搜索： a057077-编号：a057071
|
| |
| |
|
|
|
4、-4、8、-32、-32、-64、-256、256、-512、2048、2048、4096、16384、-16384、32768、-131072、-131072、262144、-1048876、1048576、2097152、8388608、8388608、16777216、67108864、67108864、134217728、-536870912、-536870912、-103741824
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,1
|
|
|
评论
|
a（n）=ves（（'i+'ii'+'ij'+'ik'）^n）a（n，n）=ves（（'j+'jj'+'ji'+'jk'）^n）a（n）=ve（（'k+'kk'+'ki'+'kj'）^ n）。
元素x=“i+”ii“+”ij“+”ik“；y=‘j+’jj’+‘ji’+‘jk’；和z='k+'kk'+'ki'+'kj'是四元数因子空间QXQ/{（1,1），（-1，-1）}生成的环的元素。每一个都由“弗洛雷斯立方体”的灰色阴影区域表示。元素x/2、y/2、z/2是群的成员，它本身是由QXQ/{（1,1），（-1，-1）}生成的实代数的子集，与QXC_3同构（24阶）。
这个序列是三个序列的逐项和：a（n）=ves（x^n）=jes，天（x^n）=(0, 2, 0, -8, 0, -64, 0, -128, 0, 512, 0, 4096, 0, 8192, 0, -32768, ...). 关于“les”-注意，如果（…，s，0，0，t，…），则t=-16s，如果（..，s，O，t，..），则t=4s。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=4*a（n-2）-16*a（n-4）。总尺寸：4*（1-x-2*x^2-4*x^3）/（1-4*x*2+16*x^4）-R.J.马塔尔2008年11月26日
a（n）=（-1）^（楼层（n/3）+（n mod 3）mod 2）+1）/2）*8^-丹尼·罗拉博2016年5月13日
|
|
|
数学
|
系数列表[级数[4（1-x-2x^2-4x^3）/（1-4x^2+16x^4），{x，0，40}]，x]（*或*）线性递归[{0，4，0，-16}，{4，-4，8，-32}，40](*哈维·P·戴尔2024年2月15日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（圣人）
[（-1）^（楼层（（楼层（n/3）+（n%3）%2）+1）/2））*8^
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
签名,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000009号
|
| 产品扩展{m>=1}（1+x^m）；将n划分为不同部分的分区数；将n划分为奇数部分的数目。
（原名M0281 N0100）
|
|
+10
1463
|
|
|
|
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 38, 46, 54, 64, 76, 89, 104, 122, 142, 165, 192, 222, 256, 296, 340, 390, 448, 512, 585, 668, 760, 864, 982, 1113, 1260, 1426, 1610, 1816, 2048, 2304, 2590, 2910, 3264, 3658, 4097, 4582, 5120, 5718, 6378
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.4
|
|
|
评论
|
分成不同部分的分区有时称为“严格分区”。
爬上m级楼梯的不同方法的数量，采取奇数大小的步骤（或采取不同大小的步骤），其中顺序无关，并且对每个步骤的数量或大小没有其他限制，则为x^m系数。
将n划分为不同部分的数量=将n划分成奇数部分的数量是由于Euler。
双射：给定n=L1*1+L2*3+L3*5+L7*7+。。。，一个奇数部分的分区，用二进制写每个Li，Li=2^a1+2^a2+2^a3+。。。其中aj都不同，则展开n=（2^a1*1+…）*1+。。。通过移除括号，我们可以将分区划分为不同的部分。对于反向操作，只需将任何偶数拆分为两半，直到没有剩余的偶数。
周期2序列[1,0,1,0，…]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯2002年12月16日
不同部分和的数目1+[1，2]+[1，3]+[1，4]+。。。，其中[1，x]表示选择。例如，a（6）=4，因为我们可以写1+1+1+1+1，1+2+3，1+2+1+1，1+1+3+1-乔恩·佩里2003年12月31日
a（n）是将x_j划分为最多j个部分的次数之和，其中j是第j个三角形数的索引，n-T（j）=x_j。例如：；a（12）=划分成12-T（4）的<=4部分=2+划分成12-T（3）的<=3部分=6+划分成12-T（2）的<=2部分=9+划分成12-T（1）的1部分=11=（2）（11）+（6）（51）（42）（411）（33）（321）（222）+（9）（81）（72）（63）（54）+（11）=2+7+5+1=15-乔恩·佩里2004年1月13日
n的分区数，其中如果k是最大部分，则所有部分1..k都存在-乔恩·佩里2005年9月21日
杰克·格雷尔（Jack Grahl）和富兰克林·亚当斯（Franklin T.Adams-Waters）通过观察“无间隙”分区的费雷斯对偶保证有不同的部分，证明了乔恩·佩里（Jon Perry）的这一主张；由于Ferrers对偶是对合，这在两组分区之间建立了双射-艾伦·C·韦克斯勒2021年9月28日
具有n条边的连接阈值图的数量Michael D.Barrus（mbarrus2（AT）uiuc.edu），2007年7月12日
n个分区的数量，其中最大部分出现奇数次，所有其他部分出现偶数次。（此类分区是带有奇数部分的分区的对偶。）-大卫·沃瑟曼2009年3月4日
最大部分出现一次的n+1对称单峰组合数。n的对称单峰组合数，其中最大部分出现奇数次-乔格·阿恩特2013年6月11日
因为对于这些分区，第1、2、…部分的指数。。。或者是0或1（j^0表示没有j部分），我们可以将这些分区称为“费米子分区”。这些部分是能级，即正整数，占领数是0或1（就像泡利的排除原理）。“费米子态”由n的这些划分表示-沃尔夫迪特·朗，2014年5月14日
Ewell（1973）给出了一些复发病例-N.J.A.斯隆，2020年1月14日
a（n）等于集合{1,2，…，n+1}的置换数p，用一行符号表示为p=p_1p_2…p_（n+1），满足p_，在满足p（i+1）-p-i<=1，1<=i<=4的5个字母上的16个排列中，正好有两个排列的主索引为4，即5 3 4 1 2和2 3 4 5 1。因此a（4）=2。请参阅中的Bala链接A007318号作为证据-彼得·巴拉2022年3月30日
猜想：每个正整数n可以写成a_1+…+a_k，其中a_1，。。。，ak是严格的分区数（即当前序列的项），没有人将其相除。已验证n=1..1350-孙志伟2023年4月14日
|
|
|
参考文献
|
Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的概括》，《数学与计算机教育》，第31卷，第1期，第24-28页，1997年冬季。数学教育数据库（Zentralblatt MATH，1997c.01891）。
Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的一般化II》，《密苏里数学科学杂志》，第16卷，第1期，2004年冬季，第12-17页。Zentralblatt MATH，Zbl 1071.05501。
乔治·安德鲁斯，《分割理论》，剑桥大学出版社，1998年，第19页。
乔治·安德鲁斯（George E.Andrews），《数论》，多佛出版社，1994年，定理12-3，第154-5页，以及（13-1-1）第163页。
雷蒙德·阿尤布（Raymond Ayoub），《数字分析理论导论》（Introduction to the Analytic Theory of Numbers），美国。数学。Soc.，1963年；见第196页。
T.J.I'a.Bromwich，《无穷级数理论导论》，麦克米伦出版社，第2期。1949年版，第116页，问题18。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第99页。
威廉·邓纳姆（William Dunham），《数学世界》，第57-62页，J.Wiley，1994年。
Leonhard Euler，De partitione numerorum，Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitane 3（1750/1），1753年，重印于：Commentationes Arithmeticae。（奥姆尼亚歌剧院，《初级系列：数学歌剧，第二卷》），1915年，利普西亚·贝罗里尼，254-294。
Ian P.Goulden和David M.Jackson，《组合计数》，纽约威利出版社，1983年（2.5.1）。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第277页，定理344、346。
Carlos J.Moreno和Samuel S.Wagstaff，Jr.，《整数平方和》，查普曼和霍尔出版社，2006年，第253页。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；纽约州切尔西，1962年。见第309页的表五。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]，第836页。
弗朗西丝卡·艾卡迪，分区的矩阵公式《泛函分析与其他数学》，第3卷，第2期（2011年），第127-133页；arXiv预印本，arXiv:0806.1273[math.NT]，2008年。
