搜索: a064645-编号:a064645
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A001006号
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| 莫茨金数:绘制连接圆上n个(标记)点的任意数量不相交和弦的方法。 (原名M1184 N0456)
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1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, 1697385471211
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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4321、(34122413)、(34123142)和3412的数量避免了S_n中的对合。
由正整数组成的长度为n-1的序列数,其中第一个和最后一个元素为1或2,任何两个连续元素之间的绝对差为0或1-乔恩·佩里2003年9月4日
还有Motzkin n路径的数量:在n X n网格中从(0,0)到(n,0)的路径,仅使用步骤U=(1,1),F=(1,0)和D=(1,-1)。
没有UUU的Dyck n路径的数量。(给定这样一个Dyck n路径,将每个UUD改为U,然后将每个剩余的UD改成F。这是对Motzkin n路径的双射。例如n=5:U U D U D D D->U F U D D。)
没有UDU的Dyck(n+1)路径数。(给定这样一个Dyck(n+1)-路径,标记每个后跟D的U和每个不后跟U的D。然后将匹配的D标记为F的每个未标记U更改为F。最后,删除所有标记的步骤。这是Motzkin n路的双射。n=6且标记步骤为小型的示例:U U d d U U d d d d d U d->U U d d d F U d d d U d->U U d F F F d
a(n)是以下递归定义集合中长度为2n+2的字符串的数目:L包含空字符串,对于L中的任何字符串a和b,我们也在L中找到(ab)。L的前几个元素是e,(),(),第(n+1)个加泰罗尼亚数字索尔·施莱默(saulsch(AT)math.rutgers.edu),2006年2月23日谢尔盖·柯尔吉佐夫2020年3月5日]
a(n)=所有山谷具有偶数x坐标的Dyck n路径数(路径从原点开始时)。例如,T(4,2)=3计数UDUDUUDD、UDUUDDUD、UUDDUDUD。给定这样一条路径,将其拆分为长度为2的n个子路径,并转换UU->U、DD->D、UD->F(将不存在DU,因为这将需要具有奇数x坐标的山谷)。这是Motzkin n路的双射-大卫·卡伦2006年6月7日
此外,高度<=3的标准Young表的数量-迈克·扎布罗基2007年3月24日
a(n)是大小为2n+2的RNA形状的数量。RNA形状基本上是没有A[[B]]C形式的“直接嵌套”基序的Dyck词,用于A、B和C Dyck单词。第一个RNA形状是[];[][]; [][][], [[][]]; [][][][], [][[][]], [[][][]], [[][]][]; ... - Yann Ponty(Ponty(AT)lri.fr),2007年5月30日
该序列是从顶行A到左行开始(1,1)和底行=B的自生成序列,相同的序列是从(0,1)到右行。取A和B的点积,将结果加到A的第n项上,得到A的第(n+1)项。例如:A(5)=21如下:取A的点积=(9,4,2,1,1)和(0,1,2,4)=(0,+4+2+4)=12;将其加到9=21上-加里·亚当森2008年10月27日
等于A005773号/A005773号移位(即(1,2,5,13,35,96,…)/(1,1,2,5,13,35,97,…))-加里·亚当森2008年12月21日
从偏移量1开始=M*[1,1,0,0,0,…]的迭代次数,其中M=主对角线为[0,1,1,…],上对角线和次对角线均为[1,1,1…]的三对角线矩阵-加里·亚当森2009年1月7日
a(n)是亏格为0的{1,2,…,n}的对合数。{1,2,…,n}的置换p的亏格g(p)由g(p)=(1/2)[n+1-z(p)-z(cp')]定义,其中p'是p的逆置换,c=234…n1=(1,2,..,n),z(q)是置换q的圈数。示例:a(4)=9;实际上,p=3412=(13)(24)是亏格>0的{1,2,3,4}的唯一对合。这很容易从{1,2,…,n}的置换p有亏格0这一事实得出结论,当且仅当p的循环分解给出{1,2、…,n{的非交叉分区,并且p的每个循环都在增加(参见Dulucq-Simion参考的引理2.1)。[另外,冗余地,对于p=3412=(13)(24),我们有cp'=2341*3412=4123=(1432),因此g(p)=(1/2)(4+1-2-1)=1。]-Emeric Deutsch公司2010年5月29日
设w(i,j,n。那么a(n)=Sum_{i=0..n,j=0..n}w(i,j,n)是长度为n的这种游动的次数-彼得·卢什尼2011年5月21日
a(n)/a(n-1)趋向于3.0,因为n->无穷大:(1+2*cos(2*Pi/n))与最长的奇数n正多边形对角线有关,例如,n=7:使用三对角生成器[参见2009年1月7日的评论],对于多边形n=7,我们提取一个(n-1)/2=3X3矩阵[0,1,0;1,1,1;0,1,1],e-val为2.24697。。。;最长的Heptagon对角线,边缘为1。当N趋于无穷大时,对角线长度趋于3.0,序列收敛-加里·亚当森,2011年6月8日
避免模式132和虚线模式23\点{1}的(n+1)长度排列数-珍妮·卢克·巴里尔2012年3月7日
字母{a,b,c}上n长度单词w的数量,因此对于w的每个前缀z,我们都有#(z,a)>=#(z、b)>==#(z和c),其中#(z)计算单词z中的字母x。a(4)=9个单词是:aaaa,aaab,aaba,abaa,abab,aabc,abac,abca-阿洛伊斯·海因茨2012年5月26日
长度为n的限制增长字符串(RGS)[r(1),r(2),…,r(n)]的数目,使得r(1=r(k-1);例如,n=4的9个RGS是1010、1012、1201、1210、1212、1230、1231、1232、1234-乔格·阿恩特2013年4月16日
长度为n的限制增长字符串(RGS)[r(1),r(2),…,r(n)]的数目,其中r(11; 例如,n=4的9 RGS是0000、0002、0003、0004、0022、0024、0033、0222、0224-乔格·阿恩特2013年4月17日
(42315276143)的数目-避免S_n中的对合-亚历山大·伯斯坦2014年3月5日
a(n)是具有n个具有关联置换避免132的节点的递增一元二叉树的数目。有关具有关联排列的一元二叉树的更多信息,请参阅A245888型. -曼达·里尔,2014年8月7日
a(n)是[n]上避免单个图案p的对合数,其中p是8个(经典)图案1234、1243、1432、2134、2143、3214、3412、4321中的任意一个。此外,编号(34122413)-,(34123142)-,,(341224103142)-避免了[n]上的对合,因为这三组中的每一组实际上都与3412-避免[n]的对合一致。这是一个完整的列表,其中包括8个单字母、2对字母和1个三个四字母的经典图案,这些图案的对合避免因子由Motzkin数计算。(参见Barnabei等人2011年的参考。)-大卫·卡伦2014年8月27日
使用2*A(n)+A(n+1)创建的序列具有F(2n)的Hankel变换,偏移量3,F是斐波那契等分,A001906号(实证观察)。
使用2*A(n)+3*A(n+1)+A(n+2)创建的序列给出了求和{k=0..n}k*Fibonacci(2*k),偏移量3,A197649号(实证观察)。(结束)
猜想:(2/n)*Sum_{k=1..n}(2k+1)*a(k)^2是每个正整数n的整数-孙志伟2017年11月16日
Rubey和Stump参考证明了RenéMarczinzik的一个猜想的改进,他们说:“2-Gorenstein代数的数量是具有n个简单模的Nakayama代数,并且有一条定向线作为相关的箭矢,等于长度n的Motzkin路径的数量。”-埃里克·施密特2017年12月16日
U的数量_{k} -等效性Łukasiewicz路径的类。Łukasiewicz路径是P-等价的,如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日
如果tau1和tau2是从集合{132231312}中选择的两个不同的排列模式,则a(n)是避开模式tau1和tau2的[n+1]的排列的有效钩配置的数目-科林·德芬特2019年4月28日
长度为n的排列数,按连续321避免堆栈和经典21避免堆栈排序为标识-科林·德芬特2020年8月29日
a(n)是第一象限中从(0,0)开始,由无限集{(1,1),(1,-1),(1,-2),(1,-3),…}的n步组成的路径数。
例如,如果j>=2,表示U=(1,1)、D=(1,-1)、D_j=(1、-j),则a(4)计算UUUU、UUUD、UUUT_2、UUUUD_3、UUDU、UUDD、UUD_2U、UDUU、UDU、UDUD。
这个步骤集的灵感来自于2000年左右Emeric Deutsch提出的{(1,1),(1,-1),(1,3),(1,-5),…}。
请参见包含Motzkin路径双射的Prodinger链接。(结束)
Donaghey(1977)以以色列-美国数学家西奥多·莫茨金(1908-1970)的名字命名。在斯隆的《整数序列手册》(1973)中,它们被称为“广义选票数”-阿米拉姆·埃尔达尔,2021年4月15日
推测:
(1) 对于素数p==1(mod 6)和n,r>=1,a(n*p^r-2)==-A005717号(n-1)(mod p),取A005717号(0)=0,以匹配上述巴塔洛夫猜想。
(2) 对于素数p==5(mod 6)和n>=1,a(n*p-2)==-A005773号(n) (修订版)。
(3) 对于素数p>=3和k>=1,对于0<=n<=(p^k-3),a(n+p^k)==a(n)(mod p)。
(4) 对于素数p>=5和k>=2,a(n+p^k)==a(n)(mod p^2)表示0<=n<=(p^(k-1)-3)。(结束)
省略(0)的这个序列的Hankel变换给出了周期-6序列[1,0,-1,-1,0,1,…],它是A010892号省略了第一项,而当前序列的Hankel变换是全一序列A000012号也是具有这种性质的唯一序列,类似于加泰罗尼亚数的唯一汉克尔变换性质-迈克尔·索莫斯2022年4月17日
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参考文献
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E.Barccci、R.Pinzani和R.Sprugnoli,莫茨金家族,P.U.M.A.Ser。A、 第2卷,1991年,第3-4期,第249-279页。
F.Bergeron、L.Favreau和D.Krob,关于有界高度表枚举的猜想,《离散数学》,第139卷,第1-3期(1995年),463-468。
F.R.Bernhart、Catalan、Motzkin和Riordan数字,Disc。数学。,204 (1999) 73-112.
