搜索： a053755-编号：a0537五十五
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5, 7, 17, 23, 37, 47, 65, 79, 101, 119, 145, 167, 197, 223, 257, 287, 325, 359, 401, 439, 485, 527, 577, 623, 677, 727, 785, 839, 901, 959, 1025, 1087, 1157, 1223, 1297, 1367, 1445, 1519, 1601, 1679, 1765, 1847, 1937, 2023, 2117, 2207, 2305, 2399, 2501
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,1
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评论
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这个序列的元素满足这样一个性质：对于每一个n=2k，三元组（a（2k-1）^2，a（2k）^2、a（2k+1）^2）是一个算术级数，即2*a（2k）^2=a（2k-1）^2+a（2k+1）^2。一般来说，三元组（（x-y）^2，z^2，（x+y）^ 2）是算术级数，当且仅当x^2+y^2=z^2时：在这个序列7^2，17^2和23^2是这样的三元组的情况下（即15-8=7，17，8+15=23，8^2+15^2=17^2）。
这种序列的第一个差异总是交织序列；在这种情况下，交织序列是2,10,6,14,10，。。。(A142954号).
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链接
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配方奶粉
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a（n）=2*a（n-1）-2*a（n-3）+a（n-4）。
通用格式：（x^3-3*x^2+3*x-5）/（（x-1）^3*（x+1））。
a（n）=（2*n*（n+4）+3*（-1）^n+7）/2。
2*a（2n）^2=a（2n-1）^2+a（2n+1）^2。
例如：（5+5*x+x ^2）*余弦（x）+（2+5*x+x ^ 2）*正弦（x）-斯特凡诺·斯佩齐亚2024年2月22日
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例子
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对于n=7，a（7）=2*a（6）-2*a（4）+a（3）=2*65-2*37+23=79
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MAPLE公司
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seq（系数（系列（（x^3-3*x^2+3*x-5）/（（x-1）^3*（x+1）），x，n+1），x，n），n=0。。50); #穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月26日
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数学
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线性递归[{2，0，-2，1}，{5，7，17，23}，50](*哈维·P·戴尔2018年4月2日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[5，7，17，23]；[n le 4选择I[n]else 2*Self（n-1）-2*Self-（n-3）+Self：n in[1..75]]；
（最大值）A214345型（n） ：=（2*n*（n+4）+3*（-1）^n+7）/2$
（间隙）a:=[7，17]；；对于[3..50]中的n，做a[n]：=4*（n+1）+a[n-2]；od；级联（[5]，a）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 11, 70, 225, 524, 1015, 1746, 2765, 4120, 5859, 8030, 10681, 13860, 17615, 21994, 27045, 32816, 39355, 46710, 54929, 64060, 74151, 85250, 97405, 110664, 125075, 140686, 157545, 175700, 195199, 216090, 238421, 262240, 287595, 314534, 343105
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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对于方程y^2=x^3+k的许多k值，所有的解都是已知的。例如，我们有k=-2:（x，y）=（3，-5）和（3,5）的解。所有整数k的完整分辨率未知。定理：设k≤-1，无平方因子，k==2或3（mod 4）。假设类的数量h（Q（sqrt（k））不能被3整除。那么方程y^2=x^3+k承认整数解当且仅当k=1-3a^2或1-3a^2，其中a是整数。在这种情况下，解是x=a^2-k，y=a（a^2+3k）或-a（a^2+3k）（第一个参考文献给出了这个定理的证明）。通过k=-1-3a^2，我们得到了解x=4a^2+1，y=a（8a^2+3）或-a（8a*2+3”）。对于k=1-3a^2的情况，我们得到了序列给出的解x=4a^2-1A000466号.
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参考文献
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T.Apostol，《解析数论导论》，施普林格出版社，1976年
D.Duverney，《命名之道》（2e版），Dunod，2007年，第151页
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链接
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W.J.Ellison、F.Ellion、J.Pesek、C.E.Stall和D.S.Stall，丢番图方程y^2+k=x^3，J.数论4（1972），107-117。
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配方奶粉
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y=a*（8*a^2+3）。
a（n）=8*n ^3-24*n ^2+27*n-11。
通用格式：x^2*（11+26*x+11*x^2）/（1-x）^4。（结束）
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）-文森佐·利班迪2012年7月2日
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例子
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其中a=3，x=37，y=225，然后225^2=37^2-28。
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MAPLE公司
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对于0到150之间的a，do:z:=evalf（a*（8*a^2+3））：打印（z）：od：
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数学
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系数列表[级数[x*（11+26*x+11*x^2）/（1-x）^4，{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2012年7月2日*）
线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，11，70，225}，40](*哈维·P·戴尔2016年12月21日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[0,11,70225]；[n le 4选择I[n]else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）+4*自我（n-3）-自我（n-4）：[1..40]]中的n//文森佐·利班迪2012年7月2日
（Python）对于范围（1，20）中的n：print（8*n**3-24*n**2+27*n-11，end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月5日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 1, 4, 5, 10, 9, 16, 17, 26, 25, 36, 37, 50, 49, 64, 65, 82, 81, 100, 101, 122, 121, 144, 145, 170, 169, 196, 197, 226, 225, 256, 257, 290, 289, 324, 325, 362, 361, 400, 401, 442, 441, 484, 485, 530, 529, 576, 577, 626, 625, 676, 677, 730, 729, 784
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x*（1+x-2*x^2+2*x^3+x^4+x^5）/（（1-x）^3*（1++x）^2*（1+x^2））。
当n>6时，a（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-3）+a。
（结束）
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数学
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压扁[表[{4n^2，4n^2+1，（2n+1）^2+1、（2n+1）^2}，{n，0，20}]]（*或*）线性递归[{1，1，-1，-1，1}，0,1，4,5,10}，80](*哈维·P·戴尔2016年3月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）连接（0，Vec（x*（1+x-2*x^2+2*x^3+x^4+x^5）/（（1-x）^3*（1+x）^2*（1+/x^2））+O（x^60））\\科林·巴克2018年4月1日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A002378号