乔治·安德鲁斯，欧拉的“无分割数字”，公牛。阿默尔。数学。Soc.，44（2007年第4期），561-573。
Alexander Bors、Michael Giudici和Cheryl E.Praeger，GAP代码文件OrbOrd.txt的文档，arXiv:1910.12570[math.GR]，2019年。
John A.Ewell，分区重复，J.Comb。理论A，第14卷，125-1271973。
菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学剑桥大学出版社，2009年；见第48和499页。
瓦茨拉夫·科特索维奇，使用贝塞尔获得错误的极限《Mathematica Stack Exchange》，2016年11月9日。
詹姆斯·麦克劳林（James Mc Laughlin）、安德鲁·希尔斯（Andrew V.Sills）和彼得·齐默（Peter Zimmer），Rogers-Ramanujan-Slater类型标识《电子组合数学杂志》，DS15，1-59，2008年5月31日；另请参见arXiv版本，arXiv:1901.00946[math.NT]，2019年。
唐纳德·纽曼，问题研讨会第18页；93;102-3探针。93 Springer-Verlag NY 1982年。
邱·D·阮（Hieu D.Nguyen）和道格拉斯·塔加特（Douglas Taggart），挖掘OEIS：十个实验推测, 2013. 提到这个序列。
Kimeu Arphaxad Ngwava、Nick Gill和Ian Short，对称群的幂零覆盖，arXiv:2005.13869[math.GR]，2020年。
杨明嘉（Mingjia Yang）和多伦·齐尔伯格（Doron Zeilberger），受限分区的系统计数，arXiv:1910.08989[数学.CO]，2019年。
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.：产品{m>=1}（1+x^m）=1/Product{m>=0}（1-x^（2m+1））=Sum{k>=0{产品{i=1..k}x^i/（1-x ^i）=Sum{n>=0neneneep x^。
通用公式：和{n>=0}x^n*Product_{k=1..n-1}（1+x^k）=1+Sum_{n>=1}x^n*积{k>=n+1}（1+x^k）-乔格·阿恩特2011年1月29日
Product_{k>=1}（1+x^（2k））=Sum_{k>=0}x^。
渐近：a（n）~exp（Pi l_n/sqrt（3））/（4 3^（1/4）l_n^（3/2）），其中l_n=（n-1/24）^（1/2）（Ayoub）。
1/chi（-x）=chi（x）/chi（-x^2）=f（-x”）/phi（x”）=f“x”/phi-迈克尔·索莫斯2011年3月12日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（1152 t））=2^（-1/2）/f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯，2007年8月16日
q^（-1/24）*eta（q^2）/eta（q）的q次幂展开。
q^（-1/24）2^（-1-2）f2（t）的展开式为q=exp（2 Pi it）的幂，其中f2（）是韦伯函数-迈克尔·索莫斯2007年10月18日
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^3）^8满足0=f（B（x，B（x^2）），其中f（u，v）=v-u^2+16*u*v^2-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^8）^3满足0=f（B（x，B（x^3）），其中f（u，v）=（u^3-v）*（u+v^3）-9*u^3*v^3-迈克尔·索莫斯2008年3月25日
来自Evangelos Georgiadis、Andrew V.Sutherland、Kiran S.Kedlaya（egeorg（AT）mit.edu），2009年3月3日：（开始）
a（0）=1；a（n）=2*（总和{k=1..floor（sqrt（n））}（-1）^（k+1）a（n-k^2））+σ=A010815号). （结束）
乘积g.f.=（1/（1-x））*（1/(1,1,1,...)*
(1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,...)*(1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,...) * ...; =
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, ... = a*b类
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, ... = a、b、c
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... = a、b、c、d
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ... = a、b、c、d、e
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ... = a*b*c*d*e*f
G.f.：1/2（-1；x）_{inf}，其中（a；q）_k是q-Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
更精确的渐近线：a（n）~exp（Pi*sqrt（（n-1/24）/3））/（4*3^（1/4）*（n-1/24）^（3/4））*（1+（Pi^2-27）/（24*Pi*sqrt（3*（n-1/24）））+（Pi^4-270*Pi^2-1215）/（3456*Pi^2*（n-1/24）））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月30日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（4*3^（1/4）*n^（3/4））*（1+（Pi/（48*sqort（3））-（3*sqert（3）/（8*Pi））/sqrt（n）+（Pi^2/13824-5/128-45/（128*Pi^2））/n）。
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3）+（Pi/（48*sqort（3））-3*sqert（3）/（8*Pi））/sqrt（n）-（1/32+9/（16*Pi^2））/n）/（4*3^（1/4）*n^（3/4）））。
（结束）
a（n）~Pi*BesselI（1，Pi*sqrt（（n+1/24）/3））/sqrt（24*n+1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月8日
通用公式：（1+x）*Sum_{n>=0}x^（n*（n+3）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=
（1+x）*（1+x^2）*Sum_{n>=0}x^（n*（n+5）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=（1+x）*（1+x^2。。。。
通用公式：（1/2）*Sum_{n>=0}x^（n*（n-1）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=
（1/2）*（1/（1+x））*Sum_{n>=0}x^（（n-1）*（n-2）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=（1/2）x（1/。。。。
G.f.：求和{n>=0}x^n/Product_{k=1..n}（1-x^（2*k））=（1/（1-x））*Sum_{n>=0.}x^（（1-x）*（1-x^3）*（1-x^5）））*Sum_{n>=0}x^（7*n）/Product_{k=1..n}（1-x^（2*k））=。。。。（结束）
通用公式：A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（2*n-1））/Product_{k=1..2*n}（1-x^k）。（在Mc Laughlin等人，第1.3节，条目7中设置z=x和q=x^2。）
类似地，A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（2*n+1））/Product_{k=1..2*n+1}（1-x^k）。（结束）
通用公式：A（x）=exp（和n>=1}x^n/（n*（1-x^（2*n））-彼得·巴拉2021年12月23日
和{n>=0}a（n）/exp（Pi*n）=exp（Pi/24）/2^（1/8）=A292820型. -西蒙·普劳夫2023年5月12日[证明：Sum_{n>=0}a（n）/exp（Pi*n）=phi（exp（-2*Pi））/phi Pi^（3/4）），见I.Mező，2013年的公式（14）和（13）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2023年5月12日]
a（2*n）=和{j=1..n}p（n+j，2*j）和a（2xn+1）=和}j=1..n+1}p（n+j，2*j-1），其中p（n，s）是n的分区数，正好有s个部分-格雷戈里·西蒙，2023年8月30日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^5+4*x^6+5*x^7+6*x^8+8*x^9+。。。
G.f.=q+q^25+q^49+2*q^73+2*q*97+3*q^121+4*q^145+5*q^169+。。。
1: 1
2: 2
3: 3, 21
4点4分，31分
5: 5, 41, 32
6: 6, 51, 42, 321
7: 7, 61, 52, 43, 421
8: 8, 71, 62, 53, 521, 431
...