R.Bojicic和M.D.Petkovic,基于Motzkin数的序列Hankel变换的正交多项式方法,马来西亚数学科学公报,2015,doi:10.1007/s40840-015-0249-3。
Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第24、298、618、912页。
Alin Bostan,Calcul Formel pour la Combinatoire des Marches,HabilitationáDiriger des Recherches,巴黎大学北区信息实验室,2017年12月13日;https://specfun.inria.fr/bostan/HDR.pdf
A.J.Bu,受限Motzkin路径的自动计数,枚举组合与应用,ECA 1:2(2021)第S2R12条。
奈奥米·卡梅隆(Naiomi Cameron),JE McLeod,《广义Dyck路径上的回归和丘陵》(Returns and Hills on Generalized Dyck Paths),《整数序列杂志》(Journal of Integer Sequences),2016年第19卷,第16.6.1号。
L.Carlitz,某些复发的解决方案,SIAM J.Appl。数学。,17 (1969), 251-259.
Michael Dairyko、Samantha Tyner、Lara Pudwell和Casey Wynn,二叉树中的非相似模式避免。电子。J.Combin.19(2012),第3期,论文22,21 pp.MR2967227。
D.E.Davenport、L.W.Shapiro和L.C.Woodson,《Double Riordan Group》,《组合数学电子期刊》,第18卷第2期(2012年),第33页。
E.Deutsch和L.Shapiro,《细数调查》,离散数学。,241 (2001), 241-265.
T.Doslic、D.Svrtan和D.Veljan,二级结构的枚举方面,Disc。数学。,285 (2004), 67-82.
Tomislav Doslic和Darko Veljan,一些组合序列的对数行为。离散数学。308(2008),编号112182-2212。MR2404544(2009j:05019)。
S.Dulucq和R.Simion,交替排列的组合统计,J.代数组合学,81998169-191。
M.Dziemianczuk,“具有多条边和Raney晶格路径的平面树的枚举”,《离散数学》337(2014):9-24。
方文杰,Motzkin路上的一个偏序,离散数学。,343 (2020), #111802.
I.P.Goulden和D.M.Jackson,《组合计数》,纽约威利出版社,1983年,(5.2.10)。
N.S.S.Gu、N.Y.Li和T.Mansour,《二叉树:双投影和相关问题》,Disc。数学。,308 (2008), 1209-1221.
克里斯·哈奇(Kris Hatch),莫茨金单子体的演示,加州大学圣巴巴拉分校高级论文,2012年;http://ccs.math.ucsb.edu/senior-thesis/Kris-Hatch.pdf。
V.Jelinek、Toufik Mansour和M.Shattuck,《关于多模式避免集合划分》,《应用数学进展》第50卷第2期,2013年2月,第292-326页。
Hana Kim和R.P.Stanley,六叉树和相关多项式的精细枚举,网址:http://www-math.mit.edu/~rstan/pass/hextrees.pdf,预印本2015。
S.Kitaev,排列和单词中的模式,Springer-Verlag,2011年。见第399页表A.7。
A.Kuznetsov等人,《与Motzkin数相关的树》,《组合理论》,A 76(1996),145-147。
T.Lengyel,《关于Motzkin数某些差异的可除性》,《Annales Mathematicae et Informaticae》,41(2013),第121-136页。
W.A.Lorenz、Y.Ponty和P.Clote,《RNA形状的渐进性》,《计算生物学杂志》。2008, 15(1): 31-63. doi:10.1089/cmb.2006.0153。
Piera Manara和Claudio Perelli Cippo,4321避免退化和321避免退化的精细结构,PU。M.A.Vol.22(2011),227-238;http://www.mat.unisi.it/newsito/puma/public_html/22_2manara_perelli-cippo.pdf。
Toufik Mansour,限制1-3-2置换和广义模式,《组合年鉴》,6(2002),65-76。
图菲克·曼苏尔(Toufik Mansour)、马蒂亚斯·肖克(Matthias Schork)和马克·沙塔克(Mark Shattuck),加泰罗尼亚数字和模式限制集分区。离散数学。312(2012),第20期,2979-2991。MR2956089。
T.S.Motzkin,超曲面交比与多边形分割、永久优势和非结合积的组合公式之间的关系,布尔。阿默尔。数学。《社会学杂志》,54(1948),352-360。
Jocelyn Quaintance和Harris Kwong,《加泰罗尼亚语和贝尔数差异表的组合解释》,《整数》,13(2013),#A29。
J.Riordan,《通过分支和端点对平面树进行计数》,J.Combin.Theory,A 23(1975),214-222。
A.Sapounakis等人,有序树和横向中阶,Disc。数学。,306 (2006), 1732-1741.
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras,《Dyck路径中的字符串计数》,离散数学。,307 (2007), 2909-2924.
E.Schroeder,Vier组合问题,Z.f.数学。物理。,15 (1870), 361-376.
L.W.Shapiro等人,Riordan小组,离散应用数学。,34(1991),第229-239页。
Mark Shattuck,《关于组合系数多项式的零点》,《数学与信息年鉴》,42(2013),第93-101页,http://ami.ektf.hu。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil,《k二项式变换和Hankel变换》,《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.1条。
R.P.Stanley,《枚举组合数学》,剑桥,第2卷,1999年;参见问题6.37。还有问题7.16(b),y_3(n)。
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广加泰罗尼亚数和莫茨金数的一些新序列,离散数学。,26 (1979), 261-272.
