搜索： a060294-编号：a060294
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1, 3, 435, 1855, 1678635, 8178093, 831557727, 4362807735, 26663516457435, 146862472576105, 13439367283090749, 76661183599555737, 54390019021528255975, 318658997759516188425, 27581665786275463543575, 165068987339858265879975, 7173478080571052213369487675
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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拉马努扬的级数之一是1-5*（1/2）^3+9*（1*3/（2*4））^3-13*（1x3*5/（2x4*6））^3+…=求和{k>=0}（-1）^k*（1+4*k）*（冒号（1/2，k）/k！）^3其中，risefac（x，k）=产品{j=0..k-1}（x+j），并且riseface（x，0）=1。关于s=1/2，见哈代参考文献第7页，等式（1.2）和第105页，等号（7.4.2）。极限是布冯常数2/PiA060294号.
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参考文献
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G.H.Hardy，Ramanujan，AMS切尔西出版社。，普罗维登斯，国际扶轮社，2002年，第7105页。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=分子（r（n）），有理数r（n”）=和{k=0..n}（-1）^k*（1+4*k）*（risefac（1/2，k）/k！）^3=Sum_{k=0..n}（1+4*k）*（二项式（-1/2，k））/（2*k）！！）^3.上升阶乘已在上述注释中定义。双阶乘如下所示A001147号和A000165号使用（-1）！！：=1
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例子
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理性r（n）开始于：1，3/8，435/512，1855/4096，1678635/2097152，8178093/16777216，831557727/1073741824，4362807735/8589934592。。。
极限r（n），n->oo，是2/Pi=0.6366197723A060294号.
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A000796号
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| Pi（或Pi的数字）的十进制展开式。
（原名M2218 N0880）
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+10
1002
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3、1、4、1、5、9、2、6、5、3、5、8、9、7、9、3、2、3、8、4、6、2、6、4、3、8、3、2、7、9、5、0、2、8、8、4、1、9、7、1、6、9、3、7、5、1、0、5、8、2、0、9、7、4、4、5、9、2、3、0、7、8、1、6、4、6、2、8，6，2，0，8，9，8，6，2，8，0，3，4，8，2，5，3，4，2，1，7，0，6，7，9，8，2，1，4
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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有时称为阿基米德常数。
圆的周长与直径的比值。
也是半径为1的圆的面积。
也是直径为1的球体的表面积。
记住前几个词的一个有用的记忆法：在涉及量子力学的沉重讲座之后，我想喝点什么，当然是酒精饮料。。。
此外，球体的表面积与外切立方体的一个面之比。球体的体积与外切立方体中六个内切金字塔之一的体积之比-奥马尔·波尔2012年8月9日
还有半径为1的球体的四分之一的表面积-奥马尔·波尔2013年10月3日
此外，峰形偶函数f（x）=1/cosh（x）下的面积。证明：对于积分的上半部分，写f（x）=（2*exp（-x））/（1+exp（-2x））=2*Sum_{k>=0}（-1）^k*exp。结果是Pi/4的格雷戈里级数的两倍-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年10月31日
好奇心：白川东彦最近建造了一个由七方组成的144X144魔法广场。魔和=3141592653589793238462643383279502884197169399375105，这是Pi的前52位的串联。有关详细信息，请参阅MultiMagic Squares链接Christian Boyer，2013年12月13日[评论由修订N.J.A.斯隆2014年8月27日]
x*Pi也是直径等于x平方根的球体的表面积-奥马尔·波尔2013年12月25日
也指表面积等于外切立方体体积的球体的直径-奥马尔·波尔2014年1月13日
关于以10为基数表示Pi的有趣轶事，其中3（整数部分）是第一位（索引1）：
358 0
359 3
360 6个
361 0
362 0
圆通常被细分为360度（尽管圆周率为圆周的一半）。。。
（结束）
有时被称为阿基米德常数，因为希腊数学家通过绘制圆内外的规则多边形来计算圆周率的上下界。在德国，它一直被称为卢多尔菲数，直到20世纪初，荷兰数学家卢多尔夫·范·塞伦（1540-1610）在16世纪末计算出了高达35位的圆周率-马丁·瑞诺2016年9月7日
截至2019年初，已知的Pi小数位数超过22万亿。请参阅维基百科上的文章“圆周率计算年表”-哈维·P·戴尔2019年1月23日
2019年3月14日，Emma Haruka Iwao宣布使用谷歌云的基础设施计算31.4万亿位Pi-大卫·拉德克利夫2019年4月10日
半径为1的球体的四分之三的体积-奥马尔·波尔2019年8月16日
2021年8月5日，瑞士格里森应用科学大学的研究人员宣布，他们已经计算出62.8万亿位数。吉尼斯世界纪录尚未证实这一点-阿尔特阿隆索2021年8月23日
Hermite-Lindemann（1882）定理指出，如果z是非零代数数，那么e^z是超越数。Pi的超越性来自于欧拉的关系：e^（i*Pi）=-1-彼得·卢什尼2023年7月21日
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参考文献
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Mohammad K.Azarian，Ghiyath ud-din Jamshid Kashani的数学著作摘要，《休闲数学杂志》，第29卷（1），第32-421998页。
J.Arndt&C.Haenel，《Pi Unleashed》，纽约施普林格出版社，2001年。
