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A001006号 莫茨金数:绘制连接圆上n个(标记)点的任意数量不相交和弦的方法。
(原名M1184 N0456)
+10
564
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, 1697385471211 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,3
评论
4321、(34122413)、(34123142)和3412的数量避免了S_n中的对合。
由正整数组成的长度为n-1的序列数,其中第一个和最后一个元素为1或2,任何两个连续元素之间的绝对差为0或1-乔恩·佩里2003年9月4日
发件人大卫·卡伦2004年7月15日:(开始)
还有Motzkin n路径的数量:在n X n网格中从(0,0)到(n,0)的路径,仅使用步骤U=(1,1),F=(1,0)和D=(1,-1)。
没有UUU的Dyck n路径的数量。(给定这样一个Dyck n路径,将每个UUD改为U,然后将每个剩余的UD改成F。这是对Motzkin n路径的双射。例如n=5:U U D U D D D->U F U D D。)
没有UDU的Dyck(n+1)路径数。(给定这样一个Dyck(n+1)-路径,标记每个后跟D的U和每个不后跟U的D。然后将匹配的D标记为F的每个未标记U更改为F。最后,删除所有标记的步骤。这是Motzkin n路的双射。n=6且标记步骤为小型的示例:U U d d U U d d d d d U d->U U d d d F U d d d U d->U U d F F F d
a(n)是以下递归定义集合中长度为2n+2的字符串的数目:L包含空字符串,对于L中的任何字符串a和b,我们也在L中找到(ab)。L的前几个元素是e,(),(),第(n+1)个加泰罗尼亚数字索尔·施莱默(saulsch(AT)math.rutgers.edu),2006年2月23日谢尔盖·柯尔吉佐夫2020年3月5日]
a(n)=所有山谷具有偶数x坐标的Dyck n路径数(路径从原点开始时)。例如,T(4,2)=3计数UDUDUUDD、UDUUDDUD、UUDDUDUD。给定这样一条路径,将其拆分为长度为2的n个子路径,并转换UU->U、DD->D、UD->F(将不存在DU,因为这将需要具有奇数x坐标的山谷)。这是Motzkin n路的双射-大卫·卡伦2006年6月7日
此外,高度<=3的标准Young表的数量-迈克·扎布罗基2007年3月24日
a(n)是大小为2n+2的RNA形状的数量。RNA形状基本上是没有A[[B]]C形式的“直接嵌套”基序的Dyck词,用于A、B和C Dyck单词。第一个RNA形状是[];[][]; [][][], [[][]]; [][][][], [][[][]], [[][][]], [[][]][]; ... - Yann Ponty(Ponty(AT)lri.fr),2007年5月30日
该序列是从顶行A到左行开始(1,1)和底行=B的自生成序列,相同的序列是从(0,1)到右行。取A和B的点积,将结果加到A的第n项上,得到A的第(n+1)项。例如:A(5)=21如下:取A的点积=(9,4,2,1,1)和(0,1,2,4)=(0,+4+2+4)=12;将其加到9=21上-加里·亚当森2008年10月27日
等于A005773号/A005773号移位(即(1,2,5,13,35,96,…)/(1,1,2,5,13,35,97,…))-加里·亚当森2008年12月21日
从偏移量1开始=M*[1,1,0,0,0,…]的迭代次数,其中M=主对角线为[0,1,1,…],上对角线和次对角线均为[1,1,1…]的三对角线矩阵-加里·亚当森2009年1月7日
a(n)是亏格为0的{1,2,…,n}的对合数。{1,2,…,n}的置换p的亏格g(p)由g(p)=(1/2)[n+1-z(p)-z(cp')]定义,其中p'是p的逆置换,c=234…n1=(1,2,..,n),z(q)是置换q的圈数。示例:a(4)=9;实际上,p=3412=(13)(24)是亏格>0的{1,2,3,4}的唯一对合。这很容易从{1,2,…,n}的置换p有亏格0这一事实得出结论,当且仅当p的循环分解给出{1,2、…,n{的非交叉分区,并且p的每个循环都在增加(参见Dulucq-Simion参考的引理2.1)。[另外,冗余地,对于p=3412=(13)(24),我们有cp'=2341*3412=4123=(1432),因此g(p)=(1/2)(4+1-2-1)=1。]-Emeric Deutsch公司2010年5月29日
设w(i,j,n。那么a(n)=Sum_{i=0..n,j=0..n}w(i,j,n)是长度为n的这种游动的次数-彼得·卢什尼2011年5月21日
a(n)/a(n-1)趋向于3.0,因为n->无穷大:(1+2*cos(2*Pi/n))与最长的奇数n正多边形对角线有关,例如,n=7:使用三对角生成器[参见2009年1月7日的评论],对于多边形n=7,我们提取一个(n-1)/2=3X3矩阵[0,1,0;1,1,1;0,1,1],e-val为2.24697。。。;最长的Heptagon对角线,边缘为1。当N趋于无穷大时,对角线长度趋于3.0,序列收敛-加里·亚当森,2011年6月8日
避免模式132和虚线模式23\点{1}的(n+1)长度排列数-珍妮·卢克·巴里尔2012年3月7日
字母{a,b,c}上n长度单词w的数量,因此对于w的每个前缀z,我们都有#(z,a)>=#(z、b)>==#(z和c),其中#(z)计算单词z中的字母x。a(4)=9个单词是:aaaa,aaab,aaba,abaa,abab,aabc,abac,abca-阿洛伊斯·海因茨2012年5月26日
长度为n的限制增长字符串(RGS)[r(1),r(2),…,r(n)]的数目,使得r(1=r(k-1);例如,n=4的9个RGS是1010、1012、1201、1210、1212、1230、1231、1232、1234-乔格·阿恩特2013年4月16日
长度为n的限制增长字符串(RGS)[r(1),r(2),…,r(n)]的数目,其中r(11; 例如,n=4的9 RGS是0000、0002、0003、0004、0022、0024、0033、0222、0224-乔格·阿恩特2013年4月17日
(42315276143)的数目-避免S_n中的对合-亚历山大·伯斯坦2014年3月5日
