搜索： a060223-编号：a060224
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A059966号
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| a（n）=（1/n）*Sum_{d除以n}mu（n/d）*（2^d-1）。 |
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+10
143
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1, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161, 2182, 4080, 7710, 14532, 27594, 52377, 99858, 190557, 364722, 698870, 1342176, 2580795, 4971008, 9586395, 18512790, 35790267, 69273666, 134215680, 260300986, 505286415, 981706806
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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在1，2，3等中有一个生成元的自由李代数的齐次部分的维数（分区数的李模拟）。
这个序列是划分序列的Lie模拟（它给出了每度一个生成器的齐次多项式的维数），或者类似的，是划分成不同（或奇数）的划分序列（它给出每维一个生成器外代数的齐次部分的维数）。
在从矩形末端反复切割一个正方形的过程中，矩形形状长度n的循环数。例如，长度为1的一个循环是金色矩形大卫·帕西诺（davepasino（AT）yahoo.com），2009年1月29日
在音乐中，在给定的节奏下，由具有相同模式的1和0（其中0表示没有节拍，1表示一个节拍）的节拍的连续重复而产生的不同节奏的数量，其中每个节拍允许n个具有相同特征的可能节拍，并且当在这两个条件下计算时：（i）测量的开始和结束时间未知或无关，并且（ii）通过使用少于n个可能节拍的测量可以产生的相同节奏被排除在计数之外-理查德·福伯格2013年4月22日
理查德·福伯格（Richard R.Forberg）的评论不支持n=1，因为a（1）=1，但有两种可能的节奏：“0”和“1”-赫伯特·科西姆巴2016年10月24日
对于n=1，注释是成立的，因为节奏“0”可以通过使用0拍的度量来产生，因此注释的条件（ii）将其从a（1）=1中排除-特拉维斯斯科特2022年5月28日
a（n）也是带有和n的Lyndon合成数（正整数的非周期项链）-古斯·怀斯曼2017年12月19日
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参考文献
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C.Reutenauer，自由李代数，Clarendon出版社，牛津（1993）。
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链接
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S.V.Duzhin和D.V.Pasechnik，项链上的群组和沙堆群组《数学科学杂志》，2014年8月，第200卷，第6期，第690-697页。见第85页N.J.A.Sloane，2014年6月30日
Michael J.Mossinghoff和Timothy S.Trudgian，两个欧米茄的故事，arXiv:1906.02847[math.NT]，2019年。
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配方奶粉
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G.f.：产品{n>0}（1-q^n）^a（n）=1-q^2-q^3-q^4-…=2-1/（1-q）。
G.f.：总和{k>=1}mu（k）*log（（1-x^k）/（1-2*x^k-伊利亚·古特科夫斯基2019年5月19日
Dirichlet g.f.：f（s+1）/zeta（s+1”）-1，其中f（s）=和{n>=1}2^n/n^s-宋嘉宁，2021年11月13日
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例子
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a（4）=3：三个元素[a，c]，[a[a，b]]和d构成自由李代数中所有4次齐次元素的基础，生成元a为1次，b为2次，c为3次，d为4次。
林登的作品以总和为序：
(1),
(2),
(3),(12),
(4),(13),(112),
(5),(14),(23),(113),(122),(1112),
（6） ，（15），（24），（114），（132），（123），（1113），（1122），（11112），
(7),(16),(25),(115),(34),(142),(124),(1114),(133),(223),(1213),(1132),(1123), (11113),(1222),(11212),(11122),(111112). （结束）
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数学
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表[1/n应用[Plus，Map[（MoebiusMu[n/#]（2^#-1））&，Divisors[n]]，{n，20}]
（*第二个节目：*）
表[（1/n）除数总和[n，MoebiusMu[n/#]（2^#-1）&]，{n，35}](*迈克尔·德弗利格2019年7月22日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a059966 n=总和（地图（\x->a008683（n`div`x）*a000225 x）
[d|d<-[1..n]，mod n d==0]）`div`n
（Python）
从sympy import mobius，除数
定义A059966号（n） ：返回和（mobius（n//d）*（2**d-1），用于除数（n，generator=True）中的d）//n#柴华武2022年2月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000225号,A000740号,A008683号,A008965号,A011782美元,A060223号,A185700个,A228369号,A269134号 A281013型,A296302型,A296373型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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描述由Axel Kleinschmidt更正，2002年9月15日
