搜索： a064262-编号：a064261
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A002997号
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| Carmichael数：复合数k，使得a ^（k-1）==1（mod k）对于k的每个a互素。
（原M5462）
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337
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561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461, 530881, 552721
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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V.Šimerka在Carmichael之前25年发现了这个序列的前7项（参见链接和K.Conrad的评论）-彼得·卢什尼2019年4月1日
k是复合的和无平方的，对于p素，pk=>p-1k-1。
奇数复合数k是基于iff a^（k-1）==1（mod k）的伪素数。Carmichael数是一个奇数复合数k，它是一个伪素数，以A为基数，对每个数从素数到k。
复合奇数k是Carmichael数当且仅当k是无平方的，并且p-1对每个素数p除以k除以k-1（Korselt，1899）
Ghatage和Scott利用费马的小定理证明了（a+b）^k==a^k+b^k（modk）（新生的梦想）恰好是当k是素数时(A000040型)或者卡迈克尔号码-乔纳森·沃斯邮报2005年8月31日
Alford等人用10333229505个素因子构造了一个Carmichael数，并用m个素因子构建了3到19565220之间的Carmichale数-乔纳森·沃斯邮报2012年4月1日
托马斯·赖特证明了对于gcd（b，M）=1的N中的任何数字b和M，都有无穷多个Carmichael数k，使得k==b（mod M）-乔纳森·沃斯邮报2012年12月27日
复合数k相对素数到1^（k-1）+2^（k-1）+…+（k-1）^（k-1）-托马斯·奥多夫斯基2013年10月9日
如果k是Carmichael数并且gcd（b-1，k）=1，那么根据Steuerwald定理，（b^k-1）/（b-1）是基b的伪素数；请参阅中的参考A005935号. -托马斯·奥多夫斯基2016年4月17日
所有Carmichael数的序列可以定义为：a（1）=561，a（n+1）=最小组合k>a（n），这样对于每个素数p<=n+2，p^k==p（modk）-托马斯·奥多夫斯基2017年4月24日
整数m>1是一个Carmichael数，当且仅当m是无平方的，并且它的每一个素数p都满足s_p（m）>=p和s_p。对于每个素因子p，锐界p<=a*sqrt（m）保持不变，a=sqrt（17/33）=0.7177……参见Kellner和Sondow 2019-伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月3日
奇复合数m是一个Carmichael数，当m除以分母（Bernoulli（m-1））时。商为A324977型参见Pomerance、Selfridge和Wagstaff，第1006页，以及Kellner和Sondow，关于伯努利数的章节-乔纳森·桑多，2019年3月28日
Ore（1948）将这些数字称为“具有费马特性的数字”，或者简称为“F数字”。
也称为“绝对伪素数”。根据埃尔德（Erdős）（1949）的说法，这个词是由D.H.Lehmer创造的。
由Beeger（1950）以美国数学家Robert Daniel Carmichael（1879-1967）的名字命名。（结束）
对于前10000项的末尾数字1、3、5、7、9，我们分别看到80.3、4.1、7.4、3.8和4.3%的分配。为什么偏爱结束数字“1”-比尔·麦克阿欣2021年7月16日
似乎对于任意m>1，模m的Carmichael数的余数都偏向1。模4，6，8，…等于1的项数。。。，前10000个术语中有24个：9827、9854、8652、8034、9682、5685、6798、7820、7880、3378和8518-宋嘉宁2021年11月8日
Alford、Granville和Pomerance在1994年的论文中推测，类似于Bertrand假设的陈述可以应用于Carmichael数。丹尼尔·拉森（Daniel Larsen）已经证明了这一点，请参阅下面的链接-大卫·詹姆斯·西卡莫尔2023年1月17日
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参考文献
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N.G.W.H.Beeger，《关于每一个素数对N的a^N==1（mod N）的复合数N》，《数学脚本》，第16卷（1950年），第133-135页。
Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，多佛出版公司，纽约，1966年，表18，第44页。
David M.Burton，《初等数论》，第五版，McGraw-Hill，2002年。
CRC标准数学表和公式，第30版，1996年，第87页。
理查德·盖伊，《数论中未解决的问题》，A13。
Ø伊斯坦矿石，《数论及其历史》，麦格劳-希尔出版社，1948年，多佛出版社，1988年再版，第14章。
Paul Poulet，《Fermat pour le module 2 jusqu'á100.000.000，Sphinx（布鲁塞尔），第8卷（1938年），第42-45页。
Wacław Sierpinski，《数论问题精选》。纽约麦克米伦出版社，1964年，第51页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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W.R.Alford、Jon Grantham、Steven Hayman和Andrew Shallue，通过改进的子乘积算法构造Carmichael数《计算数学》，第83卷，第286期（2014年），第899-915页，arXiv预印本，arXiv:1203.6664v1[math.NT]，2012年3月29日。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance，有无限多的卡迈克尔数数学安。（2） 139（1994），第3期，703-722。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance（1994年）。"关于寻找可靠证人的困难“计算机科学课堂讲稿8771994，第1-16页。
John D.Brillhart、N.J.A.Sloane和J.D.Swift，通信，1972年.
