搜索： a066072-编号：a066052
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A058340号
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| 素数p使得φ（x）=p-1只有2个解，即x=p和x=2p。 |
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17
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11, 23, 29, 31, 47, 53, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 167, 173, 179, 191, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 239, 251, 263, 269, 271, 283, 293, 307, 311, 317, 331, 347, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 419, 431, 439, 443, 463, 467, 479
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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所有奇素数p都存在两个解，p和2p；序列中的素数没有其他解。
猜想的证明：q'=（q-1）/2是一个奇数素数>3。如果φ（x）=2q'，它有2个进位阶1，但不是2的幂，那么必须正好有一个奇数素数r除以x。我们也可以有一个因子为2（但没有更高的幂，这将为φ（x）贡献更多的2）。如果x=r^e或2r^e，则φ（x）=（r-1）r^（e-1）。对于2q'，一种可能性是r-1=2和r^（e-1）=q'，但q'=r=3，被q>7排除。唯一的其他可能性是r-1=2q'和e=1，这使得r=q和x=q或2q-罗伯特·伊斯雷尔2017年1月4日
Carl Pomerance提供的信息：众所周知，几乎所有素数（在相对渐近密度的意义上）都在序列中-托马斯·奥多夫斯基2017年1月8日
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链接
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配方奶粉
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例子
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对于p=2，φ（x）=1只有两个解，但它们是1和2，而不是2和4，所以2不在序列中。
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MAPLE公司
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过滤器：=n->isprime（n）和nops（数量理论：-invphi（n-1））=2：
选择（过滤器，[seq（i，i=3..10000，2）]）#罗伯特·伊斯雷尔2016年8月12日
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数学
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取[Rest@Keys@Select[KeySelect[KeyMap[#+1&，PositionIndex@Array[EulerPhi，10^4]]，PrimeQ]，长度@#==2&]，54](*迈克尔·德弗利格2017年12月29日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000010号,A000040型,A005385号,A006093号,A058339号,A066071号,A066072美元,A066073号,A066074号,A066075号,A066076号,A066077号,A066080型,A138537号.
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关键词
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非n
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作者
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已批准
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6, 10, 14, 15, 20, 21, 24, 26, 30, 33, 34, 35, 38, 40, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 60, 63, 65, 74, 76, 78, 84, 85, 86, 88, 90, 92, 93, 96, 105, 111, 114, 117, 118, 120, 123, 124, 126, 130, 135, 136, 141, 143, 145, 147, 153, 155, 158, 161, 164, 166, 168, 172, 174
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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数字n，使sigma（n）-1大于n和素数-朱塞佩·科波列塔2014年12月22日
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例子
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30、46、51和55在序列中，因为每个都是一个复合数n，使得sigma（n）-1=71，即素数；根据定义，71本身被排除在序列之外。
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MAPLE公司
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过滤器：=进程（n）
当地；
s： =理论数量：-σ（n）-1；
s>n和isprime（s）；
结束进程：
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数学
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Do[s=-1+除数Sigma[1，m]；如果[PrimeQ[s]&&！PrimeQ[m]，打印[m]]，{m，1256}]
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程序
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（PARI）是A066073（n）=！isprime（n）&&isprime（西格玛（n）-1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年2月20日
（Sage）[n代表（2..174）中的n，如果（sigma（n）-1）.is_prime（）和sigma-（n）-1>n]#朱塞佩·科波列塔2014年12月22日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000203号,A058340美元,A066071号,A066072号,A066073美元,A066074号,A066075号,A066076号,A066077号,A066080型,A248792型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 18, 21, 22, 26, 27, 28, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 46, 48, 49, 54, 55, 57, 58, 60, 62, 63, 74, 75, 76, 77, 82, 86, 88, 91, 93, 94, 95, 98, 99, 100, 106, 108, 110, 111, 114, 115, 117, 118, 119, 122, 124, 125, 126, 132, 133, 134, 135, 142, 145, 146
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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例子
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1+phi（x）=13的解是{13，21，26，28，36，42}，其中5个复合物按顺序排列。
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MAPLE公司
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选择（n->非isprime（n）和isprime，（1+numtheory:-phi（n）），[1..1000]）#罗伯特·伊斯雷尔，2017年12月29日
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数学
