搜索： a059896-编号：a059898
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2, 6, 6, 30, 90, 270, 30, 210, 630, 6750, 6750, 1890, 15750, 47250, 210, 2310, 6930, 47250, 47250, 330750, 992250, 425250, 47250, 103950, 173250, 2315250, 2315250, 519750, 8489250, 25467750, 2310, 30030, 90090, 519750, 25467750, 3638250, 1910081250, 13023281250, 1447031250, 1400726250, 4202178750, 104186250, 2604656250
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,1
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A007947号
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| 除以n的最大平方数：n的平方核，rad（n），n的根。 |
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+10
905
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1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, 51, 26, 53, 6, 55, 14, 57, 58, 59, 30, 61, 62, 21, 2, 65, 66, 67, 34, 69, 70, 71, 6, 73, 74, 15, 38, 77, 78
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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与a（p^e）相乘=p。
n的不同素因子的乘积。
上述表征a（n）=lcm（b，c）不正确。当n为双二次时，它失败(A046101号). 例如，当n=48时，sqrt（48）=4*sqrt；然而，a（48）=6不是lcm（4,3）-杰佩·斯蒂格·尼尔森2021年10月10日
也是n的素因子的最小公倍数-彼得·卢什尼2011年3月22日
似乎是k^n mod n的周期长度。例如，n^12 mod 12具有周期6，重复1,4,9,4,1,0，因此a（12）=6-加里·德特利夫斯2013年4月14日
a（n）也是1/n的表示具有有限长度的最小基数（也称为基数）。例如，a（12）=6，基6中的1/12为0.03，这是有限长的-李·纽伯格2016年7月27日
a（n）也是n的除数k，使得d（k）=2^omega（n）。a（n）也是n的最小除数u，因此n除以u^n-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2017年4月6日
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链接
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Masum Billal，可分序列及其特征序列，arXiv:1501.00609[math.NT]，2015，定理11，第5页。
史蒂文·芬奇，一元论和无限论2004年2月25日。[经作者许可，缓存副本]
雅罗斯·阿夫·格利特祖克，图、点和数的图式问题，离散数学。，308（2008），4419-4429。
谢尔盖·朗，新旧猜测丢番图不等式，公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》，23（1990），37-75。见第39页。
D.H.Lehmer，算术级数的欧拉常数《纪念尤里·弗拉迪米罗维奇·林尼克的文章集》。《阿里斯学报》。27 (1975), 125--142. MR0369233（51号5468）。参见第131页的N_k。
保罗·塔劳，用自然数的多集表示模拟素数，《计算的理论方面》，ICTAC 2011，《计算机科学讲义》，2011年，第6916/2011卷，218-238
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配方奶粉
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如果n=Product_j（p_j^k_j），其中p_j是不同的素数，则a（n）=Product_j（p_j）。
Dirichlet g.f.：zeta（s）*乘积{素数p}（1+p^（1-s）-p^（-s））-R.J.马塔尔2012年1月21日
a（n）=产品{d|n}d^moebius（n/d）（请参阅Billal链接）-米歇尔·马库斯2015年1月6日
a（n）=n/（总和{k=1..n}（楼层（k^n/n）-楼层（k*n-1）/n））=e^*A010051型（k） *M（k）），其中M（n）是Mangoldt函数-安东尼布朗2016年6月17日
通用公式：和{k>=1}φ（k）*mu（k）^2*x^k/（1-x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月11日
Dirichlet g.f.：zeta（s-1）*zeta（s）*Product_{primes p}（1+p^（1-2*s）-p^（2-2*s）-p^（-s））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年12月18日
a（n^2）=a（n）。
（结束）
a（n）=总和{k=1..n}μ（n/gcd（n，k））^2。
a（n）=总和{k=1..n}μ（gcd（n，k））^2*φ。
当n>1时，求和{k=1..n}a（gcd（n，k））*mu（a（gcd-（n，k）））*phi（gcd--（n，k-））/gcd（n，k=0。
对于n>1，求和{k=1..n}a（n/gcd（n，k））*mu（a（n/gcd（n、k）））*phi（gcd（n，k））*gcd（n，k）=0。（结束）
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例子
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G.f.=x+2*x^2+3*x^3+2*x^4+5*x^5+6*x^6+7*x^7+2*x^8+3*x*9+-迈克尔·索莫斯2018年7月15日
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；A007947号：=proc（n）局部i，t1，t2；t1:=系数（n）[2]；t2:=多（t1[i][1]，i=1..nops（t1））；结束；
A： =n->convert（数字理论：-factorset（n），`*`）：
seq（数论：-根（n），n=1..78）#彼得·卢什尼2021年7月20日
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数学
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rad[n_]：=倍@@（第一个@#&/@FactorInteger@n）；数组[rad，78](*罗伯特·威尔逊v2012年8月29日*）
表[Last[Select[Divisors[n]，SquareFreeQ]]，{n，100}](*哈维·P·戴尔2014年7月14日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，总和[EulerPhi[d]Abs@MoebiusMu[d]，{d，除数[n]}]]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月15日*）