P.Beckmann，《皮的历史》，哥伦布，科罗拉多州博尔德，1977年。
J.-P.Delahaye，Le fasciant nombre pi，Pour la Science，巴黎，1997年。
P.Eyard和J.-P.Lafon，数字Pi，Amer。数学。Soc.，2004年。
S.R.Finch，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，第94卷，剑桥大学出版社，第1.4节。
Le Petit Archimede，《Pi特刊》，第64-5号增补，1980年5月ADCS Amiens。
Clifford A.Pickover，《数学的激情》，威利出版社，2005年；见第31页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Frits Beukers公司，圆周率的理性探讨2000年12月，Nieuw Archief voor de Wiskunde，第372-379页。
J.M.Borwein和M.Macklem，Pi的（数字）生活《澳大利亚数学学会公报》，第33卷，第5期，2006年9月，第243-248页。
彼得·博文，惊人的数字Pi2000年9月，Nieuw Archief voor de Wiskunde，第254-258页。
D.卡斯特拉诺斯，无处不在的圆周率，数学。Mag.，61（1988），67-98和148-163。
L.Euler，关于倒数级数的和，arXiv:math/056415[math.HO]，2005-2008年。
Kanada Yasumasa和Takahashi Daisuke，2060亿位圆周率[存档页面]
M.Z.Rafat和D.Dobie，把皮扔到墙上，arXiv:1901.06260【物理学.ph级】，2020年。
A.沙发，Pi和一些其他常数，《纯粹与应用数学中的不平等》，第6卷第5期，第138条，2005年。
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配方奶粉
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Pi=4*Sum_{k>=0}（-1）^k/（2k+1）[Madhava-Gregory-Leibniz，1450-1671]-N.J.A.斯隆2013年2月27日
2/Pi=（平方（2）/2）*（平方（2+sqrt（2））/2）x（平方（2+平方（2+2））/2）*。。。[维也纳，1593]
2/Pi=Product_{k>=1}（4*k^2-1）/（4*k^2）。【沃利斯，1655年】
Pi=3*sqrt（3）/4+24*（1/12-Sum_{n>=2}（2*n-2）/（n-1）^（2*n-3）*（2*n+1）*2^（4*n-2）））。[牛顿，1666年]
Pi/4=4*弧度（1/5）-弧度（1/239）。[Machin，1706]
Pi^2/6=3*Sum_{n>=1}1/（n^2*二项式（2*n，n））。[欧拉，1748年]
1/Pi=（2*sqrt（2）/9801）*Sum_{n>=0}（4*n）*（1103+26390*n）/（（n！）^4*396^（4*n））。[拉马努扬，1914]
1/Pi=12*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n）*（13591409+545140134*n）/（（3*n）*（n！）^3*（640320^3）^（n+1/2））。【大卫和格雷戈里·丘德诺夫斯基，1989年】
Pi=Sum_{n>=0}（1/16^n）*（4/（8*n+1）-2/（8*n+4）-1/（8*n+5）-1-（8*n+6））。【Bailey-Borwein-Plouffe，1989年】（结束）
Pi=4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1）-1/（4*k+3）-亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日
Pi=4*sqrt（-1*（和{n>=0}（i^（2*n+1））/（2*n+1））^2）-亚历山大·波沃洛茨基，2009年1月25日
Pi-2=1/1+1/3-1/6-1/10+1/15+1/21-1/28-1/36+1/45+。。。[Jonas Castillo Toloza，2007年]，即Pi-2=Sum_{n>=1}（1/（（-1）^floor（（n-1）/2）*（n^2+n）/2））-何塞·德·杰苏斯·卡马乔·麦地那2014年1月20日
Pi=3*Product_{t=img（r），r=（1/2+i*t）zeta函数}的根}（9+4*t^2）/（1+4*t*2）<=>RH为真-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2016年5月5日
Pi=Sum_{k>=1}（3^k-1）*zeta（k+1）/4^k。
Pi=2*Product_{k>=2}秒（Pi/2^k）。
Pi=2*Integral_{x>=0}sin（x）/xdx。（结束）
当k>=2时，Pi=2^{k+1}*arctan（sqrt（2-a_{k-1}）/a_k），其中a_k=sqrt-桑贾·阿布拉罗夫2017年2月7日
Pi=lim_{n->无穷大}2/n*Sum_{m=1，n}（sqrt（（n+1）^2-m^2）-sqrt（n^2-m^2））-迪米特里·帕帕佐普洛斯2019年5月31日
Pi=Sum_{n>=0}2^（n+1）/（二项式（2*n，n）*（2*n+1））-欧拉。
一般来说，Pi=（4^x）*x/（2*x）！*求和{n>=0}2^（n+1）*（n+x）*（n+2*x）/（2*n+2*x+1）！=2*4^x*x^2/（2*x+1）！*超几何（[2*x+1,1]，[x+3/2]，1/2），对不在{-1，-3/2，-2，-5/2，…}中的复数x有效。给，x！是函数Gamma（x+1）的简写符号。这个恒等式可以用高斯第二求和定理来证明。
Pi=Im（log（-i^i））=log（i^i）*（-2）-彼得·卢什尼2019年10月29日
等于2+Integral_{x=0..1}arccos（x）^2 dx。
等于Integral_{x=0..oo}log（1+1/x^2）dx。
等于Integral_{x=0..oo}log（1+x^2）/x^2 dx。
等于Integral_{x=-oo..oo}exp（x/2）/（exp（x）+1）dx。（结束）
等于4*（1/2）^2=4*伽马（3/2）^2-加里·亚当森2021年8月23日
Pi=32*Sum_{n>=1}（-1）^n*n^2/（（4*n^2-1）*。
更一般地说，对于k=1,2,3，。。。，Pi=16*（2*k）*和{n>=1}（-1）^（n+k+1）*n^2/（（4*n^2-1）**（4*n^2-（2*k+1）^2））。
Pi=32*Sum_｛n>=1｝（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^2=768*Sum_｛n>=1｝（-1）^（n+1）*n^2/（（4*n^2-1）^2*（4*n^2-9）^2）。
更一般地说，对于k=0,1,2，。。。，Pi=16*加泰罗尼亚语（k）*（2*k）*（2*k+2）*和{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^2**（4*n^2-（2*k+1）^2）^2。
