搜索： a067255-编号：a0672五十五
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A001222号
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| 用多重数计算的n的素因子数（也称为n的大ω、大ω（n）或ω（n））。
（原名M0094 N0031）
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2899
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0，1，1，2，1，2，1，3，3，2，3，1，5，4，2，1，4，2，2，4，1，4，2，3，2，2，其他的
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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n的任何因式分解中的最大项数。
除以n的素数幂（不包括1）。
猜想：设f（n）=（x+y）^a（n），g（n）=x^a（n），h（n）＝（x+y）^A046660号（n） *年^A001221号（n） x，y复数，0^0=1。则f（n）=和{d|n}g（d）*h（n/d）。这在x=1-y时得到了证明（见Dressler和van de Lune链接）-沃纳·舒尔特，2018年2月10日
设r，s是一些固定整数。然后我们有：
（1） 对于素数p和e>=0，r^bigomega（n）和s^bigome（n）的序列b（n）=Dirichlet卷积与b（p^e）=（r^（e+1）-s^（e+1））/（r-s）相乘。情况r=s导致b（p^e）=（e+1）*r^e。
（2） r^bigomega（n）和mu（n）*s^bigome（n）的序列c（n）=Dirichlet卷积与素数p和e>0的c（p^e）=（r-s）*r^（e-1）和c（1）=1相乘，其中mu（n）=A008683号（n） ●●●●-沃纳·舒尔特2019年2月20日
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第119页，#12，ω（n）。
M.Kac，概率、分析和数论中的统计独立性，卡鲁斯专著12，数学。美国协会。，1959年，见第64页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[替代扫描件]，第844页。
贝诺伊特·克洛伊特，RH的牛头座方法，arXiv:1107.0812[math.NT]，2011年。
Robert E.Dressler和Jan van de Lune，关于数论函数ω和ω的几点注记，程序。阿默尔。数学。Soc.41（1973），403-406。
G.H.Hardy和S.Ramanujan，一个数的素因子的正规数，夸脱。数学杂志。48 (1917), 76-92. 还收集了Srinivasa Ramanujan的论文，AMS Chelsea Publ。，普罗维登斯，RI（2000）：262-275。
Douglas E.Iannucci和Urban Larsson，算术函数的博弈值，arXiv:2101.07608[math.NT]，2021。第1.1.1条。第4-5页。
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配方奶粉
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n=产品（p_j^k_j）->a（n）=总和。
Dirichlet g.f.：ppzeta（s）*zeta（s）。这里，ppzeta（s）=和{p素数}和{k>=1}1/（p^k）^s。注意，ppzeta=和{p素}1/-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月11日
a（p）=1的全加性。
G.f.：Sum_{p素数，k>=1}x^（p^k）/（1-x^（p^k））-伊利亚·古特科夫斯基，2017年1月25日
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例子
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16=2^4，所以a（16）=4；18=2*3^2，所以a（18）=3。
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MAPLE公司
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（数量理论）：seq（bigomega（n），n=1..111）；
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数学
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数组[Plus@@Last/@FactorInteger[#]&，105]
PrimeOmega[范围[120]](*哈维·P·戴尔2011年4月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）矢量（100，n，bigomega（n））
（Magma）[n eq 1 select 0 else&+[p[2]：p in Factorization（n）]：n in[1..120]]//布鲁诺·贝塞利2013年11月27日
（哈斯克尔）
导入数学。数字理论。底漆。因子分解（factorise）
a001222=总和。瑞士。解压缩。因子分解酶
（方案）
（GAP）连接（[0]，列表（[2..150]，n->长度（因子（n）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月21日
（Python）
来自sympy import primeomega
定义a（n）：返回素数（n）
打印（[a（n）代表范围（1112）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年4月30日
（朱莉娅）
使用尼莫
函数NumberOfPrimeFactors（n；distinct=true）
不同返回长度（系数（ZZ（n））
因子（ZZ（n））中（p，e）的总和（e）；初始化=0）
结束
