搜索： a054753-编号：a054753
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1859, 357911, 2141399, 4641629, 6633419, 8447039, 10338119, 13526009, 20163059, 21603425, 24099569, 26187119, 26483321, 28226549, 33379569, 33485139, 40790009, 50139819, 52046075, 56152179, 57170075, 59824925, 72541799
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1,1
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配方奶粉
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a（n）=第n个元素2006年1月p^2*q的形式，其中p和q是不同的奇素数。
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例子
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a（1）=1859，因为x=11*13^2，除数（x）={1,11,13,11*13,13^2,11*13^2}和x+d+1={186118711873200320293719}都是素数。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；is3almostprime:=proc（n）局部L；如果[0,1]或isprime（n）中有n，则返回假fi；五十： =系数（n）[2]；如果[1,2,3]中的nops（L）和convert（map（z->z[2]，L），`+`）=3，则返回true，否则返回false fi；结束；五十： =[]：对于w到1 do，对于k从1开始，而nops（L）<=50 do x:=2*k+1；y： =简化（x^（1/3））；如果x mod 6=5且不是类型（y，integer）#clunky且不是issqrfree（x），并且是3almostprime（x）和andmap（isprime，[x+2，2*x+1]），则S:=除数（x）；Q： =地图（z->x+z+1，S）；如果andmap（isprime，Q），则L:=[op（L），x]；打印（nops（L），ifactor（x））；fi；fi；od od；
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0
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偏移
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1
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链接
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配方奶粉
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数学
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a[n_]：=如果[MemberQ[{{4}，{1，2}，[2，1}}，FactorInteger[n][[；；，2]]]，1，0]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A353798型（n） ={my（f=因子（n）[，2]~）；（f==[4]|f==[2，1]|f==[1，2]）；}；\\从中的函数“is”A080258型
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A000384号
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| 六边形数：a（n）=n*（2*n-1）。
（原名M4108 N1705）
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+10
430
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0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0.3
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评论
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熵函数H（x）=（1+x）log（1+x）+（1-x）log（1-x）的幂级数展开式具有1/a_i作为x^（2i）的系数（奇数项为零）托马索·托福利（tt（AT）bu.edu），2002年5月6日
更一般地说，如果p1和p2是两个任意选择的不同素数，那么a（n）是（p1^2*p2）^（n-1）的除数，或者是A054753美元^（n-1）-蚂蚁王2011年8月29日
众所周知，对于n>0，2014年10月（n） [0,3,10,21，…]是2n+1个连续整数中的第一个，因此第一个n+1个此类整数的平方和等于最后一个n的平方和；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2。
鲜为人知的是，对于n>1，a（n）[0,1,6,15,28，…]是2n个连续整数中的第一个，因此前n个此类整数的平方和等于最后n-1的平方和加上n^2；例如，15^2+16^2+17^2=19^2+20^2+3^2-查理·马里恩2006年12月16日
从0开始，沿0、6、……方向读取行，找到序列。。。和从1开始的直线，在方向1，15。。。，在顶点为广义六边形数的方形螺旋中A000217号. -奥马尔·波尔2009年1月9日
设Hex（n）=六角形数，T（n）=三角形数，则Hex（n）=T（n”）+3*T（n-1）-文森佐·利班迪2010年11月10日
对于n>=1，1/a（n）=和{k=0..2*n-1}（（-1）^（k+1）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2xn-1+k，k）*H（k）/（k+1。
从划分为象限的正方形的n种颜色中选择任意2种颜色的可能不同颜色的数目-保罗·克利里2010年12月21日
对于n>0，a（n-1）是三元组（w，x，y）的数目，所有项都在{0，…，n}中，max（|w-x|，|x-y|）=|w-y|-克拉克·金伯利2012年6月12日
设一个三角形有T（0,0）=0和T（r，c）=|r^2-c^2|。第（n）行和第（n-1）行中的术语之差之和为a（n）-J.M.贝尔戈2013年6月17日
a（n）是正好有两个1的长度为2n的二元序列的数目。a（2）=6，因为我们有：{0,0,1,1}，{0,1,0}，}，1,0,1,1}，2,0,1}。带插值零点的普通生成函数是：（x^2+3*x^4）/（1-x^2）^3-杰弗里·克雷策2014年1月2日
