显示发现的18个结果中的1-10个。
0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, 14, 10, 16, 19, 11, 15, 12, 17, 18, 13, 20, 21, 22, 23, 37, 24, 42, 51, 25, 38, 26, 44, 47, 27, 53, 56, 60, 28, 39, 29, 43, 52, 30, 40, 31, 45, 46, 32, 48, 49, 50, 33, 41, 34, 54, 55, 35, 57, 58, 59, 36, 61, 62, 63, 64, 65, 107, 66, 121, 149, 67
链接
A.卡图恩，异形性（包括计算该序列的完整Scheme程序）
MAPLE公司
地图（CatalanRankGlobal，地图（RotateBottomBranchesR，A014486号));
RotateBottomBranchesR:=n->pars2binexp（rotateR（binexp2pars（n）））；
rotateR:=a->反转（rotateL（反转（a）））；
RotBBPermutationCycleCounts：=进程（upto_n）局部u，n，a，r，b；a:=[]；对于从0到upto_n的n，做b:=[]；u:=（二项式（2*n，n）/（n+1））；对于从0到u-1的r，请执行b:=[op（b），1+CatalanRank（n，RotateBottomBranchesL（CatalanUnrank（n、r））]；od；a:=[op（a），计数周期（b）]；od；返回（a）；结束；
黄体脂酮素
（Scheme函数在列表结构上实现此自同构，请参见A057502号旋转握手！和交换！：）（定义（Ror！s）（条件（（对）（RotateHandshakesInv！s）
Catalan自同构的特征变换：反映有根平面二叉树；Deutsch 1998年在Dyck道路上的内卷。
+10
168
0, 1, 3, 2, 8, 7, 6, 5, 4, 22, 21, 20, 18, 17, 19, 16, 15, 13, 12, 14, 11, 10, 9, 64, 63, 62, 59, 58, 61, 57, 55, 50, 49, 54, 48, 46, 45, 60, 56, 53, 47, 44, 52, 43, 41, 36, 35, 40, 34, 32, 31, 51, 42, 39, 33, 30, 38, 29, 27, 26, 37, 28, 25, 24, 23, 196, 195, 194, 190, 189
链接
Dana G.Korssjoen、Biyao Li、Stefan Steinerberger、Raghavendra Tripathi和Ruimin Zhang，用图论寻找实数序列的结构：一个问题列表，arXiv:2012.046252020年12月8日。
例子
0 0 0 0
\ / \ /
1 0 0 1
\ / \ /
0 1 1 0
\ / \ /
1 1
因此a（5）＝7并且a（7）＝5。
MAPLE公司
ReflectBinTree:=n->ReflectBinTree2（n）/2；反射BinTree2:=n->（`if`（（0=n），n，反射BinTReeAux(A030101型（n） ）；
ReflectBinTreeAux:=proc（n）本地a，b；a:=反射BinTree2（BinTree左分支（n））；b:=反射BinTree2（BinTree右分支（n））；返回（（2^(A070939号（b）+A070939号（a） ）+（b*（2）^(A070939号（a） ）+a）；结束；
NextSubBinTree：=proc（nn）局部n，z，c；n：=nn；c:=0；z:=0；而（c<1）doz:=2*z+（n模2）；c：=c+（-1）^n；n:=地板（n/2）；od；返回（z）；结束；
BinTreeLeftBranch:=n->NextSubBinTree（楼层（n/2））；
BinTreeRightBranch:=n->NextSubBinTree（楼层（n/（2^（1+A070939号（BinTreeLeftBranch（n）））；
数学
A014486Q[0]=正确；A014486Q[n_]：=Catch[Fold[If[#<0，Throw[False]，If[#2==0，#-1，#+1]]&，0，整数位数[n，2]]==0]；树[n_]：=块[{func，num=Append[IntegerDigits[n，2]，0]}，func:=如果[num[[1]]==0，num=删除[num，1]；0，num=删除[num，1]；1[功能，功能]]；功能]；A057163L[n_]：=函数[x，第一位置[x，FromDigits[大多数@案例[tree[#]/。1->反转@*1，0|1，全部，头->真]，2]][[1]]-1&/@x][Select[Range[0，2^n]，A014486Q]]；A057163L[11](*郑焕敏2016年12月11日*）
黄体脂酮素
（作用于S表达式（即列表结构）的这种自同构的方案实现：）
扩展
与2006年12月15日实现的德国1998年内卷化等效，相应的条目由编辑安蒂·卡图恩2007年1月16日
表中第一个非同一非递归加泰罗尼亚自同构的签名置换A089840号：交换二叉树的顶部分支。非负整数的对合。
+10
91
0, 1, 3, 2, 7, 8, 6, 4, 5, 17, 18, 20, 21, 22, 16, 19, 14, 9, 10, 15, 11, 12, 13, 45, 46, 48, 49, 50, 54, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 44, 47, 53, 56, 60, 42, 51, 37, 23, 24, 38, 25, 26, 27, 43, 52, 39, 28, 29, 40, 30, 31, 32, 41, 33, 34, 35, 36, 129, 130, 132, 133, 134
评论
这是在单位双射之后最简单的可能的加泰罗尼亚自同构(A001477号).它对未标记的有根平面二叉树（字母A和B表示位于这些向量上的任意子树）产生以下变换：
A B B A
\ / --> \ /
x x x
（a.b）----->（b.a）
例子
为了获得签名置换，我们将这些变换应用于按以下方式编码和排序的二叉树A014486号对于每个n，a（n）将是第n棵树转换到的树的位置，如下所示：
.