R.D.Carmichael，关于一个新数论函数的注记，公牛。阿默尔。数学。《判例汇编》第16卷（1910年），第232-238页。
K.A.Draziotis、V.Martidis和S.Tiganourias，乘积子集问题：在数论和密码学中的应用，arXiv:2002.07095[math.NT]，2020年。另请参见第5章《分析、密码学和信息科学》，《世界科学》（2023年），第108页。
Gerhard Jaeschke，卡迈克尔数到10^12，数学。公司。，第55卷，第191号（1990年），第383-389页。
D.H.Lehmer，Poulet表勘误表，数学。公司。，25 (1971), 944-945. 25 944 1971.
Carl Pomerance、J.L.Selfridge和Samuel S.Wagstaff，Jr。，伪素数为25*10^9，数学。公司。，第35卷，第151期（1980年），第1003-1026页。
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公式
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总和{n>=1}1/a（n）位于区间（0.004706,27.8724）（Bayless和Kinlaw，2017）。Kinlaw（2023年）将上限降至0.0058-阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月26日，2024年2月24日
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MAPLE公司
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过滤器：=进程（n）
局部q；
如果isprime（n），则返回false fi；
如果2&^（n-1）mod n<>1，则返回false fi；
如果不是numtheory:-issqrfree（n），则返回false fi；
对于numtheory:-factorset（n）do中的q
如果（n-1）mod（q-1）＜＞0，则返回false fi
日期：
真；
结束进程：
选择（过滤器，[seq（2*k+1，k=1..10^6）]）#罗伯特·伊斯雷尔2014年12月29日
isA002997:=n->0=modp（n-1，数字理论：-lambda（n）），而不是isprime（n）和n<>1：
选择（isA002997，[1..10000]）#彼得·卢什尼，2019年7月21日
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数学
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案例[范围[1，100000，2]，n_/；Mod[n，CarmichaelLambda[n]]==1&&！PrimeQ[n]](*阿图尔·贾辛斯基2008年4月5日；次要编辑来自扎克·塞多夫，2011年2月16日*）
选择[Range[1，600001，2]，CompositeQ[#]&&Mod[#，CarmichaelLambda[#]]==1&](*哈维·P·戴尔，2023年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Korselt（n）=我的（f=系数（n））；对于（i=1，#f[，1]，如果（f[i，2]>1||（n-1）%（f[i，1]-1），返回（0））；1
isA002997（n）=n%2&&！isprime（n）&&Korselt（n）&&n>1\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日
（PARI）是_A002997号（n，F=factor（n）~）={#F>2&&！foreach（F，F，（n%（F[1]-1）==1&&F[2]==1）||return）}\\不需要检查奇偶校验：如果需要效率，只扫描奇数-M.F.哈斯勒，2012年8月24日，编辑于2022年3月24日
（哈斯克尔）
a002997 n=a002997_列表！！（n-1）
a002997_list=[x|x<-a024556_list，
所有（==0）$map（（mod（x-1））。（减1）$a027748_当前x]
（岩浆）[n:n in[3..53*10^4 by 2]|非IsPrime（n）和n mod CarmichaelLambda（n）eq 1]//布鲁诺·贝塞利2012年4月23日
（鼠尾草）
定义为Carmichael（n）：
如果n==1或is_even（n）或is_prime（n）：
返回False
因子=因子（n）
对于因子中的f：
如果f[1]>1：返回False
如果（n-1）%（f[0]-1）！=0:
返回False
return True
打印（如果是Carmichael（n），则[n代表（1..20000）中的n]）#彼得·卢什尼2019年4月2日
（Python）
从itertools导入islice
从sympy导入nextprime，factorint
p、 q=3,5
为True时：
对于范围（p+2，q，2）内的n：
f=因子（n）
如果max（f.values（））==1，而不是任何（（n-1）%（p-1），对于f中的p）：
产量n
p、 q=q，下一素数（q）
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交叉参考
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参见。A001567号,A002445号,A002322号,A006931号,A024556号,A027748号,A055553号,A064238美元-A064262号,A083737号,A087441号,A087442号,A135717号,A141711号,A153581号,A225498型,A285512型,A285549型,A309132型,A324290型,A324315型,A324316型,A324973型,A324975型,A324977型,A326690型.
