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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a053253-编号：a053253
显示找到的17个结果中的1-10个。 第页12
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A053251号 “三阶”模拟θ函数的系数psi（q） +10
65
0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 22, 24, 27, 31, 34, 37, 42, 46, 51, 57, 62, 68, 76, 83, 91, 101, 109, 120, 132, 143, 156, 171, 186, 202, 221, 239, 259, 283, 306, 331, 360, 388, 420, 455, 490, 529, 572, 616, 663, 716, 769, 827 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,5
评论
将n划分为奇数部分的次数，如果一个数字作为一部分出现，那么所有较小的正奇数也会出现。
将n表示为1+[1,3]+[1,5]+[1,1,7]+[1.9]+……的部分和的方法的数量。。。。例如，a（6）=2，因为我们有6=1+1+1+1+1=1=1+3+1+1-乔恩·佩里2004年1月1日
还有n个分区的数量，其中最大部分正好出现一次，所有其他部分正好出现两次。例如：a（9）=4，因为我们有[9]、[7,1,1]、[5,2,2]和[3,2,2,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
n的分区数（d1、d2、…、dm），使得0<d1/1<d2/2<…<米/米-Seiichi Manyama先生2018年3月17日
对于Emeric Deutsch公司（1）这似乎是一个交替相等的情况122130英镑，（2）有序版本（成分）为A239327型，（3）允许任何长度A351006美元，（4）等长版本为A351007型. -古斯·怀斯曼2022年2月25日
参考文献
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.13）。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第31页。
链接
阿洛伊斯·海因茨，n=0..10000时的n，a（n）表（T.D.Noe的前1001个术语）
莱拉·德拉戈内特，Ramanujan模拟θ级数的一些渐近公式，变速器。阿默尔。数学。《社会学杂志》，72（1952）474-500。
乔治·N·沃森，最后一个问题：模拟θ函数的说明，J.伦敦数学。《社会学杂志》，11（1936）55-80。
配方奶粉
G.f.：psi（q）=总和{n>=1}q^（n^2）/（（1-q）*（1-q^3）**（1-q^（2*n-1）））。
G.f.：总和{k>=1}q^k*产品{j=1..k-1}（1+q^（2*j））（见精细参考，第58页，等式（26,53））-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/6））/（4*sqrt（n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月9日
例子
q+q^2+q^3+2*q^4+2*q^5+2*q*6+3*q^7+3*q*8+4*q^9+。。。
发件人Seiichi Manyama先生2018年3月17日：（开始）
n|分区（d1，d2，…，dm）|（d1/1，d2/2，……，dm/m）
--+--------------------------+-------------------------
1 | (1) | (1)
2 | (2) | (2)
3 | (3) | (3)
4 | (4) | (4)
| (1, 3) | (1, 3/2)
5 | (5) | (5)
| (1, 4) | (1, 2)
6 |（6）|（6）
| (1, 5) | (1, 5/2)
7 | (7) | (7)
| (1, 6) | (1, 3)
| (2, 5) | (2, 5/2)
8 | (8) | (8)
| (1, 7) | (1, 7/2)
| (2, 6) | (2, 3)
9 | (9) | (9)
| (1, 8) | (1, 4)
| (2, 7) | (2, 7/2)
|（1，3，5）|（1，3/2，5/3）（结束）
MAPLE公司
