他用其逆:配对。
第164行:A057164号*,第168行:A057508号*,第179行:A072797号*.
第41行:A073286号-第69行:A073287号第105行:A073290号-第197行:A073291号.第416行:A073288号-第696行:A073289号.
第261行:A057501号-第521行:A057502号.第2618行:A057503号-第5216行:A057504号.第2614行:A057505号-第5212行:A057506号.
第10435行:A073292号-行…:A073293号.第17517行:A057161号-行…:A057162号.
有关(某些)加泰罗尼亚自同构的更实用枚举系统,请参见表A089840美元及其各种“递归推导”。
关键词
非n,
作者
安蒂·卡图恩2002年6月25日
状态
经核准的
A089840美元 非递归Catalan自同构的签名置换(即有限平面二叉树的双射,从根到无限距离没有无限递归),根据其定义子句中所需的最小打开节点数进行排序。 +10
86
0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 3, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 5, 7, 3, 2, 1, 0, 6, 8, 4, 3, 2, 1, 0, 7, 6, 6, 5, 3, 2, 1, 0, 8, 4, 5, 4, 5, 3, 2, 1, 0, 9, 5, 7, 6, 6, 6, 3, 2, 1, 0, 10, 17, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 1, 0, 11, 18, 9, 8, 7, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 0, 12, 20, 10, 12, 8, 7, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 13, 21, 14, 13, 12, 8, 7, 6 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
每行是自然数的排列,只出现一次。表的行组成已关闭(请参见A089839号)它包含每一个的倒数(它们的位置如所示A089843号). 表中的排列构成了所有大小保持的“Catalan双射”(有限个未标记根平面二叉树中的双射)组的可枚举子群。每个元素的顺序如所示A089842号.
参考文献
A.Karttunen,正在准备论文,可通过电子邮件获取草稿。
链接
交叉参考
此表的前22行:第0行(身份置换):A001477号, 1:A069770号, 2:A072796号, 3:A089850型,4:A089851美元, 5:A089852号, 6:A089853号, 7:A089854号, 8:A072797号, 9:A089855号, 10:A089856号, 11:A089857号, 12:A074679号, 13:A089858号,第14页:A073269美元, 15:A089859号, 16:A089860号, 17:A074680号, 18:A089861号,第19页:A073270型, 20:A089862号, 21:A089863号.
其他行:第83行:A154125号,第169行:A129611号,第183行:A154126号,第251行:129612英镑,第253行:A123503型,第258行:A123499型,第264行:A123500个,第3608行:A129607号,第3613行:A129605号,第3617行:A129606号,第3655行:A154121号,第3656行:A154123号,第3702行:A082354号,第3747行:A154122号,第3748行:A154124号,第3886行:A082353号,第4069行:A082351号,第4207行:A089865号,第4253行:A082352号,第4299行:A089866号,第65167行:A129609型,第65352行:A129610号,第65518行:123495英镑,第65796行:A123496号,第79361行:A123492号,第1653002行:A123695号,第1653063行:A123696号,第1654023行:A073281号,第1654249行:A123498号,第1654694行:A089864号,第1654720行:A129604型,第1655089行:A123497号,第1783367行:2013年12月13日,第1786785行:A123714号.
将序列索引到此表,给出各种子组或其他重要结构:A153826号,A153827号,A153829号,A153830号,A123694号,A153834号,A153832号,A153833号.
