搜索： a054432-编号：a054433
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A001317号
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| Sierpiński的三角形（Pascal的三角形mod 2）转换为十进制。
（原名M2495 N0988）
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98
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1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295, 4294967297, 12884901891, 21474836485, 64424509455, 73014444049, 219043332147, 365072220245, 1095216660735, 1103806595329, 3311419785987
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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J·H·康韦（J.H.Conway）在数学论坛（Math Forum）上写道：至少前31个数字给出了奇边可构造多边形。另请参见A047999号.-M.Dauchez（mdzzdm（AT）yahoo.fr），2005年9月19日[这项观察也是由N.L.White于1982年提出的（见信函）-N.J.A.斯隆2015年6月15日]
由规则60基本细胞自动机第n代的二进制位生成的十进制数。因此：1；0, 1, 1; 0，0，1，0，1；0, 0, 0, 1, 1, 1, 1; 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1; ... . -埃里克·韦斯特因2006年4月8日
极限{n->oo}log（a（n））/n=log（2）-布雷特·穆维2008年5月17日
设n，m>=0，使得相加时不发生进位。则a（n+m）=a（n）*a（m）-弗拉基米尔·舍维列夫，2010年11月28日
设phi_a（n）是a（k）<=a（n）的个数，分别素数为a（n。然后，对于n>=1，phi_a（n）=2^v（n），其中v（n-弗拉基米尔·舍维列夫2010年11月29日
将k-多项式（k=2^e，其中e>=1）项的幂的行转换为二进制，并将级联作为二进制数读取，得到该序列的每个（k-1）项。与任何素数的幂p^k类似。研究复合材料的威力是如何失效的，这可能很有趣-乔格·阿恩特2011年1月7日
这个序列也以另一种方式出现在帕斯卡的三角形mod 2中。如果我们把它写成
1111111...
10101010...
11001100...
10001000...
我们得到（取每行中的句点部分）：
.（1）（以2为基数）=1
.(10) = 2/3
.(1100) = 12/15 = 4/5
.(1000) = 8/15
第k行作为二进制分数处理，似乎等于2^k/a（k）-卡塔兹娜·马提拉2011年3月12日
由于有5个已知的费马素数，因此有32个不同的费马素乘积（因此有31个可构造的奇边多边形，因为多边形至少有3条边）。a（0）=1（空积）和a（1）到a（31）是不同Fermat素数的31个非积。
a（0）=1（空积）是{}中不同费马数的积；
a（2^n+k）=a（k）*（2^（2^n）+1）=a。
因此，对于n>=1，0<=k<=2^n-1，以及
a（k）=产品{i=0..n-1}F_i^（alpha_i），{0，1}中的alpha_i，
这意味着
a（2^n+k）=产品{i=0..n-1}F_i^（alpha_i）*F_n，{0，1}中的alpha_i。
（参见下面的OEIS Wiki链接。）（结束）
a（n）的二进制展开式中的位给出了环GF（2）[X]中多项式（X+1）的n次幂的系数。例如，3（二进制中的“11”）代表（X+1）^1，5（二进制中的“101”）代表（X+1）^2=（X^2+1），依此类推-安蒂·卡图恩2016年2月10日
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参考文献
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Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第113页。
Henry Wadsworth Gould，指数二项式系数系列，技术报告4，数学。1961年9月，西弗吉尼亚州摩根敦市西佛吉尼亚大学系。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Gary W.Adamson和N.J.A.Sloane，通信，1994年5月，包括Adamson的MSS“从n生成第n行Pascal三角形的算法，mod 2”和“河内之塔转轮”。
克里斯蒂安·科贝利和亚历山德鲁·扎哈雷斯库，帕斯卡三角漫步——数字动机，公牛。数学。社会科学。数学。Roumanie，Tome托姆·鲁马尼56（104），第1期（2013），第73-98页；备用链路.
Richard K.Guy和N.J.A.Sloane，通信, 1988.
