搜索： a072197-编号：a0721%7
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A007583号
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| a（n）=（2^（2*n+1）+1）/3。
（原名M2895）
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98
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1, 3, 11, 43, 171, 683, 2731, 10923, 43691, 174763, 699051, 2796203, 11184811, 44739243, 178956971, 715827883, 2863311531, 11453246123, 45812984491, 183251937963, 733007751851, 2932031007403, 11728124029611, 46912496118443, 187649984473771, 750599937895083
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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设u（k）、v（k）和w（k）是由u（1）=1、v（1）=0、w（1）=0.和u（k+1）=u（k；设M（k）=最大值（u（k）、v（k）和w（k））；则a（n）=M（2n）=M（2n-1）-贝诺伊特·克洛伊特2002年3月25日
另外，由两个字母s和t生成的长度为2n的单词数，通过使用关系ssssss=1、tt=1和stst=1减少为恒等式1。生成器s和t以及三个关系生成二面体群D6=C2xD3Jamaine Paddyfoot（jay_Paddyfoot（AT）hotmail.com）和约翰·莱曼，2002年7月8日
循环图C_6中两个相邻顶点之间长度为2n+1的行走次数。示例：a（1）=3，因为在循环ABCDEF中，在a和B之间有三条长度为3的行走：ABAB、ABCB和AFAB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
形式为1+Sum_{i=1..m}2^（2*i-1）的数字-阿图尔·贾辛斯基2007年2月9日
设A是n阶的Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=-6，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i，j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=（-1）^（n-1”）*charpoly（a，2）-米兰Janjic2010年2月21日
二进制表示为“10”的数字重复（n-1）次，末尾附加“11”，n>=1。例如171=10101011（2）-奥马尔·波尔2012年11月22日
2到基数b的恩格尔展开式：=4/3，定义见A181565号，相关级数展开式2=b+b^2/3+b^3/（3*11）+b^4/（3x11*43）+。。。。囊性纤维变性。A007051号. -彼得·巴拉2013年10月29日
3*x-2^n*y=1，n>=0的正整数解（x，y）是（a（n/2），2），如果n是偶数，（a（n-1）/2），1）如果n是奇数-沃尔夫迪特·朗2014年2月15日
最小正数，至少需要对2的幂进行n次加减。请参阅Puzzling StackExchange链接-亚历山大·库克2023年7月16日
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参考文献
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H.W.Gould，《组合恒等式》，摩根城，1972年，（1.77），第10页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
C.Bebeacua、T.Mansour、A.Postnikov和S.Severini，关于排列的X射线，arXiv:math/0506334[math.CO]，2005年。
Greg Bell、A.Lawson、N.Pritchard和D.Yasaki，关于整数的局部无限Cayley图，arXiv预印本arXiv:1711.00809[math.GT]，2017。参见lambda_2。
E.Estrada和J.A.de la Pena，从整数序列到图的计数游动块设计，arXiv预印本arXiv:1302.1176[math.CO]，2013。
E.Estrada和J.A.de la Pena，图中行走的整数序列《数论与离散数学笔记》，第19卷，2013年，第3期，78-84
德米特里·卡梅内茨基，一只神奇的蚱蜢，Puzzling StackExchange，2023年。
米尔恰·梅尔卡，余弦幂和的一个注记《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。
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配方奶粉
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G.f.：（1-2*x）/（1-5*x+4*x^2）。（结束）
a（n）=和{k=0..n}二项式（n+k，2*k）/2^（k-n）。
a（n）=4*a（n-1）-1，n>0。
a（n）=1+2*Sum_{k=0..n-1}4^k；
a（0）=1；a（n+1）=a（n）*4-1.-Regis Decamps（Decamps，AT）users.sf.net），2004年2月4日（领先指数修正为K.Spage公司2014年8月20日）
a（n）=和{i+j+k=n；0<=i，j，k<=n}（n+k）/我/j/（2*k）-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月25日
a（n）=M^n*[1 1 1]中的左右项，其中M=3X3矩阵[1 1 1/1 3 1/1 1]。M^n*[1 1 1]=[a（n）A002450型（n+1）a（n）]例如a（3）=43，因为M^n*[1 1]=[43 85 43]=[a（3A002450型（4） a（3）]-加里·W·亚当森2004年12月18日
a（n）=和{k=-floor（n/3）..floor（n/3}）}二项式（2*n，n+3*k）/2-米尔恰·梅卡2012年1月28日