f： =n->q^（n^2）/mul（（1-q^（2*i+1）），i=0..n-1）；加上（f（i），i=1..6）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆；（s->`if`（n>s，0，`if`）（n=s，1，
b（n，i-1）+b（n-i，min（n-i、i-1）））（i*（i+1）/2）
结束时间：
a： =n->`如果`（n=0，0，加上（b（j，min（j，n-2*j-1）），j=0..iquo（n，2））：
seq（a（n），n=0..80）#阿洛伊斯·海因茨2018年5月17日
数学
级数[和[q^n^2/积[1-q^（2k-1），{k，1，n}]，{n，1，10}]，}q，0，100}]
（*第二个节目：*）
b[n，i_]：=b[n，i]=函数[s，If[n>s，0，If[n=s，1，b[n，i-1]+b[n-i，Min[n-i，i-1]]]][i*（i+1）/2]；
a[n_]：=如果[n==0，0，和[b[j，Min[j，n-2*j-1]]，{j，0，商[n，2]}]；
表[a[n]，{n，0，80}](*Jean-François Alcover公司2018年6月17日之后阿洛伊斯·海因茨*)
黄体脂酮素
（PARI）{n=20；v=矢量（n）；对于（i=1，n，v[i]=矢量（2^（i-1），如果（v[i][j]<=n，c[v[i][j]++））；c}\\乔恩·佩里
（PARI）｛a（n）=局部（t）；如果（n＜0，0，t=1+O（x^n）；极系数（sum（k=1，sqrtint（n），t*=x^（2*k-1）/（1-x^（2*k-1））+O（x^（n-（k-1）^2+1））），n）｝/*迈克尔·索莫斯2007年9月4日*/
交叉参考
其他“三阶”模拟θ函数位于A000025号,A053250型,A053252号,A053253号,A053254号,A053255号.
囊性纤维变性。A003475型.
囊性纤维变性。A035363号,A035457号,A122129号,A122130型,A122134号,A122135号,A351003型,A351005型.
关键词
非n,容易的
作者
迪安·希克森1999年12月19日
扩展
来自的更多条款Emeric Deutsch公司2006年3月8日
状态
经核准的
A366528型 n的奇数素数指数之和。 +10
24
0, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 3, 0, 4, 5, 2, 0, 1, 3, 4, 7, 1, 0, 5, 0, 6, 9, 3, 6, 1, 0, 2, 0, 4, 11, 5, 5, 8, 3, 2, 0, 1, 0, 6, 13, 1, 0, 7, 3, 10, 15, 4, 0, 7, 7, 2, 0, 1, 8, 3, 0, 1, 17, 5, 0, 12, 0, 6, 3, 6, 19, 9, 9, 4, 0, 3, 21, 1, 6, 2, 5, 1, 0, 7, 0, 14, 23, 2 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,4
评论
n的素数指数是一个数m，使得素数（m）除以n。n的多素数指数集是A112798号，总和A056239号（n） ●●●●。
链接
n=1..84时的n，a（n）表。
配方奶粉
a（n）=A056239号（n）-A366531型（n） ●●●●。
例子
198的素数指数是{1,2,2,5}，因此a（198）=1+5=6。
数学
表[Total[Cases[FactorInteger[n]，{p_？（OddQ@*PrimePi），k_}:>PrimePi[p]*k]]，{n，100}]
交叉参考
零是A066207年，计算依据A035363号.
此排名统计的三角形为A113685号，不带零A365067型.
我们有计数而不是总和A257991型，甚至A257992型.
非零是A366322飞机，计算依据A086543号.
偶数版本是366531英镑，减半A366533飞机，三角形A113686号.
A000009号将分区计数为奇数部分、秩A066208号.
A053253号=所有奇数部分和共轭部分的分区，秩A352143型.
A066967号将所有分区上奇数部分的总和相加。
A112798号列出基本索引，反向A296150型，长度A001222号，总和A056239号.
A162641号计算偶数素数指数，奇数A162642号.
A352142型=具有奇数指数的奇数指数，计数方式A117958号.
囊性纤维变性。A000720号,A055396号,A130780号,A171966号,A174713号,A325698型,A325700型,A366748飞机.