表[Product[p，{p，Select[Divisors[n]，PrimeQ]}]，{n，1，100}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年5月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=factorback（factorint（n）[，1]）\\安德鲁·莱莱琴科2014年5月9日
（PARI）用于（n=1100，打印1（方向（p=2，n，（1+p*X-X）/（1-X））[n]，“，”））\\瓦茨拉夫·科特索维奇2020年6月14日
（岩浆）[&*PrimeDivisors（n）：[1..100]]中的n//克劳斯·布罗克豪斯2008年12月4日
（哈斯克尔）
（鼠尾草）定义A007947号（n） ：return mul（p代表prime_divisors（n）中的p）
（Python）
从sympy导入primefactors，prod
定义a（n）：如果n<2 else prod，则返回1（素数（n））
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交叉参考
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更一般的因子分解相关属性，特定于n：A020639号,A028234美元,A020500型,A010051型,A284318型,A000005号,A001221号,A005361号,A034444号,A014963号,A128651号,A267116型.
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关键词
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非n,容易的,美好的,多重
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作者
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R.Muller，1996年3月15日
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扩展
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状态
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经核准的
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A003991号
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| 反对偶读取的乘法表：T（i，j）=i*j，i>=1，j>=1。 |
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+10
111
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1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 6, 6, 4, 5, 8, 9, 8, 5, 6, 10, 12, 12, 10, 6, 7, 12, 15, 16, 15, 12, 7, 8, 14, 18, 20, 20, 18, 14, 8, 9, 16, 21, 24, 25, 24, 21, 16, 9, 10, 18, 24, 28, 30, 30, 28, 24, 18, 10, 11, 20, 27, 32, 35, 36, 35, 32, 27, 20, 11, 12, 22, 30, 36, 40, 42, 42, 40, 36, 30, 22, 12
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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或者，按行读取三角形X（n，m）=T（n-m+1，m），其中第n行给出数字n*1，（n-1）*2，（n-2）*3。。。，2*（n-1），1*n。
毕达哥拉斯三角形的内圆半径，边为a=（n+1）^2-m^2，b=2*（n+1-楼层van Lamoen2001年8月16日
在有理数可数性的证明中，它们被排列成一个方阵。a（n）＝p*q，其中p/q是从数组中读取的相应有理数-阿玛纳斯·穆尔西2003年5月29日
第12行给出了鹧鸪、斑鸠的总数。。。还有鼓手们在圣诞歌曲《十二天》结尾处的鼓点声-阿隆索·德尔·阿特2005年6月17日
考虑一个具有自旋S（半整数）和2S+1量子态的粒子|m>，m=-S，-S+1，。。。，S-1，S。那么自旋提升算子的矩阵元素<m+1|S_+|m>=sqrt（（S+m+1）（S-m））是行r=2S中该序列的三角形（tabl）元素T（r，o）的平方根，偏移量为o=2（S+m）。T（r，o）也是态|m>和|m+1>之间跃迁的强度。例如，自旋S=5/2粒子的6个态之间的五个跃迁具有相对强度5,8,9,8,5。所有自旋5/2跃迁的总强度（相对于自旋1/2）为35，这是四面体数A000292号(5). -斯坦尼斯拉夫·西科拉2012年5月26日
T（n，k）也是n X n Toeplitz矩阵M（n）的（k-1）-超对角和，该矩阵的第一行由连续的正整数1。。。，n.（名词）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年7月12日
X（n，m+1）是m维平面几何体（点、线、平面等）嵌入n维欧氏空间时的自由度。
X（n+1，m+1）是m球嵌入n维欧氏空间时的自由度。（结束）
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参考文献
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J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第46页。
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链接
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G.W.莱布尼茨，组合艺术论文1666年，莱比锡。（拉丁文。这个三角形出现在PDF文件第44页第208页）。
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配方奶粉
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矩形阵列：T（n，m）=n*m，n>=1，m>=1。
三角形X（n，m）=T（n-m+1，m）=（n-m+1）*m。
G.f.作为矩形阵列：x*y/[（1-x）^2*（1-y）^2]。
作为线性阵列，序列是a（n）=A002260号（n）*A004736号（n） 或a（n）=（（t*t+3*t+4）/2-n）*（n-（t*（t+1）/2）），其中t=楼层（（-1+sqrt（8*n-7））/2）-鲍里斯·普蒂夫斯基2012年12月17日
G.f.作为线性阵列：（x-3*x^2+Sum_{k>=0}（（k+2-x-（k+1）*x^2）*x*（（k^2+3*k+4）/2））/（1-x）^3-罗伯特·伊斯雷尔2015年12月14日
例如，三角形：exp（x+y）*（1+x-y+x*y-y^2）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年7月12日
T（n，k）=和数|x-y|+|y-z|=k，其中x，y，z位于{1,2，…，n}和x<y<z-克拉克·金伯利2024年1月22日
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例子
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数组T从第n=1行开始，第m>=1列为：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 130 140 150