P.Mathonet、M.Rigo、M.Stipulanti和N.Zéna-idi，关于与帕斯卡三角形相关的数字序列，arXiv:2201.06636[math.NT]，2022。
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公式
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a（n+1）=a（n）XOR 2*a（n”），其中XOR是二进制异或运算符-保罗·D·汉纳2003年4月27日
a（n）=Product_{e（j，n）=1}（2^（2*j）+1），其中e（j、n）是n的二进制表示中的第j个最低有效数字（Roberts：见Allouche&Shallit）-贝诺伊特·克洛伊特2004年6月8日
a（2*n+1）＝3*a（2*n）。证明：由于a（n）=Product_{k in k}（1+2^（2^k）），其中k是整数集，其中n=Sum_{k inK}2^k，明确k（2*n+1）=k（2*n）并集{0}，因此a（2*n+1）=（1+2 ^（2 ^0））*a（2*n）=3*a（2*n）Emmanuel Ferrand和拉尔夫·斯蒂芬2004年9月28日
a（32*n）=3^（32*n*log（2）/log（3））+1-布雷特·穆维2008年5月17日
a（2^n）=A000215号（n） ；a（2^n-1）=a（2*n）-2；对于n>=1，m>=0，
Sum_｛k>=0｝1/a（k）=乘积_｛n>=0｝（1+1/F_n），其中F_n=A000215号（n） ；
和{k>=0}（-1）^（m（k））/a（k）=1/2，其中{m（n）}是Thue-Morse序列(A010060型).
如果F_n由F_n（z）=z^（2^n）+1和a（n）由（1/2）*Sum_{i>=0}（1-（-1）^{二项式（n，i）}）*z^i定义，那么对于z>1，后两个恒等式也成立，第二个恒等词右侧的1/2替换为1-1/z-弗拉基米尔·舍维列夫2010年11月29日
（结束）
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例子
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给定a（5）=51，a（6）=85，因为a（5。
a（0）=1（空产品）；
a（1）=3=1*F_0=a（2^0+0）=a（0）*F_0；
a（2）=5=1*F_1=a（2^1+0）=a（0）*F_1；
a（3）=15=3*5=F_0*F_1=a（2^1+1）=a（1）*F_1；
a（4）=17=1*F_2=a（2^2+0）=a（0）*F_2；
a（5）=51=3*17=F_0*F_2=a（2^2+1）=a（1）*F_2；
a（6）=85=5*17=F_1*F_2=a（2^2+2）=a（2）*F_2；
a（7）=255=3*5*17=F_0*F_1*F_2=a（2^2+3）=a（3）*F_2；
…（结束）
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MAPLE公司
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A001317号：=进程（n）局部k；加法（（二项式（n，k）mod 2）*2^k，k=0..n）；结束；
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数学
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f[n_]：=嵌套[BitXor[#，BitShiftLeft[#，1]&，1，n]；数组[f，42，0]（*Joel Madigan（dochoncho（AT）gmail.com），2007年12月3日*）
f[n_]：=FromDigits[表[Mod[二项式[n，k]，2]，{k，0，n}，2]；数组[f，42，0](*罗伯特·威尔逊v*)
嵌套列表[BitX或[#，2#]&，1，50](*哈维·P·戴尔2021年8月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（i=0，n，（二项式（n，i）%2）*2^i）
（PARI）a=1；对于（n=0，66，打印1（a，“，”）；a=位或（a，a＜＜1））\\乔格·阿恩特2013年3月27日
（哈斯克尔）
a001317=文件夹（\u v->2*v+u）0。映射到Integer。a047999_低
（方案，带有备忘录-宏定义，两种变体）
（Magma）[&+[（二项式（n，i）mod 2）*2^i:i在[0..n]]中：n在[0..41]]中//文森佐·利班迪2016年2月12日
（Python）
来自同一输入二项式
定义a（n）：返回和（[（二项式（n，i）%2）*2**i for i in range（n+1）]）#印地瑞尼Ghosh2017年4月11日
（Python）
定义A001317号（n） ：对于范围（n+1）中的k，返回int（“”.join（str（int（not（~n&k））），2）#柴华武2022年2月4日
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交叉参考
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参见。A000079号,A000215号（费马数），A047999号,A048720型,A054432号,A173019号,A177882号,A177897号,A177960号,193231年,A230116型,A247282号,A249184号,A268391型.