关键词
非n
作者
古斯·怀斯曼2023年10月22日
状态
经核准的
A000025号 三阶模拟θ函数f（q）的系数。
（原名M0433 N0164） 		+10
20
1, 1, -2, 3, -3, 3, -5, 7, -6, 6, -10, 12, -11, 13, -17, 20, -21, 21, -27, 34, -33, 36, -46, 51, -53, 58, -68, 78, -82, 89, -104, 118, -123, 131, -154, 171, -179, 197, -221, 245, -262, 279, -314, 349, -369, 398, -446, 486, -515, 557, -614, 671, -715, 767, -845, 920, -977, 1046, -1148, 1244 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,3
评论
a（n）=n的偶数秩分区数减去奇数秩的分区数。分区的秩是其最大部分减去部分数。
参考文献
G.E.Andrews，《分割理论》，Addison-Wesley，1976年，第82页，示例4和5。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第17、31页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
瓦茨拉夫·科特索维奇，n=0..10000时的n，a（n）表（T.D.Noe的第0..1000条，然后由Sean A.Irvine更正，2019年4月25日）
G.E.安德鲁斯，Ramanujan“丢失”笔记本介绍，美国。数学。《86月刊》（1979），第2期，第89-108页。见第95页。
L.A.Dragonette，Ramanujan的Mock Theta级数的一些渐近公式，变速器。阿默尔。数学。《社会学杂志》，72（1952），474-500。
John F.R.Duncan、Michael J.Griffin和Ken Ono，Unbral Moonshine猜想的证明，arXiv:1503.01472[math.RT]，2015年。[见f（q）]
新泽西州罚款，基本超几何级数及其应用，美国。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.11），（26.24）。
小野康夫，天才的遗言，通知Amer。数学。《社会学杂志》，57（2010），1410-1419。
乔治·N·沃森，最后一个问题：模拟θ函数的说明，J.伦敦数学。《社会学杂志》，11（1936）55-80。
埃里克·魏斯坦的数学世界，模拟Theta函数.
配方奶粉
G.f.：1+Sum_｛n>=1｝（q^（n^2）/Product_｛i=1..n｝（1+q^i）^2）。
通用公式：（1+4*Sum_{n>=1}（-1）^n*q^（n*（3*n+1）/2）/（1+q^n））/Product_{i>=1}（1-q^i）。
a（n）~-（-1）^n*exp（Pi*sqrt（n/6））/（2*sqert（n））[Ramanujan]-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月10日
G.f.：1-求和{n>=1}（-1）^n*x^n/Product_{k=1..n}1+x^k。见Fine，方程26.22，第55页-彼得·巴拉2021年2月4日
发件人Seiichi Manyama先生2023年5月23日：（开始）
a（n）=A340601型（n）-A340692型（n） ●●●●。
通用公式：1+（1/Product_{k>=1}（1-x^k））*求和_{k>=1}（-1）^（k-1）*x^（k*（3*k-1）/2）*（1-x*k）^2/（1+x^k）。（结束）
例子
G.f.=1+q-2*q^2+3*q^3-3*q^4+3*q^5-5*q^6+7*q^7-6*q^8+6*q^9+。。。
MAPLE公司
a： =m->系数（级数（（1+4*add（（-1）^n*q^（n*（3*n+1）/2））/
（1+q^n），n=1..m））/mul（1-q^i，i=1..m，q，m+1），q，m）：
seq（a（n），n=0..120）；
数学
系数列表[级数[（1+4Sum[（-1）^nq^（n（3n+1）/2）/（1+q^n），{n，1，10}]）/和[（-1(*N.J.A.斯隆*)
sgn[P_（*a分区*）]：=
签名[
排列列表[
周期[压扁[
SplitBy[Range[Total[P]]，（函数[{x}，x>#1]&）/@
累加[P]]，长度[P]-1]]]
共轭[P_List（*a分区*）]：=
模块[{s=选择[P，#1>0&]，i，row，r}，row=长度[s]；
表[r=行；而[s[[row]]<=i，行--]；r、 {i，第一个[s]}]
总计[函数[{x}，sgn[x]sgn[共轭[x]]]/@
整数分区[#]]和/@范围[20]
(*乔治·贝克2014年10月25日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，系列系数[Sum[x^k^2/乘积[1+x^j，{j，k}]^2，{k，0，平方@n}]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年6月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）｛a（n）=如果（n＜0，0，polcoeff（sum（k=1，sqrtint（n），x^k^2/prod（i=1，k，1+x^i，1+x*O（x^（n-k^2）））^2，1），n））｝/*迈克尔·索莫斯2007年9月2日*/
（PARI）我的（N=60，x='x+O（'x^N））；Vec（1+1/prod（k=1，N，1-x^k）*总和（k=1,N，（-1）^（k-1）*x^（k*（3*k-1）/2）*（1-x^ k）^2/（1+x^ k））\\Seiichi Manyama先生2023年5月23日
交叉参考
其他“三阶”模拟θ函数位于A013953号,A053250型,A053251号,A053252号,A053253号,A053254号,A053255号。另请参阅A000039号,A000199型.