println（[NumberOfPrimeFactors（n，distinct=false）for n in 1:60]）#彼得·卢什尼2024年1月2日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A079149号（素数可调整为最多有2个素数因子的整数，a（n）<=2）。
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关键词
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非n，容易的，美好的，核心
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A007814号
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| 2除以n的最高幂指数，也称为二进制进位序列、标尺序列或n的2-adic赋值。 |
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+10
850
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0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 6, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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要构造序列：从0,1开始，连接以获得0,1,0,1。将+1加到最后一项上，得到0,1,0,2。将这4个项连接起来，得到0,1,0,2,0,1,0,2。在最后一个学期加上+1等-贝诺伊特·克洛伊特2003年3月6日
序列在以下两种变换下是不变的：每个元素增加一个（1、2、1、3、1、2，1、4…），在前面和相邻元素之间放置一个零（0、1、0、2、0、1，0、3、0，1、0，2，0，1，0，4…）。中间结果是A001511号.-Ralf Hinze（Ralf（AT）informatik.uni-bonn.de），2003年8月26日
同构0->01，1->02，2->03，3->04，…，的不动点。。。，n->0（n+1）。。。，从a（1）=0开始-菲利普·德莱厄姆2004年3月15日
同态0->010，1->2，2->3，…，的不动点。。。，n->（n+1）-乔格·阿恩特2014年4月29日
a（n）也是Collatz猜想中引用的冰雹序列中对偶数重复一步的次数Alex T.Flood（whiteangelsgrace（AT）gmail.com），2006年9月22日
设F（n）为第n个费马数(A000215号). 然后F（a（r-1））将F（n）+2^k除以r=k mod 2^n和r！=1. -T.D.诺伊2007年7月12日
a（n）是以2为基数写入n时，n末尾的0的数目。
a（n+1）是以2为基数写入n时，n末尾的1的数目-M.F.哈斯勒2012年8月25日
序列是无平方的（在不包含任何形式XX的子序列的意义上）[Allouche和Shallit]。当然，它包含单个的平方项（例如4）注释展开者N.J.A.斯隆2019年1月28日
引理：对于n=a（n）=a（m）的n＜m，存在a（k）>r的n＜k＜m。证明：我们有n=b2^r和m=c2^r，其中b<c都是奇数；在他们中间选择一个偶数；现在a（i2^r）>r和n<i2^r<m.QED。推论：连续整数的每个有限次运行都有一个唯一的最大2进制值-杰森·金伯利2011年9月9日
a（n）=具有Heinz数n的分区中1的个数。我们将分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz号定义为Product_{j=1..r}p_j-th素数（阿洛伊斯·海因茨在里面2015年2月66日作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，我们得到2*2*3*7*29=2436。示例：a（24）=3；实际上，海因氏数为24=2*2*2*3的分区是[1,1,1,2]-Emeric Deutsch公司2015年6月4日
a（n+1）是高架桥编号为n的整数分区中两个最大部分之间的差值（假设0是一个部分）。示例：a（20）=2。事实上，我们有19=10011_2，这导致了分区[3,1,1]的费雷尔斯板。有关高架桥编号的定义，请参阅A290253型. -Emeric Deutsch公司2017年8月24日
除了如上所述的平方自由外，序列还具有这样的特性，即每个连续的子序列至少包含一个奇数次的数字-乔恩·里奇菲尔德2018年12月20日
a（n+1）是4k+1形式的任意u的和{e=0..n}u^e=（1+u+u^2+…+u^n）的2元估值(A016813号)-安蒂·卡图恩2020年8月15日
{a（n）}代表可数无限多帽子游戏的“第一黑帽子”策略，成功概率为1/3；请参阅下面的数字链接-弗雷德里克·鲁格2021年6月14日
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参考文献
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J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第27页。
K.Atanassov，《关于第37和38个Smarandache问题，数论和离散数学笔记》，索菲亚，保加利亚，第5卷（1999年），第2期，第83-85页。
米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
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链接
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阿兰·康奈斯（Alain Connes）、卡特琳娜·康萨尼（Caterina Consani）和亨利·莫斯科维奇（Henri Moscovici），Zeta零点和长波算子，arXiv:2311.18423[数学.NT]，2023。
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，（2009）离散数学。，309 (2009), 6245-6254.
