搜索： a059935-编号：a059934
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A059936号
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| Goodstein序列中的第五步，即如果g（2）=n，则为g（7）：写入g（6）=A059935号（n） 在遗传表示基6中，凹凸到基7，然后减去1得到g（7）。 |
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19
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0, 109, 1197, 98039, 823543, 1647195, 2471826, 4215754, 5764801, 5764910, 5765998, 5862840, 6588344, 5103708485122940631839901111036829791435007685667303872450435153015345686896530517814322070729709
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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3,2
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评论
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a（17）=4.587…*10^1014，a（18）=1.505…*10*10^82854，and 3.759…*10*695974=a（19）<a（20）<…<a（31）=a（19）+6588344-蓬图斯·冯·布罗姆森2020年9月20日
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链接
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R.L.Goodstein，关于限制序定理，J.Symb。逻辑9，33-412944。
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例子
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a（12）=5764910，因为g（2）=12=2^（2+1）+2^2，我们得到g（3）=3^（3+1）+3^3-1=107=3^ 19和g（7）=7^（7+1）+2*7^2+7+4=5764910。
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）参见链接
（Python）
从sympy.theory.factor导入数字
定义凹凸（n，b）：
s=数字（n，b）[1:]
l=长度
如果s[i]，范围（l）中i的返回和（s[i]*（b+1）**bump（l-i-1，b）
对于范围（2，7）中的i：
n=凸点（n，i）-1
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A266201型
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| 古德斯坦数：a（n）=G_n（n），其中G是古德斯坦函数。 |
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0, 0, 1, 2, 83, 1197, 187243, 37665879, 20000000211, 855935016215, 44580503598539, 2120126221988686, 155568095557812625, 6568408355712901455, 295147905179358418247, 14063084452070776884879
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,4
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评论
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要在基于k的遗传表示中写入整数n，请在普通基于k的表示中写入n，然后对所有大于k的指数递归地执行同样的操作。
例如，以2为基数的132132的遗传表示为：
132132 = 2^17 + 2^10 + 2^5 + 2^2
= 2^(2^4 + 1) + 2^(2^3 + 2) + 2^(2^2 + 1) + 2^2
= 2^(2^(2^2) + 1) + 2^(2^(2+1) + 2) + 2^(2^2 + 1) + 2^2.
将B_k（n）定义为用k+1代替n的基-k遗传表示的所有基的函数。
例如，B_2（101）=B_2（2^（2^2+2）+2^（2%2+1）+2^2+1）=3^（3^3+3）+3^（3+1）+3^3+1=228767924549638。
（有时B_k（n）被称为n从基数k“凸起”）
Goodstein函数定义为：G_k（n）=B_{k+1}（G_{k-1}（n））-1，G_0（n；有关实例，请参阅示例部分。
古德斯坦定理说，对于任何非负n，序列G_k（n）最终稳定，然后每一步减少1，直到它达到0。（G_k（n）<0的后续值不是序列的一部分。）
以英国数学家鲁本·路易斯·古德斯坦（1912-1985）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月19日
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链接
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R.L.Goodstein，关于限制序数定理，J.Symb。《逻辑》，第9卷，第2期（1944年），第33-41页；备用链路.