囊性纤维变性。A340601型,A340692型.
关键词
签名,容易的,美好的
作者
N.J.A.斯隆
扩展
来自的评论改进了条目迪安·希克森
状态
经核准的
A053250型 “三阶”模拟θ函数phi（q）的系数。 +10
19
1，1，0，-1，1，1，-1，-1，-1，0，2，0，-2，1，-1，-2，1，3，-1，-2，1，2，-2，-3，1，4，0，-4，2，3，-2，-4，1，5，-2，-5，3，5，-3，2，7，-2，-7，3，6，-4，-8，3，9，-5，-10，3，12，-4，-12，5，11、-6、-13、6、16、-6、-15、7、15、-8、-17、7、19、-6、-20、9、19、-10、-22、8、25、-9、-25、12、-12、-27、11、31 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,10
参考文献
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.12），第58页，等号（26.56）。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第17、31页。
链接
T.D.Noe，n=0..1000时的n，a（n）表
莱拉·德拉戈内特，Ramanujan模拟θ级数的一些渐近公式，变速器。阿默尔。数学。《社会学杂志》，72（1952）474-500。
John F.R.Duncan、Michael J.Griffin和Ken Ono，Unbral Moonshine猜想的证明，arXiv:1503.01472[math.RT]，2015年。
A.Folsom、K.Ono和R.C.Rhoades，2013年Ramanujan的径向极限.-来自N.J.A.斯隆2013年2月9日
乔治·N·沃森，最后一个问题：模拟θ函数的说明，J.伦敦数学。《社会学杂志》，11（1936）55-80。
配方奶粉
考虑将n分成不同的奇数部分。a（n）=最大部分减去两倍部分数量的数量==3（mod 4）减去其数量==1（mod4）。
a（n）=（-1）^n*(A027358号（n）-A027357号（n） ）-弗拉德塔·乔沃维奇，2006年3月12日
通用公式：1+Sum_{k>0}x^k^2/（（1+x^2）（1+x^4）。。。（1+x^（2*k）））。
G.f.1+Sum_｛n>=0｝x^（2*n+1）*产量_｛k=1..n｝（x^（2*k-1）-1）（Folsom等人）。囊性纤维变性。A207569型和A215066型. -彼得·巴拉，2017年5月16日
例子
G.f.=1+x-x^3+x^4+x^5-x^6-x^7+2*x^9-2*x^11+x^12+x^13-x^14+。。。
MAPLE公司
f： =n->q^（n^2）/mul（（1+q^）（2*i）），i=1..n）；加（f（n），n=0..10）；
数学
序列[和[q^n^2/积[1+q^（2k），{k，1，n}]，{n，0，10}]，}q，0，100}]
a[n_]：=系列系数[Sum[x^k^2/QPochhammer[-x^2，x^2、k]，{k，0，Sqrt@n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年7月9日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=my（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polceoff（和（k=1，平方（n），t*=x^（2*k-1）/（1+x^/*迈克尔·索莫斯，2007年7月16日*/
交叉参考
其他“三阶”模拟θ函数位于A000025号,A053251号,A053252号,A053253号,A053254号,A053255号.
