搜索： a054625-编号：a0546250
|
| |
|
|
A075195号
|
| Jablonski表T（n，k）由反对偶读取：T（n、k）=带有k种颜色的n个珠子的项链数量。 |
|
+10
32
|
|
|
|
1, 2, 1, 3, 3, 1, 4, 6, 4, 1, 5, 10, 11, 6, 1, 6, 15, 24, 24, 8, 1, 7, 21, 45, 70, 51, 14, 1, 8, 28, 76, 165, 208, 130, 20, 1, 9, 36, 119, 336, 629, 700, 315, 36, 1, 10, 45, 176, 616, 1560, 2635, 2344, 834, 60, 1, 11, 55, 249, 1044, 3367, 7826, 11165, 8230, 2195, 108, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
φ（n）和k^n的（1/n）*Dirichlet卷积（结束）
|
|
|
参考文献
|
F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，组合物种和树状结构，剑桥，1998年，第86页（2.2.23）。
Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第496页。
Louis Comtet，《组合分析》，Tome 2，第104页，17号，p.U.F.，1970年。
|
|
|
链接
|
E.Jablonski，排列和排列的集合《刘维尔杂志》，8（1892），第331-49页。
E.Jablonski，苏尔分析组合循环《科学院学报》，1892年4月11日，巴黎。
P.A.MacMahon，循环处理中排列理论在数论中的应用，程序。伦敦。数学。《社会学杂志》，23（1892），第305-313页。提到贾布隆斯基、卢卡斯和莫罗。
|
|
|
公式
|
T（n，k）=（1/n）*Sum_{d|n}φ（d）*k^（n/d），其中φ=Euler totiten函数A000010号. -菲利普·德尔汉姆2003年10月8日
列k>=1:Sum_{n>=1}T（n，k）*x^n=-Sum_{d>=1}（phi（d）/d）*log（1-k*x^d）的O.g.f。
行n>=1:T（n，k）=Sum_{j=0..n}-二项式（j-n-1，j+1）*T（n、k-1-j），对于k>=n+2。（这种复发主要是由于罗伯特·拉塞尔，是谁贡献的A321791飞机.）（结束）
T（n，k）=（1/n）*和{i=1..n}k^gcd（n，i）。
T（n，k）=（1/n）*Sum_{i=1..n}k^（n/gcd（n，i））*phi（gcd（n，i））/phi（n/gcd（n、i））。
T（n，k）=（1/n）*A185651号（n，k）对于n>=1，k>=1。（结束）
|
|
|
例子
|
n>=1，k>=1的数组T（n，k）开始于：
1, 2, 3, 4, 5, ...
1, 3, 6, 10, 15, ...
1, 4, 11, 24, 45, ...
1, 6, 24, 70, 165, ...
1, 8, 51, 208, 629, ...
反对角线读取数组时形成的三角形：
1
2, 1
3, 3, 1
4, 6, 4, 1
5, 10, 11, 6, 1
6, 15, 24, 24, 8, 1
7, 21, 45, 70, 51, 14, 1
8, 28, 76, 165, 208, 130, 20, 1
9, 36, 119, 336, 629, 700, 315, 36, 1
10、45、176、616、1560、2635、2344、834、60、1
...
（结束）
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=（1/n）*sumdiv（n，d，eulerphi（d）*k^（n/d））；
对于（n=1,15，对于（k=1，n，print1（T（k，n-k+1），“，”）；）；打印（）；）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
（Python）
从sympy.theory import到diention，除数
def T（n，k）：返回和（除数（n）中d的总和（d）*k**（n//d））//n
对于范围（1，16）中的n：
打印（[T（k，n-k+1）表示范围（1，n+1）中的k）]#因德拉尼尔·戈什，2017年3月25日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 3, 7, 12, 43, 126, 539, 2304, 11023, 54682, 284071, 1509852, 8195029, 45080666, 250641895, 1404374248, 7917211349, 44848645458, 255055231763, 1455247360128, 8326191290585, 47752990403134
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
不允许把项链翻过来。可以在不改变项链结构的情况下改变颜色。
第二个Mathematica程序使用Gilbert和Riordan的递推公式，他们推荐使用该公式进行计算-罗伯特·拉塞尔2018年2月24日
|
|
|
参考文献
|
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
|
|
|
链接
|
E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5 (1961), 657-665.