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例子
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计算a（5）=G_5（5）：
G_0（5）=5；
G_（5）=B_2（G_0（5））-1=B_2（2^2+1）-1=（3^3+1）-1=27=3^3；
G_2（5）=B_3（G_1（5））-1=B_3（3^3）-1=4^4-1=255=3*4^3+3*4^2+3*4^3；
G_3（5）=B_4（G_2（5））-1=B_4[3*4^3+3*4^2+3*4+3）-1=467；
G_4（5）=B_5（G_3（5））-1=B_五（3*5^3+3*5^2+3*5+2）-1=775；
G_5（5）=B_6（G_4（5））-1=B_5（3*6^3+3*6^2+3*6+1）-1=1197。
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黄体脂酮素
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（PARI）（B（n，B）=总和（i=1，#n=数字（n，B），n[i]*（B+1）^if（#n<B+i，#n-i，B（#n-i、B）））；A266201型（n） =（k=1，n，n=B（n，k+1）-1）；n个\\M.F.哈斯勒2017年2月12日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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删除了不正确的a（16）（正确值为~2.77*10^861）M.F.哈斯勒2017年2月19日
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状态
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经核准的
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A056193号
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| 从4开始的Goodstein序列：要计算a（n+1），在以n+2为基数的遗传表示中写入a（n），然后将基数加到n+3，然后减去1。 |
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27
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4, 26, 41, 60, 83, 109, 139, 173, 211, 253, 299, 348, 401, 458, 519, 584, 653, 726, 803, 884, 969, 1058, 1151, 1222, 1295, 1370, 1447, 1526, 1607, 1690, 1775, 1862, 1951, 2042, 2135, 2230, 2327, 2426, 2527, 2630, 2735, 2842, 2951, 3062, 3175, 3290, 3407
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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Goodstein定理表明，对于任何起始值，这样的序列收敛到零[例如，如果a（0）=1，那么a（1）=0；如果a（O）=2，那么b（3）=0，如果a。当a（0）=4时，我们有一个（3*2^（3*2_27+27）-3）=0，这远远超过了10^（10^8）项。
此类序列的下半部分正在下降，上一季度保持稳定。
得到的序列为0,1,3,5,3*2^402653211-3。。。（请参阅中的注释A056041号)生长得太快，没有自己的入口。
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链接
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R.L.Goodstein，关于限制序定理《符号逻辑杂志》，第9卷，第2期（1944年），第33-41页。
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例子
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a（0）=4=2^2，
a（1）=3^3-1=26=2*3^2+2*3+2，
a（2）=2*4^2+2*4+2-1=41=2*4^2+2*4+1，
a（3）=2*5^2+2*5+1-1=60=2*5^2+2*5，
a（4）=2*6^2+2*6-1=83=2*6 ^2+6+5，
a（5）=2*7^2+7+5-1=109等。
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黄体脂酮素
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（Haskell）参见Zumkeller链接
（PARI）列表a（nn）={print1（a=4，“，”）；对于（n=2，nn，pd=Pol（数字（a，n））；q=总和\\米歇尔·马库斯2016年2月22日
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交叉参考
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关键词
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非n,完成
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作者
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经核准的
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评论
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G_0（m）=m。要得到第二项，用遗传基数2表示法写m（见链接），将所有的2改为3，然后从结果中减去1。要得到第三项，用遗传基3表示法写出第二项，将所有3s改为4s，然后再减去1。当序列终止时，继续直到结果为零（根据古德斯坦定理）。
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链接
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R.L.Goodstein，关于限制序定理，J.Symb。逻辑9，33-412944。
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配方奶粉
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（0）=（1）=（2）=3；a（3）=2；a（4）=1；a（n）=0，n>4；
总尺寸：3+3*x+3*x^2+2*x^3+x^4。
例如：3+3*x+（3/2）*x^2+（1/3）*x|3+（1/24）*x*4。
a（n）=楼层（2-（4/Pi）*arctan（n-3）），n>=0。
（结束）
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例子
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a（0）=3=2^1+1；
a（1）=3^1+1-1=3^1=3；
a（2）=4^1-1=3；
a（3）=3-1=2；
a（4）=2-1=1；
a（5）=1-1=0。
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数学
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PadRight[系数列表[序列[3+3 x+3 x ^2+2 x ^3+x ^4，{x，0，4}]，x]，6](*迈克尔·德弗利格2017年12月12日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）参见链接
（PARI）B（n，B）=总和（i=1，#n=数字（n，B），n[i]*（B+1）^if（#n<B+i，#n-i，B（#n-i、B））
a（n）=我的（x=3）；对于（i=1，n，x=B（x，i+1）-1；如果（x==0，break（）））；x\\（使用序列定义）伊恩·福克斯2017年12月13日
（PARI）first（n）=my（res=向量（n））；res[1]=res[2]=res[3]=3；res[4]=2；res[5]=1；资源\\伊恩·福克斯2017年12月12日
（PARI）第一（n）=Vec（3+3*x+3*x^2+2*x^3+x^4+O（x^n））\\伊恩·福克斯2017年12月12日
（PARI）a（n）=楼层（2-（4/Pi）*atan（n-3））\\伊恩·福克斯2017年12月12日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A056004号
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| Goodstein序列的初始步骤：在遗传表示基2中写入n，加至基3，然后减去1。 |
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22
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0, 2, 3, 26, 27, 29, 30, 80, 81, 83, 84, 107, 108, 110, 111, 7625597484986, 7625597484987, 7625597484989, 7625597484990, 7625597485013, 7625597485014, 7625597485016, 7625597485017, 7625597485067, 7625597485068, 7625597485070