孙振伟,涉及数列的猜想,《数论:香格里拉的算术》(编辑:S.Kanemitsu,H.Z.Li和J.Y.Liu),Proc。第六届中日学期数理论(上海,2011年8月15日至17日),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页;网址:http://math.nju.edu.cn/~zwsun/142p.pdf。
王晨英、彼得·米斯卡和伊斯特万·梅兹,“r-错位数”,《离散数学》340.7(2017):1681-1692。
王颖,辛国策,莫茨金数模8的分类,电子。J.Combina.,25(1)(2018),#P1.54。
Woan Wen-Jin,Motzkin序列递归关系的格路组合证明。斐波纳契夸脱。40(2002),第1期,第3-8页。
Woan Wen-jin,加权Motzkin序列的递归关系,整数序列杂志,第8卷(2005),第05.1.6条。
F.Yano和H.Yoshida,Some在非交叉分区和生成函数中设置分区统计,Disc。数学。,307 (2007), 3147-3160.
|
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链接
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M.Aigner,莫茨金数,欧洲。J.库姆。19 (1998), 663-675.
M.Aigner,通过选票编号枚举,离散数学。,308 (2008), 2544-2563.
J.L.Arregui,切线和伯努利数通过数字三角形与Motzkin和Catalan数字相关,arXiv:math/0109108[math.NT],2001年。
Marcelo Artioli、Giuseppe Dattoli、Silvia Licciardi和Simonetta Pagnutti,Motzkin数:一个可操作的观点,arXiv:1703.07262[math.CO],2017年。
安德烈·阿西诺夫斯基(Andrei Asinowski)、阿克塞尔·巴彻(Axel Bacher)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和伯恩哈德·吉滕贝格(Bernhard Gittenberger),具有禁止模式的格路的分析组合学:枚举方面《语言与自动机理论与应用国际会议》,S.Klein,C.Martín-Vide,D.Shapira(编辑),Springer,Cham,第195-206页,2018年。
安德烈·阿西诺夫斯基(Andrei Asinowski)、阿克塞尔·巴彻(Axel Bacher)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和伯恩哈德·吉滕贝格(Bernhard Gittenberger),具有禁止模式的格路径的分析组合、向量核方法和下推自动机的生成函数巴黎北部信息实验室(LIPN 2019)。
安德烈·阿辛诺夫斯基(Andrei Asinowski)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和瓦莱丽·罗特纳(Valerie Roitner),具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
A.Asinowski和G.Rote,具有许多非交叉匹配的点集,arXiv预印本arXiv:1502.04925[cs.CG],2015。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps,生成树的生成函数《离散数学》246(1-3),2002年3月,第29-55页。
C.Banderier、C.Kreattehaler、A.Krinik、D.Kruchinin、V.Kruchini、D.Nguyen和M.Wallner,格路径枚举的显式公式:basketball和核方法,arXiv预印本arXiv:1609.06473[math.CO],2016。
Elena Barcucci、Alberto Del Lungo、Elisa Pergola和Renzo Pinzani,一种平面树枚举方法《形式幂级数与代数组合数学第七届会议论文集》(Noisy-le-Grand,1995)。离散数学。180(1998),第1-3、45--64号。MR1603693(98m:05090)。
Jean-Luc Baril,避免不可约排列中的模式《离散数学与理论计算机科学》,第17卷,第3期(2016年)。
让-吕克·巴里尔和谢尔盖·柯吉佐夫,置换的纯下降统计量《离散数学》,340(10)(2017),2550-2558。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、JoséL.Ramírez和Diego Villamizar,Motzkin Polyminoes的组合学,arXiv:2401.06228[math.CO],2024。参见第1页和第7页。
Jean-Luc Baril、Toufik Mansour和A.Petrossian,置换模例外的等价类, 2014.
玛丽莲娜·巴纳贝、弗拉维奥·博内蒂和尼科洛·卡斯特罗诺沃,莫茨金和加泰罗尼亚隧道多项式,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.8.8条。
玛丽莲娜·巴纳贝(Marilena Barnabei)、弗拉维奥·博内蒂(Flavio Bonetti)和马特奥·西林巴尼(Matteo Silinbani),限制对合与Motzkin路《应用数学进展》47(2011),102-115。
A.M.Baxter和L.K.Pudwell,避免成对图案的递增序列,《组合数学电子杂志》,22(1)(2015),#P1.58。
克里斯蒂安·比恩,求置换集的结构雷克雅未克大学计算机科学学院博士论文,2018年。
米克洛斯·博纳(Miklós Bóna)、切恩·霍姆伯格(Cheyne Homberger)、杰·潘通(Jay Pantone)和文斯·瓦特(Vince Vatter),避免模式对合:精确和渐近枚举,arxiv:1310.7003[math.CO],2013年。
阿林·博斯坦,格路组合的计算机代数,Seminaire de Combinatoire Ph.Flajolet,2013年3月28日。
阿林·博斯坦和曼努埃尔·考尔斯,限制格点行走的自动分类,arXiv:0811.2899[math.CO],2009年。
Alin Bostan、Andrew Elvey Price、Anthony John Guttmann和Jean-Marie Maillard,用于模式避免排列的Stieltjes矩序列,arXiv:2001.00393[数学.CO],2020年。
Alexander Burstein和J.Pantone,非平衡Wilf等价的两个例子,arXiv:1402.3842[math.CO],2014年。
亚历山大·伯斯坦(Alexander Burstein)和路易斯·夏皮罗(Louis W.Shapiro),Riordan群中的伪进化,arXiv:2112.11595[math.CO],2021。
Giulio Cerbai、Anders Claesson、Luca Ferrari和Einar Steingrímsson,使用防图案堆栈进行排序:132机器,arXiv:2006.05692[math.CO],2020年。
Gi-Sang Cheon、S.-T.Jin和L.W.Shapiro,形式幂级数的组合等价关系《线性代数及其应用》,第491卷,2016年2月15日,第123-137页。
Yun Ding和Rosena R.X.Du,计算莫茨金路径中的驼峰,arXiv预印本arXiv:1109.2661[math.CO],2011。
I.Dolinka、J.East、A.Evangelou、D.FitzGerald和N.Ham,Motzkin和Jones单体的幂等统计,arXiv:1507.04838[math.CO],2015年。
罗伯特·多纳吉和路易斯·夏皮罗,莫茨金数《组合理论》,A辑,第23卷,第3期(1977年),第291-301页。
伊万娜·乌尔德耶夫、伊戈尔·多林卡和詹姆斯·伊斯特,图范畴中的三明治半群,arXiv:1910.10286[math.GR],2019年。
Jackson Evoniuk、Steven Klee和Van Magnan,枚举最小长度格路径,J.国际顺序。,21 (2018), #18.3.6.
