搜索: a053836-编号:a053826
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A000120号
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| 1’s计数序列:n的二进制展开式中的1’s数(或n的二进制权重)。 (原名M0105 N0041)
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+10 1817
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0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3
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0,4
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评论
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n的二进制重量也称为n的汉明重量[术语“汉明重量”是以美国数学家理查德·卫斯利·汉明(1915-1998)的名字命名的-阿米拉姆·埃尔达尔,2021年6月16日]
要构造序列,请从0开始并使用规则:如果k>=0和a(0),a(1)。。。,a(2^k-1)是第一个2^k项,然后下一个2^k项是a(0)+1,a(1)+1。。。,a(2^k-1)+1-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日
分形序列的示例。也就是说,如果省略序列中的其他每个数字,就会得到原始序列。当然,这是可以重复的。所以如果你形成序列a(0*2^n),a(1*2^n),a。。。(对于任何整数n>0),您可以得到原始序列克里斯托弗。Hills(AT)sepura.co.uk,2003年5月14日
从a(0)=0开始,同态0->01、1->12、2->23、3->34、4->45等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年1月24日
a(n)是丢番图方程2^m*k+2^(m-1)+i=n的解的个数,其中m>=1,k>=0,0<=i<2^(m-1);a(5)=2,因为只有(m,k,i)=(1,2,0)[2^1*2+2^0+0=5]和(m,k,i)=(3,0,1)[2^3*0+2^2+1=5]是解-Hieronymus Fischer公司2006年1月31日
k的第一次出现,k>=0,是在a(2^k-1)处-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
序列由T^(无穷大)(0)给出,其中T是转换任何单词w=w(1)w(2)的运算符。。。w(m)转化为T(w)=w(1)(w(1。。。w(m)(w(m)+1)。即T(0)=01,T(01)=0112,T(0112)=01121223-贝诺伊特·克洛伊特2009年3月4日
对于n>=2,a(k(2^n-1))不是n的倍数的最小k是2^n+3-弗拉基米尔·舍维列夫,2009年6月5日
三角不等式:a(k+m)<=a(k)+a(m)。当且仅当C(k+m,m)为奇数时,等式成立-弗拉基米尔·舍维列夫2009年7月19日
序列的前2^n项中k值的出现次数等于二项式(n,k),也等于数组中k列的前n-k+1项之和A071919号例如,k=2,n=7:a(0)到a(2^7-1)中有21=二项式(7,2)=1+2+3+4+5+6 2Brent Spillner(Spillner(AT)acm.org),2010年9月1日,简化为R.J.马塔尔2017年1月13日
设m是n的组成部分列表中按字典顺序列出的部分数,a(k)=n-长度(组成部分(k))表示所有k<2^n和所有n(参见示例);A007895号给出了组成奇数部分的等价物-乔格·阿恩特2012年11月9日
只需将第k行(二进制权重等于k)从0累加到2^n-1,即可得到二项式系数C(n,k)。(请参见A007318号.)
0 1 3 7 15
0:O|.|..|…..||
1:|O|O.|O…|O|
2:||O|O。|O O O。哦|
3:|||O|O O O O|
4:||||O|
由于其分形性质,该序列非常有趣。
(结束)
n的二进制权重是n的数字和(基数b)的特殊情况-丹尼尔·福格斯2015年3月13日
前n项的平均值比[a(n+1),…,a(2n)]的平均值小1,这也是[a(n+2),……,a的平均值-基督教完美2015年4月2日
a(n)也是具有高架桥编号n的整数分区的最大部分。整数分区的高架桥编号定义如下。考虑整数分区的费雷尔斯板的东南边界,并考虑通过将每个东阶梯替换为1而每个北阶梯(最后一个除外)替换为0而获得的二进制数。根据定义,相应的十进制形式是给定整数分区的高架桥编号。“Viabin”是由“via binary”创造的。例如,考虑整数分区[2,2,2,1]。费雷尔板块的东南边界产量为10100辆,通往20号高架桥-Emeric Deutsch公司2017年7月20日
a(n)也称为n的二进制表示的人口数-柴华武2020年5月19日
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参考文献
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Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit,《自动序列》,剑桥大学出版社,2003年,第119页。
Donald E.Knuth,《计算机编程的艺术》,第4A卷,组合算法,第7.1.3节,问题41,第589页-N.J.A.斯隆2012年8月3日
曼弗雷德·施罗德,分形,混沌,幂律。W.H.弗里曼,1991年,第383页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Jean Coquet,数字和的幂和,《数论》,第22卷,第2期(1986年),第161-176页。