一棵内部树
空树（非叶）节点
x个\/
n=0 1
a（n）=0 1（两者总是固定的）
.
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \_/ \/ \/
n=2 3 4 5 6 7 8
.
交换左右手子树后的新形状为：
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \_/ \/ \/
a（n）=3 2 7 8 6 4 5
因此我们得到了这个序列的前九项：0，1，3，2，7，8，6，4，5。
黄体脂酮素
（此自同构的方案实现。这些作用于S表达式，即列表结构：）
（构造版本：）（定义(*A069770号s） （if（pair？s）（cons（cdr s）（car s））
（破坏性版本：）（定义(*A069770号！s）（if（pair？s）（let（（ex-car（cars）））（set-car！s（cdr-s））（set-cdr！s ex-car））
扩展
条目修订人安蒂·卡图恩2006年10月11日和2024年3月30日
0, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 7, 3, 3, 1, 0, 8, 4, 2, 3, 1, 0, 6, 6, 8, 2, 3, 1, 0, 4, 5, 7, 7, 2, 3, 1, 0, 5, 7, 6, 6, 8, 2, 3, 1, 0, 17, 8, 5, 8, 7, 7, 2, 2, 1, 0, 18, 9, 4, 4, 6, 8, 7, 3, 3, 1, 0, 20, 10, 22, 5, 5, 5, 8, 4, 2, 2, 1, 0, 21, 14, 21, 17, 4, 4, 6, 5, 8, 3, 3, 1, 0
评论
构造过程类似于原始递归函数到N的构造映射：我们有两个基本原语，A069770号（第0行）和A072796号（第1行），其中前者交换二叉树的左子树和右子树，后者交换平面一般树的两个最左子树的位置，除非树的度小于2，在这种情况下，它只是修复它。从此，偶数行是根据此表中的任何其他Catalan双射递归构造的，使用五种允许的递归类型之一：
0-应用给定的Catalan双射，然后递归到获得的新二叉树的两个子树。（行号的最后一位小数=2）
1-首先递归到旧二叉树的两个子树，然后才应用给定的Catalan双射。（最后一位=4）
2-应用给定的Catalan双射，然后递归到获得的新二叉树的右子树。（最后一位=6）
3-首先递归到旧二叉树的右子树，然后才应用给定的Catalan双射。（最后一位=8）
4-首先递归到旧二叉树的左子树，然后应用给定的Catalan双射，然后递归到新二叉树右子树。（最后一位=0）
奇数行>2是行0、1、2、4、6、8的组合。..（即任一基本体A069770号或A072796号（或递归组合之一）和来自右侧同一数组的任何Catalan双射。请参阅scheme-functions index-for-recursive-sgtb和index-fort-composed-sgtb，了解如何计算此表中递归和普通组合的位置。
黄体脂酮素
（Scheme函数显示如何计算此表中出现foo递归组合（矩形0-4）或lhs和rhs普通组合的行，其中foo、lhs、rhs也是此表的索引）：
（定义（index-for-recursive-sgtb foo矩形类型）（+2（*10 foo）（*2矩形类型））
（define（index-for-composed-sgtb lhs-rhs）（let（（new-lhs（cond（（<lhs2）lhs））（（偶数？lhs（1+（/lhs2））））（else（error“Only the primitive Catalan bijectionsA069770号(0) &A072796号（1） 或者递归组合的加泰罗尼亚双宾语（偶数>=2）可以出现在组合的左侧。不允许奇数：“lhs）））（1+（packA054238（*2 new-lhs）rhs）））
交叉参考
此表的前21行：。
本表中发生的其他加泰罗尼亚双射诱发的EIS突变。只给出了第一个已知事件。对合用*标记，其他用其逆：配对。
有关（某些）加泰罗尼亚自同构的更实用枚举系统，请参见表A089840美元及其各种“递归推导”。