P.Flajolet和R.Sedgewick,分析组合数学,2009年;参见第68页和第81页。
Juan B.Gil和Jordan O.Tirrell,经典和增强k-非交叉分区的简单双射,arXiv:1806.09065[math.CO],2018年。《离散数学》(2019),第111705条。doi:10.1016/j.disc.2019.111705
Nickolas Hein和Jia Huang,模块化加泰罗尼亚数字,arXiv:1508.01688[math.CO],2015-2016年。
曼纽尔·考尔斯(Manuel Kauers)和多伦·齐尔伯格(Doron Zeilberger),限制运行的标准杨表计数,arXiv:2006.10205[math.CO],2020年。
W.A.Lorenz、Y.Ponty和P.Clote,RNA形状的渐近性《计算生物学杂志》15(1)(2008),31-63。
K.Manes、A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras,长度为2和3的投票路径模字符串的等价类,arXiv:1510.01952[math.CO],2015年。
图菲克·曼苏尔,Dyck路径统计《整数序列杂志》,9(2006),#06.1.5。
V.Mazorchuk和B.Steinberg,双加泰罗尼亚幺半群,arXiv:1105.5313[math.GR],2011年。
Cam McLeman和Erin McNicholas,图形可逆性,arXiv:1108.3588[math.CO],2011年。
梅周生和王随杰,广义置换的模式避免,arXiv:1804.06265[math.CO],2018年。
T.莫茨金,超曲面交比,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,51(1945),976-984。
J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,非交换对称函数与拉格朗日反演,arXiv:math/0512570[math.CO],2005-2006。
罗伊·奥斯特(Roy Oste)和乔里斯·范德朱特(Joris Van der Jeugt),莫茨金路、莫茨金多项式和递推关系,《组合学电子期刊》,22(2)(2015),#P2.8。
维尔·佩特森,哈密顿循环的计数《组合数学电子杂志》,21(4)(2014),#P4.7。
L.Pudwell,树木中的模式避免(演讲中的幻灯片,提到了许多序列),2012年。
阿隆·雷格夫(Alon Regev)、阿米泰·雷格芙(Amitai Regev,S_n的字符表中的标识,arXiv:1507.03499[math.CO],2015年。
E.Rowland和R.Yassawi,有理函数对角线的自动同余,arXiv:1310.8635[math.NT],2013年。
J.Salas和A.D.Sokal,反铁磁Potts模型的转移矩阵和分区函数零点。V.方格色多项式的进一步结果,J.Stat.Phys。135 (2009) 279-373,arXiv预印本,arXiv:0711.1738[第二阶段统计数据],2007-2009年。提到这个序列。
A.Sapounakis和P.Tsikouras,关于k色Motzkin词《整数序列杂志》,7(2004),#04.2.5。
E.Schröder,维耶组合问题,Z.f.数学。物理。,15 (1870), 361-376. [带注释的扫描副本]
N.J.A.斯隆,OEIS的应用(Vugraph摘自关于OEIS的演讲)。
孙志伟,涉及算术序列的猜想,in:《数论:香格里拉的算术》(编辑:S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu),Proc。第六届中日研讨会(2011年8月15日至17日,上海),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页。
L.Takacs,有根树木和森林的计数,数学。《科学家》18(1993),1-10,特别是公式(6)。
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配方奶粉
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通用公式:A(x)=(1-x-(1-2*x-3*x^2)^(1/2))/(2*x^ 2)。
G.f.A(x)满足A(x。
G.f.:f(x)/x,其中f(x)是x/(1+x+x^2)的反转-乔格·阿恩特2012年10月23日
a(n)=(-1/2)Sum_{i+j=n+2,i>=0,j>=0}(-3)^i*C(1/2,i)*C(1/2,j)。
a(n)=(3/2)^(n+2)*和{k>=1}3^(-k)*加泰罗尼亚语(k-1)*二项式(k,n+2-k)。【Doslic等人】
a(n)~3^(n+1)*sqrt(3)*(1+1/(16*n))/(2*n+3)*squart((n+2)*Pi))。[巴库奇、平扎尼和斯普鲁格诺利]
极限{n->infinity}a(n)/a(n-1)=3。[艾格纳]
a(n+2)-a(n+1)=a(0)*a(n)+a(1)*aa(n)*a(0)。[伯恩哈特]
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{i}(n+1)/(i!*(i+1)*(n-2*i)!)。[伯恩哈特]
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{k=0..上限(n+1;
递归D-有限:(n+2)*a(n)=(2*n+1)*a。(结束)
例如:exp(x)*BesselI(1,2*x)/x-弗拉德塔·约沃维奇2003年8月20日
这个序列的Hankel变换给出了A000012号= [1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]. 例如,Det([1,1,2,4;1,2,4,9;2,4,9,21;4,9,151])=1-菲利普·德尔汉姆2004年2月23日
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{j=0..floor(n/3)}(-1)^j*二项式(n+1,j)*二项法(2*n-3*j,n)-Emeric Deutsch公司2004年3月13日
通用公式:A(x)=(1-y+y^2)/(1-y)^2,其中(1+x)*(y^2-y)+x=0;A(x)=4*(1+x)/(1+x+平方(1-2*x-3*x^2))^2;a(n)=(3/4)*(1/2)^n*Sum_(k=0..2*n,3^(n-k)*C(k)*C(k+1,n+1-k))+0^n/4[根据Doslic等人]-保罗·巴里,2005年2月22日
渐近公式:a(n)~sqrt(3/4/Pi)*3^(n+1)/n^(3/2)-贝诺伊特·克洛伊特2007年1月25日
a(n)=(1/(2*Pi))*Integral_{x=-1..3}x^n*sqrt((3-x)*(1+x))是力矩表示-保罗·巴里2007年9月10日
给定一个整数t>=1,初始值u=[a_0,a_1,…,a{t-1}],我们可以通过设置a_n=a_{n-1}+a_0*a_{n-1}+a_1*a{n-2}+…+来定义无限序列Phi(u)a_{n-2}*a_1表示n>=t。例如,Phi([1])是加泰罗尼亚数字A000108号当前序列为Phi([0,1,1]),见第6个公式-加里·亚当森2008年10月27日
G.f.:1/(1-x-x^2/(1-x-x^2/-(1-x-x2/(1-x-x^2/……(连分数))-保罗·巴里2008年12月6日
通用公式:1/(1-(x+x^2)/(1-x^2/(1--保罗·巴里2009年2月8日
a(n)=(-3)^(1/2)/(6*(n+2))*(-1)^n*(3*超几何([1/2,n+1],[1],4/3)-超几何([1],n+2],[1],4/3))-马克·范·霍伊2009年11月12日
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1-x^2/-保罗·巴里2010年3月2日
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1+x-x/(1+/(1+x-x/(1+x-x/-保罗·巴里2011年1月26日[前面显然添加了第三个'1'-R.J.马塔尔2011年1月29日]
设A(x)为g.f.,则B(x)=1+x*A(x)=1+1*x+1*x^2+2*x^3+4*x^4+9*x^5+…=1/(1-z/(1-z:(1-z[(…)))),其中z=x/(1+x)(连分数);一般来说,B(x)=C(x/(1+x)),其中C(x)是加泰罗尼亚数字的g.f(A000108号). -乔格·阿恩特2011年3月18日
a(n)=(2/Pi)*积分{x=-1..1}(1+2*x)^n*sqrt(1-x^2)-彼得·卢什尼2011年9月11日
总面积:(1-x-sqrt(1-2*x-3*(x^2)))/(2*(x*2))=1/2/(x^ 2)-1/2/x-1/2/(x^2)*G(0);G(k)=1+(4*k-1)*x*(2+3*x)/(4*k+2-x*(2+3*x)*(4*k+1)*(4*k+2)/(x*(2+3*x)*(4*k+1)+(4*k+4)/G(k+1)),如果-1<x<1/3;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月1日
G.f.:(1-x-sqrt(1-2*x-3*(x^2)))/(2*(x^2))=(-1+1/G(0))/(2*x);G(k)=1-2*x/(1+x/(1+x/(1-2*x/(1-x/(2-x/G(k+1))));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月11日
0=a(n)*(9*a(n+1)+15*a-迈克尔·索莫斯2012年3月23日
a(n)=(-1)^n*超几何([-n,3/2],[3],4)-彼得·卢什尼2012年8月15日
雅可比多项式P(n,alpha,beta,x)的特殊值表示,Maple表示法:a(n)=2*(-1)^n*n*雅可比(n,2,-3/2-n,-7)/(n+2)!,n> =0-卡罗尔·彭森2013年6月24日
G.f.:Q(0)/x-1/x,其中Q(k)=1+(4*k+1)*x/((1+x)*(k+1)-x*(1+x)*(2*k+2)*(4*k+3)/(x*(8*k+6)+(2*k+3)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月14日
加泰罗尼亚语(n+1)=和{k=0..n}二项式(n,k)*a(k)。例如:42=1*1+4*1+6*2+4+1*9-多伦·泽尔伯格2015年3月12日
偏移量为1的G.f.A(x)满足:A(x)^2=A(x^2/(1-2*x))-保罗·D·汉纳2015年11月8日
a(n)=GegenbauerPoly(n,-n-1,-1/2)/(n+1)-伊曼纽尔·穆纳里尼,2016年10月20日