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| Oblong（或promic、pronic或hetomic）数：a（n）=n*（n+1）。
（原名M1581 N0616）
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+10
770
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0、2、6、12、20、30、42、56、72、90、110、132、156、182、210、240、272、306、342、380、420、462、506、552、600、650、702、756、812、870、930、992、1056、1122、1190、1260、1332、1406、1482、1560、1640、1722、1806、1892、1980、2070、2162、2256、2352、2450、2550
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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根据韦伯斯特第二版，正确的单词是“promic”-R.K.盖伊
a（n）是根晶格a_n中的最小向量数（见Conway和Sloane，第109页）。
对于j<k<=n，对于n>1，所有对（j，k）的最大LCM-罗伯特·威尔逊v2004年6月19日
第一个差异是a（n+1）-a（n）=2*n+2=2，4，6。。。（而平方的第一个差是（n+1）^2-n^2=2*n+1=1，3，5，…）-亚历山大·瓦恩伯格，2005年12月29日
快速（心理）乘法/因式分解技术——Lekraj Beedassy评论的推广：对于所有基b>=2和正整数n，c，d，k，c+d=b^k，我们有（n*b^k+c）*（n*b ^k+d）=A（n）*b^（2*k）+c*d。因此乘积的最后2*k个基-b数字正好是c*d的数字，包括前导0（s）根据需要--前面的以b为基数的数字与a（n）的数字相同。示例：十进制中，113*117=13221（n=11，b=10=3+7，k=1，3*7=21，a（11）=132）；在八进制中，61×67=5207（52是八进制中的a（6））。特别是，对于偶数b=2*m（m>0）和c=d=m，这样的乘积就是这种类型的平方。小数因式分解：5609立即被视为71*79。同样，120099=301*399（此处k=2）和99990000001996=9999002*9999998（k=3）-里克·L·谢泼德2021年7月24日
迭代平方根sqrt序列（N+sqrt（N+…））对于N=1,2。。。限制（1+sqrt（1+4*N））/2。对于N=a（N），该极限为N+1，N=1，2。。。。对于所有其他数字N，N>=1，此极限不是自然数。示例：n=1，a（1）=2:sqrt（2+sqrt…））=1+1=2；n=2，a（2）=6:sqrt（6+sqrt，6+…））=1+2=3-沃尔夫迪特·朗2006年5月5日
可被上限（sqrt（m））整除的非方形整数m，m=0除外-马克斯·阿列克塞耶夫2006年11月27日
（n+1）X（n+1”）矩阵的非对角元素数-阿图尔·贾辛斯基2007年1月11日
a（n）等于函数f:{1，2}->{1，2，…，n+1}的个数，因此对于{1，2]中的固定x和{1，2中，…，n+1}中的一个固定y，我们有f（x）<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月13日
数字m>=0，使fract（sqrt（m+1））>1/2，fract（mqrt（m））<1/2，其中fract（x）是分数部分（fract（x）=x-floor（x），x>=0）-Hieronymus Fischer公司2007年8月6日
方程4*X^3+X^2=Y^2的解的X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（2n+1）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=2，a（n-2）是X的2个子集和3个子集的数量，它们正好有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年12月28日
a（n）与Redheffer矩阵中指向零的偶数宽度的抛物线的顶点重合。整数p是素数当且仅当对于所有整数k，抛物线y=kx-x^2在y=p时没有1<x<k的整数解；a（n）对应奇数k-莱库·库隆2008年11月30日
超几何函数3F2某些值的第三个差导致长圆数的平方，即3F2（[1，n+1，n+1），[n+2，n+2]，z=1）-3*3F2 1/（（n+2）*（n+3））^2表示n=-1， 0, 1, 2, ... . 另请参阅A162990型. -约翰内斯·梅耶尔2009年7月21日
对于n>1，a（n）是函数f:{1，2}->{1，…，n+2}的数目，其中f（1）>1和f（2）>2。注意，f（1）有n+1个可能值，f（2）有n个可能值。例如，a（3）=12，因为有12个函数f从{1,2}到{1,2,3,4,5}，其中f（1）>1和f（2）>2-丹尼斯·沃尔什2011年12月24日
a（n）给出了包含两个1的对称（0，1）-矩阵（n+1）X（n+1）的个数（参见[Cameron]）-L.埃德森·杰弗里2012年2月18日
a（n）是[n+2]x[n+2]中具有x-y>1的有序对（x，y）的数量-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是从{1，2}到{1，2，…，n+1}的内射函数数-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是2n+2的分区部分的正差之和，正好分成两部分（参见示例）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
a（n）/a（n-1）对e^（2/n）是渐近的-理查德·福伯格2013年6月22日
D_{n+1}型根系中的正根数（对于n>2）-汤姆·埃德加2013年11月5日
A_n型根系统中的根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>=1，a（m）是唯一的正整数值t，对于该正整数值，b（0）=0且b（1）=1的递归b（n）=b（n-1）+t*b（n-2）的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证明（根据建议沃尔夫迪特·朗（2014年3月26日）：如果4t+1=（2m+1）^2，即t=a（m），m>=1，则出现在特征方程的零点r1和r2中的sqrt（1+4t）是正整数t的（正）整数。因此，特征根是整数：r1=m+1和r2=-m。
设m>1是一个整数。如果b（n）=b（n-1）+a（m）*b（n-2），n>=2，b（0）=0，b（1）=1，那么当n接近无穷大时，lim b（n+1）/b（n）=m+1。（结束）
囊性纤维变性。A130534型对于与着色森林的关系，旗杆上旗帜的配置，以及完整图（这里简称K_2）顶点的着色（色多项式）-汤姆·科普兰2014年4月5日
整数n的集合，其中n+sqrt（n+squart（n+sqrt）（n+sqlt（n+…）。。。是一个整数-莱斯利·科勒2014年4月11日
a（n-1）是最大的数字k，使得（n*k）/（n+k）是整数-德里克·奥尔2014年5月22日
将domino和singleton放置在长度为n-2的条带上的方法的数量-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月9日
对于n>1，n个值a（1）至a（n）的谐波平均值为n+1。累加调和平均数为整数的递增正整数的最小无限序列-伊恩·达夫2015年2月1日
a（n）是在[n+2]X[n+2]棋盘上，一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手颜色的皇后的最大数量。唯一的王后可以放置在棋盘周边的任何位置-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
当a（0）=1时，a（n-1）是序列中最小的正数，使得和{i=1..n}1/a（i-1）的分母等于n-德里克·奥尔2015年6月17日
这个序列的正成员是所谓的1-幸福夫妇产品的适当子序列A007969号参见W.Lang链接，等式（4），Y_0=1，末尾有一个表格-沃尔夫迪特·朗2015年9月19日
对于n>0，a（n）是区间[0，1]中x的上边界为y=x^（n-1），下边界为y=x^n的面积的倒数。对所有这些面积求和直观地演示了下面的公式，即求和{n>=1}1/a（n）=1-里克·L·谢泼德2015年10月26日
看起来，除了a（0）=0之外，这是一组正整数n，因此x*floor（x）=n没有解。（例如，要得到3，取x=-3/2。）-梅尔文·佩拉尔塔2016年4月14日
如果两个独立的实随机变量x和y按照相同的指数分布进行分布：pdf（x）=lambda*exp（-lambda*x），lambda>0，则n-1<=x/y<n的概率由1/a（n）给出-安德烈斯·西卡廷2016年12月3日
a（n）等于n对不同的连续奇数之间所有可能的差异之和（参见示例）-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
a（n+1）是平面上多项式系数高达n阶的向量场空间的维数-马丁·利希特2016年12月4日
此外，（n+3）-三角形蜂窝状锐角骑士图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因2017年7月27日
由偶数组成的弗洛伊德三角形的左边缘：0；2, 4; 6, 8, 10; 12, 14, 16, 18; 20, 22, 24, 26, 28; ... 给出0、2、6、12、20。。。右边缘生成A028552号. -Waldemar Puszkarz公司2018年2月2日
a（n+1）是偏序集上的行运动顺序，通过将唯一的最小（或最大）元素与至少两个n个元素链的不相交并邻接而获得-尼克·迈尔斯，2018年6月1日
对于n>0，1/a（n）=n/（n+1）-（n-1）/n。
例如，1/6=2/3-1/2；1/12 = 3/4 - 2/3.
由此推论：
服用1/2粒。
第二天，服用1/6粒。1/2+1/6=2/3，所以你的日平均值是1/3。
第二天，服用1/12粒药丸。2/3+1/12=3/4，所以你的日平均值是1/4。
依此类推。（结束）
对于一个长方形数m>=6，存在一个欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序以公共整数比b进行几何级数。对于b>=2和q>=1，欧几里得除法为m=qb*（qb+1）=qb^2*q+qb，其中（q，qb，qb^2）是几何级数。
具有不同比率和商的一些示例：
6 | 4 30 | 25 42 | 18
----- ----- -----
2 | 1 , 5 | 1 , 6 | 2 ,
以及：
42 | 12 420 | 100
----- -----
6 | 3 , 20 | 4 .
