搜索： a061855-编号：a061855
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MAPLE公司
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经核准的
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非n
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经核准的
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A001405号
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| a（n）=二项式（n，楼层（n/2））。
（原名M0769 N0294）
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+10
422
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1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, 462, 924, 1716, 3432, 6435, 12870, 24310, 48620, 92378, 184756, 352716, 705432, 1352078, 2704156, 5200300, 10400600, 20058300, 40116600, 77558760, 155117520, 300540195, 601080390, 1166803110
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评论
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斯伯纳定理说，这是一个n集的最大子集数，因此没有一个包含另一个。
当根据指数-1计算时，[seq（二项式（n，楼层（n/2）），n=-1..30）]；->[1,1,1,2,3,6,10,20,35,70126，…]并用加气加泰罗尼亚数[seq（（n+1）mod 2）*二项式（n，n/2）/（n/2）+1），n=0..30）]卷积；->[1,0,1,0,2,0,5,0,14,0,42,0132,0，…]左移一：[1,1,2,3,6,10,20,35,70126252，…]如果再次与加气加泰罗尼亚数卷积，则给出A037952号除了最初的期限-安蒂·卡图恩2001年6月5日[这是正确的，因为g.f.满足（1+x*g001405（x））*g126120（x）=g001405x）和g001405-x（x）*g26120（x）=g037952（x）/x-R.J.马塔尔2021年9月23日]
对于n>=1，给出（i，j）！=的Vandermonde矩阵（a_ij）i=0..n-1，j=0..n-1a_00=1和a_ij=i^j逆的最大绝对列和范数(0,0). -托尔斯滕·穆泽2004年2月6日
Dyck路径的左因子数，由n个步骤组成。例如：a（4）=6，因为我们有UDUD、UDUU、UUDD、UUDU、UUUD和UUUU，其中U=（1,1）和D=（1，-1）-Emeric Deutsch公司2005年4月23日
长度为n的分散Dyck路径的数量；它们被定义为Dyck路径和x轴上的（1,0）步的级联；等价地，正高度处无（1,0）阶的Motzkin路径。例如：a（4）=6，因为我们有HHHH、HHUD、HUDH、UDHH、UDUD和UUDD，其中U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1）-Emeric Deutsch公司，2011年6月4日
a（n）是奇的，当n=2^k-1-乔恩·佩里2005年5月5日
二项式（1，n）=（1,1,0,0,0，…）的逆Chebyshev变换，其中g（x）->（1/sqrt（1-4*x^2））*g（x*c（x^2A000108号. -保罗·巴里2005年5月13日
在数字线上的随机行走中，从0开始，第一步后吸收0，n步后以正整数结束的方式有很多-约书亚·祖克2005年7月31日
与0模q同余的形式Sum_{i=1..n}e（i）*a（i）的最大和数，其中e_i=0或1，gcd（a_i，q）=1，前提是q>上限（n/2）-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月27日
A001263号* [1, -2, 3, -4, 5, ...] = [1, -1, -2, 3, 6, -10, -20, 35, 70, -126, ...]. -加里·亚当森2008年1月2日
a（n）也是长度为n的不同字符串的数目，每个字符串都是平衡括号字符串的前缀；请参见示例-李·纽伯格2010年4月26日
n对括号的对称平衡串数；请参见示例-乔格·阿恩特2011年7月25日
n个元素的置换数，其中p（k-2）<p（k）对于所有k-乔格·阿恩特2011年7月23日
此外，包含单位置换的S_{n+1}等价类在abc形式的位置相邻元素的变换下的大小，其中a<b<c，cf。A210668型. -汤姆·罗比2012年5月15日
a（n）是长度为2n的对称Dyck路径数-麦特瓦森2012年9月26日
a（n）是避免经典意义上的213和231的长度为n的排列的数量，这两个排列是递增一元二叉树的广度优先搜索阅读词。有关更多详细信息，请参阅避免231排列的条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日
形状（n，n）对称标准Young表的数量-冉·潘2015年4月10日
在由所有1序列的部分和（或显示为正方形的帕斯卡三角形）组成的数组中也有“阶梯路径”。例子：
1, [2], [3], 4, 5, 6, 7, ...