a(n)=a(n-1)+A002026号(n-1)。以F步长开始的Motzkin路径数,加上以U步长开头的Motz路径数-R.J.马塔尔2017年7月25日
G.f.:A(x)=exp(int((E(x)-1)/x dx)),其中E(xA002426号等价地,E(x)=1+x*A'(x)/A(x)-亚历山大·伯斯坦2017年10月5日
总面积:2/(1-x+平方(1-2*x-3*x^2))。
和{n>=0}1/a(n)=2.941237337631031025604300320152921013604885956025483079699366681494505960039781389... -瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月17日
对于Z中的所有n,设a(-1)=(1-sqrt(-3))/2和a(n)=a(-3-n)*(-3)^(n+3/2)。然后,a(n-迈克尔·索莫斯2022年4月17日
设b(n)=1表示n<=1,否则b(n)=Sum_{k=2..n}b(k-1)*b(n-k),则a(n)=b(n+1)(猜想)-乔格·阿恩特2023年1月16日
A(x)=1/(1-3*x)*c(-x/(1-3**))^2。
a(n+1)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*A000245型(k+1)。
a(n)=3^n*和{k=0..n}(-3)^(-k)*二项式(n,k)*加泰罗尼亚语(k+1)。
a(n)=3^n*超深层([3/2,-n],[3],4/3)。(结束)
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例子
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总尺寸:1+x+2*x^2+4*x^3+9*x^4+21*x^5+51*x*6+127*x^7+323*x^8+。。。
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MAPLE公司
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#此序列有三种不同的Maple脚本:
[seq(加上(二项式(n+1,k)*二项式[n+1-k,k-1),k=0..ceil((n+1)/2))/(n+1),n=0..50)];
A001006号:=proc(n)选项记忆;局部k;如果n<=1,则1其他进程名(n-1)+添加(进程名(k)*进程名(n-k-2),k=0..n-2);fi;结束;
顺序:=20:求解(级数(x/(1+x+x^2),x)=y,x);
zl:=4*(1-z+sqrt(1-2*z-3*z^2))/(1-z+sqrt#泽因瓦利·拉霍斯2007年2月28日
#n->[a(0),a(1),..,a(n)]
A001006号_列表:=proc(n)局部w,m,j,i;w:=proc(i,j,n)选项记忆;
如果最小(i,j,n)<0或最大(i,j)>n,则0
elif n=0,则如果i=0且j=0,那么1为0,否则为0
w(i,j+1,n-1)+w(i-1,j,n-1
[seq(相加(w(i,j,m),i=0..m),j=0...m),m=0..n)]结束:
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数学
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a[0]=1;a[n_Integer]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,0,n-2}];数组[a,30]
(*第二个节目:*)
表[超几何2F1[(1-n)/2,-n/2,2,4],{n,0,29}](*彼得·卢什尼,2016年5月15日*)
表[GegenbauerC[n,n-1,-1/2]/(n+1),{n,0100}](*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日*)
MotzkinNumber=DifferenceRoot[函数[{y,n},{(-3n-3)*y[n]+(-2n-5)*y[1]+(n+4)*y[2]==0,y[0]==1,y[1]==1}]];
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=波尔科夫((1-x-sqrt((1-x)^2-4*x^2+x^3*O(x^n))/(2*x^2),n)}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n++;polceoff(serreverse(x/(1+x+x^2)+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!*polceoff(exp(x+x*O(x^n))*besseli(1,2*x+x*O(x*n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(最大值)a[0]:1$
a[1]:1$
a[n]:=((2*n+1)*a[n-1]+(3*n-3)*a[2])/(n+2)$
(最大值)
M(n):=系数(展开((1+x+x^2)^(n+1)),x^n)/(n+1;
(Maxima)标记列表(超球面(n,-n-1,-1/2)/(n+1),n,0,12)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日*/
(哈斯克尔)
a001006 n=a001006_列表!!n个
a001006_list=zipWith(+)a005043_list$tail a005043-list
(Python)
从gmpy2导入divexact
对于范围(2,10**3)中的n:
(Python)
定义mot():
a、 b,n=0,1,1
为True时:
产量b//n
n+=1
a、 b=b,(3*(n-1)*n*a+(2*n-1)*n*b)//((n+1)*(n-1))
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交叉参考
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囊性纤维变性。A026300元,A005717号,A020474号,A001850号,A004148号。的第一列A064191号,A064189号,A000108号,A088615号,A007971号,A001405号,A005817号,A049401号,A007579号,A007578号,A097862号,A005773号,A178515号,A217275型。第一行A064645号.
莫茨金数A001006号读取模块2,3,4,5,6,7,8,11:A039963号,A039964号,A299919型,A258712型,A299920型,A258711型,A299918型,A258710型.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,改变
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作者
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状态
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经核准的
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A004148号
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| 广义加泰罗尼亚数:a(n+1)=a(n)+Sum_{k=1..n-1}a(k)*a(n-1-k)。 (原名M1141)
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+10 189
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1, 1, 1, 2, 4, 8, 17, 37, 82, 185, 423, 978, 2283, 5373, 12735, 30372, 72832, 175502, 424748, 1032004, 2516347, 6155441, 15101701, 37150472, 91618049, 226460893, 560954047, 1392251012, 3461824644, 8622571758, 21511212261, 53745962199, 134474581374
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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产生于列举RNA分子的二级结构。图中显示了带有6个核苷酸的17个结构(根据Waterman,1978)。
汉克尔变换是周期8序列[1,0,-1,-1,-1,0,1,1,…](A046980型).
枚举长度为n的无峰Motzkin路径。例如:a(5)=8,因为我们有HHHH、HHUHD、HUHDH、HUHHD、UHDHH、UHHHD和UUHDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
对于n>=1,a(n)=对角线严格不相交且与底面无对角线入射的(n+2)-边的剖切数。((n+2)-gon的一侧指定为底面。)-大卫·卡伦2004年3月23日
对于n>=2,a(n-2)=无UU的Motzkin n路径的数量=无DU的Motzkin n路径的数量-大卫·卡伦2004年7月15日
a(n)=无UU-free Motzkin n路径的数量,不包含低峰值(低峰值是地面上的UD对,即移除该UD对将创建一对Motzkin路径)。对于n>=1,a(n)=无UU-Motzkin(n-1)-路径数=无DU Motz kin(n-1)-路数。a(n)是渐近的~cn^(-3/2)(1+phi)^n,其中c=1.1043…和phi=(1+sqrt(5))/2-大卫·卡伦2004年7月15日。在闭合形式中,c=sqrt(30+14*sqrt(5))/(4*sqrt(Pi))=1.104365547309692849-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日
a(n)=所有金字塔尺寸大于等于2的Dyck(n+1)路径数。金字塔是k个向上步紧跟k个向下步的最大子路径,其大小为k-大卫·卡伦2004年10月24日
a(n)=无小金字塔的半长n+1的Dyck路径数(n>=1)。金字塔是一个形式为kUs的极大序列,后面跟着kDs,k>=1。小金字塔是k=1的金字塔。例如,a(4)=4统计以下Dyck 5路径(由小写字母表示的金字塔,并用竖线分隔):uuuuu ddddd、Uuudd | uuddD、uudd |uuuddd、Uuudd|uudd-大卫·卡伦,2004年10月25日