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状态
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经核准的
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1, 3, 10, 34, 116, 396, 1352, 4616, 15760, 53808, 183712, 627232, 2141504, 7311552, 24963200, 85229696, 290992384, 993510144, 3392055808, 11581202944, 39540700160, 135000394752, 460920178688, 1573679925248
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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乔·基恩（Joe Keane）（jgk（AT）jgk.org）观察到，这个序列（从3开始）是“极限扑克中加薪的大小，单盲，最大加薪”。
数量（0），s（1）。。。，s（2n+1）），使得0<s（i）<8和|s（i，i）-s（i-1）|=1，对于i=1,2，。。。，2n+1，s（0）=3，s（2n+1）=4-赫伯特·科西姆巴2004年6月12日
等于（1，2，5，13，34，89，…）的INVERT变换-加里·亚当森2009年5月1日
a（n）/a（n-1）趋于（4+sqrt（8））/2=3.414213。。。。加里·亚当森2013年7月30日
长度n超过{0,1,2,3,4}的单词数，其中二进制子单词以10…0的形式出现-米兰Janjic2017年1月25日
此外，长度为n+1的单峰序列的数目涵盖了正整数的初始区间，其中整数序列是单峰的，如果它是弱递增序列和弱递减序列的串联。例如，a（0）=1到a（2）=10序列为：
(1) (1,1) (1,1,1)
(1,2) (1,1,2)
(2,1) (1,2,1)
（1,2,2）
(1,2,3)
(1,3,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
（2、3、1）
(3,2,1)
缺少：（2,1,2），（2,1,3），（3,1,2）。
猜想：也是{1..n+1}的有序集分区数，其中任何块的元素都不大于非相邻连续块的任何元素。例如，a（0）=1到a（2）=10的有序集分区是：
｛｛1｝｝｛1，2｝｝｛1，2，3｝｝
{{1},{2}} {{1},{2,3}}
{{2},{1}} {{1,2},{3}}
{{1,3},{2}}
{{2},{1,3}}
{{2,3},{1}}
｛｛3｝，｛1，2｝｝
{{1},{2},{3}}
{{1},{3},{2}}
{{2},{1},{3}}
a（n-1）是面积为n的六角形直列凸多边形的数量（见Baril等人，第4页）-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年10月14日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Tyler Clark和Tom Richmond，有限全序集上凸拓扑的个数2013年，《参与》，第8卷（2015），第1期，25-32。
帕梅拉·弗莱什曼（Pamela Fleischmann）、乔纳斯·霍夫（Jonas Höfer）、安妮卡·胡奇（Annika Huch）和德克·诺沃特卡（Dirk Nowotka），α-β-制造与Simon同余的二元情形，arXiv:2306.14192[math.CO]，2023年。
Juan B.Gil和Jessica A.Tomasko，斐波那契彩色组合物及其应用，arXiv:2108.06462[math.CO]，2021。
F.K.Hwang和C.L.Mallows，枚举嵌套分区和连续分区J.Combina.理论系列。A 70（1995），第2期，323-333。
米尔恰·梅尔卡，余弦幂和的一个注记《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。
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配方奶粉
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a（n+1）=4a（n）-2a（n-1）。
G.f.：（1-x）/（1-4x+2x^2）。
a（n）=(A035344美元（n） +1）/2；a（n）=（2+sqrt（2））^n（1/2+squart（2-保罗·巴里2003年7月16日
（1，1，2，2，4，…）的第二个二项式变换。a（n）=Sum_{k=1.floor（n/2）}，C（n，2k）*2^（n-k-1）-保罗·巴里2003年11月22日
a（n）=M^n*[1 1 1]中的左项和右项，其中M=3 X 3矩阵[1 1 1/1 2 1/1 1]。M^n*[1 1 1]=[a（n）A007070号（n） a（n）]。例如，a（3）=34。M^3*[1 1 1]=[34 48 34]（中心项为A007070号(3)). -加里·亚当森2004年12月18日
序列的第i项是2X2矩阵M=（（1，1），（1，3））的第i次幂中的条目（2，2）-西蒙·塞韦里尼2005年10月15日
例如：exp（2x）（cosh（sqrt（2x）+sinh（sqrt（2）x）/sqrt（2））-保罗·巴里2003年11月20日
如果p[i]=Fibonacci（2i-1），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。那么，对于n>=1，a（n-1）=det a-米兰Janjic2010年5月8日
a（n-1）=和{k=-floor（n/4）..floor（n+4）}（-1）^k*二项式（2*n，n+4*k）/2-米尔恰·梅卡2012年1月28日
G.f.:G（0）*（1-x）/（2*x）+1-1/x，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k-1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月26日
a（n）=3*a（n-1）+a（n-2）+aa（0）-加里·亚当森2013年8月12日
对于Z中的所有n，a（n）=a（-2-n）*2^（n+1）-迈克尔·索莫斯2017年1月25日
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例子
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G.f.=1+3*x+10*x^2+34*x^3+116*x^4+396*x^5+1352*x^6+4616*x^7+。。。