1, 3, [6], [10], 15, 21, 28, ...
1, 4, 10, [20], [35], 56, 84, ...
1，5，15，35，[70]，[126]，210。。。
第二个公式中的序列是此数组中显示的混合对角线。（结束）
从{-1,1}开始n步的曲流数（从原点开始，到任何高度>=0，可能接触到x轴，但永远不会低于x轴）-大卫·阮2016年12月20日
a（n）也是以沿路径获得的最大值结束的n个步骤（向上或向下增加1）的路径数-温斯顿·罗2017年6月1日
二进制n元组的数量，使得偶数位置的1的数量与奇数位置的0的数量相同-胡安·奥尔莫斯2017年12月21日
等价地，a（n）是{1，…，n}的子集数，其中包含的偶数和奇数一样多-古斯·怀斯曼2018年3月17日
a（n）是半长=n+1的Dyck路径数，返回到x轴=floor（（n+3）/2），奇数位置的向上运动=floor。示例：a（4）=6，U=奇数位置的向上运动，U=偶数位置的上运动，d=向下运动，-=返回x轴：Uududd-Ud-Ud-，Ud-Uudd-Uudd-，Uudd-Ud--罗杰·福特2017年12月29日
设C_n（R，H）表示n阶非交换对称函数代数从带状基到分次分量齐次基的转移矩阵)总是等于a（n-1）-约翰·M·坎贝尔2018年3月30日
Łukasiewicz路径的U-等价类的数量。Łukasiewicz路径是U等价的，前提是模式U在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯吉佐夫2018年4月
对于n>0，所有长度为2n的二进制自对偶码都必须包含至少一个重量为n的（n）码字。更重要的是，总是会有至少一个长度为2n的二进制自对偶码，可能是唯一的，它正好包含一个重量等于码长（n）一半的（n个）码字的汉明重量。该代码可以通过将长度为2的唯一二进制自对偶码（直到置换等价）直接求和到自身n次来构造。通过将两个长度为n的单位矩阵相加，可以构造置换等价码-内森·罗素2018年11月25日
序列开始（1，2，3，6，…）是A097331号: (1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 5, 0, 14, 0, 42, ...). -加里·亚当森2020年2月22日
序列是具有2*cos（Pi/N），N=（3，5，7，9，…）收敛性的无限序列集的极限。
前几个这样的序列是：
N=3：（1，1，1
N=7:（1、1、2、3、6、10、19、33…）=A028495号，a（n）/a（n-1）趋于1.801937。。。
N=9（1、1、2、3、6、10、20、35…）=A061551号，a（n）/a（n1）趋于1.879385。。。
...
