搜索： a057510-编号：a057510
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A057163号
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| Catalan自同构的特征变换：反映有根平面二叉树；Deutsch 1998年对Dyck路径的内卷化。 |
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168
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0, 1, 3, 2, 8, 7, 6, 5, 4, 22, 21, 20, 18, 17, 19, 16, 15, 13, 12, 14, 11, 10, 9, 64, 63, 62, 59, 58, 61, 57, 55, 50, 49, 54, 48, 46, 45, 60, 56, 53, 47, 44, 52, 43, 41, 36, 35, 40, 34, 32, 31, 51, 42, 39, 33, 30, 38, 29, 27, 26, 37, 28, 25, 24, 23, 196, 195, 194, 190, 189
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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Emeric Deutsch公司，Dyck路的对合及其结果，离散数学。，204（1999），编号1-3，163-166。
Dana G.Korssjoen、Biyao Li、Stefan Steinerberger、Raghavendra Tripathi和Ruimin Zhang，用图论寻找实数序列的结构：一个问题列表，arXiv:2012.046252020年12月8日。
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配方奶粉
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例子
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0 0 0 0
\ / \ /
1 0 0 1
\ / \ /
0 1 1 0
\ / \ /
1 1
因此a（5）=7，a（7）=5。
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MAPLE公司
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ReflectBinTree:=n->ReflectBinTree2（n）/2；反射BinTree2:=n->（`if`（（0=n），n，反射BinTReeAux(A030101型（n） ）；
ReflectBinTreeAux:=proc（n）局部a，b；a:=反射BinTree2（BinTree左分支（n））；b:=反射BinTree2（BinTree右分支（n））；返回（2^(A070939号（b）+A070939号（a） ）+（b*（2）^(A070939号（a） ）+a）；结束；
NextSubBinTree：=proc（nn）局部n，z，c；n：=nn；c:=0；z:=0；而（c<1）doz:=2*z+（n模2）；c：=c+（-1）^n；n:=地板（n/2）；od；返回（z）；结束；
BinTreeLeftBranch:=n->NextSubBinTree（楼层（n/2））；
BinTreeRightBranch:=n->NextSubBinTree（楼层（n/（2^（1+A070939号（BinTreeLeftBranch（n）））；
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数学
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A014486Q[0]=正确；A014486Q[n_]：=Catch[Fold[If[#<0，Throw[False]，If[#2==0，#-1，#+1]]&，0，整数位数[n，2]]==0]；树[n_]：=块[{func，num=Append[IntegerDigits[n，2]，0]}，func:=如果[num[[1]]==0，num=删除[num，1]；0，num=删除[num，1]；1[功能，功能]]；功能]；A057163L[n_]：=函数[x，第一位置[x，FromDigits[大多数@案例[树[#]/。1->反转@*1，0|1，全部，头->真]，2]][[1]]-1&/@x][Select[Range[0，2^n]，A014486Q]]；A057163L[11](*郑焕敏2016年12月11日*）
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程序
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（作用于S表达式（即列表结构）的这种自同构的方案实现：）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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与2006年12月15日实现的德国1998年内卷化等效，相应的条目由编辑安蒂·卡图恩2007年1月16日
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(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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构造过程类似于原始递归函数到N的构造映射：我们有两个基本原语，A069770号（第0行）和A072796号（第1行），其中前者交换二叉树的左子树和右子树，后者交换平面一般树的两个最左子树的位置，除非树的度小于2，在这种情况下，它只是修复它。从此，偶数行是根据此表中的任何其他Catalan双射递归构造的，使用五种允许的递归类型之一：
0-应用给定的Catalan双射，然后递归到获得的新二叉树的两个子树。（行号的最后一位小数=2）