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数学
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a[n_]：=（（2+Sqrt[2]）^（n+1）+（2-Sqrt[2]^（n+1））/4//简化；(*迈克尔·索莫斯2017年1月25日*）
unimodQ[q_]：=或[Length[q]<=1，如果[q[[1]]<=q[2]]，unimodQ[静止[q]]，有序q[反转[q]]]；
allnorm[n_]：=如果[n<=0，{{}}，函数[s，数组[Count[s，y_/；y<=#]+1&，n]]/@子集[Range[n-1]+1]]；
表[Length[Select[Union@@Permutations/@allnorm[n]，unimodQ]]，{n，6}](*古斯·怀斯曼2020年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=实（（2+quadgen（8））^（n+1））/2}/*迈克尔·索莫斯2003年3月6日*/
（岩浆）[楼层（（2+Sqrt（2））^n*（1/2+Squart（2//文森佐·利班迪2011年8月20日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000129号,A000670美元,A001523号,A001653号,A007068号,A035344美元,A060223号,A075271号,A227038号,A291292型,328509美元,A332577飞机,A332743飞机,A332873飞机.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 6, 6, 0, 1, 14, 36, 24, 0, 1, 30, 150, 240, 120, 0, 1, 62, 540, 1560, 1800, 720, 0, 1, 126, 1806, 8400, 16800, 15120, 5040, 0, 1, 254, 5796, 40824, 126000, 191520, 141120, 40320, 0, 1, 510, 18150, 186480, 834120, 1905120, 2328480
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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三角形T（n，k），0<=k<=n，由[0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,0，…]DELTA[1,1,2,2,3,4,5,6,6，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号; 的另一个版本A019538年.
T（n，k）给出了标准（n-1）维单纯形的第一个重心细分内部的（k-1）维面数。例如，1-单形的重心细分为o--o-o-o，有1个内部顶点和2个内部边，因此T（2,1）=1，T（2,2）=2。
该三角形用于计算简单复数重心细分的面向量。设S是一个n维单形复形，用f_k表示S的k维面数，通常的约定是f_（-1）=1，因此f:=（f_（-1-），f_0，f_1，。。。，f_n）是S的f向量。如果M（n）表示由当前三角形的前n+1行和n+1列组成的平方矩阵，那么向量f*M（n。例如，帕斯卡三角形的行A007318号（但行和列索引从-1开始）是标准n单纯形的f向量。由此可见A007318号*A131689型，等于A028246号，是标准n-单形的第一个重心细分的f向量数组。（结束）
这个三角形T（n，k）出现在o.g.f.g（n，x）=Sum_{m>=0}S（n，m）*x^m中，其中S（n、m）=Summ_{j=0..m}j^n表示n>=1，如g（n、x）=Sum_{k=1..n}（x^k/（1-x）^（k+2）））*T（n、k）。另请参见欧拉三角形A008292号2017年3月31日，对改写后的表格发表评论。例如，参见A028246号2017年3月13日发表评论-沃尔夫迪特·朗，2017年3月31日
T（n，k）＝长度为1的n个串的长度为k的排列数。请参阅Slowinski。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A122193号（长度为2的字符串对齐）和A299041型（长度为3的字符串对齐）-彼得·巴拉2018年2月4日
还有长度为n且具有k个不同部分（或最大部分为k）的模式数，其中我们将模式定义为覆盖正整数初始区间的有限序列。例如，第n=3行统计以下模式：
(1,1,1) (1,2,2) (1,2,3)
(2,1,2) (1,3,2)
(2,2,1) (2,1,3)
(1,1,2) (2,3,1)
(1,2,1) (3,1,2)
(2,1,1) (3,2,1)
（结束）
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链接
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F.Brenti和V.Welker，重心细分的f向量，arXiv:math/0606356[math.CO]，数学。Z.，259（4），849-8652008年。
杰里·梅茨格和托马斯·理查兹，囚犯问题变体《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.2.7条。
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配方奶粉
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通用公式：f（x，t）=1+x*t+（x+x^2）*t^2/2！+（x+6*x^2+6*x*^3）*t^3/3！+…=和{n>=0}R（n，x）*t^n/n！。
行多项式R（n，x）满足递归R（n+1，x）=（x+x^2）*R'（n，x）+x*R（n、x），其中'表示关于x的微分-菲利普·德尔汉姆2013年2月11日
T（n，k）=[T^k]（n！[x^n]（1/（1-T*（exp（x）-1）））-彼得·卢什尼2017年1月23日
第n行多项式的形式为xoxo。。。o x（n因子），其中o表示Dukes和White的黑菱形乘法运算符。另见Bala，示例E8-彼得·巴拉2018年1月8日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1:0 1
2: 0 1 2
3: 0 1 6 6
4: 0 1 14 36 24
5: 0 1 30 150 240 120
6: 0 1 62 540 1560 1800 720
7: 0 1 126 1806 8400 16800 15120 5040
8:0 1 254 5796 40824 126000 191520 141120 40320
9: 0 1 510 18150 186480 834120 1905120 2328480 1451520 362880