一些长方形数也满足欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序进行几何级数，但具有共同的非整数比b>1（参见A335064型). （结束）
a（n-2）是所有具有n个顶点的树上的最大不规则性。极值图是恒星。（图形的不规则性是图形所有边上度数差的总和。）-艾伦·比克2023年5月29日
a（n-1）是具有n个顶点的所有树的最大萨格勒布指数。极值图是恒星。（图的萨格勒布指数是图的所有顶点上度数的平方和。）-艾伦·比克2024年4月11日
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参考文献
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J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，1996年，第34页。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag。
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L.E.Dickson，《数字理论史》，第2卷：丢番图分析。纽约：切尔西，第6、232-233、350和407页，1952年。
H.Eves，《数学史导论》，修订版，霍尔特、莱茵哈特和温斯顿，1964年，第72页。
杰拉萨的尼科马科斯，《算术导论》，马丁·路德·多吉译，安娜堡，密歇根大学出版社，1938年，第254页。
Granino A.Korn和Theresa M.Korn，《科学家和工程师数学手册》，McGraw-Hill图书公司，纽约（1968年），第980-981页。
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
F.J.Swetz，《从五指到无限》，公开法庭，1994年，第219页。
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链接
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Lee Melvin Peralta，方程[x]x=n的解，《数学教师》，第111卷，第2期（2017年10月），第150-154页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014-2015。
J.Striker和N.Williams，促销和Rowmotion，arXiv预印本arXiv:1108.1172[math.CO]，2011-2012。
D.Suprijanto和Rusliansyah，关于四除整数幂和的观察，《应用数学科学》，2014年第8卷，第45期，2219-2226。
R.Tijdeman，丢番图逼近的一些应用《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。
Wolfram研究公司，超几何函数3F2，Wolfram Functions网站。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=a（n-1）+2*n，a（0）=0。
和{n>=1}a（n）=n*（n+1）*（n+2）/3（比较。A007290号，部分总和）。
和{n>=1}1/a（n）=1。（参考蒂德曼）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=log（4）-1=A016627号-1[乔利方程（235）]。
1=1/2+和{n>=1}1/[2*a（n）]=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60+。。。部分和：1/2、3/4、5/6、7/8、9/10、11/12、13/14-加里·亚当森2003年6月16日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+2））；例如a（3）*a（4）=12*20=240=a（3*5）-查理·马里恩2003年12月29日
和{k=1..n}1/a（k）=n/（n+1）-罗伯特·威尔逊v2005年2月4日
对数2=和{n>=0}1/a（2n+1）=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+…=(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ... = 和{n>=0}（-1）^n/（n+1）=A002162号. -加里·亚当森2003年6月22日
（2，6，12，20，30，…）=（2，4，2）的二项式变换-加里·亚当森2007年11月28日
a（n-1）=楼层（n^5/（n^3+n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月11日
对于n>0，a（n）=1/（积分{x=0..Pi/2}2*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
求和{n>=1}1/（a（n））^（2s）=求和{t=1..2*s}二项式（4*s-t-1，2*s-1）*（（1+（-1）^t）*zeta（t）-1）。参见Arxiv:1301.6293-R.J.马塔尔2013年2月3日
a（n）^2+a（n+1）^2=2*a（（n+1）^2），对于n>0-伊万·伊纳基耶夫2013年4月8日
a（n）=楼层（n^2*e^（1/n））和a（n-1）=楼层-理查德·福伯格2013年6月22日
[0,2,2,0,0,0，…]的二项式变换-阿洛伊斯·海因茨2015年3月10日
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..1}（x^（n-1）-x^n）dx）-里克·L·谢泼德2015年10月26日
对于n>0，a（n）=Lim_{m->infinity}（1/m）*1/（Sum_{i，m*n..m*（n+1）}1/i^2），误差约为1/m-理查德·福伯格2016年7月27日
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）+zeta（s-1）。
和{n>=0}a（n）/n！=3*exp（1）。（结束）
a（n）*a（n+2k-1）+（n+k）^2=（（2n+1）*k+n^2）^2。
a（n）*a（n+2k）+k^2=（（2n+1）*k+a（n））^2。（结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月20日
2003年12月29日公式A（n）*A（n+1）=A（n*（n+2））的推广如下。a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k+1））+（k-1）*n*（n+k+1）-查理·马里恩2023年1月2日
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例子
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a（3）=12，因为2（3）+2=8有4个分区，正好有两部分：（7,1），（6,2），（5,3），（4,4）。将每个分区中各部分的正差异相加，得到：6+4+2+0=12-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
G.f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+。。。
a（1）=2，因为45-43=2
a（2）=6，因为47-45=2和47-43=4，那么2+4=6
a（3）=12，因为49-47=2，49-45=4，49-43=6，然后2+4+6=12-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
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MAPLE公司
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n*（n+1）；
结束进程：
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数学
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表[n（n+1），{n，0，50}](*罗伯特·威尔逊v，2004年6月19日*）
长方形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[4 n+1]；选择[范围[0，2600]，长方形Q](*罗伯特·威尔逊v2011年9月29日*）
2累计[范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年11月11日*）
线性递归[{3，-3，1}，{2，6，12}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（n+1）}；
（PARI）concat（0，Vec（2*x/（1-x）^3+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月26日
（PARI）是（n）=我的（m=平方（n））；m*（m+1）==n\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年11月1日
（哈斯克尔）
a002378 n=n*（n+1）
a002378_list=zipWith（*）[0..][1..]
（岩浆）[0..100]]中的[n*（n+1）:n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月26日
（标量）（2到100乘2）.scanLeft（0）（_+_）//阿隆索·德尔·阿特2019年9月12日
（Python）
定义a（n）：返回n*（n+1）
打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年1月13日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A035106型,A087811号,A119462年,A127235号,A049598号,A124080型,A033996号,A028896号,A046092号,A000217号,A005563号,A046092号,A001082号,A059300型,A059297号,A059298号,A166373号,A002943号（二等分），A002939号（二等分），A078358号（补语）。
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, 122, 145, 170, 197, 226, 257, 290, 325, 362, 401, 442, 485, 530, 577, 626, 677, 730, 785, 842, 901, 962, 1025, 1090, 1157, 1226, 1297, 1370, 1445, 1522, 1601, 1682, 1765, 1850, 1937, 2026, 2117, 2210, 2305, 2402, 2501
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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n X n非负矩阵A是本原矩阵（参见A070322号)如果A^k的每个元素对于某个幂k都是>0。如果A是本原的，那么应该具有所有正项的幂是<=n^2-2n+2（Wielandt）。
a（n）=Phi_4（n），其中Phi_k是第k个分圆多项式。
由于x=2n+1/x的正解是x=n+sqrt（a（n）），sqrt的连分式展开式是{n；2n，2n，2-n，…}-Benoit Cloitre公司2001年12月7日
a（n）比它的邻居的算术平均值少一个：a（n）=（a（n-1）+a（n+1））/2-1。例如，2=（1+5）/2-1，5=（2+10）/2-1-阿玛纳斯·穆尔西2003年7月29日
等价地，sqrt（a（n））的连分式展开式为（n；2n，2n，…）-弗兰兹·弗拉贝克2006年1月23日
超八面体群中避免符号置换的{12,1*2*，21}个数。
从n×n网格的一个角开始，不需要抬起铅笔就可以画出边1的正方形数是n^2-2n+2-塞巴斯蒂安·杜莫蒂埃2005年6月16日
此外，数字m使m^3-m^2是一个正方形，（n*（1+n^2））^2-扎克·塞多夫
对于n>=1，a（n-1）是n个集合中的最小选择数，即至少有一个特定元素被选择了n次或n个元素中的每个元素被选择至少一次。一些游戏这样定义“比赛”；例如，在经典的帕克兄弟（Parker Brothers）（现为孩之宝（Hasbro））棋盘游戏风险中，a（2）=5是三种可用类型（套牌）的牌数，需要保证至少一张三种不同类型或三种相同类型的牌匹配（忽略任何小丑或通配符）-里克·L·谢泼德2007年11月18日
方程X^3+（X-1）^2+X-2=Y^2的解的正X值。为了证明X=n^2+1:Y^2=X^3+-穆罕默德·布哈米达2007年11月29日
对于n>0，连分式[n，n]=n/a（n）；例如，[5,5]=5/26-加里·亚当森2010年7月15日
对于m=2*n，p=p（n）=-（sqrt（A（n））-n）和A=A（n）=（fallfac（p（n（x，k）：=产品{j=0..k-1}（x-j）（下降阶乘）。见T.Koshy参考文献，第263-4页（正p也有两种解决方案，见A087475型)-沃尔夫迪特·朗2010年10月21日
n+sqrt（a（n））=[2*n；2*n，2*n…]，带周期1的正则连分式。这是两败俱伤。对于一般情况，请参见A087475型和施罗德的参考和评论。有关奇数情况，请参见A078370型.