囊性纤维变性。A207569型,A215066型.
关键词
签名,容易的
作者
迪安·希克森1999年12月19日
状态
经核准的
A365067型 行读取的不规则三角形，其中T（n，k）是n的整数分区数，其中奇数部分之和为k，k的范围为mod（n，2）到n，步长为2。 +10
16
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 5, 3, 4, 4, 6, 5, 6, 6, 5, 8, 7, 5, 6, 8, 6, 10, 7, 10, 9, 10, 8, 12, 11, 7, 10, 12, 12, 10, 15, 11, 14, 15, 15, 16, 12, 18, 15, 11, 14, 20, 18, 20, 15, 22, 15, 22, 21, 25, 24, 24, 18, 27 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,6
评论
所有k=0..n的版本为A113685号（包括零）。
链接
n，a（n）的表，n=0..71。
配方奶粉
T（n，k）=A000009号（k）*A000041号（（n-k）/2）。
例子
三角形开始：
1
1
1 1
1 2
2 1 2
2 2 3
3 2 2 4
3 4 3 5
5 3 4 4 6
5 6 6 5 8
7 5 6 8 6 10
7 10 9 10 8 12
11 7 10 12 12 10 15
11 14 15 15 16 12 18
15 11 14 20 18 20 15 22
15 22 21 25 24 24 18 27
第n=8行对以下分区进行计数：
(8) (611) (431) (521) (71)
(62) (4211) (41111) (332) (53)
(44) (22211) (3221) (32111) (5111)
(422) (221111) (2111111) (3311)
(2222) (311111)
(11111111)
行n=9统计以下分区：
(81) (63) (54) (72) (9)
(621) (6111) (522) (5211) (711)
(441) (432) (4311) (3321) (531)
(4221) (42111) (411111) (321111) (51111)
(22221) (3222) (32211) (21111111) (333)
(222111) (2211111) (33111)
（3111111）
(111111111)
数学
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，Total[Select[#，OddQ]==k&]]，{n，0，15}，{k，Mod[n，2]，n，2}]
交叉参考
行总和为A000041号.
包含所有k的版本是A113685号，偶数版本A113686号.
列k=1为A119620号.
偶数版本和反向版本都是A174713年.
对于奇数诱导而非奇数部分，我们有A346697飞机，偶数版本A346698飞机.
相应的等级统计为A366528型，偶数版本A366531型.
A000009号将分区计数为奇数部分、列A066208号.
A086543号计算具有奇数部分、秩的分区A366322飞机.
A239261型用（奇数部分之和）=（偶数部分之总和）计算分区数。
囊性纤维变性。A035363号,A045931号,A053253号,A066967号,A130780号,A171966号,A241638型,A268335型,A325698型,A366533飞机.