对于n>0，a（n）是最大的整数k，使得k^2+n^2是k+n的倍数。更一般地说，对于m>0和n>0来说，使k^（2*m）+n^-德里克·奥尔2014年9月4日
（0，1，4，0，0，0，…）的二项式变换和（0，1，4，4，4，…）的第二部分和-加里·亚当森2015年10月5日
对于n>=4，a（n）还给出了简单李代数D_n的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
对于n>0，a（n）等于n+11的n部分组成的数量，避开第2、3、4部分-米兰Janjic2016年1月7日
同时给出了n-鸡尾酒会图中最小控制集和最大无冗余集的个数-埃里克·韦斯特因2017年6月29日和8月17日
正如Beedassy的公式所示，这个六边形数列是三角形数列的奇数平分。这两个序列都是比喻数字序列。对于A000384号，a（n）可以通过将其三角形数乘以其六边形数得到。例如，让我们使用数字153。153据说是第17个三角形数，但也被认为是第9个六边形数。三角形（17）六边形（9）。17*9=153. 因为六边形数列是三角形数列的子集，所以六边形的数列总是既有三角形数又有六边形数。n*（2*n-1），因为（2*n-1）表示三角形数-布鲁斯·尼克尔森2017年11月5日
另外，数字k具有以下性质：在sigma（k）的对称表示中，最小的Dyck路径具有中心谷，最大的Dycl路径具有中心峰，n>=1。因此，所有大于0的六边形数都有中间除数。（参见。A237593型.) -奥马尔·波尔，2018年8月28日
素数n和k=2..n-1的k^a（n-1）modn=1-约瑟夫·舒尼亚2019年2月10日
这似乎是具有西格玛（k）对称表示中最小子部分为1的性质的数字k-奥马尔·波尔2021年8月28日
第n个六角形数等于从2*n-1开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和；例如，1、2+4、3+5+7、4+6+8+10等。通常，第n个2k-角数是从（k-2）*n-（k-3）开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和。当k=1和2时，此结果生成正整数，A000027号和方块，A000290型分别为-查理·马里恩2022年3月2日
猜想：对于n>0，min{k，存在{0,1,2，…，A（n）}的子集A，B，使得|A|=|B|=k和A+B={0,12,2，……，2*A（n-迈克尔·朱2022年3月9日
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参考文献
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Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第189页。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第77-78页。（在第77页的积分公式中，余弦参数缺少左括号。）
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第6页。
L.E.Dickson，《数论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第2页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Elena Deza和Michel Deza，数字：书的呈现2011年10月7日至9日，第三届蒙特利尔多伦多数字理论研讨会。
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乔纳森·博文（Jonathan M.Borwein）、德克·努延斯（Dirk Nuyens）、阿明·斯特劳布（Armin Straub）和詹姆斯·万（James Wan），随机游动积分《拉马努扬日报》，2011年10月，26:109。DOI:10.1007/s11139-011-9325-y。
Jose Manuel Garcia Calcines、Luis Javier Hernandez Paricio和Maria Teresa Rivas Rodriguez，圆柱体和细分的半简单组合，arXiv:2307.13749[math.CO]，2023年。见第32页。
Pakawut Jiradilok和Elchanan Mossel，网格上的高斯广播，arXiv:240.2.11990[cs.IT]，2024。见第27页。
萨米恩·艾哈迈德·汗，多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。（2020）第33卷，第2期，265-282。
克拉克·金伯利，互补方程《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。
Hyun Kwang Kim，关于正则多面体数，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，131（2002），65-75。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
米歇尔·沃尔德施米特，连续分数2015年5月18日至29日：Oujda（Maroc）。
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配方奶粉
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例如：exp（x）*（x+2x^2）-保罗·巴里2003年6月9日
通用格式：x*（1+3*x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中，去掉了最初的零
a（n）=M^n*[1,0,0]的右项，其中M=3 X 3矩阵[1,0,0；1,1,0；1,4,1]。例如：a（5）=45，因为M^5*[1,0,0]=[1,5,45]-加里·亚当森2006年12月24日
从偏移量1开始，=[1,5,4,0,0,0，…]的二项式变换。也，A004736号* [1, 4, 4, 4, ...]. -加里·亚当森，2007年10月25日
（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-1）^2=（a（n）+n+1）^2+…+（a（n）+2n-1）^2+n^2；例如，6^2+7^2=9^2+2^2；28^2 + 29^2 + 30^2 + 31^2 = 33^2 + 34^2 + 35^2 + 4^2. -查理·马里恩2007年11月10日
a（n）=二项式（n+1,2）+3*二项式。
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=6-Jaume Oliver拉丰2008年12月2日
a（n）=a（n-1）+4*n-3（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月20日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+4-蚂蚁王2011年8月26日