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，arXiv:0901.1397[math.CO]，2009年。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。参见第61页。图书网站
尼古拉斯·马莱特，锡拉丘兹猜想的证明试验，arXiv预印本arXiv:1507.05039[math.GM]，2015。
乔瓦尼·皮奇奇尼，有限自动机：特性、复杂性和变体《形式系统描述复杂性国际会议》（DCFS 2019），《形式系统的描述复杂性》，《计算机科学讲义》（LNCS，第11612卷），查姆斯普林格，57-73。
劳拉·普德威尔和埃里克·罗兰，避免自然数的分数幂，arXiv:1510.02807[math.CO]（2015）。《组合数学电子杂志》，第25卷（2）（2018年），#P2.27。见第2节。
保罗·塔劳，一类同构数据变换《Calculemus 2009》，第八届国际会议，MKM 2009，第170-185页，斯普林格，LNAI 5625。
P.M.B.Vitanyi，计数器的优化仿真《SIAM J.计算》，14:1（1985），1-33。
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配方奶粉
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如果n是奇数，则a（n）=0，否则为1+a（n/2）-莱因哈德·祖姆凯勒2001年8月11日
通用公式：A（x）=和{k>=1}x^（2^k）/（1-x^-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月10日
如果p=2，则为a（p）=1的全加性，否则为0。
Dirichlet g.f.：zeta（s）/（2^s-1）-拉尔夫·斯蒂芬2007年6月17日
定义0<=k<=2^n-1；二进制：k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1；其中b（x）为0或1，表示0≤x≤n-1；定义0≤x≤n-1的c（x）=1-b（x）；那么：a（k）=c（0）+c（0c（0）*c（1）。。。c（n-1）；a（k+1）=b（0）+b（0b（0）*b（1）。。。b（n-1）.-Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年5月10日
v{2}（n）=和{r>=1}（r/2^（r+1））和{k=0..2^-A.内维斯，2010年9月28日，2010年10月4日更正
a（（2*n-1）*2^p）=p，p>=0，n>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年2月4日
a（n）=log_2（n-（n和n-1））-加里·德特利夫斯2014年6月13日
对于正n、x和y，a（（2*x-1）*2^n）=a（（（2xy-1）*2 ^n）-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2016年8月4日
a（n）*（n模块4）=2*楼层（（n+1）模块4）/3）-加里·德特利夫斯2019年2月16日
渐近平均值：lim_{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=1-阿米拉姆·埃尔达尔，2020年7月11日
a（n）=2*Sum_{j=1..floor（log_2（n））}frac（二项式（n，2^j）*2^（j-1）/n）-达里奥·德卡斯特罗2022年7月8日
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例子
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2^3除以24，因此a（24）=3。
三角形开始：
0;
1,0;
2,0,1,0;
3,0,1,0,2,0,1,0;
4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
5,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0；
6,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,5,0,1,0,2,...
（结束）
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MAPLE公司
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ord:=进程（n）局部i，j；如果n=0，则返回0；fi；i： =0；j： =n；而jmod2<>1做i:=i+1；j： =j/2；od：i；结束进程：seq（ord（n），n=1..111）；
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数学
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p=2；数组[If[Mod[#，p]==0，Select[FactorInteger[#]，Function[q，q[[1]]==p]，1][1，2]，0]&，96]
数字计数[BitX或[x，x-1]，2，1]-1；基于相同概念的不同版本：Floor[Log[2，BitXor[x，x-1]]]（*Jaume Simon Gispert（Jaume（AT）nuem.com），2004年8月29日*）
嵌套[Join[#，ReplacePart[#，Length[#]->Last[#]+1]]&，{0，1}，5]（*N.J.Gunther，2009年5月23日*）
嵌套[Flatten[#/.a_Integer->{0，a+1}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v，2011年1月17日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a007814 n=如果m==0，则1+a007814n'否则为0
其中（n'，m）=divMod n 2
（哈斯克尔）
a007814 n |奇数n=0 |否则=1+a007819（n `div`2）
（R） sapply（1:100，函数（x）和（gmp:：因式分解（x）==2））#克里斯蒂安·安德森2013年6月20日
（岩浆）[估值（n，2）:n in[1..120]]//布鲁诺·贝塞利2013年8月5日
（Python）
导入数学
定义a（n）：返回int（math.log（n-（n&n-1），2））#因德拉尼尔·戈什，2017年4月18日
（Python）
定义A007814号（n） ：return（~n&n-1）.bit_length（）#_柴华武2022年7月1日
（方案）（定义(A007814号n） （让回路（（n n）（e 0））（如果（奇数？n）e（回路（/n 2）（+1 e）））；；安蒂·卡图恩2017年10月6日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的，容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A124010型
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| 第一行为0的三角形，第n行（n>1）列出n的素因式分解中不同素因子（“有序素签名”）的指数。 |
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+10
451
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0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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任何有限的自然数序列都显示为连续项-保罗·泰克2013年4月27日
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链接
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配方奶粉
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例子
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指数的初始值为：
1，[0]
2，[1]
3, [1]
4, [2]
5, [1]
6, [1, 1]
7, [1]
8, [3]
9, [2]
10, [1, 1]
11, [1]
12, [2, 1]
13, [1]
14, [1, 1]
15, [1, 1]
16，[4]
17, [1]
18, [1, 2]
19, [1]
20, [2, 1]
...