关键词
非n,标签
作者
古斯·怀斯曼，2023年10月16日
状态
经核准的
A053254号 “三阶”模拟θ函数nu（q）的系数。 +10
12
1, -1, 2, -2, 2, -3, 4, -4, 5, -6, 6, -8, 10, -10, 12, -14, 15, -18, 20, -22, 26, -29, 32, -36, 40, -44, 50, -56, 60, -68, 76, -82, 92, -101, 110, -122, 134, -146, 160, -176, 191, -210, 230, -248, 272, -296, 320, -350, 380, -410, 446, -484, 522, -566, 612, -660, 715, -772, 830, -896, 966, -1038 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,3
评论
在Watson 1936中，函数用upsilon（q）表示-迈克尔·索莫斯2015年7月25日
参考文献
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第31页。
链接
G.C.格鲁贝尔，n=0..1000时的n，a（n）表
莱拉·德拉戈内特，Ramanujan模拟θ级数的一些渐近公式，变速器。阿默尔。数学。《社会学杂志》，72（1952）474-500。
乔治·N·沃森，最后一个问题：模拟θ函数的说明，J.伦敦数学。《社会学杂志》，11（1936）55-80。
配方奶粉
G.f.：nu（q）=和{n>=0}q^（n*（n+1））/（1+q）*（1+q^3）**（1+q^（2n+1））
（-1）^n*a（n）=n的分区数，其中偶数部分是不同的，如果出现k，则每个小于k的正偶数也是如此。
通用格式：1/（1+x*（1-x）/（1+x2*（1-x^2）/（1+x^3*（1-x^3）/-保罗·D·汉纳2013年7月9日
a（2*n）=A085140型（n） ●●●●。a（2*n+1）=-A053253号（n） ●●●●-迈克尔·索莫斯2015年7月25日
a（n）~（-1）^n*exp（Pi*sqrt（n/6））/（2^（3/2）*sqert（n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月15日
例子
G.f.=1-x+2*x^2-2*x^3+2*x^4-3*x^5+4*x^6-4*x^7+5*x^8+。。。
数学
级数[和[q^（n（n+1））/积[1+q^
黄体脂酮素
（PARI）/*继续馏分膨胀：*/
{a（n）=局部（CF）；CF=1+x；对于（k=0，n，CF=1/（1+x^（n-k+1）*（1-x^\\保罗·D·汉纳2013年7月9日
交叉参考
其他“三阶”模拟θ函数位于A000025号,A053250型,A053251号,A053252号,A053253号,A053255号.
囊性纤维变性。A058140型.
关键词
签名,容易的
作者
迪安·希克森1999年12月19日
状态
经核准的
A186424号 中的奇数项A186423号. +10
11
1, 3, 11, 17, 33, 43, 67, 81, 113, 131, 171, 193, 241, 267, 323, 353, 417, 451, 523, 561, 641, 683, 771, 817, 913, 963, 1067, 1121, 1233, 1291, 1411, 1473, 1601, 1667, 1803, 1873, 2017, 2091, 2243, 2321, 2481, 2563, 2731, 2817, 2993, 3083, 3267, 3361, 3553, 3651 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,2
评论
奇数平方和偶数平方的一半之和-弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2011年5月20日
数字m，使6*m-2为正方形-布鲁诺·贝塞利2016年4月29日
链接
文森佐·利班迪，n=0..1000时的n，a（n）表
常系数线性递归的索引项，签名（1,2，-2，-1,1）。
配方奶粉
G.f.：（-1-2*x-6*x^2-2*x^3-x^4）/（（1+x）^2*（x-1）^3）-R.J.马塔尔2011年2月28日
a（n）=3*（1+2*n+2*n^2）/4+（-1）^n*（1=2*n）/4-R.J.马塔尔2011年2月28日
a（n+2）=a（n）+A091999号（n+2）。
联盟A080859号和A126587号：a（2*n）=A080859号（n） 和a（2*n+1）=A126587号（n+1）。
发件人彼得·巴拉2021年2月13日：（开始）
似乎是以下序列展开中的指数序列：
求和{n>=0}（-1）^n*x^n/Product_{k=1..n}1-x^（2*k-1）=1-x-x^3+x^11+x^17-x^33-x^43++-。。。。囊性纤维变性。A053253号.
更一般地说，对于非负整数N，我们似乎有恒等式
产品{j=1..N}1/（1+x^（2*j-1））*（P（N，x）+和{N>=1}（-1）^N*x^。。。，式中，P（N，x）是一个次数为N^2-1的x中的多项式，其中前几个值由经验公式给出
P（0，x）=0，P（1，x）=1，P（2，x）=1-x^2+x^3，P（3，x）:1-x^2+x^5-x^7+x^8和P（4，x）＝1-x^2-x^4+x^5+x^8-x^9+x^12-x^14+x^15。囊性纤维变性。A203568型.（结束）
例如：（2+5*x+3*x^2）*cosh（x）+（1+7*x+3**^2）*sinh（x））/2-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年5月8日
数学
表[If[OddQ[n]，n^2+（（n+1）^2）/2，（n^2）/2+（n+1”^2]，{n，0，100}](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2011年5月20日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a186424 n=a186424_list！！n个
a186424_list=筛选奇数a186423_list
（Python）
定义A186424号（n） ：返回（n*（3*n+2）+1如果n&1否则n*（3+n+4）+2）>>1#柴华武2023年1月31日
交叉参考
囊性纤维变性。A186421号,A186423号,A203568型,A091999号,A080859号,A126587号,A053253号.