Pi=（2^8）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^4=n ^2*（n ^2-1）*（n*2-4）/（（4*n ^2-1）^4*（4*n^2-9）^4*（4*n^2-25）^4）。（结束）
Pi=4/φ+Sum_{n>=0}（1/φ^（12*n））*-奇塔兰詹·帕德西2022年5月16日
等于Integral_{x=0..1}1/sqrt（x-x^2）dx-米查尔·保罗维奇2023年9月24日
发件人彼得·巴拉，2023年10月28日：（开始）
Pi=48*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5））。
更一般地说，对于k>=0，我们有Pi=A（k）+B（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+6*k+5）），其中A（k）是Pi的有理逼近，B（k）=（3*2^（3*k+3）*（3*k+2）！）/（2^（3*k+1）-（-1）^k）。对于k>=0，A（k）的前几个值为[0，256/85，65536/20955，821559296/261636375，6308233216/2008080987，9082094864/2890938208075，…]。
Pi=16/5-（288/5）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+9））。
更一般地说，对于k>=0，我们有Pi=C（k）+D（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+6*k+3）），其中C（k）和D（k）是有理数。k=0的情况是Pi的Madhava-Gregory-Leibniz级数。
Pi=168/53+（288/53）*和{n>=0}（-1）^n*（42*n^2+25*n）/（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5）*。
更一般地说，对于k>=1，我们有Pi=E（k）+F（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*（6*k+1）*n^2+（24*k+1*（6*n+6*k+1）），其中E（k）和F（k）是有理数。（结束）
发件人彼得·巴拉，2023年11月10日：（开始）
上面给出的级数表示Pi=4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1）-1/（4*k+3）由亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日，是更一般的结果（通过WZ方法获得）的n=0的情况：对于n>=0，存在
Pi=Sum_{j=0..n-1}2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））+8*（n+1）*和{k>=0}1/（（4*k+1）*（4*k+3）**（4*k+2*n+3））。
让n->oo得到由于Euler而快速收敛的级数Pi=Sum_{j>=0}2^（j+1）/（2*j+1）*二项式（2*j，j）。
更一般地说，对于n>=1，Pi=1/（2*n-1）^2*Sum_{j>=0}（乘积_{i=0..2*n-1}j-i）*2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））。
对于任何整数n，Pi=（-1）^n*4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1+2*n）-1/（4*k+3-2*n）。（结束）
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例子
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3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062\
862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081\
284811174502841027019385211055596446229489549303819...
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MAPLE公司
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数字：=110:Pi*10^104:
ListTools：-反转（转换（底数（%），基数，10））#彼得·卢什尼2019年10月29日
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数学
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真数字[N[Pi，105]][[1]
表[ResourceFunction[“NthDigit”][Pi，n]，{n，1102}](*琼·卢德维德2022年6月22日；用这个函数很容易计算a（10000000）=7；需要Mathematica 12.0+*）
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黄体脂酮素
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（Macsyma）py（x）：=如果等于（6，6+x^2），则2*x其他（py（x:x/3），3*%%-4*（%%-x）^3）；py（3.）；py（dfloat（%））；块（[bfprecision:35]，py（bfloat（%））/*高斯珀2002年9月9日*/
（PARI）{default（realprecision，20080）；x=Pi；for（n=120000，d=floor（x）；x=（x-d）*10；write（“b000796.txt”，n，“”，d）；}\\哈里·史密斯2009年4月15日
（PARI）A796=[]；A000796号（n） ={if（n>#A796，localprec（n*6\5+29）；A796=数字（Pi\.1^（精度（Pi）-3））；A696[n]}\\注意：与其他程序一样，这将返回序列的第n项，其中n=1、2、3。。。而不是n=1，0，-1，-2-M.F.哈斯勒2022年6月21日
（PARI）first（n）=默认值（实际精度，n+10）；数字（楼层（Pi*10^（n-1））\\大卫·A·科内斯2022年6月21日
（哈斯克尔）——见链接：识字程序
导入数据。字符（数字到Int）
a000796 n=a000796_列表（n+1）！！（n+1）
a000796_list len=map digitToInt$show$machin'`div`（10^10）其中
机械’=4*（4*arccot 5单位-arccot 239单位）
单位=10^（len+10）
arccot x unity=arccot'x unity 0（unity`div`x）1 1其中
arccot’x单位和xpow n符号
|项==0=总和
|否则=arccot’
x单位（总和+符号*项）（xpow`div`x^2）（n+2）（-符号）
其中term=xpow`div`n