a(n)是具有n个具有关联置换避免132的节点的递增一元二叉树的数目。有关具有关联排列的一元二叉树的更多信息,请参阅A245888型. -曼达·里尔,2014年8月7日
a(n)是[n]上避免单个图案p的对合数,其中p是8个(经典)图案1234、1243、1432、2134、2143、3214、3412、4321中的任意一个。此外,编号(34122413)-,(34123142)-,,(341224103142)-避免了[n]上的对合,因为这三组中的每一组实际上都与3412-避免[n]的对合一致。这是一个完整的列表,其中包括8个单字母、2对字母和1个三个四字母的经典图案,这些图案的对合避免因子由Motzkin数计算。(参见Barnabei等人2011年的参考。)-大卫·卡伦2014年8月27日
发件人托尼·福斯特三世2016年7月28日:(开始)
使用2*A(n)+A(n+1)创建的序列具有F(2n)的Hankel变换,偏移量3,F是斐波那契等分,A001906号(实证观察)。
使用2*A(n)+3*A(n+1)+A(n+2)创建的序列给出了求和{k=0..n}k*Fibonacci(2*k),偏移量3,A197649号(实证观察)。(结束)
猜想:(2/n)*Sum_{k=1..n}(2k+1)*a(k)^2是每个正整数n的整数-孙志伟2017年11月16日
Rubey和Stump参考证明了RenéMarczinzik的一个猜想的改进,他们说:“2-Gorenstein代数的数量是具有n个简单模的Nakayama代数,并且有一条定向线作为相关的箭矢,等于长度n的Motzkin路径的数量。”-埃里克·施密特2017年12月16日
U的数量_{k} -等效性Łukasiewicz路径的类。Łukasiewicz路径是P-等价的,如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日
如果tau1和tau2是从集合{132231312}中选择的两个不同的排列模式,则a(n)是避开模式tau1和tau2的[n+1]的排列的有效钩配置的数目-科林·德芬特2019年4月28日
长度为n的排列数,按连续321避免堆栈和经典21避免堆栈排序为标识-科林·德芬特2020年8月29日
发件人赫尔穆特·普罗丁格2020年12月13日:(开始)
a(n)是第一象限中从(0,0)开始,由无限集{(1,1),(1,-1),(1,-2),(1,-3),…}的n步组成的路径数。
例如,如果j>=2,表示U=(1,1)、D=(1,-1)、D_j=(1、-j),则a(4)计算UUUU、UUUD、UUUT_2、UUUUD_3、UUDU、UUDD、UUD_2U、UDUU、UDU、UDUD。
这个步骤集的灵感来自于2000年左右Emeric Deutsch提出的{(1,1),(1,-1),(1,3),(1,-5),…}。
请参见包含Motzkin路径双射的Prodinger链接。(结束)
Donaghey(1977)以以色列-美国数学家西奥多·莫茨金(1908-1970)的名字命名。在斯隆的《整数序列手册》(1973)中,它们被称为“广义选票数”-阿米拉姆·埃尔达尔,2021年4月15日
Motzkin n路径的数量a(n)分为A107587号(n) 、偶数Motzkin n路径数,以及A343386型(n) ,奇数Motzkin n路径数。价值A107587号(n)-A343386型(n) 可以称为a(n)的“阴影”(参见A343773型). -Gennady Eremin公司2021年5月17日
猜想:如果p是6m+1形式的素数(A002476号)则a(p-2)可被p整除。目前,p<10^7不存在反例。来自的个人通信罗伯特·格比茨:mod这样的p这相当于A066796号评论:“每个A066796号(n) 来自A066796号(第(p-1)/2页)至A066796号(p-1)可被6m+1“形式的素数p整除-谢尔盖·巴塔洛夫2022年2月8日
发件人彼得·巴拉2022年2月10日:(开始)
推测:
(1) 对于素数p==1(mod 6)和n,r>=1,a(n*p^r-2)==-A005717号(n-1)(mod p),取A005717号(0)=0,以匹配上述巴塔洛夫猜想。
(2) 对于素数p==5(mod 6)和n>=1,a(n*p-2)==-A005773号(n) (修订版)。
(3) 对于素数p>=3和k>=1,对于0<=n<=(p^k-3),a(n+p^k)==a(n)(mod p)。
(4) 对于素数p>=5和k>=2,a(n+p^k)==a(n)(mod p^2)表示0<=n<=(p^(k-1)-3)。(结束)
省略(0)的这个序列的Hankel变换给出了周期-6序列[1,0,-1,-1,0,1,…],它是A010892号省略了第一项,而当前序列的Hankel变换是全一序列A000012号也是具有这种性质的唯一序列,类似于加泰罗尼亚数的唯一汉克尔变换性质-迈克尔·索莫斯2022年4月17日
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配方奶粉
通用公式:A(x)=(1-x-(1-2*x-3*x^2)^(1/2))/(2*x^ 2)。
G.f.A(x)满足A(x。
G.f.:f(x)/x,其中f(x)是x/(1+x+x^2)的反转-乔格·阿恩特2012年10月23日
a(n)=(-1/2)Sum_{i+j=n+2,i>=0,j>=0}(-3)^i*C(1/2,i)*C(1/2,j)。
a(n)=(3/2)^(n+2)*和{k>=1}3^(-k)*加泰罗尼亚语(k-1)*二项式(k,n+2-k)。【Doslic等人】
a(n)~3^(n+1)*sqrt(3)*(1+1/(16*n))/(2*n+3)*squart((n+2)*Pi))。[巴库奇、平扎尼和斯普鲁格诺利]
极限{n->infinity}a(n)/a(n-1)=3。[艾格纳]
a(n+2)-a(n+1)=a(0)*a(n)+a(1)*aa(n)*a(0)。[伯恩哈特]
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{i}(n+1)/(i!*(i+1)*(n-2*i)!)。[伯恩哈特]
发件人伦·斯迈利:(开始)
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*A000108号(k+1),反演二项式变换A000108号.
