搜索： a055922-编号：a055923
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A007690号
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| n个分区中没有部分只出现一次的分区数。
（原名M0167）
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62
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1, 0, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 6, 5, 9, 7, 16, 11, 22, 20, 33, 28, 51, 42, 71, 66, 100, 92, 147, 131, 199, 193, 275, 263, 385, 364, 516, 511, 694, 686, 946, 925, 1246, 1260, 1650, 1663, 2194, 2202, 2857, 2928, 3721, 3813, 4866, 4967, 6257, 6487, 8051, 8342, 10369
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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另外，将n划分为多个部分的数量，每个部分都大于1，这样连续的整数就不会同时作为部分出现。例如：a（6）=4，因为我们有[6]、[4,2]、[3,3]和[2,2,2]-Emeric Deutsch公司2006年2月16日
也可以将n划分为可被2或3整除的部分亚历山大·霍罗伊德（Alexander E.Holroyd），2008年5月28日
[1,0,1,1,1,1]充气n-1次的无穷卷积。即[1,0,1,1,1,1,1,1]*[1,0,1,0,1,1]*[1,0,0,0,1]*-Mats Granvik公司，2009年8月7日
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参考文献
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G.E.Andrews，《数论》，多佛出版社，1994年。第197页。1298627美元
G.E.Andrews，《分割理论》，Addison-Wesley，Reading，马萨诸塞州，1976年，第14页，例9。
I.P.Goulden和D.M.Jackson，《组合计数》，纽约威利出版社，1983年，（2.5.6）。
R.Honsberger，《数学宝石III》，M.A.A.，1985年，第242页。
P.A.MacMahon，《组合分析》，剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷；见第2卷，第54页，第300条。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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A.E.Holroyd、T.M.Liggett和D.Romik，积分、分区和元胞自动机，arXiv:math/0302216[math.PR]，2003年。
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配方奶粉
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G.f.：Product_{k>0是2或3}（1/（1-x^k））的倍数-克里斯蒂安·鲍尔2000年6月23日
G.f.：产品{j>=1}（1+x^（3*j））/（1-x^-乔恩·佩里2004年3月29日
周期6序列[0,1,1,1,0,1，…]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯2004年4月21日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（864 t））=1/6（t/i）^（-1/2）G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（tA137566美元. -迈克尔·索莫斯2008年1月26日
G.f.：产品{j>0}（1-x^j+x^（2*j））/（1-x*j）。（结束）
a（n）~exp（2*Pi*sqrt（n）/3）/（6*sqert（2）*n）-瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年9月23日
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例子
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a（6）=4，因为我们有[3,3]、[2,2,2]、[2,2,1,1]和[1,1,1,1]。
G.f.=1+x^2+x^3+2*x^4+x^5+4*x^6+2*x^7+6*x^8+5*x^9+9*x^10+。。。
G.f.=q+q^49+q^73+2*q^97+q^121+4*q^145+2*qq^169+6*q^193+。。。
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MAPLE公司
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G： =mul（（1-x^j+x^（2*j））/（1-x*j），j=1..70）：Gser:=系列（G，x，60）：seq（系数（Gser，x，n），n=0..54）#Emeric Deutsch公司，2006年2月10日
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数学
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nn=40；系数列表[系列[积[1/（1-x^i）-x^i，{i，1，nn}]，{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2012年12月2日*）
a[n_]：=级数系数[QPochhammer[x^6]/；(*迈克尔·索莫斯2015年2月22日*）
nmax=60；系数列表[系列[乘积[（1+x^（3*k））/（1-x^(*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年9月23日*）
表[长度@选择[塔利/@整数分区@n，AllTrue[#，Last[#]>1&]&]，{n，0，54}](*罗伯特·普莱斯2020年8月17日*）
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程序
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^6+a）/（eta/*迈克尔·索莫斯2004年4月21日*/
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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已批准
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 22, 29, 36, 44, 56, 68, 82, 101, 122, 146, 176, 210, 248, 296, 350, 410, 484, 566, 660, 772, 896, 1038, 1204, 1391, 1602, 1846, 2120, 2428, 2784, 3182, 3628, 4138, 4708, 5347, 6072, 6880, 7784, 8804, 9940, 11208, 12630
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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经验：a（n）是2n+1的整数分区mu的数量，使得mu的图中每行和每列中的单元格数为奇数-约翰·M·坎贝尔2020年4月24日
根据上面的Campbell猜想，a（n）是2n+1具有所有奇数部分和所有奇数共轭部分的划分数，a（0）=1到a（5）=8的划分为（B=11）：
（1） （3）（5）（7）（9）（B）
(111) (311) (511) (333) (533)
(11111) (31111) (711) (911)
(1111111) (51111) (33311)
(3111111) (71111)
（111111111）（5111111）
(311111111)
(11111111111)