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关键字
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非n,美好的,改变
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作者
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经核准的
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1170、5430、53568、59106、63366、86370、95316、99576、103836、105966、116190、183498、184776、239730、260178、300648、319818、333450、339840、362418、367530、481698、485958、503850、511518、605238、644856、725370、732186、762006、788418、799920、837408、870210
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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公式
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am+1，bm+1，cm+1是素数，am|（N-1），bm|（N-2），cm|（N-3）。
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数学
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CarmichaelNbrQ[n_]：=！PrimeQ@n&&Mod[n，CarmichaelLambda@n]==1；选择[Range@1000000，PrimeQ[#+1]&&PrimeQ[2#+1]&&PrimeQ[71#+1]&&CarmichaelNbrQ[（#+1）（2#+1），（71#+1）]&](*罗伯特·威尔逊v2012年8月23日*）
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黄体脂酮素
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（m=1，1e6）的（PARI）为_A002997号（（m+1）*（2*m+1）x（71*m+1”）&打印1（m“，”））\\-M.F.哈斯勒2012年8月23日
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非n
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作者
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哈维·杜布纳（Harvey（AT）Dubner.com），2001年11月14日
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简化定义，插入缺少的术语，并由扩展M.F.哈斯勒，2012年8月23日
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6120, 11526, 104700, 108516, 115830, 122826, 297726, 298680, 320940, 338430, 339066, 367686, 374046, 387720, 448140, 531456, 534636, 538770, 587106, 618270, 709536, 746106, 762006, 857406, 863766, 897156, 963300, 1115940, 1150920
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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公式
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am+1，bm+1，cm+1是素数，am|（N-1），bm|（N-2），cm|（N-3）。
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数学
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CarmichaelNbrQ[n_]：=！PrimeQ@n&&Mod[n，CarmichaelLambda@n]==1；选择[Range@1000000，PrimeQ[#+1]&&PrimeQ[2#+1]&&PrimeQ[53#+1]&&CarmichaelNbrQ[（#+1）（2#+1））（53#+1）]&](*罗伯特·威尔逊v2012年8月23日*）
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非n
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哈维·杜布纳（Harvey（AT）Dubner.com），2001年11月14日
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3876, 7506, 8166, 16746, 20706, 23676, 24336, 40506, 42156, 68226, 69876, 79776, 95286, 123996, 139176, 149076, 166236, 177786, 183066, 187686, 203856, 210126, 213096, 214086, 216396, 221676, 232566, 265566, 307146, 310116, 321006, 326946
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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公式
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am+1，bm+1，cm+1是素数，am|（N-1），bm|（N-2），cm|（N-3）。
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数学
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CarmichaelNbrQ[n_]：=！PrimeQ@n&&Mod[n，CarmichaelLambda@n]==1；选择[Range@350000，PrimeQ[#+1]&&PrimeQ[2#+1]&&PrimeQ[55#+1]&&CarmichaelNbrQ[（#+1）（2#+1），（55#+1）]&](*罗伯特·威尔逊v2012年8月23日*）
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非n
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哈维·杜布纳（Harvey（AT）Dubner.com），2001年11月14日
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A065697号
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| m的值，使得N=（am+1）（bm+1）（cm+1）是3-Carmichael数(A087788号)，其中a、b、c=1,2,57。 |
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198, 996, 2706, 9090, 13536, 16728, 25620, 33486, 34056, 35310, 41010, 53550, 58566, 60960, 61986, 63240, 72816, 72930, 74526, 75780, 77490, 80340, 83760, 96756, 97326, 100746, 103140, 111918, 125028, 125370, 128676, 129360, 136656, 164700, 174048, 175758, 176898
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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公式
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am+1，bm+1，cm+1是素数，am|（N-1），bm|（N-2），cm|（N-3）。
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数学
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CarmichaelNbrQ[n_]：=！底漆Q@n&&Mod[n，CarmichaelLambda@n] == 1; 选择[范围@140000，PrimeQ[#+1]&&PrimeQ[2#+1]&&PrimeQ[57#+1]&&CarmichaelNbrQ[（#+1）（2#+1），（57#+1）]&](*罗伯特·威尔逊v2017年7月31日*）
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非n
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哈维·杜布纳（Harvey（AT）Dubner.com），2001年11月14日
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5580, 19488, 22050, 86466, 140268, 173208, 177966, 227010, 233598, 265806, 273126, 355110, 395736, 402690, 432336, 476988, 486138, 550188, 578370, 588618, 754416, 788088, 844086, 1044288, 1092600, 1204596, 1217406, 1386498, 1415778, 1446888, 1463358, 1563276, 1566936, 1599876
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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公式
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am+1，bm+1，cm+1是素数，am|（N-1），bm|（N-2），cm|（N-3）。
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数学