0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 19, 11, 15, 12, 17, 18, 13, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 38, 42, 44, 47, 51, 53, 56, 60, 28, 29, 39, 43, 52, 30, 40, 31, 45, 46, 32, 48, 49, 50, 33, 41, 34, 54, 55, 35, 57, 58, 59, 36, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71
评论
此双射对未标记的有根平面一般树（字母A、B、C等指位于这些顶点上的任意子树）产生以下变换：
A A A B A B B A B C B A C
| --> | \ / --> \ / \ | / --> \ | /
| | \./ \./\ |/\ |/等。
也就是说，它保持“planted”（根阶数=1）树的完整性，并交换根阶数>1的一般树的两个最左边的顶级子树。
在一般树映射到的底层二叉树的层次上（例如，参见N.g.De Bruijn和B.J.M.Morselt 1967年的论文，或考虑Lisp编程语言中的列表与点对），此双射对未标记的有根平面二叉树（字母A、B、C表示位于这些节点上的任意子树，（）表示隐含的终端节点）上的以下变换产生影响。
B、C、A、C
\ / \ /
A x-->B x A（）A（）
\ / \ / \ / --> \ /
x x x x
（a.（b.c））->（b.（a.c））（a.（））--->（a.（））
请看示例部分，看看这将如何生成给定的整数序列。
链接
J.W.Cannon、W.J.Floyd和W.R.Parry，理查德·汤普森小组简介《环境数学》，第42卷（1996年），第215-256页。
N.G.De Bruijn和B.J.M.Morselt，关于梧桐树的一点注记，J.组合理论2（1967），27-34。
例子
为了获得签名置换，我们将这些变换应用于按以下方式编码和排序的二叉树A014486号对于每个n，a（n）将是第n棵树转换到的树的位置，如下所示：
.
一棵内部树
空树（非叶）节点
x个\/
n=0 1
a（n）=0 1（两者总是固定的）
.
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \_/ \/ \/
n=2 3 4 5 6 7 8
.
在注释中给出的图中标记为“A”和“B”的位置交换两个子树后的新形状为：
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \_/ \/ \/ \/
a（n）=2 3 4 6 5 7 5
因此我们得到了这个序列的前九项：0，1，2，3，4，6，5，7，8。
黄体脂酮素
（定义(*A072796号s） （cond（（not（pair？s））s）（（not（pairs？（cdr s）））（其他（cons（cadr s）（cons
（定义（robr！s）（let（（ex-cdr（cdr s）））（set-cdr！s（caar s））（set-car！（car s）ex-cdr）（swap！（cars））
（定义（交换！s）（let（（ex-car（car s）））（set-car！s（cdr s））（set-cdr！s ex-car）s））
0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 3, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 5, 7, 3, 2, 1, 0, 6, 8, 4, 3, 2, 1, 0, 7, 6, 6, 5, 3, 2, 1, 0, 8, 5, 5, 4, 5, 3, 2, 1, 0, 9, 4, 7, 6, 6, 6, 3, 2, 1, 0, 10, 17, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 1, 0, 11, 18, 9, 8, 7, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 0, 12, 20, 11, 12, 8, 7, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 13, 21, 14, 13, 12
评论
第n行是从表中的第n个非递归自同构获得的加泰罗尼亚自同构的签名置换A089840号使用递归方案“SPINE”。在这个递归方案中，给定的自同构首先应用于二叉树的根，然后算法递归到新的右侧分支。相关的方案将处理脊椎和！SPINE可用于从任何构造性或破坏性实现的自同构中获得这样的转换自同构。此表中每行只出现一次。这些排列的逆可以在表中找到A122204号.