|
|
|
MAPLE公司
|
N:=100；t1:=系列（mul（1+x^k，k=1..N），x，N）；A000009号：=过程（n）系数（t1，x，n）；结束；
规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}]：[seq（combstruct[count]（规范，大小=N），N=0..58）]；
规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}]：combstruct[allstructs]（规范，大小=10）；#得到n=10的实际分区
局部x，m；
乘积（1+x^m，m=1..n+1）；
膨胀（%）；
系数（%，x，n）；
#或者：
简化（展开（Q微分方程：-QPochhammer（-1，x，99）/2，x））：
seq（系数（%，x，n），n=0..55）#彼得·卢什尼，2016年11月17日
|
|
|
数学
|
分区Q[范围[0，60]]（*_哈维日，2009年7月27日*）
a[n_]：=系列系数[乘积[1+x^k，{k，n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）
a[n_]：=系列系数[1/乘积[1-x^k，{k，1，n，2}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）
a[n_]：=带[｛t=Log[q]/（2 Pi I）｝，序列系数[q^（-1/24）DedekindEta[2t]/DedekindEta[t]，｛q，0，n｝]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）
a[n_]：=级数系数[1/QPochhammer[x，x^2]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2013年5月24日*）
a[n_]：=级数系数[Series[QHypergeometricPFQ[{q}，{qx}，q，-qx]，{q，0，n}]/。x->1，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）
a[n_]：=系列系数[QHypergeometricPFQ[｛｝，｛｝，q，-1]/2，｛q，0，n｝]；(*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）
nmax=60；系数列表[级数[Exp[Sum[（-1）^（k+1）/k*x^k/（1-x^k），{k，1，nmax}]]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月25日*）
nmax=100；poly=常量数组[0，nmax+1]；聚[1]]=1；poly[2]]=1；Do[Do[poly[[j+1]]+=聚[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月14日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，1+x^k，1+x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯1999年11月17日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）/eta（x+a），n））}；
（PARI）{a（n）=my（c）；对于部分（p=n，如果（n<1|p[1]<2，c++；对于（i=1，#p-1，如果（p[i+1]>p[i]+1，c---；break））；c}/*迈克尔·索莫斯2017年8月13日*/
（PARI）列表a（nn）={q='q+O（'q^nn）；向量（eta（q^2）/eta（q））}\\阿尔图·阿尔坎，2018年3月20日
（岩浆）系数（&*[1+x^m:m in[1..100]]）[1..100]，其中x是多项式环（整数（））。1；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（哈斯克尔）
导入数据。MemoCombinators（内存2，积分）
a000009 n=a000009_列表！！n个
a000009_list=映射（pM 1）[0..]其中
pM=memo2积分p
p _ 0=1
p k m | m<k=0
|否则=pM（k+1）（m-k）+pM（k+1）m
（最大值）num_distinct_partitions（60，list）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/
（马克西玛）
h（n）：=如果oddp（n）=真，则1为0；
S（n，m）：=如果n=0，则1 else如果n<m，则0 else如果n=m，则h（n）else和（h（k）*S（n-k，k），k，m，n/2）+h（n；
a=二进制递归序列（0，1）
b=欧拉变换（a）
打印（[b（n）表示范围（56）中的n]）#彼得·卢什尼2020年11月11日
从functools导入lru_cache
从数学导入isqrt
@lru_cache（最大大小=无）
使用Memoize
n==0&&返回1
s=总和（（-1）^k*A000009号1中k的（n-k^2）：isqrt（n））
|
|
|
交叉参考
|
a（n）=和{n=1..m}A097306号（n，m），n分划成m个奇数部分的三角形的行和。
囊性纤维变性。A001318号,A000041号,A000700元,A003724号,A004111号,A007837号,A010815号,A035294号,A068049号,A078408号,A081360型,A088670型,A109950号,A109968号,A132312号,A146061号,A035363号,A010054号,A057077号,A089806号,A091602年,A237515型,A118457号（分区），A118459号（分区长度），A015723号（零件总数），A230957型（boutrophedon变换）。
r=2到12的r-规则分区数：A000009号,A000726号,A001935号,A035959号,A219601型,A035985号,A261775型,A104502型,A261776型,A328545型,A328546型.
|
|
|
关键词
|
非n,核心,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A007814号
|
| 2除以n的最高幂指数，也称为二进制进位序列、标尺序列或n的2-adic赋值。 |
|
+10
850
|
|
|
|
0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 6, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,4
|
|
|
评论
|
要构造序列：从0,1开始，连接以获得0,1,0,1。将+1加到最后一项上，得到0,1,0,2。将这4个项串联起来，得到0,1,0,2,0,1,2,2。将+1加到上学期等-贝诺伊特·克洛伊特2003年3月6日
序列在以下两种变换下是不变的：每个元素增加一个（1、2、1、3、1、2，1、4…），在前面和相邻元素之间放置一个零（0、1、0、2、0、1，0、3、0，1、0，2，0，1，0，4…）。中间结果是A001511号.-拉尔夫·海因泽（Ralf（AT）informatik.uni bonn.de），2003年8月26日
同构0->01，1->02，2->03，3->04，…，的不动点。。。，n->0（n+1）。。。，从a（1）=0开始-菲利普·德莱厄姆2004年3月15日
态射的不动点0->010，1->2，2->3。。。，n->（n+1）-乔格·阿恩特2014年4月29日
a（n）也是Collatz猜想中引用的冰雹序列中对偶数重复一步的次数Alex T.Flood（whiteangelsgrace（AT）gmail.com），2006年9月22日
设F（n）为第n个费马数(A000215号). 然后F（a（r-1））除以F（n）+2^k，得到r＝k mod 2^n和r！＝1. -T.D.诺伊2007年7月12日
a（n）是以2为基数写入n时，n末尾的0的数目。
a（n+1）是以2为基数写入n时，n末尾的1的数目-M.F.哈斯勒2012年8月25日
序列是无平方的（在不包含任何形式XX的子序列的意义上）[Allouche和Shallit]。当然，它包含单个的平方项（例如4）注释展开者N.J.A.斯隆2019年1月28日
引理：对于具有r=a（n）=a（m）的n<m，存在具有a（k）>r的n<k<m。证明：我们有n=b2^r和m=c2^r，其中b<c都是奇数；在他们中间选择一个偶数；现在a（i2^r）>r和n<i2^r<m.QED。推论：连续整数的每个有限次运行都有一个唯一的最大2进制值-杰森·金伯利2011年9月9日
a（n）=具有Heinz数n的分区中1的个数。我们将分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz号定义为Product_{j=1..r}p_j-th素数（阿洛伊斯·海因茨在里面2015年2月66日作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，我们得到2*2*3*7*29=2436。示例：a（24）=3；实际上，海因氏数为24=2*2*2*3的分区是[1,1,1,2]-Emeric Deutsch公司2015年6月4日
a（n+1）是高架桥编号为n的整数分区中两个最大部分之间的差值（假设0是一个部分）。示例：a（20）=2。事实上，我们有19=10011_2，这导致了分区[3,1,1]的费雷尔斯板。有关高架桥编号的定义，请参阅A290253型. -Emeric Deutsch公司2017年8月24日
如上所述，序列除了平方自由外，还具有每个连续子序列至少包含一个奇数次的数的性质-乔恩·里奇菲尔德2018年12月20日
a（n+1）是4k+1形式的任意u的和{e=0..n}u^e=（1+u+u^2+…+u^n）的2元估值(A016813号)-安蒂·卡图恩2020年8月15日
{a（n）}代表可数无限多帽子游戏的“第一黑帽子”策略，成功概率为1/3；请参阅下面的数字链接-弗雷德里克·鲁格2021年6月14日
|
|
|
参考文献
|
J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第27页。
K.Atanassov，《关于第37和38个Smarandache问题，数论和离散数学笔记》，索菲亚，保加利亚，第5卷（1999年），第2期，第83-85页。
米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
|
|
|
链接
|
阿兰·康奈斯（Alain Connes）、卡特琳娜·康萨尼（Caterina Consani）和亨利·莫斯科维奇（Henri Moscovici），Zeta零点和长波算子，arXiv:2310.18423[math.NT]，2023。
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，（2009）离散数学。，309（2009），6245-6254。
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，arXiv:0901.1397[math.CO]，2009年。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。参见第61页。图书网站
尼古拉斯·马莱特，锡拉丘兹猜想的证明试验，arXiv预印本arXiv:1507.05039[math.GM]，2015。
乔瓦尼·皮奇奇尼，有限自动机：特性、复杂性和变体《形式系统描述复杂性国际会议》（DCFS 2019），《形式系统的描述复杂性》，《计算机科学讲义》（LNCS，第11612卷），查姆斯普林格，57-73。
Lara Pudwell和Eric Rowland，避免自然数的分数幂，arXiv:1510.02807[math.CO]（2015）。《组合数学电子杂志》，第25卷（2）（2018年），#P2.27。见第2节。
保罗·塔劳，一类同构数据变换《Calculemus 2009》，第八届国际会议，MKM 2009，第170-185页，斯普林格，LNAI 5625。
P.M.B.Vitanyi先生，计数器的优化仿真《SIAM J.计算》，14:1（1985），1-33。
|
|
|
配方奶粉
|
如果n是奇数，则a（n）=0，否则为1+a（n/2）-莱因哈德·祖姆凯勒2001年8月11日
通用公式：A（x）=和{k>=1}x^（2^k）/（1-x^-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月10日
如果p=2，则为a（p）=1的全加性，否则为0。
Dirichlet g.f.：zeta（s）/（2^s-1）-拉尔夫·斯蒂芬，2007年6月17日
定义0<=k<=2^n-1；二进制：k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1；其中b（x）为0或1，表示0≤x≤n-1；定义0≤x≤n-1的c（x）=1-b（x）；那么：a（k）=c（0）+c（0c（0）*c（1）。。。c（n-1）；a（k+1）=b（0）+b（0b（0）*b（1）。。。b（n-1）-Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年5月10日
v{2}（n）=和{r>=1}（r/2^（r+1））和{k=0..2^-A.内维斯，2010年9月28日，2010年10月4日更正
a（（2*n-1）*2^p）=p，p>=0，n>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年2月4日
a（n）=log_2（n-（n和n-1））-加里·德特利夫斯2014年6月13日
对于正n、x和y，a（（2*x-1）*2^n）=a（（（2xy-1）*2 ^n）-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2016年8月4日
a（n）*（n模块4）=2*楼层（（n+1）模块4）/3）-加里·德特利夫斯2019年2月16日
渐近平均值：lim_{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=1-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月11日
a（n）=2*总和{j=1..层（log_2（n））}压裂（二项式（n，2^j）*2^（j-1）/n）-达里奥·德卡斯特罗2022年7月8日
|
|
|
例子
|
2^3除以24，因此a（24）=3。
三角形开始：
0;
1,0;
2,0,1,0;
3,0,1,0,2,0,1,0;
4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
5,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
6,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,5,0,1,0,2,...