约瑟夫·埃什格瓦勒(Josef Eschgfäller)和安德烈亚·斯卡潘特(Andrea Scarpante),二分法随机数发生器,arXiv:1603.08500[math.CO],2016年。
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史蒂文·芬奇(Steven R.Finch)、帕斯卡·塞巴(Pascal Sebah)和柴乔·白(Zai-Qiao Bai),帕斯卡三角中的奇数项,arXiv:0802.2654[math.NT],2008年。
菲利普·弗拉乔莱特(Philippe Flajolet)、彼得·格拉布纳(Peter Grabner)、彼得·基申霍夫(Peter Kirschenhofer)、赫尔穆特·普罗丁格(Helmut Prodinger)和罗伯特·提希(Robert F.Tichy),梅林变换与渐近:数字和,理论。计算机科学。,第123卷,第2期(1994年),第291-314页。
P.J.Grabner、P.Kirschenhofer、H.Prodinger和R.F.Tichy,关于digits和函数的矩《斐波那契数的应用》,第5卷(圣安德鲁斯,1992年),克鲁沃学院。出版物。,多德雷赫特,1993年,263-271。
罗纳德·格雷厄姆,关于本原图和最优顶点分配,内部。混淆组合数学。(纽约,1970年),《纽约科学院年鉴》,第175卷,1970年,第170-186页。
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J.-L.Mauclaire和Leo Murata,关于q可加函数,程序。日本科学院。序列号。数学。科学。,第59卷,第6期(1983年),第274-276页。
J.-L.Mauclaire和Leo Murata,关于q可加函数,程序。日本科学院。序列号。数学。科学。,第59卷,第9期(1983年),第441-444页。
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Nanci Smith,问题B-82,光纤。夸脱。,第4卷,第4期(1966年),第374-375页。
J.R.Trollope,二进制数字和的显式表示,数学。《杂志》,第41卷,第1期(1968年),第21-25页。
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配方奶粉
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a(0)=0,a(2*n)=a(n),a(2*n+1)=a(n)+1。
a(0)=0,a(2^i)=1;否则,如果n=2^i+j且0<j<2^i,a(n)=a(j)+1。
G.f.:乘积{k>=0}(1+y*x^(2^k))=和{n>=0{y^a(n)*x^n-N.J.A.斯隆2009年6月4日
通用公式:(1/(1-x))*和{k>=0}x^(2^k)/(1+x^-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月19日
a(0)=0,a(n)=a(n-2^层(log2(n)))+1。示例:a(6)=a(6-2^2)+1=a(2)+1=a(2-2^1)+1=1=a(0)+2=2;a(101)=a(101-2^6)+1=a(37)+1=a(37-2^5)+2=a(5-2^2)+3=a(1-2^0)+4=a(0)+4=4;a(6275)=a(6275-2^12)+1=a(2179-2^11)+2=a(131-2^7)+3=a(3-2^1)+4=a(1-2^0)+5=5;a(4129)=a(4129-2^12)+1=a(33-2^5)+2=a(1-2^0)+3=3-Hieronymus Fischer公司2006年1月22日
映射0->01,1->12,2->23,3->34,4->45。。。当f(i)=楼层(n/2^i)时,a(n)是序列f(0)、f(1)、f-菲利普·德尔汉姆,2004年1月4日
让floor_pow4(n)表示n四舍五入到四的下一次幂,floor_pow(n)=4^floor(log4n)。则a(0)=0,a(1)=1,a(2)=1、a(3)=2,a(n)=a(楼层(n/floor_pow4(n)))+a(n%floor_pow4[n)]Stephen K.Touset(Stephen(AT)Touset.org),2007年4月4日
对于奇数m>=1,a((4^m-1)/3)=a((2^m+1)/3)+(m-1)/2(mod 2)-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月3日
a(n)-a(n-1)={1-a(n-1A007814号(n) =a(n-1),1当且仅当A007814号(n) =0,-1表示所有其他A007814号(n) }.-Brent Spillner(Spillner(AT)acm.org),2010年9月1日
a(n)=总和{j=1..m+1}(楼层(n/2^j+1/2)-楼层(n/2 ^j)),其中m=楼层(log_2(n))。
n的p进制表示中位数>=d的一般公式,其中1<=d<p:a(n)=Sum_{j=1..m+1}(floor(n/p^j+(p-d)/p)-floor(n/p^j)),其中m=floor(log_p(n));g.f.:g(x)=(1/(1-x))*和{j>=0}(x^(d*p^j)-x^。(结束)
和{n>=1}a(n)/2n(2n+1)=(伽马+对数(4/Pi))/2=A344716,其中gamma是Euler常数A001620号;参见Sondow 2005、2010和Allouche,Shallit,Sondow 2007-乔纳森·桑多2015年3月21日
对于任意整数基数b>=2,n的展开基数b的位数s_b(n)之和就是这个递推关系的解:如果n=0,则s_(n)=s_(b(n/b))+(n mod b)。因此,a(n)满足:如果n=0,a(n=0)=a(地板(n/2))+(n mod 2)。这很容易产生a(n)=Sum_{i=0..floor(log_2(n))}(floor(n/2^i)mod 2)。由此可以计算a(n)=n-和{i=1..floor(log_2(n))}floor(n/2^i)-马雷克·苏切内克2016年3月31日