关键词
非n,
作者
安蒂·卡图恩2003年12月5日;上次修订日期:2009年1月6日
状态
经核准的
A072796号 在由A014486号。请参见注释中的插图。 +10
50
0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 19, 11, 15, 12, 17, 18, 13, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 38, 42, 44, 47, 51, 53, 56, 60, 28, 29, 39, 43, 52, 30, 40, 31, 45, 46, 32, 48, 49, 50, 33, 41, 34, 54, 55, 35, 57, 58, 59, 36, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.3
评论
此双射对未标记的有根平面一般树(字母A、B、C等指位于这些顶点上的任意子树)产生以下变换:
A A A B A B B A B C B A C
| --> | \ / --> \ / \ | / --> \ | /
| | \./ \./ \|/ \|/ 等。
也就是说,它保持“planted”(根阶数=1)树的完整性,并交换根阶数>1的一般树的两个最左边的顶级子树。
在一般树映射到的底层二叉树的层次上(例如,参见N.g.De Bruijn和B.J.M.Morselt 1967年的论文,或考虑Lisp编程语言中的列表与点对),此双射对未标记的有根平面二叉树(字母A、B、C表示位于这些节点上的任意子树,()表示隐含的终端节点)上的以下变换产生影响。
B丙A丙
\ / \ /
A x-->B x A()A()
\ / \ / \ / --> \ /
x x x x
(a)(b)->(b)(a)->(a)
注意,第一个子句对应于汤普森V组中的“生成器pi_0”。(另请参见A074679号,A089851号A154121号用于其他相关发电机。)
请看示例部分,看看这将如何生成给定的整数序列。
将此置换递归地应用于二叉树的右侧分支(或等效地,沿一般树的最顶层),会产生置换A057509号A057510号(出现在表中相同的索引2中2003年12月1日A122204号)这对普通树和括号产生了“浅层旋转”的影响。将其递归地应用于二叉树的两个分支(如前序或后序遍历)会产生A057511号A057512号(出现在表中相同的索引2中A122201型A122201型)这会对一般树和括号产生“深度旋转”的影响。
对于这个排列,A127301号(a(n))=A127301号(n) 对于所有n,这反过来意味着129593年(a(n))=A129593号(n) 对于所有n,同样对于所有递归生成的双射A057509号-A057512号。也可与A072797号.
链接
安蒂·卡图恩,n=0..196时的n、a(n)表
J.W.Cannon、W.J.Floyd和W.R.Parry,关于Richard Thompson群F和T的注记
J.W.Cannon、W.J.Floyd和W.R.Parry,理查德·汤普森小组简介《环境数学》,第42卷(1996年),第215-256页。
N.G.De Bruijn和B.J.M.Morselt,关于梧桐树的一点注记,J.组合理论2(1967),27-34。
安蒂·卡图恩,加泰罗尼亚自形
例子
为了获得签名置换,我们将这些变换应用于按以下方式编码和排序的二叉树A014486号对于每个n,a(n)将是第n棵树转换到的树的位置,如下所示:
.
一棵内部树
空树(非叶)节点
x个\/
n=0 1
a(n)=0 1(两者总是固定的)
.
接下来的7棵树,有2-3个内部节点,在范围内[A014137号(1),A014137号(2+1)-1]=[2,8]为:
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/\/\/\/\_/\/\/
n=2 3 4 5 6 7 8
.
在注释中给出的图中标记为“A”和“B”的位置交换两个子树后的新形状为:
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \_/ \/ \/ \/
a(n)=2 3 4 6 5 7 5
因此我们得到了这个序列的前九项:0,1,2,3,4,6,5,7,8。
黄体脂酮素
(Scheme函数在列表结构上实现此自同构(*A072796号)和破坏性的(*A072796号!) 给定的变量:)
(定义(*A072796号s) (cond((not(pair?s))s)((not(pairs?(cdr s)))(其他(cons(cadr s)(cons
(定义(*A072796号! s) (cond((not(pair?s))s)((not(pairs?(cdr s)))(else(swap!s)(robr!s)
(define(robr!s)(let((ex cdr(cdrs)))(set cdr!s(caar s))(set car!(car s)ex cdr)(swap!(car s))(swap!s)s))
(定义(交换!s)(let((ex-car(car s)))(set-car!s(cdr s))(set-cdr!s ex-car)s))
交叉参考
第2行,共行A089840美元.第3613行,共行2003年12月1日和第3617行A122204号.
固定点计数和周期计数见A073190号A073191号.