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{k=0..上限(n+1;
递归D-有限:(n+2)*a(n)=(2*n+1)*a。(结束)
a(n)=和{k=0..n}C(n,2k)*A000108号(k) ●●●●-保罗·巴里2003年7月18日
例如:exp(x)*BesselI(1,2*x)/x-弗拉德塔·约沃维奇2003年8月20日
a(n)=A005043号(n)+A005043号(n+1)。
这个序列的Hankel变换给出了A000012号= [1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]. 例如,Det([1,1,2,4;1,2,4,9;2,4,9,21;4,9,151])=1-菲利普·德尔汉姆2004年2月23日
a(m+n)=Sum_{k>=0}A064189号(m,k)*A064189号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2004年3月5日
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{j=0..floor(n/3)}(-1)^j*二项式(n+1,j)*二项法(2*n-3*j,n)-Emeric Deutsch公司2004年3月13日
a(n)=A086615号(n)-A086615号(n-1)(n>=1)-Emeric Deutsch公司2004年7月12日
通用公式:A(x)=(1-y+y^2)/(1-y)^2,其中(1+x)*(y^2-y)+x=0;A(x)=4*(1+x)/(1+x+平方(1-2*x-3*x^2))^2;a(n)=(3/4)*(1/2)^n*Sum_(k=0..2*n,3^(n-k)*C(k)*C(k+1,n+1-k))+0^n/4[根据Doslic等人]-保罗·巴里,2005年2月22日
G.f.:c(x^2/(1-x)^2)/(1-xA000108号. -保罗·巴里2006年5月31日
渐近公式:a(n)~sqrt(3/4/Pi)*3^(n+1)/n^(3/2)-贝诺伊特·克洛伊特2007年1月25日
a(n)=A007971号(n+2)/2-泽因瓦利·拉霍斯2007年2月28日
a(n)=(1/(2*Pi))*Integral_{x=-1..3}x^n*sqrt((3-x)*(1+x))是力矩表示-保罗·巴里2007年9月10日
给定一个整数t>=1,初始值u=[a_0,a_1,…,a{t-1}],我们可以通过设置a_n=a_{n-1}+a_0*a_{n-1}+a_1*a{n-2}+…+来定义无限序列Phi(u)a_{n-2}*a_1表示n>=t。例如,Phi([1])是加泰罗尼亚数字A000108号当前序列为Phi([0,1,1]),见第6个公式-加里·亚当森2008年10月27日
G.f.:1/(1-x-x^2/(1-x-x^2/-(1-x-x2/(1-x-x^2/……(连分数))-保罗·巴里2008年12月6日
通用公式:1/(1-(x+x^2)/(1-x^2/(1--保罗·巴里2009年2月8日
a(n)=(-3)^(1/2)/(6*(n+2))*(-1)^n*(3*超几何([1/2,n+1],[1],4/3)-超几何([1],n+2],[1],4/3))-马克·范·霍伊2009年11月12日
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1-x^2/-保罗·巴里2010年3月2日
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1+x-x/(1+/(1+x-x/(1+x-x/-保罗·巴里2011年1月26日[前面显然添加了第三个'1'-R.J.马塔尔2011年1月29日]
设A(x)为g.f.,则B(x)=1+x*A(x)=1+1*x+1*x^2+2*x^3+4*x^4+9*x^5+…=1/(1-z/(1-z:(1-z[(…)))),其中z=x/(1+x)(连分数);一般来说,B(x)=C(x/(1+x)),其中C(x)是加泰罗尼亚数字的g.f(A000108号). -乔格·阿恩特2011年3月18日
a(n)=(2/Pi)*积分{x=-1..1}(1+2*x)^n*sqrt(1-x^2)-彼得·卢什尼2011年9月11日
总面积:(1-x-sqrt(1-2*x-3*(x^2)))/(2*(x*2))=1/2/(x^ 2)-1/2/x-1/2/(x^2)*G(0);G(k)=1+(4*k-1)*x*(2+3*x)/(4*k+2-x*(2+3*x)*(4*k+1)*(4*k+2)/(x*(2+3*x)*(4*k+1)+(4*k+4)/G(k+1)),如果-1<x<1/3;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月1日
G.f.:(1-x-sqrt(1-2*x-3*(x^2)))/(2*(x^2))=(-1+1/G(0))/(2*x);G(k)=1-2*x/(1+x/(1+x/(1-2*x/(1-x/(2-x/G(k+1))));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月11日
0=a(n)*(9*a(n+1)+15*a-迈克尔·索莫斯2012年3月23日
a(n)=(-1)^n*超几何([-n,3/2],[3],4)-彼得·卢什尼2012年8月15日
雅可比多项式P(n,alpha,beta,x)的特殊值表示,Maple表示法:a(n)=2*(-1)^n*n*雅可比(n,2,-3/2-n,-7)/(n+2)!,n> =0-卡罗尔·彭森2013年6月24日
G.f.:Q(0)/x-1/x,其中Q(k)=1+(4*k+1)*x/((1+x)*(k+1)-x*(1+x)*(2*k+2)*(4*k+3)/(x*(8*k+6)+(2*k+3)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月14日
加泰罗尼亚语(n+1)=和{k=0..n}二项式(n,k)*a(k)。例如:42=1*1+4*1+6*2+4+1*9-多伦·泽尔伯格2015年3月12日
偏移量为1的G.f.A(x)满足:A(x)^2=A(x^2/(1-2*x))-保罗·D·汉纳2015年11月8日
a(n)=GegenbauerPoly(n,-n-1,-1/2)/(n+1)-伊曼纽尔·穆纳里尼,2016年10月20日
a(n)=a(n-1)+A002026号(n-1)。以F步长开始的Motzkin路径数,加上以U步长开头的Motz路径数-R.J.马塔尔2017年7月25日
G(x)满足A(x)*A(-x)=f(x^2),其中f(x)是A168592号. -亚历山大·伯斯坦2017年10月4日
G.f.:A(x)=exp(int((E(x)-1)/x dx)),其中E(xA002426号等价地,E(x)=1+x*A'(x)/A(x)-亚历山大·伯斯坦2017年10月5日
G.f.A(x)满足:A(x-伊利亚·古特科夫斯基2019年4月11日
发件人根纳季·埃雷明,2021年5月8日:(开始)
总面积:2/(1-x+平方(1-2*x-3*x^2))。
a(n)=A107587号(n)+A343386型(n) =2*A107587号(n)-A343773型(n) =2*A343386型(n)+A343773型(n) ●●●●。(结束)
还原的转换A049347号(迈克尔·索莫斯之后)-Gennady Eremin公司2021年6月11日
和{n>=0}1/a(n)=2.941237337631031025604300320152921013604885956025483079699366681494505960039781389... -瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月17日
对于Z中的所有n,设a(-1)=(1-sqrt(-3))/2和a(n)=a(-3-n)*(-3)^(n+3/2)。然后,a(n-迈克尔·索莫斯2022年4月17日
设b(n)=1表示n<=1,否则b(n)=Sum_{k=2..n}b(k-1)*b(n-k),则a(n)=b(n+1)(猜想)-乔格·阿恩特2023年1月16日
发件人彼得·巴拉,2024年2月3日:(开始)
G.f.:A(x)=1/(1+x)*c(x/(1+xA000108号.