三角形X（n，m）开始
n\m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15。。。
1: 1
2: 2 2
3: 3 4 3
4: 4 6 6 4
5: 5 8 9 8 5
6: 6 10 12 12 10 6
7: 7 12 15 16 15 12 7
8: 8 14 18 20 20 18 14 8
9: 9 16 21 24 25 24 21 16 9
10: 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10
11: 11 20 27 32 35 36 35 32 27 20 11
12: 12 22 30 36 40 42 42 40 36 30 22 12
13: 13 24 33 40 45 48 49 48 45 40 33 24 13
14:14 26 36 44 50 54 56 54 50 44 36 26 14
15: 15 28 39 48 55 60 63 64 63 60 55 48 39 28 15
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MAPLE公司
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seq（seq（i*（n-i），i=1..n-1），n=2..10）#罗伯特·伊斯雷尔2015年12月14日
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数学
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表[（x+1-y）y，{x，13}，{y，x}]//展平(*罗伯特·威尔逊v2007年10月6日*）
f[n_]：=表[系列系数[E^（x+y）（1+x-y+x*y-y^2），{x，0，i}，{y，0，j}]*i*j！，{i，n，n}，{j，0，n}]；展平[Array[f，11，0]](*斯特凡诺·斯佩齐亚2019年7月12日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）/*作为三角形*/[[k*（n-k+1）：k in[1..n]]：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2019年7月12日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A003989号,A003990号,A003056号,A049581号,A000442号,A027424号,A002260号,A033638号,A059895号,A059896号,A059897号,A002620美元.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A225546型
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| 泰克翻转：将n写成素数（i）^（2^（j-1））形式的不同因子与i和j整数的乘积，并用素数（j）^。 |
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+10
94
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1, 2, 4, 3, 16, 8, 256, 6, 9, 32, 65536, 12, 4294967296, 512, 64, 5, 18446744073709551616, 18, 340282366920938463463374607431768211456, 48, 1024, 131072, 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936, 24, 81, 8589934592, 36, 768
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这是整数的乘法自反转置换。
A329050型举例说明如何通过选择与行和/或列相关的系数来形成有意义的数字集。因此，该序列通过交换行和列来映射等价的派生集。因此，奇数被交换为平方，平方数被交换为2的幂等。
此置换影响以下映射：
（结束）
（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（素数（i））=2^（2^（i-1））。
前面的公式暗示a（n*k）=a（n）*a（k），如果A059895号（n，k）=1。
（结束）
（结束）
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例子
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7744=素数（1）^2^（2-1）*素数。
a（7744）=素数（2）^2^（1-1）*素数。
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数学
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数组[If[#==1，1，Times@@Flatten@Map[Function[{p，e}，Map[Prime[Log2@#+1]^（2^（PrimePi@p-1））&，DeleteCase[NumberExpand[e，2]]@@#&，FactorInteger[#]]&，28](*迈克尔·德弗利格2020年1月21日*）
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黄体脂酮素
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（平价）
A019565号（n） =factorback（vecextract（素数（logint（n+！n，2）+1），n））；
a（n）={my（f=因子（n））；对于（i=1，f~，my（p=f[i，1]）；f[i=A019565号（f[i，2]）；f[i，2]=2^（素数pi（p）-1）；）；factorback（f）；}\\米歇尔·马库斯2019年11月29日
（平价）
A048675号（n） ={my（f=因子（n））；和（k=1，#f~，f[k，2]*2^素数（f[k、1]））/2；}；
A225546型（n） =如果（1==n，1，my（f=因子（n），u=#二进制（vecmax（f[，2]）），prods=向量（u，x，1），m=1，e）；对于（i=1，u，对于（k=1，#f~，if（比特（f[k，2]，m），prods[i]*=f[k、1]））；m<<=1）；prod（i=1，u，质数（i）^A048675号（触头[i]））\\安蒂·卡图恩2020年2月2日
（Python）
从数学导入prod
从sympy导入prime，primepi，factorint
定义A225546型（n） ：return prod（prod（prime（i）for i，v in enumerate（bin（e）[：1:-1]，1）if v=='1'）**（1<<primepi（p）-1）for p，e in factorint（n）.items（）））#柴华武2023年3月17日
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交叉参考
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成对的A059897号子组：(A000079号,A005117号)(A000244号,A062503型)(A000290型\{0},A005408号)(A000302号,A056911号)(A000351号,A113849号U{1}）(A000400号,A062838号)(A001651号,252895英镑)(A003586号,A046100型)(A007310号,A000583号)(A011557号,113850英镑U{1}）(A028982美元,A042968号)(A053165号,A065331号)(A262675型,A268390型).