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2002年6月12日
扩展
编辑评论部分并添加示例安蒂·卡图恩2024年1月26日
状态
经核准的
A083927号 N->N注入的反函数A057123号. +10
17
0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,13
评论
a(0)=0,因为A057123号(0)=0,但a(n)=0也适用于那些没有作为值出现的nA057123号。所有正自然数在此出现一次。
如果g(n)=A083927号(f)(A057123号(n) )然后我们可以说,使用明显的二叉树->一般树嵌入,加泰罗尼亚双射g以n:2n的比例嵌入到加泰罗尼亚双射f中。例如,我们有:A057163号=A083927号(A057164号(A057123号(n) ),A057117号=A083927号(A072088型(A057123号(n) ),A057118号=A083927号(A072089号(A057123号(n) ),A069770号=A083927号(A072796号(A057123号(n) ),A072797号=A083927号(A072797号(A057123号(n) )。
链接
安蒂·卡图恩,异形性
黄体脂酮素
(Scheme-function显示了基本思想。要获得完整的源代码,请访问“加泰罗尼亚双宾语”链接。)
(定义(Tree2BinTree_if_possible gt)(调用带当前内容(lambda(e)(let recurse((gt gt)))
交叉参考
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2003年5月13日
状态
经核准的
A089858号 加泰罗尼亚自同构引起的自然数置换*A089858号作用于由编码的二叉树/括号A014486号/A063171号. +10
13
0, 1, 3, 2, 6, 8, 7, 4, 5, 14, 15, 19, 21, 22, 16, 20, 17, 9, 10, 18, 11, 12, 13, 37, 38, 39, 40, 41, 51, 52, 56, 58, 59, 60, 62, 63, 64, 42, 43, 53, 57, 61, 44, 54, 45, 23, 24, 46, 25, 26, 27, 47, 55, 48, 28, 29, 49, 30, 31, 32, 50, 33, 34, 35, 36, 107, 108, 109, 110, 111 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.3
评论
此自同构对未标记的有根平面二叉树(字母A、B、C表示位于这些节点上的任意子树,()表示隐含的终端节点)上的以下变换产生影响
…..B……C……B……A
……\.//
…A…x…-->。x..C…………..A..()。。。。。。。。。()..答:。。
....\./.............\./.................\./....-->....\./...
…..x…………..x。。。。
(a、b)。c) ->((b.a)。c) ______(a。())--->(()。a)
有关如何从该定义中获取给定整数序列的详细说明,请参阅Karttune-OEIS-Wiki链接。
链接
A.卡图恩,加泰罗尼亚自形
黄体脂酮素
(在列表结构/S表达式上实现这种自同构的Scheme函数,都是构造性的(*A089858号)和破坏性(*a089585元!) 版本:)
(定义(*A089858号s) (cond((not(pair?s))s)((not(pairs?(cdrs)))(cons(cdr?s)(cars)))
(定义(*A089858号! s) (条件((对)(条件(对(cdr))(条件)(条件!s)(交换!(汽车)))(其他(交换!s))))
(定义(交换!s)(let((ex-car(car s)))(set-car!s(cdr s))(set-cdr!s ex-car)s))
(定义(robl!s)(let((ex-car(cars)))(set-car!s(cddrs))(set-cdr!(cdr s)ex-car)(swap!(cdrs))
交叉参考
第13行,共行A089840美元.的反转A089861号.a(n)=A072797号(A069770号(n) )=A069770号(A089852号(n) )=A057163号(A073270型(A057163号(n) )。
循环次数:A073193号.定点数量:A019590型.最大循环尺寸:A089422号循环大小的LCM:A089423号(在每个限制范围内A014137号A014138号).
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2003年11月29日
扩展
方案功能的进一步评论和建设性实施(*A089858号)由添加安蒂·卡图恩,2011年6月4日
状态
经核准的
A089861美元 加泰罗尼亚自同构引起的自然数置换*A089861号作用于由编码的二叉树/括号A014486号/A063171号. +10
13
0, 1, 3, 2, 7, 8, 4, 6, 5, 17, 18, 20, 21, 22, 9, 10, 14, 16, 19, 11, 15, 12, 13, 45, 46, 48, 49, 50, 54, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 38, 42, 44, 47, 51, 53, 56, 60, 28, 29, 39, 43, 52, 30, 40, 31, 32, 33, 41, 34, 35, 36, 129, 130, 132, 133, 134, 138 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.3
评论
这种自同构会对未标记的有根平面二叉树(字母A、B、C表示位于这些节点上的任意子树,()表示隐含的终端节点)上的以下变换产生影响。
A…B…………A……C
..\./.................\./
…x…C…-->。。。。。B…x…………()。。A…………A.()。。
....\./.............\./.................\./....-->....\./...