a（n）==2*n+1（mod 3）。事实上，根据Regis Decamps的公式（2004年2月4日），我们得到了（i+1）-a（i）==-1（mod 3），i=0，1。。。，n-1。求和，我们有一个（n）-1==-n（mod 3），公式如下-弗拉基米尔·舍维列夫2015年5月13日至20日
a（n）=和{k=0..2n}（-2）^k==1+和{k=1..n}2^（2k-1）-鲍勃·塞尔科2016年8月21日
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MAPLE公司
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a[0]：=1：对于从1到50的n，执行a[n]：=4*a[n-1]-1 od:seq（a[n'，n=0..23）#零入侵拉霍斯，2008年2月22日，更正人K.Spage公司2014年8月20日
（2^（2*n+1）+1）/3；
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数学
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表[（2^（2n+1）+1）/3，{n，0，23}]
表[1+2Sum[4^k，｛k，0，n-1｝]，｛n，0，23｝]
嵌套列表[4#-1&，1，23]
表[Sum[二项式[n+k，2k]/2^（k-n），{k，0，n}]，{n，0，23}]
系数列表[级数[（1-2x）/（1-5x+4x^2），{x，0，23}]，x]（*结束*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=-n\3，n\3，二项式（2*n+1，n+1+3*k））
（PARI）a=1；对于（n=1,23，打印1（a，“，”）；a=比特（a，3*a））\\K.Spage公司2014年8月20日
（PARI）Vec（（1-2*x）/（1-5*x+4*x^2）+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月8日
（岩浆）[（2^（2*n+1）+1）/3:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2011年4月28日
（哈斯克尔）
a007583=（`div`3）。(+ 1) . a004171号
（鼠尾草）[（2^（2*n+1）+1）/3代表（0..25）中的n]#G.C.格鲁贝尔2019年12月25日
（GAP）列表（[0..25]，n->（2^（2*n+1）+1）/3）#G.C.格鲁贝尔2019年12月25日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A075677号
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| 应用于奇数整数的约化Collatz函数R：a（n）=R（2n-1），其中R（k）=（3k+1）/2^R，R尽可能大。 |
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+10
37
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1, 5, 1, 11, 7, 17, 5, 23, 13, 29, 1, 35, 19, 41, 11, 47, 25, 53, 7, 59, 31, 65, 17, 71, 37, 77, 5, 83, 43, 89, 23, 95, 49, 101, 13, 107, 55, 113, 29, 119, 61, 125, 1, 131, 67, 137, 35, 143, 73, 149, 19, 155, 79, 161, 41, 167, 85, 173, 11, 179, 91, 185, 47, 191, 97, 197
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这个序列中的所有数字都无限频繁地出现。
根据公式中的公式1和公式2：公式1用于此序列中1/3的数字，公式2用于2/3的数字。
（结束）
只有与模6等于1或5的正数才会出现。
i） 对于值为的序列条目A016921号（m） ，对于m>=0，即{1，7，13，…}中的值，索引n由数组行给出A178415号（2*m+1，k），对于k>=1。
ii）对于有值的序列条目A007528号（m） ，对于m>=1，即{5,11,17，…}中的值，索引n由数组行给出A178415号（2*m，k），对于k>=1。
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参考文献
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R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，E16。
维克托·克莱（Victor Klee）和斯坦·瓦根（Stan Wagon），平面几何和数论中尚未解决的新旧问题，美国数学协会，1991年，第225页，C（2n+1）=a（n+1），n>=0。
J.C.Lagarias编辑，《终极挑战：3x+1问题》，美国。数学。Soc.，2010年；见第57页，另见（90-9），第306页。
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链接
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张伯伦先生，未实现问题3x+1，巴特尔。Catalana Mat.（18），19-452003年。
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配方奶粉
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对于所有n>=1和每个k，存在依赖于n和k的j>=0，因此：
公式1：当k=（（4^（j+1）-1）/3）mod 2^（2j+3）时，a（n）=（3n-1）/2（2j+1）。或者：a（n）=A016789号（n-1）/A081294号（j+1）当k=A002450型（j+1）模块A081294号（j+2）。示例：n=51；k=101==5模32，j=1。a（51）=152/8=19。
或
公式2:a（n）=（3n-1）/4^j，当k=（5*2^（2j+1）-1）/3 mod 4^（j+1）时。或者：a（n）=A016789号（n-1）/A000302号（j） 当k时=A072197号（j） 模块A000302号（j+1）。示例：n=91；k=181==53模块64，j=2。a（91）=272/16=17。