a(n)=长度为n-1的Motzkin路径数,在>=1级没有峰值。例如:a(4)=4,因为我们有HHH、HUD、UDH和UHD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)。
a(n)=长度为n+1的Motzkin路径数,x轴上无水平台阶,且水平>=1处无峰值。例如:a(4)=4,因为我们有UHHD、UHDUD、UDUHD和UUHDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)。
a(n)=长度为2n且没有偶数长度上升和下降的Dyck路径数。上坡(下坡)是上(下)步的最大序列。例如:a(4)=4,因为我们有UDUDUD、UDUUUDDD、UUUDDUD和UUUDUDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)。
a(n)=长度为2n的Dyck路径数,其上升长度仅为1或2,且没有UUDD形式的峰值。上坡是一个最大的上步序列。例如:a(4)=4,因为我们有UDUDUD、UDUUDUD和UUDUDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)。
a(n)=[n+1]中没有单元素的非交叉分区数,在每个块中,最左边的两个点的形式为i,i+1。例如:a(4)=4,因为我们有12345、12/345、123/45和125/34;非交叉分区145/23不满足要求,因为1和4不连续。
a(n)=没有单例的[n+1]的非交叉分区数,可能除了块/1/和形式为/i、i+1/的块,可能除了区块/1,2/。例如:a(4)=4,因为我们有12345、1/2345、12/345和15/234。
(结束)
a(n)=没有UDU和DUD的Dyck(n+1)路径数。例如,a(4)=4统计UUUU DDDDD、UUUDDUUDDD、UUDDUUUDDD和UUUDDDUUDD-大卫·卡伦2007年5月8日
a(n)也是不含峰谷高度2(mod 3)的半长n的Dyck路径数马军(Majun(AT)math.sinica.edu.tw),2008年11月29日
a(n+1)的G.f.是1/(1-x-x^2-x^3/(1-x-x^2-x ^3/)(1-…(连分数))-保罗·巴里2009年5月20日
Motzkin数的Chebyshev变换A001006号:g.f.是(1-x-(1-2x-3x^2)^(1/2))/(2x^2-保罗·巴里2010年3月10日
对于n>=1,权重为n-1的晶格路径的数量,从(0,0)开始,在水平轴上结束,并且从不低于该轴,其步长有以下四种:权重为1的(1,0)-步长、权重为2的(1,0)-步长、权重为2的(1,1)-步长和权重为1的(1,-1)-步长。路径的权重是其步骤的权重之和。a(4)=4,因为用h(h)表示权重1(2)的(1,0)阶跃,并且u=(1,1),d=(1,-1),我们有以下四条权重3的路径:hH,hH,hhh和ud。(参见Bona-Knopfmacher参考第295页的g.f.C(x)。)
a(n)=[n]的非交叉分区的数量,其中所有块的大小为1或2,并且没有/i,i+1/形式的块。例如:a(4)=4,因为我们有1234、13/2/4、14/2/3和1/24/3。
似乎a(n)=[n]的排列数,避免了三个虚线图案123、132、24-13,并且不包含小跳跃(一个单位的跳跃)。例如,a(4)=4表示3214、3241、4213和4321,但不表示4312,因为12是一个小跳跃。(结束)
DU数量_{k} -等效性Łukasiewicz路径的类。Łukasiewicz路径是P-等价的,如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日
a(n)也是3412的数量,避免了[n]上的对合,没有形式(i,i+1)的换位。例如,a(4)=4计算对合1234、1432、3214、4231-胡安·吉尔2020年5月23日
对于n>=2,a(n)等于具有长度为n的气穴的Dyck路径数。具有气穴的Dayck路径是Z^2第一象限中的非空晶格路径,从原点开始,到x轴结束,由向上步U=(1,1)和向下步D_k=(1,-k),k>=1组成,其中两个向下步不能连续。例如,长度为2的唯一路径是UD_1;对于长度3,我们有UU_D2;对于长度4,有2条路径:UUUD_3、UD_1UD_1;对于长度5,我们有4条路径:UUUUD_4、UUD_2UD_1、UD_1UUD_2、UUD_1UD_2-谢尔盖·柯尔吉佐夫2022年12月15日
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参考文献
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卡梅隆、奈奥米和埃弗雷特·沙利文。《固定高度有标记水平台阶的无峰莫茨金路径》,《离散数学》344.1(2021):112154。
A.Nkwanta,格子路径和RNA二级结构,离散数学中的DIMACS系列。和理论计算机科学,341997,137-147。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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安德烈·阿西诺夫斯基(Andrei Asinowski)、阿克塞尔·巴彻(Axel Bacher)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和伯恩哈德·吉滕贝格(Bernhard Gittenberger),具有禁止模式的格路的分析组合学:枚举方面《语言与自动机理论与应用国际会议》,S.Klein,C.Martín-Vide,D.Shapira(编辑),Springer,Cham,第195-206页,2018年。
安德烈·阿西诺夫斯基(Andrei Asinowski)、阿克塞尔·巴彻(Axel Bacher)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和伯恩哈德·吉滕贝格(Bernhard Gittenberger),具有禁止模式的格路径的分析组合、向量核方法和下推自动机的生成函数巴黎北部信息实验室(LIPN 2019)。
安德烈·阿辛诺夫斯基(Andrei Asinowski)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和瓦莱丽·罗特纳(Valerie Roitner),具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、Rémi Maréchal和Vincent Vajnovszki,带有气穴的Grand Dyck小路,arXiv:2211.04914[math.CO],2022。
Paul Barry、Aoife Hennessy和Nikolaos Pantelidis,Riordan子群的代数性质,《代数梳》5311015-1036(2021)。
安东尼奥·贝尔尼尼(Antonio Bernini)、马特奥·塞维蒂(Matteo Cervetti)、卢卡·费拉里(Luca Ferrari)和埃纳尔·斯坦格里姆森(Einar Steingrisson),Dyck模式偏序集中区间的枚举组合,arXiv:1910.00299[math.CO],2019年。
亚历山大·伯斯坦(Alexander Burstein)和路易斯·夏皮罗(Louis W.Shapiro),Riordan群中的伪进化,arXiv:2112.11595[math.CO],2021。
C.焦化装置,枚举一类晶格路径,离散数学。,271 (2003), 13-28.
Emeric Deutsch和Sergi Elizalde,限制simsun置换安·库姆。16,第2期,253-269(2012)。
Robert G.Donnelly、Molly W.Dunkum、Sasha V.Malone和Alexandra Nance,对称斐波那契分配格和特殊线性李代数的表示,arXiv:2012.14991[math.CO],2020年。
T.Doslic、D.Svrtan和D.Veljan,二级结构的枚举方面,离散。数学。,285 (2004), 67-82.
埃里克·S·艾格和凯莉·鲁宾,雪豹排列及其奇偶线,arXiv:1508.05310[math.CO],2015年。
Juan B.Gil和Luiz E.Lopez,对称弧图的枚举,arXiv:2203.10589[math.CO],2022。
Ivo L.Hofacker、Christian M.Reidys和Peter F.Stadler,对称环状匹配与RNA折叠.离散。数学。,312:100-112, 2012. 见公式27。
Emma Y.Jin和Christian M.Reidys,带有伪结的RNA结构的渐近枚举《数学生物学公报》70(2008),951-970。见公式22。
刘树昌、马骏和杨安业,具有峰值和山谷回避集的堤坝路径,学生应用数学。121 (3) (2008) 263-289. 【摘自马军(Majun(AT)math.sinica.edu.tw),2008年11月29日】
索菲·莫里尔·盖诺和瓦伦丁·奥维辛科,关于q变形实数,arXiv:1908.04365[math.QA],2019年。
E.Munarini和N.Z.Salvi,无锯齿的二进制字符串《联合国图书馆》(Séminaire Lotharingien de Combinatoire),B49h(2004),第15页。
A.Panayotopoulos和P.Vlamos,弯道切割程度《人工智能应用与创新》,IFIP信息与通信技术进展,第382卷,2012年,第480-489页;内政部10.1007/978-3642-33412-2_49.-发件人N.J.A.斯隆2012年12月29日
M.S.Waterman,主页(包含他的论文副本)
M.S.Waterman,单链核酸的二级结构《基础与组合数学研究》,第1卷,第167-212页,1978年。
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配方奶粉
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a(n+1)=a(n)+a(1)*a(n-2)+aa(n-1)*a(0)。
总面积:(1-x+x^2-sqrt(1-2*x-x^2-2*x^3+x^4))/(2*x^2)-迈克尔·索莫斯2003年7月20日
G.f.:(1/z)*(1-C(-z/(1-3*z+z^2))),其中C(z)=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
G.f.:1+f(x,x)/x,其中f(x、t)是Narayana数的G.f.:xF^2-(1-x-tx)f+tx=0-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
G.f.A(x)满足函数方程:x^2*A(x,^2-(x^2-x+1)*A(x)+1=0-迈克尔·索莫斯2003年7月20日