（Haskell）-参见Niemeijer链接和Gibbons链接。
a000796 n=a000796_列表！！（n-1）：：整数
a000796_list=从整数$piStream映射（1，0，1）
[（n，a*d，d）|（n，d，a）<-map（\k->（k，2*k+1，2））[1..]]其中
piStream z xs'@（x:xs）
|lb/=约z 4=piStream（mult z x）xs
|否则=lb:piStream（mult（10，-10*lb，1）z）xs'
其中lb=约z 3
近似（a，b，c）n=div（a*n+b）c
多重（a，b，c）（d，e，f）=（a*d，a*e+b*f，c*f）
（岩浆）pi:=pi（RealField（110））；反向（Intseq（底线（10^105*pi））//布鲁诺·贝塞利2013年3月12日
（Python）从sympy导入pi，N；打印（N（pi，1000））#大卫·拉德克利夫2019年4月10日
（Python）
从mpmath导入mp
如果n>=长度(A000796号.str）：mp.dps=n*6//50+50；A000796号.str=str（mp.pi-5/mp.mpf（10）**mp.dps）
（SageMath）
m=125
x=数字_近似值（pi，数字=m+5）
a=[ZZ（i）代表x.str中的i（skip_zeroes=True），如果i.isdigit（）]
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经核准的
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0, 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400, 484, 576, 676, 784, 900, 1024, 1156, 1296, 1444, 1600, 1764, 1936, 2116, 2304, 2500, 2704, 2916, 3136, 3364, 3600, 3844, 4096, 4356, 4624, 4900, 5184, 5476, 5776, 6084, 6400, 6724, 7056, 7396, 7744, 8100, 8464
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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正方形的4倍。
假设（我认为）n阶正则Hadamard矩阵存在，前提是n是偶数平方（参见Seberry和Yamada，Th.10.11）。如果每行中的条目之和相同，则哈达玛矩阵是正则的-N.J.A.斯隆2008年11月13日
顺序是从0开始，沿0、16……方向读取直线。。。和从4开始的直线，在方向4，36。。。在顶点为正方形的正方形螺旋中A000290型. -奥马尔·波尔2008年5月24日
从（1）开始的项可以解释为（2，2），（8，8），（18，18），（32，32）等的对和，它们是由元素周期表中的次壳层轨道的重新排列引起的。例如，8成为（2s，2p）或（3s，3p）轨道中的最大电子数，18成为（4s，3d，4p）或-朱利奥·安东尼奥·古铁雷斯·萨马内斯2008年7月20日
序列的前两项（n=1，2）仅使用n种原子轨道给出了化学元素的数量，即有a（1）=4个元素（H，He，Li，Be），其中电子仅位于s轨道上，有a（2）=16个元素（B，C，n，O，F，Ne，Na，Mg，Al，Si，P，s，Cl，Ar，K，Ca），而电子仅位于s-和P-轨道上。然而，在这之后，有37个元素（比a（3）=36多一个）（从Sc、Scandium原子序数21到La、La，原子序数57），其中电子只存在于s-、p-和d-轨道上。这是因为镧（具有电子组态[Xe]5d^16s^2）是Aufbau原理的例外，Aufbao原理预测其电子组态为[Xe]4f^16s~2-安蒂·卡图恩2008年8月14日。
与（n+1）X（n+1”）棋盘相关的国王图中长度为3的圈数Anton Voropaev（Anton.n.Voropaev（AT）gmail.com），2009年2月1日
该序列成员的倒数之和无穷大收敛于（1/4）*Pi^2/6=Pi^2/24-蚂蚁王2009年11月4日
a（n）是两个连续奇数2*n^2-1和2*n*2+1的和，以及两个正方形（n^2+1）^2-（n^2-1）^2的差-皮埃尔·卡米2012年1月2日
对于n>3，a（n）是由点（（n-4）*（n-3）/2，（n-3）*（n-2）/2），（（n-2）*（n-1）/2，（n-1）*n/2），（（n+1）*（n+2）/2，n*（n+1）/2）和（（（n+3）*（n+4）/2，（n+2）*（n+3）/2）创建的不规则四边形的面积-J.M.贝戈2014年5月27日
小于10^k的术语数量：1、2、5、16、50、159、500、1582、5000、15812、50000、158114、500000-穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月28日
二项式系数恒等式和{k=0..2*n}（-1）^（k+1）*二项式（2*n，k）*二项式（2xn+k，k）x（2*n-k）=a（n）的右端-彼得·巴拉2022年1月12日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
Seberry，Jennifer和Yamada，Mieko；《哈达玛矩阵、序列和块设计》（Hadamard matrix，sequences and block designs），迪尼茨（Dinitz）和斯廷森（Stinson）主编，《当代设计理论》（Contemporary design theory），第431-560页，威利国际出版社（Wiley-Intersci）。序列号。离散数学。最佳。，威利，纽约，1992年。
W.D.Wallis、Anne Penfold Street和Jennifer Seberry Wallis，《组合数学：房间正方形、无和集、Hadamard矩阵、数学课堂笔记》，第292卷，Springer-Verlag，纽约柏林，1972年。iv+508页。
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链接
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配方奶粉
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外径：4*x*（1+x）/（1-x）^3-R.J.马塔尔2008年7月28日
a（n）=a（n-1）+8*n-4（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月19日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=4，a（2）=16-菲利普·德尔汉姆2013年3月26日
Pi＝2*乘积_｛n＞＝1｝（1+1/（a（n）-1））-阿德里亚诺·卡罗利2013年8月4日
Pi=Sum_{n>=0}8/（a（2n+1）-1）-阿德里亚诺·卡罗利2013年8月6日
例如：exp（x）*（4x^2+4x）-杰弗里·克雷策2013年10月7日
乘积_{n>=1}（1+1/a（n））=sinh（Pi/2）/（Pi/2）(A308716型).