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关键词
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非n,多重
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作者
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扩展
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名字前面加上“Tek’s flip”安蒂·卡图恩2020年7月8日
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状态
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经核准的
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A059897号
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| 反对偶读取的对称方阵：A（n，k）是n和k的费米-迪拉克因式分解的一个因子（但不是两个因子）中所有因子的乘积。 |
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+10
80
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1, 2, 2, 3, 1, 3, 4, 6, 6, 4, 5, 8, 1, 8, 5, 6, 10, 12, 12, 10, 6, 7, 3, 15, 1, 15, 3, 7, 8, 14, 2, 20, 20, 2, 14, 8, 9, 4, 21, 24, 1, 24, 21, 4, 9, 10, 18, 24, 28, 30, 30, 28, 24, 18, 10, 11, 5, 27, 2, 35, 1, 35, 2, 27, 5, 11, 12, 22, 30, 36, 40, 42, 42, 40, 36, 30, 22, 12, 13, 24, 33
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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旧名称：反对角线读取的方阵：T（i，j）=乘积素数（k）^（Ei（k）XOR Ej（k）），其中Ei和Ej是i和j的素数分解中的指数向量；XOR是指数二进制表示的按位运算。
类似于乘法，用异或代替+。
（1） 定义其基础集为正整数的阿贝尔群。（2） 每个元素都是自反的。（3） 对于所有n和k，A（n，k）是n*k的除数。（4）A050376号有时称为Fermi-Dirac素数，形成一个最小的生成器集。在有序形式中，它是词典学上最早的此类集合。
正整数的唯一因子分解为组的词典学上最早的最小生成元集的不同项的乘积，似乎是从（1）（2）和（3）开始的。
从（1）和（2）来看，表中的每一行和每一列都是正整数的自反转置换。非成员编号的行/列A050376号是早期行/列的组合。
它是非零整数上等价群的一个子群，它有-1作为附加生成器。
（结束）
将其视为二元运算，结果是（其操作数乘积的无平方部分）乘以（应用于其操作数平方部分的平方根时的运算结果）的平方-彼得·穆恩2022年3月21日
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链接
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配方奶粉
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A（n，1）=A（1，n）=n
A（n，A（m，k））=A（A（n，m），k）
A（n，n）=1
A（n，k）=A（k，n）
如果A（n，k_1）=n*k_1和A
（结束）
如果A（n*m，m）=n，A（n*m，k）=A（n，k）*A（m，k）/k-彼得·穆恩2019年4月4日
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例子
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A（8641944）=A（2^5*3^3,2^3*3^5）=2^（5XOR 3）*3^（3XOR 5）=2^6*3^6=46656。
阵列的左上角12 X 12：
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
2, 1, 6, 8, 10, 3, 14, 4, 18, 5, 22, 24
3, 6, 1, 12, 15, 2, 21, 24, 27, 30, 33, 4
4, 8, 12, 1, 20, 24, 28, 2, 36, 40, 44, 3
5, 10, 15, 20, 1, 30, 35, 40, 45, 2, 55, 60
6, 3, 2, 24, 30, 1, 42, 12, 54, 15, 66, 8
7, 14, 21, 28, 35, 42, 1, 56, 63, 70, 77, 84
8, 4, 24, 2, 40, 12, 56, 1, 72, 20, 88, 6
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 1, 90, 99, 108
10, 5, 30, 40, 2, 15, 70, 20, 90, 1, 110, 120
11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、1、132
12, 24, 4, 3, 60, 8, 84, 6, 108, 120, 132, 1
1 6 8 10 12 15 20 120
6 1 12 15 8 10 120 20
8 12 1 20 6 120 10 15
10 15 20 1 120 6 8 12
12 8 6 120 1 20 15 10
15 10 120 6 20 1 12 8
20 120 10 8 15 12 1 6
120 20 15 12 10 8 6 1
（结束）
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数学
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a[i_，i_]=1；
a[i_，j_]：=模块[{f1=FactorInteger[i]，f2=FactorInteger[j]，e1，e2}，e1[_]=0；扫描[（e1[#[[1]]]=#[2]]）&，f1]；e2[_]=0；扫描[（e2[#[[1]]]=#[2]]）&，f2]；时间@@（#^BitX或[e1[#]，e2[#]]&/@Union[f1[[All，1]]，f2[[All，1]]]）]；
