搜索: a064052-编号:a064052
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0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 23, 24, 25, 26, 26, 27, 28, 29, 30, 30, 31, 32, 32, 32, 32, 33, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 39, 39, 40, 41, 41, 41, 42, 43, 44, 45
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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参考文献
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史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥大学出版社,2003年,第2.21章,第166页。
Daniel H.Greene和Donald E.Knuth,《算法分析数学》,第三版,Birkhäuser出版社,1990年,第95-98页。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=总和{i=1..floor(sqrt(n))}(pi(floor(n/i))-pi(i))。
a(n)=求和{p<=sqrt(n)}(p-1)+求和{sqrt,n)<p<=n}楼层(n/p),其中p是素数。
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数学
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jaggedQ[n_]:=jaggedQ[n]=(f=系数整数[n][[All,1]];s=Sqrt[n];计数[f,p_/;p>s]>0);a[n]:=(对于[cnt=0;j=2,j<=n,j++,If[jaggedQ[j],cnt++]];cnt);表[a[n],{n,1100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 3, 5, 11, 4, 13, 7, 5, 4, 17, 6, 19, 5, 7, 11, 23, 6, 5, 13, 9, 7, 29, 6, 31, 8, 11, 17, 7, 6, 37, 19, 13, 8, 41, 7, 43, 11, 9, 23, 47, 8, 7, 10, 17, 13, 53, 9, 11, 8, 19, 29, 59, 10, 61, 31, 9, 8, 13, 11, 67, 17, 23, 10, 71, 9, 73, 37, 15, 19, 11, 13, 79, 10
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a(n)是最小的k,使得n出现在k×k乘法表中,并且A027424号(k) 是n的个数,a(n)<=k。
a(p)=p对于p是素数或1,这些也是这个序列中的记录高点-查尔斯·库斯尼奇2022年8月26日
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参考文献
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G.Tenenbaum,R.L.Graham等人编辑的第268ff页,《Paul Erdős I的数学》。
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链接
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配方奶粉
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例子
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36的除数是{1,2,3,4,6,9,12,18,36}。其中{1,2,3,4,6}为次,{6,9,12,18,36}为优,因此a(36)=6。
40的除数是{1,2,4,5,8,10,20,40}。其中{1,2,4,5}是次优的,{8,10,20,40}是优的,因此a(40)=8。
(结束)
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MAPLE公司
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结束过程:
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数学
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a033677 n=头部$
dropWhile((<n)。(^2)[d|d<-[1..n],mod n d==0]
(Python)
从sympy导入除数
d=除数(n)
返回d[长度(d)//2]#柴华湖2021年4月5日
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交叉参考
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-严格上级:A048098型,A064052美元,A238535型,A341594飞机,A341595型,A341642飞机,A341643型,A341644型,A341645型,A341646飞机,A341673型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A060775号
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| 最大除数d|n,使得d<n/d,其中a(1)=1。 |
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+10 62
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1,1,1,1,2,1,2,1,2,1,3,1,2,3,2,1,3,1,4,3,2,3,4,1,5,1,4,3,5,1,2,5,1,6,1,4,5,2,1,6,1,5,3,4,1,6,5,7,3,2,1,6,1,2,7,5,6,1,4,3,7,1,8,1,2,5,4,7,6,1,8,3,2,1,7,5,2,3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,6
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评论
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此外:n的最大除数,小于sqrt(n)。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=max{d:d|n和d<sqrt(n)或d=1},其中“|”表示“除法”。[由更正M.F.哈斯勒2019年4月3日]
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例子
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n=252,D={1,2,3,4,6,7,9,12,14,18,21,28,36,42,63,84,126,252},18个除数,9是14,所以a(252)=14。
选定n的严格次除数:
n=1 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240
-----------------------------------------------------------------
{} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 4 3 3 4 3 3 5 3 3 7 3 3
5 6 7 4 5 10 4 4 13 5 4
6 6 6 6 6 5
8 9 11 12 7 6
10 8
14 10
12
15
(结束)
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MAPLE公司