a（n-1）计算2 X n条带上非攻击主教的配置[Chaiken等人，Ann.Combin.14（2010）419]-R.J.马塔尔2011年6月16日
如果h（5,17,37,65101，…）是素数，则h^2-1可以被24整除-文森佐·利班迪2014年4月14日
a（n）也是在经典意义上同时避免213和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见2004年2月有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
a（n-1）是Gale-Shapley算法中的最大阶段数，用于在给定每个元素偏好顺序的两组n个元素之间找到稳定匹配（参见Gura等人）-梅尔文·佩拉尔塔2016年2月7日
由于费马的小定理，a（n）永远不能被3整除-阿尔图·阿尔坎2016年4月8日
对于n>0，如果一个（n）点位于一个n X n正方形内，则通常情况下，至少有两个点之间的距离小于或等于sqrt（2）个单位-梅尔文·佩拉尔塔2017年1月21日
此外，在进行简化k=n后，单峰多项式（1-q^（n*k+1））/（1-q）的极限为q->1^-。单峰多项式来自O’Hara对大小<=1的分区进行限制后的q-二元多项式的单峰性的证明。参见arXiv:1711.11252中的G_1（n，k）。随着尺寸限制s的增加，G_s->G_infinity=G：q-多项式。然后代入k=n和q=1得出中心二项式系数：A000984号. -布莱恩·T·埃克2018年4月11日
a（n）是1,2，…，的置换数，。。。，n+1，只有一个简化分解-施瑞德2022年12月22日
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参考文献
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S.J.Cyvin和I.Gutman，《苯系烃中的Kekulé结构》，《化学讲义》，第46期，施普林格，纽约，1988年（见第120页）。
E.Gura和M.Maschler，《博弈论的洞察力：另类数学经验》，剑桥，2008年；第26页。
托马斯·科西（Thomas Koshy），《斐波纳契和卢卡斯数及其应用》（Fibonacci and Lucas Numbers with Applications），约翰·威利父子公司（John Wiley and Sons），纽约，2001年。
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链接
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S.Chaiken等人。，矩形地带的无攻击皇后区，arXiv:1105.5087[math.CO]，2011年。
C.Homberger和V.Vatter，多项式置换类的有效自动计数，arXiv:1308.4946[math.CO]，2013年。
L.B.W.Jolley，级数求和，多佛，1961年，第176页。
T.Mansour和J.West，避免双字母签名模式，arXiv:math/0207204[math.CO]，2002年。
莱因哈德·祖姆凯勒（Reinhard Zumkeller），除数的枚举
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配方奶粉
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出生日期：（1-x+2*x^2）/（1-x）^3）-埃里克·沃利2011年6月27日
形式为a（n）=n^2+K且偏移量为0的序列具有o.g.f.（K-2*K*x+K*x^2+x+x^2）/（1-x）^3和递归a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a*（n-3）-R.J.马塔尔2008年4月28日
对于n>1，a（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-2）^2+（a（n+）+n-1+a（n+n）+n）^2=（n+1）*（6*n^4+18*n^3+26*n^2+19*n+6）/6=（a（n-）+n）^2+…+（a（n）+2*n）^2-查理·马里恩2011年1月10日
a（n）＝2*a（n-1）-a（n-2）+2。
a（n）=a（n-1）+2*n-1。（结束）
a（n）=（n-1）^2+2（n-1-杰森·金伯利2011年10月20日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+1。更一般地说，a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k）+1）+k^2-1-乔恩·佩里2012年8月1日
a（n）=（n！）^2*[x^n]BesselI（0，2*sqrt（x））*（1+x）-彼得·卢什尼2012年8月25日
例如：exp（x）*（1+x+x^2）-杰弗里·克雷策2013年8月30日
产品{n>=0}（1+1/a（n））=sqrt（2）*csch（Pi）*sinh（sqrt）*Pi）。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=Pi*csch（Pi）。（结束）
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例子
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G.f.=1+2*x+5*x^2+10*x^3+17*x^4+26*x^5+37*x^6+50*x^7+65*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数论[分圆]（4，n）；
结束进程：
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..50]]中的[n^2+1:n//文森佐·利班迪2011年5月1日
（哈斯克尔）
a002522=（+1）。(^ 2)
a002522_list=扫描（+）1[1，3..]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A059592号,A124808号,A132411号,A132414号,A028872号,A005408号,A000124号,A016813号,A086514美元,A000125号,A058331号,A080856号,A000127号,A161701型-A161704型,A161706型,A161707型,A161708号,A161710号-A161713号,A161715号,A006261号.
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关键词
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非n,容易的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002061号
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| 中心多边形数：a（n）=n^2-n+1。
（原名M2638 N1049）
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+10
343
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1、1、3、7、13、21、31、43、57、73、91、111、133、157、183、211、241、273、307、343、381、421、463、507、553、601、651、703、757、813、871、931、993、1057、1123、1191、1261、1333、1407、1483、1561、1641、1723、1807、1893、1981、2071、2163、2257、2353、2451、2551、2653
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这些是霍格本的中心多边形数字，由符号表示
...2....
。。。
…2.无。。
（P带有三个附件）。
同时也是n×n可逆{0,1}矩阵可以具有的最大1个数。（见哈尔莫斯的证明）-费利克斯·戈德伯格（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年7月7日
当n>=1时，由n个相交圆形成的内部区域的最大数量-阿玛纳斯·穆尔西2001年7月7日
这些项是n个连续奇数中最小的一个，其和为n^3:1，3+5=8=2^3，7+9+11=27=3^3，依此类推-阿玛纳斯·穆尔西2001年5月19日
对于n>=3，a（n）也是n阶车轮图W（n）中的循环数-Sharon Sela（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月17日
删除前三个术语。那么n*a（n）+1=（n+1）^3。例如，7*1+1=8=2^3，13*2+1=27=3^3，21*3+1=64=4^3，等等-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月20日
第一项为1，公差为n的算术级数的第n项：a（1）=1->1，2，3，4，5。。。；a（2）=3->1，3。。。；a（3）=7->1、4、7。。。；a（4）=13->1、5、9、13-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月25日
完全图K_{n+1}（n>=1）的任意两个不同顶点之间长度为3的游动次数。示例：a（2）=3，因为在完整的图ABC中，在a和B之间有以下长度为3的游程：ABAB、ACAB和ABCB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
[1，2，0，0，…]=[1，3，7，13，21，…]的Narayana变换。设M=的无限下三角矩阵A001263号设V=向量[1，2，0，0，…]。然后A002061号启动（1、3、7…）=M*V-加里·亚当森2006年4月25日
序列3、7、13、21、31、43、57、73、91、111。。。是重复应用映射n->n+2*n的平方余时3的轨迹，cf。A094765号.
