搜索： a059966-编号：a059966
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1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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还有n.的组成（有序分区）的数量——托比·巴特尔斯，2003年8月27日
将n个未标记项目放入（任意数量）标记框中的方法，其中每个框中至少包含一个项目。也就是“n项的单峰排列”，即先升后降的排列。（例如，对于三个项目：ABC、ACB、BCA和CBA是单峰的。）-亨利·博托姆利2001年1月17日
S_n中避免模式213和312的排列数Tuwani Albert Tshifhumulo，2001年4月20日。更一般地（见Simion和Schmidt），S_n中的排列数避免了（i）123和132个模式；（ii）123和213图案；（iii）132和213图案；（iv）132和231图案；（v） 132和312模式；（vi）213和231图案；（vii）213和312图案；（viii）231和312图案；（ix）231和321图案；（x） 312和321图案。
a（n+2）是对称群作用下n个变量的不同布尔函数的个数。
还有未标记（1+2）-自由偏序集的数量Detlef Pauly，2003年5月25日
此外，[0，1）中二进制扩展在n位后终止的有理数。-Brad Chalfan，2006年5月29日
前置A089067号用1，得到（1，1，3，5，13，23，51，…）作为polceoff a（x）；则（1，1，2，4，8，16，…）=A（x）/A（x^2）-加里·亚当森2010年2月18日
阵列T（m，n）=2*T（m、n-1）+T（m-1、n）：
1，1，2，4，8，16，…=a（n）
1, 7, 32, 120, 400, 1232, ... =A001794号,
1,
1, 0,
2，0，-1，
4, 0, -3, 0,
8, 0, -8, 0, 1.
0, 1, 2, 4, 8, 16,
1、1、2、4、8、16，=a（n），
0, 1, 2, 4, 8, 16,
1, 1, 2, 4, 8, 16.
长度为2n的双色项链的数量等于其互补反向。对于长度2n+1，数字为0-大卫·W·威尔逊2012年1月1日
对于n>=1，具有恰好n个部分的自共轭整数分区数-大卫·克里斯托弗2014年8月18日
序列是（1，0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…）的INVERT变换-加里·亚当森2015年7月16日
此外，n个节点上的阈值图数量[Hougardy]-福尔克·胡夫纳2015年12月3日
长度为n的三元单词数，其中二进制子单词以10…0的形式出现-米兰Janjic2017年1月25日
a（n）是长度为n的单词在由两个字母组成的字母表中的数量，其中一个字母出现偶数次（包括长度为0的空单词）。参见中类似的奇数情况A131577号和Balakrishnan参考A006516号（4个字母的奇数情况），第68-69页，问题2.66、2.67和2.68-沃尔夫迪特·朗2017年7月17日
Łukasiewicz路径的D-等价类数。Łukasiewicz路径是D等价的，如果模式D在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日
使用两种或更少颜色（子集）的长度为n的定向行的颜色模式数（设置分区）。如果我们改变颜色，两种颜色模式是等价的。对于a（4）=8，4种非手性模式为AAAA、AABB、ABAB和ABBA；这4种手性模式是2对AAAB-ABBB和AABA-ABAA-罗伯特·拉塞尔2018年10月30日
对称n X n矩阵M的行列式由M（i，j）=（-1）^max（i，j）定义，对于1<=i，j<=n等于a（n）*（-1）*（n*（n+1）/2）-伯纳德·肖特2018年12月29日
对于n>=1，a（n）是长度为n的排列数，其循环表示可以这样写：当去掉循环括号时，剩下的是1到n，按自然顺序。例如，a（4）=8，因为这种形式正好有8个排列，即（1 2 3 4）、（1）（2 3 4。我们的结果很容易满足于对k的条件，即循环表示中形式为“）（”的括号对的数量。由于有C（n-1，k）方法可以将它们插入循环表示中，并且由于k从0运行到n-1，我们得到a（n）=Sum_{k=0..n-1}C（n-l，k）=2^（n-1）-丹尼斯·沃尔什2020年5月23日
长度为n+1的排列在连续231-避免堆叠排序映射下可以具有的最大预图像数-科林·德芬特2020年8月28日
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参考文献
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Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的概括》，《数学与计算机教育杂志》，第31卷，第1期，第24-28页，1997年冬季。
S.Kitaev，排列和单词中的模式，Springer-Verlag，2011年。见第399页表A.7
泽维尔·梅林（Xavier Merlin），Methodix Algèbre，Ellipses，1995年，第153页。
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链接
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克里斯蒂安·比恩（Christian Bean）、比亚基·古德蒙德森（Bjarki Gudmundsson）和亨宁·阿尔法森（Henning Ulfarsson），置换类结构规则的自动发现，arXiv:1705.04109[math.CO]，2017年。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil、Jordan O.Tirrell和Michael D.Weiner，避免模式的稳定无间隔排列，arXiv:2306.03155[math.CO]，2023年。
朱利奥·塞尔拜（Giulio Cerbai）、安德斯·克莱森（Anders Claesson）和卢卡·费拉里（Luca Ferrari），限制堆栈的堆栈排序，arXiv:1907.08142[cs.DS]，2019年。
Juan B.Gil和Jessica A.Tomasko，斐波那契彩色组合物及其应用，arXiv:2108.06462[math.CO]，2021。
Nickolas Hein和Jia Huang，模块化加泰罗尼亚数字，arXiv:1508.01688[math.CO]，2015-2016年。见第2页的表1.1。
S.Hougardy，完美图的类，离散。数学。306 (2006), 2529-2571.