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黄体脂酮素
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（方案）
（PARI）T（n，k）={if（n==1，return（k））；if（k==1、return\\米歇尔·马库斯2019年4月3日
（PARI）T（i，j）={if（gcd（i，j）==1，返回（i*j））；如果（i==j，返回（1）；my（f=vecsort（concat（factor（i）~，factor f[1，T]^f[2，T]；T++；））；如果（T==#f，res*=f[1]，#f]^f[2]，#f]）；res}\\大卫·A·科内斯2019年4月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040美元,A003987号,A003991号,A028233号,A028234美元,A050376号,A059896号,A089913元,A207901型,A268387型,A284577号,A302033型.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A064547号
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| n的素因式分解指数中的二进制数字（或1位计数）之和。 |
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+10
79
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0，1，1，1，1，2，1，2，2，2，3，1，2，1，2，1，3，2，2，3，1，3，2，2，2，3，1，2，2，1，3，1，3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,6
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评论
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n的费米-迪拉克因子数-彼得·穆恩2019年12月27日
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链接
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配方奶粉
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（结束）
a（n^2）=a（n）。
（结束）
求和{k=1..n}a（k）~n*（log（log）+B+C），其中B是Mertens常数(A077761号)C=和{p素数}f（1/p）=0.13605447049622836522…，其中f（x）=-x+和{k>=0}x^（2^k）/（1+x^-阿米拉姆·埃尔达尔2023年9月28日
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例子
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MAPLE公司
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expts:=proc（n）局部t1，t2，t3，t4，i；如果n=1，则返回（[0]）；fi；如果是素数（n），则返回（[1]）；fi；t1:=系数（n）；如果nops（因子集（n））=1，则返回（[op（2，t1）]）；fi；t2：=nops（t1）；t3：=[]；对于i从1到t2，做t4：=op（i，t1）；如果nops（t4）=1，则t3：=[op（t3），1]；否则t3：=[op（t3），op（2，t4）]；fi；od；返回（t3）；结束；
A000120号：=proc（n）局部w，m，i；w:=0；m：=n；当m>0时，i：=m mod 2；w：=w+i；m:=（m-i）/2；od；w；结束时间：
LamMos:=proc（n）局部t1，t2，t3，i；t1:=expts（n）；添加(A000120号（t1[i]），i=1..nops（t1））；结束#N.J.A.斯隆2007年12月20日
#备选Maple计划：
F： =系数（n）[2]；
加法（convert（converter（f[2]，base，2），`+`），f=f）
结束进程：
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数学
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表[Plus@@（DigitCount[Last/@FactorInteger[k]，2，1]），{k，105}]
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黄体脂酮素
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（PARI）SumD（x）=｛局部（s）；s=0；while（x>9，s+=x-10*（x\10）；x\=10）；return（s+x）｝
基e（x，b）={局部（d，e，f）；e=0；f=1；while（x>0，d=x-b*（x\b）；x\=b；e+=d*f；f*=10）；返回（e）}
{对于（n=12000，f=factor（n）~；a=0；对于（i=1，length（f），a+=SumD（baseE（f[2，i]，2））；写入（“b064547.txt”，n，“”，a））}\\哈里·史密斯2009年9月18日
（PARI）a（n）={my（f=因子（n）[，2]）；总和（k=1，#f，hammingweight（f[k]））；}\\米歇尔·马库斯2016年2月10日
（哈斯克尔）
a064547 1=0
a064547 n=长度$a213925_row n--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月20日
（方案，两种变体，均使用记忆宏定义）
（Python）
来自sympy导入因子
def wt（n）：返回仓（n）。计数（“1”）
定义a（n）：
f=因子（n）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,基础