1-首先递归到旧二叉树的两个子树，然后才应用给定的Catalan双射。（最后一位=4）
2-应用给定的Catalan双射，然后递归到获得的新二叉树的右子树。（最后一位=6）
3-首先递归到旧二叉树的右子树，然后才应用给定的Catalan双射。（最后一位=8）
4-首先递归到旧二叉树的左子树，然后应用给定的Catalan双射，然后递归到新二叉树右子树。（最后一位=0）
奇数行>2是行0、1、2、4、6、8…的组合。。。（即其中一个基元A069770号或A072796号（或递归组合之一）和来自右侧同一数组的任何Catalan双射。请参阅scheme-functions index-for-recursive-sgtb和index-fort-composed-sgtb，了解如何计算此表中递归和普通组合的位置。
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链接
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程序
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（Scheme函数显示如何计算此表中出现foo递归组合（矩形0-4）或lhs和rhs普通组合的行，其中foo、lhs、rhs也是此表的索引）：
（定义（index-for-recursive-sgtb foo矩形类型）（+2（*10 foo）（*2矩形类型））
（define（index-for-composed-sgtb lhs-rhs）（let（（new-lhs（cond（（<lhs2）lhs））（（偶数？lhs（1+（/lhs2））））（else（error“Only the primitive Catalan bijectionsA069770号(0) &A072796号（1） 或者递归组合的加泰罗尼亚语双射之一（偶数>=2）可以出现在组合的左侧。不允许奇数：“lhs）））（1+（packA054238（*2 new-lhs）rhs）））
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交叉参考
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此表的前21行：。
本表中发生的其他加泰罗尼亚双射诱发的EIS突变。只给出了第一个已知事件。对合用*标记，其他用其逆：配对。
有关（某些）加泰罗尼亚自同构的更实用枚举系统，请参见表A089840号及其各种“递归推导”。
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关键词
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作者
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(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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第n行是从表中的第n个非递归自同构获得的加泰罗尼亚自同构的签名置换A089840号使用递归方案“ENIPS”。在这个递归方案中，算法首先递归到二叉树的右侧分支，然后在其根上应用给定的自同构。这对应于应用于加泰罗尼亚语结构的右折叠式操作，例如解释为括号或类Lisp列表，其中（lambda（x y）（f（cons x y））是给定fold的二进制函数，“f”是给定的自同构。相关方案程序ENIPS和！ENIPS可以用来从任何构造性或破坏性实现的自同构中获得这样一个变换的自同构。此表中每行只出现一次。这些排列的倒数可以在表中找到A122203号.
由于“折叠的通用性”，递归格式ENIPS有一个定义良好的逆，即它在所有加泰罗尼亚自同构集上充当双射映射。具体地说，如果g=ENIPS（f），那么（fs）=（g（cons（cars）（g^{-1}（cdrs））），也就是说，为了获得在递归方案ENIPS下给出g的自同构f，我们将其自身的逆应用于s表达式的cdr分支（即二叉树上下文中的右子树）来合成g。这意味着对于表中的任何非递归自同构fA089840号，ENIPS^{-1}（f）也位于A089840号，这又意味着表的行A089840号形成此表行的（适当的）子集。
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参考文献
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A.Karttunen，正在准备论文，可通过电子邮件获取草稿。
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链接
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程序
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（麻省理工学院方案：）（define（ENIPS foo）（lambda（s）（fold-right（lambda（x y）（foo（cons x y））））
（定义（！ENIPS foo！）（letrec（（bar！（lambda（s）（cond（（pair？s）（bar
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交叉参考
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参见本表前22行：第0行（身份置换）：A001477号, 1:A069768号, 2:A057510号, 3:A130342号, 4:A130348号, 5:A130346号，6：A130344号, 7:A122282号, 8:A082340号, 9:A130354号, 10:A130352号, 11:A130350型，12:A057502号, 13:A130364号, 14:A130366号, 15:A069770号, 16:A130368号, 17:A074686号, 18:A130356号, 19:A130358号, 20:A130362号, 21:A130360型其他行：第169行：A089859号，第253行：A123718号，第3608行：A129608号，第3613行：A072796号，第65167行：A074679号，第79361行：123716英镑.