奥利维娅·纳巴旺达和范加·拉科通德拉焦，带有禁止图案的扁平分区集，arXiv:2011.07304[math.CO]，2020年。
圣地亚哥·罗哈斯·罗贾斯、卡米拉·穆尼奥斯、埃德加·巴里加、巴勃罗·索拉诺、阿尔多·德尔加多和卡拉·赫尔曼·阿维利亚诺，复杂耦合紧束缚模型的解析演化：在量子光操纵中的应用，arXiv:2310.12366[quant-ph]，2023年。见第12页。
R.Simion和F.W.Schmidt，受限排列《欧洲联合期刊》，第6383-4061985页，见第392-393页。
张燕X，分次偏序集的四种变分，arXiv预印本arXiv:1508.00318[math.CO]，2015。
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配方奶粉
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a（0）=1，a（n）=2^（n-1）。
G.f.：（1-x）/（1-2*x）=1/（1-x/（1-x））-迈克尔·索莫斯2012年4月18日
例如：cosh（z）*exp（z）=（exp（2*z）+1）/2。
a（0）=1，对于n>0，a（n）=所有先前项的总和。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，2*k）-保罗·巴里2003年2月25日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*（1+（-1）^k）/2-保罗·巴里2003年5月27日
a（n）=地板（（1+2^n）/2）托比·巴特尔斯（托比+斯隆（AT）math.ucr.edu），2003年8月27日
G.f.：总和{i>=0}x^i/（1-x）^i-乔恩·佩里2004年7月10日
a（n）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（k+1，n-k）*binominal（2*k，k）-保罗·巴里2005年3月18日
G.f.：1/（1-（x+x^2+x^3+…））-杰弗里·克雷策2008年8月30日
例如：（exp（2*x）+1）/2=（g（0）+1）/2；G（k）=1+2*x/（2*k+1-x*（2*k+1）/（x+（k+1）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日
A051049号（n） =p（n+1），其中p（x）是唯一的n次多项式，使得p（k）=a（k）对于k=0，1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯2012年4月18日
A008619号（n） =p（-1），其中p（x）是唯一的n次多项式，使得p（k）=a（k）对于k=0，1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯2012年4月18日
G.f.:U（0），其中U（k）=1+x*（k+3）-x*（k+2）/U（k+1）；（连分数，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月10日
E.g.f.：E（0），其中E（k）=1+x/（2*k+1-x/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月25日
通用公式：1+x/（1+x）*（1+3*x/（1+3*x）*-彼得·巴拉2017年5月27日
a（n）=Sum_（k=0..2}斯特林2（n，k）。
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+4*x^3+8*x^4+16*x^5+32*x^6+64*x^7+128*x^8+。。。
( -1 1 -1)
det（11 1）=4
( -1 -1 -1)
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MAPLE公司
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数学
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f[s_]：=附加[s，天花板[Plus@@s]]；嵌套[f，{1}，32](*罗伯特·威尔逊v2006年7月7日*）
系数列表[级数[（1-x）/（1-2x），{x，0，32}]，x](*罗伯特·威尔逊v2006年7月7日*）
表[Sum[StirlingS2[n，k]，{k，0，2}]，{n，0，30}](*罗伯特·拉塞尔2018年4月25日*）
联接[{1}，嵌套列表[2#&，1，40]](*哈维·P·戴尔2018年12月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2^（n-1））}；
（PARI）Vec（（1-x）/（1-2*x）+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月31日
（岩浆）[底板（（1+2^n）/2）:n in[0..35]]//文森佐·利班迪2011年8月21日
（哈斯克尔）
a011782 n=a011782_list！！n个
a011782_list=1:scanl1（+）a011782列表
（Sage）[求和（stirling_number2（n，j）for j in（0..2））for n in（0..35）]#G.C.格鲁贝尔2020年6月2日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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李·D·基洛（Killough（AT）wagner.comprove.com）
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扩展