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
ord:=进程（n）局部i，j；如果n=0，则返回0；fi；i： =0；j： =n；而jmod2<>1做i:=i+1；j： =j/2；od：i；结束进程：seq（ord（n），n=1..111）；
|
|
|
数学
|
表[IntegerExponent[n，2]，{n，64}](*埃里克·韦斯特因*)
p＝2；数组[If[Mod[#，p]==0，Select[FactorInteger[#]，Function[q，q[[1]]==p]，1][1，2]，0]&，96]
数字计数[BitX或[x，x-1]，2，1]-1；基于相同概念的不同版本：Floor[Log[2，BitXor[x，x-1]]]（*Jaume Simon Gispert（Jaume（AT）nuem.com），2004年8月29日*）
嵌套[Join[#，ReplacePart[#，Length[#]->Last[#]+1]]&，{0，1}，5]（*N.J.Gunther，2009年5月23日*）
嵌套[Flatten[#/.auInteger->｛0，a+1｝]&，｛0｝，7](*罗伯特·威尔逊v，2011年1月17日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（哈斯克尔）
a007814 n=如果m==0，则1+a007814n'否则为0
其中（n'，m）=divMod n 2
（哈斯克尔）
a007814 n |奇数n=0 |否则=1+a007819（n `div`2）
（R） sapply（1:100，函数（x）和（gmp:：因式分解（x）==2））#克里斯蒂安·安德森2013年6月20日
（岩浆）[估值（n，2）:n in[1..120]]//布鲁诺·贝塞利2013年8月5日
（Python）
导入数学
定义a（n）：返回int（math.log（n-（n&n-1），2））#因德拉尼尔·戈什2017年4月18日
（Python）
定义A007814号（n） ：return（~n&n-1）.bit_length（）#_柴华武2022年7月1日
（方案）（定义(A007814号n） （让回路（（n n）（e 0））（如果（奇数？n）e（回路（/n 2）（+1 e）））；；安蒂·卡图恩2017年10月6日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,美好的,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000312号
|
| a（n）=n ^n；从n点到自身的标记映射数（内函数）。
（原名M3619 N1469）
|
|
+10
572
|
|
|
|
1, 1, 4, 27, 256, 3125, 46656, 823543, 16777216, 387420489, 10000000000, 285311670611, 8916100448256, 302875106592253, 11112006825558016, 437893890380859375, 18446744073709551616, 827240261886336764177, 39346408075296537575424, 1978419655660313589123979
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
还有n个节点上标记的尖根树（或脊椎动物）的数量。
对于n>=1，a（n）也是n X n（0,1）矩阵的数量，其中每行正好包含一个等于1的条目Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年4月21日
此外，（n+1）节点上标记的根树的数量，使得根低于其子节点。此外，（n+1）节点上交替标记的根有序树的数量，使得根低于其子节点塞德里克·乔夫（Chauve（AT）lacim.uqam.ca），2002年3月27日
其中p（n）=n的整数分区的数量，p（i）=n的第i个分区的部分的数量，d（i）=n的第i个分区的不同部分的数量，p（j，i）=n的第i个分区的第j个部分，m（i，j）=n的第i个分区的第j个部分的多重性，有：a（n）=Sum_｛i=1..p（n）｝（n！/（Product_｛j=1..p（i）｝p（i，j）！））*（（n！/（n-p（i）））/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！））-托马斯·维德2005年5月18日
a（n）是以0为根的{0,1,2，…，n}上所有（n+1）^（n-1）棵树的叶子总数。例如，如果边指向远离根的方向，则{0,1,2}上的树是{0->1,0->2}、{0->1->2}、{0->2->1}，并且总共包含（2）=4个叶子-大卫·卡伦2007年2月1日
极限{n->infinity}A000169号（n+1）/a（n）=经验（1）。收敛速度较慢，例如，需要n>74才能得到一个小数位的正确值，并且需要n>163才能得到其中的两个-阿隆索·德尔·阿特，2011年6月20日
也是最小的k，使得二项式（k，n）可以被n^（n-1）整除，n>0-米歇尔·拉格诺2013年7月29日
对于n>=2，a（n）以n为基数表示为“1后面跟着n个零”-R.J.卡诺2014年8月22日
n个字母的字母表中长度为n的单词的数量-乔格·阿恩特2015年5月15日
满足本福德定律【Miller，2015年】-N.J.A.斯隆2017年2月12日
除了第一项（1，-4，-27，256，3125，-46656，…）之外，这个序列的有符号版本具有以下性质：对于每个素数p==1（mod 2n），（-1）^（n（n-1）/2）*n^n=A057077号（n） *a（n）总是模p的第2次幂剩余-宋嘉宁2018年9月5日
n^n都是和{i=0..n}二项式（n，i）*（n-1）^（n-i）
和和{i=0..n}二项式（n，i）*（n-1）^（n-i）*i。
前者是常见的n面骰子掷数的二项式分布，根据所需面出现的次数0到n。后者是相同的，但每个项都乘以其数量。这意味着，如果银行为每一个拥有所选方的骰子支付玩家1个令牌，那么如果玩家支付1个令牌进入，这总是一场公平的游戏——银行和玩家平均都不会赢。
示例：
双面骰子（2枚硬币）：4=1+2+1=1*0+2*1*2（从现在开始省略0）；
三面骰子（3个长三角棱镜）：27=8+12+6+1=12*1+6*2+1*3；
四边骰子（4个长方形棱镜或4个四面体）：256=81+108+54+12+1=108*1+54*2+12*3+1*4；
五边形骰子（5个长五边形棱镜）：3125=1024+1280+640+160+20+1=1280*1+640*2+160*3+20*4+1*5；
六面骰子（6个方块）：46656=15625+18750+9375+2500+375+30+1=18750*1+9375*2+2500*3+375*4+30*5+1*6。
（结束）
对于每个n>=1，在一个（n）顶点上有一个图，其最大独立集的大小为n，其独立集序列是常数（具体来说，对于每个k=1,2，…，n，该图有n^n个大小为k的独立集）。没有具有此特性的小阶图（Ball等人2019）-大卫·加尔文，2019年6月13日
对于n>=2和1<=k<=n，a（n）*（n+1）/4+a（n。。。长度为n的w（n）在以下数量的字母{1，2，…，n}上：和{i=1..w（k）}w（i）。灵感来自AMM中的问题12432（参见链接）-塞拉·弗里德2023年12月10日
|
|
|
参考文献
|
F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，《组合物种和树状结构》，剑桥，1998年，第62、63、87页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第173页，第39页。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992，等式（4.2.2.37）
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
泰勒·鲍尔（Taylor Ball）、大卫·加尔文（David Galvin）、凯蒂·海瑞（Katie Hyry）和凯尔·温加特纳（Kyle Weingartner），独立集与匹配排列，arXiv:1901.06579[math.CO]，2019年。
H.J.Brothers和J.A.Knox，对数常数e的新闭式逼近《数学智能》，第20卷（4），1998年，第25-29页。（序列如公式（8）所示）
C.Chauve、S.Dulucq和O.Guibert，一些标记树的枚举《FPSAC/SFCA 2000会议录》（莫斯科），施普林格出版社，第146-157页。
E.Vigren（投标人），问题12432阿默尔。数学。《月刊》第130期（2023年），第953页。
迪米特里·茨万金，幂级数代数。。。，arXiv:math/0403092[math.AG]，2004年。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n-1）=-Sum_{i=1..n}（-1）^i*i*n^（n-1-i）*二项式（n，i）。-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月28日
例如：1/（1+W（-x）），W（x）=兰伯特函数的主分支。
关于分母为a（n）的幂级数的注记：设f（x）=1+Sum_{n>=1}x^n/n^n。然后作为x->infinity，f（x）~exp（x/e）*sqrt（2*Pi*x/e）-菲利普·弗拉乔莱2008年9月11日
例如：1-exp（W（-x）），偏移量为1，其中W（x）=Lambert函数的主分支-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2010年9月15日
偏移量为1时，例如f.是组成逆（（x-1）*log（1-x））^（-1）=x+x^2/2！+4*x^3/3！+27*x^4/4！+-彼得·巴拉2011年12月9日
a（n）=（n-1）^（n-1）*（2*n）+Sum_{i=1..n-2}二项式（n，i）*（i^i*（n-i-1）^（n-i-1）），n>1，a（0）=1，a（1）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年11月28日
log（a（n））=lim{k->infinity}k*（n^（1+1/k）-n）-理查德·福伯格2015年2月4日
Limit_{n->oo}（a（n+1）/a（n）-a（n）/a（n-1））=e（请参阅Brothers/Knox链接）-哈兰·J·兄弟2021年10月24日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+x+4*x^2+27*x^3+256*x^4+3125*x^5+46656*x^6+823543*x^7+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
表[Sum[StirlingS2[n，i]i！二项式[n，i]，{i，0，n}]，{n，0，20}](*杰弗里·克雷策2009年3月17日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，n^n]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[1/（1+LambertW[-x]），{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[Nest[1/（1-x/（1-积分[#，x]））&，1+O[x]，n]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=n+1}，m！SeriesCoefficient[Inverse Series[级数[（x-1）Log[1-x]，{x，0，m}]]，m]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=n^n}；
（PARI）是（n）=我的（b，k=功率（n，&b））；如果（k，对于（e=1，估值（k，b），如果（k/b^e==e，返回（1）））；n==1\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月14日
（PARI）{a（n）=my（a=1+O（x））；如果（n<0，0，for（k=1，n，a=1/（1-x/（1-intformal（a）））；n！*polcoeff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*/