g.f.A(x)的级数反转为-A(-x)(如果偏移量为1)-迈克尔·索莫斯2003年7月20日
a(n)=和{k=上限((n+1)/2)..n}(二项式(k,n-k)*二项式-Emeric Deutsch公司2003年11月12日,该公式计算了(i)按对角线数计算的不相交对角线剖分,(ii)按向上阶梯数计算的无峰Motzkin路径,(iii)按上升次数计算的无UUU和无DDD Dyck路径-大卫·卡伦2004年3月23日
G.f.:1/(1-x/(1-x^2/(1-x/(1-x ^2/-保罗·巴里2008年12月8日
通用公式:1/(1-x/(1-x(x-1)-x/(1-x(x-1)-x-(1-x-保罗·巴里2009年5月16日
设A(x)^m=Sum_{n>=0}A(n,m)*x^n,则
a(n,m)=求和{k=0..n}求和{j=0..k}C(n-k+j+m,n-k)*m/(n-k+j+m)*C(n-k,k-j)*C(k-j,j)。
(结束)
G.f.:(1/(1+x^2))*M(x/(1+x^2)),M(x)Motzkin数的G.fA001006号;
通用公式:1/(1-x+x^2-x^2/(1-x+x^2-x ^2/。
a(n)=和{k=0..层(n/2)}(-1)^k*C(n-k,k)*A001006号(n-2*k)。(结束)
通用公式:1+x*exp(和{n>=1}(x^n/n)*(和{k=0..n}C(n,k)^2*x^k))-保罗·D·汉纳2011年3月15日
设g.f.为A(x),则B(x)=(1+x*A(x))=1/(1-z/(1-z/(1-z/(…))),其中z=x/(1+x+x^2),B(x)=1+1*x+1*x^2+1*x^3+2*x^4+4*x^5+。。。是该序列的g.f.加1;更一般地说,B(x)=C(x/(1+x+x^2)),其中C(x)是加泰罗尼亚数字的g.f(A000108号). -乔格·阿恩特2011年3月18日
递归D-有限:(n+2)*a(n)-(2n+1)*a-R.J.马塔尔2011年12月1日。这种重复出现源于Wilf-Zeilberger(WZ)证明技术,该技术应用于求和{k=上限((n+1)/2)..n}(二项式(k,n-k)*二项式[k,n-k+1)/k)-T.阿姆德伯汉2012年7月23日
给定g.f.A(x),则B(x)=x*A(x-迈克尔·索莫斯2014年6月5日
G.f.:1-x/(x^2-1/(1-x/-迈克尔·索莫斯2014年6月5日
0=a(n)*(a(n+1)-5*a(n+2)-4*a如果n>=-1,则为(n+3)*(-a(n+3)+6*a(n+4)-5*a(n+5))+a(n+4)*-迈克尔·索莫斯2014年6月5日
a(n)=上层([-n/2,(1-n)/2,(1-n)/2、1-n/2],[2,-n,-n+1],16)-彼得·卢什尼2020年1月25日
a(n)=Sum_{k=0..n-1}二项式(n-k,k+1)*n>0时的二项式-里戈伯托·弗洛雷斯2023年4月17日
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例子
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G.f.=1+x+x^2+2*x^3+4*x^4+8*x^5+17*x^6+37*x^7+82*x^8+185*x^9+432*x^10+。。。
检测([1])=1,检测([1,1;1,1])=0,检测([1],1,1,2;1,2,4])=-1-迈克尔·索莫斯2022年5月12日
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MAPLE公司
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w:=进程(l)x-1-x ^2*(1-x ^l)/(1-x)结束:
S:=进程(l)(-w(l)-sqrt(w(l
#S(1)是该序列的g.f,
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数学
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a[0]=1;a[n_Integer]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,n-2}];数组[a,35,0]
系数列表[级数[(1-x+x^2-Sqrt[x^4-2x^3-x^2-2x+1])/(2x^2),{x,0,40}],x](*哈维·P·戴尔2011年5月9日*)
a[n_]:=系列系数[(1-x+x^2-Sqrt[1-2x-x^2-2x^3+x^4])/(2x^2),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2014年6月5日*)
a[n]:=超几何PFQ[{-n/2,(1-n)/2,(1-n)/2,1-n/2},{2,-n,-n+1},16];数组[a,33,0](*彼得·卢什尼2020年1月25日*)
表[If[n==0,1,Sum[(二项式[n-k,k+1]二项式[n-k,k]/(n-k)),{k,0,n-1}]],{n,0,10}](*里戈伯托·弗洛雷斯2023年4月17日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=polceoff((1-x+x^2-sqrt(1-2*x-x^2+x^3*(-2+x+O(x^n)))/2,n+2)}/*迈克尔·索莫斯2003年7月20日*/
(PARI)a(n,m=1)=总和(k=0,n,总和(j=0,k,二项式(n-k+j+m,n-k)*m/(n-k+j+m)*二项式\\保罗·D·汉纳,2009年6月26日
(PARI){a(n)=polcoeff(1+x*exp(和(m=1,n,和(k=0,m,二项式(m,k)^2*x^k)*x^m/m)+x*O(x^n)),n)}/*保罗·D·汉纳2011年3月15日*/
(PARI){a(n)=本地(A051292美元=1+(1-x^2)/平方((1-3*x+x^2;polcoeff(exp(总和(m=1,n,polcooff(A051292号,m)*x^m/m)+x*O(x^n)),n)}/*保罗·D·汉纳2011年3月15日*/
(最大值)a(n):=系数(泰勒((1-x+x^2-sqrt(1-2*x-x^2-2*x^3+x^4))/(2*x^2),x,0,n),x;名单(a(n),n,0,12)//伊曼纽尔·穆纳里尼2001年7月7日
(哈斯克尔)
a004148 n=a004148_列表!!n个
a004148_list=1:f[1],其中
f xs'@(x:xs)=y:f(y:xs')其中
y=x+总和(zipWith(*)xs$reverse$tail xs)
(PARI){a(n)=my(a=1+O(x));对于(k=1,n,a=1-x/(x^2-1/a));波尔科夫(a,n)}/*迈克尔·索莫斯2014年6月5日*/
(Magma)R<x>:=PowerSeriesRing(基本原理(),35);系数(R!((1-x+x^2-Sqrt(1-2*x-x^2-2*x^3+x^4))/(2*x^2))//G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
(鼠尾草)
P=PowerSeriesRing(ZZ,'x',prec)
x=发电机()。O(前c)
return((1-x+x^2-sqrt(1-2*x-x^2-2*x^3+x^4))/(2*x^2)).list()
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A004149号
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| 广义加泰罗尼亚数:a(n+1)=a(n)+Sum_{k=2..n-1}a(k)a(n-1-k)。 (原M1131)
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+10 15
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1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 33, 69, 146, 312, 673, 1463, 3202, 7050, 15605, 34705, 77511, 173779, 390966, 882376, 1997211, 4532593, 10311720, 23512376, 53724350, 122995968, 282096693, 648097855, 1491322824, 3436755328, 7931085771
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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长度为n-1(n>=1)且无峰无谷的Motzkin路径数,即无UD和DU,其中U=(1,1)和D=(1,-1)。示例:a(7)=16,因为有17条长度为6的无峰Motzkin路径(请参见A004148号)其中只有UHDUHD有山谷(此处H=(1,0))-Emeric Deutsch公司,2004年1月8日
a(n+2)=避免UU和DD的Motzkin n路径数=避免UUU和UFU的Motz kin n路数。示例:a(7)=16,因为在21个Motzkin 5路径中,只有FUUDD、UFUDD、UUDDF、UUDFD、UUFDD包含UU或DD(或两者)。同样,只有FUUDD、UFUDD、UUDDF、UUDFD、UUFDD包含UU或UFU-大卫·卡伦2004年7月15日
无UHD时长度n的无峰Motzkin路径数;其中U=(1,1),H=(1,0),D=(1,-1)。例如:a(4)=2,因为我们有HHHH和UHHD。
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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安德烈·阿辛诺夫斯基(Andrei Asinowski)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和瓦莱丽·罗特纳(Valerie Roitner),具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
M.Bernstein和N.J.A.Sloane,一些正则整数序列,线性算法。应用,226-228(1995),57-72;勘误表320(2000),210;arXiv:math/0205301[math.CO],2002年。
M.Bernstein和N.J.A.Sloane,一些正则整数序列,线性算法。应用,226-228(1995),57-72;勘误表320(2000),210。[链接到Lin.Alg.Applic.version以及省略的数字]
T.Doslic、D.Svrtan和D.Veljan,二级结构的枚举方面,离散。数学。,285 (2004), 67-82.