（结束）
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参考文献
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斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第15、17、31页。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：ω（q）=Sum_｛n>=0｝q^（2*n*（n+1））/（（1-q）*（1-q^3）**（1-q^（2*n+1））^2。
通用公式：和{k>=0}x^k/（（1-x）（1-x^3）。。。（1-x^（2k+1）））-迈克尔·索莫斯2006年8月18日
G.f.：（1-G（0））/（1-x），其中G（k）=1-1/（1-x^（2*k+1））/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月18日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（4*sqert（n））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2019年6月10日
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数学
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级数[和[q^（2n（n+1））/积[1-q^[（2k+1）），{k，0，n}]^2，{n，0，6}]，{q，0，100}]
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程序
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（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=1+x*O（x^n）；polceoff（总和（k=0，（平方（2*n+1）-1）\2，a*=（x^（4*k）/（1-x^/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，n++；a=1+x*O（x^n）；polcoeff（和（k=0，n-1，a*=（x/（1-x^（2*k+1））+x*0（x^，n-k））），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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已批准
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1, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 3, 4, 4, 6, 8, 8, 10, 13, 13, 20, 20, 24, 26, 38, 35, 51, 51, 65, 67, 92, 86, 121, 117, 153, 155, 209, 197, 270, 262, 339, 341, 444, 425, 565, 555, 703, 711, 903, 884, 1135, 1128, 1397, 1430, 1766, 1757, 2193, 2214, 2691, 2762, 3344
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,7
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链接
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配方奶粉
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b的EULER变换，其中b具有g.f.和{k>0}c（k）*x^k/（1-x^k），其中c是素数特征函数的逆EULER转换。
G.f.：乘积（1+总和（x^（i*prime（k）），k=1..无穷大），i=1..无穷小）-弗拉德塔·乔沃维奇2005年1月8日
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加法（`if`（i素数（j），b（n-i*j，i-1），0），j=1..n/i）+b（n，i-1
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
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数学
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b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[If[PrimeQ[j]，b[n-i*j，i-1]，0]，{j，1，n/i}]+b[n、i-1]]；a[n]：=b[n，n]；表[a[n]，{n，0，60}](*Jean-François Alcover公司2015年11月11日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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已批准
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0, 0, 2, 0, 0, 2, 4, 0, 4, 0, 0, 2, 6, 4, 2, 0, 0, 4, 8, 0, 6, 0, 0, 2, 0, 6, 6, 4, 10, 2, 0, 0, 2, 0, 4, 4, 12, 8, 8, 0, 0, 6, 14, 0, 4, 0, 0, 2, 8, 0, 2, 6, 16, 6, 0, 4, 10, 10, 0, 2, 18, 0, 8, 0, 6, 2, 0, 0, 2, 4, 20, 4, 0, 12, 2, 8, 4, 8, 22, 0, 8, 0, 0, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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n的素数指数是一个数m，使得素数（m）除以n。n的多素数指数集是A112798号.
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链接
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配方奶粉
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例子
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198的素数指数是{1,2,2,5}，因此a（198）=2+2=4。
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数学
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表[Total[Cases[FactorInteger[n]，{p_？（EvenQ@*PrimePi），k_}:>PrimePi[p]*k]]，{n，100}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000720美元,A055396号,A055922号,A061395号,A162641号,A171966号,A258117号,A325698型,A325700型,A352140型,A352141型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 0, 3, 0, 0, 1, 0, 3, 3, 2, 5, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 6, 4, 4, 0, 0, 3, 7, 0, 2, 0, 0, 1, 4, 0, 1, 3, 8, 3, 0, 2, 5, 5, 0, 1, 9, 0, 4, 0, 3, 1, 0, 0, 1, 2, 10, 2, 0, 6, 1, 4, 2, 4, 11, 0, 4, 0, 0, 3, 0, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,7
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评论
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n的素数指数是一个数m，使得素数（m）除以n。n的多素数指数集是A112798号.