乘积{n>=1}（1-1/a（n））=sin（Pi/2）/（Pi/2）=2/Pi(A060294号). （结束）
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（2*n）^2：n英寸[0..50]]//文森佐·利班迪2011年4月26日
（Maxima）标记列表（（2*n）^2，n，0，20）/*马丁·埃特尔2013年1月22日*/
（哈斯克尔）
a016742=（*4）。(^ 2)
a016742_list=0：映射（减去4）（zipWith（+）a016752_list[8，16..]）
（GAP）列表（[0..100]，n->（2*n）^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A001105号,A001539号,A016754号,A016802型,A016814号,A016826号,A016838号,A007742号,A033991号,A245058型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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来自Sabir Abdus-Samee（sabdulsamee（AT）prepaidlegal.com）的更多条款，2006年3月13日
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经核准的
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1, 5, 7, 0, 7, 9, 6, 3, 2, 6, 7, 9, 4, 8, 9, 6, 6, 1, 9, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 6, 9, 1, 6, 3, 9, 7, 5, 1, 4, 4, 2, 0, 9, 8, 5, 8, 4, 6, 9, 9, 6, 8, 7, 5, 5, 2, 9, 1, 0, 4, 8, 7, 4, 7, 2, 2, 9, 6, 1, 5, 3, 9, 0, 8, 2, 0, 3, 1, 4, 3, 1, 0, 4, 4, 9, 9, 3, 1, 4, 0, 1, 7, 4, 1, 2, 6, 7, 1, 0, 5, 8, 5, 3
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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偏移量为2，小数扩展为5*Pi-奥马尔·波尔2013年10月3日
5*Pi也是直径等于5的平方根的球体的表面积。更一般地，x*Pi也是直径等于x平方根的球体的表面积-奥马尔·波尔，2013年12月22日
Pi/2也是一个球体的半径，其表面积等于外切立方体的体积-奥马尔·波尔2013年12月27日
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链接
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L.D.Servi公司，嵌套平方根2，《美国数学月刊》110:4（2003年4月），第326-330页。
埃里克·W·魏斯坦（Eric W.Weisstein）和乔纳森·桑多（Jonathan Sondow），沃利斯公式《数学世界》。
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配方奶粉
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Pi/2=log（i）/i，其中i=sqrt（-1）-埃里克·德斯比亚2009年6月27日
Pi/2=产品{n>=1}（n/（n+1））^（（-1）^n））=2*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7*8/9*10/9*。。。（沃利斯公式）威廉·基思和阿尔特阿隆索，2012年6月24日
等于和{k>1}2^k/二项式（2*k，k）-布鲁诺·贝塞利2015年9月11日
前面的结果是更一般恒等式的特殊情况n=1：Pi/2=4^（n-1）*n/（2*n）！*求和{k>=2}2^（k+1）*（k+n-1）*（k+2*n-2）/（2*k+2*n-2）！适用于n=0,1,2-彼得·巴拉2016年10月26日
Pi/2=lim_｛n->oo｝F（2^（n+3））/2，正则2^（n+3）多边形的一半面积，对于n>=0，内接在单位圆中，写成2的迭代平方根F（2^（n+3））/2=2^n*sqrt（2+sq2（n）），其中sq2（n）=sqrt（2+sq2（n-1）），n>=1，输入sq2（0）=0（2在sq2（n）中出现n次）。维耶特的无穷乘积公式与部分乘积F（2^（n+2））/2=product_{j=1..n}（2/sq2（j）），n>=1一起工作，这与上述公式相对应-沃尔夫迪特·朗2018年7月6日
Pi/2=Integral_{x=0..oo}sin（x）^2/x^2 dx=1/2+和{n>=1}sin（n）^2/n^2，根据Abel-Plana公式-彼得·巴拉2019年11月5日
等于和{k>=0}k/（2*k+1）！！。
等于和{k>=0}（-1）^k/（k+1/2）。
等于积分_｛x=0..oo｝1/（x^2+1）dx。
等于Integral_{x=0..oo}sin（x）/xdx。
等于Integral_{x=0..oo}exp（x/2）/（exp（x）+1）dx。
等于乘积{p素数>2}p/（p+（-1）^（（p-1）/2））。（结束）
Pi/2=积分{x=0..oo}1/（1-x^2+x^4）dx=（1+2/3+1/5）-（1/7+2/9+1/11）+（1/13+2/15+1/17）--彼得·巴拉2022年7月22日
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例子
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Pi/2=1.570796326794896619231321691639751442098584699。。。
5*Pi=15.70796326794896619231321691639751442098584699。。。
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=Pi/2；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b019669.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年5月31日
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交叉参考