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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要在base-k遗传表示中写入整数n，请在普通base-k表示中写入n，然后对所有大于k的指数递归地执行相同操作：例如，2^18=2^（2^4+2）=2^。“Bump to base 3”表示将该表示中的所有2替换为3-M.F.哈斯勒2017年2月19日
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链接
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A.E.Caicedo，古德斯坦函数，Revista Colombiana de Matemáticas 41（2007），381-391。
R.L.Goodstein，关于限制序定理，J.Symb。逻辑9，33-411944。
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例子
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a（18）=7625597484989，因为18=2^（2^2）+2^1，当从2到3时，它变为3^（3^3）+3^1=7625597 4849890，当减去1时，得到762559748 4989。
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）参见链接
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A057650型
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| Goodstein序列中的第二步，即g（4）如果g（2）=n：（第一步）在遗传表示基2中写入g（2=A056004号（n） 然后（第二步）在遗传表示基3中写入g（3），跳到基4，然后减去1得到g（4）。 |
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+10
18
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1, 3, 41, 255, 257, 259, 553, 1023, 1025, 1027, 1065, 1279, 1281, 1283, 50973998591214355139406377, 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084095
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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2,2
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链接
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R.L.Goodstein，关于限制序定理，J.Symb。逻辑9，33-411944。
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例子
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a（12）=1065，因为g（2）=12=2^（2+1）+2^2，我们得到g（3）=3^（3+1）+3^3-1=107=3^。
a（17）=4^（4^4）-1，其中g（2）=17=2^（2^2）+1和g（3）=3^（3^3）。
类似地，a（18）=4^（4^4）+1，g（2）=18=2^（2^2）+2和g（3）=3^（3^3）+2。
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）参见链接
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A059934号
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| Goodstein序列中的第三步，即如果g（2）=n，则为g（5）：写入g（4）=A057650型（n） 在遗传表示基4中，凹凸到基5，然后减去1得到g（5）。 |
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+10
16
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0, 2, 60, 467, 3125, 3127, 6310, 9842, 15625, 15627, 15685, 16092, 18750, 18752, 53793641718868912174424175024032593379100060
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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2,2
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评论
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1.911…*10^2184=a（18）<a（19）<…<a（31）=a（18）+18752-蓬图斯·冯·布罗姆森2020年9月20日
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链接
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R.L.Goodstein，关于限制序定理，J.Symb。逻辑9，33-411944。
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例子
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a（12）=15685，因为g（2）=12=2^（2+1）+2^2，我们得到g（3）=3^（3+1）+3^3-1=107=3^（3+1）+2*3^2+2*3+2，g（4）=4^（4+1）+2*4^2+2*4+2-1=1065和g（5）=5^（5+1）+2*5^2+2*1-1。
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）参见链接
（Python）
从sympy.theory.factor导入数字
定义凹凸（n，b）：
s=数字（n，b）[1:]
l=长度
如果s[i]，则范围（l）中i的返回和（s[i]*（b+1）**bump（l-i-1，b）
对于范围（2，5）中的i：
n=凸点（n，i）-1
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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266, 6590, 65601, 390750, 1679831, 5765085, 16777579, 43047173, 100000551, 214359541, 429982475, 815731628, 1475790101, 2562891818, 4294968647, 6975758960, 11019962273, 16983564926, 25600002083, 37822861652, 54875876045, 78310988018, 110075317151, 152587893847
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0.1个
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链接
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交叉参考
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有关其他Goodstein序列，请参见A014221号,A056004号,A056041号,A056193号,A057650型,A059933号,A059934号,A059935号,A059936号,1937年11月,A211378型,A215409型,A222112号,2013年2月22日,A222117号.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 139, 1751, 187243, 16777215, 33554571, 50333399, 84073323, 134217727, 134217867, 134219479, 134404971, 150994943
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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3,2
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评论
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下一个术语（换行符用于更好的格式）是a（16）=\
1619239197880733074062994004113160848331305687934176134326809\
538279709713884753268291640071900343455846003089194770060104834018705547.
