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搜索: a069769-编号:a069769
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A057163 Catalan自同构的特征码置换:反映有根平面二叉树;德国1998年戴克路径上的对合。 +10个
168
0,1,3,2,8,7,6,5,4,22,21,20,18,17,19,16,15,13,12,14,11,10,9,64,63,62,59,58,61,57,55,50,49,54,48,46,45,60,56,53,47,44,52,43,41,36,35,40,34,32,31,51,42,39,33,30,38,29,27,26,37,28,25,24,23,196,195,194,190,189 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,3个

评论

Deutsch在1999年的论文中指出,这种自同构映射了Dyck路径的双峰数与谷数,第一峰的高度映射到收益数,即A126306号(n)=邮编:A127284(不适用)A126307号(n)=A057515型(a(n))保留所有n。

这个A000108号(n-2)n-边三角形化可以反映在n个对称轴上,所有这些对称轴都可以由适当的排列组合生成A057161/A057162A057163.

组成A057164给出了Donaghey映射M的签名置换(A057505型/A057506号).以n:2n+1的比例嵌入自身,作为a(n)=A083928号(一)(A080298号(n) ))。邮编:A127302(a(n))=邮编:A127302(n) 以及A057123(A057163(n) )=A057164(A057123(n) )保留所有n。

链接

郑焕民,n=0..10000时的n,a(n)表

E、 德国,戴克路径上的对合及其结果《离散数学》,204(1999),第1-3、163-166号。

英德拉尼尔戈什,用于计算这个序列的Python程序,由Maple代码翻译而来

A、 卡图宁,计算这个序列的C程序。

Dana G.Korsjoen,Biyao Li,Stefan Steinerberger,Raghavendra Tripathi,和Ruimin Zhang,用图论寻找实数序列的结构:一个问题列表,arXiv:2012.046252020年12月8日

Catalan自同构诱导的签名置换的索引项

公式

a(n)=A083927号(A057164(A057123(n) ))。

例子

自然数的这种对合(自逆置换)是在我们反映由A014486号. E、 g,我们有A014486号(5) =44(二进制101100),A014486号(7) =52(二进制为110100),这些编码为以下有根平面二叉树,它们是彼此的反射:

0 0 0 0

     \ /               \ /

1 0 0 1

       \ /           \ /

0 1 1 0

     \ /               \ /

11

因此a(5)=7和a(7)=5。

枫木

a(n)=A080300(反射目录树(A014486号(n) ))

ReflectBinTree:=n->ReflectBinTree2(n)/2;ReflectBinTree2:=n->(`if`((0=n),n,ReflectBinTreeAux(A030101型(n) ));

reflectBintreaux:=过程(n)局部a,b;a:=ReflectBinTree2(BinTreeLeftBranch(n));b:=ReflectBinTree2(BinTreeRightBranch(n));返回((2^(A070939号(二)+A070939号(a) ))+(b*(2)^(A070939号(a) )))+a);结束;

NextSubBinTree:=proc(nn)局部n,z,c;n:=nn;c:=0;z:=0;而(c<1)do z:=2*z+(n mod 2);c:=c+(-1)^n;n:=楼层(n/2);外径;返回(z);结束;

BinTreeLeftBranch:=n->NextSubBinTree(floor(n/2));

bintreerightbrange:=n->NextSubBinTree(地板(n/(2^(1+A070939号(分公司(n))));

数学

A014486Q[0]=真;A014486Q[nü]:=Catch[Fold[如果[#<0,抛出[False],如果[#2==0,#-1,#+1]]&,0,整数位数[n,2]]==0];树[n_u]:=块[{func,num=Append[IntegerDigits[n,2],0]},func:=If[num[[1]]==0,num=Drop[num,1];0,num=Drop[num,1];1[func,func]];func];A057163L[n_9]:=函数[x,第一个位置[x,FromDigits[大多数@案例[树[#]/.1->反转@*1,0 | 1,全部,头部->真],2]][[1]]-1&/@x][选择[0,2^n],A014486Q]];A057163L[11](*郑焕民2016年12月11日*)

黄体脂酮素

(这种作用于S表达式的自同构的Scheme实现,即列表结构:)

(建设性实施:)(定义(*A057163s) (条件((非(对))s)(其他(缺点(*571A057163(cdr s)(*A057163(汽车)))

(破坏性实施:)(定义(*A057163! s) (条件((对)(*A069770号! s)(*A057163! (s车)(*A057163! (cdr s)))s)