A(x)=1/(1-3*x)*c(-x/(1-3**))^2。
a(n+1)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*A000245型(k+1)。
a(n)=3^n*和{k=0..n}(-3)^(-k)*二项式(n,k)*加泰罗尼亚语(k+1)。
a(n)=3^n*超深层([3/2,-n],[3],4/3)。(结束)
G.f.A(x)满足A(x-保罗·D·汉纳2024年3月4日
例子
总尺寸:1+x+2*x^2+4*x^3+9*x^4+21*x^5+51*x*6+127*x^7+323*x^8+。。。
MAPLE公司
#此序列有三种不同的Maple脚本:
[seq(加上(二项式(n+1,k)*二项式[n+1-k,k-1),k=0..ceil((n+1)/2))/(n+1),n=0..50)];
A001006号:=proc(n)选项记忆;局部k;如果n<=1,则1其他进程名(n-1)+添加(进程名(k)*进程名(n-k-2),k=0..n-2);fi;结束;
顺序:=20:求解(级数(x/(1+x+x^2),x)=y,x);
zl:=4*(1-z+sqrt(1-2*z-3*z^2))/(1-z+sqrt#泽因瓦利·拉霍斯2007年2月28日
#n->[a(0),a(1),..,a(n)]
A001006号_列表:=proc(n)局部w,m,j,i;w:=proc(i,j,n)选项记忆;
如果最小(i,j,n)<0或最大(i,j)>n,则0
elif n=0,则如果i=0且j=0,那么1为0,否则为0
w(i,j+1,n-1)+w(i-1,j,n-1
[seq(相加(w(i,j,m),i=0..m),j=0...m),m=0..n)]结束:
A001006号_列表(29)#彼得·卢什尼2011年5月21日
数学
a[0]=1;a[n_Integer]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,0,n-2}];数组[a,30]
(*第二个节目:*)
系数列表[级数[(1-x-(1-2x-3x^2)^(1/2))/(2x^2”,{x,0,29}],x](*Jean-François Alcover公司2011年11月29日*)
表[超几何2F1[(1-n)/2,-n/2,2,4],{n,0,29}](*彼得·卢什尼,2016年5月15日*)
表[GegenbauerC[n,n-1,-1/2]/(n+1),{n,0100}](*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日*)
MotzkinNumber=DifferenceRoot[函数[{y,n},{(-3n-3)*y[n]+(-2n-5)*y[1]+(n+4)*y[2]==0,y[0]==1,y[1]==1}]];
表[MotzkinNumber[n],{n,0,29}](*Jean-François Alcover公司2021年10月27日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=波尔科夫((1-x-sqrt((1-x)^2-4*x^2+x^3*O(x^n))/(2*x^2),n)}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n++;polceoff(serreverse(x/(1+x+x^2)+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!*polceoff(exp(x+x*O(x^n))*besseli(1,2*x+x*O(x*n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(最大值)a[0]:1$
a[1]:1$
a[n]:=((2*n+1)*a[n-1]+(3*n-3)*a[2])/(n+2)$
makelist(a[n],n,0,12)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月2日*/
(最大值)
M(n):=系数(展开((1+x+x^2)^(n+1)),x^n)/(n+1;
名单(M(n),n,0,60)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年4月4日*/
(Maxima)标记列表(超球面(n,-n-1,-1/2)/(n+1),n,0,12)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日*/
(哈斯克尔)
a001006 n=a001006_列表!!n个
a001006_list=zipWith(+)a005043_list$tail a005043-list
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月31日
(Python)
从gmpy2导入divexact
A001006号= [1, 1]
对于范围(2,10**3)中的n:
A001006号.append(divexact(A001006号[-1]*(2*n+1)+(3*n-3)*A001006号[-2],n+2))
#柴华湖2014年9月1日
(Python)
定义mot():
a、 b,n=0,1,1
为True时:
产量b//n
n+=1
a、 b=b,(3*(n-1)*n*a+(2*n-1)*n*b)//((n+1)*(n-1))
A001006号=电机()
打印([下一页(A001006号)对于范围(30)内的n)#彼得·卢什尼2016年5月16日
交叉参考
平分法:A026945号,A099250型.
与圆圈中和弦相关的序列:A001006号,A054726号,A006533号,A006561号,A006600型,A007569号,A007678号。另请参阅索引文件中的弦图条目。
a(n)=A005043号(n)+A005043号(n+1)。
A086246号是另一个版本,尽管这是主条目。第k列=第3列,共列182172年.
囊性纤维变性。A004148号,A004149号,A023421号,A023422号,A023423号,A290277型(发票:Euler Transf.)。
关键词
非n,核心,容易的,美好的,改变
作者
状态
经核准的
A004148号 广义加泰罗尼亚数:a(n+1)=a(n)+Sum_{k=1..n-1}a(k)*a(n-1-k)。
(原名M1141)
+10
189
1, 1, 1, 2, 4, 8, 17, 37, 82, 185, 423, 978, 2283, 5373, 12735, 30372, 72832, 175502, 424748, 1032004, 2516347, 6155441, 15101701, 37150472, 91618049, 226460893, 560954047, 1392251012, 3461824644, 8622571758, 21511212261, 53745962199, 134474581374 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
产生于列举RNA分子的二级结构。图中显示了带有6个核苷酸的17个结构(根据Waterman,1978)。
汉克尔变换是周期8序列[1,0,-1,-1,-1,0,1,1,…](A046980型).