a(m*(2^n-1))>=n。当2^n-1>时,等式成立=A000265号(m) ,但在其他一些情况下,例如a(11*(2^2-1))=2和a(19*(2*3-1))=3-蓬图斯·冯·布罗姆森2020年12月13日
G.f.:A(x)满足A(x)=(1+x)*A(x^2)+x/(1-x^2-阿克沙特·库马尔2023年11月4日
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例子
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使用公式a(n)=a(floor(n/floor_pow4(n)))+a(n mod floor_pow5(n)
a(4)=a(1)+a(0)=1,
a(8)=a(2)+a(0)=1,
a(13)=a(3)+a(1)=2+1=3,
a(23)=a(1)+a(7)=1+a(1”+a(3)=1+1+2=4。
0,
1,
1,2,
1,2,2,3,
1,2,2,3,2,3,3,4,
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,
1,2,2,3,2,3,...
以零件列表形式连接n的组成(见注释):
[#]:a(n)成分
[ 0]: [0] 1 1 1 1 1
[1]:[1]1 1 1 2
[ 2]: [1] 1 1 2 1
[ 3]: [2] 1 1 3
[ 4]: [1] 1 2 1 1
[ 5]: [2] 1 2 2
[ 6]: [2] 1 3 1
[ 7]: [3] 1 4
[ 8]: [1] 2 1 1 1
[ 9]: [2] 2 1 2
[10]: [2] 2 2 1
[11]: [3] 2 3
[12]: [2] 3 1 1
[13]: [3] 3 2
[14]: [3] 4 1
[15]: [4] 5
(结束)
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MAPLE公司
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A000120号:=proc(n)局部w,m,i;w:=0;m:=n;当m>0时,i:=m mod 2;w:=w+i;m:=(m-i)/2;od;w;末端:重量:=A000120号;
带(位):p:=n->ilog2(n-And(n,n-1)):seq(p(二项式(2*n,n)),n=0..200)#加里·德特利夫斯2019年1月27日
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数学
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表[DigitCount[n,2,1],{n,0,105}]
嵌套[扁平[#/.#->{#,#+1}]&,{0},7](*罗伯特·威尔逊v2011年9月27日*)
表[Plus@@IntegerDigits[n,2],{n,0,104}]
Log[2,Nest[Join[#,2#]&,{1},14]](*给出2^14项,卡洛斯·阿尔维斯2014年3月30日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,2*n-赋值((2*n)!,2))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,subst(Pol(binary(n),x,1))};
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,a(n \ 2)+n%2)}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/
(PARI)a(n)=我的(v=二进制(n));总和(i=1,#v,v[i])\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月24日
(PARI)a(n)=normal2(二进制(n))\\更好地使用{A000120号=hammingweight}-M.F.哈斯勒2012年10月9日,2020年2月27日编辑
(PARI)a(n)=重量(n)\\米歇尔·马库斯2013年10月19日
(Common Lisp)(defun floor to power(n pow)(declare(fixnum pow))(expt pow(floor(log n pow)))(defun使能位(n)(if(<n 4)(第n个n(list 0 1 1 2))(+(使能位(floor(/n(floor to power n 4)))))(使能位(mod n(floor to power n 4))))));Stephen K.Touset(Stephen(AT)Touset.org),2007年4月4日
(哈斯克尔)
导入数据。位(位,popCount)
a000120::(整数t,位t)=>t->Int
a000120=popCount
a000120_list=0:c[1]其中c(x:xs)=x:c(xs++[x,x+1])
--莱因哈德·祖姆凯勒,2013年8月26日,2012年2月19日,2011年6月16日,2010年3月7日
(哈斯克尔)
a000120=连接
其中r=[0]:(map.map)(+1)(scanl1(++)r)
(SageMath)
如果n<=1:返回整数(n)
(Python)
将numpy导入为np
(Python)#另请参阅链接。
(Scala)(0到127).map(Integer.bitCount(_))//阿隆索·德尔·阿特2019年3月5日
(岩浆)[多重性(Intseq(n,2),1):n in[0..104]]//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日
(岩浆)[&+Intseq(n,2):[0..104]]中的n//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日