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MAPLE公司
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expts:=proc（n）局部t1，t2，t3，t4，i；如果n=1，则返回（[0]）；fi；如果是素数（n），则返回（[1]）；fi；t1:=系数（n）；如果nops（因子集（n））=1，则返回（[op（2，t1）]）；fi；t2：=nops（t1）；t3：=[]；对于i从1到t2，做t4：=op（i，t1）；如果nops（t4）=1，则t3：=[op（t3），1]；否则t3：=[op（t3），op（2，t4）]；fi；od；返回（t3）；结束#N.J.A.斯隆2007年12月20日
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a124010 n k=a124010_tabf！！（n-1）！！（k-1）
a124010_低1=[0]
a12410_row n=f n a000040_list，其中
f 1=[]
f u（p:ps）=h u 0其中
h v e | m==0=h v’（e+1）
|m/=0=如果e>0，则e：f v ps，否则f v ps
其中（v'，m）=divMod v p
a12410_tabf=映射a12410_row[1..]
（PARI）打印1（0）；对于（n=2,50，f=系数（n）[，2]；对于（i=1，#f，打印1（“，”f[i]））\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年11月7日
（Python）
来自sympy导入因子
定义a（n）：
f=因子（n）
如果n==1，则返回[0]，否则[f[i]表示f中的i
对于范围（1，21）中的n：打印（a（n））#因德拉尼尔·戈什2017年5月16日
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交叉参考
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关键词
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容易的，非n，标签
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A061395号
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| 设p是n的最大素因子；如果p是第k素数，则设置a（n）=k；按照惯例，a（1）=0。 |
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+10
363
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0, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 5, 2, 6, 4, 3, 1, 7, 2, 8, 3, 4, 5, 9, 2, 3, 6, 2, 4, 10, 3, 11, 1, 5, 7, 4, 2, 12, 8, 6, 3, 13, 4, 14, 5, 3, 9, 15, 2, 4, 3, 7, 6, 16, 2, 5, 4, 8, 10, 17, 3, 18, 11, 4, 1, 6, 5, 19, 7, 9, 4, 20, 2, 21, 12, 3, 8, 5, 6, 22, 3, 2, 13, 23, 4, 7, 14, 10, 5, 24, 3, 6, 9, 11, 15
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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a（n）=具有Heinz数n的分区的最大部分。我们将分区的Heinz号p=[p_1，p_2，…，p_r]定义为乘积（p_j-th素数，j=1…r）（阿洛伊斯·海因茨在里面2015年2月66日作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，我们得到2*2*3*7*29=2436。示例：a（20）=3；实际上，海因氏数为20=2*2*5的分区是[1,1,3]-Emeric Deutsch公司2015年6月4日
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（20）=3，因为20的最大素数因子是5，这是第三素数。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
a： =n->pi（最大值（1，系数集（n）[]）：
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数学
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插入[Table[PrimePi[FactorInteger[n][[-1]][[1]]]，{n，2，120}]，0，1](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月11日*）
f[n_]：=PrimePi[因子整数@n][[ -1, 1]]; 数组[f，94](*罗伯特·威尔逊v2007年12月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）｛对于（n=1000，if（n==1，a=0，f=因子（n）~；p=f[1，长度（f）]；a=primepi（p））；write（“b061395.txt”，n，“”，a）｝\\哈里·史密斯2009年7月22日
（PARI）a（n）=如果（n==1,0，素数（vecmax（因子（n）[，1]））\\米歇尔·马库斯2022年11月14日
（哈斯克尔）
a061395=a049084。a006530号--莱因哈德·祖姆凯勒2013年6月11日
（Python）
从sympy导入primepi，primefactors
定义a（n）：如果n==1，则返回0（素数因子（n）[-1]）
打印（[a（n）代表范围（1101）中的n）]#因德拉尼尔·戈什2017年5月14日
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交叉参考
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关键词
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容易的，美好的，非n
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作者
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已批准