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关键词
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作者
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0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 19, 11, 15, 12, 17, 18, 13, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 38, 42, 44, 47, 51, 53, 56, 60, 28, 29, 39, 43, 52, 30, 40, 31, 45, 46, 32, 48, 49, 50, 33, 41, 34, 54, 55, 35, 57, 58, 59, 36, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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此双射对未标记的有根平面一般树（字母A、B、C等指位于这些顶点上的任意子树）产生以下变换：
A A A B A B B A B C B A C
| --> | \ / --> \ / \ | / --> \ | /
| | \./ \./ \|/ \|/ 等等。
也就是说，它保持“planted”（根阶数=1）树的完整性，并交换根阶数>1的一般树的两个最左边的顶级子树。
在一般树映射到的底层二叉树的层次上（例如，参见N.g.De Bruijn和B.J.M.Morselt 1967年的论文，或考虑Lisp编程语言中的列表与点对），此双射对未标记的有根平面二叉树（字母A、B、C表示位于这些节点上的任意子树，（）表示隐含的终端节点）上的以下变换产生影响。
B、C、A、C
\ / \ /
A x-->B x A（）A（）
\ / \ / \ / --> \ /
x x x x
（a）（b）->（b）（a）->（a）
请看示例部分，看看这将如何生成给定的整数序列。
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链接
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J.W.Cannon、W.J.Floyd和W.R.Parry，理查德·汤普森小组简介《外交数学》，第42卷（1996年），第215-256页。
N.G.De Bruijn和B.J.M.Morselt，关于梧桐树的一点注记，J.组合理论2（1967），27-34。
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例子
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为了获得签名置换，我们将这些变换应用于按以下方式编码和排序的二叉树A014486号对于每个n，a（n）将是第n棵树转换到的树的位置，如下所示：
.
一棵内部树
空树（非叶）节点
x个\/
n=0 1
a（n）=0 1（两者总是固定的）
.
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \_/ \/ \/
n=2 3 4 5 6 7 8
.
在注释中给出的图中标记为“A”和“B”的位置交换两个子树后的新形状为：
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \_/ \/ \/ \/
a（n）=2 3 4 6 5 7 5
因此我们得到了这个序列的前九项：0，1，2，3，4，6，5，7，8。
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程序
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（定义(*A072796号s） （cond（（not（pair？s））s）（（not（pairs？（cdr s）））（其他（cons（cadr s）（cons
（定义(*A072796号! s） （cond（（not（pair？s））s）（（not（pairs？（cdr s）））（else（swap！s）（robr！s））（交换！（cdr））
（定义（robr！s）（let（（ex-cdr（cdr s）））（set-cdr！s（caar s））（set-car！（car s）ex-cdr）（swap！（cars））
（定义（交换！s）（let（（ex-car（car s）））（set-car！s（cdr s））（set-cdr！s ex-car）s））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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已批准
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A003239号
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| 具有n个非根节点的有根平面树的数量：循环循环根处的子树可以得到等效的树。
（原名M1222）
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36
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1、1、2、4、10、26、80、246、810、2704、9252、32066、112720、400024、1432860、5170604、18784170、68635478、252088496、930138522、3446167860、12815663844、47820447028、1789877624514、671825133648、2528212128776、9536895064400、36054433810102、136583761444364、518401146543812
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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还有带有2*n个珠子的项链数量，n个白色和n个黑色（要获得对应关系，请从根开始，在树外面走动，离开根时使用白色，靠近根时使用黑色）。
n阶广义循环矩阵的永久多项式表达式中的项数。
a（n）是n的n个成分在循环旋转下的等价类数。（给一条项链，把它分成白色的串，然后是黑色的珠子，并记录白色串的长度。这就得到了n的n个组合。）a（n）是Z模n中n个多集的数量，其和为0-大卫·卡伦2003年11月5日
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合学手册》，CRC出版社，2015年，第305页（见R（x））。
F.Harary和E.M.Palmer，《图解枚举》，学术出版社，纽约，1973年；第80页，问题3.13。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题7.112（b）。
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链接
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布鲁斯·M·波曼（Bruce M.Boman）、蒂恩·纳姆·丁（Thien-Nam Dinh）、基思·戴克（Keith Decker）、布鲁克斯·埃默里克（Brooks Emerick）、克里斯托弗·雷蒙德（Christopher Raymond）和吉尔伯托·施莱因格，为什么斐波那契数列出现在自然界的增长模式中？《斐波纳契季刊》，第55（5）期（2017年），第30-41页。