在这个极限中，我们得到了比率为2的电流序列。（结束）
a（n）也是从（0,0）到（地板（n/2），天花板（n/2。这是n为偶数时Grand Dyck路径的数量-纳丘姆·德肖维茨2020年8月12日
长度为n+1的置换在连续132-避免堆叠排序映射下可以具有的最大预图像数-科林·德芬特2020年8月28日
计数长度n的法罗置换。法罗置换是避开三个连续模式231、321和312的置换。它们是通过两个长度最多相差一个的非减词的完美法罗洗牌获得的-谢尔盖·柯吉佐夫2021年1月12日
根据“斯伯纳定理”，有限集合的最大可能族，其中没有一个包含该族中的任何其他集合-伦佐·贝内代蒂2021年5月26日
a（n-1）是n个台阶的不完整的原始Dyck路径，没有第一个返回：U和D台阶的路径从原点开始，以后从未接触到水平轴，在水平轴上方结束。n=1:{U}，n=2:{UU}。用于比较：A037952美元计数具有n个步骤的不完整Dyck路径，其中任意数量的中间返回到水平轴，结束于水平轴上方-R.J.马塔尔2021年9月24日
a（n）是[n]的非交叉分区数，其非平凡块为{a，b}类型，a<=n/2，b>n/2-弗朗西丝卡·艾卡迪，2022年5月29日
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参考文献
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链接
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阿隆·雷格夫（Alon Regev）、阿米泰·雷格芙（Amitai Regev，S_n的字符表中的标识，arXiv预印本arXiv：1507.03499[math.CO]，2015。
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P.K.Stockmeyer，魅力手镯问题及其应用《图与组合数学》（华盛顿，1973年6月）第339-349页，R.A.Bari和F.Harary编辑。勒克特。数学笔记。，第406卷。施普林格·弗拉格，1974年。
P.J.Stockmeyer，魅力手镯问题及其应用《图与组合数学》（华盛顿，1973年6月）第339-349页，R.A.Bari和F.Harary编辑。勒克特。数学笔记。，第406卷。施普林格·弗拉格，1974年。[扫描的带注释和更正的副本]
I.Tasoulas、K.Manes、A.Sapounakis和P.Tsikouras，二元路径格中的小间隔链，arXiv:1911.10883[math.CO]，2019年。
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公式
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a（n）=max{k=0..n}二项式（n，k）。
根据对称性，a（n）=二项式（n，上限（n/2））-拉博斯·埃利默2003年3月20日
P-递归递归：a（0）=1，a（1）=1；对于n>=2，（n+1）*a（n）=2*a（n-1）+4*（n-1-彼得·巴拉2011年2月28日
总面积：（1+x*c（x^2））/sqrt（1-4*x^2；其中c（x）=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号.
总面积：（-1+2*x+sqrt（1-4*x^2））/（2*x-4*x*2）-李·纽伯格2010年4月26日
G.f.：1/（1-x-x^2/（1-x^2/-（1-x*2/（1-……（连分数））-保罗·巴里，2009年8月12日
a（0）=1；a（2*m+2）=2*a（2*m+1）；a（2*m+1）=和{k=0..2*m}（-1）^k*a（k）*a（2*m-k）-伦·斯迈利2001年12月9日
总面积：（平方（（1+2*x）/（1-2*x））-1）/（2*x-弗拉德塔·乔沃维奇2003年4月28日
o.g.f.A（x）满足A（x，x）+x*A^2（x）=1/（1-2*x）-彼得·巴拉2011年2月28日
a（0）=1；a（2*m+2）=2*a（2*m+1）；a（2*m+1）=2*a（2*m）-c（m），其中c（m）=A000108号（m） 是加泰罗尼亚数字Christopher Hanusa（chanusa（AT）washington.edu），2003年11月25日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*2^（n-k）*二项式（n，k）*A000108号（k） ●●●●-保罗·巴里2005年1月27日
a（n）=Sum_{k=0..floor（n/2）}二项式（n，k）*binominal（1，n-2*k）-保罗·巴里2005年5月13日
a（n）=和{k=0..floor（（n+1）/2）}（二项式（n+1，k）*（cos（（n-2*k+1）*Pi/2）+sin（（n-2%k+1）*Pi/2）））。
a（n）=和{k=0..n+1}，（二项式（n+1，（n-k+1）/2）*（1-（-1）^（n-k））*（cos（k*Pi/2）+sin（k*Pi））/2）。（结束）
a（n）=和{k=楼层（n/2）..n}（二项式（n，n-k）-二项式-保罗·巴里2007年9月6日
a（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}（二项式（n，k）-二项式（n，k-1））。-Nishant Doshi（doshinikki2004（AT）gmail.com），2009年4月6日
求和{n>=0}a（n）/10^（n+1）=0.1123724…=（平方码（3）-平方码（2））/（2*sqrt（2）；和{n>=0}a（n）/100^（n+1）=0.01020306102035…=（平方（51）-平方（49））/（2*sqrt（49）-马克·多尔斯2010年7月15日
推测：a（n）=2^n*2F1（1/2，-n；2；2），对于坐标从不为负数的一维路径数很有用-本杰明·费拉鲍姆2011年2月20日
a（2*m+1）=（2*m+1）*a（2*m）/（m+1），例如a（7）=（7/4）*a-乔恩·佩里2011年1月20日
设F（x）是o.g.F.A（x）的对数导数。则1+x*F（x）是A027306号.