交叉引用

这种自同构在其他自同构的car/cdr翻转变体之间共轭,例如。,A057162(n) =一个(A057161(a(n)),A069768号(n) =一个(A069767号(a(n)),A069769号(n) =一个(A057508号(a(n)),A069773号(n) =一个(A057501号(a(n)),A069774号(n) =一个(A057502号(a(n)),A069775号(n) =一个(A057509型(a(n)),A069776号(n) =一个(A057510号(a(n)),A069787号(n) =一个(A057164(a(n)))。

表格第1行邮编:A122201邮编:A122202也就是说,用FORK(和KROF)变换从更简单的自同构得到*A069770号. 囊性纤维变性。A122351.

关键字

作者

安蒂·卡尔图宁2000年8月18日

扩展

等同于Deutsch 1998年12月15日实现的对合,条目由安蒂·卡尔图宁2007年1月16日

状态

经核准的

A069768号 加泰罗尼亚双射“诀窍”的签名置换。 +10个
32
0,1,3,2,8,7,6,4,5,22,21,20,17,18,19,16,14,9,10,15,11,12,13,64,63,62,58,59,61,57,54,45,46,55,48,49,50,60,56,53,44,47,51,42,37,23,24,38,25,26,27,52,43,39,28,29,40,30,31,32,41,33,34,35,36,196,195,194,189,190 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

这种二叉树的自同构首先交换根的左子树和右子树,然后递归地进入(新的)左子树,在那里执行相同的操作。这是一个Catalan双射,它扩展到无限二叉树的唯一自同构,在本例中是A153142. 请参阅此处和中的更多评论A153141号.

这个双射诀窍是简单交换的ENIPS转换:ENIPS(*A069770号)(即,第1行邮编:A122204)再者,诀窍和诀窍(反过来,A069767号)有一个特殊的属性,即FORK和KROF变换(在邮编:A122201邮编:A122202)将它们转换成它们自己的倒数,即相互转换:FORK(Knack)=KROF(Knick)=Knack和FORK(Knack)=KROF(Knack)=Knick,因此这也发生在邮编:A122288很自然,双叉同时修复了这两个问题,例如fork(fork(Knack))=诀窍。

注意:芬兰语中的名字是“Naks”。

参考文献

A、 卡图宁,准备中的文件。

链接

A、 卡图宁,n=0..2055时的n,a(n)表

Catalan双射诱导的签名置换的索引项

黄体脂酮素

(这种自同构的Scheme实现。它们作用于S表达式,即列表结构:)

(构造性版本:)(定义(*A069768号s) (条件((非(对))s)(其他(缺点(*A069768号(cdr s)(车辆))))

(破坏性版本:)(定义(*A069768号! s) (条件((对)(*A069768号! (cdr s)(*A069770号! s) )s)

交叉引用

逆排列:“尼克”,A069767号. “n次方”(即n次方应用),从n=2到6:A073291号,A073293号,A073295型,A073297号,A073299号.

范围内[A014137号(n-1)。。A014138号(n-1)]这个排列的循环数是A073431号,固定点数量:A036987号(固定点本身:A084108号),所有循环尺寸的最大循环尺寸和LCM:A011782号. 另请参见:A074080型.

邮编:A127302(a(n))=邮编:A127302(n) 对所有n。a(n)=A057162(A057508号(n) )=A069769号(A057162(n) )

第1行,共邮编:A122204邮编:A122288,第21行,共邮编:A122285A130402,第8行,共A073200型.

另见双射A073287型,A082346号,A082347型,A082350型,A130342号.

关键字

作者

安蒂·卡尔图宁2002年4月16日;2008年12月20日修订条目

状态

经核准的

A069767号 加泰罗尼亚双射“尼克斯”的特征排列。 +10个
31
0,1,3,2,7,8,6,5,4,17,18,20,21,22,16,19,15,12,13,14,11,10,9,45,46,48,49,50,54,55,57,58,59,61,62,63,64,44,47,53,56,60,43,52,40,31,32,41,34,35,36,42,51,39,30,33,38,29,26,27,37,28,25,24,23,129,130,132,133,134 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

这种二叉树的自同构首先交换根的左子树和右子树,然后递归地进入(新的)右子树,在那里执行相同的操作。这是一个Catalan双射,它扩展到无限二叉树的唯一自同构,在本例中是A153141号. 请参阅此处的进一步评论。