a（4*a（n）+7*n+1）=a（4*1（n）+7*n）+a（4xn+1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
Sum_｛n>=1｝（-1）^n/a（n）=log（2）-Pi/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月20日
a（n+1）=三项式（2*n+1，2）=三项式（2xn+1，4*n），对于n>=0，带有三项式不规则三角形A027907号.a（n+1）=（n+1”）*（2*n+1）=（1/Pi）*Integral_{x=0..2}（1/sqrt（4-x^2））*（x^2-1）^（2*n+1）*R（4*n-2，x），其中R多项式系数在A127672号[Comtet，p.77，q=3，n->2*n+1，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写]-沃尔夫迪特·朗2018年4月19日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，1，6}，50](*哈维·P·戴尔2015年9月10日*）
连接[{0}，累加[Range[1，312，4]]](*哈维·P·戴尔2016年3月26日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[PolygonalNumber[RegularPolygon[6]，n]，{n，0，48}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
系数列表[级数[x*（1+3*x）/（1-x）^3，{x，0，100}]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n*（2*n-1）
（PARI）a（n）=二项式（2*n，2）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月6日
（哈斯克尔）
a000384 n=n*（2*n-1）
a000384_list=扫描（+）0 a016813_list
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
产量x
x、 y=x+y+4，y+4
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002939号（2倍a（n）：勾股三元组的和（X，Y，Z=Y+1）。
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关键词
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非n,容易的,美好的,已更改
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000688号
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| n阶阿贝尔群的个数；n分解成素数幂的次数。
（原名M0064 N0020）
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+10
129
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 5, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 11, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 5, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,4个
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评论
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等价地，具有n个共轭类的Abelian群的个数-迈克尔·索莫斯2010年8月10日
a（n）仅取决于n的素数签名（参见。A025487号). 所以a（24）=a（375）因为24=2^3*3和375=3*5^3都有质数签名（3，1）。
还有n个元素是域的直积的环的数目；这些是具有n个不具有幂零位的元素的交换环；同样地，交换环中每个元素x都有一个k>0，使得x^（k+1）=x-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年10月20日
此外，根据Molnár的一个定理（参见[Molnаr]），2*n+1阶（非同构）阿贝尔群的数量等于r^n通过交叉的非同构格Z分片的数量，其中“交叉”是r^n中的一个单位立方体，其在每个面上都附加了另一个单位立方（Z，r分别是整数和实数）。（参见[Horak]。）-L.埃德森·杰弗里2012年11月29日
Zeta（k*s）是数字的特征函数的狄利克雷生成函数，该特征函数是k次幂（k=1 inA000012号，k=2英寸A010052号，k=3英寸A010057号，参见arXiv:1106.4038第3.1节）。k上的无穷乘积（此处）是表示数n=product_i（b_i）^（e_i），其中所有指数e_i是不同的，且>=1。示例：a（n=4）=2:4^1=2^2。a（n=8）=3:8^1=2^1*2^2=2^3。a（n=9）=2:9^1=3^2。a（n=12）=2:12^1=3*2^2。a（n=16）=5:16^1=2*2^3=4^2=2^2*4^1=2^4。如果e_i是集合{1,2}，我们得到A046951号，表示为一个数和一个平方的乘积的表示数-R.J.马塔尔2016年11月5日
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参考文献
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史蒂文·芬奇，《数学常数》，剑桥，2003年，第274-278页。
D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第XIII.12节，第468页。
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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B.Horvat、G.Jaklic和T.Pisanski，关于哈密顿群的个数，arXiv:math/0503183[math.CO]，2005年。
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配方奶粉
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与a（p^k）相乘=k的分区数=A000041号（k） ；如果（m，n）=1，则a（mn）=a（m）a（n）。
a（n）=产品{j=1..n（n）}A000041号（e（j）），n>=2，如果