设G（x）是1+x*A（x）的对数导数。那么x*G（x）是A058622号.（结束）
设M=上对角线和次对角线各有1，主对角线为[1,0,0,0，…]的无限三对角矩阵；V=向量[1,0,0,0，…]。a（n）=M^n*V，最左边的项-加里·亚当森2011年6月13日
设M=上对角线和次对角线中各有1，主对角线为[1,0,0,0，…]的无限三对角矩阵。a（n）=M^n_{1,1}.-更正人加里·亚当森2012年1月30日
a（n+2*p-2）=和{k=0..层（n/2）}A009766号当p>=1时，（n-k+p-1，k+p-2）+二项式（n+2*p-2，p-2）-约翰内斯·梅耶尔2013年8月2日
O.g.f.：（1-x*c（x^2））/（1-2*x），加上加泰罗尼亚数字的O.g.f.c（x）A000108号参见上文Lee A.Newberg给出的改写公式。这是Riordan三角形的行和的o.g.fA053121号. -沃尔夫迪特·朗2013年9月22日
a（2*k）=和{i=0..k}二项式（k，i）*二项式-胡安·奥尔莫斯2017年12月21日
a（0）=1，a（n）=2*a（n-1）对于偶数n，a（n）=（2*n/（n+1））*a（n-1）对于奇数n-詹姆斯·伊斯特2019年9月25日
求和{n>=0}1/a（n）=2*Pi/（3*sqrt（3））+2。
Sum_｛n>=0｝（-1）^n/a（n）=2/3-2*Pi/（9*sqrt（3））。（结束）
对于k>2，求和{n>=0}a（n）/k^n=（sqrt（（k+2）/（k-2））-1）*k/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年5月13日
a（n）=和{k=0..n+1}（-1）^（k+二项式（n+2,2））*k/（n+1）*二项式。
（n+1）*（2*n-1）*a（n）=（-1）^（n+1。（结束）
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例子
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对于n=4，a（4）=6个长度为4的不同字符串是（（（，（（），（）（，（）-李·纽伯格2010年4月26日
有一个由5对括号组成的（5）=10对称平衡字符串：
[ 1] ((((()))))
[ 2] (((()())))
[ 3] ((()()()))
[ 4] ((())(()))
[ 5] (()()()())
[ 6] (()(())())
[ 7] (())()(())
[ 8] ()()()()()
[ 9] ()((()))()
[10] ()(()())() -乔格·阿恩特2011年7月25日
G.f.=1+x+2*x ^ 2+3*x ^3+6*x ^4+10*x ^5+20*x ^6+35*x ^7+70*x ^8+。。。
a（4）=6二进制4元组，使得偶数位置的1的数量与奇数位置的1s的数量相同，即0000、1100、1001、0110、0011、1111-胡安·奥尔莫斯2017年12月21日
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MAPLE公司
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数学
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表[二项式[n，下限[n/2]]，｛n，0，40｝](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月8日*）
表[DifferenceRoot[函数[｛a，n｝，｛-4 n a[n]-2 a[1+n]+（2+n）a[2+n]==0，a[1]==1，a[2]==1｝]][n]，｛n，30｝](*卢西亚诺·安科拉2015年7月8日*）
数组[二项式[#，Floor[#/2]]&，40，0](*哈维·P·戴尔2018年3月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=二项式（n，n\2）；
（PARI）第一（n）=x='x+O（'x^n）；Vec（（-1+2*x+平方（1-4*x^2））/（2*x-4*x*2））\\伊恩·福克斯，2017年12月20日（编辑：伊恩·福克斯2018年5月7日）
（哈斯克尔）
a001405 n=a007318_行n！！（n `div`2）--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日
（Magma）[二项式（n，楼层（n/2））：n in[0..40]]//文森佐·利班迪2014年11月16日
（GAP）列表（[0..40]，n->二项式（n，Int（n/2））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年4月8日
（Python）
从数学导入梳
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交叉参考
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参见。A000712号,A001006号,A001700号,A005773号,A005817号,A007578号,A007579号,A022916号,A022917号（排列模式mod k），A049401号,A051920号,A063886号,A130820号,A132815号,A153585号,A239241型,A265848型.
