搜索： a072364-编号：a072366
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7, 0, 7, 1, 0, 6, 7, 8, 1, 1, 8, 6, 5, 4, 7, 5, 2, 4, 4, 0, 0, 8, 4, 4, 3, 6, 2, 1, 0, 4, 8, 4, 9, 0, 3, 9, 2, 8, 4, 8, 3, 5, 9, 3, 7, 6, 8, 8, 4, 7, 4, 0, 3, 6, 5, 8, 8, 3, 3, 9, 8, 6, 8, 9, 9, 5, 3, 6, 6, 2, 3, 9, 2, 3, 1, 0, 5, 3, 5, 1, 9, 4, 2, 5, 1, 9, 3, 7, 6, 7, 1, 6, 3, 8, 2, 0, 7, 8, 6, 3, 6, 7, 5, 0, 6
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评论
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sqrt（50）=5*sqrt的十进制展开式（2）=7.071067811854752440……给出了基本相同的序列。
如果三角形的边的长度以1:1/（1+d）:1/（1+2d）的比率构成调和级数，则三角形不等式条件要求d在-1+1/sqrt（2）<d<1/sqrt（2中）的范围内-弗兰克·M·杰克逊2011年10月11日
设s_2（n）是n和epsilon（n）=（-1）^s_2（nThue-Morse序列的2位基数之和A010060型，则乘积_｛n>=0｝（（2*n+1）/（2*n+2））^ε（n）=1/sqrt（2）-乔纳森·沃斯邮报2012年6月3日
1/2的平方根，因此根据毕达哥拉斯定理，它是45度的正弦（和45度的余弦）-阿隆索·德尔·阿特2012年9月24日
单位边的正八面体的外切球面半径。在电气工程中，交流电/电压的有效振幅与峰值振幅之比-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年2月10日
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链接
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奥维迪乌·富杜伊，问题1《问题角》，数学不等式和应用研究小组，2010年。
Jonathan Sondow和D.Marques，一些指数方程的代数解和超越解《数学与信息年鉴》37（2010）151-164；arXiv:1108.6096[math.NT]，2011年，见链接第3页。
唐纳德·伍兹，问题E 2692《基本问题》，《美国数学月刊》，第85卷，第1期（1978年），第48页；超越函数满足重复公式David Robbins著，同上，第86卷，第5期（1979年），第394-395页。
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配方奶粉
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1/sqrt（2）=余弦（Pi/4）=平方（2）/2-埃里克·德斯比奥2008年11月5日
等于sin（Pi/4）=cos（Pi/4.）。
等于积分{x=0..Pi/4}cos（x）dx。（结束）
等于hypergeom（[-1/2，-3/4]，[5/4]，-1）-彼得·巴拉2022年3月2日
极限{n->oo}（sqrt（T（n+1））-sqrt（T（n）））=1/sqrt（2），其中T（n）=n（n+1）/2=A000217号（n） 是三角形的数字-朱尔斯·博尚2022年9月18日
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例子
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0.7071067811865475...
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MAPLE公司
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数学
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N[1/Sqrt[2]，200]
实数位[1/Sqrt[2]，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2019年3月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=10*（1/sqrt（2））；对于（n=0，20000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b010503.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年6月2日
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交叉参考
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经核准的
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1, 5, 1, 5, 4, 2, 6, 2, 2, 4, 1, 4, 7, 9, 2, 6, 4, 1, 8, 9, 7, 6, 0, 4, 3, 0, 2, 7, 2, 6, 2, 9, 9, 1, 1, 9, 0, 5, 5, 2, 8, 5, 4, 8, 5, 3, 6, 8, 5, 6, 1, 3, 9, 7, 6, 9, 1, 4, 0, 7, 4, 6, 4, 0, 5, 9, 1, 4, 8, 3, 0, 9, 7, 3, 7, 3, 0, 9, 3, 4, 4, 3, 2, 6, 0, 8, 4, 5, 6, 9, 6, 8, 3, 5, 7, 8, 7, 3, 4, 6, 0, 5, 1, 1, 5
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评论
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给定z>0，存在正实数x<y，其中x^y=y^x=z，当且仅当z>e^e。在这种情况下，对于某些t>0，1<x<e<y和（x，y）=（（1+1/t）^t，（1+1/t）^（t+1））。（例如，t=1表示2^4=4^2=16>e^e。）这些经典结果的证明及其应用见Marques和Sondow（2010）。
e^e=lim{n->infinidy}（（n+1）/n）^（n+1，^（n+1）/n^n），n>0为整数；参见[Vernescu]，其中还指出，上述先前评论的主张已由Alexandru Lupas于2006年证明-L.埃德森·杰弗里2012年9月18日
Schanuel猜想的一种弱形式意味着e^e是先验的——见Marques和Sondow（2012）。
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链接
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配方奶粉
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例子
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15.15426224147926418976043027262991190552854853685613976914...