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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2, 1, 3, 7, 5, 31, 3, 127, 17, 73, 11, 2047, 13, 8191, 43, 151, 257, 131071, 57, 524287, 205, 2359, 683, 8388607, 241, 1082401, 2731, 262657, 3277, 536870911, 331, 2147483647, 65537, 599479, 43691, 8727391, 4033, 137438953471, 174763, 9588151, 61681
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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链接
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公式
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（lcm{k=1..n}（2^k-1））/lcm{k=1.n-1}（2 ^k-1），n>1-弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月20日
设b（1）=1，b（n+1）=lcm（b（n），2^n-1），则Phi（n，2）=b（n+1）/b（n）=a（n）-托马斯·奥多夫斯基，2013年5月8日
a（0）=2；对于n>0，a（n）=（2^n-1）/gcd（a（0）*a（1）**a（n-1），2^n-1）-托马斯·奥多夫斯基，2013年5月11日
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MAPLE公司
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带有（numtheory，分圆）；f:=n->subs（x=2，分圆（n，x））；seq（f（i），i=0..64）；
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数学
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A054431号
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| 反对偶读取数组：T（x，y）表示（x，y）是互质（1）还是非互质（0）。 |
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+10
18
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1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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数组沿（x，y）=（1，1），（1，2），（2，1）、（1，3）、（2，2）、（3，1）。。。
在这个序列中有非常多的无限路径，每一步只向下或向右移动一步。从（1,1）开始，向下移动到（2,1），然后是（3,1）。。。，(13,1). 然后向右移动到（13,2），（13,3）。。。，(13,11). 从这一点开始，交替向下移动到下一个质数行，并向右移动到下个质数列-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯，2014年5月27日
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链接
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公式
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作为n>=1，1<=k<=n的三角形阵列，T（n，k）=|k（n-k+1|k）|其中k（i|j）是克罗内克符号-彼得·卢什尼2012年8月5日
Dirichlet g.f.：求和{n>=1}求和{k>=1}[gcd（n，k）=1]/n^s/k^c=zeta（s）*zeta（c）/zeta（s+c）-Mats Granvik公司2021年5月19日
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例子
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行开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...;
1, 0, 1, 0, 1, 0, ...;
1, 1, 0, 1, 1, 0, ...;
1, 0, 1, 0, 1, 0, ...;
1, 1, 1, 1, 0, 1, ...;
1, 0, 0, 0, 1, 0, ...;
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MAPLE公司
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reduced_residue_set_0_1_array:=n->one_or_zero（igcd（（n-（（trin（n）*（trin；
one_or_zero:=n->`如果`（（1=n），（1），（0））；#trin给定于A054425号
A054431号_行：=n->seq（abs（numtheory[jacobi]（n-k+1，k）），k=1..n）；
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数学
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
定义A054431号_行（n）：返回[abs（kronecker_symbol（n-k+1，k））for k in（1..n）]
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A004729号
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| 2^32-1的除数（对于a（1）到a（31），31个具有奇数边的正多边形，可以用尺子和指南针构造）。 |
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+10
15
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1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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已知的5个费马素数乘积的32个除数。
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参考文献
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J.H.Conway和R.K.Guy，《数字书》，哥白尼出版社，纽约，1996年；见第140页。
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链接
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数学
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除数[2^32-1]
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黄体脂酮素
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（PARI）除数（1<<32-1）
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交叉参考
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参见。A000010号,A000215号,A001317号,A003401号,A003527号,A004169号,A004729号,A019434号,A045544号,A047999号,A053576号,A054432号.