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CarmichaelNbrQ[n_]：=！底漆Q@n&&Mod[n，CarmichaelLambda@n]==1；选择[Range@1600000，PrimeQ[#+1]&&PrimeQ[2#+1]&&PrimeQ[61#+1]&&CarmichaelNbrQ[（#+1）（2#+1），（61#+1）]&](*罗伯特·威尔逊v2017年7月31日*）
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作者
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哈维·杜布纳（Harvey（AT）Dubner.com），2001年11月14日
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156, 2550, 3180, 19686, 29640, 40350, 41610, 43626, 46020, 51060, 65550, 72480, 79536, 80670, 85836, 97176, 133716, 150096, 159420, 170760, 184116, 191550, 214986, 229980, 255180, 262110, 278490, 279120, 293106, 294996, 301926, 337080, 350940, 369210, 370596
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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公式
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am+1，bm+1，cm+1是素数，am|（N-1），bm|（N-2），cm|（N-3）。
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数学
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carmQ[n_]：=复合Q[n]&&可分割[n-1，CarmichaelLambda[n]]；选择[Range[10^5]，AllTrue[（v={1，2，63}*#+1），PrimeQ]&carmQ[Times@@v]&](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年10月17日*）
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交叉参考
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非n
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作者
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哈维·杜布纳（Harvey（AT）Dubner.com），2001年11月14日
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876, 1656, 7506, 9066, 12966, 33636, 67956, 74586, 83556, 89796, 111636, 126456, 129186, 143616, 150246, 154926, 166626, 184566, 222786, 241116, 252036, 252816, 261786, 271926, 288306, 303906, 304686, 319116, 340956, 344856, 351096, 357726, 362406, 363966, 365526
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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链接
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公式
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am+1，bm+1，cm+1是素数，am|（N-1），bm|（N-1），cm|（N-1）。
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数学
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carmQ[n_]：=复合Q[n]&&可分割[n-1，CarmichaelLambda[n]]；选择[Range[10^5]，AllTrue[（v={1，2，65}*#+1），PrimeQ]&carmQ[Times@@v]&](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年10月17日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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哈维·杜布纳（Harvey（AT）Dubner.com），2001年11月14日
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扩展
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状态
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经核准的
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11958, 44118, 88740, 97986, 108438, 184416, 245520, 347628, 348030, 418380, 516870, 542598, 546618, 590436, 637470, 674856, 679680, 767316, 809526, 817566, 818370, 888720, 904800, 914046, 930930, 938568, 1006506, 1020978, 1047510, 1070826, 1081278, 1155246, 1209516
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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链接
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公式
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am+1，bm+1，cm+1是素数，am|（N-1），bm|（N-2），cm|（N-3）。
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数学
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CarmichaelNbrQ[n_]：=！PrimeQ@n&&Mod[n，CarmichaelLambda@n]==1；选择[Range@1250000，PrimeQ[#+1]&&PrimeQ[2#+1]&&PrimeQ[67#+1]&&CarmichaelNbrQ[（#+1）（2#+1），（67#+1）]&](*罗伯特·威尔逊v2012年8月23日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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哈维·杜布纳（Harvey（AT）Dubner.com），2001年11月14日
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状态
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经核准的
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A065702号
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| m的值，使得N=（am+1）（bm+1）（cm+1）是3-Carmichael数(A087788号)，其中a、b、c=1,2,69。 |
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+10
3
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378、1068、24390、29220、32118、56130、70620、74760、77658、82350、96978、100980、110640、114228、132858、152040、177018、183090、186678、214830、253608、282588、290040、319158、342480、345378、3743858、388710、406788、418380、428040、442530、463230、463920、477720
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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链接
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公式
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am+1，bm+1，cm+1是素数，am|（N-1），bm|（N-2），cm|（N-3）。
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数学
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CarmichaelNbrQ[n_]：=！PrimeQ@n&&Mod[n，CarmichaelLambda@n]==1；选择[Range@500000，PrimeQ[#+1]&&PrimeQ[2#+1]&&PrimeQ[69#+1]&&CarmichaelNbrQ[（#+1）（2#+1），（69#+1）]&](*罗伯特·威尔逊v2012年8月23日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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哈维·杜布纳（Harvey（AT）Dubner.com），2001年11月14日
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状态
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经核准的
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