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1, 2, 7, 3, 2, 3, 9, 5, 4, 4, 7, 3, 5, 1, 6, 2, 6, 8, 6, 1, 5, 1, 0, 7, 0, 1, 0, 6, 9, 8, 0, 1, 1, 4, 8, 9, 6, 2, 7, 5, 6, 7, 7, 1, 6, 5, 9, 2, 3, 6, 5, 1, 5, 8, 9, 9, 8, 1, 3, 3, 8, 7, 5, 2, 4, 7, 1, 1, 7, 4, 3, 8, 1, 0, 7, 3, 8, 1, 2, 2, 8, 0, 7, 2, 0, 9, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 3, 0, 0, 2, 4, 6, 8, 7, 6, 4, 8, 5, 8
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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单位圆周长上随机选择的两个点形成的平均弦长（参见Weisstein/MathWorld链接）-里克·L·谢泼德，2006年6月19日
假设u（0）=1+i，其中i^2=-1，u（n+1）=（1/2）*（u（n）+|u（n）|）。猜想：极限（实（u（n）），n=+无穷大）=4/Pi-亚尔钦·阿克塔尔2007年7月18日
摆线一个周期的弧长与在直线上滚动的相应圆的周长之比。因此，对于半径为r的圆的任何整数转数n，圆上的一个点移动4/Pi*2Pi*r*n=8rn（而圆的中心仅移动2Pi*rn）。该比率随部分转数而变化，并取决于距离直线最近的点的初始位置，这些点的移动速度最慢（参见Dudeney，他解释了自行车车轮顶部如何比距离地面最近的部分移动得更快）-里克·L·谢泼德2014年5月5日
这也是Hardy（参见A278145型): 1 + (1/2)*(1/2)^2 + (1/3)*(1*3/(2*4))^2 + (1/4)*((1*3*5) / (2*4*6))^2 + ... = 求和{k>=0}（1/（k+1））*（（2*k-1）/（2*k）！！）^2-沃尔夫迪特·朗2016年11月14日
矩形的面积与其内接椭圆之一的最小比值，如果矩形是正方形，则只有内接椭圆是圆，则只有现有比值。这个椭圆的半轴平行于矩形的边。如果矩形有长度为2a和2b的边，则其面积为4*a*b，而内接的椭圆有a和b作为半轴，因此其面积为a*b*Pi。因此，比率为（4*a*b）/（a*b*Pi）=4/Pi-乔瓦尼·泽达2019年6月20日
符号（sin（x））=（4/Pi）*Sum{n>=0}sin（（2*n+1）*x）/（2*n+1），对于R中的所有x；
符号（cos（x））=（4/Pi）*Sum_{n>=0}（-1）^n*cos（（2*n+1）*x）/（2*n+1），表示R中的所有x（结束）
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参考文献
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H.E.Dudeney，《536个谜题和好奇问题》，查尔斯·斯克里布纳之子，纽约，1967年，第99、300-301页，#294。
S.R.Finch，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，第94卷，剑桥大学出版社，第86页
G.H.Hardy，Ramanujan，AMS切尔西出版社。，普罗维登斯，RI，2002年，第105页，等式（7.5.1），n=1。
L.B.W.Jolley，《系列总结》，多佛（1961）。
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链接
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J.M.Borwein、A.Straub、J.Wan和W.Zudilin，短均匀随机游动的密度，arXiv:1103.2995[math.CA]，2011年。
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配方奶粉
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4/Pi=Product_（1-（-1）^（（p-1）/2）/p），其中p贯穿奇数素数。
Arcsin x=（4/Pi）和{n=1,3,5,7，…}T_n（x）/n^2（Arcsin的Chebyshev级数；数学应用程序C.CA/0403344）-R.J.马塔尔2006年6月26日
等于1+Sum_{n>=1}（（2n-3）/（2n）！！）^2.[乔利方程274]-R.J.马塔尔2011年11月3日
等于1+Sum_｛n>=0｝（加泰罗尼亚语（n）/2^（2*n+1））^2，加上加泰罗尼亚语（n）=A000108号（n） ●●●●。这是改写过的乔利（274）系列。请参阅上面带有（-1）！！：=的R.J.Mathar条目1. -拉尔夫·斯坦纳，2018年9月18日
4/Pi=1+（1/4）*超几何（[1，1/2，1/2]，[2，2]，1）=超几何（[-1/2，-1/2]，[1]，1）。根据加泰罗尼亚语的通用格式^2A001246号. -沃尔夫迪特·朗2018年9月18日
等于Product_{k>=1}（1+1/（4*k*（k+1）））-阿米拉姆·埃尔达尔2020年8月5日
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例子
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4/Pi=1.2732395….=1/0.78539816。。。
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黄体脂酮素
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1、5、9、1、5、4、9、4、3、0、9、1、8、9、5、3、3、5、7、6、8、8、3、7、6、3、3、7、2、5、1、4、3、6、2、0、3、4、4、5、9、6、4、4、5、7、4、4、5、6、4、8、7、7、6、7、3、4、0、5、8、9、6、7、6、3、4，2，2，6，5，3，5，0，9，0，1，1，3，8，0，2，7，6，6，2，5，3，0，8，5，9，5，6
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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如果圆弧长度为8*半径（生成圆）的摆线的单个驼峰位于宽度为2*半径、长度为2*Pi*半径的矩形内，则半径必须为1/（2*Pi）（此序列）才能有（2/Pi），A060294号，作为摆线的半圆（弧=4/Pi=A088538号)和矩形。。。长度=1，宽度=1/Pi。我假设在三维几何中，从1/Pi高度的点a沿着摆线在周围的所有方向上滑动，得到Pi*点B-埃里克·德斯比亚，2008年12月21日
斜边小于N的原始勾股三角形的数量约为N/（2*Pi），由Lehmer发现，参见Knott链接-弗兰克·埃勒曼2020年3月27日
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链接
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例子
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0.15915494309189533576888376337251...