a（n）=a（n+g*2^r）-6*g，n>-g*2*r。示例：n=59；a（59）=11，r=5。g=-1:11=a（27）=5-（-1）*6；g=1:11=a（91）=17-1*6；g=2:11=a（123）=23-2*6；g=3:11=a（155）=29-3*6；等-鲍勃·塞尔科2015年4月6日
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例子
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a（11）=1，因为21是第11个奇数，R（21）=64/64=1。
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MAPLE公司
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f： =程序（n）局部t1；
如果n=1，则返回（1），否则
t1:=3*n+1；
当t1 mod 2=0时，执行t1:=t1/2；od；
返回（t1）；fi；
结束；
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数学
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nextOddK[n_]：=模[{m=3n+1}，而[EvenQ[m]，m=m/2]；m] ；（*假设奇数n*）表[nextOddK[n]，{n，1，200，2}]
v[x_]：=整数指数[x，2]；f[x_]：=（3*x+1）/2^v[3*x+1]；表[f[2*n-1]，{n，66}](*L.埃德森·杰弗里2015年5月6日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a075677=a000265。减去2。(* 6) --莱因哈德·祖姆凯勒2014年1月8日
（Python）
从sympy导入除数
定义a（n）：
如果d%2，则返回max（d表示d的除数（n））
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000265号,A000302号,A002450型,A007528号,A016789号,A016921号,A016969号,A065677号,A072197号,A072261号,A075680型,A081294号,A178415号,191669年,A347834飞机.
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关键字
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A347834飞机
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| 由正奇数组成的数组A，由反对偶向上读取，得到当前的三角形T。 |
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+10
19
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1, 3, 5, 7, 13, 21, 9, 29, 53, 85, 11, 37, 117, 213, 341, 15, 45, 149, 469, 853, 1365, 17, 61, 181, 597, 1877, 3413, 5461, 19, 69, 245, 725, 2389, 7509, 13653, 21845, 23, 77, 277, 981, 2901, 9557, 30037, 54613, 87381, 25, 93, 309, 1109, 3925, 11605, 38229, 120149, 218453, 349525
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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有关此数组A的定义，请参阅公式部分。
Immmo O.Kerner在等式（1）和（2）中绘制的草稿中，A行显示为所谓的水平序列（水平Folgen）。感谢A.Eckert博士寄给我这篇论文。
带有项目A（k，n）的数组等于带有T（n，k）的数组TA178415号通过使用行的排列，并更改偏移量：a（k，n）=T（pe（k），n+1），其中pe（3*（L+1））=4*（L+1），pe（1+3*L）=1+2*L，pe（2+3*L。此排列出现在A265667型.
一个合适的子数组是A238475型（n，k）=A（1+3*（k-1），n-1），对于k>=1和n>=1。
在有向Collatz树中，节点仅标记为正奇数（请参见A256598型对于路径），这里称为CTodd，级别L=0（在顶部）具有标签1为根的节点。因为1->1，所以根处有一个箭头（1个循环或循环）。L=1级由带有标签A（1，n）的节点组成，对于n>=1，每个节点通过向下箭头连接到1。使用后继规则（Kerner也使用）获得L>=2的下一个级别：如果u==1（mod 3），则S（u）=（4*u-1）/3；如果u==5（mod 6），则（2*u-1。
然而，除了一个叶之外，每个在级别L>=1上具有标签u的节点在级别L+1上不仅具有标签S（u）的节点，而且具有标签a（S（u，n）的所有节点都作为后续节点，因为n>=0。
这样，这个CTodd的每个节点（也是根）都有入度1和无穷出度（对于L>=2，有无穷多个无穷出箭头）。对于每个k>=1，标签为A（k，n）且n>=1的所有节点与此树中的节点A（k、0）具有相同的前兆。
除了根1的循环（1个循环）外，此定向树CTodd中没有循环。
通过严格增加行和列的事实，可以证明对于K>=0，每个数N=5+8*K唯一地出现在某列N>=1的数组A中，通过显示列N=1，2。。。，c包含所有与5模8同余的正整数，但通过对c的归纳，正同余类A（1，c+1）模2^（2*c+3）的正整数除外。[添加于2021年12月5日]
Collatz猜想可以简化为这样的猜想：在这个根树和有向树CTodd中，每个正奇数都会作为一个标签出现一次，也就是说，数组a的所有条目都会出现。
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链接
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配方奶粉
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阵列A：
A（k，n）=（（3*A（k，0）+1）*4^n-1）/3，对于k>=1和n>=0。