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交叉参考
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以2-16为基数的n位数之和:此序列,A053735美元,A053737号,A053824号,A053827号,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, 4, 5, 6, 5, 6, 7, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 5, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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同态0->{0,1,2},1->{1,2,3},2->{2,3,4}等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
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链接
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弗拉基米尔·舍维列夫,紧整数和阶乘《阿里斯学报》。,第126卷,第3期(2007年),第195-236页(参见第205页)。
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配方奶粉
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a(0)=0,a(3n)=a(n),a(3n+1)=a(n)+1,a(3n+2)=a(n)+2。
a(n)=n-2*和{k>0}层(n/3^k)=n-2*A054861号(n) ●●●●。(结束)
一般来说,以b为基数的(n)的位数之和具有生成函数(求和{k>=0}(求和_0<=i<b}i*x^(i*b^k))/(求和_{i=0..b-1}x^-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年11月3日
G.f.满足G(x)=(x+2*x^2)/(1-x^3)+(1+x+x^2-罗伯特·伊斯雷尔2015年7月2日
a(0)=0;a(n)=a(n-3^层(log3(n)))+1-伊利亚·古特科夫斯基2019年8月23日
求和{n>=1}a(n)/(n*(n+1))=3*log(3)/2(Shallit,1984)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月3日
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例子
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a(20)=2+0+2=4,因为20被写为202基3。
0,
1,2,
1,2,3,2,3,4,
1,2,3,2,3,4,3,4,5,2,3,4,3,4,5,4,5,6,
1,2,3,2,3,4,3,4,5,2,3,4,3,4,5,4,5,6,3,4,5,4,5,6,5,6,7,2,3,4,3,4,5,4,5,6,3,...
G.f.=x+2*x^2+x^3+2*x^4+3*x^5+2*x^6+3*x^7+4*x^8+x^9+2*x*10+。。。
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MAPLE公司
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seq(convert(转换(n,base,3),`+`),n=0..100)#罗伯特·伊斯雷尔2015年7月2日
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数学
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表[Plus@@IntegerDigits[n,3],{n,0,100}](*或*)
嵌套[Join[#,#+1,#+2]&,{0},6](*罗伯特·威尔逊v2006年7月27日和2014年7月28日修订*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<1,0,a(n \ 3)+n%3)}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/
(PARI)A053735美元(n) =sumdigits(n,3)\\需要版本>=2.7。在旧版本中使用sum(i=1,#n=数字(n,3),n[i])-M.F.哈斯勒2016年3月15日
(哈斯克尔)
a053735=总和。a030341_低
(方案)(定义(A053735美元n) (let loop((n n)(s 0))(如果(0?n)s(let(d(mod n 3)))(loop(/(-n d)3)(+s d)));;适用于R6RS标准。在MIT/GNU方案等较旧的方案中使用modulo而不是mod-安蒂·卡图恩2017年6月3日
(岩浆)[&+Intseq(n,3):[0..104]]中的n//马吕斯·A·伯蒂2019年1月17日
(MATLAB)m=1;u=0:104;sol(m)=总和(dec2base(u,3)-'0');m=m+1;结束
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交叉参考
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以2-16为基数的n位数之和:A000120号,这个序列,A053737号,A053824号,A053827号,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.