（哈斯克尔）
a000312 n=n ^ n
a000312_list=zipWith（^）[0..][0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月7日
（Python）
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000107号,A000169号,A000272号,A001372号,A007778号,A007830号,A008785号-A008791号,A019538年,A048993美元,A008279号,A085741号,A062206型,A212333型.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,核心,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A039599号
|
| 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 |
|
+10
133
|
|
|
|
1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.4
|
|
|
评论
|
T（n，k）是从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），它们接触但不穿过x-y=k线，且仅位于该线上方；例如：T（3,2）=5，因为我们有EENNNE，EENNEN，EENENN，ENEENN，NEEENN-菲利普·德莱厄姆2005年5月23日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。（半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径，从（0,0）开始，到（2n，0）结束，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成）。示例：T（3,2）=5，因为我们有u（d）uud（d），uud（d）u（d），u（d）u（d）du，u（d）duu（d）和duu（d）u（d）（向下返回x轴显示在括号之间）-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0，0,0,1,0，0，0…]生成，其中M是无限三对角矩阵，所有1位于上对角线和次对角线中，[1,2,2,2,2,2，2，2…]位于主对角线-菲利普·德莱厄姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：
从（0,0）到（2n，2k）的2n步行走次数，由步长u=（1,1）和d=（1，-1）组成，路径保持在非负象限中。例如：T（3,0）=5，因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud；T（3,1）=9，因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu；T（3,2）=5，因为我们有uuuuu d，uuuudu，uuuduu，uuduuu，uduuuu；T（3,3）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德莱厄姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a（n）*x^n=（1+x）/（1-mx+x^2）=o.g.f.，则和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230元,A161591号，对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德莱厄姆，2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形；请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义，请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数项）。例如：4^4=256=（14，28，20，7，1）点（1，3，5，7，9）=（14+84+100+49+9）=256-加里·亚当森，2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度；常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧，其中c=2+2*cos（2*Pi/N）。示例：取与9边（非边）相关的前4行，N=2*4+1；其中c=2+2*cos（2*Pi/9）=3.5320888……方程为（1,0,0,0）=1；（1,1,0,0）=c；（2,3,1,0）=c^2；（5,9,5,1）=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。；边＝1的9边形（非边形）的四个不同对角线长度。（参见中的注释A089942号它使用类似的运算，但c=1+2*cos（2*Pi/9）。）-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后，也称为Lobb数，是加泰罗尼亚数的自然推广，由L（m，n）=（2m+1）*二项式（2n，m+n）/（m+n+1）给出，其中n>=m>=0。对于m=0，我们得到第n个加泰罗尼亚语数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日
T（n，k）=A053121号（2*n，2*k）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），根据单位圆（长度单位1）内切的规则n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R（n、2*k+1）=S（2*k，rho（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310型):
ρ（N）^（2*N）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*k+1），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034级)，出现。
|
|
|
参考文献
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
T.Myers和L.Shapiro，序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木，众议员。，204 (2010), 93-104.
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
乔纳森·比格利（Jonathan E.Beagley）和保罗·德鲁布（Paul Drube），Tableau反演的组合数学，电子。J.Combina.，22（2015），#P2.44。
安德鲁·洛布，推导第n个加泰罗尼亚数《数学公报》，第83卷，第496号（1999年3月），第109-110页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚三角数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016（见2.8）。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯，一种新的拉普拉斯变换反演方法，夸脱。申请。数学。，第14卷，第4期（1957年），405-414:124。[注意：有一个输入错误]
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，k）=C（2*n-1，n-k）-C（2*n-1，n-k-2），n>=1，T（0,0）=1。
T（n，k）=（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）。
G.f.：G（t，z）=1/（1-（1+t）*z*C），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（结束）
T（n，k）=C（2*n，n-k）*（2*k+1）/（n+k+1）。总和（k>=0；T（n，k）*T（m，k）=A000108号（n+m））；A000108号：加泰罗尼亚语的数字。
T（n，0）=A000108号（n） ；如果k>n，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=和{j=1..n}T（n-j，k-1）*A000108号（j） ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+1），其中C（xA000108号（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108号.
如果n<0或n<k，T（0，0）=1，T（n，k）=0；T（n，0）=T（n-1,0）+T（n-1，1）；对于k>=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）+T（n-l，k+1）。
三角形T（n，k）=（-1）^（n+k）*二项式（n+k，2*k）=*A085478号（n，k）。
和{k=0..n}（2*k+1）*T（n，k）=4^n。
和{k>=h}T（n，k）=二项式（2n，n-h）。
和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k=A000007号（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^k=（-1）^n*A064310号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}T（n，k）*sin（（2*k+1）*x）=sin（x）*（2*cos（x））^（2*n）。
T（n，n-k）=和{j>=0}（-1）^（n-j）*A094385号（n，j）*二项式（j，k）。
如果求和{k>=0}a（k）*x^k=（1+x）/（x^2-m*x+1），则求和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^n。
和{k=0..n}T（n，k）*k^2=A000531号（n） ，对于n>=1。
（结束）
T（n，k）=和{j=0..k}二项式（k+j，2j）*（-1）^（k-j）*A000108号（n+j）-保罗·巴里2011年2月17日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^2=（4*n+1）*二项式（2*n，n）-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^3=（6*n+1）*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）*（2*k+1）^（2*m）=0表示0<=m<n（另请参见A160562号)-沃纳·舒尔特2015年12月3日
T（n，k）=GegenbauerC（n-k，-n+1，-1）-GegenbauerC-（n-k-1，-n+1、-1）-彼得·卢什尼2016年5月13日
T（n，n-3）=n*（2*n-1）*（2*n-5）/3-R.J.马塔尔，2019年1月30日
T（n，n-4）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-7）/6-R.J.马塔尔，2019年1月30日
T（n，n-5）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-3）*（2*n-9）/30-R.J.马塔尔，2019年1月30日
|
|
|
例子
|
三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2：2 3 1
3: 5 9 5 1
4：14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9:4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0，0，1，2，1，