显式形式：A（k，n）=（（3*（k+floor（k/3））-1）*4^（n+1）-2）/6，k>=1，n>=0。此处3*（k+楼层（k/3））=A319451型（k） ●●●●。
因此，A（k，n）=5+8*（2*A（k、n-2）），对于n>=1，A（k，0）=2*（k+楼层（k/3））-1=A047529型（k） ，和2*A（k，-1）=（A（k、1）-5）/8=k-1+楼层（k/3）（等于序列中A（k和1）的指数n(A004770号（n+1）{n>=0}）。如果k，则A（k，-1）为半整数=A007494号（m） =m+天花板（m/2），对于m>=1，如果k=1+3*k，则A（k，-1）=2*k=A016777美元（K） ，对于K>=0。
O.g.f.：z中的展开表示行k的O.g.f.s，也表示k=0：-A007583号; x中的展开式给出了n列的o.g.f.s。
G（z，x）=（2*（-1+3*z+3*z^2+7*z^3）*（1-x）-（1-4*x）*（1-z^3。
三角形T：
T（k，n）=A（k-n，n），对于k>=1和n=0..k-1。
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例子
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数组A（k，n）开始于：
k \n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
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1: 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 87381 349525 1398101
2: 3 13 53 213 853 3413 13653 54613 218453 873813 3495253
3: 7 29 117 469 1877 7509 30037 120149 480597 1922389 7689557
4: 9 37 149 597 2389 9557 38229 152917 611669 2446677 9786709
5: 11 45 181 725 2901 11605 46421 185685 742741 2970965 11883861
6: 15 61 245 981 3925 15701 62805 251221 1004885 4019541 16078165
7: 17 69 277 1109 4437 17749 70997 283989 1135957 4543829 18175317
8:19 77 309 1237 4949 19797 79189 316757 1267029 5068117 20272469
9: 23 93 373 1493 5973 23893 95573 382293 1529173 6116693 24466773
10: 25 101 405 1621 6485 25941 103765 415061 1660245 6640981 26563925
...
--------------------------------------------------------------------
三角形T（k，n）开始于：
k \n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
------------------------------------------------------------
1: 1
2: 3 5
3: 7 13 21
4: 9 29 53 85
5: 11 37 117 213 341
6: 15 45 149 469 853 1365
7: 17 61 181 597 1877 3413 5461
8: 19 69 245 725 2389 7509 13653 21845
9:23 77 277 981 2901 9557 30037 54613 87381
10: 25 93 309 1109 3925 11605 38229 120149 218453 349525
...
-------------------------------------------------------------
数组A的行索引k，用于条目5（mod 8）。
213 = 5 + 8*26. K=28为偶数，（3*231+1）/16=40，A065883号（40）=10，因此A（k，0）=N’=（10-1）/3=3，k=2。此外，n=log_4（（3*213+1）/（3*A（2,0）+1））=log_4（64）=3。213=A（2,3）。
85 = 5 + 8*10. K=10为偶数，（3*85+1）/16=16，A065883号（16） =1，N'=（1-1）/3=0是偶数，因此A（k，0）=4*0+1=1，k=1。85=A（1,3）。
61=5+8*7，K=7是奇数，K=（7+1）/2+天花板（（7+1，/4）=6，n=log_4（（3*61+1）/（3*A（6,0）+1））=1。61=A（6，1）。
----------------------------------------------------------------------------
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MAPLE公司
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#视为数组：
A:=（n，k）->（（3*（n+楼层（n/3））-1）*4^（k+1）-2）/6：
对于从1到6的n，做序列（A（n，k），k=0..9）od；
#视为三角形：
T:=（n，k）->2^（2*k+1）*（楼层（n-k）/3）-k+n-1/3）-1/3：
对于从1到9的n，do-seq（T（n，k），k=0..n-1）od；
#使用行扩展：
gf_row:=k->（1/（x-1）-A047395号（k） ）/（4*x-1）：
对于从1到10的k，做seq（coeff（series（gf_row（k），x，11），x（n）），n=0..10）od；
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交叉参考
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囊性纤维变性。A004770号,A007494号,A016777美元,A065883号,A047395号,A047529型,A178415号,A238475型,A256598型,A265667型,A319451型,A347839飞机,A347840飞机.