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 1, 4, 3, 8, 1, 2, 5, 16, 3, 32, 9, 6, 1, 64, 3, 128, 5, 10, 17, 256, 3, 4, 33, 2, 9, 512, 7, 1024, 1, 18, 65, 12, 3, 2048, 129, 34, 5, 4096, 11, 8192, 17, 6, 257, 16384, 3, 8, 5, 66, 33, 32768, 3, 20, 9, 130, 513, 65536, 7, 131072, 1025, 10, 1, 36, 19, 262144, 65, 258
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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a（n）的二进制表示表示哪个质数除以n，但不表示乘数。a（2）=1、a（3）=10、a（4）=1，a（5）=100、a（6）=11、a（10）=101、a（30）=111等。
（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（p^e）=2^（i-1）的加法，其中p是第i个素数-弗拉德塔·乔沃维奇2003年10月29日
发件人安蒂·卡图恩2017年4月17日、2017年6月19日和2018年12月6日：（开始）
（结束）
a（n^2）=a（n）。
（结束）
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例子
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a（38）=129，因为38=2*19=素数（1）*素数（8）和129=2^0+2^7（二进制10000001）。
a（140）=13，二进制1101，因为140可以被第一、第三和第四素数整除，2^（1-1）+2^（3-1）+2 ^（4-1）=13。
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a087207=总和。地图（2^）。（减去1）。a049084）。a027748_低
（PARI）a（n）={如果（n==1，0，my（f=factor（n），v=[]）；对于素数（p=2，vecmax（f[，1]），v=concat（v，vecsearch（f[、1]，p）！=0）；）；从数字（Vecrev（v），2））；}\\米歇尔·马库斯2017年6月5日
（平价）A087207号（n） =vecsum（apply（p->1<<primepi（p-1），factor（n）[，1]））\\比使用sum（…）要快得多-M.F.哈斯勒2017年6月23日
（Python）
从症状导入因子int，素数pi
定义a（n）：
因子（n）中i的返回和（2**primepi（i-1））
打印（[a（n）代表范围（1101）中的n）]#因德拉尼尔·戈什，2017年6月6日
（方案）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040美元,A000120号,A001221号,A005117号,A008479号,A019565号,A055396号,A285320型,A285321型,A285329型,A285330型,A285332型.
特定值的位置为：A000079号\{1} （1）中，A000244号\{1} (2),A033845型(3),A000351号\{1} (4),A033846美元(5),A033849号(6),A143207号(7),A000420号\{1} (8),A033847号(9),A033850型(10),A033851美元(12),A147576号(14),A147571型(15),A001020号\{1} (16),A033848号(17).
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关键词
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非n,基础,美好的
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作者
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米奇·塞文卡（puritan（AT）planetkc.com），2003年10月26日
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 6, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 5, 4, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 5, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,4
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链接
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配方奶粉
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其他身份和观察结果。对于所有n>=1：
a（n^2）=2*a（n）。
（结束）
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例子
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对于n=4=2^2，2的位OR单独等于2，因此a（4）=2。
对于n=6=2^1*3^1，当我们取1和1的位或时，我们得到1，因此a（6）=1。
对于n=24=2^3*3^1，3和1的位或（二进制中的“11”和“01”）为“11”，因此a（24）=3。
对于n=210=2^1*3^1*5^1*7^1，按位或1，1，1和1给出1，因此（210）=1。
对于n=720=2^4*3^2*5^1，4、2和1的位或（二进制中的“100”、“10”和“1”）为7（二进制中为“111”），因此a（720）=7。
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MAPLE公司
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读取（“转换”）：
局部a，e；
a:=0；
对于ifactors（n）[2]中的e do
a:=ORnos（a，op（2，e））；
结束do：
a；
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数学
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{0}~Join~Rest@Array[BitOr@@Map[Last，FactorInteger@#]&，120](*迈克尔·德弗利格，2016年2月4日*）