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状态
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经核准的
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A001037号
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| GF（2）上n次不可约多项式的个数；翻身时不允许有2种颜色珠子的n珠项链数量，原始周期为n；长度为n的二进制Lyndon单词数。
（原M0116 N0046 N0287）
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+10
228
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1, 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161, 2182, 4080, 7710, 14532, 27594, 52377, 99858, 190557, 364722, 698870, 1342176, 2580795, 4971008, 9586395, 18512790, 35790267, 69273666, 134215680, 260300986, 505286415, 981706806, 1908866960, 3714566310, 7233615333, 14096302710, 27487764474
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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该序列还表示有向图中长度L在x^2下的圈数N，所见模为梅森素数M_q=2^q-1。这个数字不依赖于q，L是q-1的任何除数。参见Shallit和Vasiga论文的定理5和推论3：N=和（eulerphi（d）/阶（d，2）），其中d是2^（q-1）-1的除数，使得阶（d、2）=L-托尼·雷克斯2005年11月17日
“二进制Lyndon单词数”是指：数字的不等模旋转（循环置换）且周期不小于n的二进制字符串数。这提供了以下链接：A103314号，因为这些字符串对应于U_m（单位的第m个根）的不等零和子集，通过将U_n（n|m）与0或更多U_d（n| d，d|m）的并集乘以某个exp幂（i2Pi/n）使它们相互不相交而获得。（但并非U_m的所有零和子集都是这种形式。）-M.F.哈斯勒2007年1月14日
此外，阈值布尔自动机网络的周期n的动态循环数，该网络是n的倍数大小的准最小正电路，并且是并行更新的Mathilde Noual（Mathilde.Noual（AT）ens-lyon.fr），2009年2月25日
此外，单位区间上帐篷映射f（x）：=2min{x，1-x}的迭代中周期为（最小）n的周期点的数目-彼得罗·马杰2009年9月22日
与完全断开双曲迭代函数系统相关的移位动力系统中最小周期n的不同循环数（参见Barnsley链接）-米歇尔·马库斯2013年10月6日
对于n>0，a（n）也是与Kolakoski序列相关的变换的大小为n的轨道数A000002号（对于任何具有2^n个周期n点的映射来说，这都是正确的）。Kolakoski变换根据其运行长度的顺序改变1和2的序列。Kolakoski序列是这个变换的两个不动点之一，另一个是没有初始项的同一序列。A025142号和A025143号是大小为2的轨道的周期点。A027375号（n） =n*a（n）给出了最小周期n的周期点数。
继Kam Cheong Au（2020）之后，设d（w，N）为重量w的Q-span和有色多重zeta值（CMZV）的水平N的维数。这里Q是有理数。
Deligne的界表示当N>=3时，d（w，N）<=d（w，N），其中1+Sum_{w>=1}d（w、N）*t^w=（1-a*t+b*t^2）^（-1），其中a=phi（N）/2+omega=A001221号（N） 是N的不同素数）。
对于N=3，a=φ（3）/2+ω（3）=2/2+1=2和b=ω（三）-1=0。由此得出D（w，N=3）=A000079号（w） =2^w（重量）。
出于某种原因，金昌凹（2020）假设Deligne的界限很紧，即d（w，N）=d（w，N）。他设置Sum_｛w>=1}c（w，N）*t^w=log（1+Sum_｛w>=1}d（w，N）*t^w）=log（1+Sum_｛w>=1}d（w，N）*t^w）=-log（1-a*t+b*t^2），N>=3。
他定义d*（w，N）=Sum_{k|w}（mu（k）/k）*c（w/k，N）为“重量w和水平N的基本常数的数目”。（使用术语A113788号，我们也许可以称d*（w，N）为权重w和级别N的不可约彩色多重zeta值的数量。）
利用g.f's理论的标准技术，我们可以证明和{w>=1}d*（w，N）*t^w=和{s>=1}（mu（s）/s）和{k>=1}c（k，N）*（t^s）^k=-Sum{s>=1}（μ（s）/s*log（1-a*t^s+b*t^（2*s）））。
对于N=3，我们看到a=2和b=0，因此d*（w，N=3）=a（w）=Sum_{k|w}（mu（k）/k）*2^（w/k）/。见锦昌澳（2020年）第6页的表1。（结束）
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参考文献
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Michael F.Barnsley，《分形无处不在》，学术出版社，圣地亚哥，1988年，第171页，引理3。
E.R.Berlekamp，《代数编码理论》，McGraw-Hill，纽约，1968年，第84页。
E.L.Blanton，Jr.、S.P.Hurd和J.S.McCranie。在平方模m定义的有向图上，当m有本原根时。恭喜。数字。82 (1991), 167-177.