R.Brualdi和M.Newman，一个同余方程的枚举问题《J.Res.Nat.Bureau Standards》，B74（1970），第37-40页。
Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan，环形非交叉匹配《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.2.4号。
A.Elashvili和M.Jibladze，循环群正则表示的Hermite互易，印度。数学。（N.S.）9（2）（1998年），233--238。MR1691428（2000c:13006）。
A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia，项链与“Hermite互惠”的组合，J.代数组合。10（2）（1999），173--188。MR1719140（2000j:05009）。见第174页-N.J.A.斯隆2014年8月6日
弗雷德曼先生，一类划分的对称关系J.Combina.理论系列。A、 18（1975），199-202。参见公式（4），a（n）=S（n，n，0）。
F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量J.Reine Angew著。数学。，278 (1975), 322-335.
F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量J.Reine Angew著。数学。，278 (1975), 322-335. （带注释的扫描件）
Thomas C.Hull和Tomohiro Tachi，双线刚性折纸，arXiv:1709.03210[math.MG]，2017年。
J.Malenfant，关于循环行列式的矩阵元展开，arXiv预印本arXiv:1502.06012[math.NT]，2015。
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配方奶粉
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当n>0时，a（n）=和{d|n}（φ（n/d）*二项式（2*d，d））/（2*n）。
当n>0时，a（n）=（1/n）*Sum_{d|n}（φ（n/d）*二项式（2*d-1，d））。
a（n）~2^（2*n-1）/（平方（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月22日
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：A003239号：=程序（n）局部t1，t2，d；t2:=除数（n）；t1:=0；对于t2中的d，求t1:=t1+phi（n/d）*二项式（2*d，d）/（2*n）；od；t1；结束；
规范：=[C，{B=并集（Z，Prod（B，B）），C=循环（B）}，未标记]；[seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=0..40）]；
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数学
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程序
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（PARI）
C（n，k）=二项式（n，k）；
a（n）=如果（n<=0，n==0，sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）*C（2*d，d））/（2*n））；
/*或者，第二个公式：*/
/*a（n）=如果（n<=0，n==0，sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）*C（2*d-1，d））/n）*/
（SageMath）
如果n==0：返回1
返回和（除数（n）中d的euler_phi（n/d）*二项式（2*d，d）/（2*n））
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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Roderick J.Fletcher（yylee（AT）mail.ncku.edu.tw）于1997年8月对序列进行了更正和扩展
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状态
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已批准
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0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 3, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 5, 8, 3, 2, 1, 0, 6, 7, 4, 3, 2, 1, 0, 7, 6, 6, 5, 3, 2, 1, 0, 8, 5, 5, 4, 5, 3, 2, 1, 0, 9, 4, 7, 6, 6, 6, 3, 2, 1, 0, 10, 22, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 1, 0, 11, 21, 9, 8, 7, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 0, 12, 20, 14, 13, 8, 7, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 13, 18, 11, 12, 13
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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参考文献
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A.Karttunen，正在准备论文，可通过电子邮件获取草稿。
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链接
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交叉参考
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此表的前22行：第0行（身份置换）：A001477号, 1:A082348号, 2:A057508号, 3:A131141号, 4:A131143号, 5:A131145号，6：A131147号, 7:A131173号, 8:A131169号, 9:2011年11月49日, 10:A131151号, 11:A131153号，12:2011年11月, 13:A131155号, 14:A131157号, 15:A131159号, 16:A131161号, 17:A057503号, 18:A131163号, 19:A131165号, 20:A131167号, 21:A069768号其他行：第251行：A130360型, 3608:A130339号, 3613:A057510号, 65352:A074686号.