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黄体脂酮素
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（方案，两种变体，第一种带有备忘录-宏定义）
（PARI）a（n）=我的（f=系数（n））；我的（b=0）；对于（k=1，#f~，b=比特（b，f[k，2]）；）；b\\米歇尔·马库斯2016年2月5日
（PARI）a（n）=如果（n>1，折叠（位，因子（n）[，2]），0）\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年8月4日
（Python）
从functools导入reduce
从操作员导入或_
来自sympy导入因子
定义A267116型（n） ：return reduce（or_，factorint（n）.values（），0）#柴华武2022年8月31日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A297845型
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| 具有非负整数系数的一不定多项式的编码乘法表。反对偶读取对称方阵T（n，k），n>0和k>0。有关详细信息，请参阅评论。 |
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+10
23
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 5, 4, 1, 1, 5, 9, 9, 5, 1, 1, 6, 7, 16, 7, 6, 1, 1, 7, 15, 25, 25, 15, 7, 1, 1, 8, 11, 36, 11, 36, 11, 8, 1, 1, 9, 27, 49, 35, 35, 49, 27, 9, 1, 1, 10, 25, 64, 13, 90, 13, 64, 25, 10, 1, 1, 11, 21, 81, 125, 77, 77, 125, 81
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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对于任意数n>0，设f（n）是单不定x中的多项式，其中x^e的系数是n的素数（1+e）-点值（其中素数（k）表示第k个素数）；f在具有非负整数系数的单不定x中建立了正数与多项式之间的双射；设g是f的逆；T（n，k）=g（f（n）*f（k））。
对于任意n>0和m>0，f（n*m）=f（n）+f（m）。
此外，f（1）=0，f（2）=1。
函数f可以自然地推广到正有理数集：如果r=u/v（不一定是约化形式），则f（r）=f（u）-f（v）；因此，f是从正有理数的乘法群到具有整数系数的单不定x的多项式的加法群的同态。
由这个序列定义的运算可以扩展为与多项式环Z[x]同构的正有理数上的环的乘法算子。扩展函数f（在作者的原始注释中描述）是我们使用的同构，它与存在于其未扩展等价物之间的扩展运算具有相同的关系。
将T（.，.）的这个扩张表示为tQ（.，..），我们得到tQ（n，1/k）=tQ（1/n，k）=1/T（n，k；t_Q（Q*r，s）=t_Q（Q，s）*t_Q（r，s。这看起来可能不太寻常，因为有理数的标准乘法扮演了环的加法群的角色。
有许多OEIS序列可以显示为该环理想中的整数列表。请参阅交叉引用。
（结束）
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链接
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配方奶粉
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T在两个参数中都是完全乘法的：
-对于任何n>0
-且k>0与素数分解Prod_{i>0}素数（i）^e_i：
-T（素数（n），k）=T（k，素数（n））=Prod_{i>0}素数（n+i-1）^e_i。
对于任何m>0、n>0和k>0：
-T（n，k）=T（k，n）（T是可交换的），
-T（m，T（n，k））=T（T（m、n），k）（T是关联的），
-T（n，1）=1（1是T的吸收元件），
-T（n，2）=n（2是T的单位元），
-对于任意i>=0，T（n，2^i）=n^i，
发件人彼得·穆恩2020年3月13日和2021年4月20日：（开始）
T（n，m*k）=T（n、m）*T（n和k）；T（n*m，k）=T（n，k）*T（m，k。
（结束）
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例子
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数组T（n，k）开始：
否|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
---+------------------------------------------------
4| 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ->A000290型
5| 1 5 7 25 11 35 13 125 49 55 ->A357852型
7| 1 7 11 49 13 77 17 343 121 91
8| 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 ->A000578号
9| 1 9 25 81 49 225 121 729 625 441
10| 1 10 21 100 55 210 91 1000 441 550
表中进一步描述了用于该表的多项式f（n）的编码nA206284号.编码多项式示例：
n f（n）n f（n）
1 0 16 4
2 1 17 x ^6
3 x 21 x ^3+x
4 2 25 2x^2
5倍^2 27倍
6 x+1 35 x ^3+x ^2
7 x ^ 3 36 x+2
8 3 49 2×^3
9 x 55 x ^4+x ^2
10 x ^2+1 64 6
11 x ^4 77 x ^4+x ^3
12 x+2 81 x
13 x ^5 90 x ^2+2x+1
15 x ^2+x 91 x ^5+x ^3
（结束）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=my（f=因子（n），p=应用（素数，f[，1]~），g=因子（k），q=应用（质数，g[，1]~））；prod（i=1，#p，prod（j=1，#q，素数（p[i]+q[j]-1）^（f[i，2]*g[j，2]））