枚举长度为n的无峰Motzkin路径。例如:a(5)=8,因为我们有HHHH、HHUHD、HUHDH、HUHHD、UHDHH、UHHHD和UUHDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
没有UUU和DDD的半长n-1的Dyck路径数,其中U=(1,1)和D=(1,-1)(n>0)-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
对于n>=1,a(n)=对角线严格不相交且与底面无对角线入射的(n+2)-边的剖切数。((n+2)-gon的一侧指定为底面。)-大卫·卡伦2004年3月23日
对于n>=2,a(n-2)=无UU的Motzkin n路径的数量=无DU的Motzkin n路径的数量-大卫·卡伦2004年7月15日
a(n)=无UU-free Motzkin n路径的数量,不包含低峰值(低峰值是地面上的UD对,即移除该UD对将创建一对Motzkin路径)。对于n>=1,a(n)=无UU-Motzkin(n-1)-路径数=无DU Motz kin(n-1)-路数。a(n)是渐近的~cn^(-3/2)(1+phi)^n,其中c=1.1043…和phi=(1+sqrt(5))/2-大卫·卡伦2004年7月15日。在闭合形式中,c=sqrt(30+14*sqrt(5))/(4*sqrt(Pi))=1.104365547309692849-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日
a(n)=所有金字塔尺寸大于等于2的Dyck(n+1)路径数。金字塔是k个向上步紧跟k个向下步的最大子路径,其大小为k-大卫·卡伦2004年10月24日
a(n)=无小金字塔的半长n+1的Dyck路径数(n>=1)。金字塔是一个形式为kUs的极大序列,后面跟着kDs,k>=1。小金字塔是k=1的金字塔。例如,a(4)=4统计以下Dyck 5路径(由小写字母表示的金字塔,并用竖线分隔):uuuuu ddddd、Uuudd | uuddD、uudd |uuuddd、Uuudd|uudd-大卫·卡伦,2004年10月25日
发件人Emeric Deutsch公司2006年1月8日:(开始)
a(n)=长度为n-1的Motzkin路径数,在>=1级没有峰值。例如:a(4)=4,因为我们有HHH、HUD、UDH和UHD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)。
a(n)=长度为n+1的Motzkin路径数,x轴上无水平台阶,且水平>=1处无峰值。例如:a(4)=4,因为我们有UHHD、UHDUD、UDUHD和UUHDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)。
a(n)=长度为2n且没有偶数长度上升和下降的Dyck路径数。上坡(下坡)是上(下)步的最大序列。例如:a(4)=4,因为我们有UDUDUD、UDUUUDDD、UUUDDUD和UUUDUDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)。
a(n)=长度为2n的Dyck路径数,其上升长度仅为1或2,且没有UUDD形式的峰值。上坡是一个最大的上步序列。例如:a(4)=4,因为我们有UDUDUD、UDUUDUD和UUDUDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(1,0)。
a(n)=[n+1]中没有单元素的非交叉分区数,在每个块中,最左边的两个点的形式为i,i+1。例如:a(4)=4,因为我们有12345、12/345、123/45和125/34;非交叉分区145/23不满足要求,因为1和4不连续。
a(n)=没有单例的[n+1]的非交叉分区数,可能除了块/1/和形式为/i、i+1/的块,可能除了区块/1,2/。例如:a(4)=4,因为我们有12345、1/2345、12/345和15/234。
(结束)
a(n+1)=[1,1,2,4,8,17,37,…]给出了Narayana三角形的反对角线和,A001263号. -菲利普·德尔汉姆2006年10月21日
a(n)=没有UDU和DUD的Dyck(n+1)路径数。例如,a(4)=4统计UUUU DDDDD、UUUDDUUDDD、UUDDUUUDDD和UUUDDDUUDD-大卫·卡伦2007年5月8日
a(n)也是不含峰谷高度2(mod 3)的半长n的Dyck路径数马军(Majun(AT)math.sinica.edu.tw),2008年11月29日
a(n+1)的G.f.是1/(1-x-x^2-x^3/(1-x-x^2-x ^3/)(1-…(连分数))-保罗·巴里2009年5月20日
Motzkin数的Chebyshev变换A001006号:g.f.是(1-x-(1-2x-3x^2)^(1/2))/(2x^2-保罗·巴里2010年3月10日
对于n>=1,权重为n-1的晶格路径的数量,从(0,0)开始,在水平轴上结束,并且从不低于该轴,其步长有以下四种:权重为1的(1,0)-步长、权重为2的(1,0)-步长、权重为2的(1,1)-步长和权重为1的(1,-1)-步长。路径的权重是其步骤的权重之和。a(4)=4,因为用h(h)表示权重1(2)的(1,0)阶跃,并且u=(1,1),d=(1,-1),我们有以下四条权重3的路径:hH,hH,hhh和ud。(参见Bona-Knopfmacher参考第295页的g.f.C(x)。)
发件人大卫·卡伦2014年8月27日:(开始)
a(n)=[n]的非交叉分区的数量,其中所有块的大小为1或2,并且没有/i,i+1/形式的块。例如:a(4)=4,因为我们有1234、13/2/4、14/2/3和1/24/3。
似乎a(n)=[n]的排列数,避免了三个虚线图案123、132、24-13,并且不包含小跳跃(一个单位的跳跃)。例如,a(4)=4表示3214、3241、4213和4321,但不表示4312,因为12是一个小跳跃。(结束)
DU数量_{k} -等效性Łukasiewicz路径的类。Łukasiewicz路径是P-等价的,如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日
a(n)也是3412的数量,避免了[n]上的对合,没有形式(i,i+1)的换位。例如,a(4)=4计算对合1234、1432、3214、4231-胡安·吉尔2020年5月23日
对于n>=2,a(n)等于具有长度为n的气穴的Dyck路径数。具有气穴的Dayck路径是Z^2第一象限中的非空晶格路径,从原点开始,到x轴结束,由向上步U=(1,1)和向下步D_k=(1,-k),k>=1组成,其中两个向下步不能连续。例如,长度为2的唯一路径是UD_1;对于长度3,我们有UU_D2;对于长度4,有2条路径:UUUD_3、UD_1UD_1;对于长度5,我们有4条路径:UUUUD_4、UUD_2UD_1、UD_1UUD_2、UUD_1UD_2-谢尔盖·柯尔吉佐夫2022年12月15日
参考文献
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链接
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安德烈·阿西诺夫斯基(Andrei Asinowski)、阿克塞尔·巴彻(Axel Bacher)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和伯恩哈德·吉滕贝格(Bernhard Gittenberger),具有禁止模式的格路径的分析组合、向量核方法和下推自动机的生成函数巴黎北部信息实验室(LIPN 2019)。
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N.J.A.斯隆,a(6)=17的图解(摘自Waterman,1978)。
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广Catalan数和Motzkin数的一些新序列,离散数学。,26 (1978), 261-272.