相关的base-3序列:A006047号,230641英镑,A230642型,A230643型,A230853型,A230854型,A230855型,A230856型,A230639型,A230640型,A010063级(轨迹为1),A286585型,A286632型,A289813型,A289814型.
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关键词
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基础,非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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同态0->{0,1,2,3},1->{1,2,3,4},2->{2,3,5}等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
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链接
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史蒂夫·巴特勒和罗恩·格雷厄姆,使用订购的卡片进行洗牌,arXiv 1003:4422[数学.CO],2010年。
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配方奶粉
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a(0)=0,a(4n+i)=a(n)+i,对于0≤i≤3。
a(n)=n-3*Sum_{k>0}层(n/4^k)=n-3*A054893号(n) ●●●●。(结束)
a(0)=0;a(n)=a(n-4^层(log4(n)))+1-伊利亚·古特科夫斯基2019年8月23日
求和{n>=1}a(n)/(n*(n+1))=4*log(4)/3(Shallit,1984)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月3日
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例子
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a(20)=1+1+0=2,因为20以110为基数4写入。
0,
1,2,3,
1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,
1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8,6,7,8,9,
1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8,3,4,5,6,4,...
(结束)
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MAPLE公司
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加(d,d=换算(n,基数,4));
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数学
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表[Plus@@IntegerDigits[n,4],{n,0,100}](*或*)
嵌套[扁平[#1/.a_Integer->{a,a+1,a+2,a+3}]&,{0},4](*罗伯特·威尔逊v2006年7月27日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<1,0,如果(n%4,a(n-1)+1,a(n/4))
(PARI)a(n)=总和(n,4)\\米歇尔·马库斯,2019年8月24日
(哈斯克尔)
a053737 n=如果n==0,则0,否则a053737m+r,其中(m,r)=divMod n 4
(岩浆)[&+Intseq(n,4):[0..104]]中的n//马吕斯·A·伯蒂,2019年1月17日
(MATLAB),u=0:104;sol(u+1)=总和(dec2base(u,4)-'0');结束
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交叉参考
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以2-16为基数的n位数之和:A000120号,A053735美元,这个序列,A053824号,A053827号,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.
相关的base-4序列:A053737号,A230631型,A230632型,A010064型,A230633型,A230634型,230635英镑,A230636型,A230637型,A230638型,A010065型(轨迹为1)。
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关键词
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基础,非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9, 10, 7, 8, 9, 10, 11, 4, 5, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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同态0->{0,1,2,3,4},1->{1,2,3,4],2->{2,3,5,6}等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
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链接
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配方奶粉
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a(0)=0,a(5n+i)=a(n)+i,对于0≤i≤4;
a(n)=n-4*和{k>=1}层(n/5^k)=n-4*A027868号(n) ●●●●。(结束)
如果i>=2,则a(2^i)mod 4=0-华盛顿·邦菲姆2011年1月1日
a(0)=0;a(n)=a(n-5^层(log5(n)))+1-伊利亚·古特科夫斯基2019年8月23日
求和{n>=1}a(n)/(n*(n+1))=5*log(5)/4(Shallit,1984)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月3日
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例子
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a(20)=4+0=4,因为20在基数5中写成40。
这似乎可以写成三角形:
0,
1,2,3,4,
1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7,4,5,6,7,8,
1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7,4,5,6,7,8,5,6,7,8,9,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7,4,5,...