递归方案SPINE有一个定义良好的逆，即它在所有加泰罗尼亚自同构集上充当双射映射。具体地说，如果g=SPINE（f），那么（f s）=（cond（（pair？s）（let（t（g s）））（cons（car t）（g^{-1}（cdr t））））。这意味着对于表中的任何非递归自同构fA089840号，脊椎^{-1}（f）也位于A089840号，这又意味着表的行A089840号形成此表行的（适当的）子集。
参考文献
A.Karttunen，正在准备论文，可通过电子邮件获取草稿。
黄体脂酮素
（方案：）（define（SPINE foo）（letrec（（bar（lambda（s）（let（t（foo））））（if（pair？t）（cons（car t）（bar（cdr t）））bar）））
（define（！SPINE foo！）（letrec（（bar！（lambda（s）（cond（（pair？s）（foo！s）（bar！))
交叉参考
参见本表前22行：第0行（身份置换）：A001477号, 1:A069767号, 2:A057509号, 3:A130341号, 4:A130343号, 5:130345美元, 6:A130347号, 7:A122282号, 8:A082339号, 9:A130349号, 10:A130351号, 11:A130353号, 12:A074685号, 13:130355美元, 14:A130357号, 15:A130359号, 16:A130361号, 17:A057501美元, 18:A130363号, 19:A130365型, 20:A130367号, 21:A069770号其他行：第251行：A089863号，第253行：A123717号，第3608行：A129608号，第3613行：A072796美元，第65352行：A074680号，第79361行：A123715号.
加泰罗尼亚自同构的特征变换：旋转非交叉和弦（握手）安排；旋转由编码的一般树的根位置A014486号.
+10
40
0, 1, 3, 2, 7, 8, 5, 4, 6, 17, 18, 20, 21, 22, 12, 13, 10, 9, 11, 15, 14, 16, 19, 45, 46, 48, 49, 50, 54, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 31, 32, 34, 35, 36, 26, 27, 24, 23, 25, 29, 28, 30, 33, 40, 41, 38, 37, 39, 43, 42, 44, 47, 52, 51, 53, 56, 60, 129, 130, 132, 133, 134
评论
这是当“非交叉握手”，即斯坦利的解释（n），“在圆周上连接2n个点的n条不相交弦”旋转时，自然数的排列。
当平面树的根位置（Stanley解释（e））在顶点周围连续变化时，会产生相同的排列。
要很好地说明根顶点的旋转是如何工作的，请参阅Torsten Mütze论文（2014年5月20日修订版第24页）中的图6“有序根树的旋转”。
链接
托尔斯滕·穆策，中间层猜想的证明，arXiv预印本arXiv:1404.4442[math.CO]，2014年（第24页）。
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地图（CatalanRankGlobal，地图（RotateHandshakes，A014486号));
RotateHandshakes:=n->pars2binexp（RotateHandshakesP（binexp2pars（n）））；
旋转握手P:=h->`if`（（0=nops（h）），h，[op（car（h），cdr（h）]）；#这就是诀窍！在Lisp中：（defon RotateHandshakesP（h）（追加（汽车h）（列表（cdr h）））
car:=proc（a）如果0=nops（a），那么（[]）else（op（1，a））：fi:end：#名称来自Lisp，取列表的第一个元素（head）。
cdr:=proc（a）if 0=nops（a）then（[]）else（a[2..nops（a）]）:fi:end:#也一样。获取列表的其余部分（尾部）。
PeelNextBalSubSeq:=proc（nn）局部n，z，c；如果（0=nn），则返回（0）；fi；n：=nn；c:=0；z:=0；而（1=1）做z:=2*z+（n模2）；c：=c+（-1）^n；n:=地板（n/2）；如果（c>=0），则返回（（z-2^（floor_log_2（z）））/2）；fi；od；结束；
RestBalSubSeq:=proc（nn）局部n，z，c；n：=nn；c:=0；而（1=1）做c:=c+（-1）^n；n:=地板（n/2）；如果（c>=0），则断裂；fi；od；z:=0；c:=-1；而（1=1）做z:=2*z+（n模2）；c：=c+（-1）^n；n:=地板（n/2）；如果（c>=0），则返回（z/2）；fi；od；结束；
pars2binexp:=进程（p）局部e、s、w、x；如果（0=nops（p）），则返回（0）；fi；e:=0；对于p do x中的s：=pars2binexp（s）；w:=floor_log_2（x）；e：=e*2^（w+3）+2^（w+2）+2*x；od；返回（e）；结束；
binexp2pars:=proc（n）选项记忆；`if`（（0=n），[]，binexp2parsR（binrev（n））；结束；
binexp2parsR:=n->[binexp2pars（PeelNextBalSubSeq（n）），op（binexp2bars（RestBalSubSeq（n）））]；
黄体脂酮素
（在S表达式、“构造性”和“破坏性”变体上实现这种自同构的Scheme函数）：
（定义(*A057501号s） （cond（（null？s）（list））（else（append（cars）（列表）））
；；直接处理非负整数的版本（definec是来自安蒂·卡图恩的IntSeq-library）：
交叉参考
其他相关排列：A057161号,A057163号,A057503号,A057505号,A057508号,A057509号,A057511号,A069770号,A069771号,A069772号,A069773美元,A069888号,A069889号,A082313号,A082314号,A085173号,A086427号,A123501型,A127291号,A127292号.