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0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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a（n）=具有Heinz数n的分区中最大部分的多重性。我们将分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz号定义为乘积（p_j-th素数，j=1…r）（阿洛伊斯·海因茨在里面2015年2月66日作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，我们得到2*2*3*7*29=2436。示例：a（18）=2；实际上，具有Heinz数18＝2*3*3的分区是[1，2，2]-Emeric Deutsch公司2015年6月4日
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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with（数字理论）：with（padic）：
a： =n->`如果`（n=1，0，ordp（n，max（factorset（n）[]））：
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
（Python）
来自sympy导入因子
定义A071178号（n） ：如果n>1，则返回max（factorint（n）.items（））[1]，否则为0#柴华武2023年10月10日
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交叉参考
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关键词
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容易的，非n
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作者
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已批准
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A133457号
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| 行读取的不规则三角形：行n给出了n的指数，表示为2的幂和。 |
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+10
32
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0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 3, 1, 3, 0, 1, 3, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 4, 1, 4, 0, 1, 4, 2, 4, 0, 2, 4, 1, 2, 4, 0, 1, 2, 4, 3, 4, 0, 3, 4, 1, 3, 4, 0, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 0, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 5, 1, 5, 0, 1, 5, 2, 5, 0, 2, 5, 1, 2, 5, 0, 1, 2, 5, 3, 5, 0, 3, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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这个序列包含每个递增的有限序列。例如，有限序列{0,2,3,5}产生于n=45。
在相应的不规则三角形{a（n）+1}中，第m行给出多项式{m，k}的所有正整数根m_i参见链接[Shevelev]；另请参见A264613型. -弗拉基米尔·舍维列夫2015年12月13日
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链接
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配方奶粉
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例子
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1=2 ^0。
2=2 ^1。
3 = 2^0 + 2^1.
4 = 2^2.
5 = 2^0 + 2^2.
等，并读取指数，得出三角形的行。
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MAPLE公司
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A133457号：=proc（n）局部a，bdigs，i；a:=[]；bdigs:=转换（n，基数，2）；对于i从1到nops（bdigs），如果op（i，bdigs）<>0，则a：=[op（a），i-1]；fi；od:a；结束：seq（op(A133457号（n） ），n=1..80）#R.J.马塔尔2007年11月30日
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数学
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数组[Join@@Position[#，1]-1&@Reverse@IntegerDigits[#，2]&，41]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年10月8日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a133457 n k=a133457_tabf！！（n-1）！！n个
a133457_当前n=a133457_tabf！！（n-1）
a133457_tabf=映射（fst.unzip.filter（（>0））。snd）。邮政编码[0..]）$
尾部a030308_tabf
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交叉参考
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已批准
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A115627号
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=素数（k）的重数作为n！的除数！。 |
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+10
31