也是n^3 mod（n^2+1）-扎克·塞多夫2006年8月31日
忽略第一个，这些是具有整数尺寸的矩形平行六面体，具有整数内部对角线。使用毕达哥拉斯：sqrt（a^2+b^2+c^2）=d，一个整数；那么这个序列：sqrt（n^2+（n+1）^2+（n（n+1））^2）=2T_n+1是第一个也是最简单的例子。问题：是否存在不满足以下一般公式的整数对角线？sqrt（（k*n）^2+（k*（n+（2*m+1）））^2+-马可·马托西奇2006年11月10日
a（n）为素数的数字n列在A055494号质数a（n）列在A002383号。所有术语都是奇数。a（n）的基本因子列于A007645号.3除a（3*k-1），7除a（7*k-4）和a），13^2除以a（13^2*k+23）和a（13|2*k-22），13|3除以a（13 ^3*k+1037）和a（13^3*k-1036）-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
2n X 2n螺旋的主对角线上的数字（已排序）。例如，当n=2时：
.
7---8---9--10
| |
6 1---2 11
| | |
5---4---3 12
|
16--15--14--13
.
a（n）=AlexanderPolynomial[n]定义为Det[Transpose[S]-n S]，其中S是Seifert矩阵{{-1，1}，{0，-1}}-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
起始（1，3，7，13，21，…）=[1，2，2，0，0，0]的二项式变换；例如：a（4）=13=（1，3，3，1）点（1，2，2，0）=（1+6+6+0）-加里·亚当森2008年5月10日
a（n）也是扇形图F（n）的维纳指数。扇形图F（n）定义为通过将n节点路径图的每个节点与一个附加节点连接而获得的图。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和。图F（n）的维纳多项式是（1/2）t[（n-1）（n-2）t+2（2n-1）]。示例：a（2）=3，因为相应的扇形图是3个节点（三角形）上的循环，距离为1、1和1。
（结束）
对于序列的所有元素k=n^2-n+1，sqrt（4*（k-1）+1）是一个整数，因为4*（k-1）+1=（2*n-1）^2是一个完美的正方形。构建此序列的交点A000225号，k还可以是k=2^x-1的形式，这只适用于k=1、3、7、31和8191。[证明：仍然4*（k-1）+1=2^（x+2）-7必须是一个完美的正方形，它具有由A060728号：x=1、2、3、5或13。]换句话说，序列A038198号定义此序列中形式2^x-1的所有元素。例如k=31=6*6-6+1；平方（（31-1）*4+1）=平方（121）=11=A038198号（4） -阿尔茨海耶夫·阿斯卡尔M型2011年6月1日
如果你画一个三角形，它的一边是单位长度，一边是长度n，中间有Pi/3弧度的角，那么三角形第三条边的长度就是a（n）的平方根-Elliott线2013年1月24日
设p（x）n-1次插值多项式通过n个点（n，n）和（1,1），（2,1）。。。，（n-1，1）。则p（n+1）=a（n）-乔瓦尼·雷斯塔2014年2月9日
对于n>1:a（n）是[n+1]X[n+1]棋盘上可以共存而不相互攻击的最大皇后总数。具体来说，这将是一个单独的单色女王，放置在棋盘周边的任何位置，面对对手的a（n）-1大小的“军队”==A002378号（n-1）-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
对于n>=1，a（n+1）是n阶有限射影平面的点数和线数（参见Hughes和Piper，1973年，定理3.5，第79-80页）。对于n=3，a（4）=13，请参阅维基百科链接第2.3节中的“有限示例”，了解点线矩阵-沃尔夫迪特·朗，2015年11月20日
泛化费曼三角问题解的分母。如果三角形的每个顶点都沿对边与点（1/p）相连（例如顺时针测量），则由这些直线形成的内部三角形的面积等于（p-2）^2/（p^2-p+1）乘以原始三角形的面积，p>2。例如，当p=3时，面积比为1/7。面积比的分子由下式给出A000290型偏移量为2。[库克与伍德，2004年。]-乔·马拉斯科，2017年2月20日
n^2边长为1 X 1 X 1的等边三角形瓷砖可以放在一起形成n X n X n三角形。对于n>=2，a（n-1）是包含的不同2 X 2 X 2三角形的数量-海因里希·路德维希2017年3月13日
对于n>=0，连分式[n，n+1，n+2]=（n^3+3n^2+4n+2）/（n^2+3n+3）=A034262号（n+1）/a（n+2）=n+（n+2）/a（n+2）；例如，[2,3,4]=A034262号（3） /a（4）=30/13=2+4/13-里克·L·谢泼德2017年4月6日
从b（1）=1开始，不允许数字0，设b（n）=序列中尚未出现的最小非负整数，使得b（n-1）的最后一个数字加上b（n。。。，9.这定义了9个有限序列，每个序列的长度等于a（k），k=1。。。，9.（参见A289283型-A289287号对于k=5..9）对于k=10，序列是无限的(A289288型). 例如，对于k=4，b（n）=1,3,11,31,32,2,21,33,12,22,23,13,14。这些术语可以按以下大小k*（k-1）+1的数组排序：
1 2 3
21 22 23
31 32 33
11 12 13 14
.
序列以术语1k结束，该术语位于矩形数组外，并给出术语+1（参见链接）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月2日
当您将自然数写入奇数大小为2*n+1的组（以大小为1的组{2}开始）时，中心多边形数是分隔符（在下面的括号中）：（1）2（3）4,5,6（7）8,9,10,11,12（13）14,15,16,17,18,19,20（21）22,23,24,25,26,27,28,29,30（31）32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42（43）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月11日
由于（n+1）^2-（n+1”）+1=n^2+n+1，那么从7开始，这些数字也正是在所有基数中用111表示的数字：111（2）=7，111（3）=13-罗恩·诺特2017年11月14日
二进制2X（n-1）矩阵的数量，使得每行和每列最多有一个1-德米特里·卡梅内茨基，2018年1月20日
观察到bishop访问的方块在螺旋编号板上移动，并从第二任期开始，在每一步移动到可用的最低未访问方块（参见。A316667型). 应该注意的是，主教只会沿着螺旋线的第一条对角线走到正方形-本杰明·奈特2019年1月30日
C（7,3,2}，{1,2,4}
C（13,4,2}，{0,1,3,9}
C（21,5,2}，{3,6,7,12,14}
C（31,6,2}，{1,5,11,24,25,27}
C（43,7,2}，存在未解决
C（57,8,2}，{0,1,6,15,22,26,45,55}
接下来的未解决案例是C（111,11,2）和C（157,13,2）。（结束）
“在我们仔细研究的范围内，仅当n的形式为n=k（k+1）+1，k=3，4，5，6，7，即n=13，21，31，43和57时，最优填料基本上是不规则的。”（引自Lubachevsky，Graham link，Introduction）-雷纳尔·罗森塔尔2020年5月27日
对于n>=1，a（n）是方程x^2-[x^2]=（x-[x]）^2的区间1<=x<=n中的解数x，其中[x]=楼层（x）。对于n=3，区间[1，3]中的a（3）=7解是1，3/2，2，9/4，5/2，11/4和3。
这个序列是1984年第20届英国数学奥林匹克运动会上提出的第四个问题的答案（见链接B.M.O 1984）。和Gardiner参考）。（结束）
以英国动物学家、统计学家和作家兰斯洛特·托马斯·霍格本（1895-1975）的名字命名为“霍格本数字”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月24日
具有n+1个顶点（n>0）的2-退化图的最小维纳指数。通过在两个现有顶点附近迭代添加一个新的2叶（2次顶点），可以从一个2团构造一个最大的2退化图。极值图是直径最大为2的最大2-退化图-艾伦·比克2022年10月14日
a（n）是避免模式123、213和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
以k=2开始的a（k）的重复迭代产生Sylvester序列，即。，A000058号（n） =a^n（2），其中a^n是a（k）的第n次迭代-柯蒂斯·贝克特尔2024年4月4日
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参考文献
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《阿基米德问题驱动》，尤里卡，22（1959），15。
Steve Dinh，《奥林匹克数学难题及其解决方案》，作者之家，2011年，2007年英国数学奥林匹克第一题，第160页。
安东尼·加德纳（Anthony Gardiner），《数学奥林匹克手册：问题解决导论》，牛津大学出版社，1997年，2011年再版，第4题，第64和173页（1984年）。
Paul R.Halmos，《线性代数问题书》，MAA，1995年，第75-6页，第242-4页。
Ross Honsberger，《数学创新》，兰登书屋，1970年，第87页。
丹尼尔·休斯（Daniel R.Hughes）和弗雷德里克·查尔斯·派珀（Frederick Charles Piper），《投影平面》（Projective Planes），施普林格出版社，1973年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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理查德·比恩（Richard Bean）和埃巴多拉·马哈穆迪安（Ebadollah S.Mahmoodian），拉丁方中最大临界集大小的一个新界《离散数学》，第267卷，第1-3期（2003年），第13-21页，arXiv预印本，arXiv:math/0107159[math.CO]，2001年。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil、David S.Kenepp和Michael D.Weiner，弱序的受限生成树，arXiv:2108.04302[math.CO]，2021。
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克拉克·金伯利，互补方程《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。
克拉克·金伯利（Clark Kimberling）和约翰·布朗（John E.Brown），部分补体和转座色散，J.整数序列。，第7卷（2004年），第04.1.6条。