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1、3、6、13、26、53、106、213、426、853、1706、3413、6826、13653、27306、54613、109226、218453、436906、873813、1747626、3495253、6990506、13981013、27962026、55924053、111848106、223696213、447392426、894784853、1789569706、3579139413
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（n）=地板（2^（n-1）*5/3）。[由更正米歇尔·马库斯2018年9月21日]
当n>2时，a（n）=a（n-2）+5*2^（n-3）；
通用名称：-（x^2-x-1）*x/（（x-1）*（x+1）*（2*x-1））。
a（n）=5*2^（n-1）/3+（-1）^n/6-1/2。a（n）=2*a（n-1）+（1+（-1）^n）/2，a（1）=1-保罗·巴里2003年3月24日
a（2n）=2*a（2*n-1）+1，a（2*1）=2*1（2*n），a（1）=1。a（n）=A000975号（n-1）+2^（n-1-菲利普·德尔汉姆2006年10月15日
a（n）-a（n-2）=2*（a（n-1）-a，n-3）），其中a（0..2）=[1,3,6]-宇春记2020年3月18日
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例子
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13是一个术语，因为A081252号(12)/12^2 = 15/144 = 0.104...,A081252号(13)/13^2 = 18/169 = 0.106...,A081252号(14)/14^2 = 20/196 = 0.102....
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MAPLE公司
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seq（楼层（2^（n-1）*5/3），n=1..35）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月20日
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数学
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Rest@系数列表[序列[-（x^2-x-1）*x/（（x-1）*（x+1）*（2*x-1）），{x，0，32}]，x](*文森佐·利班迪2012年4月4日*）
a[n_]：=楼层[2^（n-1）*5/3]；数组[a，33，1](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月1日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[底板（2^（n-1）*5/3）：n in[1..40]]//文森佐·利班迪2012年4月4日
（PARI）a（n）=2^（n-1）*5\3\\阿尔图·阿尔坎2018年9月21日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A178415号
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| 反对偶读取的奇数Collatz前像的数组T（n，k）。 |
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+10
16
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1, 3, 5, 9, 13, 21, 7, 37, 53, 85, 17, 29, 149, 213, 341, 11, 69, 117, 597, 853, 1365, 25, 45, 277, 469, 2389, 3413, 5461, 15, 101, 181, 1109, 1877, 9557, 13653, 21845, 33, 61, 405, 725, 4437, 7509, 38229, 54613, 87381, 19, 133, 245, 1621, 2901, 17749, 30037
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=4*T（n、k-1）+1。
当n为奇数时，T（n，k）=T（1，k）+2^（2k+1）*（n-1）/2；
当n>=2且n是偶数时，T（n，k）=T（2，k）+4^k*（n-2）/2。等价地说：
当n为奇数时，T（n，k）=T（n-2，k）+2^（2k+1）；和
当n为偶数时，T（n，k）=T（n-2，k）+4^k。
设j是第n个正奇数与3互质。然后：
当j==1（mod 3）时，T（n，k）=（j*4^k-1）/3；和
当j==2（mod 3）时，T（n，k）=（j*2^（2k-1）-1）/3。
（结束）
数组T的O.g.f.（行n=0，列k=0；z代表行，x代表列）：g（z，x）=（1/（2*（1-x）*（1-4*x）*。（结束）
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例子
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数组T开始：
.1 5 21 85 341 1365 5461 21845 87381 349525
. 3 13 53 213 853 3413 13653 54613 218453 873813
. 9 37 149 597 2389 9557 38229 152917 611669 2446677
. 7 29 117 469 1877 7509 30037 120149 480597 1922389
. 17 69 277 1109 4437 17749 70997 283989 1135957 4543829
. 11 45 181 725 2901 11605 46421 185685 742741 2970965
. 25 101 405 1621 6485 25941 103765 415061 1660245 6640981
. 15 61 245 981 3925 15701 62805 251221 1004885 4019541
. 33 133 533 2133 8533 34133 136533 546133 2184533 8738133
. 19 77 309 1237 4949 19797 79189 316757 1267029 5068117
n=5，j=13:T（5,3）=277=（13*4^3-1）/3；
n=6，j=17:T（6,4）=725=（17*2^7-1）/3。
（结束）
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数学