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黄体脂酮素
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9, 5, 4, 9, 2, 9, 6, 5, 8, 5, 5, 1, 3, 7, 2, 0, 1, 4, 6, 1, 3, 3, 0, 2, 5, 8, 0, 2, 3, 5, 0, 8, 6, 1, 7, 2, 2, 0, 6, 7, 5, 7, 8, 7, 4, 4, 4, 2, 7, 3, 8, 6, 9, 2, 4, 8, 6, 0, 0, 4, 0, 6, 4, 3, 5, 3, 3, 8, 0, 7, 8, 5, 8, 0, 5, 3, 5, 9, 2, 1, 0, 5, 4, 0, 6, 8, 2, 8, 1, 6, 5, 9, 7, 5, 1, 8, 5, 1, 5, 7, 3, 6, 4, 3, 7
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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鉴于2/Pi(A060294号)是指针落在多条平行线中的一条上的概率，这是指指针落在组成网格的多条线上的一条的概率。
如果三角形边长l（几乎）等于每对直线之间的距离d，则等边三角形的边界与其中一条平行线相交的概率。这直接源于Weisstein/MathWorld Buffon的“针问题”链接的语句P=P/（Pi*d），其中P是与任何凸多边形边界相交的概率，前提是该多边形的广义直径小于d，P是多边形的周长。（取d=l，然后取p=3d。）-里克·L·谢泼德2006年1月11日
相关的网格问题在Weisstein/MathWorld Buffon-Laplace针问题链接中讨论-里克·L·谢泼德2006年1月11日
对于任何非钝角三角形ABC（参见Mitrinović和Oppenheim链接）：
（a/a+b/b+c/c）/（a+b+c）>=3/Pi，
（a^2/a+b^2/b+c^2/c）/（a^2+b^2+c^2）<=3/Pi，
其中（A、B、C）是角度（以弧度测量），（A、B、C）是三角形的边长。
等式表示三角形ABC是等边的。（结束）
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参考文献
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乔·波特尼（Joe Portney），《波特尼的思考》（Portney’s Ponderables），利顿系统公司（Litton Systems，Inc.），附录2，劳伦斯·R·威尔（Lawrence R.Weill）的《布冯针》，200年，第135-138页。
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链接
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D.S.Mitrinović、J.E.Peć和V.Volenec，几何不等式的最新进展Kluwer学术出版社，1989年，《不平等4.11》，第170页。
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配方奶粉
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等于乘积｛k>=1｝cos（Pi/（6*2^k））。
等于乘积{k>=1}（1-1/（6*k）^2）。（结束）
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例子
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3/Pi=0.95492665855137201461330258023508617220675787444273869248600。。。
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数学
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真数字[N[3/Pi，111]][[1]
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A137245号
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| 和{p素数}1/（p*log p）的十进制展开式。 |
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+10
22
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1, 6, 3, 6, 6, 1, 6, 3, 2, 3, 3, 5, 1, 2, 6, 0, 8, 6, 8, 5, 6, 9, 6, 5, 8, 0, 0, 3, 9, 2, 1, 8, 6, 3, 6, 7, 1, 1, 8, 1, 5, 9, 7, 0, 7, 6, 1, 3, 1, 2, 9, 3, 0, 5, 8, 6, 0, 0, 3, 0, 4, 9, 1, 9, 7, 8, 1, 3, 3, 9, 9, 7, 4, 4, 6, 7, 9, 4, 6, 9, 8, 6, 5, 4, 7, 0, 0, 4, 0, 3, 8, 5, 2, 5, 5, 8, 4, 7, 9, 8, 9, 8, 9, 4, 4
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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和{p素数}1/（p^s*log p）在这里等于这个值，如果s=1，等于A221711号如果s=2，0.22120334039…如果s=3。参见arXiv:0811.4739。
Erdõs（1935）证明，对于任何一个没有项除以另一个项的序列，1/（x-logx）的和至多是某个常数C。他推测（1989）C可以取为这个常数1.636…，也就是说，素数使这个和最大化-查尔斯·R·Greathouse IV2012年3月26日[利希特曼2022年证实了这一推测-蓬图斯·冯·布罗姆森，2022年6月23日]
注意，总和1/（p*log p）几乎是（略小于）1+2/Pi=1+A060294号=1.63661977236758……（为什么这么近？）-丹尼尔·福格斯2012年3月26日
Sum 1/（p*log p）非常接近Sum 1/n^2=Pi^2/6=1.644934066…（参见David C.Ullrich，“Re:什么是Sum（1/p log p）？”；提到A115563号.) -丹尼尔·福格斯2012年8月13日
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参考文献
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亨利·科恩（Henri Cohen），《数论》，第二卷：分析和现代工具，GTM第240卷，施普林格出版社，2007年；见第208-209页。
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链接
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P.Erdős，组合数论的一些问题和结果《图论及其应用：东西方》（济南，1986），纽约科学院学报。科学。，576，第132-145页，纽约学院。科学。，纽约，1989年。
Brady Haran和Jared Duker Lichtman，素数和素数集，数字爱好者视频（2022）。
Jared Duker Lichtman，Erdős本原集猜想的证明，arXiv:22022.02384[math.NT]，2022。
Jared Duker Lichtman，Erdős本原集猜想的证明，YouTube视频，来自组合和加法数论会议（CANT），2022年。
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配方奶粉
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例子
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1.63661632335...