关键词
非n,容易的
作者
莱因哈德·祖姆凯勒2011年2月21日
状态
经核准的
A053252号 “三阶”模拟θ函数chi（q）的系数。 +10
10
1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 2, 1, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -2, 0, 1, 2, 1, -1, -1, -1, 1, 2, 1, -1, -2, -1, 2, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 0, -1, -3, 0, 2, 3, 2, -2, -2, -1, 2, 3, 0, -2, -3, -1, 2, 3, 2, -3, -3, -1, 2, 4, 1, -2, -4, -1, 3, 4, 2, -2, -4 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,38
参考文献
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.14）。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第17页。
链接
G.C.格鲁贝尔，n=0..1000时的n，a（n）表
莱拉·德拉戈内特，Ramanujan模拟θ级数的一些渐近公式，变速器。阿默尔。数学。《社会学杂志》，72（1952）474-500。
John F.R.Duncan、Michael J.Griffin和Ken Ono，Unbral Moonshine猜想的证明，arXiv:1503.01472[math.RT]，2015年。
乔治·N·沃森，最后一个问题：模拟θ函数的说明，J.伦敦数学。《社会学杂志》，11（1936）55-80。
配方奶粉
G.f.：chi（q）=和{n>=0}q^n^2/（（1-q+q^2）*（1-q^2+q^4）**（1-q^n+q^（2n）））。
G.f.:G（0），其中G（k）=1+q^（k+1）/（1-q^-乔格·阿恩特2013年6月29日
数学
级数[和[q^n^2/积[1-q^k+q^（2k），{k，1，n}]，{n，0，10}]，}，{q，0，100}]
交叉参考
其他“三阶”模拟θ函数位于A000025号,A053250型,A053251号,A053253号,A053254号,A053255号,2014年2月.
关键词
签名,容易的
作者
迪安·希克森1999年12月19日
状态
经核准的
A053255号 “三阶”模拟θ函数rho（q）的系数。 +10
10
1, -1, 0, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 2, -1, -1, 1, -1, -1, 2, -1, 0, 2, -1, -1, 2, -2, -1, 3, -2, -1, 3, -2, -1, 3, -2, -1, 4, -3, -1, 4, -2, -2, 4, -3, -2, 5, -4, -2, 6, -3, -2, 6, -4, -2, 7, -5, -2, 7, -5, -3, 8, -6, -3, 9, -6, -3, 10, -6, -4, 10, -7, -4, 12, -8, -4, 13, -8, -5, 13, -9, -5, 15, -10, -5, 16, -11, -6, 17, -12, -7, 19, -13, -6, 21, -13 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,13
参考文献
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第15页。
链接
G.C.格鲁贝尔，n=0..1000时的n，a（n）表
莱拉·德拉戈内特，Ramanujan模拟θ级数的一些渐近公式，变速器。阿默尔。数学。《社会学杂志》，72（1952）474-500。
John F.R.Duncan、Michael J.Griffin和Ken Ono，Unbral Moonshine猜想的证明，arXiv:1503.01472[math.RT]，2015年。
乔治·N·沃森，最后一个问题：模拟θ函数的说明，J.伦敦数学。《社会学杂志》，11（1936）55-80。
配方奶粉
G.f.：rho（q）=和{n>=0}q^（2*n*（n+1））/（（1+q+q^2）*（1+q^3+q^6）**（1+q^（2*n+1）+q^（4*n+2）））。
数学
级数[和[q^（2n（n+1））/积[1+q^
交叉参考
其他“三阶”模拟θ函数位于A000025号,A053250型,A053251,A053252号,A053253号,A053254号.