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t[n_，1]：=t[n，1]=如果[OddQ[n]，4n-3，2n-1]；t[n，k]：=t[n、k]=4*t[n和k-1]+1；压扁[表[t[n-i+1，i]，{n，20}，{i，n}]]
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A162911型
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| drib树分数的分子，其中drib是Bird树的位覆盖置换树。 |
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+10
14
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1, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 5, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 5, 8, 2, 7, 4, 5, 3, 7, 4, 7, 1, 5, 5, 7, 3, 8, 8, 13, 3, 11, 7, 9, 5, 12, 5, 9, 1, 6, 7, 10, 4, 11, 7, 11, 3, 10, 5, 6, 4, 9, 7, 12, 2, 9, 8, 11, 5, 13, 13, 21, 5, 18, 11, 14, 8, 19, 9, 16, 2, 11, 12, 17, 7, 19, 9, 14, 4, 13, 6, 7, 5, 11, 10, 17, 3, 13
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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drib树是用有理数标记的无限二叉树。它由以下迭代过程生成：从有理数1开始；对于左子树进行增量，然后倒置当前有理数；对于右子树交换，这两个步骤的顺序是：rational首先是往复的，然后是递增的。就像Stern-Brocot和Bird树一样，drib树列举了所有积极的理性(A162911型（n）/A162912号（n） ）。
如果术语（n>0）被写为一个数组（左对齐方式），行长度为2^m，m=0,1,2,3，。。。
1,
1, 2,
2, 3,1, 3,
3, 5,1, 4, 3, 4,2, 5,
5, 8,2, 7, 4, 5,3, 7,4, 7,1, 5, 5, 7,3, 8,
...
那么第m行的和是3^m（m=0,1,2，），每列k是一个斐波那契型序列。
如果行是以右对齐的方式写入的：
1
1, 2
2, 3,1, 3
3, 5,1, 4, 3, 4,2, 5
5, 8,2, 7,4, 5,3, 7, 4, 7,1, 5, 5, 7,3, 8
...
那么每列k也是Fibonacci型序列。
如果序列由长度为2^m的块考虑，m=0,1,2，。。。，这个序列的块是A162912号（a（2^m+k）=A162912号（2^（m+1）-1-k），m=0,1,2，。。。，k=0..2^m-1）。
（结束）
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链接
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R.Hinze，功能珍珠：鸟树，J.Funct。编程19（2009），第5期，491-508。
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配方奶粉
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a（n），其中a（1）＝1；a（2n）=b（n）；a（2n+1）=a（n）+b（n）；且b（1）=1；b（2n）=a（n）+b（n）；b（2n+1）=a（n）。
a（2^（m+1）+2*k）=a（2qu（m+1）-k-1），a（2cu（m=1）+2*k+1）=a-尤拉门迪2014年7月11日
a（2^（m+1）+2*k）=A162912号（2^m+k），m>=0，0<=k<2^m。
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例子
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滴水树的前四个级别：[1/1]、[1/2、2/1]、[2/3、3/1、1/3、3/2]、[3/5、5/2、1/4、4/3、3/4、4/1、2/5、5/3]。
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）进口比率；滴注：：[理性]；drib=1:map（recip.suc）drib\/map（suc.recip）drib；（a:as）\/bs=a:（bs\/as）；a162911=地图分子drib；a162912=映射分母drib
（R） 块级别<-6#任意
a<-1
for（m in 0：块级别）for（k in 0：（2^m-1））{
a[2^（m+1）+2*k]
a[2^（m+1）+2*k+1）<-a[2^
}
一
（PARI）a（n）=我的（x=0，y=1）；forstep（i=logint（n，2），0，-1，[x，y]=if（位测试（n，i），[y，x+y]，[x+y，x]）；年\\米哈伊尔·库尔科夫，2023年10月12日[需要验证]
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交叉参考
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关键字
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容易的,压裂,非n,改变
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作者
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Ralf Hinze（Ralf.Hinze（AT）comlab.ox.ac.uk），2009年8月5日
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状态
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经核准的
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1, 3, 5, 13, 21, 53, 85, 213, 341, 853, 1365, 3413, 5461, 13653, 21845, 54613, 87381, 218453, 349525, 873813, 1398101, 3495253, 5592405, 13981013, 22369621, 55924053, 89478485, 223696213, 357913941, 894784853, 1431655765, 3579139413