a（17）=2.870…*10^1585，a（18）=6.943…*10*169099-蓬图斯·冯·布罗姆森2020年9月24日
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链接
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例子
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查找G_6（7）：
G_1（7）=B_2（7）-1=B_2（2^2+2+1）-1=3^3+3+1-1=30；
G_2（7）=B_3（G_1（7））-1=B_3（3^3+3）-1=4^4+4-1=259；
G_3（7）=B_4（G_2（7））-1=5^5+3-1=3127；
G_4（7）=B_5（G_3（7））-1=6^6+2-1=46657；
G_5（7）=B_6（G_4（7））-1=7^7+1-1=823543；
G_6（7）=B_7（G_5（7））-1=8^8-1=16777215。
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黄体脂酮素
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（Python）
从sympy.theory.factor导入数字
定义凹凸（n，b）：
s=数字（n，b）[1:]
l=长度
如果s[i]，范围（l）中i的返回和（s[i]*（b+1）**bump（l-i-1，b）
如果n==3：返回0
对于范围（2，8）中的i：
n=凸点（n，i）-1
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A056041号
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| 当b（2）=n和b（k+1）时，b（a（n））=0的值是通过以k为基数写b（k）来计算的，将其读作以k+1为基数写，然后减去1。 |
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+10
7
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抵消
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0.1个
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评论
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a（8）=3*2^（3*2^27+27）-1，大于10^（10^8），等于从g（2）=4开始的Goodstein序列的最后一个基；实际上，除了初始项之外，以b（2）=8开始的序列与以g（2）=4开始的Goodstein序列是相同的。a（n）[2，3，5和7]的初始项等于在相同点开始的Goodstein序列的等价最终碱基的初始项。a（9）=2^（2^（2 ^（70+70）+2^ 70+70）-1，大于10^（10 ^（20））。
看起来，如果n是偶数，那么a（n）是1的三倍于2的幂，而如果n是奇数，那么b（n）则是1的二次幂。
来自的评论约翰·特隆普2004年12月2日：序列2,3,5,7,3*2^402653211-1。。。给出了以n开头的Goodstein序列的最后一个基。这是一个快速增长的函数的示例，该函数是总计的（即定义在任何输入上），尽管这一事实在一阶Peano算术中无法证明。有关定义，请参阅链接。这比《评论》中描述的弗里德曼序列增长更快A014221号.
事实上，有两个相关序列：（i）Goodstein函数l（n）=当初始项n>=0时，Goodstein-序列达到0的步长数：0，1，3，5，3*2^402653211-3。。。；和（ii）相同序列+2:2，3，5，7，3*2^402653211-1。。。，这是到达的最后一个基地。两者的增长速度都太快，无法在数据库中拥有自己的条目。
与遗传碱基序列相关-参见交叉参考线。
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链接
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R.L.古德斯坦，关于限制序定理，J.Symb。逻辑9，33-411944。
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例子
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a（3）=7，因为从b（2）=3=11基2开始，我们得到b（3）=11-1基3=10基3=3，b（4）=10-1基4=3，c（5）=3-1基5=2，b。
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黄体脂酮素
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关于序列2，3，5，7，3*2^402653211-1。。。上面提到过，John Tromp写道：在Haskell中，序列是无限列表
main=mapM_（print.g 2）[0..]其中
g b 0=b；g b n=g c（s 0 n-1），其中s _ 0=0；s e n=mod n b*c ^s 0 e+s（e+1）（div n b）；c=b+1
在Ruby中，f（n）定义为
定义s（b，e，n）n==0？0:n%b*（b+1）**s（b，0，e）+s（b、e+1，n/b）结束
定义g（b，n）n==0？b： g（b+1，s（b，0，n）-1）结束
定义f（n）g（2，n）端
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交叉参考
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关键词
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基础,非n
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作者
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