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广Catalan数和Motzkin数的一些新序列[更正带注释的扫描件]
M.Vauchassade de Chaumont和G.Viennot,正口Polynómes orthononaux et problèmes d’enumération en biologie moléculaire,塞姆·洛思。梳子。B08l(1984)79-86。
M.S.Waterman,主页(包含他的论文副本)
M.S.Waterman,单链核酸的二级结构《基础与组合数学研究》,第1卷,第167-212页,1978年。
配方奶粉
a(n+1)=a(n)+a(1)*a(n-2)+aa(n-1)*a(0)。
总面积:(1-x+x^2-sqrt(1-2*x-x^2-2*x^3+x^4))/(2*x^2)-迈克尔·索莫斯2003年7月20日
G.f.:(1/z)*(1-C(-z/(1-3*z+z^2))),其中C(z)=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
G.f.:1+f(x,x)/x,其中f(x、t)是Narayana数的G.f.:xF^2-(1-x-tx)f+tx=0-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
G.f.A(x)满足函数方程:x^2*A(x,^2-(x^2-x+1)*A(x)+1=0-迈克尔·索莫斯2003年7月20日
g.f.A(x)的级数反转为-A(-x)(如果偏移量为1)-迈克尔·索莫斯2003年7月20日
a(n)=A088518号(2个)+A088518号(2n+1)-A088518号(2n+2)-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
a(n)=和{k=上限((n+1)/2)..n}(二项式(k,n-k)*二项式-Emeric Deutsch公司2003年11月12日,该公式计算了(i)按对角线数计算的不相交对角线剖分,(ii)按向上阶梯数计算的无峰Motzkin路径,(iii)按上升次数计算的无UUU和无DDD Dyck路径-大卫·卡伦2004年3月23日
a(n)=总和{k=0..层(n/2)}A131198号(n-k,k)-菲利普·德尔汉姆2007年11月6日
G.f.:1/(1-x/(1-x^2/(1-x/(1-x ^2/-保罗·巴里2008年12月8日
通用公式:1/(1-x/(1-x(x-1)-x/(1-x(x-1)-x-(1-x-保罗·巴里2009年5月16日
发件人保罗·D·汉纳,2009年6月26日:(开始)
设A(x)^m=Sum_{n>=0}A(n,m)*x^n,则
a(n,m)=求和{k=0..n}求和{j=0..k}C(n-k+j+m,n-k)*m/(n-k+j+m)*C(n-k,k-j)*C(k-j,j)。
(结束)
发件人保罗·巴里,2010年3月10日:(开始)
G.f.:(1/(1+x^2))*M(x/(1+x^2)),M(x)Motzkin数的G.fA001006号;
通用公式:1/(1-x+x^2-x^2/(1-x+x^2-x ^2/。
a(n)=和{k=0..层(n/2)}(-1)^k*C(n-k,k)*A001006号(n-2*k)。(结束)
通用公式:1+x*exp(和{n>=1}(x^n/n)*(和{k=0..n}C(n,k)^2*x^k))-保罗·D·汉纳2011年3月15日
G.f.:exp(总和{n>=1}A051292号(n) *x^n/n),其中A051292号(n) 是n级的惠特尼数-保罗·D·汉纳2011年3月15日
设g.f.为A(x),则B(x)=(1+x*A(x))=1/(1-z/(1-z/(1-z/(…))),其中z=x/(1+x+x^2),B(x)=1+1*x+1*x^2+1*x^3+2*x^4+4*x^5+。。。是该序列的g.f.加1;更一般地说,B(x)=C(x/(1+x+x^2)),其中C(x)是加泰罗尼亚数字的g.f(A000108号). -乔格·阿恩特2011年3月18日
递归D-有限:(n+2)*a(n)-(2n+1)*a-R.J.马塔尔2011年12月1日。这种重复出现源于Wilf-Zeilberger(WZ)证明技术,该技术应用于求和{k=上限((n+1)/2)..n}(二项式(k,n-k)*二项式[k,n-k+1)/k)-T.阿姆德伯汉2012年7月23日
给定g.f.A(x),则B(x)=x*A(x-迈克尔·索莫斯2014年6月5日
G.f.:1-x/(x^2-1/(1-x/-迈克尔·索莫斯2014年6月5日
0=a(n)*(a(n+1)-5*a(n+2)-4*a如果n>=-1,则为(n+3)*(-a(n+3)+6*a(n+4)-5*a(n+5))+a(n+4)*-迈克尔·索莫斯2014年6月5日
a(n)=上层([-n/2,(1-n)/2,(1-n)/2、1-n/2],[2,-n,-n+1],16)-彼得·卢什尼2020年1月25日
a(n)=Sum_{k=0..n-1}二项式(n-k,k+1)*n>0时的二项式-里戈伯托·弗洛雷斯2023年4月17日
a(n)~5^(1/4)*phi^(2*n+2)/(2*sqrt(Pi)*n^(3/2)),其中phi=A001622号是黄金比例-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年5月5日
例子
G.f.=1+x+x^2+2*x^3+4*x^4+8*x^5+17*x^6+37*x^7+82*x^8+185*x^9+432*x^10+。。。
检测([1])=1,检测([1,1;1,1])=0,检测([1],1,1,2;1,2,4])=-1-迈克尔·索莫斯2022年5月12日
MAPLE公司
w:=进程(l)x-1-x ^2*(1-x ^l)/(1-x)结束:
S:=进程(l)(-w(l)-sqrt(w(l
#S(0)是Motzkin数的g.fA001006号,
#S(1)是该序列的g.f,
#S(2)是指A004149号等。
数学
a[0]=1;a[n_Integer]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,n-2}];数组[a,35,0]
系数列表[级数[(1-x+x^2-Sqrt[x^4-2x^3-x^2-2x+1])/(2x^2),{x,0,40}],x](*哈维·P·戴尔2011年5月9日*)
a[n_]:=系列系数[(1-x+x^2-Sqrt[1-2x-x^2-2x^3+x^4])/(2x^2),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2014年6月5日*)
a[n]:=超几何PFQ[{-n/2,(1-n)/2,(1-n)/2,1-n/2},{2,-n,-n+1},16];数组[a,33,0](*彼得·卢什尼2020年1月25日*)
表[If[n==0,1,Sum[(二项式[n-k,k+1]二项式[n-k,k]/(n-k)),{k,0,n-1}]],{n,0,10}](*里戈伯托·弗洛雷斯2023年4月17日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=polceoff((1-x+x^2-sqrt(1-2*x-x^2+x^3*(-2+x+O(x^n)))/2,n+2)}/*迈克尔·索莫斯2003年7月20日*/
(PARI)a(n,m=1)=总和(k=0,n,总和(j=0,k,二项式(n-k+j+m,n-k)*m/(n-k+j+m)*二项式\\保罗·D·汉纳,2009年6月26日
(PARI){a(n)=polcoeff(1+x*exp(和(m=1,n,和(k=0,m,二项式(m,k)^2*x^k)*x^m/m)+x*O(x^n)),n)}/*保罗·D·汉纳2011年3月15日*/
(PARI){a(n)=本地(A051292美元=1+(1-x^2)/平方((1-3*x+x^2;polcoeff(exp(总和(m=1,n,polcooff(A051292号,m)*x^m/m)+x*O(x^n)),n)}/*保罗·D·汉纳2011年3月15日*/
(最大值)a(n):=系数(泰勒((1-x+x^2-sqrt(1-2*x-x^2-2*x^3+x^4))/(2*x^2),x,0,n),x;名单(a(n),n,0,12)//伊曼纽尔·穆纳里尼2001年7月7日
(哈斯克尔)
a004148 n=a004148_列表!!n个
a004148_list=1:f[1],其中
f xs'@(x:xs)=y:f(y:xs')其中
y=x+总和(zipWith(*)xs$reverse$tail xs)
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年11月13日
(PARI){a(n)=my(a=1+O(x));对于(k=1,n,a=1-x/(x^2-1/a));波尔科夫(a,n)}/*迈克尔·索莫斯2014年6月5日*/
(Magma)R<x>:=PowerSeriesRing(基本原理(),35);系数(R!((1-x+x^2-Sqrt(1-2*x-x^2-2*x^3+x^4))/(2*x^2))//G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
(鼠尾草)
定义A004148号_列表(前c):
P=PowerSeriesRing(ZZ,'x',prec)
x=发电机()。O(前c)
return((1-x+x^2-sqrt(1-2*x-x^2-2*x^3+x^4))/(2*x^2)).list()
A004148号_列表(35)#G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
交叉参考
第二排A064645号.