P.J.Freyd和A.Scedrov，《类别，寓言》，北荷兰，阿姆斯特丹，1990年。见1.925。
M.Lothaire，《单词组合数学》，Addison-Wesley，Reading，马萨诸塞州，1983年，第65、79页。
盖伊·梅兰松，使用Maple分解无限单词，MapleTech Journal，第4卷，第1期，1997年，第34-42页，特别是第36页。
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391美元第2章的pdf文件]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括条目N0046和N0287中的该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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埃米利·查利尔、马诺·菲利伯特和马诺·斯蒂普兰蒂，尼尔登语，arXiv:1804.09735[math.CO]，2018年。还有J.Comb。你的。A、 167（2019），60-90。
E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5（1961），第657-665页。
A.Knopfmacher和M.E.Mays，图形构成I：基本枚举，整数1（2001），A4，等式（1）。
乔治·彼得里德斯（George Petrides）和约翰·米克尔特维特（Johannes Mykkeltveit），关于周期二进制序列的非线性复杂度分类《序列及其应用SETA 2006》，计算机科学讲义，第4086/2006卷，第209-222页。[来自N.J.A.斯隆2009年7月9日]
Y.Puri和T.Ward，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
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配方奶粉
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对于n>=1：
a（n）=（1/n）*和{d|n}亩（n/d）*2^d。
2^n=Sum_{d|n}d*a（d）。
G.f.：1-求和{n>=1}莫比乌斯（n）*log（1-2*x^n）/n，其中莫比乌s（n）=A008683号（n） -保罗·D·汉娜2010年10月13日
对于n>=1：
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}mu（gcd（n，k））*2^（n/gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））。
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}μ（n/gcd（n，k））*2^gcd（n，k）/phi（n/gcd（n，k））。（结束）
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例子
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a（0）=1=#{“”}，
a（1）=2={“0”，“1”}，
a（2）=1={“01”}，
a（3）=2={“001”，“011”}，
a（4）=3=#{“0001”，“0011”，”0111“}，
a（5）=6=#{“00001”，“00011”，“00101”，”00111“，”01011“，“01111”}。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：A001037号：=proc（n）局部a，d；如果n=0，则返回（1）；否则a:=0:对于除数（n）中的d，做a:=a+mobius（n/d）*2^d；od：返回（a/n）；fi；结束；
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数学
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f[n_]：=块[{d=除数@n}，加号@@（MoebiusMu[n/d]*2^d/n）]；数组[f，32]
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黄体脂酮素
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（平价）A001037号（n） =如果（n>1，sumdiv（n，d，moebius（d）*2^（n/d））/n，n+1）\\编辑人M.F.哈斯勒2016年1月11日
（PARI）{a（n）=polcoeff（1-和（k=1，n，moebius（k）/k*log（1-2*x^k+x*O（x^n））），n）}\\保罗·D·汉娜2010年10月13日
（PARI）a（n）=如果（n>1），我的；对于步骤（i=2^n+1，2^（n+1），2，s+=polisirreducible（Mod（1,2）*Pol（binary（i）））；s、 n+1）\\查尔斯·格里特豪斯四世，2012年1月26日
（哈斯克尔）
a001037 0=1
a001037 n=（总和$map（\d->（a000079 d）*a008683（n`div`d））$
a027750_行n）`div`n
（Python）
从sympy导入除数，mobius
定义a（n）：如果n>1，则返回和（mobius（d）*2**（n//d）for d in divisors（n））/n#因德拉尼尔·戈什2017年4月26日
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交叉参考
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的行总和A051168号，它给出了具有固定数量的零和一的Lyndon单词的数量。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000740号
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| 基本周期为2n的2n珠平衡二元项链的数量，相当于反向补码；b_n=2^（n-1）与mu（n）的Dirichlet卷积；还有Mandelbrot集对应于具有吸引性n圈的Julia集的分量数。
（原名M2582 N1021）
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+10