作者
安蒂·卡图恩2000年9月3日；2014年6月6日修订的条目
0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, 14, 11, 16, 19, 10, 15, 12, 17, 18, 13, 20, 21, 22, 23, 37, 28, 42, 51, 25, 39, 30, 44, 47, 33, 53, 56, 60, 24, 38, 29, 43, 52, 26, 40, 31, 45, 46, 32, 48, 49, 50, 27, 41, 34, 54, 55, 35, 57, 58, 59, 36, 61, 62, 63, 64, 65, 107, 79, 121, 149, 70
链接
A.卡图恩，异形性（包括计算该序列的完整Scheme程序）
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Maple列表的类似函数可以实现为：reverse:=proc（a）如果0=nops（a），那么（a）else[op（reverse（cdr（a））），a[1]；fi；结束；
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（Scheme函数在列表结构上实现此自同构：）reverse
（破坏性变体，参见A057509号为了罗尔！)（define（Rev1！s）（cond（（pair？s）（Rev1？（cdr？s））（Rol！s）））
（另一种变体，请参见A057510号为了Ror！)（define（Rev2！s）（cond（（pair？s）（Ror！s），Rev2！（cdr s）））
0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 19, 10, 15, 12, 17, 20, 13, 18, 21, 22, 23, 25, 28, 30, 33, 37, 39, 42, 44, 53, 51, 47, 56, 60, 24, 29, 38, 43, 52, 26, 40, 31, 45, 48, 34, 54, 57, 61, 27, 41, 32, 46, 55, 35, 49, 58, 62, 36, 50, 59, 63, 64, 65, 67, 70, 72, 75, 79, 81
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地图（CatalanRankGlobal，地图（DeepRotateL，A014486级));
DeepRotateL:=n->pars2binexp（DeepRotateL（binexp2pars（n）））；
deeprotateL:=proc（a）如果0=nops（a）或list<>whattype（a），则（a）else rotateL（map（deeprostateL，a））；fi；结束；
0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 3, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 5, 8, 3, 2, 1, 0, 6, 7, 4, 3, 2, 1, 0, 7, 6, 6, 5, 3, 2, 1, 0, 8, 5, 5, 4, 5, 3, 2, 1, 0, 9, 4, 7, 6, 6, 6, 3, 2, 1, 0, 10, 22, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 1, 0, 11, 21, 9, 8, 7, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 0, 12, 20, 14, 13, 8, 7, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 13, 17, 11, 12, 13
参考文献
A.Karttunen，正在准备论文，可通过电子邮件获取草稿。
交叉参考
此表的前22行：第0行（身份置换）：A001477号, 1:A082347号, 2:A057508号, 3:A131142号, 4:A131148号, 5:A131146号, 6:A131144号, 7:A131173号, 8:31170英镑, 9:A131154号, 10:A131152号, 11:A131150型, 12:A057504号, 13:A131164号, 14:A131166号, 15:A069767号, 16:A131168号, 17:A131172号, 18:A131156号, 19:A131158号, 20:A131162号, 21:A131160型其他行：第169行：A130359号, 3608:A130339号, 3617:A057509号, 65167:A074685号.
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