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1（结束）
ρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：
n=2:rho（n）^4=2*R（n，1）+3*R（n,3）+1*R（n/5）=
2+3*S（2，rho（N））+1*S（4，rho。对于N=4（只有一条明显对角线的正方形），度数△（4）=2，因此R（4，3）和R（4,5）可以减少，即分别为R（4,1）=1和R（4]，5）=-R（4,1）=-1。因此，ρ（4）^4=（2*cos（Pi/4））^4=2+3-1=4。（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
T： =（n，k）->（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=n，则1 elif k>n，则0 elif k=0，则T（n-1，0）+T
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）od#彼得·卢什尼2023年2月14日
|
|
|
数学
|
表[Abs[Differences[Table[二项式[2n，n+i]，{i，0，n+1}]]，{n，0，7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*）
连接[{1}，扁平[Table[二项式[2n-1，n-k]-二项式[2]，{n，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
压扁[表[二项式[2*n，m+n]*（2*m+1）/（m+n+1），{n，0，9}，{m，0，n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n-1）中的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
b=非b
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（2*n，k+n）*（2*k+1）/（k+n+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年10月16日
（PARI）a（n，k）=（2*n+1）/（n+k+1）*二项式（2*k，n+k）
三角行（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（a（y，x），“，”））；打印（“”）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A006950型
|
| G.f.：产品{k>=1}（1+x^（2*k-1））/（1-x^。
（原名M0524）
|
|
+10
67
|
|
|
|
1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 16, 21, 28, 35, 43, 55, 70, 86, 105, 130, 161, 196, 236, 287, 350, 420, 501, 602, 722, 858, 1016, 1206, 1431, 1687, 1981, 2331, 2741, 3206, 3740, 4368, 5096, 5922, 6868, 7967, 9233, 10670, 12306, 14193, 16357, 18803, 21581
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.4
|
|
|
评论
|
此外，所有奇数部分都不同的n的分区数。偶数部分没有限制。例如，a（9）=13，因为“9=8+1=7+2=6+3=6+2+1=5+4=5+3+1=5+2+2=4+4+1=4+3+2=2=1=3+2+2+2=2=2+2+2+2+2+1”-努里丁椅子2005年2月3日
n的分区数，其中每个偶数部分出现偶数重数。奇数部分没有限制。
此外，将n划分为不一致的部分的数量为2 mod 4-詹姆斯·塞勒斯2002年2月8日
与偏对称nXn矩阵李代数o（n）中幂零共轭类的个数序列一致，n=0,1,2,3，。。。（情况n=0,1为退化）。这个序列，A015128号和A000041号共同涵盖经典李代数A、B、C、D系列中的幂零共轭类Alexander Elashvili，2003年9月8日
F_2（b_1，b_2，…b_n）⊗E（E_1，E_2，…E_n）中对称不变量的Poincaré级数[或Poincare级数]（或Molien级数），在n=2的情况下，具有b_i二维，E_i一维和S_n的置换作用。
|
|
|
参考文献
|
A.Adem和R.J.Milgram，有限群的上同调，Springer-Verlag，第2版。2004年编辑；第108页。
M.D.Hirschhorn，《q的力量》，施普林格出版社，2017年。参见第297页的吊舱。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
维克多·S·米勒，平方计数矩阵，arXiv:1606.09299[math.GR]，2016年。
马克西·施密特，广义除子和函数的精确公式，arXiv:1705.03488[math.NT]，2017年。参见示例4.2第13页。
|
|
|
配方奶粉
|
1/psi（-x）的x次幂展开，其中psi（）是Ramanujanθ函数。
q^（1/8）*eta（q^2）/（eta（q）*eta（q^4））的q次幂展开。
G.f.：exp（总和{n>=1}[总和{d|n}（-1）^（n-d）*d]*x^n/n）-保罗·D·汉纳2009年7月22日
a（n）~（8*n+1）*cosh（sqrt（8*n-1）*Pi/4）/-瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年8月17日，2017年1月9日延期
对于n>0，可以通过求和{j>=0}（-1）^（上限（j/2））a（n-j（j+1）/2）=0递归计算。[Merca定理4.3]-埃里克·施密特2017年9月21日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+x+x^2+2*x^3+3*x^4+4*x^5+5*x^6+7*x^7+10*x^8+13*x^9+。。。
G.f.=q^-1+q^7+q^15+2*q^23+3*q^31+4*q^39+5*q^47+7*q^55+10*q^63+。。。
山谷中n个三角形的叠加方法
--+------------------------------------------------------
1 | *---*
| \ /
|*
|
2 | *
| / \
| *---*
| \ /
|*
|
3 | *---* *---*
| / \ / \ / \
| *---* *---*
| \ / \ /
| * *
|
4 | * *
| / \ / \
| *---* *---*---* *---*
| / \ / \ / \ / \ / \
|*---**---**---*
| \ / \ / \ /
| * * *
|
5 | *---* * * *---*
| / \ / / \ / \ \ / \
| *---* *---*---* *---*---* *---*
| / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
| *---* *---* *---* *---*
| \ / \ / \ / \ /
| * * * *
|
6 | *
| / \
| *---* *---* * * *---*
| / \ / / \ / / \ / \ \ / \
| *---* *---*---* *---*---* *---*---*
| / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
| *---* *---* *---* *---*
| \ / \ / \ / \ /
|****
| *
| / \
| *---*
| \ / \
|*---*
| \ / \
| *---*
| \ /
| *
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
b（n，i-1）+`if`（i>n，0，b（n-i，i-irem（i，2））））
结束时间：
a： =n->b（n，n）：
|
|
|
数学
|
系数列表[系列[积[（1+x^（2k-1））/（1-x^）（2k）），{k，25}]，{x，0，50}]，x](*罗伯特·威尔逊v2012年6月28日*）
系数列表[系列[x*QPochhammer[-1/x，x^2]/（（1+x）*QPoch hammer[x^2，x^2]），{x，0，50}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月17日*）
系数列表[级数[2*（-x）^（1/8）/椭圆Theta[2，0，Sqrt[-x]]，{x，0，50}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月17日*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，b[n、i-1]+如果[i>n，0，b[n-i，i-Mod[i，2]]]]；
a[n]：=b[n，n]；
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=polcoeff（exp（总和（m=1，n+1，总和（m，d，（-1）^（m-d）*d）*x^m/m）+x*O（x^n）），n）}\\保罗·D·汉纳2009年7月22日
（GWbasic）“有两个A编号的程序（注意这里A000217号是广义六边形数）：
20对于n=1到51：对于j=1到n
40下一个j：打印a（n-1）；：下一个n
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 2, 2, 0, -4, -8, -8, 0, 16, 32, 32, 0, -64, -128, -128, 0, 256, 512, 512, 0, -1024, -2048, -2048, 0, 4096, 8192, 8192, 0, -16384, -32768, -32768, 0, 65536, 131072, 131072, 0, -262144, -524288, -524288, 0, 1048576, 2097152, 2097152, 0, -4194304, -8388608, -8388608, 0, 16777216, 33554432
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
也是由a（0）=0和b（0）=1构建的两个关联序列a（n）和b（n）的第一个，公式为a（n）=a（n-1）+b（n-1。第二序列b（n）的初始项为1、1、0、-2、-4、-4、0、8、16、16、0、-32、-64、0、128、256。。。复平面的点Mn（a（n）+b（n）*I）位于螺旋对数ρ=2*（1/2）^（2*θ）/Pi）上，并且位于从原点绘制的具有斜率的直线上：无穷大，1/2，0，-1/2。-Philippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）wanadoo.fr），2007年6月30日
皮萨诺周期长度：1、1、8、1、4、8、24、1、24、4、40、8、12、24、8、16、24、72、4-R.J.马塔尔2012年8月10日
变体0、1、-2、2、0、-4、8、-8、0、16、-32、32、0、-64（带有不同的符号）是Lucas U（-2,2）序列-R.J.马塔尔2013年1月8日
这是Lucas U（2,2）序列-拉斐·弗兰克2015年11月28日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（0）=0；a（1）=1；a（2）=2；a（3）=2；a（n）=-4*a（n-4），n>3拉里·里夫斯（larryr（AT）acm.org），2000年8月24日
G.f.:x/（1-2*x+2*x^2）。
例如：sin（x）*exp（x”）。
a（n）=S（n-1，sqrt（2））*（sqrt，2））^（n-1），其中S（n，x）=U（n，x/2）第二类切比雪夫多项式Cf。A049310型，S（-1，x）：=0。
a（n）=（（1+i）^n-（1-i）^n）/（2*i）=2*a（n-1）-2*a（n-2）（a（0）=0，a（1）=1）-亨利·博托姆利2001年5月10日