199
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1, 1, 3, 6, 15, 27, 63, 120, 252, 495, 1023, 2010, 4095, 8127, 16365, 32640, 65535, 130788, 262143, 523770, 1048509, 2096127, 4194303, 8386440, 16777200, 33550335, 67108608, 134209530, 268435455, 536854005, 1073741823, 2147450880
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,3
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评论
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也可以将n的组成数转换为相对质数部分（即所有部分的gcd为1）。还有包含n且由相对素数组成的{1,2，..，n}的子集的数目-弗拉德塔·乔沃维奇2003年8月13日
a（n）是n次GF（2）[x]中系数非零的一元不可约多项式的个数-米歇尔·马库斯2016年10月30日
a（n）是n的非周期成分数，具有相对质数部分的n的成分数，以及具有相对质素长度的n的组成数-古斯·怀斯曼2017年12月21日
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参考文献
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H.O.Peitgen和P.H.Richter，《分形之美》，Springer-Verlag；A.Douady的贡献，第165页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Hunki Baek、Sejeong Bang、Dongseok Kim和Jaeun Lee，非周期回文与连通循环图之间的双射，arXiv:1412.2426[math.CO]，2014年。见表2。
François Vigneron和Nicolae Mihalache，如何拆分多项式，arXiv:2402.06083[math.NA]，2024。
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配方奶粉
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a（n）=Sum_{d|n}mu（n/d）*2^（d-1），Mobius变换A011782美元此外，Sum_{d|n}a（d）=2^（n-1）。
递归关系：a（n）=2^（n-1）-Sum_{d|n，d>1}a（n/d）。（拉斐特学院问题小组；见Maple项目和[Iglesias eq（6）]-Emeric Deutsch公司2007年4月27日
通用公式：总和{k>=1}亩（k）*x^k/（1-2*x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2018年10月24日
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例子
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当n=4时，n的6个组分分成互质部分：<3,1>、<2,1,1>、<1,3>、<1,2,1>、<1,1,2>和<1,1,1,1>。
a（6）=27非周期成分为：
(11112), (11121), (11211), (12111), (21111),
(1113), (1122), (1131), (1221), (1311), (2112), (2211), (3111),
(114), (123), (132), (141), (213), (231), (312), (321), (411),
(15), (24), (42), (51),
(6).
a（6）=27构成相对主要部分的成分为：
(111111),
(11112), (11121), (11211), (12111), (21111),
(1113), (1122), (1131), (1212), (1221), (1311), (2112), (2121), (2211), (3111),
（114）、（123）、（132）、（141）、（213）、（231）、（312）、（321）、（411），
(15), (51).
a（6）=27组分，具有相对主要的运行长度：
(11112), (11121), (11211), (12111), (21111),
(1113), (1131), (1212), (1221), (1311), (2112), (2121), (3111),
(114), (123), (132), (141), (213), (231), (312), (321), (411),
(15), (24), (42), (51),
(6).
（结束）
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MAPLE公司
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用（数字理论）：a[1]：=1:a[2]：=1:n从3到32对n进行div:=除数（n）：a[n]：=2^（n-1）-和（a[n/div[j]]，j=2..tau（n））od:seq（a[n]，n=1..32）#Emeric Deutsch公司2007年4月27日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=sumdiv（n，d，moebius（n/d）*2^（d-1））
（Python）
从sympy import mobius，除数
定义a（n）：返回和（[mobius（n/d）*2**（d-1）for d in divisors（n）]）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000837号,A003239号,A008683号,A008965号,A022553号,A034738号,A035928号,A038199号,A051168号,A054525号,A056267号,A059966号,114324英镑,A167606型,A178472号,A216954号,A228369号,A294859型,A296302型.