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 6, 6, 4, 5, 8, 5, 8, 5, 6, 10, 12, 12, 10, 6, 7, 5, 15, 9, 15, 5, 7, 8, 14, 10, 20, 20, 10, 14, 8, 9, 12, 21, 24, 7, 24, 21, 12, 9, 10, 18, 24, 28, 30, 30, 28, 24, 18, 10, 11, 15, 27, 18, 35, 15, 35, 18, 27, 15, 11, 12, 22, 30, 36, 40, 42, 42, 40, 36, 30, 22, 12, 13, 24, 33, 40, 45, 20, 11, 20, 45, 40, 33, 24, 13
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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作为一个二进制运算，这个序列在与乘法同构的正整数上定义了一个交换幺半群。自反转排列A225546型（.）提供了同构。因此，这个幺半群具有唯一的因子分解。它的素数是偶数项A050376号: 2, 4, 16, 256, ..., 其在标准整数乘法中是2的幂，2的幂作为指数。
相反，在这个幺半群中，2的幂通过无平方数，2的k次幂是A019565号（k） 。4是不可约的，它的幂是无平方数的平方，4的k次方是A019565号（k） ^2（其中“^2”表示标准整数平方）；以此类推，幂为16，256。。。
在许多情况下，这里两个数字的乘积与标准整数乘法中的乘积相同。有关详细信息，请参阅公式部分。
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链接
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配方奶粉
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主要派生标识：（开始）
A（n，k）=A（k，n）。
A（1，n）=n。
A（n，A（m，k））=A（A（n、m），k）。
A（n^2，k^2）=A（n，k）^2。
（结束）
A（n，k）=n*k:（Start）的条件表征
以下4个条件相当：
（1） A（n，k）=n*k；
如果gcd（n，k）=1，A（n，k）=n*k。
在以下情况下，前面的公式表示A（n，k）=n*k：
（结束）
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例子
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阵列的左上角16 X 16：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16。。。
2, 3, 6, 8, 10, 5, 14, 12, 18, 15, 22, 24, 26, 21, 30, 32, ...
3, 6, 5, 12, 15, 10, 21, 24, 27, 30, 33, 20, 39, 42, 7, 48, ...
4, 8, 12, 9, 20, 24, 28, 18, 36, 40, 44, 27, 52, 56, 60, 64, ...
5, 10, 15, 20, 7, 30, 35, 40, 45, 14, 55, 60, 65, 70, 21, 80, ...
6, 5, 10, 24, 30, 15, 42, 20, 54, 7, 66, 40, 78, 35, 14, 96, ...
7, 14, 21, 28, 35, 42, 11, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 22, 105, 112, ...
8, 12, 24, 18, 40, 20, 56, 27, 72, 60, 88, 54, 104, 84, 120, 128, ...
9、18、27、36、45、54、63、72、25、90、99、108、117、126、135、144。。。
10, 15, 30, 40, 14, 7, 70, 60, 90, 21, 110, 120, 130, 105, 42, 160, ...
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 13, 132, 143, 154, 165, 176, ...
12, 24, 20, 27, 60, 40, 84, 54, 108, 120, 132, 45, 156, 168, 28, 192, ...
13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, 143, 156, 17, 182, 195, 208, ...
14, 21, 42, 56, 70, 35, 22, 84, 126, 105, 154, 168, 182, 33, 210, 224, ...
15, 30, 7, 60, 21, 14, 105, 120, 135, 42, 165, 28, 195, 210, 35, 240, ...
16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240, 81, ...
（结束）
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黄体脂酮素
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（平价）
up_to=1275；
A019565号（n） =factorback（vecextract（素数（logint（n+！n，2）+1），n））；
A048675号（n） ={my（f=因子（n））；和（k=1，#f~，f[k，2]*2^素数（f[k、1]））/2；}；
A331590sq（x，y）=如果（1==x，y，如果（1==y，x，my（fx=系数（x），fy=系数（y；对于（i=1，u，对于（k=1，#fx~，if（比特和（fx[k，2]，m），prodsx[i]*=fx[k,1]））；对于（k=1，#fy~，if（比特（fy[k，2]，m），prodsx[i]*=fy[k，1]））；m<<=1）；触头（i=1，u，A019565号(A048675号（产品x[i]）^（1<<（i-1）））；
A331590列表（up_to）={my（v=向量（up_to），i=0）；对于（a=1，oo，对于（col=1，a，i++；如果（i>up_to，返回（v））；v[i]=A331590sq（col，（a-（col-1））））；（v）；}；
v331590=A331590列表（up_to）；
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