n=乘积{j=1..n（n）}素数（j）^e（j），n（n=A001221号（n） ●●●●。参见Richert参考，引用A.Speiser关于有限群的书（德语，第51页，大写）-沃尔夫迪特·朗2011年7月23日
关于对称群的循环指数：乘积_{q=1..m}[z^{v_q}]z（S_v）1/（1-z），其中v是n的素因子分解中任何素的最大指数，v_q是素因子的指数，z（S_v）是对称群对v个元素的循环指数-马尔科·里德尔2014年10月3日
Dirichlet g.f.：求和{n>=1}a（n）/n^s=Product_{k>=1}zeta（ks）[Kendall]-阿尔瓦尔·伊比亚斯2014年11月5日
渐近平均值：lim_{n->oo}（1/n）*Sum_{k=1..n}a（k）=A021002型.（结束）
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例子
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a（1）=1，因为平凡群{e}是唯一的1阶群，它是阿贝尔群；或者，因为将1分解为素数幂的唯一因子是空积。
对于任何素数p，a（p）=1，因为素数幂的唯一因式分解是p=p^1，并且（根据拉格朗日定理）只有一组素数阶p；它与（Z/pZ，+）同构，因此是阿贝尔的。
a（8）=3，因为8=2^3，因此a（8”=pa（3）=A000041号（3） 从分区（3）、（2，1）和（1，1，1）中取=3，得到8:8、4*2和2*2*2的3个因式分解。
a（36）=4，因为36=2^2*3^2，因此从分区（2）和（1，1）中a（36，）=pa（2）*pa（2。
（完）
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MAPLE公司
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with（combint）：readlib（ifactors）：对于从1到120的n，执行ans：=1：对于从1到nops的i（ifactors（n）[2]）执行ans：=ans*numpart（ifactors（n）[2][i][2]）od:printf（`%d，`，ans）：od:#詹姆斯·塞勒斯2000年12月7日
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数学
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f[n_]：=时间@@PartitionsP/@Last/@因子整数@n; 数组[f，107](*罗伯特·威尔逊v2006年9月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A000688号（n） ={局部（f）；f=因子（n）；prod（i=1，矩阵大小（f）[1]，数字部分（f[i，2]））}\\迈克尔·B·波特2010年2月8日
（PARI）a（n）=我的（f=系数（n）[，2]）；触头（i=1，#f，数字部分（f[i]））\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年4月16日
（鼠尾草）
定义a（n）：
F=系数（n）
返回prod（[number_of_partitions（F[i][1]）for i in range（len（F））]）
（哈斯克尔）
a000688=产品。地图a000041。a124010_低
（Python）
来自sympy import factorint，npartitions
从数学导入prod
定义A000688号（n） ：return prod（映射（npartitions，factorint（n）.values（）））#柴华武2022年1月14日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000001号,A021002型,A060689号,A000041号,A000961号,A001055号,A005361号,A034382号,A046054号,A046055型,A046056号,A046101号,A050360型,A055653号,A057521号,A101872号（二等分），2018年1月76日（四边形），124010英镑,A050361号,A051532号,A129667号（Dirichlet逆）。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 7, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 5, 6, 2, 9, 2, 10, 4, 4, 4, 11, 2, 4, 4, 8, 2, 9, 2, 6, 6, 4, 2, 12, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 13, 2, 4, 6, 14, 4, 9, 2, 6, 4, 9, 2, 15, 2, 4, 6, 6, 4, 9, 2, 12, 7, 4, 2, 13, 4, 4, 4, 8, 2, 13, 4, 6, 4, 4, 4, 16, 2, 6, 6, 11, 2, 9, 2, 8, 9, 4, 2, 15, 2, 9, 4, 12, 2, 9, 4, 6, 6, 4, 4, 17
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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因此，这个序列（而不是A046523号)可用于查找a（n）的值仅依赖于n的素数签名的序列，即仅依赖n的因式分解中素数指数的多集。（End）
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链接
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配方奶粉
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（完）
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例子
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1有素数签名（），这是第一个不同的素数签名。因此，a（1）=1。
2具有素数签名（1），即（1）之后的第二个不同素数签名。因此，a（2）=2。
3有素数签名（1），2也是。因此，a（3）=a（2）=2。
4有素数签名（2），在（）和（1）之后是第三个不同的素数签名。因此，a（4）=3。（完）
对于n=2，A046523号（2） =2，这在（第一素数）之前是没有遇到过的，因此我们为（2）分配了迄今为止未使用的最少的数字，即2，因此a（2）=2。
对于n=4，A046523号（4） =4，在（素数的第一个平方）之前没有遇到，因此我们为（4）分配到目前为止未使用的最少的数字，即3，因此a（4）=3。
对于n=5，A046523号（5） =2，因为在n=2时第一次遇到，所以我们设置a（5）=a（2）=2。
对于n=6，A046523号（6） =6，之前没有遇到过（第一个半素数pq具有不同的p和q），因此我们为（6）分配了迄今为止未使用的最少的数字，即4，因此a（6）=4。