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关键词
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非n,美好的,容易的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 5, 7, 13, 19, 35, 59, 107, 187, 351, 631, 1181, 2191, 4115, 7711, 14601, 27595, 52487, 99879, 190745, 364723, 699251, 1342183, 2581427, 4971067, 9587579, 18512791, 35792567, 69273667, 134219795, 260301175, 505294127, 981706831, 1908881899, 3714566311, 7233642929
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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串珠项链是一个循环，其中循环的每个元素本身就是一组串珠，总大小就是串珠的总数。
等价地，a（n）是n的循环组成数。这些也可以松散地描述为循环分区。
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第520页，表8.13。
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链接
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R.Bekes、J.Pedersen和B.Shao，疯狂茶党循环分区，大学数学。J.，43（2012），24-36。
张祖玲（Zuling Chang）、马提亚努斯·弗雷德里克·埃泽曼（Martianus Frederic Ezerman）、阿达马斯·阿克萨·法赫雷扎（Adamas Aqsa Fahreza）和王强（Qiang Wang），二元deBruijn序列的图连接贪婪方法，arXiv:2004.09810[cs.IT]，2020年。
P.Flajolet和M.Soria，循环结构，SIAM J.离散。数学。，第4卷（1），1991年，第58-60页。
P.Flajolet和M.Soria，循环结构，SIAM J.离散。数学。，第4卷（1），1991年，第58-60页。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第48页。
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配方奶粉
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G.f.：总和{k>=1}φ（k）/k*log（1/（1-B（x^k）），其中B（x）=x/（1-x）；请参阅Flajolet/Soria参考-乔格·阿恩特2012年8月6日
a（n）=Sum_{d|（2^n-1）}phi（d）/ord（2，d），其中phi=A000010美元ord（2，d）是2模d的乘法阶。
Dirichlet g.f.：zeta（s）*（f（s+1）/zeta（s+1
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例子
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例如，n=4的5条项链是（3，1）、（4）、（1，1，1），（2，1，一）、（2，2，2）。
在Combstruct语言中，这些可以描述为循环（集合（Z）、集合（Z，Set（Z））、集（Z）和集（Z。
当n=6时，13条项链是
1: (1, 1, 1, 1, 1, 1),
2: (2, 1, 1, 1, 1),
3: (2, 1, 2, 1),
4: (2, 2, 1, 1),
5: (2, 2, 2),
6: (3, 1, 1, 1),
7: (3, 1, 2),
8：（3，2，1），
9: (3, 3),
10: (4, 1, 1),
11: (4, 2),
12: (5, 1),
13: (6).
[由Marcel Vonk（mail（AT）marcelvonk.nl）更正，2008年2月5日]
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MAPLE公司
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with（combstruct）：seq（combstract[count]（[N，{N=循环（集合（Z，卡>=1））}，未标记]，大小=N），N=1..100）；
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数学
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nn=35；删除[Apply[Plus，Table[CoefficientList[Series[CycleIndex[CyclicGroup[n]，s]/。表[s[i]->x^i/（1-x^i），{i，1，n}]，{x，0，nn}]，x]，{n，1，nn}]]，1](*杰弗里·克雷策，2012年10月30日*）
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黄体脂酮素
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（平价）
N=66；x='x+O（'x^N）；
B（x）=x/（1-x）；
A=总和（k=1，N，eulerphi（k）/k*log（1/（1-B（x^k）））；
车辆（A）
（Python）
从sympy导入到divisors
定义A008965号（n） ：返回除数（n，生成器=True）中d的总和（totient（d）*（1<<n//d））//n-1#柴华武2023年9月23日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A328596型
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| 反向二进制展开为Lyndon单词（非周期项链）的数字。 |
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+10
67
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1, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 30, 32, 40, 44, 48, 52, 56, 58, 60, 62, 64, 72, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 106, 108, 112, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 144, 152, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 200, 208, 212, 216, 218, 220, 224
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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Lyndon单词是一个有限的序列，严格来说，它的词典编纂比它的所有循环旋转都要少。
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链接
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配方奶粉
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例子
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术语序列及其二进制展开式和二进制索引开始于：
1:1至｛1｝
2: 10 ~ {2}
4: 100 ~ {3}
6: 110 ~ {2,3}
8: 1000 ~ {4}
12: 1100 ~ {3,4}
14: 1110 ~ {2,3,4}
16: 10000 ~ {5}
20: 10100 ~ {3,5}
24: 11000 ~ {4,5}
26: 11010 ~ {2,4,5}
28: 11100 ~ {3,4,5}
30: 11110 ~ {2,3,4,5}
32:100000至{6}
40: 101000 ~ {4,6}
44: 101100 ~ {3,4,6}
48: 110000 ~ {5,6}
52: 110100 ~ {3,5,6}
56: 111000 ~ {4,5,6}
58: 111010 ~ {2,4,5,6}
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|
数学