这个双射,尼克斯,是简单交换的脊椎转换:脊椎(*A069770号)(即,第1行A122203)再者,小玩意和小诀窍(反过来*A069768号)有一个特殊的属性,即FORK和KROF变换(在邮编:A122201邮编:A122202)将它们转换成它们自己的倒数,即相互转换:FORK(Knack)=KROF(Knick)=Knack和FORK(Knack)=KROF(Knack)=Knick,因此这也作为第1行出现在邮编:A122287当然,双叉可以同时修复这两个问题,例如fork(fork(Knick))=Knick。还有其他一些特殊的特性。

注意:芬兰语中的名字是“Niks”。

参考文献

A、 卡图宁,准备中的文件。

链接

A、 卡图宁,n=0..2055时的n,a(n)表

Catalan双射诱导的签名置换的索引项

黄体脂酮素

(这种自同构的Scheme实现。它们作用于S表达式,即列表结构:)

(构造性版本:)(定义(*A069767号s) (条件((非(对))s)(其他(cons(cdr s))(*A069767号(汽车)))

(破坏性版本:)(定义(*A069767号! s) (条件((对)(*A069770号! s)(*A069767号! (cdr s)))s)

交叉引用

逆排列:“诀窍”,A069768号. “n次方”(即n次方应用),从n=2到6:A073290型,A073292号,A073294号,A073296号,A073298号.

范围内[A014137号(n-1)。。A014138号(n-1)]这个排列的循环数是A073431号,固定点数量:A036987号(固定点本身:A084108号),所有循环尺寸的最大循环尺寸和LCM:A011782号. 另请参见:A074080型.

邮编:A127302(a(n))=邮编:A127302(n) 对所有n。a(n)=A057508号(A057161(n) )=A057161(A069769号(n) )。

第1行,共A122203邮编:A122287,第15行,共邮编:A122286A130403号,第6行,共A073200型.

另见双射A073286型,A082345,A082348号,A082349号,邮编:A130341.

关键字

作者

安蒂·卡尔图宁2002年4月16日;2008年12月20日修订条目

状态

经核准的

A057508号 当函数“reverse”(存在于诸如Lisp、Scheme、Prolog和Haskell等编程语言中)作用于由A014486号/A063171号. +10个
30
0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,14,11,16,19,10,15,12,17,18,13,20,21,22,23,37,28,42,51,25,39,30,44,47,33,53,56,60,24,38,29,43,52,26,40,31,45,46,32,48,49,50,27,41,34,54,55,35,57,58,59,36,61,62,63,64,65,107,79,121,149,70 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,3个

链接

n=0..70的n,a(n)表。

A、 卡图宁,加纯性(包括计算该序列的完整方案程序)

Lisp中列表函数诱导的序列的索引项

Catalan自同构诱导的签名置换的索引项

枫木

Maple列表的类似函数可以实现为:reverse:=proc(a)if 0=nops(a)then(a)else[op(reverse(cdr(a)),a[1]];金融机构;结束;

黄体脂酮素

(Scheme函数在列表结构上实现这种自同构:)反向

(破坏性变体,参见A057509型对于Rol!)(define(Rev1!s)(条件((pair?s)(Rev1!(cdr s))(Rol!s)))

(另一种变体,参见A057510号对于Ror!)(define(Rev2!s)(条件((pair?s)(错误!s)(Rev2!(cdr s)))s)

交叉引用

汽车/cdr翻转了A069769号,即。A057508号(n)=A057163(A069769号(A057163(n) ))。请参阅A057164,A057509型,A057510号,A033538号.

关键字

作者

安蒂·卡尔图宁2000年9月3日

状态

经核准的

A057161 加泰罗尼亚自同构的特征置换:逆时针旋转一步A014486号. +10个
15
0,1,3,2,7,8,5,6,4,17,18,20,21,22,12,13,15,16,19,10,11,14,9,45,46,48,49,50,54,55,57,58,59,61,62,63,64,31,32,34,35,36,40,41,43,44,47,52,53,56,60,26,27,29,30,33,38,39,42,51,24,25,28,37,23,129,130,132,133,134 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

这是一个自然数的排列,当欧拉的凸多边形三角剖分时,由序列编码A014486号以一种简单的方式(通过二叉树,参考链接部分给出的三角五边形旋转的图示)逆时针旋转。

范围内的循环数[A014137号(n-1)。。A014138号(n) 这个排列的A001683号(n+2),否则与加泰罗尼亚双射相同*A074679号/*A074680号,但一旦左移(有关解释,请参阅OEIS Wiki中的相关注释)。