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数学
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真数字[E^E，10，110][[1]
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黄体脂酮素
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（PARI）扩展（扩展（1））
（PARI）{默认（realprecision，20080）；x=exp（1）^exp（l）/10；对于（n=220000，d=floor（x）；x=（x-d）*10；写入（“b073226.txt”，n，“”，d））；}\\哈里·史密斯2009年4月30日
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经核准的
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1, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 6, 1, 0, 0, 9, 7, 6, 6, 1, 3, 3, 6, 5, 8, 3, 3, 9, 1, 0, 8, 5, 9, 6, 4, 3, 0, 2, 2, 3, 0, 5, 8, 5, 9, 5, 4, 5, 3, 2, 4, 2, 2, 5, 3, 1, 6, 5, 8, 2, 0, 5, 2, 2, 6, 6, 4, 3, 0, 3, 8, 5, 4, 9, 3, 7, 7, 1, 8, 6, 1, 4, 5, 0, 5, 5, 7, 3, 5, 8, 2, 9, 2, 3, 0, 4, 7, 0, 9, 8, 8, 5, 1, 1, 4, 2, 9, 5
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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x^（1/x）是x=e的最大值，最大值是e^（1/1）。这提供了一个有趣且直接的证据，证明2<e<4等于2^（1/2）<e^（1/e）>4^（1/4），而2^-阿玛纳斯·穆尔西2002年11月26日
指数曲线y=b^x和其逆y=log_b（x）相互亲吻的唯一基数b>0的值；接吻点是（e，e）-斯坦尼斯拉夫·西科拉2015年5月25日
实际上，还有另一个具有这种性质的基，b=（1/e）^e与吻点（1/e，1/e）-尤瓦尔·帕兹2018年12月29日
求f（x）=x^（1/x）的最大值的问题是由瑞士数学家雅各布·斯坦纳（1796-1863）于1850年提出并解决的-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月17日
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链接
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奥维迪乌·富杜伊，问题11982《美国数学月刊》，第124卷，第5期（2017年），第465页；和的幂的极限《问题11982的解决方案》，Roberto Tauraso著，同上，第126卷，第2期（2019年），第187页。
Jonathan Sondow和Diego Marques，一些指数方程的代数解和超越解《数学与信息年鉴》，第37卷（2010年），第151-164页；见第158页的定义4.1。
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配方奶粉
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等于1+Integral_{x=1/e.1}（1+log（x））/x^xdx=1-积分{x=0..1/e}（1+log（x））/x ^xdx-彼得·巴拉2019年10月30日
等于lim_{x->oo}（总和_{n>=1}（x/n）^n）^（1/x）（Furdui，2017）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年3月26日
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例子
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1.44466786100976613365833910859...