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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A.卡图恩，异形性（包括用于计算该序列的完整Scheme程序）
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MAPLE公司
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地图（CatalanRankGlobal，地图（RotateHandshakesR，A014486号));
RotateHandshakesR:=n->pars2binexp（deepreverse（Rotatehandshakes P（deeprecverse（binexp2pars（n））））；
deepreverse:=proc（a）如果0=nops（a）或list<>whattype（a），则（a）else[op（deepreversion（cdr（a））），deeprevere（a[1]）]；fi；结束；
与（组）；计数周期：=b->（nops（convert（b，'disjcyc'））+（nops；
RotHandshakesPermutationCycleCounts:=proc（upto_n）本地u，n，a，r，b；a:=[]；对于从0到upto_n的n，做b:=[]；u:=（二项式（2*n，n）/（n+1））；对于从0到u-1的r，做b:=[op（b），1+CatalanRank（n，RotateHandshakes（CatalanUnrank（n、r））]；od；a:=[操作（a），计数周期（b）]；od；返回（a）；结束；
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程序
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（在列表结构上实现此自同构的Scheme函数：）
（定义（robl！s）（let（（ex-car（cars）））（set-car！s（cddrs））（set-cdr！（cdr s）ex-car）（swap！（cdrs））
（定义（交换！s）（let（（ex-car（car s）））（set-car！s（cdr s））（set-cdr！s ex-car）s））
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非n
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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A.卡图恩，异形性（包括计算该序列的完整Scheme程序）
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MAPLE公司
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Maple列表的类似函数可以实现为：reverse:=proc（a）如果0=nops（a），那么（a）else[op（reverse（cdr（a））），a[1]；fi；结束；
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程序
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（Scheme函数在列表结构上实现此自同构：）reverse
（破坏性变体，参见A057509号Rol！）（define（Rev1！s）（cond（（pair？s）（Rev1？（cdr？s））（Rol！s）））
（另一种变体，请参见A057510号Ror！）（define（修订版2！s）（cond（（对？s）（Ror！s）（修订版2！（cdr s）））s）
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非n
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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MAPLE公司
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地图（CatalanRankGlobal，地图（DeepRotateR，A014486号));
DeepRotateR:=n->pars2binexp（DeepRotateR（binexp2pars（n）））；
deeprotateR:=proc（a）如果0=nops（a）或list<>whattype（a），则（a）else rotateR（map（deeprostateR，a））；fi；结束；
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交叉参考
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关键词
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非n
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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例子
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…..零
.....|
.o.…o
..\./.
...*..
.o型
.|
.o.…o
..\./.
...*..
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数学
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mgnum[t_]：=如果[t=={}，1，时间@@Prime/@mgnum/@t]；
binbalQ[n_]：=n==0||带有[{dig=IntegerDigits[n，2]}，和@@Table[If[k==Length[dig]，SameQ，LessEqual][Count[Take[dig，k]，0]，Count[Take[dig，k]，1]]，{k，Length[dig]}]]；
bint[n_]：=如果[n==0，{}，ToExpression[StringReplace[StringReplace[ToString[IntegerDigits[n，2]/。{1->"{", 0->"}"}], ", "->""], "} {"->"}, {"]]];
表[mgnum[bint[n]]，{n，选择[Range[0，1000]，binbalQ]}](*古斯·怀斯曼2022年11月22日*）
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程序
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001222号,A005517号,A005518号,A057515号,A057518号,A057548号,A127302号,A129593号,A153826号,A209638型,A243491型,A243492型,A243494型,A243496型.
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关键词
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非n
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作者
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