E、 g.,射程内[A014137号(0)。。A014138号(1) ]=[1,1]在范围内有一个周期(作为a(1)=1[A014137号(1) 。。A014138号(2) ]=[2,3]在范围内有一个周期(如a(2)=3和a(3)=2)[A014137号(2) 。。A014138号(3) ]=[4,8]还有一个循环(如a(4)=7,a(7)=6,a(6)=5,a(5)=8和a(8)=4),并且在范围内[A014137号(3) 。。A014138号(4) ]=[9,22]有A001683号(4+2)=4个循环。

从递归形式A057161A057503号可以看出,这两者都可以看作是一个过程的收敛极限,其中左边或右边的参数A085201型在公式中A057501号是“迭代递归化”的,另一方面,这两个都可以反过来收敛到A057505型用同样的方法,当公式的另一面也被“递归化”时。

链接

A、 卡图宁,n=0..2055时的n,a(n)表

A、 卡图宁,加泰罗尼亚自同构与双射概论(未完稿),第51-54页。

A、 卡图宁,关于相关置换A074679/A074680的轨道的注记,OEIS维基。

A、 卡图宁,五边形的五个三角形将如何旋转,以及它在二叉树中引起的相应变化的图示

Catalan自同构签名置换的索引项

公式

a(0)=0,对于n>=1,a(n)=A085201型(一)(A072771号(n) ),A057548号(A072772号(n) ))。[此公式反映了程序部分首先给出的S表达式实现:A085201型是与“append”对应的2元函数,A072771号A072772号在某些语言中也被称为“头/尾”A057548号对应于函数“list”的一元形式。]

作为相关排列的组合:

a(n)=A069767号(A069769号(n) )。

a(n)=A057163(A057162(A057163(n) ))。

a(n)=A057164(A057504号(A057164(n) ))。[有关证明,见“介绍性调查……”草案第53-54页]

枫木

a(n)=加泰罗尼亚克全球(旋转成角)(A014486号[n] ))

加泰罗尼亚兰全球A057117号以及其他的Maple程序A038776号.

NextSubBinTree:=proc(nn)局部n,z,c;n:=nn;c:=0;z:=0;而(c<1)do z:=2*z+(n mod 2);c:=c+(-1)^n;n:=楼层(n/2);外径;返回(z);结束;

BinTreeLeftBranch:=n->NextSubBinTree(floor(n/2));

BinTreeRightBranch:=n->NextSubBinTree(floor(n/(2^(1+binwidth(BinTreeLeftBranch(n)))));

旋转角度化:=proc(nn)局部n,s,z,w;n:=binrev(nn);z:=0;w:=0;而(1=(n mod 2))do s:=BinTreeRightBranch(n);z:=z+(2^w)*s;w:=w+B宽度(s);z:=z+(2^w);w:=w+1;n:=楼层(n/2);外径;返回(z);结束;

黄体脂酮素

(在S表达式上实现这种自同构的Scheme函数,三种不同的变体):

(定义(*A057161s) (条件((null?s)(else(追加(*A057161(车辆))(列表(cdr s)))))

(定义(*A057161(lt-nt)(lt-nt)(lt-nt)(lt-nt)(lt-bt)(lt-nt)(lt-bt)(lt-bt)(lt-bt)(lt-nt-loop)(lt-bt)(lt-nt-loop)(lt-bt)(lt-nt-loop)(lt-bt)(lt-nt-loop)(lt-bt)(lt-nt-loop)(lt-bt)(lt-nt-loop)(lt-

(定义(*A057161! s)(*A069769号! s)(*A069767号! s) s)

;; 直接处理非负整数的版本(definec是来自安蒂·卡尔图宁的IntSeq库):

(定义(A057161n) (如果(零?n)n(A085201bi(A057161(A072771号n) )(A057548号(A072772号n) )));;A085201bi,见:A085201型.

交叉引用

反向:A057162.

同时,一个“脊椎”的转变A069774号,因此出现在A130403号.

其他相关排列:A057163,A057164,A057501号,A057504号,A057505型.

囊性纤维变性。A001683号(循环计数),A057544号(最大循环长度)。

关键字

作者

安蒂·卡尔图宁2000年8月18日;条目修订日期:2014年6月6日

状态

经核准的

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上次修改时间:2021年11月28日21:30 EST。包含349415个序列。(运行在oeis4上。)