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MAPLE公司
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数学
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真数字[E^（1/E），10，110][[1]
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黄体脂酮素
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（PARI）exp（1）^exp（-1）
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交叉参考
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经核准的
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A083648号
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| 求和{n>=1}-（-1）^n/n^n=Integral_{x=0..1}x^xdx的十进制展开式。 |
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+10
24
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7, 8, 3, 4, 3, 0, 5, 1, 0, 7, 1, 2, 1, 3, 4, 4, 0, 7, 0, 5, 9, 2, 6, 4, 3, 8, 6, 5, 2, 6, 9, 7, 5, 4, 6, 9, 4, 0, 7, 6, 8, 1, 9, 9, 0, 1, 4, 6, 9, 3, 0, 9, 5, 8, 2, 5, 5, 4, 1, 7, 8, 2, 2, 7, 0, 1, 6, 0, 0, 1, 8, 4, 5, 8, 9, 1, 4, 0, 4, 4, 5, 6, 2, 4, 8, 6, 4, 2, 0, 4, 9, 7, 2, 2, 6, 8, 9, 3, 8, 9, 7, 4, 8, 0, 0
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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1697年，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）探索了这条曲线，发现了它的最小值以及曲线下0到1的面积，所有这些都没有利用指数函数。
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参考文献
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威廉·邓纳姆，《微积分画廊，从牛顿到勒贝格的杰作》，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，2005年，第46-51页。
保罗·纳欣（Paul J.Nahin），《虚构的故事：sqrt的故事》（-1），新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（1988），第146页。
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链接
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配方奶粉
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常数也等于二重积分integral_{y=0..1}积分{x=0..1}（x*y）^（xxy）dxdy-彼得·巴拉2012年3月4日
等于-Integral_{x=0..1，y=0..1}（x*y）^（x**y）/log（x*y）dx dy.（将Glasser（2019）的定理1或定理2应用于Integral__{x=0..1}x^x dx。）
等于-整数{x=0..1}x^x*log（x）dx。（将Glasser（2019）的定理1或定理2应用于彼得·巴拉）
如果不使用Glasser（2019）的结果，请注意积分x^x*（1+log（x））dx=x^x+c，这意味着积分{x=0..1}x^xdx=-Integral_{x=0.1}x^x*log（x）dx。（结束）
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例子
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0.78343051071213440705926438652697546940768199014693095825541782270...
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数学
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实数字[和[-（-1）^n/n^n，{n，1，60}]，10，111][1](*罗伯特·威尔逊v2005年1月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）-汇总（n=1，（-1/n）^（n））\\米歇尔·马库斯2015年10月15日
（Sage）numerical_approx（-sum（（-1/n）^n表示n in（1..120）），数字=130）#G.C.格鲁贝尔，2019年3月1日
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交叉参考
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作者
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状态
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经核准的
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0, 6, 5, 9, 8, 8, 0, 3, 5, 8, 4, 5, 3, 1, 2, 5, 3, 7, 0, 7, 6, 7, 9, 0, 1, 8, 7, 5, 9, 6, 8, 4, 6, 4, 2, 4, 9, 3, 8, 5, 7, 7, 0, 4, 8, 2, 5, 2, 7, 9, 6, 4, 3, 6, 4, 0, 2, 4, 7, 3, 5, 4, 1, 5, 6, 6, 7, 3, 6, 3, 3, 0, 0, 3, 0, 7, 5, 6, 3, 0, 8, 1, 0, 4, 0, 8, 8, 2, 4, 2, 4, 5, 3, 3, 7, 1, 4, 6, 7, 7, 4, 5, 6, 7
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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参考文献
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保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos），“年轻和老年数学家的问题”，多尔恰尼数学博览会，1991年，问题8A的解决方案（电力塔），第240页。
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例子
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0.06598803584531253707679018759。。。
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数学
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真数字[（1/E）^E，10，100][[1](*阿隆索·德尔·阿特2011年8月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）exp（-1）^exp（1）
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作者
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状态
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经核准的
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8, 7, 3, 4, 2, 3, 0, 1, 8, 4, 9, 3, 1, 1, 6, 6, 4, 2, 9, 8, 9, 0, 3, 2, 3, 4, 8, 6, 6, 2, 5, 3, 8, 2, 0, 5, 2, 6, 2, 5, 4, 0, 9, 7, 8, 5, 8, 3, 3, 5, 9, 6, 7, 5, 0, 5, 6, 2, 1, 9, 4, 2, 1, 4, 8, 0, 1, 4, 3, 1, 6, 3, 8, 3, 1, 5, 1, 5, 0, 1, 8, 7, 4, 5, 1, 1, 7, 0, 9, 6, 3, 2, 5, 5, 2, 4, 6, 7, 1, 3, 2, 9, 2, 4
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,1
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例子
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0.87342301849311664298903234866...