对于n=8，A046523号（8） =8，在（素数的第一个立方体）之前没有遇到，因此我们为（8）分配到目前为止未使用的最少的数字，即5，因此a（8）=5。
对于n=9，A046523号（9） =4，与n=4时第一次遇到的情况一样，因此a（9）=3。
（完）
计算序列的算法的（粗略）描述：
假设我们想计算[1..20]中n的a（n）。
我们设置了一个由20个元素组成的向量，值为0，数字m=1，这是我们尚未检查的最小值，c=0是我们迄今为止发现的不同素数签名的数量。
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
我们检查m的素数签名，看它是（）。我们用1增加c，并将所有元素设为20，素数签名（）设为1。在此过程中，我们调整了m。这得出：
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]. 我们没有检查的最小值是m=2。2具有质数签名（1）。我们用1增加c，并将所有元素设为20，素数签名（1）设为2。在此过程中，我们调整了m。这得出：
[1，2，2，0，2，0，2，0，0，0，2，0，2，0，0，2，0，0，2，0]
我们检查m=4的素数签名，发现其素数签名是（2）。我们用1增加c，并用素数签名（2）将所有数字设为20，设为3。这提供了：
[1, 2, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0]
类似地，在m=6之后，我们得到
[1,2,2,3,2,4,2,0,3,4,2,2,0,2,4,1,4,4,0,2,0]，在m=8之后，我们得到：
[1,2,2,3,2,4,2,5,3,4,2,0,2,44,4,0,0,2,0]，在m=12之后，我们得到：
[1,2,2,3,2,4,2,5,3,4,2,6,2,4,4,0,2,6,2,0]，在m=16之后，我们得到：
[1,2,2,3,2,4,2,5,3,4,2,6,2,4,4,7,2,6,2,0]，在m=20之后，我们得到：
[1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 7, 2, 6, 2, 8]. 现在，m>20，所以我们停下来。（完）
上述方法效率低下，因为步骤“将所有元素a（n）设置为n=Nmax，素数签名s（n）=s[c]设置为c”需要将所有整数分解为Nmax（或至少将其签名计算后与s[c]进行比较）。在每个m=1..Nmax上只运行一次，计算其素数签名s（m），将其添加到有序列表中（以防它没有更早出现），以及它的“秩”（=列表的新大小），并将该秩分配给a（m），效率要高得多。素数签名列表比[1..Nmax]短得多。还可以使用m’（m）：=带m素数签名的最小n（计算速度快于搜索签名）作为s（m）的代表，并设置a（m）:=a（m’（m））。那么，除了要计算的序列之外，只需要一个计数器（到目前为止看到的素数签名数）作为辅助变量就足够了-M.F.哈斯勒2019年7月18日
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MAPLE公司
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当地a046523，a；
对于1 do
返回a；
返回-1；
结束条件：；
结束do：
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数学
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带有[｛nn＝120｝，函数[s，表[Position[按键@s，k_/；MemberQ[k，n]][[1，1]]，{n，nn}]]@Map[#1->#2&@@#&，Transpose@{Values@#，Keys@#}]&@PositionIndex@Table[Times@@MapIndexed[Prime[First@#2]^#1&，Sort[FactorInteger[n][[All，-1]]，Greater]]-Boole[n==1]，{n，nn}](*迈克尔·德弗利格，2017年5月12日，第10版*）
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黄体脂酮素
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（PARI）查找（ps，vps）={for（k=1，#vps，if（vps[k]==ps，return（k））；）；}
lisps（nn）={vps=[]；对于（n=1，nn，ps=vecsort（factor（n）[，2]））；ips=find（ps，vps）；如果（！ips，vps=concat（vps，ps）；ips=#vps），print1（ips，“，”）；}\\米歇尔·马库斯2015年11月15日；编辑人M.F.哈斯勒2019年7月16日
（PARI）
rgs_transform（invec）={my（occurrences=Map（），outvec=vector（length（invec）），u=1）；对于（i=1，length，invec，if（mapisdefined（occurements，invec[i]），my（pp=mapget（occursions，invec[i]；
write_to_bfile（start_offset，vec，bfilename）={对于（n=1，长度（vec），write（bfilename，（n+start_offset）-1，“”，vec[n]）；}
写入to_b文件（1，rgs_transform（向量（100000，n，A046523号（n） ），“b101296.txt”）；
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交叉参考
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由该序列获得的值确定的等价类的有限个（>=2）的并集序列（即大卫·A·科内斯2017年5月12日配方奶粉）：A001358号(A001248号单位A006881号，值3和4），A007422号（值1、4、5），A007964号(2, 3, 4, 5),A014612号(5, 6, 9),A030513型(4, 5),A037143号(1, 2, 3, 4),A037144号(1, 2, 3, 4, 5, 6, 9),A080258号（6、7）中，A084116号(2, 4, 5),A167171号(2, 4),A217856型(6, 9).
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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36, 100, 196, 225, 441, 484, 676, 1089, 1156, 1225, 1444, 1521, 2116, 2601, 3025, 3249, 3364, 3844, 4225, 4761, 5476, 5929, 6724, 7225, 7396, 7569, 8281, 8649, 8836, 9025, 11236, 12321, 13225, 13924, 14161, 14884, 15129, 16641, 17689, 17956, 19881