10: 0 1 1022 55980 818520 5103000 16435440 29635200 30240000 16329600 3628800
T（4,2）=14条长度为2的路线，共4条长度为1的字符串。示例包括
（i） A-（ii）A-（iii）A-
B-B-B
C-C-C
-D-D-D
有C（4,1）=4条带单个间隙字符的类型（i）对齐-在第1列中，C（4,2）=6条带两个间隙字符的（ii）对齐，C（3,3）=4个带三个间隙字符（iii）的类型对齐，总共有4+6+4=14条对齐。（结束）
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MAPLE公司
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#或者：
A131689型_行：=进程（n）1/（1-t*（exp（x）-1））；展开（级数（%，x，n+1））；不*系数（%，x，n）；多项式工具：-系数列表（%，t）结束：
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数学
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T[n_，k_]：=如果[n<=0||k<=0，Boole[n==0&k==0]，求和[（-1）^（i+k）二项式[k，i]i^（n+k），{i，0，k}]]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<0，0，sum（i=0，k，（-1）^（k+i）*二项式（k，i）*i^n））}；
（朱莉娅）
函数T（n，k）
如果k<0 | | k>n，则返回0 end
如果n==0&&k==0，返回1结束
k*（T（n-1，k-1）+T（n-1，k））
结束
对于0:7中的n
println（[T（n，k）for k in 0:n]）
结束
（SageMath）
@缓存函数
def F（n）：#Fubini多项式
R.<x>=多项式环（ZZ）
如果n==0：返回R（1）
返回R（总和（二项式（n，k）*F（n-k）*x（1..n）中的k））
对于（0..9）中的n：打印（F（n）.list（））#彼得·卢什尼2021年5月21日
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交叉参考
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列k=0..10为A000007号,A000012号,A000918号,A001117号,A000919号,A001118号,A000920美元,A135456号,A133068号,A133360型,A133132号,
图案类别：
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A275692型
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| 对k进行编号，使k的二进制数字的每次旋转都小于k。 |
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+10
62
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0, 1, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 30, 32, 40, 48, 50, 52, 56, 58, 60, 62, 64, 72, 80, 84, 96, 98, 100, 104, 106, 108, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 144, 160, 164, 168, 192, 194, 196, 200, 202, 208, 210, 212, 216, 218, 224, 226, 228
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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取a（n）的二进制表示，将其反转，每个数字加1。结果是的十进制表示2010年2月59日（n） ●●●●。
也对k进行编号，使第k个成分按标准顺序排列（第k行A066099美元)是林登语。例如，所有Lyndon单词的顺序都是从以下开始的：
0: () 52: (1,2,3) 118: (1,1,2,1,2)
1: (1) 56: (1,1,4) 120: (1,1,1,4)
2: (2) 58: (1,1,2,2) 122: (1,1,1,2,2)
4: (3) 60: (1,1,1,3) 124: (1,1,1,1,3)
6: (1,2) 62: (1,1,1,1,2) 126: (1,1,1,1,1,2)
8: (4) 64: (7) 128: (8)
12: (1,3) 72: (3,4) 144: (3,5)
14: (1,1,2) 80: (2,5) 160: (2,6)
16:（5）84:（2,2,3）164:（2,3,3）
20: (2,3) 96: (1,6) 168: (2,2,4)
24: (1,4) 98: (1,4,2) 192: (1,7)
26: (1,2,2) 100: (1,3,3) 194: (1,5,2)
28: (1,1,3) 104: (1,2,4) 196: (1,4,3)
30: (1,1,1,2) 106: (1,2,2,2) 200: (1,3,4)
32: (6) 108: (1,2,1,3) 202: (1,3,2,2)
40:（2,4）112:（1,1,5）208:（1,2,5）
48: (1,5) 114: (1,1,3,2) 210: (1,2,3,2)
50: (1,3,2) 116: (1,1,2,3) 212: (1,2,2,3)
（结束）
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链接
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例子
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6位于序列中，因为它的二进制表示110大于所有旋转011和101。
10不在序列中，因为它的二进制表示1010在旋转2位时不变。
术语序列及其二进制展开式和二进制索引开始于：
1: 1 ~ {1}
2: 10 ~ {2}
4: 100 ~ {3}
6: 110 ~ {2,3}
8: 1000 ~ {4}
12: 1100 ~ {3,4}
14: 1110 ~ {2,3,4}
16: 10000 ~ {5}
20: 10100 ~ {3,5}
24: 11000 ~ {4,5}
26: 11010 ~ {2,4,5}
28: 11100 ~ {3,4,5}
30: 11110 ~ {2,3,4,5}
32: 100000 ~ {6}
40: 101000 ~ {4,6}