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数学
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数字=105；
精度=数字+10；
tmax=500；（*被积函数在tmax之外可忽略不计*）
kmax=500；（*f（k）在kmax之外可忽略不计*）
InLogZeta[k_]：=NIntegrate[Log[Zeta[t]]，{t，k，tmax}，工作精度->精度，最大递归->20]；
f[k_]：=与[{mu=MoebiusMu[k]}，如果[mu==0，0，（mu/k^2）*InLogZeta[k]]]；
s=0；
Do[s=s+f[k]；打印[k，“”，s]，{k，1，kmax}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）见Belabas，Cohen链接。设置所需精度后，以SumEulerlog（1）运行。
（PARI）默认值（realprecision，200）；s=0；对于（k=1500，s=s+moebius（k）/k^2*整数（x=k，[1]，1]，log（zeta（x）））；打印件）\\瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月12日
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交叉参考
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作者
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经核准的
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A070750型
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| 如果第n素数是偶数，则为0；如果第n质数==1（mod 4），则为1；如果第n-素数==3（mod4），那么为-1。 |
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+10
19
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0, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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此外，sin（素数（n）*Pi/2），其中素数（n）=A000040型（n） ，Pi=3.1415…（原始定义）。
n>1的勒让德符号（-1/质数（n））-T.D.诺伊2003年11月5日
对于n>1，设p=素数（n）和m=（p-1）/2。那么c（m）-a（n）==0（mod p），其中c（m，=（2*m）/（m！）^2=A000984美元（m） 是中心二项式系数。[证明：根据定义，c（m）*（m！）^2-（p-1）！=0，因此c（m。现在应用威尔逊定理，（p-1）！==1（mod p）及其推论（m！）^2==（-1）^（m+1）（mod p），最后通过T.D.诺伊将（-1）^m替换为a（n）。]类似地，C_m-2*a（n）==0（mod p），其中C_m=A000108美元（m） 是第m个加泰罗尼亚数字。[证明：根据定义，C_m*（p+1）*（m！）^2-2*（p-1）！=0。结果如下，如第一个证明中所述。]-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年8月11日
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链接
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配方奶粉
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当n>1时，a（n）=（-1）^（（素数（n）-1）/2）-T.D.诺伊2003年11月5日
乘积{n>=1}（1+a（n）/素数（n））=2/Pi(A060294号). （结束）
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例子
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p=4*k+1（参见A002144号)：a（p）=sin（（4*k+1）*Pi/2）=正弦（2*k*Pi+Pi/2）=sin（Pi/2）=1。
p=4*k+3（参见A002145号)：a（p）=正弦（（4*k+3）*Pi/2）=正弦。
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数学
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表[Which[EvenQ[p]，0，Mod[p，4]==1，1，True，-1]，{p，Prime[Range[80]]}](*哈维·P·戴尔2020年3月16日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a070750=（2-）。（`mod`4）。a000040美元--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A039702号,A070748号,A070749美元,A002144号,A002145号,A000108号,A000984号,A134323号,A257834型,A076340号,A076341号.
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签名,美好的,容易的
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1, 9, 0, 9, 8, 5, 9, 3, 1, 7, 1, 0, 2, 7, 4, 4, 0, 2, 9, 2, 2, 6, 6, 0, 5, 1, 6, 0, 4, 7, 0, 1, 7, 2, 3, 4, 4, 4, 1, 3, 5, 1, 5, 7, 4, 8, 8, 8, 5, 4, 7, 7, 3, 8, 4, 9, 7, 2, 0, 0, 8, 1, 2, 8, 7, 0, 6, 7, 6, 1, 5, 7, 1, 6, 1, 0, 7, 1, 8, 4, 2, 1, 0, 8, 1, 3, 6, 5, 6, 3, 3, 1, 9, 5, 0, 3, 7, 0, 3, 1, 4, 7, 2, 8, 7
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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6/Pi=1.909859。。。
6/Pi=长方体的体积（如果L1>L2>L3）/内切椭球体的体积-奥马尔·波尔2007年8月30日
6/Pi=长方体的体积（如果L1>（L2=L3））/内切球体的体积-奥马尔·波尔2007年8月30日
6/Pi=正六面体（或立方体）的体积/内接球体的体积-奥马尔·波尔2007年8月30日
6/Pi=长方体的体积（如果L1<（L2=L3））/内切球体的体积。
6/Pi=正六面体（或立方体）的表面积/内接球体的表面积-奥马尔·波尔2007年11月13日
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