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关键字
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非n,完成,满的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 4, 9, 22, 52, 72, 146, 313, 738, 1156, 2829, 6772, 9520, 18496, 53643, 75154, 162438, 312328, 600116, 1513186, 4023888, 4737152, 9741609, 23182093, 38478994, 76286020, 166236537, 311977264, 921787428, 1212203072, 2962424994
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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L（a/n）代表广义勒让德符号，只有当a是n的二次剩余时，值才为1。
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链接
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公式
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a（n）=qrs2输入码（n）
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MAPLE公司
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局部i，z；
z:=0；
对于i从1到n-1 do
z:=z*2；
如果（1=numtheory[象限]（i，n）），则
z：=z+1；
fi；
od；
返回z；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=使用[{rr=表[Mod[k^2，n]，{k，1，n-1}]//联合}，Boole[MemberQ[rr，#]]//@范围[n-1]]//起始数字[#，2]&；数组[a，40](*Jean-François Alcover公司2016年3月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=总和（k=1，n-1，2^（k-1）*（0<总和（i=1，n-1，i^2%n==n-k））}/*迈克尔·索莫斯2006年10月14日*/
（鼠尾草）
Q=二次方（n）
z=0
对于（1..n-1）中的i：
z=z*2
如果Q:z+=1中的i
返回z
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A054433号
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| 通过将每个偶数的约化残差集解释为Zeckendorf展开而形成的数。 |
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+10
5
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1, 4, 9, 33, 80, 174, 588, 1596, 3135, 9950, 28512, 56268, 196040, 496496, 888300, 3524577, 9224880, 18118362, 63239220, 150527400, 310190454, 1129200138, 2971168704, 5834056536, 18513646430, 53213956640, 104687896833
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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公式
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MAPLE公司
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A054433号_as_sum:=进程（n）局部i；RETURN（加（（one_or_zero（igcd（n，i））*fibonacci（i+1）），i=1..（n-1））；结束；
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数学
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r[n_]：=总和[如果[GCD[n，k]==1，斐波那契[n+1-k]，0]，{k，1，n}]；r/@（2*范围[27]）(*阿米拉姆·埃尔达尔2019年10月19日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A058213号
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| φ（x）=2^n（n>=0）解的三角形排列，其中φ=A000010号是欧拉的总方向函数。每行对应一个特定的n，其长度为n+2（对于0<=n<=31），32（对于n>=32）。（这假设只有5个费马素数。） |
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5
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1、2、3、4、6、5、8、10、12、15、16、20、24、30、17、32、34、40、48、60、51、64、68、80、96、102、120、85、128、136、160、170、192、204、240、255、256、272、320、340、384、408、480、510、257、512、514、544、640、680、768、816、960、1020、771、1024、1028、1088
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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φ（x）是2的次幂当且仅当x是2的幂乘以不同费马素数的乘积。因此，如果如推测的那样，只有5个费马素数，那么x的奇数部分，即2^32-1的除数，只有32种可能性，如下所示A004729号.
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链接
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例子
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三角形开始：
{ 1, 2},
{ 3, 4, 6},
{ 5, 8, 10, 12},
{15、16、20、24、30}，
{17, 32, 34, 40, 48, 60},
{51, 64, 68, 80, 96, 102, 120},
{85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240},
...
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数学
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phiinv[n_，pl_]：=模块[{i，p，e，pe，val}，如果[pl=={}，返回[If[n==1，{1}，{}]]；val={}；p=最后[pl]；对于[e=0；pe=1，e==0||Mod[n，（p-1）pe/p]==0，e++；pe*=p，val=Join[val，pe*phiinv[If[e==0，n，n*p/pe/（p-1）]，Drop[pl，-1]]]；排序[val]]；phiinv[n_]：=phiinv[n，选择[1+除数[n]，素数Q]]；连接@@（phiinv[2^#]&/@Range[0，10]）
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交叉参考
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参见。A000010号,A001317号,A003401号,A004729号,A019434号,A045544号,A047999号,A053576号,A054432号,A058214美元,A058215号.