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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该序列是与A025487号第一项和已知序列如下所列：1，A000007号; 2,A000040型; 4,A001248号; 6,A006881号; 8,A030078型; 12,A054753美元; 16,A030514型; 24,A065036号; 30,A007304型; 32,A050997型; 36，该序列；48, ?; 60, ?; 64, ?; ....
a（4）-a（3）=29和a（3）+a（4）=421都是素数。没有其他情况下，这个序列的两个成员的和和和差都是素数-罗伯特·伊斯雷尔和J.M.贝尔戈2019年10月25日
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链接
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配方奶粉
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例子
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A006881号开始于6 10 14 15。。。所以这个序列开始于36 100 196 225。。。
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数学
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选择[Range[200]，PrimeOmega[#]==2&&SquareFreeQ[#]&]^2(*哈维·P·戴尔2013年3月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）list（lim）=my（v=list（），x=sqrtint（lim\=1），t）；forprime（p=2，x\2，t=p；forprime（q=2，min（x\t，p-1），listput（v，（t*q）^2））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月22日
（岩浆）[1..150]|IsSquarefree（k）和#PrimeDivisors（k）eq 2]中的k^2:k//马吕斯·A·伯蒂2019年10月24日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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24, 40, 54, 56, 88, 104, 135, 136, 152, 184, 189, 232, 248, 250, 296, 297, 328, 344, 351, 375, 376, 424, 459, 472, 488, 513, 536, 568, 584, 621, 632, 664, 686, 712, 776, 783, 808, 824, 837, 856, 872, 875, 904, 999, 1016, 1029, 1048, 1096, 1107, 1112
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（4）=56，因为56=2*2*2*7。
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数学
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选择[Range[1500]，Sort[Transpose[FactorInteger[#]][[2]]]=={1，3}&]
模块[{upto=1200}，选择[（并集[Flatten[{#[1]]^3#[2]]，#[[1]]#[2]]^3}和/@子集[Prime[Range[upto/8]]，{2}]]），#<=upto&]](*哈维·P·戴尔2015年5月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t）；对于素数（p=2，（lim\2）^（1/3），t=p^3；对于素数（q=2，lim\t，如果（p==q，next）；listput（v，t*q））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月20日
（PARI）是（n）=我的（f=系数（n）[，2]）；f==[3，1]~||f==[1，3]~\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年10月15日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A085987号
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| 四个素数的乘积，其中三个素数是不同的（p^2*q*r）。 |
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+10
33
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60, 84, 90, 126, 132, 140, 150, 156, 198, 204, 220, 228, 234, 260, 276, 294, 306, 308, 315, 340, 342, 348, 350, 364, 372, 380, 414, 444, 460, 476, 490, 492, 495, 516, 522, 525, 532, 550, 558, 564, 572, 580, 585, 620, 636, 644, 650, 666, 693, 708, 726
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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链接
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例子
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a（1）=60，因为60=2*2*3*5，并且有三个不同的素因子。
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数学