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数学
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真数字[（1/E）^（1/E(*哈维·P·戴尔2011年4月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）这个较短的语句等价于（exp（-1）^exp（-1-））^exp-（-1）：exp（-exp（-2））
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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5, 0, 0, 4, 7, 3, 5, 0, 0, 5, 6, 3, 6, 3, 6, 8, 4, 0, 5, 4, 5, 1, 3, 4, 9, 0, 1, 3, 3, 7, 9, 0, 4, 5, 7, 2, 8, 0, 3, 4, 5, 3, 2, 1, 5, 3, 4, 2, 2, 8, 3, 0, 0, 6, 4, 9, 7, 9, 0, 9, 3, 5, 2, 7, 8, 3, 7, 5, 7, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 6, 1, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 5, 1, 0, 6, 5, 0, 8, 2, 6, 5, 0, 9, 6, 5, 7, 5, 8, 9, 9, 3, 4
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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例子
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0.50047350056363684054513490133...
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黄体脂酮素
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（PARI）exp（-1）^exp（-1^exp）（-1）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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6, 9, 3, 3, 6, 1, 2, 7, 4, 3, 5, 0, 6, 3, 4, 7, 0, 4, 8, 4, 3, 3, 5, 2, 2, 7, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 1, 7, 9, 5, 4, 4, 5, 9, 3, 5, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 7, 5, 4, 0, 3, 6, 5, 6, 5, 8, 6, 3, 6, 9, 3, 4, 0, 0, 0, 3, 5, 4, 3, 7, 1, 3, 2, 4, 2, 2, 9, 2, 4, 5, 3, 5, 3, 5, 2, 2, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 8, 5, 8, 2, 8, 9, 0, 9, 5, 5, 7
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,1
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评论
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整数n>0的最小值为（1/n）^（1/1n）。
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链接
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例子
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.693361274350634704843352274785...
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数学
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真数字[Surd[1/3，3]，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2013年11月3日*）
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黄体脂酮素
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（巴黎）（1/3）^（1/3）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A332627飞机
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| a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*k！*k ^ n。 |
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+10
2
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1, 1, 6, 117, 4388, 266065, 23731314, 2923345621, 475364541672, 98623225721601, 25421365316232710, 7969388199705535141, 2985785305877403047820, 1317500933136749853197329, 676266417871227455138941242, 399516621958550611386236160405
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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G.f.：求和{k>=0}k！*k^k*x^k/（1+k*x）^（k+1）。
a（n）=n！*求和{k=0..n}（-1）^（n-k）*k^n/（n-k）！。
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数学
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联接[{1}，表[Sum[（-1）^（n-k）二项式[n，k]k！k^n，{k，0，n}]，{n，1，15}]]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=和（k=0，n，（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*k！*k ^n）\\米歇尔·马库斯2020年4月24日
（PARI）我的（N=20，x='x+O（'x^N））；Vec（serlaplace（sum（k=0，N，（k*x*exp（-x））^k））\\Seiichi Manyama先生2022年2月19日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 5, 3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 6, 6, 3, 9, 5, 2, 9, 4, 7, 1, 5, 0, 0, 6, 8, 3, 3, 2, 9, 7, 8, 4, 6, 3, 2, 2, 7, 7, 1, 1, 2, 6, 9, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 9, 6, 9, 6, 2, 0, 3, 1, 7, 9, 8, 5, 4, 2, 8, 3, 3, 4, 3, 7, 2, 6, 1, 3, 6, 4, 1, 9, 0, 5, 8, 3, 0, 2, 9, 3, 6, 8, 7, 6, 6, 0, 5, 3, 0, 1, 9, 3, 7, 1, 9, 4
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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由于（1/e）^（1/1）<3/4<1，方程x^x=3/4有两个解x=a和x=b，其中0<a<1/e<b<1。这两种解决方案都是超越的（参见Sondow-Marques 2010中的命题2.2）。
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链接
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例子
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0.15351678966395294715006833297846322771126948548996962031798542833437261364190...
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数学
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x=x/。FindRoot[x^x==3/4，{x，0.1}，WorkingPrecision->120]；实数字[x，10，100]//第一个
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交叉参考
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