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aperQ[q_]：=数组[RotateRight[q，#]&，Length[q]，1，UnsameQ]；
neckQ[q_]：=数组[OrderedQ[{q，RotateRight[q，#]}]&，长度[q]-1，1，And]；
选择[Range[100]，aperQ[Reverse[IntegerDigits[#，2]]和&neckQ[Revverse[IntigerDigits[#，2]]&]
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A275692型
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| 对k进行编号，使k的二进制数字的每次旋转都小于k。 |
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+10
62
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0, 1, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 30, 32, 40, 48, 50, 52, 56, 58, 60, 62, 64, 72, 80, 84, 96, 98, 100, 104, 106, 108, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 144, 160, 164, 168, 192, 194, 196, 200, 202, 208, 210, 212, 216, 218, 224, 226, 228
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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取a（n）的二进制表示，将其反转，每个数字加1。结果是的十进制表示2010年2月59日（n） ●●●●。
也对k进行编号，使第k个成分按标准顺序排列（第k行A066099美元)是林登语。例如，所有Lyndon单词的顺序都是从以下开始的：
0: () 52: (1,2,3) 118: (1,1,2,1,2)
1: (1) 56: (1,1,4) 120: (1,1,1,4)
2: (2) 58: (1,1,2,2) 122: (1,1,1,2,2)
4: (3) 60: (1,1,1,3) 124: (1,1,1,1,3)
6: (1,2) 62: (1,1,1,1,2) 126: (1,1,1,1,1,2)
8: (4) 64: (7) 128: (8)
12: (1,3) 72: (3,4) 144: (3,5)
14: (1,1,2) 80: (2,5) 160: (2,6)
16:（5）84:（2,2,3）164:（2,3,3）
20: (2,3) 96: (1,6) 168: (2,2,4)
24: (1,4) 98: (1,4,2) 192: (1,7)
26: (1,2,2) 100: (1,3,3) 194: (1,5,2)
28: (1,1,3) 104: (1,2,4) 196: (1,4,3)
30: (1,1,1,2) 106: (1,2,2,2) 200: (1,3,4)
32: (6) 108: (1,2,1,3) 202: (1,3,2,2)
40:（2,4）112:（1,1,5）208:（1,2,5）
48: (1,5) 114: (1,1,3,2) 210: (1,2,3,2)
50: (1,3,2) 116: (1,1,2,3) 212: (1,2,2,3)
（结束）
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链接
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例子
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6位于序列中，因为它的二进制表示110大于所有旋转011和101。
10不在序列中，因为它的二进制表示1010在旋转2位时不变。
术语序列及其二进制展开式和二进制索引开始于：
1: 1 ~ {1}
2: 10 ~ {2}
4: 100 ~ {3}
6: 110 ~ {2,3}
8: 1000 ~ {4}
12: 1100 ~ {3,4}
14: 1110 ~ {2,3,4}
16: 10000 ~ {5}
20: 10100 ~ {3,5}
24: 11000 ~ {4,5}
26: 11010 ~ {2,4,5}
28: 11100 ~ {3,4,5}
30: 11110 ~ {2,3,4,5}
32: 100000 ~ {6}
40: 101000 ~ {4,6}
48: 110000 ~ {5,6}
50: 110010 ~ {2,5,6}
52: 110100 ~ {3,5,6}
56: 111000 ~ {4,5,6}
58: 111010 ~ {2,4,5,6}
（结束）
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|
MAPLE公司
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过滤器：=proc（n）局部L，k；
五十： =转换（转换（n，二进制），字符串）；
对于从1到长度（L）的k-1 do
如果lexorder（L，StringTools:-Ratete（L，k）），则返回false fi；
od；
真的
结束进程：
选择（过滤器，[0..1000]）；
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数学
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filterQ[n_]：=模块[{bits，rr}，bits=整数位数[n，2]；rr=NestList[RotateRight，bits，Length[bits]-1]//静止；所有真[rr，起始数字[#，2]<n&]]；
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黄体脂酮素
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（Python）
定义正常（n）：
b=箱（n）[2:]
返回all（对于范围（1，len（b））中的i，b[i:]+b[：i]<b）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 3, 7, 13, 17, 34, 59, 105, 166, 279, 442, 730, 1157, 1927, 3045, 4741, 7527, 11667, 18048, 27928, 43334, 65861, 101385, 153404, 232287, 347643, 523721, 780083, 1165331, 1725966, 2561625, 3773838, 5561577, 8151209, 11920717, 17364461, 25269939, 36635775
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n的合成是正整数与n之和的有限序列。
序列的差异被定义为序列在增加，例如（3，1，2）的差异是（-2,1）。
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链接
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例子
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a（1）=1到a（6）=17组分：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(11) (12) (13) (14) (15)
(21) (22) (23) (24)
(31) (32) (33)
(112) (41) (42)
(121) (113) (51)
（211）（122）（114）
(131) (132)
(212) (141)
(221) (213)
(311) (231)
(1121) (312)
(1211) (411)
(1131)
(1221)
(1311)
(2112)
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数学
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表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n]，UnsameQ@@Differences[#]&]]，{n，0，15}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000079号,A000740号,A008965号,A059966号,A070211型,A175342号,A242882型,A325325,A325352型,A325546型,A325547型,A325548型,A325551型,A325554型.