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关键字
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非n,容易的,美好的,核心,步行,改变
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作者
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状态
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经核准的
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A035928号
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| 对n进行编号，使BCR（n）=n，其中BCR=二进制补码和反向=取1的补码，然后反转位顺序。 |
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+10
34
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2, 10, 12, 38, 42, 52, 56, 142, 150, 170, 178, 204, 212, 232, 240, 542, 558, 598, 614, 666, 682, 722, 738, 796, 812, 852, 868, 920, 936, 976, 992, 2110, 2142, 2222, 2254, 2358, 2390, 2470, 2502, 2618, 2650, 2730, 2762, 2866, 2898, 2978, 3010, 3132, 3164, 3244
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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链接
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James Haoyu Bai、Joseph Meleshko、Samin Riasat和Jeffrey Shallit，回文数和反回文数的商，arXiv:22022.13694[math.NT]，2022。
Aayush Rajasekaran、Jeffrey Shallit和Tim Smith，回文和：一种基于嵌套字自动机的方法，预印arXiv:1706.10206[cs.FL]，2017年6月30日。
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公式
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如果偏移量为0，则a（2n+1）-a（2n）=2^地板（log_2（n）+1）。
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例子
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38是这样一个数字，因为38=100110；补码得到011001，然后倒序得到100110。
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MAPLE公司
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[seq（ReflectBinSeq（j，（floor_log_2（j）+1）），j=1..256）]；
反射二进制序列：=（x，n）->（（（2^n）*x）+二进制复数（x））；
binrevcomple:=程序（nn）局部n，z；n：=nn；z:=0；而（n<>0）做z:=2*z+（（n+1）mod 2）；n:=地板（n/2）；od；返回（z）；结束；
floor_log_2：=进程（n）局部nn，i:nn:=n；对于i从-1到n，如果（0=nn），则返回（i）；fi:nn:=楼层（nn/2）；od:结束；#计算与楼层基本相同（log[2]（n））
#备选Maple计划：
q： =n->（l->是（n=加（（1-l[-i]）*2^（i-1），i=1..nops（l）））（位[分割]（n））：
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数学
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bcrQ[n_]：=模块[{idn2=整数位数[n，2]}，反向[idn2/.{1->0，0->1}]==idn2]；选择[范围[3200]，bcrQ](*哈维·P·戴尔2012年5月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=11000，l=长度（二进制（n））；b=二进制（n）；如果（总和（i=1，l，abs（分量（b，i）-分量（b、l+1-i）））==l，打印1（n，“，”））
（PARI）对于（i=1999，如果（Set（vecextract（t=二进制（i），“-1..1”）+t）==[1]，print1（i“，”））\\M.F.哈斯勒2007年12月17日
（PARI）a（n）=我的（b=二进制（n））；（n+1）*2^#b-from digits（Vecrev（b），2）-1位\\雷米·西格里斯特2021年3月15日
（哈斯克尔）
a035928 n=a035928_列表！！（n-1）
a035928_list=筛选器（\x->a036044 x==x）[0，2..]