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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从n=3开始，从（2^（n-1）-1）/2^（n-1）中减去：3/4-1/2=1/4，1+4=5=a（3）；7/8-1/4=5/8，其中5+8=13=a（4）；15/16-5/8=5/16，其中5+16=21=a（5）；31/32-5/16=21/32，其中21+32=53=a（6）；63/64-21/32=21/64，其中21+64=85=a（7），依此类推。对于第一个分数中的奇数n（2^（n-1）-1）/2^（n-1），结果接近1/3，对于第一个小数中的偶数n，结果接近2/3-J.M.贝戈2015年5月8日
此外，“规则678”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴从左边缘到原点的十进制表示，基于5细胞von Neumann邻域，在第0阶段用单个黑色（on）细胞初始化。请参见A283641号. -罗伯特·普莱斯，2017年3月12日
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链接
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配方奶粉
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如果n是奇数，那么a（n）=（4^（（n+1）/2）-1）/3；如果n是偶数，则a（n。
G.f.：（1+2*x-2*x^2）/（（1-x）*（1-4*x^ 2））；a（n）=2^（n-1）（3-（-1）^n/3）-1/3（偏移量0）；a（n）=总和{k=0..n+1，4^floor（k/2）/2}（偏移量0）；a（2n）=A002450型（n+1）（偏移量0）；a（2n+1）=A072197号（n） （偏移量0）-保罗·巴里，2004年5月21日
a（n+2）=4*a（n）+1，a（1）=1，a（2）=3，n>0-尤拉门迪，2017年3月7日
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例子
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A002487号开始于0,1,1,2,1,3,2，。。。偏移量为0。因此，a（1）=1，因为（F（2），F（1））=（1,1）发生在A002487号类似地，a（2）=3和a（3）=5，因为（F（3），F（2））=（2,1）发生在第3项，（F（4），FA002487号.
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数学
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f[n_]：=模[{a=1，b=0，m=n}，而[m>0，如果[OddQ@m，b=a+b，a=a+b]；m=地板[m/2]；b] ；a=表格[f[n]，{n，0，10^6}]；b=反向/@分区[Map[Fibonacci，Range[Ciling@Log[GoldenRatio，Max@a]+1]]，2，1]；映射[If[Length@#>0，#[[1，1]]-1，0]&@SequencePosition[a，#]&，b](*迈克尔·德弗利格，2017年3月15日，10.1版，之后Jean-François Alcover公司在A002487号*)
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..35]]中[2^（n-1）*（3-（-1）^n/3）-1/3:n//文森佐·利班迪2015年5月9日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A096773号
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| a（n+2）=4*a（n）+1；a（1）=0，a（2）=3。 |
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+10
9
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0, 3, 1, 13, 5, 53, 21, 213, 85, 853, 341, 3413, 1365, 13653, 5461, 54613, 21845, 218453, 87381, 873813, 349525, 3495253, 1398101, 13981013, 5592405, 55924053, 22369621, 223696213, 89478485, 894784853, 357913941, 3579139413, 1431655765
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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整数n（mod 2^（m+1））的类m的余数。对如此分类的整数应用一个Collatz（3x+1）-变换后，结果只能写在两个类中（mod 6）。
该分类方案涵盖所有正整数。
通过一个3x+1变换T（x；p）：=x'=（3x+1）/2^p，所有数字x，以形式描述，自由参数i>=0，x=i*2^N+a（N）导致x'，可由具有相同参数i的两个类描述：
x'=i*6+1（对于奇数N>2），或x'=i*6+5（对于偶数N）。因此
x=4*i+3->x'=6*i+5，x=8*i+1->x'=6*i+1，
x=16*i+13->x'=6*i+5，x=32*i+5->x'=6*i+1，
x=64*i+53->x'=6*i+5，x=128*i+21->x'=6*i+1，
....
以“i”作为自由参数>=0覆盖所有正整数。
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链接
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配方奶粉
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a（2m）=（5*2^（2m-1）-1）/3，a（2m-1）=（2^（2m-2）-1）/3。
a（2n）=10*a（2n-1）+3。
a（n）=（2^（n-1）*（3+2*（-1）^n）-1）/3-L.埃德森·杰弗里2015年7月12日
通用名称：-x^2*（-3+2*x）/（（x-1）*（2*x+1）*（2*x-1））-R.J.马塔尔，2017年3月7日
a（n）=最小残量2*3^（2^（n-4）-1）-1（mod 2^n），n>=5-鲍勃·塞尔科2018年7月26日
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例子
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a（1）=（2^0-1）/3=0，a（2）=（5*2^1-1）/3=3，
a（3）=（2^2-1）/3=1，a（4）=（5*2^3-1）/3=13，
a（5）=（2^4-1）/3=5，a（6）=（5*2^5-1）/3=53，
a（7）=（2^6-1）/3=21。
....