高善珍和陈克勋,处理谨慎的自我回避行走的顺序FCS’14,2014年国际计算机科学基础会议(序列8提到了一个g.f.,它给出了一个与该序列相似但没有第一个术语的序列)。
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配方奶粉
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G.f.:1/(1-x-x^4/(1-x-x^2-x^3-x^4/(1-x-x2-x^3-x ^4/)(1-……(连分数))-保罗·巴里2009年5月22日
a(n)~(1+平方(2))^(n+1/2)/(平方(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月10日
G.f.G(x)满足x^2*G^2-(1-x+x^2+x^3)*G+1=0和
(x^4-1)*(x^2+2*x-1)*x*g'(x)-(x^3-x+2)*-罗伯特·伊斯雷尔2015年5月7日
0=a(n)*(+a(n+1)+5*a(n+2)-4*a a(n+3)+7*a(n+4)+24*a对于所有n>=0的情况,-5*a(n+7))+a(n+6)*(+a(n+6)+a(n%7))-迈克尔·索莫斯2017年1月9日
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例子
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G.f.=1+x+x^2+x^3+2*x^4+4*x^5+8*x^6+16*x^7+33*x^8+69*x^9+。。。
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MAPLE公司
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#备选方案:
p: =gfun:-直肠({(n-1)*a(n)+(2*n+1)*a
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数学
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a[0]=1;a[n_Integer]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,2,n-2}];
系数列表[级数[2/(1-x+x^2+x^3+Sqrt[(1-x^4)(1-2x-x^2)]),{x,0,40}],x](*哈维·P·戴尔2017年8月9日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=波尔科夫((1-x+x^2+x^3-sqrt(1-x^4)*(1-2*x-x^2)+x^3*O(x^n))/(2*x^2,n)}/*迈克尔·索莫斯2005年10月28日*/
(哈斯克尔)
a004149 n=a004149_列表!!n个
a004149_list=1:1:1:f[1,1,1]其中
f xs=y:f(y:xs)其中
y=头部xs+总和(zipWith(*)(init$init$tail xs)(反向xs))
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A287641型
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| [n]的集合分区数A(n,k),使得只有当b=1或j-1,…中的至少一个时,j才是块b的成员。。。,j-k是块>=b-1的成员;方阵A(n,k),n>=0,k>=0。 |
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+10 14
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 2, 5, 14, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 42, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 51, 132, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 52, 191, 429, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 52, 202, 773, 1430, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 861, 3336, 4862, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 876, 3970, 15207, 16796, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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例子
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A(5,0)=1:12345。
A(5.1)=42=52-10=A000110号(5) -10统计[5]的所有集合分区,但不包括:124|3|5、135|2|4、13|25|4、13 |2|45、13|2|4|5、14|23|5、14 |2|35、14 |2 |3 |5、1 |24 |3|5,134 |2|5。
A(5.2)=51=52-1=A000110号(5) -1统计[5]的所有集合分区,134|2|5除外。
方阵A(n,k)开始:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...
1, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...
1, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, ...
1, 42, 51, 52, 52, 52, 52, 52, ...
1, 132, 191, 202, 203, 203, 203, 203, ...
1, 429, 773, 861, 876, 877, 877, 877, ...
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MAPLE公司
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b: =proc(n,l)选项记忆`如果`(n=0,1,加上(b(n-1,
[seq(最大值(l[i],j),i=2..nops(l),j]),j=1..l[1]+1))
结束时间:
A: =(n,k)->`如果`(k=0,1,b(n,[0$k])):
seq(seq(A(n,d-n),n=0..d),d=0..12);
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数学
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b[0,_]=1;b[n_,l_List]:=b[n,l]=总和[b[n-1,追加[表[Max[l[i]],j],{i,2,长度[l]}],j]],{j,1,l[[1]]+1}];
A[n_,k_]:=如果[k==0,1,b[n,表[0,k]]];
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交叉参考
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k=0-10列给出:A000012号,A000108号,A275605型,A287666型,A287667型,A287668型,A287669型,A287670型,A287671型,287672英镑,A287673型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 65, 133, 274, 568, 1184, 2481, 5223, 11042, 23434, 49908, 106633, 228505, 490999, 1057683, 2283701, 4941502, 10713941, 23272929, 50642017, 110377543, 240944076, 526717211, 1152996206, 2527166334, 5545804784, 12184053993
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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链接
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配方奶粉
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G.f.A(x)满足:(x)=(1+x^2*A(x,^2)/(1-x+x^2+x^3+x^4)-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月20日
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MAPLE公司
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选项记忆;
如果n=0,则
1;
其他的
进程名(n-1)+添加(进程名(k)*进程名(n-2-k),k=3..n-2);
结束条件:;
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数学
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a[0]=1;a[n]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,3,n-2}];表[a[n],{n,0,30}](*修改人G.C.格鲁贝尔2018年1月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n==0,1,a(n-1)+和(k=3,n-2,a(k)*a(n-k-2))};
对于(n=0,30,打印1(a(n),“,”)\\G.C.格鲁贝尔2018年1月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 129, 261, 530, 1080, 2208, 4528, 9313, 19207, 39714, 82314, 170996, 355976, 742545, 1551817, 3248823, 6812947, 14309557, 30099645, 63402315
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,7
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链接
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A.Goupil、M.-E.Pellerin和J.de Wouters d'oplinter,蛇形波利米诺群岛,arXiv预印本arXiv:1307.8432[math.CO],2013-2014。(给出一个g.f.)
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配方奶粉
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G.f.A(x)满足:(x)=(1+x^2*A(x,^2)/(1-x+x^2+x^3+x^4+x^5)-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月20日
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数学
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a[0]=1;a[n]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,4,n-2}];表[a[n],{n,0,30}](*修改人G.C.格鲁贝尔2018年1月1日*)
B[q_]=(q^2+q^3+q^4+q^5-平方[((q(q^5-1))/(q-1)-1)^2-4q^6]-q+1)/(2q^2);系数列表[B[q]+O[q]^31,q](*Jean-François Alcover公司2019年1月29日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n==0,1,a(n-1)+和(k=4,n-2,a(k)*a(n-k-2))};
对于(n=0,30,打印1(a(n),“,”)\\G.C.格鲁贝尔2018年1月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 257, 517, 1042, 2104, 4256, 8624, 17504, 35585, 72455, 147746, 301706, 616948, 1263240, 2589840, 5316033, 10924681, 22475831, 46290195
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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链接
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配方奶粉
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G.f.A(x)满足:(x)=(1+x^2*A(x,^2)/(1-x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月20日
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MAPLE公司
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选项记忆;
如果n<=6,则
1;
其他的
进程名(n-1)+添加(进程名(k)*进程名(n-2-k),k=5..n-2);
结束条件:;
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数学
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a[0]=1;a[n]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,5,n-2}];表[a[n],{n,0,30}](*修改人G.C.格鲁贝尔2018年1月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n==0,1,a(n-1)+和(k=5,n-2,a(k)*a(n-k-2))};
对于(n=0,30,打印1(a(n),“,”)\\G.C.格鲁贝尔2018年1月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 9, 4, 2, 1, 1, 21, 8, 4, 2, 1, 1, 51, 17, 8, 4, 2, 1, 1, 127, 37, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 323, 82, 33, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 835, 185, 69, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 2188, 423, 146, 65, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 5798, 978, 312, 133, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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链接
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例子
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三角形开始
1,
1,1,
2,1,1,
4,2,1,1,
9,4,2,1,1,
21,8,4,2,1,1,
51,17,8,4,2,11,
127,37,16,8,4,2,1,1,
323,82,33,16,8,4,2,1,1,
835185、69、32、16、8、4、2、1、1,
...
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交叉参考
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作者
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