（Python）
定义comp（s）：z，o=单词（'0'），单词（'1'）；返回s.translate（{z:o，o:z}）
定义BCR（n）：返回int（comp（bin（n）[2:]）[：：-1]，2）
def aupto（limit）：如果BCR（m）==m，则返回[m代表范围内的m（limit+1）]
（Python）
从itertools导入计数，islice
定义A035928号_gen（startvalue=1）：#术语生成器>=startvalue
返回过滤器（lambda n:n==int（格式（~n&（1<<（m:=n.bit_length（）））-1，'0'+str（m）+'b'）[：：-1]，2），计数（最大值（startvalue，1））
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交叉参考
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关键字
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非n,美好的,容易的,基础
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作者
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迈克·基思（domnei（AT）aol.com）
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 7, 6, 5, 4, 8, 9, 10, 21, 20, 19, 14, 15, 18, 17, 16, 13, 12, 11, 22, 45, 46, 44, 42, 43, 31, 32, 30, 28, 29, 63, 62, 61, 60, 54, 55, 53, 51, 52, 26, 27, 25, 23, 24, 59, 58, 57, 56, 40, 41, 39, 37, 38, 50, 49, 48, 47, 36, 35, 34, 33, 64, 65, 67, 66, 68, 69, 170
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这种自同构在x轴上反映了斯坦利练习19的解释n（非交叉握手）。
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链接
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A.卡图恩，异形性（包括计算该序列的完整Scheme程序）
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黄体脂酮素
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（Scheme函数在列表结构上实现此自同构：）（define（xReflectHandshakes a）（DeepRev（RotateHandshages 180 a））
（define（DeepRev列表）（cond（（not（pair？lista））lista）（（null？（cdr列表））（cons
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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Antti Karttunen，2002年4月16日
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状态
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经核准的
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A061854美元
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| 非潜水二进制序列：以2为底的数字至少与0的数字有相同的1个数，并且从左（msb）到右（最低有效位）读取二进制扩展，0的数量永远不会超过1的数量。 |
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+10
10
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1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 116
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这些编码格步使用从原点（0,0）开始的步骤（+1，+1）（二进制展开中=1）和（+1，-1）（二进制扩展中=0），并且从不在“海平面”y=0下“潜水”。
定义从该集合到非负整数的映射，如下所示：将输出位字符串设置为空，表示零；从左到右处理输入字符串；当出现1时，将输出中最右边的0更改为1；如果输出中没有0，则在前面加一个1；当输入中出现0时，将输出中最右边的1更改为1。此序列的定义确保了当输入中出现0时，输出中始终有1。我们通过显示对子集A的限制来了解这张图。（结束）
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链接
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例子
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表中的列包括数字n、以2为底的n表示、对应于n的对称平衡括号字符串的左半部分、n的非传递属性的有效性以及相关的数字a（n）：
1 1（真a（1）
2 10（）真a（2）
3 11（（真a（3））
4 100（）错误-
5 101（）（真a（4））
6 110（（）真a（5）
7 111（（真a（6））
8 1000（））错误-
9 1001（））（错误-
10 1010（）（）真a（7）
...
20 10100（）（））错误-
21 10101（）（）（真a（13））
...
（结束）
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MAPLE公司
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#我们使用一个简单的回溯算法：map（op，[seq（NonDivingLatticeSequences（j），j=1..10）]）；
NDLS_GLOBAL:=[]；NonDivingLatticeSequences:=proc（n）全局NDLS_global；NDLS_GLOBAL:=[]；非DivingLatticeSequencesAux（0，0，n）；返回（NDLS_GLOBAL）；结束；
非DivingLatticeSequencesAux:=proc（x，h，i）全局NDLS_global；如果（0=i），则NDLS_GLOBAL:=[op（NDLS_GROBAL），x]；否则，如果（h>0），则非DivingLatticeSequencesAux（（2*x），h-1，i-1）；fi；非DivingLatticeSequencesAux（（2*x）+1，h+1，i-1）；fi；结束；
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数学
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a061854[n_]：=选择[范围[n]！MemberQ[FoldList[#1+如果[#2>0，1，-1]&，0，整数位数[n，2]，-1]]
选择[Range[120]，Min[Accumulate[Integer Digits[#，2]/。(0->-1)]]>=0&] (*哈维·P·戴尔2023年9月11日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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