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带有(数字理论):
a: =n->max(选择(d->is(d=1或d<sqrt(n)),除数(n)
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数学
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表[Part[Divisors[w],Floor[Divisor Sigma[0,w]/2]],{w,1,256}]
表[If[n==1,1,Max[Select[Divisors[n],#<n/#&]]],{n,100}](*古斯·怀斯曼,2021年2月28日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)对于(n=21000,d=除数(n);写入(“b060775.txt”,n,“”,d[长度(d)\2])\\哈里·史密斯2009年7月11日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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姓名更改人古斯·怀斯曼,2021年2月28日(原为:n的中位数除数较低,a(1)=1。)
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状态
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经核准的
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A048098美元
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| sqrt(k)-光滑的数字k:如果p|k,则当p为素数时p^2<=k。 |
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+10 54
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1, 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 49, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 75, 80, 81, 84, 90, 96, 98, 100, 105, 108, 112, 120, 121, 125, 126, 128, 132, 135, 140, 144, 147, 150, 154, 160, 162, 165, 168, 169, 175, 176, 180, 182, 189, 192, 195
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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该集合(例如S)具有密度d(S)=1-log(2)和乘法密度m(S)=1-exp(-Gama)。乘法密度:设A是一组数字,A(x)={k在A|gpf(k)<=x}中,其中gpf(k)表示k的最大素因子,设m(x)(A)=乘积{p<=x{(1-1/p)*求和{k在A(x-贝诺伊特·克洛伊特2002年6月12日
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链接
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H.Davenport和P.Erdõs,关于正整数序列,J.印度数学。Soc.15(1951年),第19-24页。
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数学
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黄体脂酮素
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(PARI)
打印1(1,“,”);对于(n=2,1000,如果(vecmax(因子(n)[,1])<=sqrt(n),打印1(n,“,”))
(哈斯克尔)
a048098 n=a048098_列表!!(n-1)
a048098_list=[x|x<-[1..],a006530 x^2<=x]
(Python)
来自sympy导入因子
定义正常(n):
如果n<2 else max(因子(n))**2<=n,则返回n==1
打印([k代表范围(196)中的k,如果正常(k)])#迈克尔·布拉尼基2021年12月22日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A161906号
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| 按行读取的三角形,其中第n行列出了n的除数,这些除数小于等于sqrt(n)。 |
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+10 46
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 2, 4, 1, 3, 1, 2, 1, 5, 1, 2, 3, 4, 6, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 5, 1, 1, 2, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 1, 3, 5, 1, 2, 1, 1, 2, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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链接
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例子
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三角形开始:
1....... 1;
2....... 1;
3....... 1;
4…..1,2;
5....... 1;
6..... 1,2;
7....... 1;
8..... 1,2;
9..... 1,3;
10..... 1,2;
11....... 1;
12... 1,2,3;
13....... 1;
14..... 1,2;
15..... 1,3;
16... 1,2,4;
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数学
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div[n_]:=选择[Divisors[n],#<=Sqrt[n]&];div/@范围[48]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月13日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a161906 n k=a161906_tabf!!(n-1)!!(k-1)
a161906_row n=a161906-tabf!!(n-1)
a161906_tabf=zipWith(\m ds->takeWhile((<=m))。(^2)天)
[1..]a027750_tabf'
(PARI)行(n)=选择(x->(x<=sqrt(n)),除数(n)\\米歇尔·马库斯2020年11月13日
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交叉参考
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-上级:A033677号,A051283号,A059172号,A063538号,A063539号,A070038级,A116882号,A116883号,A341591飞机,A341592飞机,A341593飞机,A341675型,A341676飞机.
-严格上级:A048098型,A064052号,A140271号,A238535型,A341594飞机,A341595型,A341642飞机,A341643型,人民币41644元,A341645型,A341646飞机.