a（n）=和{k=0..n-1}（-1）^楼层（k/2）*二项式（n-1，k）-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月31日
a（n）=2^（n/2）sin（Pi*n/4）-保罗·巴里2003年9月17日
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2*k+1）*（-1）^k-保罗·巴里2003年9月20日
a（n）=2*（（1/2）^（2*θ（n）/Pi））*cos（θ（n））其中θ（4*p+1）=p*Pi+Pi/2，θ（4*p+2）=p*Pi+Pi/4，θ>3a（n）=-4*a（n-4）。用正弦替换余弦的第二个序列的公式相同。例如：a（0）=0，b（0）=1；a（1）=0+1=1，b（1）=-0+1=1；a（2）=1+1=2，b（2）=-1+1=0；a（3）=2+0=2，b（3）=-2+0=-2.-Philippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）wanadoo.fr），2007年6月30日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n2）+4*a（n-3），n>3，这意味着序列与其第四个差相同。0，1，0，-1的二项式变换-保罗·柯茨2007年12月21日
对数g.f.弧（x/（1-x））=和{n>0}a（n）/n*x^n-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2010年8月11日
例如：exp（x）*sin（x，x）=x+x^2/（g（0）-x）；G（k）=2k+1+x-x*（2k+1）/（4k+3+x+x^2*（4k/3）/（（2k+2）*（4k+5）-x^2-x*（4k+2）*/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月15日
a（n）=Im（（1+i）^n），其中i=sqrt（-1）Stanislav Sykora，2012年6月11日
G.f.:x*U（0），其中U（k）=1+x*（k+3）-x*（k+1）/U（k+1）；（连分数，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月10日
G.f.:G（0）*x/（2*（1-x）），其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+2）+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月25日
G.f.:x+x^2*W（0），其中W（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+2）+1/W（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月28日
G.f.：Q（0）*x/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2-2*x）/（x*（4*k+4-2*x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年9月6日
a（n）=（a^n-B^n）/（a-B），其中a=1+i和B=1-i；A和B是x^2-2*x+2=0的解-拉斐·弗兰克2015年11月28日
对于n>=2，a（n）=2^（n-1）*超几何（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，2））-彼得·卢什尼2015年12月17日
|
|
|
MAPLE公司
|
t1:=总和（n*x^n，n=0..100）：F:=系列（t1/（1+x*t1），x，100）：对于从0到50的i，打印F（`%d，`，系数（F，x，i））od：#零入侵拉霍斯2009年3月22日
G（x）：=exp（x）*sin（x，x）：f[0]：=G（x，n从1到54 do f[n]：=diff（f[n-1]，x）od:x:=0:seq（f[n'，n=0..50）#零入侵拉霍斯2009年4月5日
A009545号：=n->`如果`（n<2，n，2^（n-1）*超几何（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，2））：
|
|
|
数学
|
nn=104；范围[0，nn-1]！系数列表[Series[Sin[x]Exp[x]，{x，0，nn}]，x](*T.D.诺伊2007年5月26日*）
f[n]：=（1+I）^（n-2）+；数组[f，51，0](*罗伯特·威尔逊v2011年5月30日*）
线性递归[{2，-2}，{0，1}，110](*哈维·P·戴尔2011年10月13日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（鼠尾草）[lucas_number1（n，2，2）代表范围（0，51）中的n]#零入侵拉霍斯2009年4月23日
（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（塞拉普拉斯（exp（x）*sin（x”））/*乔格·阿恩特2011年4月24日*/
（PARI）x='x+O（'x^100）；concat（0，Vec（x/（1-2*x+2*x^2））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月4日
（圣人）
x、 y=0，-1
为True时：
产量x
x、 y=x-y，x+y
（岩浆）I:=[0，1，2，2]；[n le 4选择I[n]else-4*Self（n-4）：n in[1..60]]//文森佐·利班迪，2015年11月29日
（Python）
定义A009545号（n） ：return（（0，1，2，2）[n&3]<<（（n>>1）&-2））*（如果n为-1，则为-1，否则为4 1）#柴华武2024年2月16日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
签名,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2000年8月24日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A195825号
|
| 反对偶读取的平方数组T（n，k），n>=0，k>=1，这是欧拉五角数定理的推广。 |
|
+10
38
|
|
|
|
1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 1, 1, 7, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 15, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 22, 7, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 30, 10, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 42, 13, 5, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 56, 16, 7, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 77, 21, 10, 4
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.4
|
|
|
评论
|
========================================================
.第k列，共k列
.这个方形
k m m-四方“A”“B”[行总和
.numbers三角形“B”
.其中a（0）=1]
========================================================
...
猜想：如果k是奇数，那么k列包含（k+1）/2个平台，其水平是A210843型其长度为k+1、k-1、k-3、k-5。。。2.否则，如果k是偶数，那么k列包含k/2高原，其水平是的第一个k/2项A210843型其长度为k+1、k-1、k-3、k-5。。。3.顺序A210843型给出了当k->无穷大时，k列的平台水平。对于高原的可视化，请参见柱形图，例如，请参见A210964型. -奥马尔·波尔2012年6月21日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
列k渐近于exp（Pi*sqrt（2*n/（k+2））/（8*sin（Pi/（k+2））*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年8月14日
|
|
|
例子
|
数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
5、3、2、1、1、1、1、1、1、1、。。。
7, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
11, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, ...
15, 7, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, ...
22, 10, 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 1, ...
30, 13, 7, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 1, ...
42, 16, 10, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 1, ...
56, 21, 12, 7, 4, 4, 4, 4, 3, 2, ...
77, 28, 14, 10, 5, 4, 4, 4, 4, 3, ...
101, 35, 16, 12, 7, 4, 4, 4, 4, 4, ...
135, 43, 21, 13, 10, 5, 4, 4, 4, 4, ...
176, 55, 27, 14, 12, 7, 4, 4, 4, 4, ...
...
第1列是A000041号开始时间：[1，1]，2，3，5，7，11。。。该列仅包含一个平台：[1，1]，具有级别1和长度2。
第3列为A036820号它开始于：[1，1，1，1]，2，3，[4，4]，5，7，10。。。该列包含两个平台：[1，1，1，1]，[4，4]，它们具有级别1，4和长度4，2。
第6列为A195850型它开始于：[1，1，1，1,1，1]，2，3，[4，4，4]，5，7，10，12，[13，13，13]，14，16，21。。。该列包含三个平台：[1，1，1，1,1，1,1]，[4，4，4,4,4]，[13，13]，它们具有1，4，13级和7，5，3级。
|
|
|
黄体脂酮素
|
（GWbasic）“示例部分表格的程序（带有两个A编号）。
20 FOR k=1 TO 10'第1-10列
30 T（0，k）=1'第0行
40适用于n=1至15'第1-15行
50对于j=1到n
70下一个j
80下一个n
90下一个k
n=0至15时为100
110对于j=1到10
120打印T（n，k）；
130下一个k
140打印
150下一个n
160结束
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 3, 0, 3, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 1, 1, 1, 4, 4, 6, 6, 4, 4, 1, 1, 1, 0, 5, 0, 10, 0, 10, 0, 5, 0, 1, 1, 1, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 1, 1, 1, 0, 6, 0, 15, 0, 20, 0, 15, 0, 6, 0, 1, 1, 1, 6, 6, 15, 15, 20, 20, 15, 15, 6, 6, 1, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,13
|
|
|
评论
|
如果和{k=0..n}A（k）*T（n，k）=B（n），序列B是序列A的S-D变换-菲利普·德莱厄姆，2006年8月2日