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数学
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表[Plus@@IntegerDigits[n,5],{n,0,100}](*或*)
嵌套[Flatten[#1/.a_Integer->表[a+i,{i,0,4}]&,{0},4](*罗伯特·威尔逊v,2006年7月27日*)
f[n_]:=n-4总和[下限[n/5^k],{k,n}];数组[f,103,0]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<1,0,如果(n%5,a(n-1)+1,a(n/5))
(PARI)a(n)=总和(n,5)\\米歇尔·马库斯2019年8月24日
(哈斯克尔)
a053824 0=0
a053824 x=a053824x'+d其中(x',d)=divMod x 5
(岩浆)[&+Intseq(n,5):[0..100]]中的n//马吕斯·A·伯蒂2019年8月24日
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交叉参考
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以2-16为基数的n位数之和:A000120号,A053735美元,A053737号,这个序列,A053827号,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 10
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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同态0->{0,1,2,3,4,5},1->{1,2,3,5,6},2->{2,3,4,5,6,7}等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
六个连续项的总和为(15,21,27,33,39,45;21,27:33,39,45,51;27,33:39,45,57;依此类推)-文森佐·利班迪2010年8月2日
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链接
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配方奶粉
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a(0)=0,a(6n+i)=a(n)+i,对于0≤i≤5。
a(n)=n-5*(和{k>0}层(n/6^k))=n-5*A054895号(n) ●●●●。(结束)
a(0)=0;a(n)=a(n-6^楼层(log_6(n)))+1-伊利亚·古特科夫斯基2019年8月23日
求和{n>=1}a(n)/(n*(n+1))=6*log(6)/5(Shallit,1984)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月3日
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例子
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a(20)=3+2=5,因为20写为32的基数6。
这似乎可以写成三角形:
0,
1,2,3,4,5,
1,2,3,4,5,6,2,3,4,5,6,7,3,4,5,6,7,8,4,5,6,7,8,9,5,6,7,8,9,10,
1,2,3,4,5,6,2,3,4,5,6,7,3,4,5,6,7,8,4,5,6,7,8,9,5,6,7,8,9,10,6,7,8,9,10,11,2...
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数学
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表[Plus@@IntegerDigits[n,6],{n,0,100}](*或*)
嵌套[Flatten[#1/.a_Integer->表[a+i,{i,0,5}]&,{0},4](*罗伯特·威尔逊v2006年7月27日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<1,0,如果(n%6,a(n-1)+1,a(n/6))
(PARI)a(n)=总和(n,6)\\米歇尔·马库斯2019年8月24日
(岩浆)[&+Intseq(n,6):n在[0..105]]中//马吕斯·A·伯蒂2019年8月24日
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交叉参考
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以2-16为基数的n位数之和:A000120号,A053735美元,A053737号,A053824号,这个序列,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.
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关键词
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基础,非n
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作者
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状态
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已批准
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A138530号
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| 行读取的三角形:T(n,k)=以k表示的n的位数之和,1<=k<=n。 |
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+10 23
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1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 1, 6, 2, 2, 3, 2, 1, 7, 3, 3, 4, 3, 2, 1, 8, 1, 4, 2, 4, 3, 2, 1, 9, 2, 1, 3, 5, 4, 3, 2, 1, 10, 2, 2, 4, 2, 5, 4, 3, 2, 1, 11, 3, 3, 5, 3, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 12, 2, 2, 3, 4, 2, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 13, 3, 3, 4, 5, 3, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 14, 3, 4, 5, 6, 4, 2, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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例子
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以k为基数表示的n的三角形起点:
......................1
....................11....10
......... ........111…11…10
................1111...100...11..10
..............11111...101...12..11..10
……111111…110…20…12…11…10
..........1111111...111...21..13..12..11..10
........11111111..1000...22..20..13..12..11..10
......111111111..1001..100..21..14..13..12..11..10
....1111111111..1010..101..22..20..14..13..12..11..10
..11111111111..1011..102..23..21..15..14..13..12..11..10
111111111111..1100..110..30..22..20..15..14..13..12..11..10,
数字和的三角形开始于:
......................1
.....................2...1
......... ..........3...2...1
...................4...1...2...1
..................5...2...3...2...1
.................6...2...2...3...2...1
................7...3...3...4...3...2...1
...............8...1...4...2...4...3...2...1
..............9...2...1...3...5...4...3...2...1
............10...2...2...4...2...5...4...3...2...1
...........11...3...3...5...3...6...5...4...3...2...1
……..12…2…2…3…4…2…6…5…4…3…2…1。
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数学
|
T[n_,k_]:=如果[k==1,n,总计[Integer Digits[n,k]]];
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a138530 n k=a138530_tabl!!(n-1)!!(k-1)
a138530_row n=a138530-tabl!!(n-1)
a138530_tabl=zipWith(map.flip q)[1..]a002260_tabl其中
q 1 n=n
q b n=如果n<b,则n否则q b n’+d,其中(n’,d)=divMod n b
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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同态0->{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},1->{1,2,3,4],5,7,8,9,10,11},2->{2,3,5,6,7,8,10,11,12}等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
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链接
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配方奶粉
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对于0≤i≤10,a(0)=0,a(11n+i)=a(n)+i。
a(n)=n-(m-1)*(和{k>0}层(n/m^k)*A064458号(n) ●●●●。(结束)
求和{n>=1}a(n)/(n*(n+1))=11*log(11)/10(Shallit,1984)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月3日
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例子
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a(20)=1+9=10,因为20是以19为基数11写的。
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数学
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表[Plus@@IntegerDigits[n,11],{n,0,86}](*或*)
嵌套[Flatten[#1/.a_Integer->表[a+i,{i,0,10}]&,{0},2](*罗伯特·威尔逊v2006年7月27日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<1,0,if(n%11,a(n-1)+1,a(n/11))
(C) int Base11DigitSum(int n){
int计数=0;
while(n!=0){count+=n%11;n=n/11;}
返回计数;
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交叉参考
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以2-16为基数的n位数之和:A000120号,A053735美元,A053737号,A053824号,A053827号,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,这个序列,A053832美元,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.