关键词
签名,容易的
作者
迪安·希克森1999年12月19日
状态
经核准的
A352142型 素因式分解具有所有奇数指数和所有奇数指标的数。 +10
8
1, 2, 5, 8, 10, 11, 17, 22, 23, 31, 32, 34, 40, 41, 46, 47, 55, 59, 62, 67, 73, 82, 83, 85, 88, 94, 97, 103, 109, 110, 115, 118, 125, 127, 128, 134, 136, 137, 146, 149, 155, 157, 160, 166, 167, 170, 179, 184, 187, 191, 194, 197, 205, 206, 211, 218, 227, 230 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,2
评论
n的素数指数是一个数m，使得素数（m）除以n。n的多素数指数集是A112798号，总和A056239号，长度A001222号.
一个数字的素数签名是其素数分解中的正指数序列，它是A124010型，长度A001221号，总和A001222号.
这些是具有所有奇数部分和所有奇数重数的整数分区的Heinz数，计算方法如下A117958号.
链接
David A.Corneth，n=1..10000时的n，a（n）表
配方奶粉
的交点A066208号和A268335型.
A257991型（a（n））=A001222号（a（n））。
A162642号（a（n））=A001221号（a（n））。
A257992型（a（n））=A162641号（a（n））=0。
例子
这些术语及其主要指数开始于：
1=1
2=素数（1）
5=素数（3）
8=素数（1）^3
10=素数（1）素数（3）
11=素数（5）
17=素数（7）
22=素数（1）素数（5）
23=质数（9）
31=素数（11）
32=素数（1）^5
34=素数（1）素数（7）
40=素数（1）^3素数（3）
数学
选择[Range[100]，#==1||和@@OddQ/@PrimePi/@First/@FactorInteger[#]&&和@@OddQ/@Last/@FactorInteger[#]和]
黄体脂酮素
（Python）
从itertools导入计数，islice
来自sympy import primepi，factorint
定义A352142型_gen（startvalue=1）：#术语生成器>=startvalue
返回过滤器（lambda k:all（映射（lambdax:x[1]%2和primepi（x[0]）%2，阶乘（k）.items（））），计数（最大值（startvalue，1））
A352142型_list=列表（岛屿(A352142型_发电机（），30））#柴华武2022年3月18日
交叉参考
素数的限制是A031368号.
第一个条件是A066208号，计算依据A000009号.
这些分区按A117958号.
无平方的情况是A258116型，甚至A258117号.
第二个条件是A268335型，计算依据A055922号.
均匀版本是A352141型计数依据A035444号.
A000290型=所有偶数的指数，按A035363号.
A056166号=所有素数的指数，按A055923号.
A066207年=指数均为偶数，按A035363号（补充A086543号).
A109297号=与指数相同的指数，按A114640型.
A112798号列出基本索引，反向A296150型，长度A001222号，总和A056239号.
A124010型给出主要签名，已排序A118914号，长度A001221号，总和A001222号.
A162641号计算偶数素数指数，奇数A162642号.
A257991型计算奇数质数指数，偶数A257992型.
A325131型=指数的不相交指数，按A114639号.
A346068型=所有素数的指数和指数，按A351982型.
A351979型=偶数指数的奇数指数，由A035457号.
A352140型=奇数指数的偶数指数，由A055922号充气。
A352143型=具有奇数共轭指数的奇数指数，计算方法为A053253号充气。
囊性纤维变性。A000720号,A028260型,A055396号,A061395号,A106529号,A181819号,A195017号,A241638型,276078元,A324517型,A324524型,A324525型,A325698型,A325700型.
关键词
非n
作者
古斯·怀斯曼2022年3月18日
状态
经核准的
第页12

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