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|
|
关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
|
经核准的
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1, 1, 2, 2, 5, 8, 10, 20, 28, 41, 62, 102, 124, 208, 278, 426, 571, 872, 1158, 1718, 2306, 3304, 4402, 6286, 8446, 11725, 15644, 21642, 28636, 38956, 52296, 70106, 93224, 124758, 165266, 218916, 290583, 381706, 503174, 659160, 865020, 1124458, 1473912, 1907298
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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n的合成是具有和n的正整数的有限序列。
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链接
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例子
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a（1）=1到a（7）=20组分：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(11) (111) (22) (113) (33) (115)
(112) (122) (114) (133)
(211) (221) (222) (223)
(1111) (311) (411) (322)
（1112）（1113）（331）
(2111) (3111) (511)
(11111) (11112) (1114)
(21111) (1222)
(111111) (2221)
（4111）
(11113)
(11122)
(22111)
(31111)
(111112)
(111211)
(112111)
(211111)
(1111111)
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数学
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表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n]，UnnameQ@@Length/@Split[#]&]]，｛n，0，10｝]
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交叉参考
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评论
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林登单词是原始的（不是另一个单词的幂次），在字典顺序上比它的任何循环移位都要早。
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链接
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埃米利·查利尔、马诺·菲利伯特、马诺·阿斯蒂普兰蒂，尼尔登语，arXiv:1804.09735[math.CO]，2018年。见表1。
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配方奶粉
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数学
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lynQ[q_]：=数组[Union[{q，RotateRight[q，#]}]=={q，旋转右[q，#]}&，长度[q]-1，1，And]；
连接@@表[FromDigits/@Select[Tuples[{1，2}，n]，lynQ]，{n，5}](*古斯·怀斯曼2019年11月14日*）
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黄体脂酮素
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（Haskell）参考链接。
（PARI）是_2010年2月59日（n） =｛vecsort（d=digitals（n））！=d&&for（i=1，#d-1，n>[1，10^（#d-i）]*divrem（n，10^i）&&return）；fordiv（#d，L，L<#d&&d==concat（Col（vector（#d/L，i，1）~*vecextract（d，2^L-1））~）&&return）；！setminus（Set（d），[1，2]）｝\\最后一次检查是最便宜的一次，但如果我们只测试数字为｛1，2的数字，则没有用处}。
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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经核准的
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评论
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任何二进制单词都有一个独特的因子分解，作为非增量Lyndon单词的乘积（参见Lothaire）。a（n）=n的二元展开的Lyndon因式分解中的因子数。
当n=2^（k-1）+1时，a（n）=k首次出现。
我们将两个或多个有限序列的Lyndon积定义为通过将序列混合在一起可以获得的词典编纂最大序列。例如，（231）与（213）的林登积是（232131），（221）与。Lyndon词是相对于Lyndon乘积为素数的有限序列。等价地，Lyndon单词是严格小于其所有循环旋转的有限序列。每个有限序列对Lyndon单词都有一个唯一的（无序）因子分解，如果这些因子按字典序递减排列，那么它们的串联等于它们的Lyndon乘积-古斯·怀斯曼2019年11月12日
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参考文献
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M.Lothaire，《单词组合学》，Addison-Wesley，Reading，MA，1983年。见定理5.1.5，第67页。
G.Melançon，使用Maple分解无限单词，MapleTech Journal，第4卷，第1期，1997年，第34-42页
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链接
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例子
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n=25有二元展开式11001，它有三个因子的Lyndon因式分解（1）（1），所以a（25）=3。
下面是n的小值的Lyndon因式分解：
.0.
.1.
.1.0.
.1.1.
.1.0.0.
.1.01.
.1.1.0.
第1.1.1条。
.1.0.0.0.
.1.001.
.1.01.0.
.1.011.
.1.1.0.0.
...
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数学
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lynQ[q_]：=数组[Union[{q，RotateRight[q，#]}]=={q，旋转右[q，#]}&，长度[q]-1，1，And]；
lynfac[q_]：=如果[Length[q]==0，{}，函数[i，前缀[lynfac[Drop[q，i]]，Take[q，i]][Last[Select[Range[Length[q]]，lynQ[Take[q，#]]&]]]；
表[Length[lynfac[IntegerDigits[n，2]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2019年11月12日*）
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交叉参考
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非n
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