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1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 7, 2, 1, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 4, 2, 1, 8, 4, 2, 1, 1, 10, 5, 2, 1, 1, 10, 5, 2, 1, 1, 1, 11, 5, 2, 2, 1, 1, 11, 6, 3, 2, 1, 1, 15, 6, 3, 2, 1, 1, 15, 6, 3, 2, 1, 1, 1, 16, 8, 3, 2, 1, 1, 1, 16, 8, 3, 2, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,4
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评论
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n！的因式分解！是n！=2^T（n，1）*3^T（n，2）**p_（pi（n））^T（n，pi（n））其中p_k=第k素数，pi=A000720号（n） ●●●●。
对于n=2、3、4和5，第n行的所有项都是奇数。还有其他这样的行吗-米歇尔·马库斯2018年11月11日
{}
1
0 1
2 0
0 0 1
1 1 0
0 0 0 1
3 0 0 0
0 2 0 0
1 0 1 0
列总和（8,4,2,1）为第10行。
（结束）
对于所有素数p>7，3*p>2*nextprime（p），所以对于任何n>21，总是有一个素数p除以n！指数为2时，所有条目都为奇数的行不再存在-查理·内德2019年6月3日
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链接
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H.T.Davis，数学函数表，卷。第1和第2版，1963年，第3卷（与V.J.Fisher合著），1962年；德克萨斯州圣安东尼奥三一大学普林西比出版社【第2卷204-208页注释扫描】见第206页表2。
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配方奶粉
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T（n，k）=总和{i=1..inf}楼层（n/（p_k）^i）。（虽然表示为无限和，但只有有限多个项是非零的。）
T（n，k）=Sum_{i=1.floor（log（n）/log（p_k）}floor（u_i），其中u_0=n和u_（i+1）=floor（（u_i）/p_k）-大卫·A·科内斯2014年6月22日
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例子
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三角形开始：
1
1 1
3 1
3 1 1
4 2 1
4 2 1 1
7 2 1 1
7 4 1 1
8 4 2 1
8 4 2 1 1
10 5 2 1 1
10 5 2 1 1 1
11 5 2 2 1 1
11 6 3 2 1 1
15 6 3 2 1 1
15 6 3 2 1 1 1
16 8 3 2 1 1 1
16 8 3 2 1 1 1 1
18 8 4 2 1 1 1 1
（结束）
m:5^m|101！：地板（log（101）/log（5））=2项。地板（101/5）=20。地板（20/5）=4。所以m=u_1+u_2=20+4=24-大卫·A·科内斯2014年6月22日
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MAPLE公司
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A115627号：=程序（n，k）局部d，p；p:=i素数（k）；n-加（d，d=转换（n，基数，p））；%/（第1页）；结束进程：#R.J.马塔尔2010年10月29日
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数学
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扁平[Table[Transpose[FactorInteger[n！]][[2]]，{n，2，20}]](*T.D.诺伊2012年4月10日*）
T[n_，k_]：=模[{p，jm}，p=素数[k]；jm=楼层[Log[p，n]]；总和[楼层[n/p^j]，{j，1，jm}]]；表[表[T[n，k]，{k，1，PrimePi[n]}]，{n，2，20}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年2月23日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a115627 n k=a115627_tabf！！（n-2）！！（k-1）
a115627_row=地图a100995。a141809低。a000142号
a115627_tabf=映射a115627行[2..]
（PARI）a（n）=我的（i=2）；当（n-素数pi（i）>1时，n-=素数（i）；i++）；p=素数（n-1）；总和（j=1，log（i）\log（p），i=p）\\大卫·A·科内斯2014年6月21日
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交叉参考
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关键词
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非n，标签
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作者
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状态
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已批准
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1, 2, 12, 2160, 2449440000, 8488905214204800000000000, 3025568387202006082882734693673523654400000000000000000000000000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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a（0）=1；a（1）=2；对于n>1:a（n）=2^（2^（n-2））*a（n-1）*A003961号（a（n-1））。
a（n）=乘积{k=1..n+1}素数（k）^e（n，k），其中e（n、k）=第n行的第k项A055248号.