Boris D.Lubachevsky和Ronald L.Graham，包围全等非重叠圆的最小周长矩形，arXiv:math/0412443[math.MG]，2004-2008。
Boris D.Lubachevsky和Ronald L.Graham，包围全等非重叠圆的最小周长矩形《离散数学》，第309卷，第8期，（2009年4月28日），第1947-1962页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
Bruce E.Sagan、Yeong-Nan Yeh和Ping Zhang，图的维纳多项式，国际。量子化学杂志。，第60卷（1996年），第959-969页。
史蒂文·温特劳布（Steven H.Weintraub），一个有趣的递归阿默尔。数学。《月刊》，第111卷，第6期（2004年），第528-530页。
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配方奶粉
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通用名称：（1-2*x+3*x^2）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=-（n-5）*a（n-1）+（n-2）*a（n-2）。
a（n）=Phi_6（n）=Phi_3（n-1），其中Phi_k是第k个分圆多项式。
x*（1+x^2）/（1-x）^3是0、1、3、7、13…的g.f。。。
a（n）=2*C（n，2）+C（n-1，0）。
例如：（1+x^2）*exp（x）。（结束）
a（n）=1+和{j=0..n-1}（2*j）.-Xavier Acloque，2003年10月8日
a（n）=M^（n-1）*[1 1 1]中最左边的项，其中M=3X3矩阵[1 1 1/0 1 2/0 0 1]。例如，由于M^5*[1 1 1]=[31 11 1]，a（6）=31-加里·亚当森2004年11月11日
a（n+1）=n^2+n+1。a（n+1）*a（n）=（n^6-1）/（n^2-1）=n^4+n^2+1=a（n^2+1）（此序列中两个连续数字的乘积属于此序列）。（a（n+1）+a（n））/2=n^2+1。（a（n+1）-a（n））/2=n.a（（a（n+1）+a（n-亚历山大·阿达姆楚克2006年4月13日
a（n+3）是（（n+1）！+的分子（n-1）！）/不-阿图尔·贾辛斯基2007年1月9日
a（n）=Det[Transpose[{{-1，1}，{0，-1}}]-n{-1，10}，}，0,1}}]-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
a（n）=（n-1）^2+（n-1-杰森·金伯利2011年10月18日
G.f.：1/（1-x/（1-2*x/（1+x/（1-2*x/））））-迈克尔·索莫斯2014年4月3日
求和{n>=0}1/a（n）=1+Pi*tanh（Pi*sqrt（3）/2）/sqrt（三）=2.79814728056269018-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月10日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）*sech（sqrt（3）*Pi/2。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=Pi*sech（sqrt（3）*Pi/2）。（结束）
对于n>1，sqrt（a（n）+sqrtn.（名词）-迭戈·拉塔吉2021年4月17日
a（n）=（1+（n-1）^4+n^4）/（1+（n-1）^2+n^2）[参见链接B.M.O.2007和Steve Dinh参考文献]-伯纳德·肖特2021年12月27日
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+7*x^3+13*x^4+21*x^5+31*x ^6+43*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数量理论[分圆]（6，n）；
结束进程：
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数学
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文件夹列表[#1+#2&，1，2范围[0，50]](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，1，3}，60](*哈维·P·戴尔2011年5月25日*）
系数列表[级数[（1-2x+3x^2）/（1-x）^3，{x，0，52}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年2月18日*）
分圆[6，范围[0，100]](*保罗·沙萨2024年2月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n^2-n+1
（Maxima）标记列表（n^2-n+1，n，0，55）/*马丁·埃特尔2012年10月16日*/
（哈斯克尔）
（岩浆）[0..50]]中的[n^2-n+1:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月12日
（GAP）列表（[0..50]，n->n^2-*n+1）#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年5月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000037号,A000124号,A000217号,A001263号,A001844号,A002383号,A004273号,A005408号,A005563号,A007645号,A014206号,A051890号,A055494号,A091776号,A132014号,A132382号,A135668型,A137928号,A139250型,A256188型,A028387号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A016754号
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| 奇数平方：a（n）=（2n+1）^2。同样居中的八角数字。 |
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+10
291
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1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089, 1225, 1369, 1521, 1681, 1849, 2025, 2209, 2401, 2601, 2809, 3025, 3249, 3481, 3721, 3969, 4225, 4489, 4761, 5041, 5329, 5625, 5929, 6241, 6561, 6889, 7225, 7569
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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褐鼠繁殖很快。从三个月大的时候开始，它可以一年生7次其他老鼠。幼崽的平均数量是8只。现在的序列给出了老鼠的总数，时间间隔为一年中的12/7，幼鼠在一年中24/7开始生育后代-汉斯·伊斯达尔2008年1月26日
如果Y是（2n+1）-集X的固定2-子集，则a（n-1）是与Y相交的X的3-子集的数目-米兰Janjic2007年10月21日
[1,8,8,0,0,0，…]的二项式变换；Narayana变换(A001263号)共[1,8,0,0,0，…]个-加里·亚当森2007年12月29日
顺序是从1开始，在方向1、25。。。以及从9开始的直线，在9、49、……方向。。。，在顶点为正方形的正方形螺旋中A000290型. -奥马尔·波尔2008年5月24日
作为分子出现在Pi-3的非简单连分式展开式中：Pi-3=K_{K>=1}（1-2*K）^2/6=1/（6+9/（6+25/（6+49/（6+…））），另请参阅A007509号. -亚历山大·波沃洛茨基2011年10月12日
所有术语都以1、5或9结尾。模100，所有项都在{1、9、21、25、29、41、49、61、69、81、89}之间-M.F.哈斯勒2012年3月19日
对于n>1，a（n）是由点（（n-2）*（n-1），（n-1-J.M.贝戈2014年5月27日
Z^2的对数（x，y），即max（abs（x），abs（y））<=n-米歇尔·马库斯2014年11月28日
除a（1）=4外，基于5细胞von Neumann邻域，“规则737”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动（ON，黑色）细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月23日
a（n）是2n+1个连续数字的和，其中第一个数字是n+1-伊万·伊纳基耶夫2016年12月21日
a（n）是所有元素都在{0..n}中且行列式=2*永久的2X2矩阵的数目-因德拉尼尔·戈什2016年12月25日
a（n）是最小奇数k=x+y，其中0<x<y，因此存在n个不同的对（x，y），其中x*y/k是整数；例如，a（2）=25，对应的两对是（5,20）和（10,15）。与“even”相似的序列是A016742号（见2018年1月26日的评论）-伯纳德·肖特2023年2月24日
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参考文献
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L.Lorentzen和H.Waadeland，《续分数及其应用》，北荷兰，1992年，第586页。
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链接
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杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
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配方奶粉
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外径：（1+6*x+x^2）/（1-x）^3-R.J.马塔尔2008年1月11日
a（n）=4*n*（n+1）+1=4*n^2+4*n+1-阿图尔·贾辛斯基2008年3月27日
a（n）=a（n-1）+8*n，n>0，a（0）=1-文森佐·利班迪2010年8月1日
a（n+1）=a（n）+4+4*sqrt（a（n））。
a（n-1）=a（n）+4-4平方米。
a（n+1）=2*a（n）-a（n-1）+8。