48: 110000 ~ {5,6}
50: 110010 ~ {2,5,6}
52: 110100 ~ {3,5,6}
56: 111000 ~ {4,5,6}
58: 111010 ~ {2,4,5,6}
（结束）
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MAPLE公司
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过滤器：=proc（n）局部L，k；
五十： =转换（转换（n，二进制），字符串）；
对于从1到长度（L）的k-1 do
如果lexorder（L，StringTools:-Ratete（L，k）），则返回false fi；
od；
真的
结束进程：
选择（过滤器，[0..1000]）；
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数学
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filterQ[n_]：=模块[{bits，rr}，bits=整数位数[n，2]；rr=NestList[RotateRight，bits，Length[bits]-1]//静止；所有真[rr，起始数字[#，2]<n&]]；
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黄体脂酮素
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（Python）
定义正常（n）：
b=箱（n）[2:]
返回all（对于范围（1，len（b））中的i，b[i:]+b[：i]<b）
打印（[k代表范围（230）中的k，如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基2022年5月26日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 12, 112, 122, 1112, 1122, 1222, 11112, 11122, 11212, 11222, 12122, 12222, 111112, 111122, 111212, 111222, 112122, 112212, 112222, 121222, 122222, 1111112, 1111122, 1111212, 1111222, 1112112, 1112122, 1112212, 1112222, 1121122
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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林登单词是原始的（不是另一个单词的幂次），在字典顺序上比它的任何循环移位都要早。
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链接
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埃米利·查利尔、马诺·菲利伯特、马诺·阿斯蒂普兰蒂，尼尔登语，arXiv:1804.09735[math.CO]，2018年。见表1。
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配方奶粉
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数学
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lynQ[q_]：=数组[Union[{q，RotateRight[q，#]}]=={q，旋转右[q，#]}&，长度[q]-1，1，And]；
连接@@表[FromDigits/@Select[Tuples[{1，2}，n]，lynQ]，{n，5}](*古斯·怀斯曼2019年11月14日*）
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黄体脂酮素
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（Haskell）参考链接。
（PARI）是_2010年2月59日（n） =｛vecsort（d=digitals（n））！=d&&for（i=1，#d-1，n>[1，10^（#d-i）]*divrem（n，10^i）&&return）；fordiv（#d，L，L<#d&&d==concat（Col（vector（#d/L，i，1）~*vecextract（d，2^L-1））~）&&return）；！setminus（Set（d），[1，2]）｝\\最后一次检查是最便宜的一次，但如果我们只测试数字为｛1，2的数字，则没有用处}。
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 5, 3, 4, 2, 4, 3, 3, 2, 6, 3, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 5, 6, 6, 7, 2, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 5, 3, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 6, 3, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 3, 4, 3, 3, 2, 7, 3, 4, 3, 5, 3, 4, 3, 6, 4, 5, 3, 5, 4, 4, 3, 7, 4, 5, 4, 6, 5, 5, 4, 7
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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任何二进制单词都有一个独特的因子分解，作为非增量Lyndon单词的乘积（参见Lothaire）。a（n）=n的二元展开的Lyndon因式分解中的因子数。
当n=2^（k-1）+1时，a（n）=k首次出现。
我们将两个或多个有限序列的Lyndon积定义为通过将序列混合在一起可以获得的词典编纂最大序列。例如，（231）与（213）的林登积是（232131），（221）与。Lyndon词是相对于Lyndon乘积为素数的有限序列。等价地，Lyndon单词是严格小于其所有循环旋转的有限序列。每个有限序列对Lyndon单词都有一个唯一的（无序）因子分解，如果这些因子按字典序递减排列，那么它们的串联等于它们的Lyndon乘积-古斯·怀斯曼2019年11月12日
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参考文献
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M.Lothaire，《单词组合学》，Addison-Wesley，Reading，MA，1983年。见定理5.1.5，第67页。