…..x…………..x。。。。
(a、b)。c) -->(b、(a、c))____()。a) -->(第页)
有关如何从该定义中获取给定整数序列的详细说明,请参阅Karttune-OEIS-Wiki链接。
链接
A.卡图恩,加泰罗尼亚自形
黄体脂酮素
(在列表结构/S表达式上实现这种自同构的Scheme函数,都是构造性的(*A089861号)和破坏性(*A089861号!) 版本:)
(定义(*A089861美元s) (cond((not(pair?s))s)(非(pair(cars)))(cons(cdr s)(cars
(定义(*A089861号! s) (条件((对)(条件(对))
(定义(交换!s)(let((ex-car(car s)))(set-car!s(cdr s))(set-cdr!s ex-car)s))
(define(robr!s)(let((ex cdr(cdrs)))(set cdr!s(caar s))(set car!(car s)ex cdr)(swap!(car s))(swap!s)s))
交叉参考
第18行,共行A089840美元.的反转A089858号.a(n)=A089852号(A069770号(n) )=A069770号(A072797号(n) )=A057163号(A073269号(A057163号(n) )。
循环次数:A073193号.定点数量:A019590型.最大循环尺寸:A089422号循环大小的LCM:A089423号(在每个限制范围内A014137号A014138号).
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩,2003年11月29日
扩展
由添加的方案实施的图形描述和构造版本安蒂·卡图恩,2011年6月4日
状态
经核准的
A082339号 加泰罗尼亚双射gma082339作用于A014486号/A063171号. +10
9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9, 10, 12, 11, 13, 17, 18, 16, 14, 15, 20, 19, 21, 22, 23, 24, 26, 25, 27, 31, 32, 30, 28, 29, 34, 33, 35, 36, 45, 46, 48, 49, 50, 44, 47, 42, 37, 38, 43, 40, 39, 41, 54, 55, 53, 51, 52, 57, 56, 58, 59, 61, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 67, 69 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.3
链接
A.卡图恩,异形性(连同完整的方案来源)
黄体脂酮素
(在列表结构上实现此自同构的Scheme函数:)
(定义(gma082339!s)(条件((对)(gma072797!s)
交叉参考
的反转A082340号。发生于A073200型如第1796行所示。另请参阅A072797号,A082337号-A082341号.
最大循环大小和循环大小的LCMs:A016116号(待检查)。(在范围内[A014137号(n-1)。。A014138号(n-1)],可能向左或向右移动一个项)。
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2003年4月17日
状态
经核准的
A069775号 自同构gma069775诱导的自然数置换!对由编码的括号执行操作A014486号. +10
7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17, 18, 16, 14, 15, 21, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 45, 46, 48, 49, 50, 44, 47, 42, 37, 38, 43, 39, 40, 41, 58, 59, 56, 51, 52, 57, 53, 54, 55, 63, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.3
链接
A.卡图恩,异形性(包括计算该序列的完整Scheme程序)
黄体脂酮素
(在列表结构上实现此自同构的Scheme函数:)
(定义(gma069775!s)(cond((配对)(gma072797!s)
交叉参考
的反转A069776号.a(n)=A057163号(A057509号(A057163号(n) ))=A069773号(A069770号(n) )。另请参阅A069787号,A072797号.
循环次数:A003239号.固定点数量:A034731号.最大循环尺寸:A028310号循环大小的LCM:A003418号.(在范围内[A014137号(n-1)。。A014138号(n-1)],可能向左或向右移动一项)。
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2002年4月16日
状态
经核准的
A069776号 自同构gma069776引起的自然数置换!操作由编码的括号A014486号. +10
7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17, 18, 16, 14, 15, 20, 21, 19, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 45, 46, 48, 49, 50, 44, 47, 42, 37, 38, 43, 39, 40, 41, 54, 55, 57, 58, 59, 53, 56, 51, 52, 61, 62, 63, 60, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.3
链接
A.卡图恩,异形性(包括计算该序列的完整Scheme程序)
黄体脂酮素
(在列表结构上实现此自同构的Scheme函数:)
(定义(gma069776!s)(条件((配对)(gma1069776!(汽车))(gma 072797!s)))
交叉参考
的反转A069775号.a(n)=A057163号(A057510号(A057163号(n) ))=A069770号(A069774号(n) )。另请参阅A069787号,A072797号.
循环次数:A003239号.固定点数:A034731号.最大循环尺寸:A028310号循环大小的LCM:A003418号.(在范围内[A014137号(n-1)。。A014138号(n-1)],可能向左或向右移动一个项)。
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩2002年4月16日
状态
经核准的
第页12 4

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