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关键字
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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3, 13, 35, 105, 231, 581, 1315, 3225, 6711, 15221, 32755, 74505, 154407, 339397, 718115, 1589145, 3243831, 6946421, 14482675, 31259145, 63894567, 135588037, 281203235, 601400985, 1219907127, 2557715317, 5267017715, 11123540745, 22600784679, 47205887429
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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如果只有五个费马素数，那么对于n>31，a（n）=2^（n-30）*9985206765-T.D.诺伊2012年6月21日
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链接
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例子
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对于n=6，2^n=64；φ（x）=64的解是{85128136160170192204240}，其和是a（6）=1315。
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数学
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phiinv[n_，pl_]：=模块[{i，p，e，pe，val}，如果[pl=={}，返回[If[n==1，{1}，{}]]；val={}；p=最后[pl]；对于[e=0；pe=1，e==0||Mod[n，（p-1）pe/p]==0，e++；pe*=p，val=Join[val，pe*phiinv[If[e==0，n，n*p/pe/（p-1）]，Drop[pl，-1]]]；排序[val]]；phiinv[n_]：=phiinv[n，选择[1+除数[n]，素数Q]]；表[Plus@@phiinv[2^n]，{n，0，30}]
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交叉参考
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参见。A000010号,A001317号,A003401号,A004729号,A019434号,A045544号,A047999号,A053576号,A054432号,A058213号,A058215号.
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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2, 6, 12, 30, 60, 120, 240, 510, 1020, 2040, 4080, 8160, 16320, 32640, 65280, 131070, 262140, 524280, 1048560, 2097120, 4194240, 8388480, 16776960, 33553920, 67107840, 134215680, 268431360, 536862720, 1073725440, 2147450880, 4294901760, 8589934590
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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除了五个项（如果正好有五个费马素数），相邻项的比率是2-T.D.诺伊2012年6月21日
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链接
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公式
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假设只有5个费马素数(A019434号)，当n>=31时，a（n）=2^（n-30）*（2^32-1）。
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例子
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对于n=6，2^n=64；φ（x）=64的解为{85128136160170192204240}；最大值是a（6）=240。
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数学
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phiinv[n_，pl_]：=模块[{i，p，e，pe，val}，如果[pl=={}，返回[If[n==1，{1}，{}]]；val={}；p=最后[pl]；对于[e=0；pe=1，e==0||Mod[n，（p-1）pe/p]==0，e++；pe*=p，val=Join[val，pe*phiinv[If[e==0，n，n*p/pe/（p-1）]，Drop[pl，-1]]]；排序[val]]；phiinv[n_]：=phiinv[n，选择[1+除数[n]，素数Q]]；表[phiinv[2^n][[-1]]，{n，0，30}]（*phiinv[n，pl]=x的列表，其中phi（x）=n，x的所有素因子在列表pl中
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交叉参考
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参见。A000010号,A001317号,A003401号,A004729号,A019434号,A045544号,A047999号,A053576号,A054432号,A058213号,A058214号.
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 6, 21, 50, 108, 364, 987, 1938, 6150, 17622, 34776, 121160, 306852, 549000, 2178309, 5701290, 11197764, 39083988, 93031050, 191708244, 697884066, 1836283246, 3605645232, 11442062750, 32888033880, 64700678454
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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公式
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a（n）=Sum_{i|gcd（i，2n）=1}Fib（i）（其中Fib（i）=A000045号[i] ）
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例子
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2*6=12的约化残差集是{1,5,7,11}，因此a（6）=F_1+F_5+F_7+F_11=108。
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MAPLE公司
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A063683号：=[seq(A063683号_as_sum（2*n），n=1..101）]；A063683号_as_sum:=进程（n）局部i；返回（添加（（one_or_zero（igcd（n，i））*fibonacci（i）），i=1..（n-1）））；结束；安蒂·卡图恩，您好
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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