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 8, 12, 16, 18, 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 75, 80, 81, 84, 90, 96, 98, 100, 105, 108, 112, 120, 125, 126, 128, 132, 135, 140, 144, 147, 150, 154, 160, 162, 165, 168, 175, 176, 180, 182, 189, 192, 195, 196
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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有时(魏斯坦)称之为“普通数字”,而不是格林和克努特定义的“不寻常数字”(A063538号)最终证明,这并不罕见(Greene和Knuth,1990年,Finch,2001年)-乔纳森·沃斯邮报2010年9月11日
如果我们将除数d|n定义为优除数,如果d>=n/d,那么优除数的计算公式为A038548号并由列出A161908号。这个序列列出了没有上素除数的数字,这是唯一的(A341676飞机)当它存在时。例如,每个n的上素除数集合开始于:{},{2},}3},[2],{5},[3],{7}。空集的位置给出了序列-古斯·怀斯曼,2021年2月24日
作为乔纳森·沃斯邮报的评论表明,sqrt(n-1)-光滑数的密度比其“不寻常”补码的密度要低。这是一幅关于一个数的素因子的“典型”相对大小的大图的一部分:例如,请参见A281889型. -彼得·穆恩2021年3月3日
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参考文献
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Greene,D.H.和Knuth,D.E.,《算法分析的数学》,第三版,马萨诸塞州波士顿:Birkhäuser,第95-98页,1990年。
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链接
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M.Beeler、R.W.Gosper和R.Schroeppel,哈克姆,项目29
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配方奶粉
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对于小n(例如n<10000),a(n)显然可以近似为3.7642*n。
渐近地,sqrt(n)-光滑数<x的数量已知为(1-log(2))*x+O(x/log(x)),参见Ramaswami(1949)。
n=(1-log(2))*a(n)-0.59436*a(n)/log(a(n。(结束)
然而,众所周知,这种拟合只会导致精度在高达a(10^11)的范围内增加。对于更大的n,相对误差图所建议的精度改进并没有发生。对于较大的n,错误项O(x/log(x))的行为未知-雨果·普福尔特纳2023年11月12日
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例子
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a(100)=360;a(1000)=3744;a(10000)=37665;a(100000)=375084;
a(10^6)=3697669;a(10^7)=36519633;a(10^8)=360856296;
a(10^9)=3571942311;a(10^10)=35410325861;a(10^11)=351498917129-乔瓦尼·雷斯塔2020年4月12日
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MAPLE公司
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N: =1000:#获得所有项<=N
素数:=选择(isprime,[2,seq(2*i+1,i=1..floor((N-1)/2))]):
S: ={$1..N}减去{seq(seq(m*p,m=1..min(p,N/p)),p=素数)}:
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|
数学
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前缀[Select[Range[192],FactorInteger[#][[-1,1]]<Sqrt[#]&],1](*伊凡·内雷廷2015年9月2日*)
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黄体脂酮素
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(Magma)[1]cat[m:m in[2..200]| Max(PrimeFactors(m))lt Sqrt(m)]//马吕斯·A·伯蒂2019年5月8日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,9
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评论
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链接
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配方奶粉
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通用公式:和{n>=1}1/(1-q^(2*n-1))*q^。[乔格·阿恩特2010年3月4日]
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例子
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选定n的次奇数除数如下所示:
n: 1 9 30 90 225 315 630 945 1575 2835 4410 3465 8190 6930
--------------------------------------------------------------------
1 3 5 9 15 15 21 27 35 45 63 55 65 77
1 3 5 9 9 15 21 25 35 49 45 63 63
1 3 5 7 9 15 21 27 45 35 45 55
1 3 5 7 9 15 21 35 33 39 45
1 3 5 7 9 15 21 21 35 35
1 3 5 7 9 15 15 21 33
1 3 5 7 9 11 15 21
1 3 5 7 9 13 15
1 3 5 7 9 11
1 3 5 7 9
1 3 5 7
1 3 5
1 3
1
(结束)
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|
数学
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odn[n_]:=计数[除数[n],_?(奇数Q[#]&#&#<=Sqrt[n]&)];数组[odn,100](*哈维·P·戴尔2017年11月4日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=我的(ir=平方(n));sumdiv(n,d,(d%2)*(d<=ir))\\米歇尔·马库斯2014年1月14日
(哈斯克尔)
a069288 n=长度$takeWhile(<=a000196 n)$a182469_row n
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交叉参考
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-奇数-
-次除数-
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A116882号
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| 如果(k的最高奇数除数)^2<=k,则包含数字k。 |
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+10 39
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1, 2, 4, 8, 12, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240, 256, 288, 320, 352, 384, 416, 448, 480, 512, 544, 576, 608, 640, 672, 704, 736, 768, 800, 832, 864, 896, 928, 960, 992, 1024, 1088, 1152, 1216, 1280, 1344, 1408
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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当(且仅当)2除以k的最大幂大于等于k的最大奇数除数时,也包括k。除1之外,序列的所有项都是偶数。
等价地,形式为k*2^m的正整数,其中奇数k<=2^m-托马斯·奥多夫斯基2014年10月19日