G.Melançon，使用Maple分解无限单词，MapleTech Journal，第4卷，第1期，1997年，第34-42页
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链接
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例子
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n=25有二元展开式11001，它有三个因子的Lyndon因式分解（1）（1），所以a（25）=3。
下面是n的小值的Lyndon因式分解：
.0.
.1.
.1.0.
.1.1.
.1.0.0.
.1.01.
.1.1.0.
第1.1.1条。
.1.0.0.0.
.1.001.
.1.01.0.
.1.011.
.1.1.0.0.
...
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数学
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lynQ[q_]：=数组[Union[{q，RotateRight[q，#]}]=={q，旋转右[q，#]}&，长度[q]-1，1，And]；
lynfac[q_]：=如果[Length[q]==0，{}，函数[i，前缀[lynfac[Drop[q，i]]，Take[q，i]][Last[Select[Range[Length[q]]，lynQ[Take[q，#]]&]]]；
表[Length[lynfac[IntegerDigits[n，2]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2019年11月12日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 3, 41, 425, 4287, 45941, 541219, 7071501, 102193755, 1622448861, 28090940363, 526856206877, 10641335658891, 230283166014653, 5315654596751659, 130370766738143517, 3385534662263335179, 92801587315936355325, 2677687796232803000171, 81124824998464533181661
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0.4
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评论
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如果整数序列是弱递增序列和弱递减序列的串联，则它是单峰的。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（3）=3序列为（2,1,2），（2,1,3），（3,1,2）。
a（4）=41序列：
(1212) (2113) (2134) (2413) (3142) (3412)
(1213) (2121) (2143) (3112) (3212) (4123)
(1312) (2122) (2212) (3121) (3213) (4132)
(1323) (2123) (2213) (3122) (3214) (4213)
(1324) (2131) (2312) (3123) (3231) (4231)
(1423) (2132) (2313) (3124) (3241) (4312)
(2112) (2133) (2314) (3132) (3312)
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|
数学
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allnorm[n_]：=如果[n<=0，{{}}，函数[s，数组[Count[s，y_/；y<=#]+1&，n]]/@子集[Range[n-1]+1]]；
unimodQ[q_]：=或[Length[q]<=1，如果[q[[1]]<=q[2]]，unimodQ[静止[q]]，有序q[反转[q]]]；
表[Length[Select[Union@@Permutations/@allnorm[n]！unimodQ[#]&]]，{n，0，5}]
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黄体脂酮素
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（PARI）seq（n）=Vec（serlaplace（1/（2-exp（x+O（x*x^n）））-（1-3*x+x^2）/（1-4*x+2*x^2，-（n+1））\\安德鲁·霍罗伊德2024年1月28日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 5, 20, 109, 784, 6757, 68240, 787477, 10224812, 147512053, 2340964372, 40527565261, 760095929840, 15352212731933, 332228417657960, 7668868648772701, 188085259070219000, 4884294069438337429
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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原始名称：a（n）=n个珠子的项链数量，最多有n个未标记颜色。
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链接
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M.Goebel，关于特殊置换不变轨道和项的个数，in：工程中的适用代数。，通信和通信。（AAECC 8），第8卷，第6期，1997年，第505-509页（Lect.Notes Comp.Sci.）；见第509页（陈述为开放问题）。
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配方奶粉
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请参阅Mathematica代码。
第一个公式是由于菲利普·德尔汉姆来自Crossrefs（另请参阅下面的程序）。第二个很容易从第一个开始。第三个是从第二个开始的，使用了狄利克雷卷积的结合性质。
a（n）=和{k=1..n}（k！/n）*和{d|n}φ（d）*S2（n/d，k），其中S2（n，k）=第二类斯特林数(A008277号).