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选择[Complement[Range@#，Prime@Range@PrimePi@#]&@150，PrimeQ[EulerPhi@#+1]&](*迈克尔·德弗利格2016年7月1日*）
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程序
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（PARI）{n=0；对于（m=1，10^9，如果（！isprime（m）&&isprim（eulerphi（m）+1），写入（“b066071.txt”，n++，“”，m）；如果（n==1000，return））}\\哈里·史密斯2009年11月10日
（岩浆）[1..200][n:n不是IsPrime（n）和IsPrime[EulerPhi（n）+1）]//文森佐·利班迪2016年7月2日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000010号,A000040型,A005382号,A006093号,A039649号,A039698号,A058339号,A058340号,A065508型,A066072号,A066073号,A066074号,A066075号,A066076号,A066077号,A066080型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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2, 3, 5, 7, 13, 19, 29, 37, 43, 61, 67, 73, 101, 109, 137, 149, 157, 163, 173, 193, 197, 199, 211, 229, 241, 257, 277, 281, 283, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 367, 373, 379, 397, 401, 409, 421, 457, 461, 463, 487, 499, 509, 523, 541
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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链接
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配方奶粉
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数学
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使用[{s=KeySort@PositionIndex@Array[DivisorSigma[1，#]-1&，10^5]}，Take[#，51]&@Keys@KeySelect[s，PrimeQ@#&Length@Lookup[s，#]==1&]](*迈克尔·德弗利格2017年7月16日*）
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程序
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（PARI）{n=0；对于（m=1，10^9，p=prime（m）；a=1；对于（x=1，p-1，if（p==（sigma（x）-1），a++；break））；如果（a==1，写（“b066076.txt”，n++，“”，p）；if（n==1000，return））}\\哈里·史密斯2009年11月10日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A000203号,A058340号,A066071号,A066072号,A066073号,A066074号,A066075号,A066076号,A066077号,A066080型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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11, 17, 23, 23, 41, 31, 59, 41, 71, 47, 53, 47, 59, 89, 83, 71, 71, 97, 71, 79, 89, 167, 103, 83, 113, 139, 167, 223, 107, 131, 179, 233, 167, 127, 251, 191, 151, 239, 181, 179, 359, 167, 223, 311, 251, 239, 269, 191, 167, 179, 227, 233, 191, 239, 191, 293
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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p=71在x=30、46、51、55的第9、16、17和19位显示为-1+σ（x）。
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数学
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Do[s=-1+除数Sigma[1，n]；如果[PrimeQ[s]&&！PrimeQ[n]，打印[s]]，{n，1，256}]
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程序
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（PARI）{n=0；对于（m=1，10^9，如果（！isprime（m）&&isprim（p=sigma（m）-1），写入（“b066074.txt”，n++，“”，p）；如果（n==1000，return））}\\哈里·史密斯2009年11月10日
（PARI）lista（nn）=复合物（n=1，nn，if（isprime（p=（sigma（n）-1）），print1（p，“，”））\\米歇尔·马库斯，2018年1月5日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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A066075号
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| 解x到素数（n）的个数=σ（x）-1，其中素数（n）是第n个素数。 |
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+10
11
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 6, 1, 4, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 7, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 8, 4, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 3, 9, 1, 2, 1, 10, 1, 2, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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素数（n）本身总是最大的解，但通常也会出现复合解。
如果a（n）=1，则单个解是素数（n）。
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例子
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n=96，p（96）=503，503=sigma（x）-1有10个溶液和503:{204，220，224，246，284，286，334，415，451，503}，因此a（96）=10。
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程序
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（PARI）{对于（n=11000，a=1；对于（x=1，素数（n）-1，如果（素数（n）==（σ（x）-1），a++））；写入（“b066075.txt”，n，“”，a））}\\哈里·史密斯2009年11月10日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A000203号,A058340号,A066071号,A066072号,A066073号,A066074美元,A066075号,A066076号,A066077号,A066080型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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A066077号
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| a（n）是x的数目，使得西格玛（x）-1是0或前n-1个素数之一。 |
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1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 15, 17, 18, 21, 22, 25, 27, 30, 31, 32, 37, 38, 40, 43, 46, 48, 49, 51, 53, 54, 56, 58, 60, 61, 63, 64, 66, 67, 68, 74, 75, 79, 81, 86, 87, 88, 89, 90, 93, 96, 97, 100, 107, 108, 114, 115, 117, 120, 122, 123, 124, 125, 128, 130, 134, 135