|
|
|
公式
|
使用de Bruijn对参考文献中讨论的Polya枚举定理的推广。
a（n）=（1/n）*和{d|n}φ（d）*（[d==0模60]*（6*S2（n/d+5,6）-90*S2，6）+451*S2（n/d+3,6）-1243*S2*（4*S2（n/d+5,6）-62*S2 d+2,6）+1074*S2（n/d+1，6）-495*S2+439*S2（n/d+3,6）-1196*S2{6,18,42,54}中的+[d mod 60+1464*S2（n/d+1，6）-720*S2 3*S2（n/d+5,6）-48*S2-560*S2（n/d，6））+[d mod 60 in{3,9,21,27,33,39,51,57}]*（2*S2，n/d+5,6）-34*S2 5，6）-35*S2（n/d+4,6）+234*S2)+[d{1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59}中的60模]*
（S2[n/d+5,6）-19*S2（n/d+4,6）+138*S2-
通用公式：1-和{d>0}（φ（d）/d*log（1-4x^d）+3*log)/5+[d=10 mod 60|d==50 mod 60]*（11*log（1-6x^d）+8*log 1-3x^d）+27*log（1-2x^d*（16*log（1-6x^d）+10*log*对数（1-2x^d）+36*log（1-x ^d））/180+[d mod 60 in{1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59}]*（对数（1-6x^d）+15*对数（1-4x^d）+40*对数（1-3x^d）+135*对数（1-2x^d）+264*对数（1-x^d））/720）。
（结束）
|
|
|
数学
|
Adn[d_，n_]：=模[{c，t1，t2}，t2=0；对于[c=1，c<=d，c++，如果[Mod[d，c]==0，t2=t2+（x^c/c）*（E^（c*z）-1）]]；t1=E^t2；t1=级数[t1，{z，0，n+1}]；系数[t1，z，n]*n！]；Pn[n_]：=模[{d，e，t1}，t1=0；对于[d=1，d<=n，d++，如果[Mod[n，d]=0，t1=t1+EulerPhi[d]*Adn[d，n/d]/n]]；t1/（1-x）]；Pnq[n_，q_]：=模[{t1}，t1=系列[Pn[n]，{x，0，q+1}]；系数[t1，x，q]]；a[n_]：=Pnq[n，6]；表格[打印[an=a[n]]；an，{n，1，23}](*Jean-François Alcover公司2013年10月4日之后N.J.A.斯隆的Maple代码*）
Adn[d_，n_]：=Adn[d，n]=如果[1==n，除数和[d，x^#&]，展开[Adn[d,1]Adn[d，n-1]+d[Adn[d，n-1]，x]x]]；
表[系列系数[DivisorSum[n，EulerPhi[#]Adn[#，n/#]&]/（n（1-x）），{x，0，6}]，{n，1，40}](*罗伯特·拉塞尔2018年2月24日*）
表[（1/n]+451箍筋S2[n/#+3，6]-1243箍筋S2[n/#+2，6]+1584搅拌S2[n/#+1，6]-720搅拌S2[n/#，6]，可分割[#，20]，4搅拌S2[n/#+5，6]-62搅拌S2[n/#+4，6]+364搅拌S2[n/#+3，6]-998搅拌S2[n/#+2，6]+1252搅拌S2[n/#+1，6]-560搅拌S2【n/#、6】，可分割[#，15]，3搅拌S2（n/#+5，6）-48搅拌S2[n/#+4,6]+291箍筋S2[n/#1+3,6]-825箍筋S2[n/#+2,6]+1074箍筋S2[n/#+1，6]-495箍筋S2[n/#，6]，可分割[#，12]，5箍筋S[n/#1+5，6]-76箍筋S[n/#+4，6]+439箍筋S[2n/#+3，64]-1196箍筋S2[n/#1+2，62]+1524箍筋S[1n/#+1,6]-720箍筋S[Pn/#、6]，可以分割[#、10]，3箍筋S[0n/#+5，6]-49[n/#+4,6]+305箍筋S2[n/#+3,6]-891箍筋S2[n/#+2，6]+1192箍筋S2[n/#+1，6]-560箍筋S2[n/#，6]，可分割[#，6],4箍筋S2[2n/#+5，6]-63箍筋S[n/#1+3，64]-1089[n/#+5，6]-33箍筋S2[n/#1+4，6]+209箍筋S2[n/#+3，6'-629箍筋S2[n/#+2，6]+886箍筋S2[n/#+1，6]-455箍筋S2[n/#，6]，可分割[#，4]，3箍筋S2[Pn/#+5，6]-48箍筋S2[0n/#+4，62]+293箍筋S2[2n/#+3，64]-844 