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数学
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a[1]＝0；a[2]=3；a[n]：=a[n]=4a[n-2]+1；表[a[n]，{n，35}](*罗伯特·威尔逊v2004年8月20日*）
表[（2^（n-1）*（3+2*（-1）^（n））-1）/3，{n，10}](*L.埃德森·杰弗里2015年7月12日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（2^（n-1）*（3+2*（-1）^n）-1）/3:n in[1..40]]//文森佐·利班迪2015年7月12日
（Perl）#将任何（奇数）v映射到其（r，c）：
使用bigint$v=149$r=$c=0；while（1）{$b=（$v&1）；$v>>=1；if（$b==（$v-1））{$c=（$v>>1）；last}$r++}$r&=1；#这将二进制表示分为两部分，在右边第一个重复的数字处：右边的位数是行值，左边的二进制值是列值。例如：149=>1.00.10101=>（r，c）=（5，1）。路德·范托尔（Ruud H.G.van Tol）2021年9月23日
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n,改变
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作者
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状态
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经核准的
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7, 29, 117, 469, 1877, 7509, 30037, 120149, 480597, 1922389, 7689557, 30758229, 123032917, 492131669, 1968526677, 7874106709, 31496426837, 125985707349, 503942829397, 2015771317589, 8063085270357, 32252341081429, 129009364325717, 516037457302869
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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这些是整数N，在应用Collatz函数时，它产生数字11。Collatz函数：如果N是奇数，则（3N+1）/2^r为r的某个值生成一个正奇整数（在本例中为11）。
这些数字在2（n+1）步后的Collatz函数迭代中达到11，因此在2n+18步后以1结尾Lambert Klasen（Lambert.Klasen（AT）gmx.de），2004年11月8日
二进制表示为111加上n-1乘以01的数字。例如，a（4）=469=111010101（2）-奥马尔·波尔2012年11月24日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（11*4^n-2）/6=22*A002450型（n-1）+7.-Lambert Klasen（Lambert.Klasen（AT）gmx.de），2004年11月8日
通用格式：x*（7-6*x）/（1-x）*（1-4*x））。
当n>2时，a（n）=5*a（n-1）-4*a（n-2）。（结束）
例如：（-9-2*exp（x）+11*exp（4*x））/6-G.C.格鲁贝尔2020年1月14日
a（n）=a（n-1）+11*2^（2*n-3），对于n>=2，a（1）=7-沃尔夫迪特·朗2021年8月16日
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MAPLE公司
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seq（系数（级数（x*（7-6*x）/（1-x）*（1-4*x）），x，n+1），x（n），n=1..25）#G.C.格鲁贝尔2020年1月14日
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数学
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a[n]：=4a[n-1]+1；a[1]=7；表[a[n]，{n，25}]
嵌套列表[4#+1&，7，30]（*或*）线性递归[{5，-4}，{7，29}，30](*哈维·P·戴尔，2023年9月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（x*（7-6*x）/（1-x）*（1-4*x））+O（x^25））\\科林·巴克2019年10月27日
（岩浆）[（11*4^n-2）/6:n in[1..25]]//G.C.格鲁贝尔2020年1月14日
（鼠尾草）[（11*4^n-2）/6代表n in（1..25）]#G.C.格鲁贝尔2020年1月14日
（GAP）列表（[1..25]，n->（11*4^n-2）/6）#G.C.格鲁贝尔，2020年1月14日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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N.Rathanka（Rathankar（AT）yahoo.com），2002年7月8日
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扩展
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状态
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经核准的
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2, 12, 52, 212, 852, 3412, 13652, 54612, 218452, 873812, 3495252, 13981012, 55924052, 223696212, 894784852, 3579139412, 14316557652, 57266230612, 229064922452, 916259689812, 3665038759252, 14660155037012, 58640620148052, 234562480592212, 938249922368852
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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这些数字有一个简单的二进制模式：101100110110101001101010100。。。即，第n项具有二进制展开1（10）{n-1}0也就是说，在最高有效1和最低有效0之间有n-1个10。
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链接
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配方奶粉
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a（1）=2，a（2）=12，a（n）=5*a（n-1）-4*a（n-2）-哈维·P·戴尔2012年10月16日
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数学
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（5*4^范围[30]-8）/6（*或*）线性递归[{5，-4}，{2，12}，30](*哈维·P·戴尔2012年10月16日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（5*4^n-8）/6:n in[1..40]]//文森佐·利班迪2011年4月28日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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