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链接
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配方奶粉
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例子
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198的素数指数是{1,2,2,5}，因此a（198）=（2+2）/2=2。
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MAPLE公司
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f： =proc（n）局部f，t；
F： =映射（t->[数量理论：-Pi（t[1]），t[2]，ifactors（n）[2]）；
加法（`if`（t[1]：：偶数，t[1]*t[2]，0），t=F）
结束进程：
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数学
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prix[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
表[Total[Select[prix[n]，EvenQ]]/2，{n，100}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000720美元,A055396号,A055922号,A061395号,162641英镑,A171966号,A258117号,A325698型,A325700型,A352140型,A352141.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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A356932型
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| n个整数分区的多集分区数，使得所有块都具有奇数大小。 |
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14
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1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 42, 74, 130, 224, 383, 653, 1100, 1846, 3079, 5104, 8418, 13827, 22592, 36774, 59613, 96271, 154908, 248441, 397110, 632823, 1005445, 1592962, 2516905, 3966474, 6235107, 9777791, 15297678, 23880160, 37196958, 57819018, 89691934, 138862937
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（1）=1到a（5）=13个多集分区：
{1} {2} {3} {4} {5}
{1}{1} {111} {112} {113}
{1}{2} {1}{3} {122}
{1}{1}{1} {2}{2} {1}{4}
{1}{111} {2}{3}
{1}{1}{2} {11111}
{1}{1}{1}{1} {1}{112}
{2}{111}
{1}{1}{3}
{1}{2}{2}
{1}{1}{111}
{1}{1}{1}{2}
{1} ｛1｝｛1｝｛1｝｛1｝
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数学
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sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mps[set_]：=联合[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>set[[x]]）]&/@sps[Range[Length[set]]]；
表[Length[Select[Join@@mps/@Integer Partitions[n]，OddQ[Times@@Length/@#]&]]，{n，0，8}]
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程序
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（PARI）
P（n，y）={1/prod（k=1，n，1-y*x^k+O（x*x^n））}
序列（n）={my（u=Vec（P（n，1）-P（n，-1））/2）；Vec（1/prod（k=1，n，（1-x^k+O（x*x^n））^u[k]）}\\安德鲁·霍罗伊德2022年12月30日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A263401型
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| 产品{k>=1}的展开（1+x^k-x^（2*k））。 |
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1、1、0、2、0、1、3、1、1、2、6、1、4、2、5、10、5、4、9、7、8、21、9、13、13、19、13、27、32、23、29、33、27、45、37、45、79、49、57、68、82、67、101、83、109、155、124、113、174、148、171、196、215、198、262、310、269、330、314、342、414、430、393、536、493
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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链接
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配方奶粉
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数学
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nmax=80；系数列表[系列[积[1+x^k-x^（2*k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
nmax=100；p=常量数组[0，nmax+1]；p[[1]=1；p[2]]=1；p[[3]]=-1；Do[Do[p[[j+1]]=p[[j+1]]+p[[j-k+1]]-如果[j<2*k，0，p[[j-2*k+1]]]，{j，nmax，k，-1}]，{k，2，nmax}]；第页(*瓦茨拉夫·科泰索维奇，2018年5月10日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 4, 1, 8, 3, 13, 6, 21, 10, 36, 15, 53, 28, 80, 41, 122, 63, 174, 97, 250, 140, 359, 201, 496, 299, 685, 410, 949, 575, 1284, 804, 1726, 1093, 2327, 1482, 3076, 2023, 4060, 2684, 5358, 3572, 6970, 4745, 9050, 6221, 11734, 8115, 15060, 10609
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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链接
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例子
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a（3）=1到a（11）=13分区：
(3) . (5) (3,3) (7) (3,3,2) (9) (5,5) (11)
(3,2) (4,3) (5,4) (4,3,3) (6,5)
(5,2) (6,3) (3,3,2,2) (7,4)
(3,2,2) (7,2) (8,3)
(3,3,3) (9,2)
(4,3,2) (4,4,3)
(5,2,2) (5,4,2)
(3,2,2,2) (6,3,2)
(7,2,2)
（3,3,2）
(4,3,2,2)
(5,2,2,2)
(3,2,2,2,2)
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数学
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表[Length[Select[Integer Partitions[n]，GCD@@Select[#，OddQ]>1&]]，{n，0，30}]
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程序
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（Python）
从数学导入gcd
从sympy.utilities.iterables导入分区
定义A366842飞机（n） ：如果gcd（*（q代表p中的q，如果q&1）>1），则返回和（1代表分区（n）中的p#柴华武2023年10月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007359号,A051424号,A055922号,A066208号,A078374号,A087436号,A116598号,A337485型,A366843飞机,A366844飞机,366845英镑.