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pefp[{a，b，c}]：={a^2bc，ab^2c，abc^2}；模块[{upto=800}，选择[Flatten[pefp/@Subsets[Prime[Range[PrimePi[upto/6]]]，{3}]//并集，#<=upto&]](*哈维·P·戴尔2018年10月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t，x，y，z）；对于素数（p=2，lim^（1/4），t=lim\p^2；forprime（q=p+1，sqrtint（t）），forprime，（r=q+1，t\q，x=p^2*q*r；y=p*q^2*r；listput（v，x）；如果（y<=lim，listput（v，y）；z=p*q*r^2；如果（z<=lim，listput（v，z）））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月15日
（PARI）是（n）=vecsort（因子（n）[，2]~）==1，1，2]\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年10月19日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 4, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 0, 3, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 1, 4, 0, 3, 0, 2, 2, 1, 0, 6, 0, 2, 1, 2, 0, 4, 1, 4, 1, 1, 0, 6, 0, 1, 2, 3, 1, 3, 0, 2, 1, 3, 0, 8, 0, 1, 2, 2, 1, 3, 0, 6, 1, 1, 0, 6, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,12
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评论
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所有这样的因子分解都有偶数长度和交替和＜0，所以这种类型的分区由A344608型.
此外，n的因式分解数与交替和<0。
n的因式分解是一个积为n的正整数>1的弱递增序列。
我们将序列（y_1，…，y_k）的交替积定义为product_iy_i^（（-1）^（i-1））。
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链接
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配方奶粉
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例子
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n=6，12，24，30，48，72，96，120的a（n）因式分解：
2*3 2*6 3*8 5*6 6*8 8*9 2*48 2*60
3*4 4*6 2*15 2*24 2*36 3*32 3*40
2*12 3*10 3*16 3*24 4*24 4*30
2*2*2*3 4*12 4*18 6*16 5*24
2*2*2*6 6*12 8*12 6*20
2*2*3*4 2*2*2*9 2*2*3*8 8*15
2*2*3*6 2*2*4*6 10*12
2*3*3*4 2*3*4*4 2*2*5*6
2*2*2*12 2*3*4*5
2*2*2*2*2*3 2*2*2*15
2*2*3*10
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数学
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facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
altprod[q_]：=乘积[q[[i]]^（-1）^（i-1），{i，长度[q]}]；
表[Length[Select[facs[n]，altprod[#]<1&]]，{n，100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 3, 3, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 2, 4, 1, 7, 1, 3, 3, 3, 3, 5, 1, 3, 3, 6, 1, 7, 1, 4, 4, 3, 1, 7, 1, 4, 3, 4, 1, 6, 3, 6, 3, 3, 1, 10, 1, 3, 4, 3, 3, 7, 1, 4, 3, 7, 1, 8, 1, 3, 4, 4, 3, 7, 1, 7, 2, 3, 1, 10, 3, 3, 3, 6, 1, 10, 3, 4, 3, 3, 3, 9, 1, 4, 4, 5, 1, 7, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,6
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评论
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链接
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配方奶粉
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求和{k=1..n}a（k）~n*log（n）+（2*gamma-zeta（2）-1）*n，其中gamma是欧拉常数(A001620号). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年12月1日
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例子
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a（36）=5，因为36的除数集有tau（36）=九个元素，{1,2,3,4,6,9,12,18,36}，其中五个元素{2,3,6,12,18}不是完美正方形。
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数学
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表[Count[Divisors[n]，_？（#！=楼层[Sqrt[#]]^2&）]，{n，110}](*哈维·P·戴尔2013年7月10日*）
a[1]＝0；a[n_]：=次数@@（1+（e=Last/@FactorInteger[n]））-次数@@；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年7月22日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a056595 n=长度[d|d<-[1..n]，mod n d==0，a010052 d==0]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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