S2[n/#+5，6]-34箍筋S2[n/#+4，6]+220箍筋S2[n/#+3，6'-671 StirlingS2[n/#+2，6]+954 StirlingS2[n/#+1，6]-495 StirlingS2[n/#，6]，可分割的[#，2]，2 StirlingS2[n/#+5，6]-35 StirlingS2[n/#+4，6]+234 StirlingS2[n/#+3，6]-737 StirlingS2[n/#+2，6]+1072 StirlingS2[n/#+1，6]-560 StirlingS2[n/#，6]，True，StirlingS2 S2[n/#+5,6]-19斯特林S2[n/#+4,6]+138斯特林S2[n/#+3，6]-475箍筋S2[n/#+2，6]+766箍筋S2[n/#+1，6]-455箍筋S2[n/#，6]&]，{n，1，40}]
mx=40；Drop[CoefficientList[Series[1-Sum[（EulerPhi[d]/d）Which[Divisible[d，60]，Log[1-6x^d]，Divisible[d，30]，（3 Log[1-6x ^d]+Log[1-2x ^d]）/4，Divisable[d，20]，（5 Log[1-6x-^d]+2 Log[1-3x^d]]）/9，Divable[d，15]，，（4对数[1-6x^d]+对数[1-x^d]）/5，可除[d，10]，（11 Log[1-6x^d]+8 Log[1-3x^d]+9 Log[1-2x^d]）/36，可分[d，6]，（11 Log[1-6x*d]+5 Log[1-2x*d]+4 Log[1-x ^d]）/20，可分[d，5]，（29 Log[1-6x ^d]+3 Log[1-4x^d]+8 Log[1-3x ^d]+27 Log[1-2x ^d]+24 Log[1-x^d）/144，可分[1，4]，（16 Log[1-6x^d]+10对数[1-3x^d]+9对数[1-x^d]）/45，可分[d，3]，（9对数[1-6x^d'+15对数[1-4x^d]+15对数[1-2x^d]+16对数[1-x^d]）/80，可分[d，2]，（19对数[1-6x^dneneneea+40对数[1-3x^d]+45对数[1-2x ^d]+36对数[1-8x^d））/180，真，（对数[1-6 x ^d]+15对数[1-4 x ^d]+40对数[1-3 x ^d]+135对数[1-2 x ^d】+264对数[1-x ^d）/720]，{d，1，mx}]，{x，0，mx}]，x]，1]
（结束）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 0, 0, 0, 0, 120, 2160, 23940, 211680, 1643544, 11748240, 79419180, 516257280, 3262443120, 20193277104, 123071707080, 741419995680, 4427490147480, 26264144909520, 155018841055596, 911509010154720, 5344538384445120, 31272099902089200, 182707081122261480
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,6
|
|
|
评论
|
不允许把项链翻过来。
|
|
|
参考文献
|
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
a（n）=（k！/n）和{d|n}φ（d）S2（n/d，k），其中k=6是颜色数，S2是斯特林子集数A008277号.