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例子
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a（0）=1={1}的乘积，
a（1）=2^1={2}的乘积，
a（2）=2^2*3^1={3,2^2}的乘积，
a（3）=2^4*3^3*5^1={5，2^1*3^1，3^2，2^3}的乘积，
a（4）=2^8*3^7*5^4*7^1=的乘积
{7, 2^1*5^1, 3^1*5^1, 2^2*3^1, 5^2, 2^1*3^2, 3^3, 2^4},
...
e（n，k）的表，其中a（n）=Product_{k=1..n+1}素数（k）^e（n、k）：
素数（k）|2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31。。。
n\k |1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。
----------------------------------------------------
0 | 1
1 | 2 1
2 | 4 3 1
3 | 8 7 4 1
4 | 16 15 11 5 1
5 | 32 31 26 16 6 1
6 | 64 63 57 42 22 7 1
7 | 128 127 120 99 64 29 8 1
8 | 256 255 247 219 163 93 37 9 1
9 | 512 511 502 466 382 256 130 46 10 1
10 | 1024 1023 1013 968 848 638 386 176 56 11 1
…（结束）
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|
数学
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表[Times@@Array[Prime[#+1]^ Sum[Binominal[n，#+j]，{j，0，n}]&，n+1，0]，{n，0，5}](*迈克尔·德弗利格2023年7月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
分配（234567890）；
A003961号（n） =我的（f=系数（n））；对于（i=1，#f~，f[i，1]=下一素数（f[i、1]+1））；factorback（f）；\\使用的代码米歇尔·马库斯
A252738print（up_to_n）={my（s，i=0，n=0）；对于（n=0，up_to_n，如果（0==n，s=1，如果（1==n，s=2；lev=矢量（1）；lev[1]=2，oldlev=lev；lev=vector（2*长度（oldlev）））；s=1；对于（i=0、（2^（n-1））-1，lev[i+1]=if（i%2），A003961号（旧列夫[（i\2）+1]），2*旧列夫（（i\ 2）+1）；s*=水平[i+1））；写入（“b252738.txt”，n，“”，s）；}；\\根据经验计算。
A252738印刷品（7）；
（方案）
（定义（A252738rec n）（如果（<=n 1）（+1 n）（*(A000079号(A000079号（-n 2））（A252738rec（-n 1））(A003961号（A252738rec（-n 1）））；；实现给定的重复；使用记忆定义-宏。
（定义（mul-intfun-lowlim-uplim）（让multloop（（i lowlim）（res 1）））（cond（（>i uplim
;; 另一种替代方案，实施新的重复：
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A241918型
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| 根据n的素因式分解中素数指数的修正部分和进行排序的分区表。 |
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+10
15
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|
0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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按照约定，a（1）=0（表示空分区）。
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链接
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配方奶粉
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例子
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表格开始：
行分区
[ 1] 0; （代表空分区）
[ 2] 1; （因为2=2^1）
[ 3] 1,1; （因为3=2^0*3^1）
[ 4] 2; （因为4=2^2）
[ 5] 1,1,1; （因为5=2^0*3^0*5^1）
[ 6] 2,2; （因为6=2^1*3^1）
[ 7] 1,1,1,1; （因为7=2^0*3^0*5^0*7^1）
[ 8] 3; （因为8=2^3）
[ 9] 1,2; （因为9=2^0*3^2）
[10] 2,2,2; （因为10=2^1*3^0*5^1）
[11] 1,1,1,1,1;
[12] 3,3;
[13] 1,1,1,1,1；
[14] 2,2,2；
[15] 1,2,2; （因为15=2^0*3^1*5^1）
[16] 4;
[17] 1,1,1,1,1,1,1;
[18] 2,3; （因为18=2^1*3^2）
等。
如果n是2^k（k>=1），那么分区是一个单元素{k}，否则，将1加到2的指数上(=A007814号（n） ），并从最大素数除以n的指数中减去1(=A071178号（n） ），使中间指数保持原样，然后取所有指数的部分和，从而得到例如15=2^0*3^1*5^1的指数{0+1，1，1-1}->{1,1,0}的修改序列，其部分和{1,1+1+1+0}->{1,2,2}在第15行给出相应的分划。
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数学