带有k个黑色珠子的n珠子黑白可逆串的数量；也是二进制网格；字符串是回文的-尤拉门迪2008年8月7日
（x+y）^n的展开系数，其中x和y反交换（y x=-x y），即q=-1时的q-多项式系数-迈克尔·索莫斯2009年2月16日
在w=2处链接到Pascal三角形的一般多项式递归的系数序列在这里是w=0。行总和是{1、2、2、4、4、8、8、16、16、32、32、64…}-罗杰·巴古拉和加里·亚当森2009年12月4日
T（n，k）是n+1的回文成分数，精确到k+1部分。T（6,4）=3，因为我们有以下n+1=7的组成，长度k+1=5:1+1+3+1+1，2+1+1+1+2，1+2+1+2+1-杰弗里·克雷策，2014年3月15日[更正人：Petros Hadjicostas公司2017年11月3日]
设P（n，k）是n的回文成分的个数，正好是k个部分。MacMahon（1893）是第一个证明P（n，k）=T（n-1，k-1）的人，其中T（n，k）是这个序列中的数字（参见G.Critzer的上述注释）。他实际上证明了，对于1<=s<=m，我们有P（2*m，2*s）=P（2*m，2*s-1）=P。对于当前序列，可以将其转换为T（2*m-1，2*s-1）=T（2*m-1,2*s-2）=T-Petros Hadjicostas公司2017年11月3日
T是该序列的无穷下三角矩阵；定义另外两个U和V；设U（n，k）=e_k（-1,2，-3，…，（-1）^n n），其中e_k是第k个初等对称多项式，V是对角矩阵A057077号（周期序列1,1，-1，-1）。显然V^-1=V。猜测：U=U^-1，T=U。五、 T ^-1=V。U、 和|T|=|U|-乔治·贝克2017年12月16日
设T*（n，k）=T（n，k），但当n为奇数且k=（n+1）/2时除外，其中T*（n，k）=T（n、k）+2^（n-1）/2）。因此，T*（n，k）是具有n个单元和k个台阶的非同构对称楼梯的数量，即k-1改变方向。请参见A016116号. -克里斯蒂安·巴伦托斯和莎拉·米农2018年7月29日
|
|
|
链接
|
Nantel Bergeron、Kelvin Chan、Yohana Solomon、Farhad Soltani和Mike Zabrocki，外代数的拟对称调和，arXiv:2206.02065[math.CO]，2022。
E.Burlachenko，分形广义Pascal矩阵，arXiv:1612.00970[math.NT]，2016年。见第3页。
F.Al Kharousi、R.Kehinde和A.Umar，有限链部分等距半群的组合结果《澳大利亚组合数学杂志》，第58卷（3）（2014），363-375。
P.A.MacMahon，数字合成理论回忆录，菲尔翻译。皇家学会，伦敦A，184年（1893年），835-901年。
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k），如果n为奇数或k为偶数，否则为0。T（0，0）=1。
T（n，k）=T（n-2，k-2）+T（n-2，k）。T（0,0）=T（1,0）=T（1,1）=1。
通过将第一行/列设置为1（A（i，0）=A（0，j）=1）而生成的方形数组；A（1，1）=0；A（1,j）=A（1,j-2）；A（i，1）=A（i-2，1）；其他条目A（i，j）=A（i-2，j）+A（i、j-2）-杰拉尔德·麦卡维，2004年8月21日
通用格式：（1+x+x*y）/（1-x^2-y^2*x^2）-菲利普·德莱厄姆2014年3月11日
对于n，k>=1，当n奇数和k偶数时T（n，k）=0；否则，T（n，k）=二项式（floor（n-1）/2），floor（k-1）/2）-克里斯蒂安·巴伦托斯2020年3月14日
T（n，k）=T（n-1，k-1）+（-1）^k*T。
矩阵逆是T ^-1（n，k）=（-1）^（（n-k）*（n+k+1）/2）*T（n，k）对于0<=k<=n。（结束）
双Riordan阵列（1/（1-x）；Davenport等人。
第2*n列的G.f:（1+x）*x^（2*n）/（1-x^2）^（n+1）；第2*n+1:x^（2*n+1）/（1-x^2）^（n+1）列的G.f
行多项式：R（2*n，x）=（1+x^2）^n；R（2*n+1，x）=（1+x）*（1+x^2）^n。
这个三角形的无穷小生成器在主次对角线上有序列[1，0，1，0，…]，在正下方对角线的序列[1、1、2、2、3、3、4、4…]，其他地方为零。
让T表示这个下三角数组。那么T^a，对于C中的a，是双Riordan数组（（1+a*x）/（1-a*x^2）；x/（1+a*x），（1+a*x）/（1-a*x^2））带o.g.f.（1+x*（a+y））/（1-x^2*（a+y^2））=1+（a+y）*x+（a+y^2）*x^2+（a^2+a*y+a*y^2+y^3）*x^3+（a^2+2*a*y^2+y^4）*x^4+。。。。
T^a的第（2*n）行多项式是（a+y^2）^n；T^a的第（2*n+1）行多项式是（a+y）*（a+y^2）^n。（End）
|
|
|
例子
|
三角形开始：
{1},
{1, 1},
{1, 0, 1},
{1，1，1，1}，
{1, 0, 2, 0, 1},
{1, 1, 2, 2, 1, 1},
{1, 0, 3, 0, 3, 0, 1},
{1, 1, 3, 3, 3, 3, 1, 1},
{1, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 1},
{1, 1, 4, 4, 6, 6, 4, 4, 1, 1},
{1, 0, 5, 0, 10, 0, 10, 0, 5, 0, 1},
{1, 1, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 1, 1}
|
|
|
MAPLE公司
|
T： =proc（n，k）选项记忆`如果`（n=0且k=0，1，
`如果`（n<0或k<0，0，`如果`（irem（n，2）=1或
irem（k，2）=0，T（n-1，k-1）+T（n-1，k），0））
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..14）#阿洛伊斯·海因茨2014年7月12日
|
|
|
数学
|
T[n_，k_]：=Q二项式[n，k，-1]；(*迈克尔·索莫斯2011年6月14日；自V7*起）
清除[p，n，x，a]
w=0；
p[x，1]：=1；
p[x_，n_]：=p[x，n]=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p[x、n-1]，（x^2+w*x+1）^楼层[n/2]]
a=表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，1，12}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{T（n，k）=二项式（n%2，k%2）*二项式（n\2，k\2）}；
（哈斯克尔）
a051159 n k=a051159_tabl！！不！！k个
a051159_当前n=a051159_tabl！！n个
a051159_tabl=[1]：f[1][1]，1]其中
f us vs=vs:f vs（zipWith（+）（[0,0]++us）（us++[0,0]）
（SageMath）
@缓存函数
定义T（n，k）：
如果k==0或k==n：返回1
返回T（n-1，k-1）+（-1）^k*T（n-1，k）
对于n in（0..12）：打印（[T（n，k）对于k in（0..n）]）#彼得·卢什尼2021年7月6日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A054320型
|
| g.f.膨胀：（1+x）/（1-10*x+x^2）。 |
|
+10
31
|
|
|
|
1, 11, 109, 1079, 10681, 105731, 1046629, 10360559, 102558961, 1015229051, 10049731549, 99482086439, 984771132841, 9748229241971, 96497521286869, 955226983626719, 9455772314980321, 93602496166176491, 926569189346784589, 9172089397301669399, 90794324783669909401
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Chebyshev的偶指数U-多项式在sqrt（3）上求值。
充气序列（b（n））n>=1=[1,0,11,0,109,0,1079,0，…]是一个四阶线性可除序列；也就是说，如果n｜m，那么b（n）｜b（m）。这是由Williams和Guy发现的可除序列的3参数族的P1=0、P2=-8、Q=-1的情况。请参见A100047号. -彼得·巴拉2015年3月22日
|
|
|
链接
|
Alex Fink、Richard K.Guy和Mark Krusemeyer，部件最多出现三次的分区，控制离散。数学。3（2）（2008），第76-114页。见第13节。
H.C.Williams和R.K.Guy，一些四阶线性可除序列，《国际数论》7（5）（2011）1255-1277。
H.C.Williams和R.K.Guy，一些单表四阶线性可除序列《整数》，第12A卷（2012），约翰·塞尔弗里奇纪念卷。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）＝10*a（n-1）-a（n-2）。
a（n）=（平方码（6）-2）/4*（5+2*sqrt（6））^（n+1）-（平方码。
a（n）=U（2*（n-1），sqrt（3））=S（n-1，10）+S（n-2，10），Chebyshev的U（n，x）和S（n，x）：=U（n、x/2）多项式和S（-1，x）：=0。S（n，10）=A004189号（n+1），n>=0。
6*a（n）^2+3是一个正方形。极限_｛n->oo｝a（n）/a（n-1）=5+2*sqrt（6）-格雷戈里·理查德森2002年10月13日
设q（n，x）=Sum_{i=0..n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i），则（-1）^n*q（n、-12）=a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月10日
（平方（2）+平方（3））^（2*n+1）=a（n）*sqrt（2）+A138288号（n） *平方英尺（3）；
（平方码（3）+平方码（2））^（2*n+1）-（平方码-布鲁诺·贝塞利2019年10月29日
例如：exp（5*x）*（2*cosh（2*sqrt（6）*x）+sqrt-斯特凡诺·斯佩齐亚，2023年5月16日
|
|
|
例子
|
|
|
|
数学
|
系数列表[级数[（1+x）/（1-10x+x^2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2015年3月22日*）
a[c_，n_]：=模块[{}，
p:=长度[ContinuedFraction[Sqrt[c]][[2]]；
d：=分子[收敛[Sqrt[c]，n p]]；
t:=表[d[[1+i]]，{i，0，长度[d]-1，p}]；
返回[t]；
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=subst（poltchebi（n+1）-poltchebi（n），x，5）/4；
（岩浆）I:=[1，11]；[n le 2选择I[n]else 10*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2015年3月22日
（间隙）a:=[1，11]；；对于[3..30]中的n，做a[n]：=10*a[n-1]-a[n-2]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年7月22日
|
|
|
交叉参考
|
家庭成员A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081号,A054320型，是k=-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的（1+x）/（1-kx+x^2）的展开式-菲利普·德莱厄姆2004年5月4日
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.083秒内完成
|