囊性纤维变性。A046980型(汉克尔变换)。
关键词
容易的,非n,美好的
作者
状态
经核准的
A004149号 广义加泰罗尼亚数:a(n+1)=a(n)+Sum_{k=2..n-1}a(k)a(n-1-k)。
(原M1131)
+10
15
1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 33, 69, 146, 312, 673, 1463, 3202, 7050, 15605, 34705, 77511, 173779, 390966, 882376, 1997211, 4532593, 10311720, 23512376, 53724350, 122995968, 282096693, 648097855, 1491322824, 3436755328, 7931085771 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
评论
长度为n-1(n>=1)且无峰无谷的Motzkin路径数,即无UD和DU,其中U=(1,1)和D=(1,-1)。示例:a(7)=16,因为有17条长度为6的无峰Motzkin路径(请参见A004148号)其中只有UHDUHD有山谷(此处H=(1,0))-Emeric Deutsch公司,2004年1月8日
a(n+2)=避免UU和DD的Motzkin n路径数=避免UUU和UFU的Motz kin n路数。示例:a(7)=16,因为在21个Motzkin 5路径中,只有FUUDD、UFUDD、UUDDF、UUDFD、UUFDD包含UU或DD(或两者)。同样,只有FUUDD、UFUDD、UUDDF、UUDFD、UUFDD包含UU或UFU-大卫·卡伦2004年7月15日
无UHD时长度n的无峰Motzkin路径数;其中U=(1,1),H=(1,0),D=(1,-1)。例如:a(4)=2,因为我们有HHHH和UHHD。
a(n)=A190172号(n,0)。
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
Seiichi Manyama,n=0..2626时的n、a(n)表(T.D.Noe的前201个术语)
安德烈·阿辛诺夫斯基(Andrei Asinowski)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和瓦莱丽·罗特纳(Valerie Roitner),具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
保罗·巴里,广义加泰罗尼亚递归、Riordan数组、椭圆曲线和正交多项式,arXiv:1910.00875[math.CO],2019年。
M.Bernstein和N.J.A.Sloane,一些正则整数序列,线性算法。应用,226-228(1995),57-72;勘误表320(2000),210;arXiv:math/0205301[math.CO],2002年。
M.Bernstein和N.J.A.Sloane,一些正则整数序列,线性算法。应用,226-228(1995),57-72;勘误表320(2000),210。[链接到Lin.Alg.Applic.version以及省略的数字]
T.Doslic、D.Svrtan和D.Veljan,二级结构的枚举方面,离散。数学。,285 (2004), 67-82.
高善珍和陈克勋,处理谨慎的自我回避行走的顺序FCS’14,2014年国际计算机科学基础会议(序列8提到了一个g.f.,它给出了一个与该序列相似但没有第一个术语的序列)。
伊曼纽尔·穆纳里尼,花环反链的组合性质《整数》,9(2009),353-374。
赫尔穆特·普罗丁格,有界高度的Motzkin路径,有两个长度为2的禁止相邻子单词,arXiv:2310.12497[math.CO],2023。
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广Catalan数和Motzkin数的一些新序列,离散数学。,第26页(1978年),第261-272页。
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广Catalan数和Motzkin数的一些新序列[更正带注释的扫描副本]
E.J.J.van Rensburg,q-wedge中的吸附条形图路径《物理学杂志A》,v.38 n.40,8505-8525。
M.S.沃特曼,主页(包含他的论文副本)
闫庄,广义Goulden-Jackson聚类方法与格点路径枚举,《离散数学》341.2(2018):358-379;arXiv:1508.02793[math.CO],2015-2018年。
配方奶粉
总面积:2/(1-z+z^2+z^3+sqrt(1-z^4)(1-2z^2))-Emeric Deutsch公司,2004年1月8日
G.f.:1/(1-x-x^4/(1-x-x^2-x^3-x^4/(1-x-x2-x^3-x ^4/)(1-……(连分数))-保罗·巴里2009年5月22日
递归D-有限:(n+2)*a(n)=(2*n+1)*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月10日
a(n)~(1+平方(2))^(n+1/2)/(平方(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月10日
G.f.G(x)满足x^2*G^2-(1-x+x^2+x^3)*G+1=0和
(x^4-1)*(x^2+2*x-1)*x*g'(x)-(x^3-x+2)*-罗伯特·伊斯雷尔2015年5月7日
0=a(n)*(+a(n+1)+5*a(n+2)-4*a a(n+3)+7*a(n+4)+24*a对于所有n>=0的情况,-5*a(n+7))+a(n+6)*(+a(n+6)+a(n%7))-迈克尔·索莫斯2017年1月9日
G.f.:1/G(x),其中G(x-尼古拉·潘泰利迪斯2023年1月11日
例子
G.f.=1+x+x^2+x^3+2*x^4+4*x^5+8*x^6+16*x^7+33*x^8+69*x^9+。。。
MAPLE公司
有关生成g.f.的Maple代码,请参见A004148号.
#备选方案:
p: =gfun:-直肠({(n-1)*a(n)+(2*n+1)*a
地图(p,[0..100]美元)#罗伯特·伊斯雷尔2015年5月7日
数学
a[0]=1;a[n_Integer]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,2,n-2}];
系数列表[级数[2/(1-x+x^2+x^3+Sqrt[(1-x^4)(1-2x-x^2)]),{x,0,40}],x](*哈维·P·戴尔2017年8月9日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=波尔科夫((1-x+x^2+x^3-sqrt(1-x^4)*(1-2*x-x^2)+x^3*O(x^n))/(2*x^2,n)}/*迈克尔·索莫斯2005年10月28日*/
(哈斯克尔)
a004149 n=a004149_列表!!n个
a004149_list=1:1:1:f[1,1,1]其中
f xs=y:f(y:xs)其中
y=头部xs+总和(zipWith(*)(init$init$tail xs)(反向xs))
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年11月13日
交叉参考
第三排A064645号.
囊性纤维变性。A001006号,A004148号.
关键词
非n,美好的
作者
状态
经核准的
A287641型 [n]的集合分区数A(n,k),使得只有当b=1或j-1,…中的至少一个时,j才是块b的成员。。。,j-k是块>=b-1的成员;方阵A(n,k),n>=0,k>=0。 +10
14
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 2, 5, 14, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 42, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 51, 132, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 52, 191, 429, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 52, 202, 773, 1430, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 861, 3336, 4862, 1, 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 876, 3970, 15207, 16796, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,9
链接
阿洛伊斯·海因茨,反对角线n=0..34,平坦
维基百科,集合的分区
配方奶粉
A(n,k)=和{j=0..k}A287640型(n,j)。
例子
A(5,0)=1:12345。
A(5.1)=42=52-10=A000110号(5) -10统计[5]的所有集合分区,但不包括:124|3|5、135|2|4、13|25|4、13 |2|45、13|2|4|5、14|23|5、14 |2|35、14 |2 |3 |5、1 |24 |3|5,134 |2|5。
A(5.2)=51=52-1=A000110号(5) -1统计[5]的所有集合分区,134|2|5除外。
方阵A(n,k)开始:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...
1, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...
1, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, ...
1, 42, 51, 52, 52, 52, 52, 52, ...
1, 132, 191, 202, 203, 203, 203, 203, ...
1, 429, 773, 861, 876, 877, 877, 877, ...
MAPLE公司
b: =proc(n,l)选项记忆`如果`(n=0,1,加上(b(n-1,
[seq(最大值(l[i],j),i=2..nops(l),j]),j=1..l[1]+1))
结束时间:
A: =(n,k)->`如果`(k=0,1,b(n,[0$k])):
seq(seq(A(n,d-n),n=0..d),d=0..12);
数学
b[0,_]=1;b[n_,l_List]:=b[n,l]=总和[b[n-1,追加[表[Max[l[i]],j],{i,2,长度[l]}],j]],{j,1,l[[1]]+1}];
A[n_,k_]:=如果[k==0,1,b[n,表[0,k]]];
表[A[n,d-n],{d,0,12},{n,0,d}]//展平(*Jean-François Alcover公司2018年4月30日之后阿洛伊斯·海因茨*)
交叉参考
主对角线给出A000110号.
关键词
非n,表格
作者
阿洛伊斯·海因茨2017年5月28日
状态
经核准的
A023421号 广义加泰罗尼亚数。 +10
5
1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 65, 133, 274, 568, 1184, 2481, 5223, 11042, 23434, 49908, 106633, 228505, 490999, 1057683, 2283701, 4941502, 10713941, 23272929, 50642017, 110377543, 240944076, 526717211, 1152996206, 2527166334, 5545804784, 12184053993 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,6
链接
配方奶粉
G.f.A(x)满足:(x)=(1+x^2*A(x,^2)/(1-x+x^2+x^3+x^4)-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月20日
MAPLE公司
A023421号:=进程(n)
选项记忆;
如果n=0,则
1;
其他的
进程名(n-1)+添加(进程名(k)*进程名(n-2-k),k=3..n-2);
结束条件:;
结束进程:#R.J.马塔尔2015年5月1日
数学
a[0]=1;a[n]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,3,n-2}];表[a[n],{n,0,30}](*修改人G.C.格鲁贝尔2018年1月1日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n==0,1,a(n-1)+和(k=3,n-2,a(k)*a(n-k-2))};
对于(n=0,30,打印1(a(n),“,”)\\G.C.格鲁贝尔2018年1月1日
交叉参考
第四排A064645号.
关键词
非n,容易的
作者
状态
经核准的
A023422号 广义加泰罗尼亚数。 +10
5
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 129, 261, 530, 1080, 2208, 4528, 9313, 19207, 39714, 82314, 170996, 355976, 742545, 1551817, 3248823, 6812947, 14309557, 30099645, 63402315 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,7
链接
A.Goupil、M.-E.Pellerin和J.de Wouters d'oplinter,蛇形波利米诺群岛,arXiv预印本arXiv:1307.8432[math.CO],2013-2014。(给出一个g.f.)
配方奶粉
G.f.A(x)满足:(x)=(1+x^2*A(x,^2)/(1-x+x^2+x^3+x^4+x^5)-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月20日
数学
a[0]=1;a[n]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,4,n-2}];表[a[n],{n,0,30}](*修改人G.C.格鲁贝尔2018年1月1日*)
B[q_]=(q^2+q^3+q^4+q^5-平方[((q(q^5-1))/(q-1)-1)^2-4q^6]-q+1)/(2q^2);系数列表[B[q]+O[q]^31,q](*Jean-François Alcover公司2019年1月29日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n==0,1,a(n-1)+和(k=4,n-2,a(k)*a(n-k-2))};
对于(n=0,30,打印1(a(n),“,”)\\G.C.格鲁贝尔2018年1月1日
交叉参考
第五排A064645号.
关键词
非n,容易的
作者
状态
经核准的
A023423号 广义加泰罗尼亚数。 +10
5
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 257, 517, 1042, 2104, 4256, 8624, 17504, 35585, 72455, 147746, 301706, 616948, 1263240, 2589840, 5316033, 10924681, 22475831, 46290195 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,8
链接
配方奶粉
G.f.A(x)满足:(x)=(1+x^2*A(x,^2)/(1-x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月20日
MAPLE公司
A023423号:=进程(n)
选项记忆;
如果n<=6,则
1;
其他的
进程名(n-1)+添加(进程名(k)*进程名(n-2-k),k=5..n-2);
结束条件:;
结束进程:#R.J.马塔尔2014年10月10日
数学
a[0]=1;a[n]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,5,n-2}];表[a[n],{n,0,30}](*修改人G.C.格鲁贝尔2018年1月1日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n==0,1,a(n-1)+和(k=5,n-2,a(k)*a(n-k-2))};
对于(n=0,30,打印1(a(n),“,”)\\G.C.格鲁贝尔2018年1月1日
交叉参考
第六排A064645号.
关键词
非n,容易的
作者
状态
经核准的
A258709型 行读取的广义加泰罗尼亚数字三角形。 +10
1
1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 9, 4, 2, 1, 1, 21, 8, 4, 2, 1, 1, 51, 17, 8, 4, 2, 1, 1, 127, 37, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 323, 82, 33, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 835, 185, 69, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 2188, 423, 146, 65, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 5798, 978, 312, 133, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
链接
Manfred Scheucher,n=0..5150时的n,a(n)表
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广Catalan数和Motzkin数的一些新序列,离散数学。,26 (1978), 261-272.
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广Catalan数和Motzkin数的一些新序列[更正带注释的扫描副本]见表1。
Manfred Scheucher,圣人秘籍
例子
三角形开始
1,
1,1,
2,1,1,
4,2,1,1,
9,4,2,1,1,
21,8,4,2,1,1,
51,17,8,4,2,11,
127,37,16,8,4,2,1,1,
323,82,33,16,8,4,2,1,1,
835185、69、32、16、8、4、2、1、1,
...
交叉参考
囊性纤维变性。A064645号.
关键词
非n,表格,容易的
作者
N.J.A.斯隆2015年6月13日
扩展
更正和扩展人曼弗雷德·舒彻2015年7月25日
状态
经核准的
第页1

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