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表[If[n==1，{0}，Function[s，Function[t，Accumulate[If[长度@t<2，{0{，连接[{1}，常量数组[0，长度@t-2]，{-1}]+ReplacePart[t，映射[#1->#2&@@#&，s]]]@ConstantArray[0，Transpose[s][[1，-1]]][FactorInteger[n]/。{p，e}/；p>0:>{PrimePi@p，e}]]，{n，31}]//扁平(*迈克尔·德弗利格2017年5月12日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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非n，标签
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作者
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状态
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已批准
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A347284型
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| a（n）=产品{j=1。。A089576号（n） }pj^ej，其中ej=楼层（e（j-1）*log（p（j-1，））/log（pj）），其中第一个因子为2^n。 |
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+10
9
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1, 2, 12, 24, 720, 151200, 302400, 1814400, 4191264000, 8382528000, 251727315840000, 503454631680000, 3020727790080000, 1542111744113740800000, 3084223488227481600000, 92526704646824448000000, 555160227880946688000000, 1110320455761893376000000, 10769764221549079560253440000000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a（n）是最大素数幂因子pj^ej的乘积，使得pj^e_j<p（j-1）^e_（j-1。
最大原始除数P（L）=A2110（L）。
对于n>0，所有项都是偶数。
最大素数p_L的重数e_L=1。
所有多重性e都是不同的；对于1<=j<=L，重数e_j>=L-j+1。
a（k）|a（n）表示0<=k<=n。
数字q=a（n+1）/a（n）是初等数。
术语的主要形状类似于美国爱达荷州的简化地图。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（0）=2^0=1；
a（1）=2^1=2，因为3^1>2^1；
a（2）=2^2*3^1，因为3^1<2^2但3^2>2^2，并且因为5^1>3^1；
a（3）=2^3*3^1，因为3^1＜2^3，但3^2＞2^3，5^1＞3^1；
a（4）=2^4*3^2*5^1，因为3^2<2^4但3^3>2^4，5^1<3^2但5^2>3^2，以及7^1>5^1；等。
2≤n≤5时a（n）的素数形状：
5个
4至4倍
3 o 3 x 3 x x
2x2x2x2x2xxx
a（2）1 X X a（3）1 X a（4）1 X X a（5）1 X
2 3 2 3 2 3 5 2 3 5 7
因为每个重数e都必须是不同的，我们可以使用Sum_{k=1..omega（a（n））}2^（e-1）将a（n。
a（12）的基本形状：
12点
11点
10个
9个
8个
7点
6 x o
5 x x
4 x x x
3 x x x x
2 x x x x
a（12）1 X X X X
2 3 5 7 ...
= 5244319080000 * 64 * 9
= 3020727790080000.
O（运行）
氧x
O x x（O x x）
O x x O x x
O x x O x O x x x x
O x O x x x O x O x O x x x x
a（1）*6=a（2）*2=a（3）*30=a（4）*210=a。
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数学
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数组[Times@@NestWhile[Append[#1，#2^Floor@Log[#2，#1[-1]]]&@@{#，Prime[Length@#+1]}&，{2^#}，Last[#]>1&]&，18，0]（*或*）
块[{nn=2^5，a={}，b，e，i，m，p}，数组[Set[e[#]，0]&，Floor[2^#如果[#<=4，1/2，-1+2^（7/（3#））]&[Ciling@Log2@nn]]；做[e[1]++；b={2^e[1]；Do[If[Last[b]==1，Break[]，i=e[j]；p=质数[j]；当[p^i<b[[j-1]]时，i++]；附加到[b，p^（i-1）]；如果[i>e[j]，e[j]++]]，{j，2，k}]；附加到[a，Times@@b]，{k，nn}]；前缀[a，1]]
（*从位图图像中最多生成4096个术语*）
使用[{r=ImageData@Import[“网址：https://oeis.org/A347284型/a347284.png“]}，{1}~连接~表[Times@@Flatten@MapIndexed[Prime[#2]^#1&，Reverse@Position[r[i]]，0.][[All，1]]]，{i，20}]]
（*使用b-file在A347354型（数字随着n的增加而增加，限制nn设置为120）：*）
块〔｛nn＝120，s，m｝，s＝导入〔”网址：https://oeis.org/A347354型/b347354.txt“，”数据“][[1；；nn，-1]]；m=Prime@Range@Max[s]；{1}~Join~FoldList[Times，Map[Times@@m[[1，；#]]&，s]]](*迈克尔·德弗利格2021年9月25日*）
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交叉参考
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非n
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