（结束）
a（n）=（1/n）*和{k=1..n}A000670美元（n/gcd（n，k））*φ（gcd（n，k））/phi（n/gcr（n，c））。（结束）
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例子
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a（3）=5，因为有以下长度3个单词可旋转：
111, 112, 122, 123, 132.
a（4）＝20，因为直到旋转为止有以下长度的4个字：
1111,
1112, 1122, 1212, 1222,
1123, 1132, 1213, 1223, 1232, 1233, 1322, 1323, 1332,
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432.
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数学
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需要[“离散数学`组合数学`”]；
mult[li:{__Integer}]：=多项式@@Length/@Split[Sort[li]]；
neck[li:｛__Integer｝]：=模块[｛n，d｝，n=加号@@li；d=n-First[li]；折叠[#1+（EulerPhi[#2]*（n/#2）！）/次数@@（（li/#2）！）&，0，除数[GCD@@li]]/n]；
表[（mult/@Partitions[n]）。（颈部/@分区[n]），{n，24}]
（*第二个节目：*）
a[n_]：=总和[DivisorSum[n，EulerPhi[#]*StirlingS2[n/#，k]k！&]/n、 {k，1，n}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=1，n，sumdiv（n，d，eulerphi（d）*stirling（n/d，k，2）*k！）/n） \\米歇尔·马库斯2016年3月31日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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曼弗雷德·戈贝尔（Goebel（AT）informatik.uni-tuebingen.de）
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扩展
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状态
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经核准的
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A329312型
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| n的二元展开式的co-Lyndon因式分解的长度。 |
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+10
43
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1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 2, 5, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 1, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 5, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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两个或多个有限序列的co-Lyndon乘积被定义为通过将序列混合在一起可以获得的词典编纂最小序列。例如，（231）和（213）的共同林登积是（212313），（221）和。co-Lyndon单词是一个有限序列，相对于co-Lyndon乘积是素数。等价地，联合林登词是严格大于其所有循环旋转的有限序列。每个有限序列都有一个唯一的（无序）因子分解成co-Lyndon单词，如果这些因子按一定的顺序排列，那么它们的串联等于它们的co-Lyndon乘积。例如，（1001）已经对co-Lyndon因子分解（1）（100）进行了排序。
还有n的反向二进制展开式的Lyndon因式分解的长度，其中反向数字是1减去二进制数字。
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链接
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例子
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1.20的二元指数及其co-Lyndon因子分解为：
1: (1) = (1)
2: (10) = (10)
3: (11) = (1)(1)
4: (100) = (100)
5:（101）=（10）（1）
6: (110) = (110)
7: (111) = (1)(1)(1)
8: (1000) = (1000)
9: (1001) = (100)(1)
10: (1010) = (10)(10)
11: (1011) = (10)(1)(1)
12: (1100) = (1100)
13:（1101）=（110）（1）
14: (1110) = (1110)
15: (1111) = (1)(1)(1)(1)
16: (10000) = (10000)
17: (10001) = (1000)(1)
18: (10010) = (100)(10)
19: (10011) = (100)(1)(1)
20: (10100) = (10100)
|
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|
数学
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colynQ[q_]：=数组[Union[{RotateRight[q，#]，q}]=={Rotate Right[q,#]，q}&，Length[q]-1，1，And]；
colynfac[q_]：=如果[Length[q]==0，{}，函数[i，前缀[colynfac[Drop[q，i]]，Take[q，i]]@Last[Select[Range[Length[q]]，colynQ[Take[q，#]]&]]]；
表[Length[colynfac[IntegerDigits[n，2]]]，{n，100}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000031号,A001037号,A059966号,A060223号,A211097型,A296372型,A296658型,A329131型,A329314型,A329318型,A329324型,A329325型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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n的合成是一个有限的正整数序列与n相加。第k个合成按标准顺序（第k行A066099美元)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，在0前面加上前缀，取第一个差分，然后再次反转，即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。
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链接
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例子
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第77个成分是（3,1,2,1），因此a（77）=3。
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数学
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stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
表[Length[Union[stc[n]]]，{n，0，100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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