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链接
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黄显奎(Xien-Kuei Hwang)、斯万特·简森(Svante Janson)和蔡宗希(Tsung-Hsi Tsai),分治递归二分分裂的恒等式和周期振荡,arXiv:2210.10968[cs.DS],2022年,第38页。
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇,计数函数,arXiv 1301.4550[math.CO],2013年。
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配方奶粉
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例子
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40=8*5,其中8是2除以40的最高幂,5是最高奇数除以40。8是>=5(所以5^2<=40),所以40在序列中。
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数学
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f[n_]:=选择[Divisors[n],OddQ[#]&][[-1]];插入[Select[Range[2,1500],2^ FactorInteger[#][[1]][[2]]>f[#]&],1,1](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月10日*)
q[n_]:=2^(2*整数指数[n,2])>=n;选择[范围[1500],q](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年1月24日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)isok(n)=vecmax(选择(x->((x%2)==1),除数(n))^2<=n\\米歇尔·马库斯2016年9月6日
(PARI)isok(n)=2^(估值(n,2)*2)>=n\\杰佩·斯蒂格·尼尔森2019年2月19日
(Python)
从itertools导入计数,islice
定义16882年_gen(startvalue=1):#术语生成器>=startvalue
返回滤波器(λn:(n&-n)**2>=n,计数(最大值(起始值,1)))
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000005美元,A000203号,A001248号,A006530号,A020639号,A026804号,A027193号,A340101型,A340854型(0 ofA340832型),A001008号,A002805号.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A161908号
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| 按行读取的数组,其中第n行列出了n的大于等于sqrt(n)的除数。 |
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+10 38
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1, 2, 3, 2, 4, 5, 3, 6, 7, 4, 8, 3, 9, 5, 10, 11, 4, 6, 12, 13, 7, 14, 5, 15, 4, 8, 16, 17, 6, 9, 18, 19, 5, 10, 20, 7, 21, 11, 22, 23, 6, 8, 12, 24, 5, 25, 13, 26, 9, 27, 7, 14, 28, 29, 6, 10, 15, 30, 31, 8, 16, 32, 11, 33, 17, 34, 7, 35, 6, 9, 12, 18, 36, 37, 19, 38, 13, 39, 8, 10, 20, 40, 41, 7, 14, 21, 42, 43, 11, 22, 44, 9, 15, 45, 23, 46, 47, 8, 12, 16
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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例子
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数组开始:
1;
2;
三;
2,4;
5;
3,6;
7;
4,8;
3,9;
5,10;
11;
4、6、12;
13;
7,14;
5,15;
4,8,16;
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数学
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表[Select[Divisors[n],#>=Sqrt[n]&],{n,100}]//展平(*哈维·P·戴尔2021年1月1日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a161908 n k=a161908_tabf!!(n-1)!!(k-1)
a161908_row n=a161908-tabf!!(n-1)
a161908_tabf=压缩
(\x ds->反向$map(div x)ds)[1..]a161906_tabf
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交叉参考
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-严格上级:A048098型,A064052号,A140271号,A238535型,A341594飞机,A341595美元,A341642飞机,A341643型,A341644型,A341645型,A341646飞机.
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 3, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,12
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评论
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对于所有素数p:a(p)=0(未标记),对于k>1a(p^k)=1。
a(1)=0,对于n>0,a(n)是应用Eratosthenes筛时的标记数,其中质数p的阶段从p^2开始。
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链接
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配方奶粉
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通用公式:和{k>=1}x^(素数(k)^2)/(1-x^素数(k))-伊利亚·古特科夫斯基2020年4月4日
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例子
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a(33)=a(3*11)=1,因为3^2=9<33和11^2=121>33。
选定n的a(n)次素因子(列):
n=38 24 3660 390 3570 87780
---------------------------------
{} 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
5 5 5 5
13 7 7
17 11
19
(结束)
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MAPLE公司
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与(numtheory):a:=proc(n)局部c,F,F,i:c:=0:F:=factorset(n):F:=nops(F):对于i从1到F,如果F[i]^2<=n,则c:=c+1其他c:=c:fi od:c;结束:seq(a(n),n=1..105)#Emeric Deutsch公司
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数学
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联接[{0},表[Count[Transpose[FactorInteger[n]][[1],_?(#<=Sqrt[n]&)],{n,2,110}]](*哈维·P·戴尔2015年3月26日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){对于(n=11000,f=factor(n)~;a=0;对于(i=1,length(f),if(f[1,i]^2<=n,a++,break));写入(“b063962.txt”,n,“”,a))}\\哈里·史密斯2009年9月4日
(哈斯克尔)
a063962 n=长度[p|p<-a027748_row n,p^2<=n]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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