G.f.：-求和{d>0}（φ（d）/d）*求和{j}（-1）^（k-j）*C（k，j）*log（1-j x ^d），其中k=6是颜色数。（结束）
|
|
|
例子
|
对于n=6，120条项链是A，然后是BCDEF的120个排列。
|
|
|
数学
|
k=6；表[k！除数总和[n，EulerPhi[#]斯特林S2[n/#，k]&]/n，{n，1，30}](*罗伯特·拉塞尔2018年9月26日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
6, 21, 56, 231, 888, 4291, 20646, 107331, 563786, 3037314, 16514106, 90782986, 502474356, 2799220041, 15673673176, 88162676511, 497847963696, 2821127825971, 16035812864946, 91404068329560
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
|
评论
|
翻转不会产生新手镯。
|
|
|
参考文献
|
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件。]
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
a（n）=和{d|n}φ（d）*6^（n/d）/（2*n）；
a（n）=6^（（n+1）/2）/2，对于n奇数，
n偶数为（7/4）*6^（n/2）。
通用公式：（1-和{n>=1}φ（n）*log（1-6*x^n）/n+（1+6*x+15*x^2）/-赫伯特·科西姆巴2016年11月2日
|
|
|
例子
|
对于n=2，21个手镯为AA、AB、AC、AD、AE、AF、BB、BC、BD、BE、BF、CC、CD、CE、CF、DD、DE、DF、EE、EF和FF-罗伯特·拉塞尔2018年9月24日
|
|
|
数学
|
mx=40；系数列表[级数[（1-和[EulerPhi[n]*Log[1-6*x^n]/n，{n，mx}]+（1+6x+15x^2）/（1-6x^2(*赫伯特·科西姆巴，2016年11月2日*）
k=6；表[DivisorSum[n，EulerPhi[#]k^（n/#）&]/（2n）+（k^楼层[（n+1）/2]+k^天花板[（n/1）/2]）/4，{n，1，30}](*罗伯特·拉塞尔2018年9月24日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A184291号
|
| 反对偶读取的表：T（n，k）=不同的n X k环形0..5阵列的数量。 |
|
+10
4
|
|
|
|
6, 21, 21, 76, 351, 76, 336, 7826, 7826, 336, 1560, 210456, 1119936, 210456, 1560, 7826, 6047412, 181402676, 181402676, 6047412, 7826, 39996, 181410426, 31345666736, 176319685116, 31345666736, 181410426, 39996, 210126, 5597460306
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
|
链接
|
S.N.Ethier，计数环形二进制阵列，arXiv:1301.2352v1[math.CO]，2013年1月10日。
S.N.Ethier和Jiyeon Lee，计数环形二元阵列，arXiv:1502.03792v1[math.CO]，2015年2月12日。
|
|
|
公式
|
T（n，k）=（1/（n*k））*求和{c|n}求和{d|k}φ（c）*φ（d）*6^（n*k/lcm（c，d））-安德鲁·霍罗伊德2017年9月27日
|
|
|
例子
|
表格开始
6 21 76 336 1560 7826 39996
21 351 7826 210456 6047412 181410426 5597460306
76 7826 1119936 181402676 31345666736 5642220395616
336 210456 181402676 176319685116
1560 6047412 31345666736
7826 181410426
39996
|
|
|
数学
|
T[n_，k_]：=（1/（n*k））*Sum[Sum[EulerPhi[c]*EulerPhi[d]*6^（n*（k/LCM[c，d]）），{d，除数[k]}]，{c，除数[n]}]；表[T[n-k+1，k]，{n，1，8}，{k，1，n}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2017年10月30日，之后安德鲁·霍罗伊德*)
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）
T（n，k）=（1/（n*k））*sumdiv（n，c，sumdiv）（k，d，eulerphi（c）*eulerpchi（d）*6^（n*k/lcm（c，d）））\\安德鲁·霍罗伊德2017年9月27日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 6, 42, 228, 1344, 7800, 46956, 279972, 1681008, 10078164, 60474120, 362797116, 2176832112, 13060694088, 78364444284, 470185001040, 2821111589856, 16926659444832, 101559966840108, 609359740010604, 3656158500550080