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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曾用名是：最小x，这样p（n）=Sigma[x]-1。这与数据不匹配。请参见A296375型对于那个序列。
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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N： =100:#要获得（1）。。a（否）
P： =ithprime（N-1）：
S： =选择（t->isprime（t）和t<=P，映射（-1+数字理论：-sigma，[$1..P]）：
T： =统计：-计数（排序（S），输出=表格）：
列表工具：-部分和（[1，seq（T[ithprime（i）]，i=1..N-1）]）#罗伯特·伊斯雷尔2017年12月27日
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程序
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（PARI）第一（n）=my（res=向量（n），a=1）；res[1]=1；对于（k=2，n，对于（x=1，素数（k-1），如果（素数（k-1）==（σ（x）-1），a++））；res[k]=a）；资源\\伊恩·福克斯2017年12月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A000203号,A058339号,A058340号,A066071号,A066072号,A066073美元,A066074号,A066075号,A066076美元,A066077号,A066080型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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2, 3, 4, 4, 2, 6, 6, 4, 2, 2, 2, 8, 9, 4, 2, 2, 2, 9, 2, 2, 17, 2, 2, 6, 17, 4, 2, 2, 9, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 4, 2, 2, 2, 10, 2, 21, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 31, 2, 10, 2, 2, 2, 9, 8, 2, 2, 2, 2, 16, 2, 2, 18, 2, 6, 12, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 13, 13, 6, 2, 13, 2, 34
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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链接
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D.Bressoud，CNT公司。米计算数论Mathematica包。
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配方奶粉
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例子
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方程φ（x）=p-1总是至少有两个解：p和2p是素数和复合数。多次大于2 x，则φ（x）=p-1。对于p-1=96，有17个（即奇数）解：{97、119、153、194、195、208、224、238、260、280、288、306、312、336、360、390、420}、4个奇数和13个偶数，而对于p-1=100，有4个（偶数）解（{101、125、202、250}）。对于所有奇数解x，2x也是一个解。
1+phi（x）=11有2个解：11和22；1+phi（x）=241有31种溶液：x={241、287、305、325、369、385、429、465、482、488、495、496、525、572、574、610、616、620、650、700、732、738、744、770、792、858、900、924、930、990、1050}。
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MAPLE公司
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使用（数字理论）：>[seq（nops（invphi（-1+ithprime（i））），i=1..256）]；
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数学
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需求[“CNT`”]；表[Length[PhiInverse[Prime[n]-1]]，{n，100}](*T.D.诺伊2013年12月11日*）
取[Length/@Values@KeySelect[KeyMap[#+1&，PositionIndex@Array[EulerPhi，10^4]]，PrimeQ]，84](*迈克尔·德弗利格2017年12月29日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000010号,A000040型,A006093号,A058340美元,A066071号,A066072号,A066073美元,A066074号,A066075号,A066076号,A066077号,A066080型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A068014型
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| 非素数n，使得1+phi（n）和-1+sigma（n）是素数。 |
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6, 10, 14, 21, 26, 34, 38, 40, 46, 55, 57, 58, 60, 63, 74, 76, 86, 88, 93, 111, 114, 117, 118, 124, 126, 135, 145, 153, 158, 166, 178, 184, 186, 190, 194, 198, 206, 208, 209, 216, 221, 224, 230, 232, 238, 250, 252, 254, 260, 266, 270, 278, 280, 295, 297, 298
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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链接
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例子
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对于n=38，φ（38）+1=19，σ（38）-1=1+2+19+38-1=59。[更正人彼得·穆恩2017年12月30日]
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数学
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Do[s=-1+除数Sigma[1，n]；s1=1+EulerPhi[n]；如果[PrimeQ[s]&&PrimeQ[s1]&&！PrimeQ[n]，Print[{n，s1，s}]]，{n，1，1000}]（*也生成序列和相关素数*）
选择[Range@300，And[CompositeQ@#，AllTrue[{1+EulerPhi@#，-1+DivisorSigma[1，#]}，PrimeQ]&](*迈克尔·德弗利格2017年12月29日*）
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程序
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（PARI）isok（n）=！是素（n）&&是素（1+eulerphi（n））&&也是素（sigma（n）-1）\\米歇尔·马库斯2017年12月29日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000010号,A000203号,A058339号,A058340号,A066071号,A066072号,A066073号,A066074号,A066075号,A066076号,A066077号,A066080型.
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关键词
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非n
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作者
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