a（n+1）=3*a（n）-3*a（n-1）+a（n-2）。
（a（n+1）-a（n-1））/8=sqrt（a（n））。
a（n+1）*a（n-1）=（a（n）-4）^2。
极限_｛n->oo｝a（n）/a（n-1）=1。（结束）
a（n）=二项（2*n+2,2）+二项（2*n+1,2）-约翰·莫洛卡赫2013年7月12日
和{n>=0}a（n）/n！=13*e。
和{n>=0}（-1）^（n+1）*a（n）/n！=3/e.（结束）
产品{n>=0}（1+1/a（n））=cosh（Pi/2）。
求和{k=1..n+1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（（2*n+1）^2+2*2^2））））。
3/2-2*log（2）=和{k>=1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（（2*n+1）^2+2*2^2-…））））。
8*a（n）=（2*n+1）*（a（n+1）-a（n-1））。
求和{n>=0}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=1/2-Pi/8=1/（9+（1*3）/（8+（3*5）/（8+…+（4*n^2-1）/（8%…））））。对于连续分数，使用Lorentzen和Waadeland，第586页，方程4.7.9，n=1。囊性纤维变性。A057813号.（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a016754 n=a016754_列表！！n个
a016754_list=扫描（+）1$tail a008590_list
（岩浆）[1..100 x 2]中的n^2:n//文森佐·利班迪，2017年1月3日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A000384号,A001263号,A001539号,A001844号,A003881号,A005408号,A006752号,A014105号,A016742号,A016802美元,2016年6月14日,A016826号,A016838号,A033996号,A046092号,A060300型,A138393号,A167661号,A167700个.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000567号
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| 八角数：n*（3*n-2）。也称为星号。
（原名M4493 N1901）
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+10
253
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0、1、8、21、40、65、96、133、176、225、280、341、408、481、560、645、736、833、936、1045、1160、1281、1408、1541、1680、1825、1976、2133、2296、2465、2640、2821、3008、3201、3400、3605、3816、4033、4256、4485、4720、4961、5208、5461
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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写1、2、3、4，。。。在0附近呈六角螺旋形；则a（n）是通过从0开始沿方向0,1读取直线得到的序列，。。。。
螺旋开始于：
.
85--84--83--82--81--80
/ \
86 56--55--54--53--52 79
/ / \ \
87 57 33--32--31--30 51 78
/ / / \ \ \
88 58 34 16--15--14 29 50 77
/ / / / \ \ \ \
89 59 35 17 5---4 13 28 49 76
/ / / / / \ \ \ \ \
90 60 36 18 6 0 3 12 27 48 75
/ / / / / / / / / / /
91 61 37 19 7 1---2 11 26 47 74
\ \ \ \ \ . / / / /
92 62 38 20 8---9--10 25 46 73
\ \ \ \ . / / /
93 63 39 21--22--23--24 45 72
\ \ \ . / /
94 64 40--41--42--43--44 71
\ \ . /
95 65--66--67--68--69--70
\。
96
.
另外，可以从中移除的不同三个细胞块的数量A000217号（n+1）正方形单元排列在边（n+1的）的步进三角形阵列中。例如，一个5层三角形方格阵列的顶点轮廓如下：
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x（结束）
从n=1开始，序列对应于K_{n，n}的维纳指数（其中每个独立集有n个顶点的完全二部图）Kailasam Viswanathan Iyer，2009年3月11日
a（n）=A001399号（6n-5），将6*n-5个分区分成<4个部分。例如，a（2）=8，将6*2-5=7划分为<4的部分是：[1,1,1,1,1]、[1,1,1,1,2]、[1,1,1,1,3]、[11,1,2,2]、[1,1,2,3]、[1,2,2,2]，[1,2,2,2]、[1,3,3]、[2,2,3]-阿迪·达尼，2011年6月7日
此外，通过从0开始沿0、8、…、。。。，以及在方向1，21，…上从1开始的平行线。。。，在顶点为广义八角数的正方形螺旋中A001082号. -奥马尔·波尔2011年9月10日
使用欧几里德公式（n，n-1）生成毕达哥拉斯三元组，得到a，B，C.a（n）=B+（a+C）/2-J.M.贝戈2013年7月13日
基于5细胞von Neumann邻域，由“规则773”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动（ON，黑色）细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月23日
对于n>=1，sqrt（27*a（n））的连分式展开为[9n-4；{1，2n-2，3，2n-2，1，18n-8}]。对于n=1，这个值折叠为[5；{5,10}]-朱棣文（Magus K.Chu）2022年10月10日
a（n）*a（n+1）+1=（3n^2+n-1）^2。一般来说，a（n）*a（n+k）+k^2=（3n^2+（3k-2）n-k）^2-查理·马里恩2023年5月23日
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参考文献
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Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第189页。
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第6页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第1页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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C.K.Cook和M.R.Bacon，一些多边形数求和公式，纤维。问，52（2014），336-343。
米兰·扬基克和B.佩特科维奇，计数函数，arXiv 1301.4550[math.CO]，2013年。
Hyun Kwang Kim，关于正则多面体数，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，131（2002），65-75。
Kaie Kubjas、Luca Sodomaco和Elias Tsigaridas，零低阶近似的精确解，arXiv:2010.15636[math.AG]，2020年。
维克托·列万多夫斯基（Viktor Levandovskyy）、克里斯托夫·库特尚（Christoph Koutschen）和奥列克桑德·莫萨克（Oleksandr Motsak），受仿射关系约束的二生成非交换代数，arXiv:1108.1108[cs.SC]，2011年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=n*（3*n-2）。
a（n）=（3n-2）*（3n-1）*（3n）/（（3n-1）+（3n-2）+（3n）），即（三个连续数字的乘积）/（它们的和）。a（1）=1*2*3/（1+2+3），a（2）=4*5*6/（4+5+6）等-阿玛纳斯·穆尔西2002年8月29日
例如：exp（x）*（x+3*x^2）-保罗·巴里2003年7月23日
G.f.:x*（1+5*x）/（1-x）^3。西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=和{k=1..n}（5*n-4*k）-保罗·巴里2005年9月6日
a（n）=C（n+1，2）+5*C（n，2）。
起始（1，8，21，40，65，…）=[1，7，6，0，0，O，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年4月30日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=8-Jaume Oliver拉丰2008年12月2日
a（n）=a（n-1）+6*n-5（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月20日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+6-蚂蚁王2011年9月1日
a（n）=（2*n-1）^2-（n-1）^2-伊万·伊纳基耶夫2013年4月10日
a（6*a（n）+16*n+1）=a（6*1（n）+16*n）+a（6*n+1）-弗拉基米尔·谢维列夫2014年1月24日
求和{n>=1}1/a（n）=（sqrt（3）*Pi+9*log（3））/12=1.277409057559637311949534921-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月27日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/（2*sqrt（3））=A093766号.（结束）
P（4k+4，n）=（（k+1）*n-k）^2-（k*n-k-查理·马里恩2021年10月7日
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MAPLE公司
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n*（3*n-2）；