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关键词
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非n
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作者
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已批准
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1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 6, 6, 9, 11, 13, 17, 21, 23, 32, 37, 42, 53, 62, 70, 88, 103, 116, 139, 164, 184, 220, 255, 283, 339, 390, 435, 511, 578, 653, 759, 863, 963, 1107, 1259, 1401, 1609, 1814, 2015, 2303, 2589, 2878, 3259, 3648, 4058, 4580, 5119, 5672, 6364
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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链接
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例子
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a（1）=1到a（8）=6分区：
(1) (11) (111) (31) (311) (51) (331) (53)
(1111) (11111) (3111) (511) (71)
(111111) (31111) (3311)
(1111111) (5111)
(311111)
(11111111)
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数学
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表[Length[Select[Integer Partitions[n]，#=={}|| And@@OddQ/@#&GCD@@#==1&]]，{n，0，30}]
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程序
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（Python）
从数学导入gcd
从sympy.utilities.iterables导入分区
定义A366843飞机（n） ：return sum（1代表分区（n）中的p，如果all（d&1代表分区中的d）和gcd（*p）==1）#柴华武2023年10月30日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007359号,A047967号,A055922号,A066208号,A113685号,A116598号,A289509型,A289508型,A302697型,A337485型,A366845飞机,A366848飞机,A366849飞机.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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A130263号
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| n阶置换的次数，使得每k的k大小的循环数是奇数（或零）。 |
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+10
10
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1, 1, 1, 6, 14, 85, 529, 3451, 26816, 243909, 2507333, 26196841, 323194816, 4086482335, 57669014597, 864137455455, 13792308331616, 231648908415001, 4211676768746569, 79205041816808905, 1584565388341689032, 33265011234209710011, 730971789582886971689
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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链接
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配方奶粉
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例如：产品{k>0}（1+sinh（x^k/k））。
a（n）~c*n！，其中c=A270614型=产品{k>=1}（（1+sinh（1/k））/exp（1/k））=0.625635801977949844-瓦茨拉夫·科泰索维奇2016年3月20日
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例子
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a（2）=1，因为我们有（12）（（1）（2）不合格）。a（4）=14，因为以下4的10个置换不合格：（1）（2）（3）（4），（14）。
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MAPLE公司
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g： =乘积（1+sinh（x^k/k），k=1..40）：gser：=系列（g，x=0，25）：seq（阶乘（n）*系数（gser，x，n），n=0..21）#Emeric Deutsch公司2007年8月24日
#第二个Maple项目：
使用（组合）：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加法（`if'（j=0或irem（j，2）=1，多项式（n，n-i*j，i$j）
*（i-1）^j/j*b（n-i*j，i-1），0），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
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数学
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nn=25；范围[0，nn]*系数列表[系列[积[1+Sinh[x^k/k]，{k，nn}]，{x，0，nn}]，x](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2016年3月20日*）
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程序
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（马格玛）
m： =40；
f： =函数<x|（&*[1+Sinh（x^j/j）：[1..m+1]]中的j）>；
R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；
（SageMath）
米=40
定义f（x）：返回积（1+sinh（x^j/j），对于范围（1，m+2）中的j）
P.<x>=PowerSeriesRing（QQ，prec）
return P（f（x））.egf_to_ogf（）.list（）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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