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.2个
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=如果（n==0，0，sumdiv（n，d，eulerphi（d）*6^（n/d））\\阿尔图·阿尔坎2018年3月16日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A121775号
|
| T（n，k）=和{d|n}φ（n/d）*二项式（d，k）对于n>0，T（0，0）=1。按行读取三角形，对于0<=k<=n。 |
|
+10
2
|
|
|
|
1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 5, 3, 1, 4, 8, 7, 4, 1, 5, 9, 10, 10, 5, 1, 6, 15, 20, 21, 15, 6, 1, 7, 13, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 8, 20, 36, 60, 71, 56, 28, 8, 1, 9, 21, 42, 86, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 10, 27, 59, 130, 215, 253, 210, 120, 45, 10, 1, 11, 21, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
对于n>0，（1/n）*Sum_{k=0..n}T（n，k）*（c-1）^k是c颜色的n珠项链的数量。请参阅交叉引用。
|
|
|
链接
|
|
|
|
例子
|
三角形开始：
[ 0] 1;
[ 1] 1, 1;
[ 2] 2, 3, 1;
[ 3] 3, 5, 3, 1;
[4]4、8、7、4、1；
[ 5] 5, 9, 10, 10, 5, 1;
[ 6] 6, 15, 20, 21, 15, 6, 1;
[ 7] 7, 13, 21, 35, 35, 21, 7, 1;
[ 8] 8, 20, 36, 60, 71, 56, 28, 8, 1;
[ 9] 9, 21, 42, 86, 126, 126, 84, 36, 9, 1;
[10] 10, 27, 59, 130, 215, 253, 210, 120, 45, 10, 1;
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=如果（n<k | k<0，0，if（n==0，1，sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）*二项式（d，k）））
（SageMath）#使用[DivisorTriangle fromA327029型]
除法器三角形（euler_phi，二项式，13）#彼得·卢什尼2019年8月24日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A278642型
|
| 有n个珠子、最多6种颜色的可定向项链对数；也就是说，把项链翻过来并不会使它保持不变。翻过的项链不包括在计数中。 |
|
+10
2
|
|
|
|
0, 0, 0, 20, 105, 672, 3535, 19350, 102795, 556010, 3010098, 16467450, 90619690, 502194420, 2798240265, 15671993560, 88156797855, 497837886000, 2821092554035, 16035752398770, 91403856697944, 522308167195260, 2991401733402075, 17168047238861070, 98716274117752900, 568605754068247644, 3280417827002225910, 18953525314104758810
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
使用最多六种不同颜色的n个珠子的手性手镯数量。
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
通用公式：k=6，（1-和{n>=1}φ（n）*log（1-k*x^n）/n-和{i=0..2}二项式[k，i]*x^i/（1-k*x^2））/2。
对于n>0，a（n）=-（k^floor（（n+1）/2）+k^capility（（n+1）/2））/4+（1/2n）*Sum_{d|n}phi（d）*k^（n/d），其中k=6是最大颜色数-罗伯特·拉塞尔2018年9月24日
|
|
|
数学
|
mx=40；f[x_，k_]：=（1-和[EulerPhi[n]*Log[1-k*x^n]/n，{n，mx}]-和[二项式[k，i]*x^i，{i，0，2}]/（1-k*x^2））/2；系数列表[系列[f[x，6]，{x，0，mx}]，x]
k=6；前缀[表[DivisorSum[n，EulerPhi[#]k^（n/#）&]/（2n）-（k^地板[（n+1）/2]+k^天花板[（n/1）/2]）/4，{n，30}]，0](*罗伯特·拉塞尔2018年9月24日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.008秒内完成
|