结束进程：
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数学
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表[n（3n-2），{n，0，50}](*哈维·P·戴尔2012年5月6日*）
表[PolygonalNumber[RegularPolygon[8]，n]，{n，0，43}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，8，21}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因，2017年9月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）矢量（50，n，n-；n*（3*n-2））\\G.C.格鲁贝尔，2018年11月15日
（GAP）列表（[0..50]，n->n*（3*n-2））#G.C.格鲁贝尔，2018年11月15日
（哈斯克尔）
（弧垂）[n*（3*n-2）表示n在范围（50）内]#G.C.格鲁贝尔，2018年11月15日
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+6，y+6
（岩浆）[0..50]]中的[n*（3*n-2）：n//韦斯利·伊万·赫特2021年10月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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除了初始项外，Gamma_0（14）的权重空间2n尖点的维数也是形式的。
如果X是一个n集，并且X的Y和Z不相交的2个子集，那么a（n-3）等于X的3个子集的数目，这些子集与Y和Z相交-米兰Janjic2007年8月26日
允许重复的5个对象u、v、z、x、y的n-置换数（n>=1），包含n-1个u。例如：如果n=1，则n-1=0（0）u，a（1）=4，因为我们有v、z，x、y。如果n=2，则n=1=1（1）u，b（2）=8，因为我们具有vu、zu、xu、yu、uv、uz、ux、uy。A038231号格式化为三角形数组：对角线：4、8、12、16、20、24、28、32-零入侵拉霍斯2008年8月6日
a（n）*Pi=由半径为2的圆从零开始沿正x轴滚动而生成的摆线的非负零点-韦斯利·伊万·赫特2013年7月1日
除了初始项之外，边长为2的n维三次格子（n>1）上的最小路径的顶点数，直到一个自空行走被卡住为止。A004767号+1-马修·雷曼2013年12月23日
当轨道基数等于2688时，Aut（Z^7）的轨道数是轨道代表格点的无穷范数n的函数-菲利普·谢瓦利埃2015年12月29日
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链接
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汤姆·M·阿波斯托，解析数论导论《施普林格·弗拉格出版社》，1976年，第3页。
弗兰克·拉马哈罗，几类结阴影的统计，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014年，2015年。
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配方奶粉
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总尺寸：4*x/（1-x）^2-大卫·威尔丁2014年6月21日
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a008586=（*4）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A000466号,A001844号,A004767号,A008574号,A030308号,A033888号,A035008号,A038231号,A048272号,A053755号,A090418号,A214546型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400, 484, 576, 676, 784, 900, 1024, 1156, 1296, 1444, 1600, 1764, 1936, 2116, 2304, 2500, 2704, 2916, 3136, 3364, 3600, 3844, 4096, 4356, 4624, 4900, 5184, 5476, 5776, 6084, 6400, 6724, 7056, 7396, 7744, 8100, 8464
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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平方的4倍。
假设（我认为）n阶正则Hadamard矩阵存在，前提是n是偶数平方（参见Seberry和Yamada，Th.10.11）。如果每行中的条目之和相同，则哈达玛矩阵是正则的-N.J.A.斯隆，2008年11月13日
顺序是从0开始，沿0、16……方向读取直线。。。和从4开始的线，在方向4，36。。。在顶点为正方形的正方形螺旋中A000290型. -奥马尔·波尔2008年5月24日
从（1）开始的项可以解释为（2，2），（8，8），（18，18），（32，32）等的对和，它们是由元素周期表中的次壳层轨道的重新排列引起的。例如，8成为（2s，2p）或（3s，3p）轨道中的最大电子数，18成为（4s，3d，4p）或-朱利奥·安东尼奥·古铁雷斯·萨马内斯2008年7月20日
序列的前两项（n=1，2）仅使用n种原子轨道给出了化学元素的数量，即有a（1）=4个元素（H，He，Li，Be），其中电子仅位于s轨道上，有a（2）=16个元素（B，C，n，O，F，Ne，Na，Mg，Al，Si，P，s，Cl，Ar，K，Ca），而电子仅位于s-和P-轨道上。然而，在这之后，有37个元素（比a（3）=36多一个）（从Sc、Scandium原子序数21到La、La，原子序数57），其中电子只存在于s-、p-和d-轨道上。这是因为镧（具有电子组态[Xe]5d^16s^2）是Aufbau原理的例外，Aufbao原理预测其电子组态为[Xe]4f^16s~2-安蒂·卡图恩2008年8月14日。
与（n+1）X（n+1”）棋盘相关的国王图中长度为3的圈数安东·沃罗帕耶夫（Anton.n.Voropaev（AT）gmail.com），2009年2月1日
该序列成员的倒数之和无穷大收敛于（1/4）*Pi^2/6=Pi^2/24-蚂蚁王2009年11月4日
a（n）是两个连续奇数2*n^2-1和2*n*2+1的和，以及两个正方形（n^2+1）^2-（n^2-1）^2的差-皮埃尔·卡米2012年1月2日
对于n>3，a（n）是由点（（n-4）*（n-3）/2，（n-3-J.M.贝戈2014年5月27日
小于10^k的术语数量：1、2、5、16、50、159、500、1582、5000、15812、50000、158114、500000-穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年1月28日
二项式系数恒等式和{k=0..2*n}（-1）^（k+1）*二项式（2*n，k）*二项式（2xn+k，k）x（2*n-k）=a（n）的右端-彼得·巴拉2022年1月12日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
Seberry、Jennifer和Yamada、Mieko；《哈达玛矩阵、序列和块设计》（Hadamard matrix，sequences and block designs），迪尼茨（Dinitz）和斯廷森（Stinson）主编，《当代设计理论》（Contemporary design theory），第431-560页，威利国际出版社（Wiley-Intersci）。序列号。离散数学。最佳。，威利，纽约，1992年。
W.D.Wallis、Anne Penfold Street和Jennifer Seberry Wallis，《组合数学：房间正方形、无和集、Hadamard矩阵、数学课堂笔记》，第292卷，Springer-Verlag，纽约柏林，1972年。iv+508页。
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链接
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配方奶粉
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外径：4*x*（1+x）/（1-x）^3-R.J.马塔尔2008年7月28日
a（n）=a（n-1）+8*n-4（a（0）=0）-文森佐·利班迪，2010年11月19日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=4，a（2）=16-菲利普·德尔汉姆2013年3月26日
Pi=2*Product_{n>=1}（1+1/（a（n）-1））-阿德里亚诺·卡罗利2013年8月4日
Pi=Sum_{n>=0}8/（a（2n+1）-1）-阿德里亚诺·卡罗利2013年8月6日
例如：exp（x）*（4x^2+4x）-杰弗里·克雷策2013年10月7日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sinh（Pi/2）/（Pi/2）(A308716型).
乘积{n>=1}（1-1/a（n））=sin（Pi/2）/（Pi/2）=2/Pi(A060294号). （结束）
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（2*n）^2:n in[0..50]]//文森佐·利班迪2011年4月26日
（Maxima）标记列表（（2*n）^2，n，0，20）/*马丁·埃特尔2013年1月22日*/
（哈斯克尔）
a016742=（*4）。(^ 2)
a016742_list=0：映射（减去4）（zipWith（+）a016752_list[8，16..]）
（GAP）列表（[0..100]，n->（2*n）^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A001105号,A001539号,A016754号,A016802美元,A016814号,A016826号,A016838号,A007742号,A033991号,A245058型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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Sabir Abdus Samee的更多条款（sabdulsamee（AT）prepadlegal.com），2006年3月13日
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