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关键词
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基础,非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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A216789号
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| 反对偶读取的表:T(n,k)是以n为基数的k的数字和,以十进制显示。 |
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+10 5
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0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 1, 3, 3, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 4, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 4, 3, 2, 3
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,9
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评论
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T(n,k)是n的最小幂加起来等于k的次数-亚辛2022年11月12日
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链接
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例子
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A000120号0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2
A053735美元0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 2
A053737号0, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3
A053824号0、1、2、3、4、1、2、3、4、5、2、3、4、5、6、3、4、5、6
A053827号0, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 3
A053828号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 5, 6
A053829号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 2, 3, 4
A053830号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2
A007953号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
A053831号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
A053832号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
A053833号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, 5, 6
A053834号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1, 2, 3, 4, 5
A053835号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 2, 3, 4
A053836号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 2, 3
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MAPLE公司
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[seq(seq(转换(转换(n-b,基数,b),`+`),b=n..2,-1),n=1..15)]#罗伯特·伊斯雷尔2020年8月2日
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数学
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数字总和[n_,b_:10]:=总数[Integer Digits[n,b]];表[数字总和[n-b,b],{n,2,13},{b,n,2
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000120号,A053735美元,A053737号,A053824号,A053827号,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,16
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评论
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链接
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
导入数据。IntMap(空,findWithDefault,插入)
a263110 n=a263110_列表!!(n-1)
a263110_list=f 1空,其中
f x m=y:f(x+1)(插入q(y+1)m),其中
y=findWithDefault 1 q m;q个=a053836号x个
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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已批准
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,33
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链接
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配方奶粉
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重复周期:
a(n)=a(楼层(n/16))+楼层(n/106)。
a(16*n)=a(n)+n。
a(n*16^m)=a(n)+n*(16^m-1)/15。
a(k*16^m)=k*(16^m-1)/15,对于0<=k<16,m>=0。
渐进行为:
a(n)=n/15+O(对数(n))。
a(n+1)-a(n)=O(log(n))(这是根据下面的不等式得出的)。
a(n)<=(n-1)/15;16的权力是平等的。
a(n)>=(n-15)/15-楼层(log_16(n));等式适用于n=16^m-1,m>0。
限制:
lim-inf(n/15-a(n))=1/15,对于n-->oo。
lim-sup(n/15-log_16(n)-a(n))=0,对于n-->oo。
lim-sup(a(n+1)-a(n)-log_16(n))=0,对于n-->oo。
系列:
通用公式:(1/(1-x))*和{k>0}x^(16^k)/(1-x^。(结束)
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数学
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a[n_,m_]:=如果[n==0,0,a[楼层[n/m],m]+楼层[n/m]];
表[a[n,16],{n,0,127}](*G.C.格鲁贝尔,2023年4月28日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)
m: =16;
如果n等于0,则返回0;
否则返回a(楼层(n/m))+楼层(n/m);
结束条件:;端函数;
(SageMath)
定义a(n):如果(n==0)else a(n//m)+(n//m),则返回0
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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已批准
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